西安交大离散数学复试题
离散数学复习题含答案
离散数学复习题含答案1. 集合论基础集合A和集合B的交集表示为A∩B，它包含所有既属于A又属于B的元素。
请写出集合{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的交集。
答案：{2, 3}2. 逻辑运算设命题p为“今天是周一”，命题q为“明天是周三”。
请判断复合命题“p且q”的真值。
答案：假3. 图论初步在无向图中，若存在一条路径使得起点和终点相同，则称该图为欧拉图。
请判断一个有5个顶点且每个顶点的度均为2的无向图是否一定是欧拉图。
答案：是4. 组合数学从5个不同的球中选取3个，有多少种不同的选取方法？答案：10种5. 布尔代数在布尔代数中，逻辑或运算符表示为∨，逻辑与运算符表示为∧。
请计算表达式(A∨B)∧(¬A∨¬B)的值。
答案：¬(A∧B)6. 归纳与递归给定递归关系式T(n) = 2T(n-1) + 1，初始条件为T(1) = 1，求T(3)的值。
答案：T(3) = 2T(2) + 1 = 2(2T(1) + 1) + 1 = 2(2*1 + 1) + 1 =2(3) + 1 = 77. 有限状态机在有限状态机中，状态转移可以通过一个转移函数来描述。
若状态转移函数定义为δ(q, a) = q'，其中q和q'是状态，a是输入符号，请说明该函数的作用。
答案：该函数定义了在给定当前状态q和输入符号a的情况下，有限状态机将转移到新的状态q'。
8. 正则表达式正则表达式用于描述字符串的模式。
请写出匹配任意长度的数字串的正则表达式。
答案：\d*9. 命题逻辑命题逻辑中的等价关系是指两个命题逻辑表达式在所有可能的真值赋值下具有相同的真值。
请判断命题p∨¬p和命题¬(p∧¬p)是否等价。
答案：是10. 树的遍历在计算机科学中，树的遍历有前序、中序和后序三种方式。
请简述后序遍历的步骤。
答案：后序遍历的步骤是先访问左子树，然后访问右子树，最后访问根节点。
西安交通大学15年7月课程考试《离散数学》作业考核试题标准答案
证明:
(1) 封闭性
(2) 可以结合性
(3) 幺元 e*=u. 事实上, g*e*=g*u=g·u-1·u=g·e=g e**g=u*g=u·u-1·g=e·g=g
(4) 逆元
对于∀g∊G,
在代数运算*下的逆元记为
g -1 *
于是,
g*-1=u·g-1·u 这里, g-1 是在代数运算·下的逆元
以下内容可以删除： （一）非标准劳动关系产生的原因
非标准劳动关系是从标准劳动关系发展而来。标准劳动关系是一种典型的劳动契约关系， 产生于资本主义社会，并一直延续至今。自 20 世纪 60 年代始，随着经济的迅速发展，信息技 术的普遍应用，各国的产业结构和知识结构发生了巨大变化，进而要求劳动力作为生产要素流 动性增强，灵活就业、弹性就业需求增大。因为，在工业、机械制造业占主导的产业结构模式 下，固定用工制度、长期就业合同是主流的用工和就业形式，但随着商业、服务业的不断扩大， 简单、统一的传统就业形式已经不能满足劳动关系双方主体的自身需求，取而代之的应是形式 灵活、富于弹性的就业形式，非标准劳动关系也就应运而生。一方面，企业可以根据市场的需 求变化，通过灵活多样的用工形式来雇佣非核心员工，弹性用工能够降低企业劳动力成本，提 高企业竞争力，追逐利益最大化。“企业想要更好的迎接全球化带来的巨大的挑战，人力资源的 运用必须要有弹性，也就是劳动弹性化。”
公理 B 代入 公理 D 代入 公理 C (4)(5)分离 (5)(6)分离
(8) (pq) ((qp) (pq))
公理 A
(9) (p(p∨p)) (((p∨p)p) (p(p∨p))) 代入
离散数学09(AB)
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或者
七(12%) 带权图(网络拓扑图)如下图所示。 6 (1) ( %)请用Dijkstra算法求从结点v 1 到结点v4 的所有最短路； 6 (2) ( %)给出此图所有最优树（最小成生成树） 。 （４棵）
v1 50 v6 25 10 v5 25 25 55 v4 25 v3 10 15 25 v2 10
v6(4)
v7(6)
v8(5) (a)
v9(5)
v10(4)
(b)
七(12%) 带权图(网络拓扑图)如下图所示。 (1) 请用Dijkstra算法求从结点v 1 到结点v4 的所有最短路； (2) 给出此图所有最优树（最小成生成树） 。
v1 50 v6 25 10 v5 25 25 55 v4 25 v3 10 15 25 v2 10
v6(4)
v7(6)
v8(5) (a)
