2014年数学二真题及答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...
指定位置上. (1) 当0x +→时,若ln (12)x +α
,1
(1cos )x -均是比x 高阶的无穷小,
则α的取值范围是( ) (A) (2,)+∞
(B) (1,2)
(C) 1
(,1)2
(D) 1(0,)2
(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )
(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1
sin
y x x =+
(D) 2
1sin
y x x
=+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数,()(0)(1)(1)g x f x f x =-+,则在区间[0,1]上 ( )
(A) 当()0f x '≥时,()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时,()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时,()()f x g x ≥
(D) 当()0f x ''≥时,()()f x g x ≤
(4) 曲线2
2
7
41
x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是 ( )
(C)
(D)(5) 设函数()arctan f x x =,若()()f x xf '=ξ,则2
2
l i m
x x
→=ξ ( )
(A)1
(B)
2
3
(C)
12
(D)
13
(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续,在D 的内部具有2阶连续偏导数,且满足20
u
x y ?≠??及22220u u
x y
??+=??,则 ( ) (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得
(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得,最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得,最大值在D 的边界上取得
(7) 行列式
00000000a b a
b
c d c d
= ( )
(A) 2()ad bc - (B) 2()ad bc -- (C) 2
2
22
a d
b
c -
(D) 22
2
2
b c a d -
(8) 设123,,ααα均为3维向量,则对任意常数,k l ,向量组1323,k l ++αααα线性无关是向量组 123,,ααα线性无关的 ( ) (A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 二、填空题:9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上. ((9)
1
21
25dx x x -∞=++?__________.
(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数,且()f x '2(1),
x =-[0,2]x ∈,则(7)f =
__________.
(11) 设(,)z z x y =是由方程227
4
yz
e
x y z +++=
确定的函数,则11(,)22
dz =__________.
(12) 曲线()r r =θ的极坐标方程是r =θ,则L 在点(,)(,)22
r =ππ
θ处的切线的直角坐标方程是
__________.
(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()2
21x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.
(14) 设二次型()2
2
123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1,则a 的取值范围为
_______.
三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)
求极限121
21lim
.1ln 1x
t x t e t dt x x →+∞
????--?? ?????????+ ?
??
?
(16)(本题满分10分)
已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-,且()20y =,求()y x 的极大值与极小 值.
(17)(本题满分10分)
设平面区域(){
}
22,14,0,0,D x y x y x y =
≤+≤≥≥
计算(
sin D
x dxdy x y
+??
.
(18)(本题满分10分)
设函数()f u 具有二阶连续导数,(e cosy)x
z f =满足22222(4e cos )e x x z z
z y x y
??+=+??,若
'(0)0,(0)0f f ==,求()f u 的表达式. (19)(本题满分10分)
设函数(),()f x g x 的区间[a,b]上连续,且()f x 单调增加,0()1g x ≤≤.证明: (I)0(),[,]x
a
g t dt x a x a b ≤≤-∈?
,
(II)
()()d ()g()b
a a g t dt
b a
a
f x x f x x dx
+
?≤?
?
. (20)(本题满分11分)
设函数[](x),0,11x
f x x
=
∈+,定义函数列121()(),()(()),f x f x f x f f x ==, 1()(()),n n f x f f x -= ,记n S 是由曲线()n y f x =,直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积,求
极限lim n n nS →∞
.
(21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足
2(1)f
y y
?=+?,且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积.
(22)(本题满分11分)
设矩阵123401111203A --?? ?
=- ? ?-??
,E 为三阶单位矩阵.
(I)求方程组0Ax =的一个基础解系; (II)求满足AB E =的所有矩阵.
(23)(本题满分11分)
证明n 阶矩阵1111
111
11?? ?
? ? ??? 与00100200n ??
? ?
?
???
相似.
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...
指定位置上. (1) 当0x +→时,若ln (12)x +α
,1
(1cos )x -α
均是比x 高阶的无穷小,
则α的取值范围是( ) (A) (2,)+∞
(B) (1,2)
(C) 1
(,1)2
(D) 1(0,)2
【答案】B
【解析】由定义 1000ln (12)(2)lim
lim lim 20x x x x x x x x
-→→→+===αα
αα 所以10->α,故1>α.
当0x +
→时,2
1
1
(1cos )~
2x x -α
α
α
是比x 的高阶无穷小,所以
2
10->α
,即2<α.
故选B
(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )
(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1
sin y x x =+
(D) 2
1sin
y x x
=+ 【答案】C
【解析】关于C 选项:11
sin
sin
lim
lim1lim 101x x x x x x x x →∞→∞→∞+=+=+=. 11lim[sin ]lim sin 0x x x x x x →∞→∞+-==,所以1
sin y x x
=+存在斜渐近线y x =. 故选C
(3) 设函数()f x 具有2阶导数,()(0)(1)(1)g x f x f x =-+,则在区间[0,1]上 ( )
(A) 当()0f x '≥时,()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时,()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时,()()f x g x ≥
(D) 当()0f x ''≥时,()()f x g x ≤
【答案】D
【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-,则
(0)(1)0F F ==,
()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.
若()0f x ''≥,则()0F x ''≤,()F x 在[0,1]上为凸的.
又(0)(1)0F F ==,所以当[0,1]x ∈时,()0F x ≥,从而()()g x f x ≥. 故选D.
(4) 曲线2
2
7
41
x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是 ( )
(C)
(D)【答案】C
1
1
12'2
11
224322
1
2t t t t t dy t dx
t
d y dy t dx dx t
=====+=
=-
===-
()
(
)
''
3
3'22
2
1
1
,11y k R k
q y =
=
∴=
=++故选C
(5) 设函数()arctan f x x =,若()()f x x f '=ξ,则2
2
l i m
x x →=ξ ( )
(A)1
(B)
2
3
(C)
12
(D)
13
【答案】D 【解析】因为
'2()1()1f x f x ==+ξξ,所以2
()()
x f x f x -=ξ 2
22
2220
00
1
1()arctan 11lim
lim
lim lim
()arctan 33
x x x x x f x x x
x x x f x x x x →→→→-
--+====ξ
故选D.
