二次根式的加减乘除
16.3.2二次根式的加减乘除混合运算
50) 6
(2 7 5 2) 6
2 76 5 26 2 42 5 12 (2) (2 6 7 2 ) (7 2 2 6 )
(7 2） （2 6 )
2
2
=98-24 =74
拓展提高
解:(3) (3 5 4 2 ) (2 5 3 2 )
学习难点
1.理解有理化因式的含义,并能运用它进 行二次根式的有理化及化简二次根式. 2.灵活运用二次根式的加减乘除运算法 则化简二次根式并解决相关问题．
知识回顾
一.二次根式的乘除法 (1)二次根式的乘除运算法则是什么?
a b ab （a 0, b 0）
a a （a 0, b 0） b b
2) ( 3 2)] 2) ( 3 2)]
2 32 2 4 6
拓展提高
七.二次根式的混合运算
(1)( 48 50) 6
(2)(2 6 7 2 ) (7 2 2 6 ) (3)(3 5 4 2 ) (2 5 3 2 )
拓展提高
解:(1) ( 48
(2)在进行二次根式的乘除运算时,需要注意什么? 运算结果要:化成最简形式.
知识回顾
二.二次根式的加减法
(1)二次根式的加减运算法则是什么?
a c b c (a b) c
(2)二次根式的加减运算法则的依据是什么? 加减法则的依据是:乘法分配律.
探索学习
三.教你解题:
例1.计算:
(1) ( 7
x y x y
含有二次根式
x y
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果 它们的积不含有二次根式,就说这两个含有二 次根式的非零代数式互为有理化因式.
二次根式的运算加减乘除
二次根式的运算加减乘除二次根式，是指具有根号的数学表达式，常见形式为√a或√(a + b)，其中a和b为实数。
本文将围绕二次根式的运算进行讨论，包括加法、减法、乘法和除法。
一、二次根式的加法对于两个具有二次根式形式的数，如√a和√b，它们的和可以通过以下步骤进行计算：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式，即将根号内的数分解为互质的因数。
例如，√20可以化简为√(4 × 5)，再进一步化简为2√5。
Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相加。
例如，对于√20 + √45，可以分别先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相加得到5√5。
因此，二次根式的加法运算要先将根号内的数化简为互质的因数，然后合并相同根号部分。
二、二次根式的减法二次根式的减法与加法类似，也需要先将根号内的数化简为最简形式，然后合并相同根号部分。
以下是减法的步骤：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式。
Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相减。
例如，对于√20 - √45，可以先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相减得到-√5。
需要注意的是，减法运算中可能会出现负数的结果，这也是合理的。
三、二次根式的乘法二次根式的乘法运算可以通过以下步骤进行：Step 1: 将两个二次根式进行分解，将根号内的数分别因式分解为互质的因数。
例如，对于√20 × √45，可以将20分解为2 × 2 × 5，45分解为3 × 3 × 5。
Step 2: 将每个二次根式的因数进行合并。
例如，√20 × √45可以化简为(2 × √5) × (3 × √5)。
Step 3: 将合并后的二次根式继续化简为最简形式。
对于(2 × √5) × (3 × √5)，可以合并根号前的系数，得到6 × √(5 × 5)，即6 × √25。
二次根式的加减与乘除总结
二次根式的加减与乘除总结二次根式是指具有形式√a的根式，其中a表示一个非负实数。
在实际问题中，我们经常会遇到对二次根式进行加减与乘除的运算。
下面将总结二次根式的加减与乘除规则，并配以实例进行解析。
一、二次根式的加减规则1. 同根式的加减：当二次根式的根数和被开方数都相同时，可以进行加减运算。
加减运算后的结果仍然是同根式，根数和被开方数都保持不变。
示例1：已知√2 + √3，我们可以直接相加得到结果√2 + √3。
示例2：已知√5 - √2，我们可以直接相减得到结果√5 - √2。
2. 同类根式的加减：当二次根式的根数相同时，可以进行加减运算。
加减运算后的结果仍然是同类根式，根数保持不变，被开方数进行相应的加减运算。
示例1：已知3√2 + 2√2，我们可以直接将根数相同的√2的系数相加得到结果5√2。
示例2：已知4√5 - √5，我们可以直接将根数相同的√5的系数相减得到结果3√5。
二、二次根式的乘除规则1. 二次根式的乘法：当两个二次根式相乘时，可以将它们的根数和被开方数相乘，并将根数和被开方数进行合并，最后化简得到结果。
