河海大学离散数学2005年考研真题
2005年考研数学真题
2005年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim 2+∞→x xx x = . （2） 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为______. （3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=)0,1(dz________.（4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=_____. （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y , 则}2{=Y P =______.（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= ， b= .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设σd y x I D⎰⎰+=221cos,σd y x I D⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则(A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>.(C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ ] （9）设,,2,1,0 =>n a n 若∑∞=1n na发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是(A)∑∞=-112n n a收敛，∑∞=12n na发散 . （B ）∑∞=12n na收敛，∑∞=-112n n a发散.(C))(1212∑∞=-+n n n a a收敛. (D))(1212∑∞=--n n n a a收敛. [ ]（10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是(A) f(0)是极大值，)2(πf 是极小值. （B ） f(0)是极小值，)2(πf 是极大值.（C ） f(0)是极大值，)2(πf 也是极大值. (D) f(0)是极小值，)2(πf 也是极小值.[ ]（11）以下四个命题中，正确的是(A) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B ）若)(x f 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C ）若)(x f '在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. [ ]（12）设矩阵A=33)(⨯ij a 满足T A A =*，其中*A 是A 的伴随矩阵，TA 为A 的转置矩阵. 若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为(A)33. (B) 3. (C) 31. (D)3. [ ]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01=λ. (B) 02=λ. (C) 01≠λ. (D) 02≠λ. [ ]（14） 设一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2,σμ均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20cm x =，样本标准差)(1cm s =，则μ的置信度为0.90的置信区间是(A) )).16(4120),16(4120(05.005.0t t +-(B) )).16(4120),16(4120(1.01.0t t +- (C))).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-(D))).15(4120),15(4120(1.01.0t t +- [ ]三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分） 求).111(lim 0x ex xx --+-→ （16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且)()(),(y x yf x y f y x g +=，求.222222y g y x g x ∂∂-∂∂ （17）（本题满分9分）计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（18）（本题满分9分） 求幂级数∑∞=-+12)1121(n n x n 在区间(-1,1)内的和函数S(x). （19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,0)(≥'x f ,0)(≥'x g .证明：对任何a ]1,0[∈,有⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()(（20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组（i ） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x和（ii ） ⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a,b, c 的值.（21）（本题满分13分）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B C C AD T 为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵. (I) 计算DP P T，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n mE oC A E P 1； （II ）利用(I)的结果判断矩阵C A C B T1--是否为正定矩阵，并证明你的结论. （22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 .,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； （II ） Y X Z -=2的概率密度).(z f Z ( III ) }.2121{≤≤X Y P （23）（本题满分13分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,2σ)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =； （II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov（III ）若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计量，求常数c.2005年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim 2+∞→x xx x = 2 . 【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可. 【详解】 12sinlim 2+∞→x x x x =.212lim 2=+∞→x xx x （2） 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为 2=xy . 【分析】 直接积分即可.【详解】 原方程可化为 0)(='xy ，积分得 C xy =， 代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.（3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=)0,1(dz dy e edx )2(2++ .【分析】 基本题型，直接套用相应的公式即可. 【详解】)1l n (y xe e xzy x y x +++=∂∂++,yx xe y z y x +++=∂∂+11, 于是 =)0,1(dzdy e edx )2(2++.（4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a= 21 . 【分析】 四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.【详解】 由题设，有=1234123121112aa a 0)12)(1(=--a a , 得21,1==a a ，但题设1≠a ，故.21=a（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y , 则}2{=Y P =4813 . 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】 }2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P+}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =.4813)4131210(41=+++⨯ （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= 0.4 , b= 0.1 .【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解】 由题设，知 a+b=0.5又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ， 即 a=))(4.0(b a a ++, 由此可解得 a=0.4, b=0.1二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点.(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ B ]【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.【详解】 12186)(2+-='x x x f =)2)(1(6--x x ，知可能极值点为x=1,x=2，且a f a f -=-=4)2(,5)1(，可见当a=4时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B). （8）设σd y x I D⎰⎰+=221cos ,σd y x I D ⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则(A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>.(C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ A ]【分析】 关键在于比较22y x +、22y x +与222)(y x +在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上的大小. 【详解】 在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上，有1022≤+≤y x ，从而有2212y x +≥>π≥22y x +≥0)(222≥+y x由于cosx 在)2,0(π上为单调减函数，于是22c o s 0y x +≤)c o s (22y x +≤≤222)c o s (y x +因此<+⎰⎰σd y x D22cos<+⎰⎰σd y x D)cos(22σd y x D⎰⎰+222)cos(，故应选(A). （9）设,,2,1,0 =>n a n 若∑∞=1n n a 发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是 (A)∑∞=-112n n a收敛，∑∞=12n na发散 . （B ）∑∞=12n na收敛，∑∞=-112n n a发散.(C))(1212∑∞=-+n n n a a收敛. (D))(1212∑∞=--n n n a a收敛. [ D ]【分析】 可通过反例用排除法找到正确答案.【详解】 取n a n 1=，则∑∞=1n n a 发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，但∑∞=-112n n a与∑∞=12n na均发散，排除(A),(B)选项，且)(1212∑∞=-+n n n a a发散，进一步排除(C), 故应选(D).事实上，级数)(1212∑∞=--n n n a a的部分和数列极限存在.（10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是(B) f(0)是极大值，)2(πf 是极小值. （B ） f(0)是极小值，)2(πf 是极大值.（C ） f(0)是极大值，)2(πf 也是极大值. (D) f(0)是极小值，)2(πf 也是极小值.[ B ]【分析】 先求出)(),(x f x f '''，再用取极值的充分条件判断即可.【详解】 x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，显然 0)2(,0)0(='='πf f ，又 x x x x f s i n c o s)(-=''，且02)2(,01)0(<-=''>=''ππf f ，故f(0)是极小值，)2(πf 是极大值，应选(B).（11）以下四个命题中，正确的是(A) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B ）若)(x f 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（C ）若)(x f '在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. [ C ] 【分析】 通过反例用排除法找到正确答案即可. 【详解】 设f(x)=x 1, 则f(x)及21)(xx f -='均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、(B); 又x x f =)(在（0，1）内有界，但xx f 21)(='在（0，1）内无界，排除(D). 故应选(C).（12）设矩阵A=33)(⨯ij a 满足TA A =*，其中*A 是A 的伴随矩阵，TA 为A 的转置矩阵. 若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为(A)33. (B) 3. (C) 31. (D)3. [ A ]【分析】 题设与A 的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：.**E A A A AA ==.【详解】 由TA A =*及E A A A AA ==**，有3,2,1,,==j i A a ij ij ，其中ij A 为ij a 的代数余子式，且032=⇒=⇒=A A AE A AA T或1=A而03211131312121111≠=++=a A a A a A a A ，于是1=A ，且.3311=a 故正确选项为(A). （13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01=λ. (B) 02=λ. (C) 01≠λ. (D) 02≠λ. [ D ]【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k ， 0)(2221121=++αλαλk k k . 由于21,αα线性无关，于是有⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二： 由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ， 可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(D).（14） 设一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2,σμ均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20cm x =，样本标准差)(1cm s =，则μ的置信度为0.90的置信区间是(A) )).16(4120),16(4120(05.005.0t t +-(B) )).16(4120),16(4120(1.01.0t t +- (C))).