(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续,在D 的内部具有2阶连续偏导数,且满足20
u
x y ?≠??及22220u u
x y
??+=??,则 ( ) (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得
(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得,最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得,最大值在D 的边界上取得
【解析】记22222,,,0,,u u u
A B C B A C x x y y
???===≠????相反数
则2
=AC-B 0?<,所以(x,y)u 在D 内无极值,则极值在边界处取得.
故选A
(7) 行列式
00000000a b a
b
c d c d
= ( )
(A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2
2
22
a d
b
c - (D)22
2
2
b c a d - 【答案】B
【解析】由行列式的展开定理展开第一列
00
00
0000000
000
00a b a b a b a b
a c d c
b
c
d d c d c d
=-- ()()ad ad bc bc ad bc =--+- 2
()ad bc =--.
(8) 设123,,a a a 均为三维向量,则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线性无关是向量组
123,,a a a 线性无关的 ( )
(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件
(D)既非充分也非必要条件
【答案】A 【解析】()()13
2312
31001k l k l ??
?
++= ? ???
ααααααα.
)? 记()1323A k l =++αααα,()12
3B =ααα,1001k l ??
?
= ? ???
C . 若123,,ααα线性无
关,则()()()2r A r BC r C ===,故1323,k l ++αααα线性无关.
)? 举反例. 令30=α,则12,αα线性无关,但此时123,,ααα却线性相关.
综上所述,对任意常数,k l ,向量1323,k l ++αααα线性无关是向量123,,ααα线性无关的必要非充分条件.
故选A
二、填空题:9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...
指定位置上. (9)
1
21
25dx x x -∞=++?__________.
【答案】3
8
π
【解析】
()1
11
221111arctan 25221413
2428
x dx dx x x x -∞
-∞-∞+==++++????=
--= ?????????πππ
(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数,且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈,则(7)f =
__________.
【答案】1 【解析】()()[]'
210,2f x x x =-∈,且为偶函数
则()()[]'
212,0f
x x x =--∈-,
又()2
2f x x x c =--+且为奇函数,故=0c
()[]222,0f x x x x ∴=--∈-,
又()f x 的周期为4,()()711f f ∴=-= (11) 设(,)z z x y =是由方程227
4
yz
e
x y z +++=
确定的函数,则11(,)22
dz =__________.
【答案】1
()2
dx dy -
+ 【解析】对227
4
yz
e
x y z +++=
方程两边同时对,x y 求偏导
22210(22)20
yz
yz z z e y x x z z e z y y y y ?????++=????
????+++=????
当11
,22
x y =
=时,0z = 故
1111(,)(,)22
22
11,
22
z z x y
??=-=-??
故11(,)22
111
()()222
dz
dx dy dx dy =-+-=-+
(12) 曲线lim n n nS →∞
的极坐标方程是r =θ,则L 在点(,)(
,)22
r =ππ
θ处的切线的直角坐标方程是
__________. 【答案】2
2
y x =-
+
π
π
【解析】由直角坐标和极坐标的关系 cos cos sin sin x r y r ==??==?
θθθ
θθθ,
于是(),,,22r ??=
???ππθ对应于(),0,,2x y ??
= ???
π 切线斜率cos sin cos sin dy
dy d dx dx d +==
-θθθ
θθθθ
θ
0,22
dy dx ??
???
∴=-
ππ
所以切线方程为()2
02y x -=--ππ
即2=2
y x -+π
π
(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()2
21x x x =-++ρ,则该细棒的质
心坐标x =__________. 【答案】
1120
【解析】质心横坐标()()1
010
x x dx x x dx
=??ρρ ()()()()31
1
2
2
100042
11231000
5=2133211=2143
212x x dx x x dx x x x x x x dx x x x dx x ??-++=-++= ???
??-++=-++= ???????ρρ
11
11
12=5203
x ∴=
(13) 设二次型()22
123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1,则a 的取值范围
_________. 【答案】[]2,2-
【解析】配方法:()()()2
2
222123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+
由于二次型负惯性指数为1,所以2
40a -≥,故22a -≤≤.
三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)
求极限121
21lim
.1ln 1x
t x t e t dt x x →+∞
????--?? ?????????+ ?
??
?
【解析】11221122d d (e 1)(e 1)lim
lim 11
ln(1)x
x
t t x x t t t t t t x x x x
→+∞→+∞????----????????=+?
??
1
2
lim [(e 1)]x
x x x →+∞
=--
12000e 1e 11lim lim lim 222
t t t x
t t t t t t t t +++
=→→→---====. (16)(本题满分10分)
已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-,且()20y =,求()y x 的极大值与极小 值.
【解析】 由221x y y y ''+=-,得
22(1)1y y x '+=-………………………………………………………① 此时上面方程为变量可分离方程,解的通解为
3311
33
y y x x c +=-+ 由(2)0y =得2
3
c =
又由①可得 2
21()1
x y x y -'=+
当()0y x '=时,1x =±,且有:
1,()011,()01,()0
x y x x y x x y x '<-<'-<<>'>< 所以()y x 在1x =-处取得极小值,在1x =处取得极大值
(1)0,(1)1y y -==
即:()y x 的极大值为1,极小值为0. (17)(本题满分10分)
设平面区域(){}22,14,0,0,D x y x y x y =
≤+≤≥≥
计算(
sin D
x dxdy x y
+??
.
