[医学]中国医科大学医学统计学 直线回归分析
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【医学统计学】9直线回归分析(研)
b
(
X
X )(Y (X X )2
Y
)
lXY lXX
➢对回归系数b 进行假设检验：
方差分析
t检验
2021/2/8 Monday
14
方差分析
• 因变量y 的取值大小不同，y 取值的这种波动称为变异。变异来源 于两个方面：
• 由于自变量x 的取值不同造成的 • 除x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响
28
三、直线回归分析的区间估计
➢因变量条件均数 Yˆ 的区间估计：
Yˆx x0 t (n2) SYˆ
SYˆ SY . X
1 n
( X0 X )2 ( X X )2
➢ 总体中当x取某定值x0时y的条件均数为x0
代x=入x0回时归的方条程件求均Yˆxx得数0Yˆx点，bx00 估它bx计遵0 值从Yˆx总x0 体 Y均ˆxx0数Yˆ为xx0
)
l XY l XX
➢ 其中， 为X 和Y 的离均差积和
➢
l XY l XX
为X 的离均差平方和
➢
b0 Y bX
2021/2/8 Monday
12
lXX
X 2 ( X )2 n
l XY
XY
(
X )(Y )
n
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二、直线回归分析的基本步骤
➢绘制散点图
➢计算回归系数b
2021/2/8 Monday
18
SS残 (Y Yˆ)2
亦称剩余平方和(residual sum of squares), SS 剩。考虑回归之后y的随机误差，是x 对y 的线性 影响之外的一切因素对y的变异，即总变异中无法 用x解释的部分。 SS残即SS剩越小，回归效果越好。
医学统计学-直线相关和回归分析
Page 6
2.相关的概念
➢当两个数值变量之间出现如下情况：当一个 变量增大，另一个也随之增大(或减少)，我 们称这种现象为共变，也就是有相关关系。
➢若两个变量同时增加或减少，变化趋势是同 向的，则两变量之间的关系为正相关 (positive correlation)；若一个变量增加时，另 一个变量减少，变化趋势是反向的，则称为 负相关(negative correlation)。
Page 17
➢H0：ρ＝0，两变量间无直线相关的关系；
➢H1：ρ≠0，两变量间有直线相关的关系；
➢a =0.05
t 0.9456 7.1196 1 0.94562
82
➢ν=8-2=6
➢以自由度为6查附表2的t界值表，得P<0.01， 按α=0.05的水准拒绝H0，接受H1，认为2岁 时的身高和成年身高之间存在正相关。
)
XY X Y / X 2 X 2 / n
n
lXY lXX
a Y bX
Page 41
最小二乘法求解(了解)
Q (Y Yˆ )2 (Y a bX )2 最小
根据微积分学中的求极值的方法，令 Q对a、
b的一阶偏导数等于0，即：
Q
a
n
2
i 1
Yi
a
bX i
0
Q b
n
2
i 1
Yi
Page 7
直线相关的概念
➢直线相关（linear correlation），又称简单相 关，用以描述两个呈正态分布的变量之间的 线性共变关系，常简称为相关。
Page 8
➢用以说明具有直线关系的两个变量间相关关 系的密切程度和相关方向的指标，称为相关 系数（correlation coefficient），又称为积差 相关系数（coefficient of product-moment correlation），Pearson相关系数 。
2.相关的概念
➢当两个数值变量之间出现如下情况：当一个 变量增大，另一个也随之增大(或减少)，我 们称这种现象为共变，也就是有相关关系。