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-(D))).15(4120),15(4120(1.01.0t t +- [ C ]【分析】 总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：).1(~--n t ns x μ【详解】 由正态总体抽样分布的性质知，)1(~--n t ns x μ， 故μ的置信度为0.90的置信区间是))1(1),1(1(22-+--n t n x n t nx αα，即)).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-故应选(C).三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分）求).111(lim 0xe x x x --+-→【分析】 ""∞-∞型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解】 )1(1lim )111(lim 200x xx x x e x e x x x e x --→-→-+-+=--+ =2201lim x e x x x x -→+-+ =x e x x x 221lim 0-→-+=.2322lim0=+-→x x e （16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且)()(),(y x yf x y f y x g +=，求.222222yg y x g x ∂∂-∂∂ 【分析】 先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.【详解】 由已知条件可得)()(2y x f x y f xy x g '+'-=∂∂， )(1)()(242322y xf y y x f xy x y f x y x g ''+''+'=∂∂，)()()(1yxf y x y x f x y f x yg '-+'=∂∂， )()()()(13222222y xf yx y x f y x y x f y x x y f x y g ''+'+'-''=∂∂， 所以 222222yg y x g x ∂∂-∂∂ =)()()(2222y x f y x y x f x y x y f x y ''+''+')()(222y x f y x x y f xy ''-''-=).(2xy f x y ' （17）（本题满分9分） 计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】 记}),(,1),{(221D y x y x y x D ∈≤+=，}),(,1),{(222D y x y x y x D ∈>+=，于是σd y x D⎰⎰-+122=⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x ⎰⎰-++2)1(22D dxdy y x=⎰⎰--2021)1(πθrdr r d ⎰⎰-++Ddxdy y x )1(22⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x=8π+⎰⎰⎰⎰---+20102210210)1()1(πθrdr r d dy y x dx =.314-π（18）（本题满分9分） 求幂级数∑∞=-+12)1121(n n x n 在区间(-1,1)内的和函数S(x).【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的.【详解】 设∑∞=-+=12)1121()(n n x n x S ， ∑∞=+=121121)(n n x n x S ，∑∞==122)(n n x x S ，则 )()()(21x S x S x S -=，).1,1(-∈x由于∑∞==122)(n n xx S =221x x -， )1,1(,1))((22121-∈-=='∑∞=x xx xx xS n n , 因此 ⎰-++-=-=xx x x dt t t x xS 022111ln 211)(， 又由于 0)0(1=S ，故.0,1,0,11ln 211)(1=<⎪⎩⎪⎨⎧-++-=x x x x x x S 所以 )()()(21x S x S x S -=.0,1,0,1111ln 212=<⎪⎩⎪⎨⎧---+=x x x x x x （19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,0)(≥'x f ,0)(≥'x g .证明：对任何a ]1,0[∈,有⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 010).1()()()()()( 【分析】 可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论.【详解】 方法一：设=)(x F ⎰⎰-'+'x g x f dt t g t f dt t f t g 010)1()()()()()(， 则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且=')(x F )]1()()[()1()()()(g x g x f g x f x f x g -'='-'，由于]1,0[∈x 时，0)(,0)(≥'≥'x g x f ，因此0)(≤'x F ，即F(x)在[0，1]上单调递减.注意到=)1(F ⎰⎰-'+'1010)1()1()()()()(g f dt t g t f dt t f t g ， 而 ⎰⎰⎰'-=='10101010)()()()()()()()(dt t g t f t f t g t df t g dt t f t g =⎰'-10)()()1()1(dt t g t f g f ，故F(1)=0. 因此]1,0[∈x 时，0)(≥x F ，由此可得对任何]1,0[∈a ，有⎰⎰≥'+'a g a f dx x g x f dx x f x g 010).1()()()()()(方法二：⎰⎰'-='aaa dx x g x f x f x g dx x f x g 000)()()()()()( =⎰'-a dx x g x f a g a f 0)()()()(， ⎰⎰'+'adx x g x f dx x f x g 010)()()()( =⎰⎰'+'-100)()()()()()(dx x g x f dx x g x f a g a f a ⎰'+1.)()()()(a dx x g x f a g a f由于]1,0[∈x 时，0)(≥'x g ，因此)()()()(x g a f x g x f '≥'，]1,[a x ∈，⎰⎰-='≥'1010)]()1()[()()()()(a g g a f dx x g a f dx x g x f ， 从而 ⎰⎰'+'a dx x g x f dx x f x g 010)()()()( ).1()()]()1()[()()(g a f a g g a f a g a f =-+≥（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组（i ） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x和（ii ） ⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a,b, c 的值.【分析】 方程组（ii ）显然有无穷多解，于是方程组（i ）也有无穷多解，从而可确定a ，这样先求出（i ）的通解，再代入方程组（ii ）确定b,c 即可.【详解】 方程组（ii ）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii ）有无穷多解.因为方程组（i ）与（ii ）同解，所以方程组（i ）的系数矩阵的秩小于3.对方程组（i ）的系数矩阵施以初等行变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡20011010111532321a a ， 从而a=2. 此时，方程组（i ）的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000110101211532321， 故T )1,1,1(--是方程组（i ）的一个基础解系.将1,1,1321=-=-=x x x 代入方程组（ii ）可得2,1==c b 或.1,0==c b当2,1==c b 时，对方程组（ii ）的系数矩阵施以初等行变换，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡110101312211， 显然此时方程组（i ）与（ii ）同解.当1,0==c b 时，对方程组（ii ）的系数矩阵施以初等行变换，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡000101202101， 显然此时方程组（i ）与（ii ）的解不相同.综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i ）与（ii ）同解.（21）（本题满分13分）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B CC AD T 为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵. (I) 计算DP P T ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n mE oC A E P 1； （II ）利用(I)的结果判断矩阵C A C B T 1--是否为正定矩阵，并证明你的结论.【分析】 第一部分直接利用分块矩阵的乘法即可；第二部分是讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义.【详解】 (I) 因 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n T mT E A C o E P 1，有 DP P T =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n T m E A C o E 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C C A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n m E o C A E 1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--C A C B o C A T 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n m E oC A E 1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--C A C B o o A T 1. （II ）矩阵C A C B T 1--是正定矩阵.由(I)的结果可知，矩阵D 合同于矩阵.1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-C A C B o o A M T 又D 为正定矩阵，可知矩阵M 为正定矩阵.因矩阵M 为对称矩阵，故C A C B T 1--为对称矩阵. 对T X )0,,0,0( =及任意的0),,,(21≠=T n y y y Y ，有.0)(),(11>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---Y C A C B Y Y X C A C B o o A Y X T T T T T 故C A C B T 1--为正定矩阵. （22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧= 求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；（II ） Y X Z -=2的概率密度).(z f Z( III ) }.2121{≤≤X Y P 【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度; 直接用条件概率公式计算即可.【详解】 （I ） 关于X 的边缘概率密度)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(=.,10,0,20其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰x dy x=.,10,0,2其他<<⎩⎨⎧x x 关于Y 的边缘概率密度)(y f Y =⎰+∞∞-dx y x f ),(=.,20,0,12其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰y dx y =.,20,0,21其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-y y （II ） 令}2{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=，1） 当0<z 时，0}2{)(=≤-=z Y X P z F Z ；2） 当20<≤z 时，}2{)(z Y X P z F Z ≤-= =241z z -; 3) 当2≥z 时，.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z即分布函数为： .2,20,0,1,41,0)(2≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z z z z F Z 故所求的概率密度为：.,20,0,211)(其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z f Z （III ） .4341163}21{}21,21{}2121{==≤≤≤=≤≤X P Y X P X Y P （23）（本题满分13分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,2σ)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =；（II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov（III ）若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计量，求常数c.【分析】 先将i Y 表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质；估计21)(n Y Y c +，利用其数学期望等于2σ确定c 即可.【详解】 由题设，知)2(,,,21>n X X X n 相互独立，且 ),,2,1(,02n i DX EX i i ===σ，.0=X E（I ）∑≠--=-=nij j i i i X n X n D X X D DY ]1)11[()( =∑≠+-n i j j i DXn DX n 221)11(=.1)1(1)1(222222σσσn n n n n n -=-⋅+- （II ） )])([(),(111n n n EY Y EY Y E Y Y Cov --= =)])([()(11X X X X E Y Y E n n --= =)(211X X X X X X X E n n +-- =211)(2)(X E X X E X X E n +-=22121)(][20X E X D X X X E n n j j +++-∑= =.112222σσσn n n -=+- （III ）)(])([121n n Y Y cD Y Y c E +=+ =)],(2[121n Y Y Cov DY DY c ++ =222)2(2]211[σσσ=-=--+-c n n n n n n n c ， 故 .)2(2-=n n c。
2005考研数一真题答案及详细解析
当F(x) 为偶函数时，有 F(— x)=F(x),
于是 F'(- X) • (—1) = F'(x),
即— f(— X) = j(x), 也即八— x) = — f(x),
可见 f(x) 为奇函数；
I: f +-c 勹 反过来，若 f(x) 为奇函数，则 f (t)dt 为偶函数，从而 F(x) = Ct)dt
1
x2
X
2 'xE(—1,1)'
I。厂 r 从而
(17)解
X2 f(x)=2S(x)+
l+x
=2xarctanx
—
lnCl
+x
2
x2 )+
1 +x
2
'
+x)广(x)dx=(x 2 +x)广(x) 3 - (2x+1)广(x)心
�-f'.<zx + 1)广!:)dx"
xE(-1,1).