【解析】D 关于y x =对称,满足轮换对称性,则:
D D
=
12D D I dxdy ∴==+????
??
1
sin(2D
dxdy =
??
22
121
1sin 21
()cos 4d r rdr
rd r =?=-???π
θππππ
22
111cos |cos 4r r rdr ??=-?-?
????ππ
21
1121sin |4r ??=-+-????ππ 3
4
=-
(18)(本题满分10分)
设函数()f u 具有二阶连续导数,(e cosy)x
z f =满足22222(4e cos )e x x z z
z y x y
??+=+??,若
'(0)0,(0)0
f f ==,求()f u 的表达式. 【解析】由()
cos ,
x
z f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z z
f e y e y f e y e y x y
??''=?=?-?? 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x x z
f e y e y e y f e y e y x
?'''=??+??, ()()()22
(cos )sin sin (cos )cos x x x x x
z f e y e y e y f e y e y y
?'''=?-?-+?-? 由 ()2222
2+4cos x x z z z e y e x y
??=+??,代入得, ()()22cos [4cos cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''?=+
即
()()cos 4cos cos x x x f e y f e y e y ''-=,
令cos =,x
e y t 得()()4
f t f t t ''-=
特征方程
240,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+
设特解*y at b =+,代入方程得1,04a b =-=,特解*14y t =- 则原方程通解为()22121=4
t t
y f t c e c e t -=+-
由()()'00,00f f ==,得1211
,1616
c c ==-, 则 ()22111
=16164
u u y f u e e u -=--.
(19)(本题满分10分)
设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续,且()f x 单调增加,0()1g x ≤≤,证明:(I )
0(),[,]x
a
g t dt x a x a b ≤≤-∈?,
(II )
()()d ()g()b
a a g t dt
b a
a
f x x f x x dx
+
?≤?
?
. 【解析】(I )由积分中值定理
()()(),[,]x
a
g t dt g x a a x =-∈?ξξ
()01g x ≤≤ ,()()()0g x a x a ∴≤-≤-ξ ()()0x
a g t dt x a ∴≤≤-?
(II )直接由()01g x ≤≤,得到
()()01=x x
a
a
g t dt dt x a ≤≤-??
(II )令()()()()()u
a u a g t dt a
a
F u f x g x dx f x dx +
?=
-??
()()()()(
)
()
()()()()
'u
a
u
a F u f u g u f a g t dt g u g u f u f a g t dt =-+???
=-+????
??
由(I )知()()0u
a
g t dt u a ≤
≤-?
()u
a
a a g t d t u
∴≤+≤?
又由于()f x 单增,所以()()(
)
0u
a
f u f a
g t dt -+≥?
()()'0F u F u ∴≥∴,单调不减,()()0F u F a ∴≥=
取u b =,得()0F b ≥,即(II )成立.
(20)(本题满分11分)
设函数[](x),0,11x
f x x
=
∈+,定义函数列 1211()(),()(()),,()(()),n n f x f x f x f f x f x f f x -=== ,记n S 是由曲线()n y f x =,直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积,求极限lim n n nS →∞
.
【解析】123(),(),(),,(),112131n x x x x
f x f x f x f x x x x nx
=
===++++ 11100011()11n n x x n n S f x dx dx dx nx nx
+-∴===++??? 1110200111111ln(1)1dx dx nx n n nx n n =-=-++?? 211
ln(1)n n n
=-+ ln(1)ln(1)1
lim 1lim 1lim 1lim
1n n n x x n x nS n x x
→∞→∞→∞→∞++∴=-=-=-+101=-= (21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足
2(1)f
y y
?=+?,且2(,)(1)(2)l n ,
f y y y y y =+-
-求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积.
【解析】因为
2(1)f
y y
?=+?,所以2(,)2(),f x y y y x =++?其中()x ?为待定函数. 又因为()2
(,)(1)2ln ,f y y y y y =+--则()()12ln y y y =--?,从而
()()22(,)212ln (1)2ln f x y y y x x y x x =++--=+--.
令(,)0,f x y =可得()2
(1)2ln y x x +=-,当1y =-时,1x =或2x =,从而所求的体积为
()()2
2
2
1
1221
12ln ln 22V y dx x xdx
x xd x =+=-??=- ?
?
????
πππ
2
22112
21
ln (2)222552ln 2(2)2ln 22ln 2.
4
44x x x x dx
x x ????
=--- ??????
??
?=--
=-?=- ??
??πππππππ
(22)(本题满分11分)
设矩阵123401111203A --??
?
=- ? ?-??
,E 为三阶单位矩阵.
(I)求方程组0Ax =的一个基础解系; (II)求满足AB E =的所有矩阵B .
【解析】
()123410012341000111010011101012030010431101A E ----????
? ?
=-→- ? ? ? ?---???? 1234100100126101110
10010213100131410013141---???? ? ?
→-→--- ? ? ? ?------????
, (I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T
=-ξ (II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1T
T
T e e e ===
1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,T T
x k k k k k =+--=--+-+ξ 2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,T
T
x k k k k k =+--=--+-+ξ 3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,T
T
x k k k k k =+-=--++ξ
123123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----?? ?-+-++
?∴= ?-+-++ ? ???
(123,,k k k 为任意常数)
(23)(本题满分11分)
证明n 阶矩阵1111
111
11?? ?
? ? ??? 与00100200n ??
? ?
?
???
相似.
【解析】已知()1111A ?? ? ?= ? ??? ,()12
001B n ?? ? ? ? ???
=,
则A 的特征值为n ,0(1n -重).
A 属于n λ=的特征向量为(1,1,,1)T ;()1r A =,故0Ax =基础解系有1n -个线性无关
的解向量,即A 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量;故A 相似于对角阵
0=0n ??
?
?Λ ? ?
??
