2014河科大离散数学考研真题试题
2014考研数学一真题及答案
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）A（7）（B ）（8）（D ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）012=---z y x（10）11=-)(f（11）12+=x xy ln （12）π（13）[-2,2]（14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x )e (x lim xtdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x xx x x x x 则令（16）【答案】20202232222=+=+='++'⋅++')x y (y xy y y x xy y y x y y yx y )(y 20-==或舍。
x y 2-=时， 21106606248062480633333223223-==⇒==+-=+-+-=+-⋅+⋅+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y04914190141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''⋅+'⋅+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。
离散数学试题(A卷答案)
离散数学试题（A卷答案）一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D 4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？(1)若A去，则C和D中要去1个人；(2)B和C不能都去；(3)若C去，则D留下。
解设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。
则根据题意应有：A→C⊕D，⌝(B ∧C)，C→⌝D必须同时成立。
因此(A→C⊕D)∧⌝(B∧C)∧(C→⌝D)⇔(⌝A∨(C∧⌝ D)∨(⌝C∧D))∧(⌝B∨⌝C)∧(⌝C∨⌝D)⇔(⌝A∨(C∧⌝ D)∨(⌝C∧D))∧((⌝B∧⌝C)∨(⌝B∧⌝D)∨⌝C∨(⌝C∧⌝D))⇔(⌝A∧⌝B∧⌝C)∨(⌝A∧⌝B∧⌝D)∨(⌝A∧⌝C)∨(⌝A∧⌝C∧⌝D)∨(C∧⌝ D∧⌝B∧⌝C)∨(C∧⌝ D∧⌝B∧⌝D)∨(C∧⌝ D∧⌝C)∨(C∧⌝ D∧⌝C∧⌝D)∨(⌝C∧D∧⌝B∧⌝C)∨(⌝C∧D∧⌝B∧⌝D)∨(⌝C∧D∧⌝C)∨(⌝C∧D∧⌝C∧⌝D)⇔F∨F∨(⌝A∧⌝C)∨F∨F∨(C∧⌝ D∧⌝B)∨F∨F∨(⌝C∧D∧⌝B)∨F∨(⌝C∧D)∨F⇔(⌝A∧⌝C)∨(⌝B∧C∧⌝ D)∨(⌝C∧D∧⌝B)∨(⌝C∧D)⇔(⌝A∧⌝C)∨(⌝B∧C∧⌝ D)∨(⌝C∧D)⇔T故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。
二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。
解：论域：所有人的集合。
S(x)：x是专家；W(x)：x是工人；Y(x)：x是青年人；则推理化形式为：∀x(S(x)∧W(x))，∃x Y(x)∃x(S(x)∧Y(x))下面给出证明：(1)∃x Y(x) P(2)Y(c) T(1)，ES(3)∀x(S(x)∧W(x)) P(4)S( c)∧W( c) T(3)，US(5)S( c) T(4)，I(6)S( c)∧Y(c) T(2)(5)，I(7)∃x(S(x)∧Y(x)) T(6) ，EG三、（10分）设A、B和C是三个集合，则A⊂B⇒⌝(B⊂A)。
离散数学考试试题（A、B卷及答案）
离散数学考试试题（A、B卷及答案）离散数学考试试题(A卷及答案)一、证明题(10分)1) (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)? (A∧(P?Q))→C。
P<->Q=(p->Q)合取(Q->p)证明: (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)(?P∨?Q∨?A∨C)∧(?A∨P∨Q∨C)((?P∨?Q∨?A)∧(?A∨P∨Q))∨C反用分配律((P∧Q∧A)∨(A∧?P∧?Q))∨C( A∧((P∧Q)∨(?P∧?Q)))∨C再反用分配律( A∧(P?Q))∨C(A∧(P?Q))→C2) ?(P↑Q)??P↓?Q。
证明:?(P↑Q)??(?(P∧Q))??(?P∨?Q))??P↓?Q。
二、分别用真值表法与公式法求(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))的主析取范式与主合取范式,并写出其相应的成真赋值与成假赋值(15分)。
主析取范式与析取范式的区别:主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。
主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。
证明:公式法:因为(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))(?P∨Q∨R)∧(?P∨(Q∧R)∨(?Q∧?R))(?P∨Q∨R)∧(((?P∨Q)∧(?P∨R))∨(?Q∧?R))分配律(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?Q)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨R∨?Q)∧(?P ∨R∨?R) (?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)4M使(非P析取Q析取R)为0所赋真值,即100,二进制为4M∧6M∧50m∨1m∨2m∨3m∨7m所以,公式(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))为可满足式,其相应的成真赋值为000、001、010、011、111:成假赋值为:100、101、110。