『+ 。 = — (2x+1)f'(x)
g(�)=f(�)+� — 1=0,
c II)根据拉格朗日中值定理 ， 存在r;E (0,�),1;E C�,1),使得
f'( 1/ )
= J(n
-f(O)
�
l—
=
�
e
'
�' J'烤）＝
J(l) 1
— /CO -�
＝1
-Cl -�) 1—�
＝ 1
�
—
从而
e f' J'(沪
1-� 烤）= �
•
� 1—
(完整版)离散数学题目及答案
数理逻辑习题判断题1．任何命题公式存在惟一的特异析取范式 （ √ ） 2． 公式)(q p p →⌝→是永真式 （ √ ） 3．命题公式p q p →∧)(是永真式 （ √ ） 4．命题公式r q p ∧⌝∧的成真赋值为010 （ × ） 5．))(()(B x A x B x xA →∃=→∀ （ √ ）6．命题“如果1＋2＝3，则雪是黑的”是真命题 （ × ） 7．p q p p =∧∨)( （ √ ）8．))()((x G x F x →∀是永真式 （ × ） 9．“我正在撒谎”是命题 （ × ） 10． )()(x xG x xF ∃→∀是永真式（ √ ）11．命题“如果1＋2＝0，则雪是黑的”是假命题 （ × ） 12．p q p p =∨∧)( （ √ ）13．))()((x G x F x →∀是永假式 （ × ）14．每个命题公式都有唯一的特异（主）合取范式 （ √ ） 15．若雪是黑色的:p ，则q →p 公式是永真式 （ √ ） 16．每个逻辑公式都有唯一的前束范式 （ × ） 17．q →p 公式的特异（主）析取式为q p ∨⌝ （ × ） 18．命题公式 )(r q p →∨⌝的成假赋值是110 （ √ ） 19．一阶逻辑公式)),()((y x G x F x →∀是闭式（ × ）单项选择题1． 下述不是命题的是（ A ）A．花儿真美啊! B．明天是阴天。
C．2是偶数。
D．铅球是方的。
2．谓词公式（∀y）（∀x）（P（x）→R（x,y））∧∃yQ（x,y）中变元y （B）A．是自由变元但不是约束变元B．是约束变元但不是自由变元C．既是自由变元又是约束变元D．既不是自由变元又不是约束变元3．下列命题公式为重言式的是（ A ）A．p→ （p∨q）B．（p∨┐p）→qC．q∧┐q D．p→┐q4．下列语句中不是．．命题的只有（A ）A．花儿为什么这样红？B．2+2=0C．飞碟来自地球外的星球。
2005年全国硕士研究生入学统一考试(数一)试题及答案
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷一、填空题（本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上）（1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________。
（2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________。
（3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(n u∂∂=。
________.（4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧，则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1，2，3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________。
二、选择题（本题共8小题,每小题4分,满分32分。
每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）(7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 （B ）恰有一个不可导点 （C)恰有两个不可导点（D)至少有三个不可导点（8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有(A ）()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 (B ）()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数（C ）()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数 （D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数（9）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ具有一阶导数，则必有（A ）2222y ux u ∂∂-=∂∂(B ）2222yu x u ∂∂=∂∂（C)222yu y x u ∂∂=∂∂∂(D ）222xuy x u ∂∂=∂∂∂(10）设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程（A ）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =（B ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = （C ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα，则1α，12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A ）01≠λ (B ）02≠λ(C)01=λ(D)02=λ(12）设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵，则（A ）交换*A 的第1列与第2列得*B (B ）交换*A 的第1行与第2行得*B (C)交换*A 的第1列与第2列得*-B(D ）交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则（A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == （C ）0.3,0.2a b ==（D)0.1,0.4a b ==（14）设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差,则（A ）)1,0(~N X n(B ）22~()nS n χ(C))1(~)1(--n t SXn （D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三 、解答题（本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （15）(本题满分11分） 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数。
2005年考研数学一真题及答案
2005年考研数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。
答案写在题中横线上）(1)曲线y=x22x+1的斜渐近线方程为。
【答案】y=12x−14【解析】a=limx→∞yx=limx→∞x2(2x+1)x=12b=limx→∞(y−ax)=limx→∞(x22x+1−12x)=limx→∞−x2(2x+1)=−14所以斜渐近线方程为y=12x−14。
综上所述，本题正确答案是y=12x−14。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(2)微分方程xy′+2y=xlnx满足y(1)=−19的解为。
【答案】y=13xlnx−19x【解析】原方程等价于y′+2yx=lnx 所以通解为y=e−∫2x dx[∫lnx∙e∫2x dx dx+C]=1x2∙[∫x2lnx+C]=13xlnx−19x+C1x2将y(1)=−19代入可得C=0综上所述，本题正确答案是y =13xlnx −19x 。
【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程 (3)设函数u (x,y,z )=1+x 26+y 212+z 218,单位向量n =√3{1,1,1}，则ðu ðn |(1,2,3)= 。
【答案】√33。
【解析】 因为 ðu ðx=x 3,ðu ðy =y 6,ðu ðz =z9所以ðuðn |(1,2,3)=13∙√3+13∙√3+13∙√3=√33综上所述，本题正确答案是√33。
【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度 (4)设Ω是由锥面z =√x 2+y 2与半球面z =√R 2−x 2−y 2围成的空间区域，Σ是Ω的整个边界的外侧，则∬xdydz +ydzdx +Σzdxdy = 。
【答案】2π(1−√22)R 3。
【解析】∬xdydz +ydzdx +zdxdy = Σ∭3dxdydz Ω=3∫ρ2dρ∫sinφdφπ40R 0∫dθ=2π2π(1−√22)R 3综上所述，本题正确答案是2π(1−√22)R 3。
2005考研数一真题及解析
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)2(1)曲线V ——的斜渐近线方程为2x 1(2)微分方程xy 2y xlnx满足V(1)1的解为.92 2 2(3)设函数u(x,y,z) 1 .乂三，单位向量n 1{1,1,1},则6 12 18 V3u =n(1,2,3)' ------------------------ '⑷ 设是由锥面z . x2y2与半球面z ■ R2 x2 y2围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则xdydz ydzdx zdxdy .(5)设a, a2, a3均为3维列向量,记矩阵A ( a, a2, a3) ,B (a a2a3, a 2 a2 4 a3, a 3 a29 a3),如果A 1 ,那么|B _—(6)从数1,2,3,4 中任取一个数，记为X ,再从1,2, ,X中任取一个数，记为Y ,贝y P{Y 2} = _______________ .