. B 的特征值为n ,0(1n -重),同理B 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量,故B 相
似于对角阵Λ.
由相似关系的传递性,A 相似于B .
2014年新课标2卷理科数学高考真题及答案
2014年新课标2卷理科数学高考真题及答案
掌门1对1教育 高考真题 2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二Ⅱ) 第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M={0,1,2},N= {} 2|320x x x -+≤,则 M N ?=( ) A. {1} B. {2} C. {0,1} D. {1,2} 2.设复数1 z ,2 z 在复平面内的对应点关于虚轴对 称,1 2z i =+,则12 z z =( ) A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 3.设向量a,b 满足|a+b 10 |a-b 6,则a ?b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 4.钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,2 ,则AC=( ) A. 5 5 C. 2 D. 1 5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,
连续两为优良的概率是0.6,已知某天的空气质 量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率 是() A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 6.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示 1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零 件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛 坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体 积的比值为() A. 17 27 B. 5 9 C. 10 27 D. 1 3 7.执行右图程序框图,如果输入的 x,t均为2,则输出的S= () A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0) 处的切线方程为y=2x,则a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9.设x,y满足约束条件 70 310 350 x y x y x y +- ? ? -+ ? ?-- ? ≤ ≤ ≥ ,则2 z x y =-的最大 值为()
2014年高考全国2卷文科数学试题(含解析)
绝密★启用前 2014年高考全国2卷文科数学试题 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷(选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释) 1.设集合2 {2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B =I ( ) A .? B .{}2 C .{0} D .{2}- 2. 131i i +=-( ) A .12i + B .12i -+ C .12i - D .12i -- 3.函数()f x 在0x x =处导数存在,若0:()0p f x =;0:q x x =是()f x 的极值点,则( ) A .p 是q 的充分必要条件 B .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 C .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件 D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 4.设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ,6||=-b a ρ ρ,则=?b a ρρ( ) A .1 B .2 C .3 D .5 5.等差数列{}n a 的公差是2,若248,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和n S =( ) A .(1)n n + B .(1)n n - C . (1)2n n + D .(1) 2 n n - 6.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm ),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件 由一个底面半径为3cm ,高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削的部分的体积和原来毛坯体积的比值为( ) A . 2717 B .95 C .2710 D .3 1 7.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为23,D 为BC 中点,则三棱锥11A B DC -的体积为 (A )3 (B ) 3 2 (C )1 (D 3 D 1 1 A B 1 8.执行右面的程序框图,如果输入的x ,t 均为2,则输出的S =( )
2020年考研数学二真题及答案分析(word版)
2017年全国硕士研究生入学统一考试 数学二真题分析 (word 版) 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) )若函数10(),0x f x ax b x ?->?=??≤? 在0x =处连续,则( ) (A)12ab = (B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab = 【答案】A 【解析】001112lim lim ,()2x x x f x ax ax a ++→→-==Q 在0x =处连续11.22b ab a ∴=?=选A. (2)设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >,则( ) 【答案】B 【解析】 ()f x 为偶函数时满足题设条件,此时01 10()()f x dx f x dx -=??,排除C,D. 取2()21f x x =-满足条件,则()112112()2103 f x dx x dx --=-=-?,选B. (3)设数列{}n x 收敛,则( ) ()A 当limsin 0n n x →∞=时,lim 0n n x →∞= ()B 当lim(0n n x →∞+=时,lim 0n n x →∞ = ()C 当2lim()0n n n x x →∞+=时,lim 0n n x →∞= ()D 当lim(sin )0n n n x x →∞+=时,lim 0n n x →∞ =
【答案】D 【解析】特值法:(A )取n x π=,有limsin 0,lim n n n n x x π→∞→∞ ==,A 错; 取1n x =-,排除B,C.所以选D. (4)微分方程的特解可设为 (A )22(cos 2sin 2)x x Ae e B x C x ++ (B )22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ (C )22(cos 2sin 2)x x Ae xe B x C x ++ (D )22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ 【答案】A 【解析】特征方程为:2 1,248022i λλλ-+=?=± 故特解为:***2212(cos 2sin 2),x x y y y Ae xe B x C x =+=++选C. (5)设(,)f x y 具有一阶偏导数,且对任意的(,)x y ,都有(,)(,)0,0f x y f x y x y ??>>??,则 (A )(0,0)(1,1)f f > (B )(0,0)(1,1)f f < (C )(0,1)(1,0)f f > (D )(0,1)(1,0)f f < 【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y ??>??是关于x 的单调递增函数,是关于y 的单调递减函数, 所以有(0,1)(1,1)(1,0)f f f <<,故答案选D. (6)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m )处,图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:/m s ),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为0t (单位:s ),则( ) (A )010t = (B )01520t << (C )025t = (D )025t >
2014年深圳中考数学试卷及答案