示例1：已知(√2)(√3)，我们将根数相乘得到√6，将被开方数相乘得到2×3=6，最后化简得到结果√6×6。
示例2：已知(2√5)(3√2)，我们将根数相乘得到√10，将被开方数相乘得到2×5=10，最后化简得到结果2√10×3√10。
2. 二次根式的除法：当两个二次根式相除时，可以将被除数与除数的根数和被开方数进行相除，并将根数和被开方数进行合并，最后化简得到结果。
示例1：已知(√6)/(√2)，我们将根数相除得到√(6/2)=√3，将被开方数相除得到6/2=3，最后化简得到结果√3/3。
示例2：已知(2√10)/(3√10)，我们将根数相除得到(2/3)√(10/10)=(2/3)√1=2/3，将被开方数相除得到10/10=1，最后化简得到结果2/3。
二次根式的运算知识点总结
二次根式的运算知识点总结二次根式是指具有形如√a的表达式，其中a是非负实数。
在数学中，二次根式的运算是一个重要的知识点，掌握了这个知识点，我们可以更好地理解和利用二次根式。
下面将总结二次根式运算的基本规则和常见的运算方法。
一、二次根式的基本规则1. 二次根式的化简：当被开方数存在平方因子时，可以进行化简。
例如√4×3 = √(4×3) = 2√3。
2. 二次根式的乘法运算：对于两个二次根式的乘法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相乘，根号外的数相乘，并进行化简。
例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
3. 二次根式的除法运算：对于两个二次根式的除法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相除，根号外的数相除，并进行化简。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。
4. 二次根式的加减运算：对于两个二次根式的加减运算，只能进行同类项相加减，并进行化简。
例如：√2 + √3 无法进行化简，可以写成2√2 + 3√5。
二、二次根式的运算方法1. 二次根式与整数的运算：当二次根式与整数进行运算时，可以将整数视为二次根式的特殊形式。
例如：√2 + 4 = √2 + √(4×4) = √2 + 2√2 = 3√2。
2. 二次根式的有理化：有时候需要将二次根式的分母变为有理数，这个过程称为有理化。
有理化的方法有两种：(1) 乘以共轭根式：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过乘以分母的共轭根式来进行有理化。
例如：(3 + √2)/(1 + √2) = [(3 + √2)/(1 + √2)] * [(1 - √2)/(1 - √2)] = (3 - 3√2 + √2 - 2)/(1 - 2)= (1 - 2√2)/(-1)= 2√2 - 1(2) 分离根号：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过将二次根式的根号部分与非根号部分分离，并进行化简，从而实现有理化。
二次根式的运算和方程
二次根式的运算和方程二次根式是指具有形如√a的数，其中a是非负实数。
在数学中，我们需要学习如何对二次根式进行运算和解方程。
本文将详细介绍二次根式的运算和方程，并提供一些例题供读者练习。
一、二次根式的运算1. 二次根式的加减运算对于两个二次根式的加减运算，仅当两个二次根式的被开方数相同且所乘的系数相同时，才可以进行运算。
具体操作是将两个二次根式相加（或相减）后，再提取共同的因数。
例如：√2 + 3√2 = (1 + 3)√2 = 4√24√5 - 2√5 = (4 - 2)√5 = 2√52. 二次根式的乘法运算要对两个二次根式进行乘法运算，我们将两个二次根式的被开方数相乘，并合并同类项，如果存在同类项。
例如：√3 × 2√5 = 2√(3 × 5) = 2√15(3 + √2)(2 - √2) = 3 × 2 + 3 × (-√2) + √2 × 2 + √2 × (-√2) = 6 - 3√2 + 2√2 - 2 = 4 - √23. 二次根式的除法运算对于两个二次根式的除法运算，我们将被除数的分子分母都乘以除数的共轭复数，并根据分子分母的情况将根号内的式子合并，并进行简化。
例如：(5√6)/(2√3) = (5√6 × 2√3)/(2√3 × 2√3) = (10√18)/(2 × 3) = (10√2)/6 = (√2)/3二、二次根式的方程1. 二次根式的平方等于非负实数对于形如x^2 = a的二次根式方程，其中a是非负实数，我们需要找到满足方程的解x。
解方程的步骤是将方程两边平方，并提取对应的二次根式。
例如：(√x)^2 = ax = a2. 二次根式的方程当二次根式出现在方程中，并且方程不易直接解出时，我们需要借助特定的方法来求解。
例如：√(3x + 2) + 5 = 8首先，将方程两边减去5，得到√(3x + 2) = 3。
二次根式运算公式