二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)⑺设函数f(x) lim n1 |X3n，则f(x)在(，)内(A)处处可导(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,"M N"表示"M的充分必要条件是N",则必有(A) F(x)是偶函数 f (x)是奇函数(B) F(x)是奇函数f(x)是偶函数(C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数(D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数(9)设函数u(x, y) (x y) (x y) ' (t)dt ,其中函数具有二x y阶导数，具有一阶导数，则必有(A) 2 u 2x 2u2y(B)2u2 x2u2 y2 2 2 2(C) u u (D) u u2 x y y x y x(10)设有三元方程xy zlny e"2 1 ,根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z z(x, y)(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x( y, z)和z z(x, y)(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y y(x, z)和z z(x, y)(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x(y,z)和y y(x,z)(11)设1,2是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为a , a ,则a , A(a a )线性无关的充分必要条件是(B) 2 0 (C) i 0 (D) 2 0(12)设A 为n(n 2)阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B.A *,B *分别为A,B 的伴随矩阵，则(A)交换A *的第1列与第2列得B * 与第2行得B *(C)交换A *的第1列与第2列得B *1行与第2行得B *(C) a 0.3,b 0.2(D) a 0.1,b 0.4 (14)设X 1,X 2,,X n (n 2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为 样本均值，S 2为样本方差，则(A) nX ~ N(0,1)(A) i 0(B)交换A *的第1行(D)交换A *的第(B) nS 2~ 2(n)(13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 (A) a 0.2,b 0.3(B) a 0.4,b 0.1三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤)(15)(本题满分11分)设 D {(x, y) x 2 y 2 %2x 0, y 0}, [1 x 2 y 2]表示不超过 1 x 2 y 2的最大整数.计算二重积分xy[1 x 2 y 2]dxdy.D (C)呼…D (D) (n 1)X ； X i~F(1,n 1)求幂级数m(1)n，(1缶代的收敛区间与和函数f(x).(18)( 本题满分 12 分)已知函数f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f(0)0, f(1) 1. 证明:(1) 存在(0,1), 使得f( ) 1 .(2) 存在两个不同的点, (0,1),使得 f ( )f ( ) 1.(19)(本题满分12分)设函数(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分?L(y)d x 2x ydy的值恒为同一常数.L 2x y(1)证明：对右半平面x 0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有(y)dx 2xydy0.2 2 4■C 2x y(2)求函数(y)的表达式.(20)( 本题满分 9 分)已知二次型 f (x1,x2,x3 ) (1 a)x12 (1 a)x22 2x32 2(1a)x1x2 的秩为2.(1)求a的值；(2)求正交变换x Qy, 把 f (x1,x2,x3 )化成标准形 .⑶求方程f(X i，X2，X3)=0的解•(21)( 本题满分 9 分)已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a,b,c),a,b,c 不全为零, 矩阵123B 2 4 6 ( k为常数),且AB O ,求线性方程组Ax 0的通解.3 6 k(22)(本题满分9分)设二维随机变量(X,Y)的.概率密度为f(x,y)0 x 1,0 y 2x其它求：(1) (X,Y)的边缘概率密度f x(x), f Y(y).(2) Z 2X Y的概率密度f z(z).(23)(本题满分9分)设X i，X2，,X n(n 2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，记丫X i X,i 1,2, ,n.求：(1) Y i 的方差DYj 1,2, , n.(2) Y i 与Y n 的协方差COV(Y,Y n).2005年考研数学一真题解析、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)y —的斜渐近线方程为 y 丄2x 12 4本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可于是所求斜渐近线方程为(1,2,3)u ucos yu cos z因此，本题直接用上述公式即可【分析】函数 u(x,y,z)沿单位向量{cos ,cos ,cos ｝的方向导数为:(1)曲线【分析】【详解】 因为a=lim 上凶xxlim 2x 2x 2 b lim f (x) xaxlim 2(2x 1)(2)微分方程xy 2y xln X 满足 y(1)的解为y 1-xln31 -x.. 9【分析】直接套用一阶线性微分方程yP(x)y Q(x)的通解公式:P (x)dxP(x)dxy e [ Q(x)edx C]，再由初始条件确定任意常数即可【详解】原方程等价为2 y -y xIn x ，于是通解为2dxy e * x[ In x -dxe x dx C]2x ln xdx C]由 y(1)」xln x 31得C=0,故所求解为91 x . 设函数u(x, y, z)2y 12 2z 18单位向量n 1｛1,1,1｝，则祁3【详解】 因为-u x u y u z ，于是所求方向导数为x 3y 6z 9u 1 1 1 1 1 1屈n (1,2,3)333 y[3 3(4)设是由锥面 z Jx2 2y与半球面z <R 2 x 2 y 2围成的空间区域， 是J23xdydz ydzdx zdxdy 2 (1 )R .【分析】本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球 面（或柱面）坐标进行计算即可 •3,1224如果A 1 ,【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式 ，且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分的整个边界的外侧，则【详解】xdydz ydzdx zdxdy 3dxdydz(5)设=3 * 2d442 (1 —)R 3.21, 2, 3均为 3维列向量, 记矩阵【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式, 再用方阵相乘的行列式性质进行计算即 可•【详由题设，有3,13293 )于是有(6) 从数 =(3)2.1,2,3,4中任取一个数，记为 X,再从1,2, ,X 中任取一个数，记为Y 则P{Y 2}=13 48【详解】P{Y 2} = P{X 1}P{Y 2X 1} + P{X 2}P{Y 2X 2}+ P{X 3}P{Y 2X 3} + P{X 4}P{Y 2X 4}1 小 1 1 1、 13=—(0 ——-)——.4二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数f(x) lim n；1 |x|3n，则f(x)在(,)内(A)处处可导•(B)恰有一个不可导点•(C)恰有两个不可导点•(D)至少有三个不可导点•[ C ]【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形【详解】当|x 1时，f(x)lim nhn 'x3n1; 当1x1时，f(x)lim 叮1n1 1;当1x1时，f (x)lim x (n ;13nx1Mi x3.3x , x 1,即f (x) 1, 1 x 1, 可见f(x)仅在x= 1时不可导，故应选(C)3x , x 1x【详解】方法一：任一原函数可表示为F(x) ° f(t)dt C，且F (x) f (x).当F(x)为偶函数时，有F( x) F(x)，于是F ( x) ( 1) F (x)，即f ( x) f(x)，x也即f( x) f (x)，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，贝y °f(t)dt为偶函数，x从而F(x) o f(t)dt C为偶函数，可见(A)为正确选项.1 2方法二：令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=—X ,排除(D);故2 应选(A).x y(9)设函数u(x, y) (x y) (x y) (t)dt,其中函数具有二阶导数，x y(8) 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"M则必有(A) F(x)是偶函数f(x)是奇函数.(B) F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数.N "表示“ M的充分必要条件是N”, 【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案具有一阶导数，则必有2 u 2u2 u 2u(A)2 2・ (B ) 2 2・xyxy2222u uu u(C)2・(D)2・[B ]x y yx yx22u2【分析】 先分别求出-、u u 再比较答案即可.xy 2x y【详解】 因为u(x y) (x y)(x y)(x y),xu (x y)(x y)(x y)(x y),y2于是u 2 x2u (x y) (xy) (x y) (x y),(x y) '(x y)(x y)(x y),x y2u (x y)(x y)(x y)(x y)，y22可见有;2，应选(B).x y(10)设有 三兀方程 xy zln y e xz1，根据隐函数存在定理, 存在点 (0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 可确定两个具有连续偏导数的隐函数个偏导数F z ，F x ，F y ，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0,则可确定相应的隐函数【详解】令 F(x,y,z)=xy zln y e^1,则(A) (B)(C) (D) z=z(x,y). x=x(y,z)和 z=z(x,y). y=y(x,z)和 z=z(x,y).【分析】 本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=xyzln y xze,分别求出三F xxzy e z ,F yx — , F zyxzIn y e x ，别为A,B 的伴随矩阵，则[C ]【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵 的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】由题设，存在初等矩阵 E 12 (交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使E 12A B ，于是 B (E 12A) A E 12A E 12E 12 1A E 12，即y=y(x,z).