2014年深圳中考数学试卷 一、选择题 1、9的相反数() 1 A:-9 B:9 C:±9 D: 9 答案:A 解析:考点:相反数,有理数的概念中考常规必考,多第一题。 2、下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是() 答案:B 解析:考点:轴对称和中心对称。中考常规必考。 3、支付宝与”快的打车”联合推出优惠,”快的打车”一夜之间红遍大江南北,据统计,2014年”快的打车”账户流水总金额达到47.3亿元,47.3亿元用科学计数法表示为() A:4.73×108B: 4.73×109 C:4.73×1010 D:4.73×1011 答案:B 解析:考点:科学计数法。中考常规必考。 4、由几个大小相同的正方形组成的几何图形如图所示,则它的俯视图为() A B C D 答案:A 解析:考点:三视图 A:平均数3 B:众数是-2 C:中位数是1 D:极差为8 答案:D 解析:考点:数据的代表。 极差:最大值-最小值。6-(-2)=8。 平均数:(-2+1+2+1+4+6)÷6=2。 众数:1。中位数:先由小到大排列:-2,1,1,2,4,6,中间两位为1和2,则中位数计算为:(1+2)÷2=1.5. 6,已知函数y=ax+b经过(1,3)(0,-2),求a-b=() A:-1 B:-3 C:3 D:7 答案:D 解析:考点:待定系数法求函数解析式。代入(1,3),(0,-2)到函数解析式y=ax+b得,a+b=3,b=-2,则a
=5,b=-2,a-b=7 7、.下列方程中没有实数根的是() A、x2+4x=10 B、3x2+8x-3=0 C、x2-2x+3=0 D、(x-2)(x-3)=12 答案:C 考点:判根公式的考察:△=b2-4ac。C项中△<0,无实数根。 8、如图,△ABC和△DEF中,AB=DE, ∠B=∠DEF,添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF() A、AB∥DE B、∠A=∠D C、AC=DF D、∠ACB=∠F 答案:C 考点:三角形全等的条件:SSS、SAS、AAS、ASA、HL。C项成立则为SSA,非三角形全等的判定方法。 9.袋子里有四个球,标有2,3,4,5,先抽取一个并记住,放回,然后在抽取一个,问抽取的两个数字之和大于6的概率是() A 1/2 B 7/12 C 5/8 D 3/4 答案:C 解析:二组变量的概率计算。方法:列表法,树状图。总情况16种,大于6的情况有:2(5);3(4、5);4(3、4、5);5(2、3、4、5)共10种,10/16=5/8. 10.小明去爬山,在山角看山顶的角度为30°,小明在坡比为5:12的山坡上走1300米后看山顶的角度为60°,求山高() A 600-250 √3 B 600-250√3 C 350+350√3 D500√3 答案:B 解析:解直角三角形的实际问题。依题意CD=1300,DE:CE=5:12,则DE=500,CE=1200,设DF=x,在Rt△DFA 中,∠ADF=60°,AF=√3x,在Rt△DFA中,∠ACB=30°,AB=√3x+500,BC=1200+x,AB:BC=1:√3,解得,x = 600-250√3. 11.二次函数y=ax2+bx+c图像如图所示,下列说法正确的是() (1)bc>0 (2)2a-3c<0 (3)2a+b>0 (4)ax2+bx+c=0有两个解x1,x2,x1>0,x2<0 (5)a+b+c>0 (6)当x>1时,y随x的增大而减小。
2014数学二考研大纲
2014年硕士研究生入学统一考试数学考试大纲 数学二 考试科目:高等数学、线性代数 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分,考试时间为180分钟. 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试. 三、试卷内容结构 高等教学 约78% 线性代数 约22% 四、试卷题型结构 试卷题型结构为: 单项选择题 8小题,每小题4分,共32分 填空题 6小题,每小题4分,共24分 解答题(包括证明题) 9小题,共94分 高等数学 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则两个重要极限: 0sin lim 1x x x →=, 1lim 1x x e x →∞??+= ??? 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,并会建立应用问题的函数关系. 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念. 5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系. 6.掌握极限的性质及四则运算法则. 7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求
2014年数学二真题+答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 当0x +→时,若ln (12)x +α, 1 (1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小, 则α的取值范围是( ) (A) (2,)+∞ (B) (1,2) (C) 1(,1)2 (D) 1(0,)2 (2) 下列曲线中有渐近线的是 ( ) (A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1sin y x x =+ (D) 21sin y x x =+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数,()(0)(1)(1)g x f x f x =-+,则在区间[0,1]上 ( ) (A) 当()0f x '≥时,()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时,()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时,()()f x g x ≥ (D) 当()0f x ''≥时,()()f x g x ≤
(4) 曲线2 2 7 41 x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是 ( ) (A) 50 (B) 100 (C) (D)(5) 设函数 ()arctan f x x =,若 ()() f x xf '=ξ,则 2 2 lim x x →=ξ ( ) (A)1 (B)23 (C)12 (D) 13 (6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续,在D 的内部具有2阶连续偏导数,且满足 20u x y ?≠??及 222 20u u x y ??+=??,则 ( ) (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得 (C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得,最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得,最大值在D 的边界上取得 (7) 行列式 00 00000 a b a b c d c d = ( ) (A) 2()ad bc - (B) 2()ad bc --
2014年高考全国2卷理科数学试题(含解析)
.. 绝密★启用前 2014年高考全国2卷理科数学试题(含解析) 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷(选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释) 1.设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称,12z i =+,则12z z =( ) A.- 5 B.5 C.- 4+ i D.- 4 - i 2.设向量a,b 满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a ?b = ( ) A.1 B.2 C.3 D.5 3.钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,BC=2 ,则AC=( ) A.5 B.5 C.2 D.1 4.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 5.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm ),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm ,高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) A.1727 B.59 C.1027 D.1 3 6.执行右图程序框图,如果输入的x,t 均为2,则输出的S= ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 7.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ,则a= ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.设F 为抛物线C:23y x =的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则 △OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94 9.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BCA=90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC=CA=CC 1, 则BM 与AN 所成的角的余弦值为( ) A.110 B.25 C.3010 D.22 10.设函数()3sin x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +???,则m 的取值范围是( ) A.()(),66,-∞-?∞ B.()(),44,-∞-?∞ C.()(),22,-∞-?∞ D.()(),11,-∞-?∞