➢若两个变量同时增加或减少，变化趋势是同 向的，则两变量之间的关系为正相关 (positive correlation)；若一个变量增加时，另 一个变量减少，变化趋势是反向的，则称为 负相关(negative correlation)。
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➢H0：ρ＝0，两变量间无直线相关的关系；
➢H1：ρ≠0，两变量间有直线相关的关系；
➢a =0.05
t 0.9456 7.1196 1 0.94562
82
➢ν=8-2=6
➢以自由度为6查附表2的t界值表，得P<0.01， 按α=0.05的水准拒绝H0，接受H1，认为2岁 时的身高和成年身高之间存在正相关。
)
XY X Y / X 2 X 2 / n
n
lXY lXX
a Y bX
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最小二乘法求解(了解)
Q (Y Yˆ )2 (Y a bX )2 最小
根据微积分学中的求极值的方法，令 Q对a、
b的一阶偏导数等于0，即：
Q
a
n
2
i 1
Yi
a
bX i
0
Q b
n
2
i 1
Yi
Page 7
直线相关的概念
➢直线相关（linear correlation），又称简单相 关，用以描述两个呈正态分布的变量之间的 线性共变关系，常简称为相关。
Page 8
➢用以说明具有直线关系的两个变量间相关关 系的密切程度和相关方向的指标，称为相关 系数（correlation coefficient），又称为积差 相关系数（coefficient of product-moment correlation），Pearson相关系数 。
医学统计学直线回归分析
直线回归分析的局限性
直线回归分析假设变量之间存在线性关系，对非线性关系的描述效果较差； 同时需要注意多重共线性和异常值的影响。
结论
直线回归分析是一种强大的工具，能够帮助我们理解变量之间的关系和预测未来趋势，但要注意其局限性和合 理使用。
直线回归模型的建立
建立直线回归模型需要收集变量数据、进行数据预处理、选择适当的回归算 法，并评估模型的拟合效果。
直线回归模型的评估
评估直线回归模型的常用指标包括回归系数、残差分析、决定系数等，用于 判断模型的可靠性和拟线回归分析广泛应用于医学研究、经济预测、市场分析等领域，帮助解析变量之间的关系和预测未来趋势。
医学统计学直线回归分析
直线回归分析是一种常用的统计学方法，用于研究两个变量的关系以及预测 未来的趋势。
直线回归分析的介绍
直线回归是一种线性统计分析方法，通过建立一个线性模型来描述两个变量之间的关系。
直线回归分析的基本原理
直线回归分析基于最小二乘法，寻找一条直线使得实际观测值与回归预测值之间的误差最小。
[医学]中国医科大学医学统计学 直线回归分析
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y y 2 ˆ y y 2 y y ˆ 2
上式用符号表示为：
SS总= SS回+SS残
式中SS总，即 yy2，为y的离均差平方和lyy，又称总
平方和，说明未考虑x与y的回归关系时y的变异。
SS回，即 ˆyy2，它反映在y的总变异中由于x与y的直
现1=1，2=18，查F界值表，得P<0.01，按=0.05水 准拒绝H0，接受H1，差异有统计学意义，故可认为腹 腔内脂肪面积与腰围之间存在直线回归关系，总体回
归系数不等于零。
(二) t 检验
这里t 检验的基本思想与定量变量中样本均数与总体 均数比较的t 检验类似，统计量t 计算如下式：
>0，表示 y 随 x 增大而增大；
b
YX
b<0，表示 Yy 随 Xx 增大而减小；
b=0，表示直线与轴平行，即Yy 与 Xx 无直线关系。
a>0
a=0
a<0
b的统计学意义 x增(减)一个单位，y 平均改变b个单位。 说明存在回归关系的两变量间依存变化的数量关系。