真值表法:0 0 1 0 1 00 1 11 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0111111111111111111为000、001、010、011、111:成假赋值为:100、101、110。
2014河科大离散数学考研真题试题
河南科技大学2014年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码： 652 考试科目名称： 离散数学一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的备选项中只有一个是符合题目要求的，错选、多选或未选均无分。
1-5：A D B D C 6-10：C D B A B 11-15：A D A B B二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)1. Q P →⌝或Q P ⌝→2. 13. P 真值为1，Q 的真值为04. )()(R S P R S P ∨⌝∨⌝∧∨∨⌝5. R={<2,3>,<2,4>,<2,5>,<2,6>,<3,4>,<3,5>,<3,6>, <5,6>}6. }}}2{},2,{{}},2{{}},2,{{,{ΦΦΦ7. {<a.b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>} I A8. β，γ9. )1(2-t n 10. 2=+-r e v三、计算题(本大题共5小题，每小题8分，共40分)1．利用主析取范式，求公式()P Q Q R ⌝→∧∧的类型。
(注：重言式、矛盾式或可满足式)解：F R Q Q P R Q Q P R Q Q P R Q Q P ⇔∧∧⌝∧⇔∧∧⌝∧⇔∧∧∨⌝⌝⇔∧∧→⌝)()()()()( (6分)它无成真赋值，所以为矛盾式。
(2分)2． 给定解释I ： D ={2，3}，L （x, y ）为L ( 2 , 2 ) = L ( 3 , 3 ) = 1 , L ( 2 , 3 ) = L (3 , 2 )=0，求在解释I 下(,)y xL x y ∃∀的真值。
解：(2分) (2分)000)10()01())3,3()3,2(())2,3()2,2(()),3(),2((),(=∨=∧∨∧⇔∧∨∧⇔∧∃⇔∀∃L L L L y L y L y y x xL y(2分) (2分)3．设12,G Z =<⊕>是模12的整数加群，求G 的生成元和所有子群解：(1) (12)4φ=，小于12且与12互质的数是1,5,7,11；所以，G 的生成元是1,5,7,11 (2分) (2) 12的正因子有1,2,3,4,6,12，则12Z 的子群有： 12110{0}== 1阶子群 (1分) 12216{0,6}== 2阶子群 (1分) 12314{0,4,8}== 3阶子群 (1分) 12413{0,3,6,9}== 4阶子群 (1分) 12612{0,2,4,6,8,10}== 6阶子群 (1分)121211{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}== 12阶子群 (1分)4．求下图的邻接矩阵和可达矩阵。
《离散数学》考试试卷（试卷库20卷）及答案
《离散数学》考试试卷（试卷库20卷）及答案第 1 页/共 4 页《离散数学》考试试卷（试卷库20卷）试题总分： 100 分考试时限：120 分钟、选择题（每题2分，共20分）1. 设论域为全总个体域，M(x)：x 是人，Mortal(x)：x 是要死的，则“人总是要死的”谓词公式表示为( )（A ）)()(x Mortal x M → （B ）)()(x Mortal x M ∧（C ）))()((x Mortal x M x →?（D ）))()((x Mortal x M x ∧?2. 判断下列命题哪个正确？( )（A ）若A∪B＝A∪C，则B ＝C （B ）{a,b}={b,a}（C ）P(A∩B)≠P(A)∩P (B)（P(S)表示S 的幂集）（D ）若A 为非空集，则A ≠A∪A 成立3. 集合},2{N n x x A n∈==对( )运算封闭（A ）乘法（B ）减法（C ）加法（D ）y x -4. 设≤><,N 是偏序格，其中N 是自然数集合，“≤”是普通的数间“小于等于”关系，则N b a ∈?,有=∨b a ( )（A ）a（B ）b（C ）min(a ，b)（D ） max(a ，b)5. 有向图D=，则41v v 到长度为2的通路有( )条（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36. 设无向图G 有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G 有( )个顶点（A ）10 （B ）4 （C ）8 （D ）127. 下面哪一种图不一定是树？（）（A ）无回路的连通图（B ）有n 个结点n-1条边的连通图（C ）每对结点间都有通路的图（D ）连通但删去一条边则不连通的图 8. 设P ：我将去镇上,Q ：我有时间。
命题“我将去镇上,仅当我有时间”符号化为（）（A ）P →Q （B ）Q →P （C ）P Q （D ）Q P ?∨? 9. 下列代数系统中,其中*是加法运算,（）不是群。
2014年04月自学考试02324《离散数学》历年真题
全国2014年4月高等教育自学考试离散数学试题课程代码：02324本试卷共5页，满分l00分，考试时间l50分钟。