故应选(D).(11)设1, 2是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为2，则A( 12)线性无关的充分必要条件是(A)10.(B)20. (C) 0.(D)20.由于【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性, 可用定义或转化为求其秩即可 【详解】方法一：令k1 1k ?A(2) 0，k 1 1 k 2 1 1 k 2 2 2(k 1 k 21) 1 k 220.2线性无关，于是有k 1 k 2 1 k 2 0,2 0.0时，显然有k 10,k 2A( 12)线性无关; 反过来,，A( 12)线性无关，则必然有2 0(,否则,1与A( 2)= 1 1线性相关)，故应选(B).方法二:由于[1,A( 12)][2]0 :，可见A( 12)线性无关的充要条件是0.故应选(B).(12)设A 为n(n 2)阶可逆矩阵，交换* *A 的第1行与第2行得矩阵B, A ,B 分(A)交换A *的第1列与第2列得B * .(B)交换A *的第1行与第2行得B * .(C)交换A *的第1列与第2列得 B *. (D) 交换A *的第1行与第2行得 B *.X ^Y0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 (13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 已知随机事件｛X 0}与{X 1｝相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (C) a=0.3, b=0.2 【分析】首先所有概率求和为 式，由此可确定a,b 的取值. 【详解】由题设，知 (B) (D) a=0.4, b=0.1 a=0.1, b=0.4[ B ] 1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等 a+b=0.5又事件｛X 0｝与｛X Y 1｝相互独立，于是有 P{X 0,X Y 1} P{X 0}P{X Y 1}， 即 a=(0.4 a)(a b), 由此可解得 a=0.4, b=0.1,故应选(B). (14)设 X 「X 2， ,X n (n 2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，S 2为样本方差，则 (A) nX ~ N(0,1) (B) nS 2 ~ 2(n). (C)〜(n 1) (D)(n 1)xi 厂nL~F(1,n 1).X i 2i 2【分析】 利用正态总体抽样分布的性质和 2分布、t 分布及F 分布的定义进行讨论即【详解】由正态总体抽样分布的性质知， X 0nX ~ N(0,1)， 可排除 (A)；又X 0Sn 断定(B)是正确选项 乎〜t(n 1)，可排除(C);而3 12(n 1)S 22(n 1)，不能2(1),nX i 2i 22 2(n 1)，且 X 1n2 2 (1)与 X i 〜i 22(n 1)相互独三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、(15)(本题满分11分) 设 D {(x, y)x 2y 2 J2, x 0, y 0} , [1 x 2 y 2]表示不超过 1 x 2 y 2的最大整数.计算二重积分xy[1 x 2 y 2]dxdy.D【分析】 首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可 【详解】令 D 1{(x,y) 0 x 2 y 2 1,x 0,y 0}， D 2 {(x, y) 1 x 2 y 2. 2,x 0,y 0}.2y ]dxdy = xydxdy 2 xydxdyD 1 D 2【分析】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间 .而和函数可利用逐项求导得到 .【详解】 因为lim 91)(2n°1 n(2n 1)1，所以当x 21时，原级数n(n 1)(2 n 1) n(2n 1)1绝对收敛，当x 21时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1,收敛区间为(一1,1)则 S(x) 4 x2n 1,x ( 1,1),n 1 2n 1立, (n 1)X ；~ F(1,n1).故应选(D).X i 22 sin1 3—cos d r dr 2 2sin cos d 00 01 3=8 4(16)(本题满分12分)「『dr求幕级数(1)n 1(1 ——1一)x 2n 的收敛区间与和函数 f(x). n 1 n(2n 1)证明过程或演算步骤.)则 xy[1 x 2DS(x)n 12n (2 n 1)(1,1)，S (x) (1)n 1 2n 2x 1 x2,x(1,1).由于S(0) 0,S(0) 0,(17)(本题满分11分)如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线 h 与丨2分别是曲线C 在点【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可 考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论【详解】(I )令 F(x) f (x) 1 x ，则 F(x)在[0，1]上连续，且 F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在(0,1),使得F( ) 0,即f( ) 1(II )在［0,］和［,1］上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点所以S(x) xS(t)dt从而S(x)xS(t)dtn 1 2n1) xf(x) 2S(x)x1 ,2 dt arctanx, 0 1 t 2xarctantdt x arcta1ln(1 x 2).2x2 ,x1 x(1,1),x 2 1 x 22xarctanx ln(1 x 2)—,x x(1,1). (0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 0(x 2x)f【分析】二阶导数值. (x)dx. 题设图形相当于已知 f(x)在x=0的函数值与导数值, 在x=3处的函数值及一阶、【详解】 由题设图形知，f(0)=0, f (0) 2； f(3)=2, f (3) 2, f (3) 0.由分部积分，知3232(x 2x)f (x)dx 0(x 2x)df (x) (x 2x) f (x)3f (x)(2x 1)dx3(2x 1)df (x) (2x 1)f (x)3f (x)dx=16 2[ f (3) f(0)] 20.(18)(本题满分12分)已知函数f(x)在［0，1］上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1.证明: (I )存在 (0,1),使得 f( ) 1；(II )存在两个不同的点(0,1)，使得 f ( )f ( ) 1.―，使得f（）* ,f（）空宀于是 f ( ) f() f( ) 1 f( ) 1 -11 1（19）（本题满分12分）设函数（y）具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分:（y）dx 27dy的值恒为同一常数.L 2x y（I）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有（y）dX2Xydy0 ；C 2x y（II）求函数（y）的表达式.【分析】证明（I）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（II）中求Q Px yQ2 42y(2x y ) 4xg?xy 4x2y 2y5x 2 4、2 (2x2y4)2（y）的表达式，显然应用积分与路径无关即可【详解】（I）如图，将C分解为：C 11:.(y)dx 2xydyC 2x2 y4(II)设P(y) Q ,24 ,Q2x y由（I）知, 曲线积分(y)dx 2xydy'i '3 2x2 y40(y)dx 2xydy 02 4 0・12 132x2 y2xy2x2(y)dx—,P,Q在单连通区域x 0内具有一阶连续偏导数, y 2孕史在该区域内与路径无关，故当x 0时，总有2x y12，另作一条曲线P (y)(2x 2 y 4) 4 (y)y 32 4、2 (2x y ) 2x 2(y)(y)y 44 (y)y24、2(2x y )3-.②比较①、 ②两式的右端，得 (y) 2y, (y)y 4 4 (y)y 3由③得 (y) y 2c ，将 所以c 2y 5. （y ）代入④得 2y 5 4cy 3 2y 5,0，从而（y ） y 2. （20）（本题满分9分） 已知二次型 f (x 1, x 2 ,x 3) (1 a)x j (1 a)xf 2x f 2(1a)X i X 2的秩为2.(I ) 求a 的值; (II ) 求正交变换x Qy ，把f （x 1,x 2,x 3）化成标准形; (III ) 求方程f (x 1, x 2, x 3) =0的解.【分析】（I ）根据二次型的秩为 2，可知对应矩阵的行列式为 是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换; 利用第二步的结果，通过标准形求解即可 . 二次型对应矩阵为 【详解】（I ） 0,从而可求a 的值; (II )(III)由二次型的秩为2, (II ) 这里A (2E A)x(0E A)x0,得 a=0.可求出其特征值为得特征向量为:得特征向量为:由于1,2已经正交，直接将 22,3.3单位化，得:2 2f(X 1,X 2,X 3)=2y 12y 2.c从而所求解为：x=Qy= 123k3C ，其中c 为任意常数k(21)(本题满分9分)且AB=O,求线性方程组 Ax=0的通解.【分析】AB=O,相当于告之B 的每一列均为 Ax=0的解，关键问题是 Ax=0的基础解系 所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解】 由AB=O 知，B 的每一列均为 Ax=0的解，且r(A) r(B) 3.(1)若 k 9,则 r(B)=2,于是 r(A) 1,显然 r(A)解系所含解向量的个数为 3-r(A)=2,矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系,⑵ 若 k=9,则 r(B)=1,从而 1 r(A) 2.1a0 ,k 1, k 2为任意常数. 1(22)(本题满分9分)1-.2即为所求的正交变换矩阵,x=Qy ,可化原二次型为标准形:2 2(山)由 f (x 1, x 2,x 3) = 2y.j 2y 20,得 y 10, y 2 0, y 3 k ( k 为任意常数)已知3阶矩阵A 的第一行是(a,b, c), a, b,c 不全为零，矩阵B 1 2 32 4 6 ( k 为常数)，3 6 k1,故r(A)=1.可见此时 Ax=0的基础故Ax=0的通解为：x k 1 2k 2 6 , k 1, k 2为任意常数1)若r(A)=2,则Ax=0的通解为：Xk 1 2 *1为任意常数2)r(A)=1,则 Ax=0 的同解方程组为: ax 1 bx 2 CX 3 0,不妨设a 0，则其通解为ak 11 0k 2设二维随机变量(X,丫的概率密度为f (x,y)1,0 x 1,0 y 2x, 0,其他.求：(I ) (X,丫的边缘概率密度f X (x), f Y (y)；(II ) Z 2X Y 的概率密度f z (z).【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般 用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度【详解】(I )关于X 的边缘概率密度2x,0 x 1, =0,其他.关于Y 的边缘概率密度1)当 z 0时，F z (z) P{2X Y z} 0 ； 2)当 0 z 2时，F z (z) P{2X Y z}, z 0,1 2-z ,0 z 2, 41, z 2.1丄乙。