二、回归方程的估计
差越小。
上述三个平方和各自的自由度及相互关系如下：
总=回+残 总=n-1，回=1，残=n-2
在H0为β=0的假设下，统计量F服从自由度为回、残
的F分布。
S S to ta l ly y yy ˆ2
S S 回 b lx ylx 2 ylx yb 2 lx x
Ⅴ. 下结论 因为p<0.01，按=0.05水准，拒绝H0，接受H1， 差异有统计学意义。即故可认为腹腔内脂肪面积 与腰围之间存在直线回归关系，总体回归系数不 等于零。
对于同一资料，对总体回归系数的假设检验与总体相 关系数的假设检验等价，并且检验统计量值具有如下 关系：
上式用符号表示为：
SS总= SS回+SS残
式中SS总，即 yy2，为y的离均差平方和lyy，又称总
平方和，说明未考虑x与y的回归关系时y的变异。
SS回，即 ˆyy2，它反映在y的总变异中由于x与y的直
现1=1，2=18，查F界值表，得P<0.01，按=0.05水 准拒绝H0，接受H1，差异有统计学意义，故可认为腹 腔内脂肪面积与腰围之间存在直线回归关系，总体回
归系数不等于零。
(二) t 检验
这里t 检验的基本思想与定量变量中样本均数与总体 均数比较的t 检验类似，统计量t 计算如下式：
>0，表示 y 随 x 增大而增大；
b
YX
b<0，表示 Yy 随 Xx 增大而减小；
b=0，表示直线与轴平行，即Yy 与 Xx 无直线关系。
a>0
a=0
a<0
b的统计学意义 x增(减)一个单位，y 平均改变b个单位。 说明存在回归关系的两变量间依存变化的数量关系。
二、回归方程的估计
差越小。
上述三个平方和各自的自由度及相互关系如下：
总=回+残 总=n-1，回=1，残=n-2
在H0为β=0的假设下，统计量F服从自由度为回、残
的F分布。
S S to ta l ly y yy ˆ2
S S 回 b lx ylx 2 ylx yb 2 lx x
Ⅴ. 下结论 因为p<0.01，按=0.05水准，拒绝H0，接受H1， 差异有统计学意义。即故可认为腹腔内脂肪面积 与腰围之间存在直线回归关系，总体回归系数不 等于零。
对于同一资料，对总体回归系数的假设检验与总体相 关系数的假设检验等价，并且检验统计量值具有如下 关系：
医学统计学 第十一章 第一节 直线回归
2
Y的总变异分解
Y Y
2
ˆ Y Y
ˆ Y Y
2
2
SS 总 SS回 SS 剩
总 回 剩
决定系数 r
2
SS回归 SS 总
(Y Y )
2
lYY
ˆ ) 2 (1 r 2 )l (Y Y YY
a 的意义
ˆ a bX Y
a 截距(intercept, constant)
X=0 时，Y的估计值
a的单位与Y值相同
当X可能取0时，a才有实际意义。
ˆ 估计值 Y 的意义
ˆ =5.145, X=11时, Y
即体重为 11 kg 的三岁女童, 其平均体表面积之 估计为 5.145 (103cm2);
(Y Y )2 r 2 lYY
lYY (1 r )lYY r lYY
2 2
剩余标准差
sY X ˆ Y Y n2
2
(1) 扣除了X的影响后Y方面的变异; (2) 引进 回归方程后, Y方面的变异。
11.6 回归问题的方差分析
前面应变量总变异的分解与方差分析中
l XY 5.9396 b 0.2385(103 cm 2 / kg) l XX 24.9040
a 5.7266- 13.44 0.2385 2.5212
ˆ Y 2.5212 0.2385X
回归直线的绘制
计算不太接近的两点的Y值：
ˆ 2.5212 0.2385X Y
方差的分解原理相同，因而，X对Y的影
响是否有统计学意义，或X与Y的回归关
医学统计学直线回归分析
值
b为回归系数(regression 。
a>0
a=0
a<0
b>0
b>0：x 每增加（减少）一个观测单位，yˆ 增加
（减少）b个单位。
b<0
x yˆ b<0： 每增加（减少）一个观测单位， 减少（增加）