二次根式运算公式二次根式的运算公式，那可是数学世界里相当重要的一部分！就像我们生活中的钥匙，能打开很多难题的大门。
先来说说二次根式的乘法公式，就是根号 a 乘以根号 b 等于根号下a×b（a≥0，b≥0）。
比如说，有一个长方形，它的长是根号 5 厘米，宽是根号 3 厘米，那这个长方形的面积是多少呢？这时候乘法公式就派上用场啦！面积就是根号 5×根号 3 ，等于根号下 5×3 ，也就是根号 15 平方厘米。
还有二次根式的除法公式，根号 a 除以根号 b 等于根号下 a÷b（a≥0，b＞0）。
我记得有一次在课堂上，我给学生们出了一道题：一个面积是 12 平方厘米的正方形，它的边长是多少？这其实就是让他们用除法公式来解决。
因为正方形面积等于边长的平方，所以边长就是根号12 ，再用除法公式化简，就是 2 倍根号 3 厘米。
再来说说二次根式的加减法。
这就像是把不同种类的水果分类，只有同类的二次根式才能相加减。
比如说，根号 2 加上 3 倍根号 2 ，那就等于 4 倍根号 2 。
有一次，我在菜市场买菜，看到卖水果的摊位。
摊主在整理一堆水果，把苹果放在一起，香蕉放在一起，橙子放在一起。
这让我一下子就想到了二次根式的加减法，只有同类的才能合并在一起，就像这些水果一样。
而在实际的运算中，我们常常需要先把二次根式化简，化成最简二次根式，再进行运算。
这就好比我们把杂乱的房间整理干净，东西归位，才能更清楚地看到我们拥有什么，需要处理什么。
在学习二次根式运算公式的时候，同学们可千万不能马虎。
要多做练习题，就像我们熟悉走路一样，走得多了，自然就熟练了。
而且要认真仔细，一步一个脚印，不然就容易出错。
总之，二次根式运算公式是我们解决数学问题的有力工具，只要掌握好了，就能在数学的海洋里畅游，轻松应对各种难题！希望同学们都能跟这些公式成为好朋友，让它们帮助我们在数学的道路上越走越远！。
二次根式混合运算法则
二次根式混合运算法则
二次根式混合运算法则是指在计算含有二次根式的算式时，按照一定的顺序进行运算。
这个规则是由平方、开平方、乘法、除法、加法、减法等运算法则组成的。
我们需要知道二次根式的基本性质。
二次根式是指一个数的平方根再开平方根。
例如，√(9+4√5)就是一个二次根式。
我们可以将其化简为a+b√5的形式，其中a和b是有理数。
接下来，我们来看看二次根式混合运算法则的具体步骤。
第一步：先计算二次根式内的运算
如果二次根式内有加减乘除的运算，先进行内部运算。
例如，计算√(3+2√2)+√(3-2√2)。
我们可以将两个二次根式内的加法运算先进行计算，得到：
√(3+2√2)+√(3-2√2)=√3+√2+√3-√2=2√3
第二步：计算二次根式之间的运算
如果算式中含有多个二次根式，先进行二次根式之间的加减运算。
例如，计算√5+√2-√10。
我们可以先将√5和√2进行加法运算，再将结果与√10进行减法运算，得到：
√5+√2-√10=√5+√2+(-√10)=√5+√2-√10
第三步：计算非二次根式的运算
如果算式中还含有非二次根式的运算，最后进行加减运算。
例如，计算(√3+√2)×(√3-√2)。
我们可以先将括号内的二次根式之间的减法运算进行计算，得到：
(√3+√2)×(√3-√2)=√3×√3-√2×√3+√2×√3-√2×√2=3-2=1
我们需要注意的是，在计算含有二次根式的算式时，需要特别注意运算的顺序。
只有按照一定的顺序进行运算，才能得到正确的结果。
13、二次根式的运算
二次根式的运算知识点1、二次根式的乘除法1、乘法法则：两个二次根式相乘，就是把被开方数相乘作为积的被开方数将被开方数，根指数不变。
如果ab b a b a =⋅≥≥那么有,0,0反之ab =b a ⋅0,0≥≥b a 即两个非负数的算术平方根的积，等于这两个非负数积的算术平方根注：①这里的b a ,即可以是数，也可以是代数式，但都必须满足0,0≥≥b a ；②二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号．2、除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除作为商的被开方数将被开方数，根指数不变。
如果b a ba b a =>≥那么有,0,0反之bab a =0,0≥≥b a 即两个非负数（除数不为0）的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
例2、二次根式除法计算知识点2、二次根式的化简1、最简二次根式的条件①根号内不含有开得尽方的因数或因式；②被开方的因数是整数，因式是整式：被开方数不含分母。
例3、最简二次根式的识别2、分母有理化（1）定义：二次根式除法的运算，通常采用把分子、分母同乘一个式子化去分母中的根号的方法来进行。
把分母去根号化去，叫做分母有理化。
（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称作这两个代数式互为有理化因式.（3）常见的有理化因式的形式a a 和，b a b a +-和，bn a m b n a m -+和注意：分母有理化的关键是确定分母的有理化因式。