2005年考研数学一真题(含解析)
精品文档2005 年考研数学一真题一、填空题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题中横线上）x 2（ 1）曲线 yの斜渐近线方程为 _____________.2x1（ 2）微分方程 xy 2 yx ln x 满足 y(1)1 の解为 . ____________.9（ 3）设函数u(x, y, z)x 2y 2 z 2 ，单位向量 n1，则112 18 {1,1,1}63un=.________.(1,2 ,3)（ 4）设是由锥面 zx 2 y 2 与半球面 zR 2 x 2y 2 围成の空间区域，是の整个边界の外侧，则xdydz ydzdxzdxdy____________.（5）设 1, 2,3 均为 3 维列向量，记矩阵A (1,2,3)，B (123 ,122 43,1329 3)，如果 A 1，那么 B..（ 6）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为X, 再从 1,2, , X 中任取一个数，记为Y, 则P{ Y2} =____________.二、选择题 （本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分 . 每小题给出の四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前の字母填在题后の括号内）（ 7）设函数 f (x)lim n 1 x3 n，则 f(x) 在 (, ) 内n(A) 处处可导 .(B) 恰有一个不可导点 .(C) 恰有两个不可导点 .(D)至少有三个不可导点 .[]（ 8）设 F(x)是连续函数 f(x) の一个原函数，" MN" 表示“ M の充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x) 是偶函数f(x) 是奇函数 . （ B ） F(x) 是奇函数f(x) 是偶函数 .(C) F(x) 是周期函数 f(x) 是周期函数 .(D)F(x) 是单调函数f(x) 是单调函数 .[]（ 9）设函数 u(x, y)(x y) (xy) x y(t)dt , 其中函数 具有二阶导数，具有一阶导x y数，则必有(A)2u2u.（ B ）2u2ux 2y 2x 2y 2.2u 2u2 u2u..精品文档（ 10）设有三元方程xy zln y e xz 1 ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1) の一个邻域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数の隐函数z=z(x,y).(B)可确定两个具有连续偏导数の隐函数x=x(y,z) 和 z=z(x,y).(C)可确定两个具有连续偏导数の隐函数y=y(x,z) 和 z=z(x,y).(D)可确定两个具有连续偏导数の隐函数x=x(y,z) 和 y=y(x,z).[]（ 11）设1,2是矩阵 A の两个不同の特征值，对应の特征向量分别为1, 2，则1，A( 12 ) 线性无关の充分必要条件是(A)10 .(B)20. (C)10 .(D)20 .[]（ 12）设A为n（n2）阶可逆矩阵，交换 A の第 1 行与第 2 行得矩阵 B,A* , B*分别为A,Bの伴随矩阵，则(A)交换 A*の第1列与第2列得B*.(B) 交换A*の第 1行与第 2行得B*.(C)交换 A*の第 1 列与第 2 列得B*.(D)交换 A*の第 1 行与第 2 行得B*.[]（ 13）设二维随机变量(X,Y)の概率分布为X Y0100.4a1b0.1已知随机事件 { X0} 与{ X Y1} 相互独立，则(A)a=0.2, b=0.3(B)a=0.4, b=0.1(C)a=0.3, b=0.2(D)a=0.1, b=0.4[]（14）设X1, X2,, X n (n2) 为来自总体N(0,1) の简单随机样本，X为样本均值，S2为样本方差，则(A)nX ~ N (0,1)(B)nS2~2 ( n).(C)(n1) X~ t (n1)(D)(n n1)X12~ F (1, n1).[]S X i2i2三、解答题（本题共9 小题，满分 94分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（ 15）（本题满分11 分）设 D{( x, y) x2y 22, x0, y0} ，[1x 2y 2 ] 表示不超过 1x 2y 2の最大整数.计算二重积分xy[1 x2y 2 ]dxdy.D（ 16）（本题满分12 分）精品文档求幂级数( 1)n 1(11 ) x 2nの收敛区间与和函数 f(x).n 1n(2n 1)（ 17）（本题满分 11 分）如图，曲线C の方程为 y=f(x) ，点 (3,2)是它の一个拐点，直线l 1 与 l 2 分别是曲线 C 在点 (0,0)与 (3,2)处32x) f ( x) dx.の切线，其交点为 (2,4). 设函数 f(x) 具有三阶连续导数，计算定积分( x（ 18）（本题满分 12 分）已知函数 f(x) 在 [0， 1]上连续，在 (0,1) 内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明：（ I ）存在(0,1), 使得 f () 1；（ II ）存在两个不同の点,(0,1) ，使得 f ( ) f ( ) 1.（ 19）（本题满分 12 分）设函数( y) 具有连续导数， 在围绕原点の任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分( y)dx 2xydyL2x 2y 4の值恒为同一常数 .（ I ）证明：对右半平面 x>0 内の任意分段光滑简单闭曲线C ，有( y)dx 2xydy 0 ；C2x 2y 4（ II ）求函数 ( y) の表达式 . （ 20）（本题满分 9 分）已知二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) (1 a) x 12 (1 a) x 222x 32 2(1 a)x 1 x 2 の秩为 2.（ I ） 求 a の值；（ II ） 求正交变换 x Qy ，把 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 化成标准形； （ III ） 求方程 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) =0 の解 . （ 21）（本题满分 9 分）12 3已知 3 阶矩阵 A の第一行是 (a,b, c), a,b, c 不全为零， 矩阵 B24 6 （ k 为常数），且 AB=O, 求36 k线性方程组 Ax=0 の通解 ..（ 22）（本题满分 9 分）设二维随机变量 (X,Y) の概率密度为1, 0 x 1,0 y 2x,f ( x, y)0,其他 .求：（ I ） (X,Y) の边缘概率密度 f ( x), f ( y) ；精品文档（ II ）Z 2 X Y の概率密度 f Z ( z).（ 23）（本题满分9 分）设X1,X 2,, Xn(n2)为来自总体N(0,1)の简单随机样本，X为样本均值，记Y i X i X ,i 1,2,, n.求：（ I）Y iの方差 DY i ,i 1,2, , n；（ II ）Y1与Y nの协方差Cov (Y1,Y n).精品文档2005 年考研数学一真题解析一、填空题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题中横线上）（ 1）曲线 yx 2 の斜渐近线方程为 y 1 x1 .2x 124【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】f ( x)limx 21，因为 a= lim x 2x 2 x 2xxblim f ( x) axlimx1 ，xx2( 2x 1)4于是所求斜渐近线方程为y1 x 1 .24（ 2）微分方程 xy2 y x ln x 满足 y(1) 1 1 19の解为 yxln xx. .39【分析 】直接套用一阶线性微分方程yP( x) yQ( x) の通解公式：y e P ( x)dxP( x) dx[ Q(x)edx C ] ，再由初始条件确定任意常数即可.【详解 】 原方程等价为y2y ln x ， x2 2 dx1dxx 2于是通解为xy e[ ln x e dx C ]x 2 [x ln xdx C]= 1x ln x1 xC1，13 9x 21x ln x1x.由 y(1)得 C=0 ，故所求解为 y 939（ 3）设函数 u(x, y, z)1 x 2y 2 z 2，单位向量 n 1{1,1,1} ，则 u612 183 n【分析 】 函数 u(x,y,z)沿单位向量 n {cos , cos , cos } の方向导数为：uucos ucosucosnxyz因此，本题直接用上述公式即可 .【详解】 因为u x ， u y ， uz，于是所求方向导数为=3.(1,2 ,3)3u = 11 1 1 1 1 3 . n(1,2 ,3)33 33 3 33（ 4）设是由锥面 zx 2 y 2 与半球面 zR 2x 2y 2 围成の空间区域，是 の整个边界の外侧，则xdydzydzdx zdxdy2 (12)R 3.2【分析 】本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可 .【详解】xdydz ydzdx zdxdy3dxdydzR 2d 4sin d2 2 (12)R 3.= 3d2（5）设1, 2 , 3 均为 3 维列向量，记矩阵A ( 1, 2, 3)，B ( 123,1224 3 ,13 29 3)，如果 A 1，那么 B2 .【分析 】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵の形式，再用方阵相乘の行列式性质进行计算即可 .