|b|个单位。
b=0
b=0：x与 y 没有直线回归关系。
主要内容
直线回归方程的建立 直线回归的统计推断 直线回归的应用 直线回归需注意的问题 直线回归与直线相关的联系与区别
医学领域里常常需要研究两个变量之间的关系， 例如：人的身高与体重，体温与脉搏次数，年 龄与血压，药剂量与疗效，体表面积与肺活量， 身高与臂长……
两变量关系的密切程度可以用直线相关衡量； 两变量的数量变化关系可以用直线回归衡量。
回归方程的估计
原理：最小二乘法(least square method)
各实测点到直线的纵向距离平方之和达到最小
计算公式
b
lxy lxx
(x x )( y (x x)2
y)
a y bx
其中
lxx x2 ( x)2 / n lyy y2 ( y)2 / n
lxy xy ( x y) / n
➢ yˆ p 的1-α的置信区间估计
公式为： yˆ p t S / 2,(n2) yˆp
其中：
S yˆ p S yx
1 (xp x)2
n
lxx
应变量个体y值的预测区间
对于给定的x=xp，y值的预测区间
计算公式为： yˆ p t / 2, Sy|xp
其中：
Sy|xp Syx
1 1 (xp x )2
n
lxx
b为回归系数(regression 。
a>0
a=0
a<0
b>0
b>0：x 每增加（减少）一个观测单位，yˆ 增加
（减少）b个单位。
b<0
x yˆ b<0： 每增加（减少）一个观测单位， 减少（增加）
|b|个单位。
b=0
b=0：x与 y 没有直线回归关系。
主要内容
直线回归方程的建立 直线回归的统计推断 直线回归的应用 直线回归需注意的问题 直线回归与直线相关的联系与区别
医学领域里常常需要研究两个变量之间的关系， 例如：人的身高与体重，体温与脉搏次数，年 龄与血压，药剂量与疗效，体表面积与肺活量， 身高与臂长……
两变量关系的密切程度可以用直线相关衡量； 两变量的数量变化关系可以用直线回归衡量。
回归方程的估计
原理：最小二乘法(least square method)
各实测点到直线的纵向距离平方之和达到最小
计算公式
b
lxy lxx
(x x )( y (x x)2
y)
a y bx
其中
lxx x2 ( x)2 / n lyy y2 ( y)2 / n
lxy xy ( x y) / n
➢ yˆ p 的1-α的置信区间估计
公式为： yˆ p t S / 2,(n2) yˆp
其中：
S yˆ p S yx
1 (xp x)2
n
lxx
应变量个体y值的预测区间
对于给定的x=xp，y值的预测区间
计算公式为： yˆ p t / 2, Sy|xp
其中：
Sy|xp Syx
1 1 (xp x )2
n
lxx
直线回归分析的名词解释
直线回归分析的名词解释直线回归分析是一种常用的统计方法，用于研究两个变量之间的关系。
它的基本原理是根据已知的自变量数据，通过拟合一条直线来预测因变量的数值。
这条直线代表了自变量和因变量之间的线性关系，使我们能够预测因变量的数值，或者根据自变量的不同取值来比较因变量的变化情况。
在直线回归分析中，有一些重要的概念需要理解。
首先是自变量和因变量。
自变量是我们已知的、能够影响因变量的变量，它是我们在分析中选定的一个或多个特征。
而因变量是我们要研究或者预测的变量，它的数值取决于自变量。
通过分析自变量和因变量之间的关系，我们可以找到它们之间的数学模型。
在直线回归分析中，我们通常使用最小二乘法来拟合直线。
最小二乘法是一种求解线性模型的方法，它的原则是使预测值与实际观测值的差异平方和最小化。
可通过最小二乘法得到直线的斜率和截距，从而得到我们所拟合的线性关系方程。
当我们进行直线回归分析时，常会遇到两种情况：简单线性回归和多元线性回归。
简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的情况，它用一条直线来描述这两个变量之间的关系。