考生答题注意事项：1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。
答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。
2．第一部分为选择题。
必须对应试卷上的题号使用28铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。
3．第二部分为非选择题。
必须注明大、小题号。
使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。
4．合理安排答题空间。
超出答题区域无效选择题部分一、单项选项题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均不得分。
1.设P ：我在家，Q ：天下雨，命题“只要天下雨，我就在家”的符号化正确的是A.P Q →B.P Q ⌝∧⌝C.P Q ⌝∨⌝D.Q P →2.下列命题公式为永真式的是 A.P Q Q →∨（） B.()P Q P ∨→ C.()P Q P →∨D.()P P Q ∨⌝∧3.下列等价式不正确．．．的是 A.()(()())()()()()x A x B x x A x x B x ∃∧⇔∃∧∃B.()()(())A x B x x A B x →∃⇔∃→（） C.()()(())x A x B x A x B ∃→⇔∀→（） D.()()()x A x x A x ⌝∃⇔∀⌝（）4.设A x （）：x 是鸟，B x （）：x 会飞，命题“没有不会飞的鸟”符号化为A.(()()x A x B x ⌝∀→（）)B.(()())x A x B x ⌝∃∧⌝C.(()())x A x B x ⌝∀∧（）D.(()())x A x B x ∀∧（）5.设,,X a b =∅｛｛｝｛｝｛｝｝，则下列陈述正确的是 A.{,}a b X ⊆ B.a b X ∈｛｛｝,｛｝｝ C.X ∅⊆｛｝ D.a X ⊆｛｛｝｝ 6.设=A B A ，则 A.=A A B B.=A B BC.B A -=∅D.B A ⊆ 7.设,,,A a b a b =｛｛｝｝，则其幂集P A （）的元素总个数为 A.2 B.3C.4D.88.在整数集Z 上，下列定义的运算满足结合律的是A.*min{,}a b a b =B.*2a b a b =+C.*||a b a b =-D.*a b a b =-9.设,*G <>是群，是下列陈述不正确．．．的是 A.n n n ab a b =（） B.-11n n a ba a b a -=（） C.n m nm a a =（） D.n m n m a a a +=10.f ：X Y g →，：Y Z →是函数，则下列陈述正确的是A.若g f 不是满射的，则f 不是满射的B.若g 不是满射的，则g f 不是满射的C.若f 是满射的，则g f 是满射的D.若g 是满射的，则g f 是满射的 11.设简单图G 所有结点的度数之和为36，则G 的边数为A.12B.18C.36D.7212.下列无向图不一定．．．是树的是 A.有n 个结点，1n -条边的图B.无回路的连通图C.连通但删去一条边则不连通的图D.无回路但添加一条边则有一个回路的连通图13.设R 是A 上的二元关系，r 、s 、t 分别指关系的自反闭包、对称闭包、传递闭包、则下列描述不正确．．．的是A.()A r R RI = B.1()s R R R -=C.2()t R R R =D.-1-1R R =（） 14.不列必为欧拉图的是A.不可以一笔画的图B.结点度数都是偶数的图C.存在欧拉回路的图D.奇数度结点有3个的连通图15.设=X ｛0，1｝，幂集为X ρ（），下列关于代数系统(),X ρ<>的陈述正确的是A.｛0｝是幺元B.｛1｝是幺元C.｛0，1｝是幺元D.∅是幺元 非选择题部分 注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
离散数学考试题及详细参考答案
离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
b)我今天进城，除非下雨。
c)仅当你走，我将留下。
2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。
c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。
（5分）2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。
（4分）4.判断下面命题的真假，并说明原因。
（每小题2分，共4分）a)（A B）－C=(A-B) (A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a)A上有多少种不同的等价关系？b)从A到A的不同双射函数有多少个？6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)三、证明题（共3小题，共计40分）1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。
（每小题5分，共10分）a)A→(B∧C),(E→ F)→ C, B→(A∧ S) B→Eb)x(P(x)→ Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，x R(x) x P(x)2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠ 且B≠ ，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。
离散数学考研试题及答案
离散数学考研试题及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1. 在集合论中，集合A和集合B的交集表示为：A. A∪BB. A∩BC. A-BD. A∘ B答案：B2. 以下哪个命题是真命题？A. 所有天鹅都是白色的。