v9(5)
v10(4)
(b)
[解]. (１) (４%)图(a)是平面图，对图(a) 采用拉边法可得下图：
v1(3)
v2(5)
v3(7)
v4(6)
v5(3)
v6(4)
v7(6)
v8(5) (b)
v9(5)
v10(4)
(２) (４%) 给彼得森图(a)至少增加五条边，才能使它成为一个欧拉图。
一(30%)、请判断下述诸命题的正确性，并将判断结果真（T）或假（F）直接 填在（本页上）各对应题号前的括号中。 题号 结论 题号 结论 1 F 9 T 2 T 10 T 3 T 11 F 4 T 12 F 5 F 13 F 6 T 14 F 7 F 15 T 8 F
二(11%)设集合A是非空集合，R 1 和R 2 是A上的二元关系，R 1 是自反的和传递的， 并且R 2 满足：(x,y) ∈ R 2 ⇔ (x,y) ∈ R 1 ∧ (y,x) ∈ R 1 1） 证明：R 2 是A上的等价关系。 2） R 1 ∪R 2 是A上的半序关系吗？请说明理由。 (1) [证]. (8%) 证法一： (a) R 2 是自反的(2%) 对于任何a∈ A，由R 1 及R 2 的自反性，可得(a, a)∈ R 1 且(b, b)∈ R 2 ，因此由R 2 的定义，可知(a, b) ∈ R 2 。 (b) R 2 是反对称的(3%) 对任何(a, b)∈ R 2 ，由R 2 的定义，可知(a, b)∈ R 1 且(b, a)∈ R 1 ，可得(b, a)∈ R 1 且(a, b)∈ R 1 ，由R 2 的定义，可得(b, a)∈ R 2 。 (c) R 2 是传递的(3%) 对任何(a,b)∈ R 2 及(b,c)∈ R 2 ，由R 2 的定义，可知(a,b)∈ R 1 且(b, a)∈ R 1 及(b,c)∈ R 1 且(c,b)∈ R 1 。利用R 12 的传递性，可得(a,c)∈ R 1 及(c,a)∈ R 1 。再次利用R 2 的定义， 可得(a,c)∈ R 2 。 综上所述，可知R ２ 是A上的等价关系。 (2)[解].(3%)。R 1 ∪R 2 不是A上的半序关系。R 1 、R 2 都是Ａ上的自反关系，R 1 ∪R 2 也是 Ａ上的自反关系，R 1 ∪R 2 的反对称性无法判定，R 1 ∪R 2 不是Ａ上的传递关系。
《离散数学》复习题及答案
页眉内容《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）PP⌝P→⌝↔（4）QQ→⌝（2）QP⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学考研试题及答案
离散数学考研试题及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1. 在集合论中，集合A和集合B的交集表示为：A. A∪BB. A∩BC. A-BD. A∘ B答案：B2. 以下哪个命题是真命题？A. 所有天鹅都是白色的。
B. 至少有一只天鹅是白色的。
C. 存在一只天鹅不是白色的。
D. 所有天鹅都不是白色的。
答案：B3. 在图论中，一个图中的顶点的度定义为：A. 与该顶点相连的边的数量B. 该顶点的出度C. 该顶点的入度D. 与该顶点相连的顶点的数量答案：A4. 以下哪个是二元关系R的自反性？A. 对于所有x，(x, x)∈RB. 对于所有x，(x, x)∉RC. 对于所有x和y，(x, y)∈RD. 对于所有x和y，(x, y)∉R答案：A5. 布尔代数中，逻辑与操作表示为：A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果一个集合有n个元素，那么它的子集个数为2^n。
2. 在命题逻辑中，一个命题的否定记作¬P。
3. 一个有向图中的环是指一个起点和终点相同的路径。
4. 一个图G是连通的，如果对于任意两个顶点，都存在一条路径连接它们。
5. 在布尔代数中，德摩根定律表明：¬(P∧Q) = ¬P∨¬Q。
三、解答题（每题10分，共20分）1. 给定一个集合A={1, 2, 3, 4}，请列出它的所有子集。
答案：∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}2. 证明：对于任意命题P和Q，(P→Q)∧(Q→P)等价于P⇔Q。
答案：证明略。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：对于任意的集合A和B，(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)。
答案：证明略。