多元线性回归则是指包含多个自变量和一个因变量的情况，它用一个多维空间中的平面或超平面来描述这些变量之间的关系。
直线回归分析还有一些重要的指标需要关注。
其中最重要的是相关系数和方差分析。
相关系数衡量了自变量与因变量之间的线性关系的强弱，它的取值范围是-1到1。
当相关系数接近于1时，表示自变量与因变量之间有较强的正相关性；当相关系数接近于-1时，表示自变量与因变量之间有较强的负相关性；而当相关系数接近于0时，则表示二者之间几乎没有线性关系。
方差分析则是用来评估线性模型的拟合程度。
它通过计算实际观测值与模型的预测值之间的差异来评估模型的拟合程度。
方差分析结果一般以F值来表示，当F值越大时，表示模型拟合程度越好。
直线回归分析在许多领域都有广泛的应用。
例如，在经济学中，直线回归分析可以用来分析价格与销量之间的关系，帮助企业进行市场预测和决策制定。
医学统计学课件：回归分析
利用逐步回归等方法，选择重要 的自变量，优化模型，提高预测 精度。
生存分析模型
生存分析模型概述
生存分析模型是用于研究生存时间与相关因素 之间关系的一种统计分析方法。
模型的建立与拟合
通过Cox比例风险模型等统计技术，拟合生存分 析模型，并评估模型的拟合效果。
生存曲线与影响因素
利用生存曲线描述生存时间与影响因素之间的关系，并评估不同因素对生存时 间的影响。
正态性
误差项应服从正态分布，即近似于钟形曲线。如 果误差项存在偏离正态分布的情况，需要采取措 施进行调整。
多重共线性诊断
定义：多重共线性是指自变量之间存在 较强的线性相关关系，导致模型估计失 真或不稳定。
特征值：如果特征值接近于0，则表明存 在严重的多重共线性问题。
条件指数：条件指数大于10表明模型受 到多重共线性的影响。
模型构建流程
数据清洗
对数据进行预处理，包括缺失值填充、异常值处理等，以确保数 据的质量和可靠性。
模型构建
根据已知的变量和因变量之间的关系，构建线性回归模型。
模型优化
通过逐步回归等方法对模型进行优化，以提高模型的预测精度和 稳定性。
模型评估指标
拟合优度
通过计算模型的R²值等指标，评估模型对数 据的拟合程度。
回归分析的分类
线性回归分析和非线性回归分析。
线性回归模型
线性回归模型的定义
线性回归模型是一种最常用的回归分析模型，其形式为Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn。
线性回归模型的基本要素
因变量Y，自变量X1, X2, ..., Xn，以及模型中的系数β0, β1, ..., βn。
生存分析模型
生存分析模型概述
生存分析模型是用于研究生存时间与相关因素 之间关系的一种统计分析方法。
模型的建立与拟合
通过Cox比例风险模型等统计技术，拟合生存分 析模型，并评估模型的拟合效果。
生存曲线与影响因素
利用生存曲线描述生存时间与影响因素之间的关系，并评估不同因素对生存时 间的影响。
正态性
误差项应服从正态分布，即近似于钟形曲线。如 果误差项存在偏离正态分布的情况，需要采取措 施进行调整。
多重共线性诊断
定义：多重共线性是指自变量之间存在 较强的线性相关关系，导致模型估计失 真或不稳定。
特征值：如果特征值接近于0，则表明存 在严重的多重共线性问题。
条件指数：条件指数大于10表明模型受 到多重共线性的影响。
模型构建流程
数据清洗
对数据进行预处理，包括缺失值填充、异常值处理等，以确保数 据的质量和可靠性。
模型构建
根据已知的变量和因变量之间的关系，构建线性回归模型。
模型优化
通过逐步回归等方法对模型进行优化，以提高模型的预测精度和 稳定性。
模型评估指标
拟合优度
通过计算模型的R²值等指标，评估模型对数 据的拟合程度。
回归分析的分类
线性回归分析和非线性回归分析。
线性回归模型
线性回归模型的定义
线性回归模型是一种最常用的回归分析模型，其形式为Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn。