【详解】由题设，有B( 123 ,12 24 3 ,132 93)1 1 1 =(1,2,3)123 ，14 91 1 1于是有BA1 2 3 1 2 2.1 4 9（ ）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为X, 再从 1,2, , X 中任取一个数，记为Y,则6P{Y2} =13 .48【分析 】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验の各种两两互不相容の结果即为完备事件组或样本空间の划分 .【详解】P{ Y2}=P{X1}P{Y 2 X 1}+P{X 2}P{Y 2 X2}+ P{X3} P{Y 2 X3}+ P{X4} P{Y2 X4}11 1 1 13=(0).42 3 448二、选择题 （本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分 . 每小题给出の四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前の字母填在题后の括号内）（ 7）设函数 f (x)lim n1 x 3 n ，则 f(x) 在 (,) 内n(A) 处处可导 .(B) 恰有一个不可导点 .(C)恰有两个不可导点 .(D) 至少有三个不可导点.[C]【分析 】 先求出 f(x) の表达式，再讨论其可导情形 .【详解】当x 1 时，( )lim n 13n1 ；f xnx当 x1 时， f ( x)lim n 1 1 1 ；n31 13当 x1 时， f ( x)lim x1)n.(3nxnxx 3 , x 1,即 f ( x)1, 1 x1, 可见 f(x) 仅在 x=1 时不可导，故应选 (C).x 3 ,x 1.（ 8）设 F(x)是连续函数 f(x) の一个原函数， " MN" 表示“ M の充分必要条件是N ”，则必有(B) F(x) 是偶函数f(x) 是奇函数 . （ B ） F(x) 是奇函数f(x) 是偶函数 .(C) F(x) 是周期函数 f(x) 是周期函数 .(D)F(x) 是单调函数f(x) 是单调函数 .[ A]【分析 】 本题可直接推证，但最简便の方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为F ( x)x f (t) dt C ，且 F ( x)f ( x).当 F(x) 为 偶 函 数 时 ， 有 F ( x) F ( x) ， 于 是 F ( x) ( 1) F ( x) ， 即f (x) f ( x) ， 也 即f ( x)f (x) ， 可 见 f(x) 为 奇 函 数 ； 反 过 来 ， 若 f(x) 为 奇 函 数 ， 则xf (t )dt为偶函数，从而x f (t )dt C 为偶函数，可见 (A) 为正确选项 .F (x)方法二：令 f(x)=1,则取 F(x)=x+1,排除 (B)、 (C); 令 f(x)=x, 则取 F(x)=1x 2 , 排除 (D); 故应选 (A).2（ 9）设函数 u(x, y)(xy)(xy)x y (t)dt ,x y其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有(A)2u2u（B ）2u2ux2y2 .x 2y 2.2u2u2u2 u.【分析】先分别求出2 u、2u2u，再比较答案即可 .x 2 、x yy 2【详解】因为u (x y)(xy)( xy)(x y) ，xu (xy)(x y)(xy)(x y) ，y于是2u( x y)(x y)( x y)( x y) ，x22u( x y) ( x y)( x y)( x y) ，x y2u( x y)( xy)(xy)(x y) ，y22u2u，应选 (B).可见有y 2x 2（ 10）设有三元方程 xyzln ye xz1，根据隐函数存在定理，存在点内该方程精品文档(0,1,1) の一个邻域，在此邻域(E) 只能确定一个具有连续偏导数の隐函数 z=z(x,y).(F) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数 x=x(y,z) 和 z=z(x,y). (G)可确定两个具有连续偏导数の隐函数 y=y(x,z) 和 z=z(x,y).(H) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数x=x(y,z) 和 y=y(x,z).[ D ]【分析 】 本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)= xy z ln ye xz1 , 分别求出三个偏导数F z , F x , F y ，再考虑在点 (0,1,1) 处哪个偏导数不为0，则可确定相应の隐函数 .【详解 】 令 F(x,y,z)= xyzln ye xz1 , 则F xy e xzz ， F yxz， F zln y e xz x ，y且 F x (0,1,1) 2 ， F y (0,1,1) 1， F z (0,1,1)0 . 由此可确定相应の隐函数x=x(y,z) 和 y=y(x,z). 故应选(D).（ 11）设 1, 2 是矩阵 A の两个不同の特征值， 对应の特征向量分别为1,2，则 1，A( 1 2 ) 线性无关の充分必要条件是(A) 0.(B)0.(C)0.(D)0.[ B ]【分析】讨论一组抽象向量の线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令k1 1k2 A(1 2)0 ，则k1 1k2 1 1k2 2 20 ，( k1k2 1)1k2 2 20 .由于1, 2线性无关，于是有k1k2 10, k220.当20时，显然有 k10, k20 ，此时1，A(12 )线性无关；反过来，若1，A( 12)线性无关，则必然有20(,否则， 1 与A(12)= 11线性相关 )，故应选 (B).方法二：由于[ 1,A(12)] [1,1122][1,2]11，21可见1，A( 12 ) 线性无关の充要条件是010.故应选(B).22（ 12）设A为n（n 2 ）阶可逆矩阵，交换 A の第 1 行与第 2 行得矩阵B,A* , B*分别为A,Bの伴随矩阵，则(B)交换 A*の第1列与第2列得 B*.(B) 交换A*の第 1行与第 2行得B*.(C)交换 A*の第1列与第2列得B*.(D) 交换A*の第 1行与第 2行得B*.[C]【分析】本题考查初等变换の概念与初等矩阵の性质，只需利用初等变换与初等矩阵の关系以及伴随矩阵の性质进行分析即可 .【详解】由题设，存在初等矩阵E12（交换n阶单位矩阵の第 1 行与第 2 行所得），使得E12A B，于是B*(E12 A)*A* E*A*1A*E12，即12E12E12A* E12B*,可见应选 (C).（ 13）设二维随机变量(X,Y)の概率分布为X Y0100.4a1b0.1已知随机事件 { X0} 与{X Y1} 相互独立，则(B)a=0.2, b=0.3(B)a=0.4, b=0.1(C)a=0.3, b=0.2(D)a=0.1, b=0.4[B]【分析】首先所有概率求和为1，可得 a+b=0.5, 其次，利用事件の独立性又可得一等式，由此可确定a,b の取值 .【详解】由题设，知a+b=0.5又事件 {X0}与{X Y1} 相互独立，于是有P{X 0,X Y1} P{X0}P{X Y1} ，即a= (0.4a)(a b) ,由此可解得a=0.4, b=0.1,故应选 (B).（14）设X1, X2,, X n (n2) 为来自总体N(0,1) の简单随机样本，X 为样本均值，S2为样本方差，则(B)nX ~ N (0,1)(B)nS2 ~2 ( n).(C)(n1) X~ t (n 1)(D)(n n1)X12~ F (1, n 1).[D]S X i2i2【分析】利用正态总体抽样分布の性质和2分布、 t 分布及 F 分布の定义进行讨论即可 .【详解】由正态总体抽样分布の性质知，X0nX ~ N (0,1)，可排除 (A); 1n又选项 .X 0nX~ t(n1) ，可排除(C);而(n 1) S2(n 1) S2 ~2 (n 1) ，不能断定(B)是正确S S12nn n因为X12 ~2 (1),X i2 ~2 (n1)，且X12~2 (1)与 X i2 ~2 (n1)相互独立，于是i2i 2X121( n1)X 121).故应选 (D).n n~ F (1, nX i2X i2i 2ni2 1三、解答题（本题共9 小题，满分94 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（ 15）（本题满分11 分）设 D{( x, y) x2y 22, x0, y 0} ，[1 x 2y 2 ] 表示不超过 1x 2y 2の最大整数.计算二重积分 xy[1x2y 2 ]dxdy.D【分析】首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】令{(, )0221,0,0}，D1x y x yx y精品文档D 2{( x, y) 1 x 2 y 22 , x 0, y 0} . 则xy[1 x 2y 2 ]dxdy =xydxdy 2xydxdyDD 1D 22sin cos d 1 3 dr 2 2sin cos d2 3drr r 01= 13 7 .84 8（ 16）（本题满分 12 分）求幂级数( 1)n 1 (11 ) x 2n の收敛区间与和函数 f(x).n 1n(2n 1)【分析 】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到 .【详解】 因为 lim( n1)(2n 1) 1n(2n 1) 1 ，所以当 x 2 1时，原级数绝对收敛， 当 x 2 1n(n 1)(2n 1)n(2n 1) 1时，原级数发散，因此原级数の收敛半径为1，收敛区间为（－ 1,1）记S( x)( 1n )1 2n ，1 2n ( n2 x , x ( 1 , 1 )n1 )则S ( x)( 1)n 1 x 2 n 1, x ( 1,1)，n 1 2n 1S ( x)(1)n 1 x 2 n 21 12 , x (1,1).n 1x由于 S( 0 )S0 ,( 0 )所以xx 1S (x) 0 S (t )dt1t 2 dtarctanx,1ln(1S( x)xS (t) dtxx arctanxx 2 ).arctantdt2又( 1)n 1 x 2 n1 x2 2 , x ( 1,1),n 1x从而f ( x)2S (x )x 21 x 22x arctan xln(12x 22 , x ( 1,1).x ) 1 x（ 17）（本题满分 11 分）如图，曲线 C の方程为 y=f(x) ，点 (3,2)是它の一个拐点，直线 l 1 与 l 2 分别是曲线 C 在点 (0,0)与 (3,2)处精品文档(2,4). 设函数 f(x) 具有三阶连续导数，计算定积分3x) f( x) dx.の切线，其交点为( x 2【分析】题设图形相当于已知f(x) 在 x=0 の函数值与导数值，在 x=3 处の函数值及一阶、二阶导数值 .【详解】由题设图形知， f(0)=0,f( 0) 2 ; f(3)=2, f (3)2, f(3)0.由分部积分，知3x) f(x)dx3x)df( x)( x2x) f33(x)(2x1)dx(x 2( x2( x)f000031)df( x)(2x1) f33 f ( x)dx=( 2x(x)2000= 162[ f (3) f (0)]20.（ 18）（本题满分 12 分）已知函数 f(x) 在 [0， 1]上连续，在 (0,1) 内可导，且 f(0)=0,f(1)=1.