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、选择题1. 关于图论的基本概念，以下哪个说法是正确的？A. 无向图中的边无方向性，有向图中的边有方向性。
B. 有向图中的边无方向性，无向图中的边有方向性。
C. 无向图和有向图都是由顶点和边组成的。
D. 无向图和有向图都只由边组成。
答案：A2. “若顶点集合为V，边集合为E，那么图G可以表示为G(V, E)”是关于图的哪个基本概念的描述？A. 图的顶点B. 图的边C. 图的邻接D. 图的表示方法答案：D3. 以下哪个命题是正确的？A. 若集合A和B互相包含，则A和B相等。
B. 若集合A和B相交为空集，则A和B相等。
C. 若集合A和B相等，则A和B互相包含。
D. 若集合A和B相等，则A和B相交为空集。
答案：C二、填空题1. 有一个集合A = {1, 2, 3, 4}，则集合A的幂集的元素个数为__________。
答案：162. 设A = {a, b, c}，B = {c, d, e}，则集合A和B的笛卡尔积为__________。
答案：{(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e), (c, c), (c, d), (c, e)}3. 若p为真命题，q、r为假命题，则合取范式(p ∨ q ∨ r)的值为__________。
答案：真三、计算题1. 计算集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {3, 4, 5, 6}的交集、并集和差集。
答案：交集：{3, 4}并集：{1, 2, 3, 4, 5, 6}差集：{1, 2}2. 计算下列命题的真值：(~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)，其中p为真命题，q为假命题。
答案：真四、证明题证明：对于任意集合A和B，如果A和B互相包含，则A和B相等。
证明过程：假设A和B互相包含，即A包含于B且B包含于A。
设x为集合A中的任意元素，则x也必然存在于集合B中，即x属于B。
同理，对于集合B中的任意元素y，y也属于集合A。
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是离散数学的研究对象？A. 图论B. 组合数学C. 微积分D. 逻辑学答案：C2. 在逻辑学中，下列哪个命题是真命题？A. 如果今天是周一，那么明天是周二。
B. 如果今天是周一，那么明天是周三。
C. 如果今天是周一，那么明天是周四。
D. 如果今天是周一，那么明天是周五。
答案：A3. 在集合论中，下列哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 在图论中，下列哪个术语描述的是图中的顶点集合？A. 边B. 路径C. 子图D. 顶点答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个集合A包含5个元素，那么它的子集个数是______。
答案：322. 在逻辑学中，如果命题P和命题Q都是真命题，那么复合命题“P且Q”的真值是______。
答案：真3. 在图论中，如果一个图的顶点数为n，那么它的最大边数是______。
答案：n(n-1)/24. 如果一个二叉树的深度为3，那么它最多包含______个节点。
答案：7三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的连通性，并给出一个例子。
答案：图的连通性是指在图中任意两个顶点之间都存在一条路径。
例如，在一个完全图K3中，任意两个顶点之间都可以通过一条边直接连接，因此它是连通的。
2. 解释什么是逻辑蕴含，并给出一个例子。
答案：逻辑蕴含是指如果一个命题P为真，则另一个命题Q也必须为真。
例如，命题P：“如果今天是周一”，命题Q：“明天是周二”。
如果今天是周一，那么根据逻辑蕴含，明天必须是周二。
3. 请描述什么是二叉搜索树，并给出它的一个性质。
答案：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中每个节点的左子树只包含小于当前节点的数，右子树只包含大于当前节点的数。
它的一个性质是中序遍历可以得到一个有序序列。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个集合A={1, 2, 3, 4, 5}，请计算它的幂集，并列出所有元素。
考研复试数学面试题目(3篇)