（4）分母有理化方法1）直接对ba分母有理化：法一：化为ba，然后分母有理化为b ab 法二：根据分式的性质，bab b ab ba==22）利用平方差公式法：()()aa a a+-+=111-11()()ba b a b a ba +-+=-1注：一个二次根式的有理化因式不唯一的，一般情况找最简单的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次跟式的加减乘除练习知识点1. 二次根式的有关概念：⑴二次根式：式子■-1 (a > 0)做二次根式。
(2) 最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含 _______________________ 。
如倨不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因•-一，5："，J 都是最简二次根式。
(3) 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果，这几个二次根式就叫做同类二次根式如, 心就是同类二次根式，因为丄=2-'，•丿…：=3 J，它们与「I的被开方数均为2。
(4) 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
如’•与」，a+」与a」|，「- 与」+ '、，互为有理化因式。
2. 二次根式的性质:(2) 非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即:a(a > 0)(3) _________________________________________ 某数的平方的算术平方根等于某数的，即辭=冏=1一匝<°(4) 非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即(5) 非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即3. 二次跟式的加减法则：同类二次根式可以合并，合并时，只合并二次根式前边的倍数，被开方数不变。
知识点四：二次根式的乘除1. 二次根式的乘法法则：二次根式的除法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。
知识点五：二次根式的性质(1) (a > 是一个非负数,即■ ab(a°，b°〉反过来，就得到ab..a?、、b(a 0,b 0).V3.... 都不是最简二次根式，而 -(a》0,b =)<0(4)非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即(5) 非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即知识点六：二次根式的化简求值利用商的算术平方根的性质和分式的基本性质化去根号内的分母，即3.化简二次根式：运用积的算术平方根的性质<ab冷a?\''b，a 0，b 0二次根式的性质a a(a°)及因式分解等知识化简二次根式• k。
知识点随练1.二次根式的概念和性质777,上,山21,7°,疾,/"2【例1】(2014湖北宜昌一中期中) 在式子' 2中，一定是二次根式的有( )A.6个B.5个C.4个D.3个【例2】x是怎样的数时，下列各式有意义?1:—2(1) x 1 ⑵■ x -12. 计算⑵■( 1.5)23. 二次根式的定义和非负性的应用(2)非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：(-a)2=a(a> 0);fa(a > 0)■s(3)某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即「=|a|=_ 上乙"-'-a (a> 0)是一个非负数，即>0；a® o，a o)的化简方法然后分母有理化为一aba(a> 0,b>0)(a> 0,b>0)X 1⑶X-1x-2(3)■ (a 3)2(a<3);3(4)(2x 3)(x< 2 )（例4】（2014吉林四平二中期中）已知实数X满足I"005% Vr-2006【例5】实数a, b在数轴上的位置如图，那么化简a b-的结果是（）A.2a-bB.bC.-bD.-2a+b【例7】在实数范围内分解因式:（1）x4 - 9; （2）3x3 - 6x;5、二次根式乘除例1、实数a, b在数轴上对应点的位置如图所示，化简I d 6 尸-2a+b B. 2a-b C. -b例2、（2017?杭州一模）下列二次根式中，最简二次根式的是（）1A. 丫5B. J0.5C.亦D y50例3、（2017?农安县校级模拟）下列计算，正确的是（）2 3 2A.2丹2a4b5 B. 3b2a2b22 x2yC. x y x yD.一xy x y x y例4、（ 2017?农安县校级模拟）下列计算，正确的是（)A.2a23 2b32a4b5B.a b2a2b222x yC. x y xyD.、x.y x.y x y练习练习1.在式子歸4,J x2y2, a 1, 2x x02,x2x1x，4中，是二次根式的有A. 2个B..3个C. 4个D. 5个4.二次根式的综合应用【例6】（2014浙江湖州中考）已知实数x.y满足¥.x2 4 、4 x27~2 3，求9x + 8y的值。