线性回归模型的基本要素
因变量Y，自变量X1, X2, ..., Xn，以及模型中的系数β0, β1, ..., βn。
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称预测因子(predictor)，常用x表示。
第一节 直线回归方程的建立
一、直线回归的概念
本章重点介绍两个连续性变量之间的线性依存关系的统 计方法，简称线性回归(linear regression)。
例14.1 某研究欲探讨男性腰围与腹腔内脂肪面积的关系， 对20名男性志愿受试者测量其腰围(cm)，并采用磁共振 成像法测量其腹腔内脂肪面积(cm2)，结果如表14.1所示。 试建立腹腔内脂肪面积( y )和腰围( x )的直线回归方程。
表 20名男性志愿受试者腰围和腹腔内脂肪面积的测量值
为直观理解男性腰围与腹腔内脂肪面积的关系，以 腰围为横轴，腹腔内脂肪面积为纵轴，描出20对数 据散点图如图14.1。
腹腔内脂肪面积 (cm2)
130
120
110
100
90
70
60
75
80
85
90
95
100
图14.1 两变量直线回归关系散点图
第二节 直线回归的统计推断
一、总体回归系数β的假设检验 在简单回归模型中，参数β的意义是： 若自变量x增加一个单位，反应变量y的平均值便增加β。 如果β=0，说明y与x之间并不存在线性关系；反之， β≠0，说明y与x之间存在线性关系。 从β=0的总体中抽样，计算出的样本回归系数 b 很可能 不为零。所以需对样本回归系数 b 进行假设检验。
n20
x1819.8，x2166534.38 y1912.9, y2190252.97, xy176061.42
3. 求回归系数b。
n
( x i x )( yi y )
b i1 n
(xi x )2
i 1
n i 1
xi yi
n i 1
x
i
n
i1
n
n
2
y
i
2 .1 1 0 5 3
n i 1
x
2 i
xi
i 1
n
4. 求回归截距α。
aybx
1819.82.110531912.996.39212
20
20
5. 最小二乘原则下的回归方程。
y ˆ 9 6 .3 9 2 1 2 2 .1 1 0 5 3 x
n
b
( xi x)( yi y)
i 1 n
(xi x)2
l xy l xx
i 1
a y bx
y - yˆ 的意义
y yˆ 残差绝对值: 实测点到直线的纵向距离。
6.5
6.0
5.5
5.0
11
12
13
14
15
16
回归直线的有关性质
直线通过点 x , y
中国医科大学医学 统计学 直线回归
分析
为了研究父亲与成年儿子身高之间的关系，卡尔.皮尔逊 测量了1078对父子的身高。把1078对数字表示在坐标上， 如图。
例如儿子的身高与父亲的身高有着某种依存关系，可以用 回归分析的方法去研究这种关系，即把两个变量间的数 量依存关系用函数形式表示出来，用一个或多个变量去 推测另一个变量的估计值和波动范围，这就是回归分析。
yˆ是与x对应的y的总体均数的估计值。 以x为横坐标,yˆ为纵坐标,上述回归方程在直角坐标系 中的图形是一条直线，斜率为b,截距为a。
直线回归参数的含义
a ：回归直线在轴上的截距。
a>0，表示直线与纵轴的交点在原点的上方； a<0，则交点在原点的下方； a=0，则回归直线通过原点；
b ：回归系数，即直线的斜率。
各实测点到该回归线的纵向距离平方和较到其它任何 直线者为小。
yy ˆ2 y a b x 2
(二) 回归系数的估计方法 例 现以例14.1资料说明建立直线回归方程的具体步骤。 1. 绘制两变量间的散点图，如图14.1所示，观察到二者
存在直线趋势，故可进行直线回归分析。 2. 由样本数据计算如下统计量
yx x
其中， y为个体的因变量值，x为其自变量值，为回 归直线的截距参数，为回归直线的斜率参数，又称回 归系数。