B. 至少有一只天鹅是白色的。
C. 存在一只天鹅不是白色的。
D. 所有天鹅都不是白色的。
答案：B3. 在图论中，一个图中的顶点的度定义为：A. 与该顶点相连的边的数量B. 该顶点的出度C. 该顶点的入度D. 与该顶点相连的顶点的数量答案：A4. 以下哪个是二元关系R的自反性？A. 对于所有x，(x, x)∈RB. 对于所有x，(x, x)∉RC. 对于所有x和y，(x, y)∈RD. 对于所有x和y，(x, y)∉R答案：A5. 布尔代数中，逻辑与操作表示为：A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果一个集合有n个元素，那么它的子集个数为2^n。
2. 在命题逻辑中，一个命题的否定记作¬P。
3. 一个有向图中的环是指一个起点和终点相同的路径。
4. 一个图G是连通的，如果对于任意两个顶点，都存在一条路径连接它们。
5. 在布尔代数中，德摩根定律表明：¬(P∧Q) = ¬P∨¬Q。
三、解答题（每题10分，共20分）1. 给定一个集合A={1, 2, 3, 4}，请列出它的所有子集。
答案：∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}2. 证明：对于任意命题P和Q，(P→Q)∧(Q→P)等价于P⇔Q。
答案：证明略。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：对于任意的集合A和B，(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)。
答案：证明略。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
河南科技大学2014年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码： 652 考试科目名称： 离散数学一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的备选项中只有一个是符合题目要求的，错选、多选或未选均无分。
1-5：A D B D C 6-10：C D B A B 11-15：A D A B B二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)1. Q P →⌝或Q P ⌝→2. 13. P 真值为1，Q 的真值为04. )()(R S P R S P ∨⌝∨⌝∧∨∨⌝5. R={<2,3>,<2,4>,<2,5>,<2,6>,<3,4>,<3,5>,<3,6>, <5,6>}6. }}}2{},2,{{}},2{{}},2,{{,{ΦΦΦ7. {<a.b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>} I A8. β，γ9. )1(2-t n 10. 2=+-r e v三、计算题(本大题共5小题，每小题8分，共40分)1．利用主析取范式，求公式()P Q Q R ⌝→∧∧的类型。
(注：重言式、矛盾式或可满足式)解：F R Q Q P R Q Q P R Q Q P R Q Q P ⇔∧∧⌝∧⇔∧∧⌝∧⇔∧∧∨⌝⌝⇔∧∧→⌝)()()()()( (6分)它无成真赋值，所以为矛盾式。
(2分)2． 给定解释I ： D ={2，3}，L （x, y ）为L ( 2 , 2 ) = L ( 3 , 3 ) = 1 , L ( 2 , 3 ) = L (3 , 2 )=0，求在解释I 下(,)y xL x y ∃∀的真值。
解：(2分) (2分)000)10()01())3,3()3,2(())2,3()2,2(()),3(),2((),(=∨=∧∨∧⇔∧∨∧⇔∧∃⇔∀∃L L L L y L y L y y x xL y(2分) (2分)3．设12,G Z =<⊕>是模12的整数加群，求G 的生成元和所有子群解：(1) (12)4φ=，小于12且与12互质的数是1,5,7,11；所以，G 的生成元是1,5,7,11 (2分) (2) 12的正因子有1,2,3,4,6,12，则12Z 的子群有： 12110{0}== 1阶子群 (1分) 12216{0,6}== 2阶子群 (1分) 12314{0,4,8}== 3阶子群 (1分) 12413{0,3,6,9}== 4阶子群 (1分) 12612{0,2,4,6,8,10}== 6阶子群 (1分)121211{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}== 12阶子群 (1分)4．求下图的邻接矩阵和可达矩阵。
解：(1) 求邻接矩阵 (4分)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000000100000010110100000)(G A(2) 求可达矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000000001000000010100000)(2G A (1分) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000000000000000000100000)(3G A (1分)554)(⨯=O G A (1分)所以可达矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∨∨∨=0000000101000010110100000432A A A A P (1分)5. 如下图所示的赋权图表示某七个城市721,,,v v v 及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小，并计算其总造价。