X，求X的值。
(3)3x2 - 5.|a|+、（a b）的结果是（）。
D . B尸B. V2 C>"~aDyx （x o ）练习3.当x 取什么实数时，下列各式有意义 ？ 42x 1练习4. (1)「x 12 x ； (2) x5 • (3)练习5. 计算下列各式： V13(1)2；(2) 8J(2)-. 3.5 2 ；(3) £练习6. (1) ■ 19172(1) X； ⑵，2X 1 ;⑶.x 1 2 x ； 2100练习7. （2014浙江温州一中月考）已知 J2a 4 3 b c 24c（a ）c的值.练习8.已知实数a 满足2008 aa 2009 a，求a 20082的值。
练习9•实数a 在数轴上的位置如图所示，化简： |a1| (a2)2练习 10 .已知△ ABC 的三边分别为a.b.c 则■（a bC ） |ba c|练习 11.若2 x 3y (4 z)2 0,求xyz 的值。
练习 12. 若 x，y 是实数，且y 2x 2x化简练习 13 •在实数范围内分解因式: 6x 33x 2 3x A. 一22 2 B. 333C. 44练习15、 如果 .(a 2)22 a,那么（）A . a < 2B.a w 2 C . a > 2练习16、 实数 a 、b 在数轴上的对应点如图，化简 a 2 . b 21 a B J]-1 01 〉A . 2a-2bB . 0C . -2aD . 2b下列哪一个选项中的等式成立（ 练习14、)（a b ）的结果是（）D. 55 5(4)( 9)161.16B.4CJ(a b)2D.J252 24225 24练习18、（2016春?利川市校级月考）■■ 50 ? •、a的值是一个整数，则正整数a的最小值是（C. 3练习19、计算223的结果是（B「6 C. 2.3 D. 3 2练习20、（2015春?北流市期中）已知A. m nB. mn 1练习21、（2017?济宁模拟） 2 的倒数是（2C.2C.mD.2.3 1 ，贝U m和n的大小关系为D. mn 1B.2下列根式能合并的一组是（1.B.玄 23aa和2a 和3a2、3a3和3a4（2014浙江丽水一中期中）若最简二次根式33 I、4a 3b 和.2a6能合并，则a b的值分别是（）C. 2 和2D. 1和m3 •若°、、4n 和'3mn是能合并的二次根式，则U m, n的值为（A. m=1，4•下列各式正确的是（n=1 B. m=0, n=2)C. m=1 , n=1 或m=0,n=2 m=2，n=0①.a \ b -a b ② v2 b2 a b ③ 5 x 2、2 3④a .x b、、x a b、x ⑤2 2a 3、3a 5,5a ⑥2 3a 3a 3、3aA .①③B .②⑤C.④D.⑥2 .125 •计算3忑的值是（）A. 9B. 36 .已知■ 48 4 - x 2 - 3则x的值是()3A. 3B. 2C7.若a> 0，b ab> 0，计算a b= o3 —x 2,128 .如果'4，那么x=_______ 。
9 •若a,C. 9D. 9334D. 8.8 .18卫ab均为有理数，且■ 8，则a+17. （2017?广州）下列运算正确的是（3a b a bA. 6 2140 5 70 .‘3140.3 70「310.已知x+ y= 5,xy = 3，贝U空V9? 6x F X3卫 311.计算：3*4v x的结果是________________1 x+12.已知x 2 10 x2厶，则xJ1813•计算:(1).12514.已知x 3 11，求2x2x y2y2xy的值。
15.已知a，b，c在数轴上的位置如图所示, 化简；(c a)2|b c。
已知一个直角三角形的两直角边分别为(5 ■- 3）厘米和（5 3）厘米，求这个三角形的周长和面积。
C.a2 D a a(a 0)a b 2a b2 -B. 3 32 2 2A.(X y) X y23B.XX 5C.X 2D.19. （2016?南充）下列计算正确的是（A . Jl2 2^33 J B .】2 2 C.-D . x 220. （2017?澧县一模）下列运算正确的是（ 2B.aC . 5a 4 4a 3 a D.3a 24a 2 7a 2b21.（ 2017春？新宾县期中）已知a ' 3 ' 5 , i 5-■ 3 ,则a 与b 的关系是（B . ab=1C . a=-bD . ab=-522 计算.^2009 2010 2011 2012 1 2010 2 23.（ 2017春？萧山区校级期中）如果一个三角形的三边长分别为i 、k 、7'则化简血12k 362k 5的结果是（） A . -k-1B . k+1C . 3k-11D . 11-3k24. （2017春?蒙城县期末）如果■ X 2X 1 X 2，那么X 的取值范围是。