2014年考研数学一真题与详细解答
2014硕士研究生入学考试 数学一 一、选择题1—8小题.每小题4分,共32分. 1.下列曲线有渐近线的是( ) (A )x x y sin += (B )x x y sin +=2 (C )x x y 1sin += (D )x x y 12sin += 2.设函数)(x f 具有二阶导数,x f x f x g )())(()(110+-=,则在],[10上( ) (A )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≥ (B )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≤ (C )当0≤'')(x f 时,)()(x g x f ≥ (D )当0≤'')(x f 时,)()(x g x f ≤ 3.设)(x f 是连续函数,则=? ?---y y dy y x f dy 1110 2 ),(( ) (A )? ?? ?---+2 100 11 010 x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( (B )? ?? ? ----+0 101 1 10 1 2 x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( (C )? ?? ? +++θθππθθπ θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1 2 10 20 dr r r f d dr r r f d (D )? ?? ? +++θθππ θθπ θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (10 2 10 20rdr r r f d rdr r r f d 4.若函数{ } ??-∈---=--π π ππ dx x b x a x dx x b x a x R b a 2211)sin cos (min )sin cos (,,则=+x b x a sin cos 11( ) (A )x sin 2 (B )x cos 2 (C )x sin π2 (D )x cos π2 5.行列式d c d c b a b a 000 000 0等于( ) (A )2)(bc ad - (B )2)(bc ad -- (C )2222c b d a - (D )2222c b d a +- 6.设321ααα,, 是三维向量,则对任意的常数l k ,,向量31ααk +,32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的( ) (A )必要而非充分条件 (B )充分而非必要条件 (C )充分必要条件 (D )非充分非必要条件 7.设事件A ,B 想到独立,3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P ( ) (A )0.1 (B )0.2 (C )0.3 (D )0.4
2014年数学二真题及答案解析
2014年数学二真题及答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1 : 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ? ? ? 1 ________________________________________ (1)当X 0时,若In (1 2x),(1 cosx)—均是比X咼阶的无 2
(A) (2, )(B) (1,2)(C)(2,1) (D)囲) ⑵下列曲线中有渐近线的是() (A) y x sin x (B) 2 . y x sin x (C) y x sin 1 x (D) y 2 . 1 x sin x ⑶设函数f( x)具有2阶导数,g(x) f(0)(1 x) f(1)x,贝y 在区间[0,1]上( ) (A)当f(x)0 时,f (x) g(x) (B)当f (x) 0时, f(x) g(x) (C)当f(x) 0 时,f (x) ? g(x) (D)当f (x) 0时,f(x) g(x) ⑷丄 2 曲线x t2 y t27上对' 4t 1 应于t 1的点处的曲率半径是 3
2 4 (D) 5.10 (D )1 (6)设函数u(x,y)在有界闭区域D 上连续,在D 的内部 2 2 2 具有2阶连续偏导数,且满足」0及-u -4 0,则 x y x y ( ) (A) u(x,y)的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) u(x,y) 的最大值和最小值都在D 的内部上取得 (C) u(x,y) 的最大值在D 的内部取得,最小值在D 的 边界上取得 (A) 10 50 ■ 10 100 (C) 10.10 (5) 设函数 f (x) arctan x , f(x) xf () , lim 2 x 0 x 2 (A) 1 (叫 (C)1
考研数学二真题及答案解析
2006年数学(二)考研真题及解答 一、填空题 (1)曲线4sin 52cos x x y x x += -的水平渐近线方程为 . (2)设函数23 1sin ,0, (), x t dt x f x x a x ?≠? =??=? ? 在0x =处连续,则a = . (3)广义积分 22 (1) xdx x +∞=+? . (4)微分方程(1) y x y x -'= 的通解是 . (5)设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定,则0 A dy dx == . (6)设矩阵2112A ?? = ?-?? ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则B = . 二、选择题 (7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ?为自变量x 在0x 处的增量,y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ?>,则 (A )0.dy y < (B )0.y dy < (C )0.y dy ?<< (D )0.dy y < 【 】 (8)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则 ()x f t dt ? 是 (A )连续的奇函数. (B )连续的偶函数 (C )在0x =间断的奇函数 (D )在0x =间断的偶函数. 【 】 (9)设函数()g x 可微,1() (),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===,则(1)g 等于 (A )ln31-. (B )ln3 1.-- (C )ln 2 1.-- (D )ln 2 1.- 【 】 (10)函数212x x x y C e C e xe -=++满足一个微分方程是 (A )23.x y y y xe '''--= (B )23.x y y y e '''--= (C )23.x y y y xe '''+-= (D )23.x y y y e '''+-= (11)设(,)f x y 为连续函数,则 1 40 (cos ,sin )d f r r rdr π θθθ? ?等于
2014年全国2卷理科数学解析版