证明：（ I）存在(0,1), 使得 f ()1；（ II ）存在两个不同の点,(0,1)，使得 f () f () 1.【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数の介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】（ I）令F (x) f ( x) 1 x ，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0, 于是由介值定理知，存在(0,1),使得 F()0，即 f ( )1.（II）在[0,] 和 [,1] 上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同の点(0, ),( ,1)，使得 f (f () f (0)()f (1) f ())0，f1于是 f ( ) f( )f ( ) 1 f ()11.11（ 19）（本题满分12 分）设函数 ( y) 具有连续导数，在围绕原点の任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分( y)dx 2xydy2x2y4Lの值恒为同一常数 .（ I）证明：对右半平面 x>0 内の任意分段光滑简单闭曲线C，有( y)dx 2xydy0 ；C2x2y4（II ）求函数( y)の表达式 .【分析】证明（ I ）の关键是如何将封闭曲线C 与围绕原点の任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分の可加性将C 进行分解讨论；而（ II ）中求( y) の表达式，显然应用积分与路径无关即可.Y【详解】 （I ）l 1l 2Co Xl 3如图，将 C 分解为： Cl 1 l 2 ，另作一条曲线 l 3 围绕原点且与 C 相接，则( y)dx 2x y d yl 1 l 3 ( y)dx 2x y d yl 2 l( y)dx 2x y d y0 .C2x 2y 42x 2 y 432x 2 y 4（II ） 设 P( y), Q2xy， P, Q 在单连通区域x 0 内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，2x 2 y 42y 42x曲线积分( y) dx2xydy在该区域内与路径无关，故当x 0 时，总有Q P .L2x 2y 4xyQ 2 y(2 x 2y 4 ) 4x 2xy4x 2 y 2 y 5x(2 x2y 4 )2(2 x2y 4 ) 2 ,①P ( y)(2 x 2y 4 ) 4 ( y) y 32x 2 ( y)( y) y 44 ( y) y 3y(2 x 2 y 4 )2(2 x 2 y 4 ) 2. ②比较①、②两式の右端，得( y) 2 y,③( y) y 44 ( y) y 3 2y5 . ④由③得 ( y)y 2 c ，将 ( y) 代入④得2 y 5 4cy3 2 y 5 ,所以 c0 ，从而( y)y 2 .（ 20）（本题满分 9 分）已知二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 )(1 a) x 12 (1 a) x 22 2x 32 2(1 a)x 1 x 2 の秩为 2.（ I ） 求 a の值；（ II ） 求正交变换 x Qy ，把 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 化成标准形；（ III ） 求方程 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) =0 の解 .【分析】 （ I ）根据二次型の秩为2，可知对应矩阵の行列式为0，从而可求 a の值；（II ）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换；（ III ）利用第二步の结果，通过标准形求解即可 .【详解 】 （ I ） 二次型对应矩阵为1 a 1 a 0 A 1 a1 a0 ，0 21 a1 a 0 由二次型の秩为2，知A1 a1 a0 0，得 a=0.21 1 0（II ）这里A 11 0 ， 可求出其特征值为 122, 3 0 .0 0 2解 ( 2E A) x 0 ，得特征向量为：解 (0E A) x 0 ，得特征向量为：111, 20 ， 0113 1 .由于1, 2 已经正交，直接将1 ,2，3 单位化，得：110 111 1 ,20 , 3 12 21令 Q123，即为所求の正交变换矩阵，由 x=Qy ，可化原二次型为标准形：f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 2 y 12 2 y 22 .（ III ） 由 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 2 y 122 y 220，得 y 1 0, y 2 0, y 3k （ k 为任意常数） .c从而所求解为： x=Qy=1230 k 3c ，其中 c 为任意常数 .k（ 21）（本题满分 9 分）1 2 3已知 3 阶矩阵 A の第一行是 (a,b, c), a,b, c 不全为零， 矩阵 B2 4 6 （ k 为常数），且 AB=O, 求36 k线性方程组 Ax=0の通解 .【分析 】 AB=O, 相当于告之 B の每一列均为 Ax=0 の解，关键问题是 Ax=0 の基础解系所含解向量の个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A の秩.【详解 】 由 AB=O 知， B の每一列均为 Ax=0 の解，且 r ( A) r ( B) 3.（ 1）若 k9 , 则 r(B)=2, 于是 r(A)1, 显然 r(A) 1, 故 r(A)=1.可见此时 Ax=0 の基础解系所含解向量の个数为3-r(A)=2, 矩阵 B の第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 の通解为：13x k 1 2k 2 6 , k 1 , k 2 为任意常数 .3k(2) 若 k=9 ，则 r(B)=1, 从而 1 r ( A) 2.11） 若 r(A)=2, 则 Ax=0 の通解为： xk 1 2 , k 1 为任意常数 .32） 若 r(A)=1, 则 Ax=0の 同 解 方 程 组 为 ： ax 1 bx 2 cx 30 , 不 妨 设 a 0 , 则 其 通 解 为b caax k 1 1k 2 0 , k 1 , k 2 为任意常数 .0 1（ 22）（本题满分 9 分）设二维随机变量 (X,Y) の概率密度为1, 0 x 1,0 y 2x, f ( x, y)其他 .0,求：（ I ） (X,Y) の边缘概率密度 f X ( x), f Y ( y) ；（II ） Z2 X Y の概率密度 f Z ( z).【分析 】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数の概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应の概率密度.【详解 】 （ I ） 关于 X の边缘概率密度2xx1,f X (x) =f ( x, y)dy =dy,0其他 .0,2x, 0 x 1, =其他 .0,关于 Y の边缘概率密度1f Y ( y) =ydx, 0y 2, f ( x, y) dx = 20,其他 .精品文档1y,0y2,=2其他 .0,（ II ）令F Z( z)P{ Z z}P{ 2X Y z} ，1）当z0 时，F Z( z)P{ 2X Y z} 0 ；2）当0z 2 时，F Z( z) P{ 2 X Y z}= z 1 z2;43)当 z 2 时，F Z(z)P{ 2X Y z} 1.0,z0,即分布函数为：F Z ( z)z1z2 , 0 z2,4z 2.1,故所求の概率密度为： f Z (z)11z, 0z2,2其他.0,（ 23）（本题满分9 分）设 X1, X2,, X n (n2)为来自总体N(0,1)の简单随机样本，X为样本均值，记Y i X i X ,i1,2,, n.求：（ I）Y iの方差DY i,i1,2,, n；（II ）Y1与Y nの协方差Cov (Y1,Y n).【分析】先将 Y i表示为相互独立の随机变量求和，再用方差の性质进行计算即可；求Y1与 Y nの协方差 Cov(Y1 ,Y n ) ，本质上还是数学期望の计算，同样应注意利用数学期望の运算性质.【详解】由题设，知 X1, X2,, X n (n 2)相互独立，且EX i 0, DX i1(i1,2,, n) ， EX 0.（ I）DY i D ( X i X )1) X i1nD[(1X j ]n n j i= (11) 2 DX i 1 n DX j n n2j i精品文档(n 1) 21(n n1=n 2n21).n（ II ）Cov(Y1,Y n)E[( Y1EY1 )(Y n EY n )]= E(Y1Y n)E[( X1X )( X n X )]= E( X1X n X 1 X X n X X 2 )= E( X1X n) 2E( X1X ) EX22E[ X12n= 0X 1 X j ] D X ( EX ) 2 n j 2=211.n n n。
离散数学考研试题及答案
离散数学考研试题及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1. 在集合论中，集合A和集合B的交集表示为：A. A∪BB. A∩BC. A-BD. A∘ B答案：B2. 以下哪个命题是真命题？A. 所有天鹅都是白色的。
B. 至少有一只天鹅是白色的。
C. 存在一只天鹅不是白色的。
D. 所有天鹅都不是白色的。
答案：B3. 在图论中，一个图中的顶点的度定义为：A. 与该顶点相连的边的数量B. 该顶点的出度C. 该顶点的入度D. 与该顶点相连的顶点的数量答案：A4. 以下哪个是二元关系R的自反性？A. 对于所有x，(x, x)∈RB. 对于所有x，(x, x)∉RC. 对于所有x和y，(x, y)∈RD. 对于所有x和y，(x, y)∉R答案：A5. 布尔代数中，逻辑与操作表示为：A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果一个集合有n个元素，那么它的子集个数为2^n。
2. 在命题逻辑中，一个命题的否定记作¬P。
3. 一个有向图中的环是指一个起点和终点相同的路径。
4. 一个图G是连通的，如果对于任意两个顶点，都存在一条路径连接它们。
5. 在布尔代数中，德摩根定律表明：¬(P∧Q) = ¬P∨¬Q。
三、解答题（每题10分，共20分）1. 给定一个集合A={1, 2, 3, 4}，请列出它的所有子集。
答案：∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}2. 证明：对于任意命题P和Q，(P→Q)∧(Q→P)等价于P⇔Q。
答案：证明略。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：对于任意的集合A和B，(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)。
答案：证明略。