第1篇一、数学分析1. 请解释实数的完备性及其意义。
2. 证明：若数列{an}单调有界，则{an}收敛。
3. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。
4. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。
5. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。
6. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。
7. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。
8. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。
9. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。
10. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。
二、高等代数1. 请解释行列式的定义及其性质。
2. 证明：若矩阵A可逆，则|A|≠0。
3. 设矩阵A为n阶方阵，求证：A的行列式|A|等于其特征值的乘积。
4. 证明：若矩阵A为n阶方阵，且|A|=0，则A不可逆。
5. 设矩阵A为n阶方阵，求证：A的行列式|A|等于其特征值的乘积。
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请判断下列各题的正确性。
⑴2A∩2B=2A∩B。
⑵A\B=A当且仅当B=。
⑶(A′C)\(B′D)=(A\B)′(C\D)。
⑷设|A|=5，则A上恰有31个不同的等价关系。
⑸设R非空集合A上的关系，R是A上可传递的，当且仅当R○RíR。
⑹若R1，R2均为非空集合A上的等价关系，那么R1○ R2也为A上的等价关系。
⑺设<P,≤>为半序集，1SíP，若S有上界，则S必有上确界。
⑻设N为自然数集合，I为整数集合，′是算术乘法，则<N,′>与<I,′>同构。
⑼设<G,*>是群，则G中至少有一个二阶元素。
⑽设<R,,>为整环，|R|=n，则<R,,>是域。
⑾设<R,,>为域，<R,,>为<F,,>的子环，则<R,,>为整环。
⑿设<L,≤>为格，|L|=n，则<L,≤>为有界格。
⒀存在7个结点的自补图。
⒁下图为平面图。
图1 题1(14)
⒂下图为哈密尔顿图。
图2 题1(15)图
2 (8分)
设(G,*)为循环群，生成元为a，设(A,*)和(B,*)均为(G,*)的子群，而ai和aj分别为(A,*)和(B, *)的生成元。
①证明(A∩B,*)是(G,*)的子群。
②请问：(A∩B)是否为循环群。
如果是，请给出其生成元。
3 (10分)
设(A,,)是环，AA={f |f是A到A的函数}。
定义AA上的运算à和*如下，设f,gAA, 对于任意的xA。
(fàg)(x)=f(x)g(x)；
(f*g)(x)=f(x)g(x)；
证明：(AA,à,*)是环。
4 (6分)
设A=<L1,≤1,*1,1>和B=<L2,≤2,*2,2>是两个格，f是A到B的同态函数。
证明A的同态象是B的子格。
(注：A的同态象即：f(L1)={f(x)|xL1})。
5 (8分)
设G=（V,E）是简单的无向平面图，证明G中至少有一个结点的度数小于等于5。
6 (10分)
设G是连通的无向图，且有2k>0个奇结点，
证明：G中存在各边不重复的k条简单路P1，P2，…，Pk，使得
E(G)=E(P1)∪E(P2)∪…∪E(Pk)。
7 (8分)
设个体域为整数集合，将下述语句分别表示成仅含有N(e)、P(e)、Q(e)、E(e1,e2)、L(e1,e2)、D(e1,e2)所组成的谓词公式：其中各谓词定义如下：
N(e)：e是自然数，
P(e)：e是素数，
Q(e)：e是偶数，
E(e1,e2)：e1=e2，
L(e1,e2)：e1<e2，
D(e1,e2)：e1|e2 (即e1整除e2)，
①没有最大的素数；
②并非所有的素数都不是偶数。
8 (8分)
判断下列逻辑关系是否成立。
若成立，请用指派分析法给出证明。
否则，请给出相应的指派。
①$x(A(x)→B(x))→"xC(x)T"x(B(x)→C(x))；
②$x(A(x)→"yB(x,y))T"y$xB(x,y)→"xA(x)。
9 (12分)
构造形式推理过程：
①R(PúS), Q→S╞P→(Q→R)；
②$x(A(x)→"yB(y))，"x(B(x)→$yC(y))╞"xA(x)→$yC(y)。