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科 (新课标Ⅱ卷) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项就是符合题目要求的、 1、 设集合M={0,1,2},{ } 023|2 ≤+-=x x x N ,则N M =( ) {}1.A {}2.B {}1,0.C {}2,1.D 2. 设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称,12z i =+,则12z z =( ) 5.-A 5.B i C +-4. i D --4. 3. 设向量a ,b 满足|a +b 10a -b 6则a ?b =( ) 1.A 2.B 3.C 5.D 4. 钝角三角形ABC 的面积就是122,则AC=( ) 5.A 5.B 2.C 1.D 5、 某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率就是0、75,连续两天为优良的概率就是0、6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率就是( ) A. 0.8 B 、 0.75 C 、 0、6 D 、 0、45 6、 如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的就是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) A 、 1727 B 、 59 C 、 1027 D 、 13 7、 执行右图程序框图,如果输入的x,t 均为2,则输出的S=( ) A 、 4 B 、 5 C 、 6 D 、 7 8、 设曲线)1ln(+-=x ax y 在点(0,0)处的切线方程为x y 2=,则a = A 、 0 B 、 1 C 、 2 D 、 3 9、 设x,y 满足约束条件?? ? ??≥--≤+-≤-+05301307y x y x y x ,则2z x y =-的最大值为( ) A 、 10 B 、 8 C 、 3 D 、 2 10、 设F 为抛物线C:23y x =的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) A 、 33 B 、 93 C 、 6332 D 、 94 11、 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BCA=90°,M,N 分别就是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC=CA=CC 1, 则BM 与AN 所成的角的余弦值为( ) A 、 110 B 、 25 C 、 30 D 、 2
2014年考研数学三真题与答案解析
2014年考研数学三真题与解析 一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分. 1.设0≠=∞ →a a n n lim ,则当n 充分大时,下列正确的有( ) (A )2 a a n > (B )2 a a n < (C )n a a n 1- > (D)n a a n 1+< 【详解】因为0≠=∞ →a a n n lim ,所以0>?ε,N ?,当N n >时,有ε<-a a n ,即εε+<<-a a a n , εε+≤<-a a a n ,取2 a = ε,则知2 a a n > ,所以选择(A ) 2.下列曲线有渐近线的是 (A )x x y sin += (B )x x y sin +=2 (C )x x y 1 sin += (D )x x y 12 sin += 【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以. 【详解】对于x x y 1sin +=,可知1=∞ →x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ,所以有斜渐近线x y = 应该选(C ) 3.设3 2 dx cx bx a x P +++=)(,则当0→x 时,若x x P tan )(-是比3 x 高阶的无穷小,则下列选项中错误的是( ) (A )0=a (B )1=b (C )0=c (D )6 1 = d 【详解】只要熟练记忆当0→x 时)(tan 3331x o x x x ++ =,显然3 1 010====d c b a ,,,,应该选(D ) 4.设函数)(x f 具有二阶导数,x f x f x g )())(()(110+-=,则在],[10上( ) (A )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≥ (B )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≤ (C )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≥ (D )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法. 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话,可以直接做出判断.如果对区间上任意两
考研数学二真题及答案解析参考
2019全国研究生招生考试数学二真题及答案解析 一、选择题 1.当0→x 时,若x x tan -与k x 是同阶无穷小,则=k A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 2.)(π202≤≤+=x x cos x sin x y 的拐点 A.??? ? ?2,2ππ B.()2,0 C.()2,π D.??? ? ?-23,23ππ 3.下列反常积分收敛的是() A.dx xe x ?+∞ -0 B.dx xe x ? +∞ -02 C. dx x x ? +∞ +0 2 1arctan D. dx x x ? +∞ +0 21 4.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+'' 的值为( ) A.1,0,1 B.1,0,2 C.2,1,3 D.2,1,4 5.已知积 分区域???? ?? ≤+=2πy x |y ,x D ) (,dxdy y x I D ??+=221, dxdy y x I D ??+=222sin ,(dxdy y x I D )cos 1223??+-=,试比较321,,I I I 的大小 A.123I I I << B.321I I I << C.312I I I << D.132I I I << 6.已知)()(x g x f 是二阶可导且在a x =处连续,请问)()(x g x f 相切于a 且曲率相等是 0)() ()(lim 2 =--→a x x g x f a x 的什么条件 A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 7.设A 是四阶矩阵,* A 是A 的伴随矩阵,若线性方程组0=Ax 的基础解系中只有2个向量,则* A 的秩是
2014年考研数学三真题及答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.(1)设 a a n n =∞ →lim 且0,a ≠则当n 充分大时有( ) (A )2n a a > (B )2 n a a < (C )1 n a a n >- (D )1 n a a n <+ (2)下列曲线有渐近线的是( ) (A )sin y x x =+(B )2 sin y x x =+(C )1sin y x x =+(D )2 1sin y x x =+(3)设32dx cx bx a x P +++=)(,则当0→x 时,若x x P tan -)(是比3 x 高阶的无穷小,则下列选项 中错误的是() (A )0=a (B )1=b (C )0=c (D )6 1= d
(4)设函数()f x 具有二阶导数,()(0)(1)(1)g x f x f x =-+,则在区间[0,1]上( ) (A )当'()0f x ≥时,()()f x g x ≥(B )当'()0f x ≥时,()()f x g x ≤(C )当0)(≥''x f 时,()()f x g x ≥(D )当0)(≥''x f 时,()() f x g x ≤(5)行列式 00000000a b a b c d c d = (A )2 () ad bc -(B )2 ()ad bc --(C )2 2 22 a d b c -(D )22 2 2 b c a d -(6)设123,,a a a 均为3维向量,则对任意常数,k l ,向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 (A )必要非充分条件(B )充分非必要条件(C )充分必要条件 (D )既非充分也非必要条件 (7)设随机事件A 与B 相互独立,且P (B )=0.5,P(A-B)=0.3,求P (B-A )=( ) (A )0.1(B )0.2(C )0.3(D )0.4 (8)设123,,X X X 为来自正态总体2 (0,)N σ 服从的分布为 (A )F (1,1)(B )F (2,1)(C )t(1)(D )t(2)
2017年考研数学二真题与答案解析
2017考研数学二真题及答案解析 一、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分) (1)若函数?? ? ??≤>-=0,,0,cos 1)(x b x ax x x f 在0=x 处连续,则( ) )(A 21= ab 。 )(B 2 1-=ab 。 )(C 0=ab 。 D (2=ab 。 【答案】)(A 【解】a ax x f x 21 cos 1lim )00(0=-=++→,b f f =-=)00()0(, 因为)(x f 在0=x 处连续,所以)00()0()00(-==+f f f ,从而2 1 = ab ,应选)(A 。 (2)设二阶可导函数)(x f 满足1)1()1(=-=f f ,1)0(-=f ,且0)(>''x f ,则( ) ) (A ? ->1 10)(x f 。 ) (B ? -<1 1 0)(x f 。 )(C ??->10 1 )()(dx x f x f 。 )(D ??-<1 1 )()(dx x f x f 。 【答案】)(B 【解】取12)(2 -=x x f ,显然 ? -<1 1 0)(x f ,应选)(B 。 (3)设数列}{n x 收敛,则 ( ) )(A 当0sin lim =∞ →n n x 时,0lim =∞ →n n x 。 )(B 当0)||(lim =+∞ →n n n x x 时,0lim =∞ →n n x 。 )(C 当0)(lim 2 =+∞ →n n n x x 时,0lim =∞→n n x 。)(D 当0)sin (lim =+∞→n n n x x 时,0lim =∞ →n n x 。 【答案】)(D 【解】令A x n n =∞ →lim ,由0sin )sin (lim =+=+∞ →A A x x n n n 得0=A 。 (4)微分方程)2cos 1(842x e y y y x +=+'-''的特解可设为=* y ( ) )(A )2sin 2cos (22x C x B e Ae x x ++。 )(B )2sin 2cos (22x C x B xe Axe x x ++。 )(C )2sin 2cos (22x C x B xe Ae x x ++。)(D )2sin 2cos (22x C x B xe Axe x x ++。