通常情况下，研究者只能获取一定数量的样本数据， 用该样本数据建立的有关 y 依 x 变化的线性表达式称 为回归方程，记为：
yˆ abx 其中,
a与b分别为前一模型参数与的估计；
我们希望得到a和b的适宜值，能使所有n个数据点的
残差平方和达到最小值，则称这一对a和b为和的
最小二乘估计(LSE)。上述使回归残差平方和最小的 策略称为最小二乘原则。即要求：
Y Y ˆ2 Y a b X 2 为 最 小
根据数学上的最小二乘法原理，导出 a 和 b 的算式如下：
例如，我们可以用身高、体重、肺活量的这些容易测 量的指标来估计心室输出量、体循环总血量等相对难 测的指标。
我们把被估计或预测的变量称为因变量(dependent variable)，或称反应变量(response variable)，常用 y 表示； y 所依存的变量称为自变量(independent variable)，或称解释变量(explanatory variable)，或
105 腰围 (cm)
如上图所示，可见散点大致呈直线趋势。
即假设有一条潜在的直线可用来刻画两变量之间的关 系，这样的直线称为回归直线。
通常用 yˆ 来表示回归直线上各点的纵坐标，其数值是
当 x 取某一值时因变量 y 的总体均数的估计值。
在数学上，描述因变量(y)依赖于另一自变量(x)的变化 而变化的方程称为直线回归方程，也称为直线回归模 型，表述为：
>0，表示 y 随 x 增大而增大；
b
YX
b<0，表示 Yy 随 Xx 增大而减小；
b=0，表示直线与轴平行，即Yy 与 Xx 无直线关系。
a>0
a=0
a<0
b的统计学意义 x增(减)一个单位，y 平均改变b个单位。 说明存在回归关系的两变量间依存变化的数量关系。
二、回归方程的估计
(一) 回归方程估计的最小二乘原则
参数α和β一般只能通过用样本数据来估计。
当x取值为xi时，y的平均值的估计值 yˆ i 应为a b xi 而
实际观察值是yi。两者之差为残差，即：
i yi yˆi yi (a bxi )
(i 1, 2, n)
其中，(xi, yi)，i=1, 2, , n为已知的样本数据。
第一节 直线回归方程的建立
一、直线回归的概念
本章重点介绍两个连续性变量之间的线性依存关系的统 计方法，简称线性回归(linear regression)。
例14.1 某研究欲探讨男性腰围与腹腔内脂肪面积的关系， 对20名男性志愿受试者测量其腰围(cm)，并采用磁共振 成像法测量其腹腔内脂肪面积(cm2)，结果如表14.1所示。 试建立腹腔内脂肪面积( y )和腰围( x )的直线回归方程。
表 20名男性志愿受试者腰围和腹腔内脂肪面积的测量值
为直观理解男性腰围与腹腔内脂肪面积的关系，以 腰围为横轴，腹腔内脂肪面积为纵轴，描出20对数 据散点图如图14.1。
腹腔内脂肪面积 (cm2)
130
120
110
100
90
70
60
75
80
85
90
95
100
图14.1 两变量直线回归关系散点图
第二节 直线回归的统计推断
一、总体回归系数β的假设检验 在简单回归模型中，参数β的意义是： 若自变量x增加一个单位，反应变量y的平均值便增加β。 如果β=0，说明y与x之间并不存在线性关系；反之， β≠0，说明y与x之间存在线性关系。 从β=0的总体中抽样，计算出的样本回归系数 b 很可能 不为零。所以需对样本回归系数 b 进行假设检验。
n20
x1819.8，x2166534.38 y1912.9, y2190252.97, xy176061.42
3. 求回归系数b。
n
( x i x )( yi y )
b i1 n
(xi x )2
i 1
n i 1
xi yi
n i 1
x
i
n
i1
n
n
2
y
i
2 .1 1 0 5 3
n i 1
x
2 i
xi
i 1
n
4. 求回归截距α。
aybx
1819.82.110531912.996.39212