解：(1) 用Kruskal 算法求产生的最优树。
算法为：61615454434337337272277117123),(17),(3),(9),(4),(1),(v v e v v w v v e v v w v v e v v w v v e v v w v v e v v w v v e v v w ============选选选选选选(3分)结果如图：(3分)(2) 树权C(T)=23+1+4+9+3+17=57即为总造价。
(2分)四、证明题 (本大题共3小题，每小题10分，共30分)1．设论域D ={a , b , c }，求证：))()(()()(x B x A x x xB x xA ∨∀⇒∀∨∀。
证明：))()(()()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(()()()(()()()(()()(x B x A x c B c A b B b A a B a A c B c A b B c A a B c A c B b A b B b A a B b A c B a A b B a A a B a A c B b B a B c A b A a A x xB x xA ∨∀⇔∨∧∨∧∨⇒∨∧∨∧∨∧∨∧∨∧∨∧∨∧∨∧∨⇔∧∧∨∧∧⇔∀∨∀(3分) (3分) (3分)(1分)2．设R 是A 上一个二元关系，)},,,(),(|,{R b c R c a A c A b a b a S >∈<>∈<∈∧∈><=且有对于某一个试证明：若R 是A 上一个等价关系，则S 也是A 上的一个等价关系。
证明：（1） S 自反的 (3分)A a ∈∀，由R 自反，),(),(R a a R a a >∈<∧>∈<∴，S a a >∈∴<,（2） S 对称的 (3分)传递对称定义R Sa b R R b c R c a S R b c R c a S b a Ab a >∈⇒<>∈<∧>∈<⇒>∈<∧>∈<⇒>∈<∈∀,)(),(),(),(,,（3） S 传递的 (3分)定义传递S Sc a R R c b R b a R c e R e b R bd R d a Sc b S b a Ac b a >∈⇒<>∈<∧>∈<⇒>∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈<⇒>∈<∧>∈<∈∀,),(),(),(),(),(),(,,,,由（1）、（2）、（3）得；S 是等价关系。
(1分)3. 设<R ，*>是一代数系统，*是R 上二元运算，,a b R ∀∈，a b a b a b *=++⋅，则0是幺元且<R , *>是独异点。
证明：[幺] R a ∈∀ ，000*,00*0⋅++==⋅++=a a a a a a a即 为幺元00**0∴==a a a (3分)[乘] R b a ∈∀,，由于+，·在R 封闭。
所以R b a b a b a ∈⋅++=*，即*在R 上封闭。
(3分) [半群] R c b a ∈∀,,)*(**)*()*(*)(*)(*)*(c b a c b a c b a c b c a b a c b a c b a c b a c b c a b a c b a cb a b ac b a b a c b a b a c b a =⋅⋅+⋅+⋅+⋅+++=⋅⋅+⋅+⋅+⋅+++=⋅⋅++++⋅++=⋅++=所以(3分)因此 ，〈R ，*〉是独异点。
(1分)五、应用题(本大题共2小题，每小题15分，共30分)1．假设英文字母a ，e ，h ，n ，p ，r ，w ，y 出现的频率分别为12%，8%，15%，7%，6%，10%，5%，10%，求传输它们的最佳前缀码，并给出happy new year 的编码信息。
解： (1) 根据权数构造最优二叉树： (5分)(,)(,)c a R b c R ⇒<>∈Λ<>∈(2) 传输它们的最佳前缀码如上图所示， (5分) a —011；e —111；h —10；n —110；p —0101； r —000；w —0100；y —001(3) happy new year 的编码信息为： (5分)10 011 0101 0101 001 110 111 0100 001 111 011 000附：最优二叉树求解过程如下：2．设集合A ={ a ,b , c , d }上关系R ={< a, b > , < b , a > , < b , c > , < c , d >}，请写出R 的关系矩阵M R 和关系图G R ，并用矩阵运算求出R 的传递闭包t (R )。
解：(1) R 的关系矩阵M R⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100001010010R M (4分)(2) R 的关系图G R(4分)(3) 用矩阵运算求R 的传递闭包t (R )⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==00000000101001012R R R M M M (1分) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==000000000101101023R R R M M M (1分) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==00000001010010134R R R M M M (1分) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=0000100011111111432)(R R R R R t M M M M M (1分)所以，t (R)={<a , a> , <a , b> , < a , c> , <a , d > , <b , a > , < b ,b > , < b , c . > , < b , d > , < c , d > } (3分)。