考研数学二真题与解析
2014年考研数学二真题与解析 一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分. 1.当+→0x 时,若)(ln x 21+α ,α1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小,则α的可能取值范围是( ) (A )),(+∞2 (B )),(21 (C )),(121 (D )),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +,是α阶无穷小,ααα2 11 211x x ~)cos (-是α2阶无穷小,由题意可知?????>>121 α α 所以α的可能取值范围是),(21,应该选(B ). 2.下列曲线有渐近线的是 (A )x x y sin += (B )x x y sin +=2 (C )x x y 1sin += (D )x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=,可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ,所以有斜渐近线x y = 应该选(C ) 3.设函数)(x f 具有二阶导数,x f x f x g )())(()(110+-=,则在],[10上( ) (A )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≥ (B )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≤ (C )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≥ (D )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法. 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话,可以直接做出判断. 显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程.故当0≥'')(x f 时,曲线是凹 的,也就是)()(x g x f ≤,应该选(D ) 【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话,可令 x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=,则010==)()(F F ,且)(")("x f x F =,故当0≥'')(x f 时,曲线是凹的,从而010==≤)()()(F F x F ,即0≤-=)()()(x g x f x F ,也就是)()(x g x f ≤,应该选(D )
考研数学二真题答案解析
1..【分析】本题属基本题型,幂指函数的求导(或微分)问题可化为指数函数求导或 取 对 数 后 转 化 为 隐 函 数 求 导 . 【详解】方法一:x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +,于是 ] sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(x x x x e y x x +? ++?='+, 从而 π =x dy =.)(dx dx y ππ-=' 方法二:两边取对数,)sin 1ln(ln x x y +=,对x 求导,得 x x x x y y sin 1cos )sin 1ln(1+++=', 于是 ] sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(x x x x x y x +? ++?+=',故 π =x dy =.)(dx dx y ππ-=' 【评注】幂指函数的求导问题,既不能单纯作为指数函数对待,也不能单纯作为幂函数,而直接运用相应的求导公式. 2..【分析】本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】因为a= ,1) 1(lim )(lim 2 3=+=+∞→+∞ →x x x x x f x x []23)1(lim )(lim 2 32 3= -+=-=+∞ →+∞ →x x x ax x f b x x , 于是所求斜渐近线方程为 . 23 +=x y 【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线,是基本要求,应熟练掌握。这 里应注意两点:1)当存在水平渐近线时,不需要再求斜渐近线;2)若当∞→x 时,极限 x x f a x ) (lim ∞ →=不存在,则应进一步讨论+∞→x 或-∞→x 的情形,即在右或左 侧是否存在斜渐近线,本题定义域为x>0,所以只考虑+∞→x 的情形. 3..【分析】作三角代换求积分即可. 【详解】令t x sin =,则
2000年-2014年考研数学一历年真题1
2000年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) 1 20 2x x dx -? =_____________. (2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________. (4)已知方程组12312 112323120x a x a x ????????????+=????????????-?????? 无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1 9 ,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当 a x b <<时,有 (A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b > (D)()()()()f x g x f a g a > (2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)1 4S S xdS xdS =???? (B)1 4S S ydS xdS =???? (C) 1 4S S zdS xdS =???? (D) 1 4S S xyzdS xyzdS =???? (3)设级数 1n n u ∞ =∑收敛,则必收敛的级数为 (A)1 (1)n n n u n ∞ =-∑ (B) 2 1n n u ∞ =∑ (C) 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑ (D) 11 ()n n n u u ∞ +=+∑
2014年高考数学全国二卷(理科)完美版
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 2014·新课标Ⅱ卷 第1页一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设集合M ={0,1,2},N ={x |x 2-3x +2≤0},则M ∩N =( ) A .{1} B .{2} C .{0,1} D .{1,2} 2.设复数z 1,z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z 1=2+i ,则z 1z 2=( ) A .-5 B .5 C .-4+i D .-4-i 3.设向量a ,b 满足|a +b |=10,|a -b |=6,则a·b =( ) A .1 B .2 C .3 D .5 4.钝角三角形ABC 的面积是12 ,AB =1,BC =2,则AC =( ) A .5 B. 5 C .2 D .1 5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A .0.8 B .0.75 C .0.6 D .0.45 6.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视 图,该零件由一个底面半径为3 cm ,高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) A.1727 B.59 C.1027 D.13 7.执行如图所示的程序框图,如果输入的x ,t 均为2,则输出的S =( ) A .4 B .5 C .6 D .7 8.设曲线y =ax -ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ,则a =( ) A .0 B .1 C .2 D .3 9.设x ,y 满足约束条件????? x +y -7≤0,x -3y +1≤0,3x -y -5≥0, 则z =2x -y 的最大值为( )