20
20
5. 最小二乘原则下的回归方程。
y ˆ 9 6 .3 9 2 1 2 2 .1 1 0 5 3 x
n
b
( xi x)( yi y)
i 1 n
(xi x)2
l xy l xx
i 1
a y bx
y - yˆ 的意义
y yˆ 残差绝对值: 实测点到直线的纵向距离。
6.5
6.0
5.5
5.0
11
12
13
14
15
16
回归直线的有关性质
直线通过点 x , y
中国医科大学医学 统计学 直线回归
分析
为了研究父亲与成年儿子身高之间的关系，卡尔.皮尔逊 测量了1078对父子的身高。把1078对数字表示在坐标上， 如图。
例如儿子的身高与父亲的身高有着某种依存关系，可以用 回归分析的方法去研究这种关系，即把两个变量间的数 量依存关系用函数形式表示出来，用一个或多个变量去 推测另一个变量的估计值和波动范围，这就是回归分析。
yˆ是与x对应的y的总体均数的估计值。 以x为横坐标,yˆ为纵坐标,上述回归方程在直角坐标系 中的图形是一条直线，斜率为b,截距为a。
直线回归参数的含义
a ：回归直线在轴上的截距。
a>0，表示直线与纵轴的交点在原点的上方； a<0，则交点在原点的下方； a=0，则回归直线通过原点；
b ：回归系数，即直线的斜率。
各实测点到该回归线的纵向距离平方和较到其它任何 直线者为小。
yy ˆ2 y a b x 2
(二) 回归系数的估计方法 例 现以例14.1资料说明建立直线回归方程的具体步骤。 1. 绘制两变量间的散点图，如图14.1所示，观察到二者
存在直线趋势，故可进行直线回归分析。 2. 由样本数据计算如下统计量
yx x
其中， y为个体的因变量值，x为其自变量值，为回 归直线的截距参数，为回归直线的斜率参数，又称回 归系数。
通常情况下，研究者只能获取一定数量的样本数据， 用该样本数据建立的有关 y 依 x 变化的线性表达式称 为回归方程，记为：
yˆ abx 其中,
a与b分别为前一模型参数与的估计；
我们希望得到a和b的适宜值，能使所有n个数据点的
残差平方和达到最小值，则称这一对a和b为和的
最小二乘估计(LSE)。上述使回归残差平方和最小的 策略称为最小二乘原则。即要求：
Y Y ˆ2 Y a b X 2 为 最 小
根据数学上的最小二乘法原理，导出 a 和 b 的算式如下：
例如，我们可以用身高、体重、肺活量的这些容易测 量的指标来估计心室输出量、体循环总血量等相对难 测的指标。
我们把被估计或预测的变量称为因变量(dependent variable)，或称反应变量(response variable)，常用 y 表示； y 所依存的变量称为自变量(independent variable)，或称解释变量(explanatory variable)，或
105 腰围 (cm)
如上图所示，可见散点大致呈直线趋势。
即假设有一条潜在的直线可用来刻画两变量之间的关 系，这样的直线称为回归直线。
通常用 yˆ 来表示回归直线上各点的纵坐标，其数值是
当 x 取某一值时因变量 y 的总体均数的估计值。
在数学上，描述因变量(y)依赖于另一自变量(x)的变化 而变化的方程称为直线回归方程，也称为直线回归模 型，表述为：
>0，表示 y 随 x 增大而增大；
b
YX
b<0，表示 Yy 随 Xx 增大而减小；
b=0，表示直线与轴平行，即Yy 与 Xx 无直线关系。
a>0
a=0
a<0
b的统计学意义 x增(减)一个单位，y 平均改变b个单位。 说明存在回归关系的两变量间依存变化的数量关系。
二、回归方程的估计
(一) 回归方程估计的最小二乘原则
参数α和β一般只能通过用样本数据来估计。
当x取值为xi时，y的平均值的估计值 yˆ i 应为a b xi 而
实际观察值是yi。两者之差为残差，即：
i yi yˆi yi (a bxi )
(i 1, 2, n)
其中，(xi, yi)，i=1, 2, , n为已知的样本数据。