2020-2021学年苏教版高中数学必修二全册综合练习及答案解析
2020-2021学年必修二高一数学下学期期末第八章 立体几何初步(章节专练解析版)
第八章 立体几何初步（章节复习专项训练）一、选择题1．如图，在棱长为1正方体ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是A ．无论旋转到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解：过A 点作AM⊥BF 于M ，过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中，AF 是以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的母线，同理，AB ，EC ，DC 也可以看成圆锥的母线；在A 中，A 点轨迹为圆周，C 点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A 正确；在B 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，又AF ，EC 分别可看成是圆锥的母线，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B 正确；在C 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C 正确；在D 中，能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒，只需看以B 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D 不成立；故选D ．2．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF =，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（ ）A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D【详解】解法一：如图，连接EB ，EC ，AC ，则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =，//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二：如图，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，则//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，得三棱柱EGH FBC -，由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=， 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯， 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三：如图，延长EF 至点M ，使3EM AB ==，连接BM ，CM ，AF ，DF ，则多面体BCM ADE -为斜三棱柱，其直截面面积3S =，则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行，F 为EM 的中点，F ADE F BCM V V --∴=，2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=， 即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=， 32F BCM V -∴=，152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选：D 3．下列命题中正确的是A ．若a ，b 是两条直线，且a ⊥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ⊥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ⊥b ，a ⊥α，b 不在平面α内，则b ⊥α【答案】D【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误； 如果直线a 和平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故B 错误；如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故C 错误； D 选项：过直线a 作平面β，设⋂=c αβ，又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴．因此D 正确．故选：D ．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )A ．D 1O⊥平面A 1BC 1B ．MO⊥平面A 1BC 1C ．二面角M －AC －B 等于90°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ，连接11B D ，交11AC 于E ，则四边形1DOBE 为平行四边形 故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ，故正确对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为,BO AC MO AC ⊥⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒，故错误对于D ，1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11AC B ∆为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确故选C5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【详解】 在长方体1111ABCD A BC D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴，∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴， EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴， 又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是A ．1 BC ．2D ．12【答案】B【详解】取BC 的中点D ，连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ，FD⊥AC,而SB⊥AC ，SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点（不同于A ，B 两点），且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【详解】 解：由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC ， 所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中，由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选：C .8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】 由题意，知AD BC BD AD ⊥⊥，，又由BC BD B =，可得AD ⊥平面DBC ，又由AD ⊂平面ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面ADC ⊥平面DBC9．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ⊥A 1B ，⊥EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形，⊥⊥EC 1B 为60，故选C ．10．已知两个平面相互垂直，下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【详解】由题意，对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故⊥错误；对于⊥，设平面α∩平面β=m ，n⊥α，l⊥β，⊥平面α⊥平面β， ⊥当l⊥m 时，必有l⊥α，而n⊥α， ⊥l⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即⊥正确；对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；对于⊥，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；故选A ．11．在空间中，给出下列说法：⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线；⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；⊥过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知⊥正确；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知⊥正确.故选B.12．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l⊥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B 错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C 错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D 错．综上，选A ．13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A ．8π3B ．32π3C ．8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ，则截面圆的半径为，⊥截面圆的面积为S ＝π2＝（R 2－1）π＝π，⊥R 2＝2，⊥球的表面积S ＝4πR 2＝8π．故选C. 15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2πB ．1πC ．22πD ．21π【答案】A【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为 ( )A ．下底长为1B ．下底长为1+C ．下底长为1D ．下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=，1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示：可知原平面图形为下底长为1故选：C18．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ，则2r R ππ=，所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选：C .19．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．20．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+> 【答案】A【详解】如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=， 故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=， 故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=， 整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=， 故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=， 整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-， 若αβθ+≤，由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥， 但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾， 故αβθ+>.故A 正确，B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：D.二、填空题 21．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）⊥PB ⊥AD ；⊥平面P AB ⊥平面PBC ；⊥直线BC ⊥平面P AE ；⊥sin⊥PDA =．【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，⊥⊥不成立，过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，⊥P A ⊥BC ，⊥BC ⊥平面P AB ，⊥BC ⊥AB ，矛盾，所以⊥不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以⊥不正确；在R t⊥P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，⊥sin⊥PDA =，所以⊥正确；故答案为: ⊥22．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==，DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______． 【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R ．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：（1）球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为（2）球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为24．如图，四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形，P 、Q 分别为''''B C C D ，的中点．若'AA ⊥平面BPQD ，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【答案】2 3【详解】连接AC，A′C′，则AC⊥A′C′，即A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示：若AA′⊥平面BPQD，则AA′⊥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，即31''42A C=AC，''23A BAB∴=，即棱台上下底面边长的比值为23．故答案为23．三、解答题25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC 1⊥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在⊥ACC 1中，11C P AO OC PC==，所以AC 1⊥OP ， 又因为OP ⊥面PBD ，AC 1⊥面PBD ，所以AC 1⊥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊥面AC 1，CC 1⊥面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ⊥CC 1，CC 1⊥面ACC 1A 1，所以P ⊥面ACC 1A 1，因为A 1⊥面ACC 1A 1，所以A 1P ⊥面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，12BAC BCA ABC ∠=∠=∠，点E 是1A B 与1AB 的交点，D 为AC 的中点.（1）求证：1BC 平面1A BD ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）连结ED ，E 为1A B 与1AB 的交点，E 为1AB 中点，D 为AC 中点，根据三角形中位线定理可得1//ED B C ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥，由菱形的性质可得11AB A B ⊥，1BB ⊥平面ABC ，可得1BC BB ⊥，可证明1BC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可得结果.详解：（1）连结ED ，⊥直棱柱111ABC A B C -中，E 为1A B 与1AB 的交点，⊥E 为1AB 中点，D 为AC 中点，⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .（2）由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =，⊥四边形11ABB A 是菱形，⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ，⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ，⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=，1,BC A B ⊂平面1A BC ，⊥1AB ⊥平面1A BC27．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，⊥BCD 4π=，BC ⊥PD ，PE ⊥BC ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）3． 【详解】 （1）证明：由题意，BC ⊥PD ，BC ⊥PE ，⊥BC ⊥平面PDE ，⊥DE ⊥平面PDE ，⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=，⊥DEC 2π=，⊥ED ＝EC ，⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ，⊥PC ＝PD .（2）解：由题意，底面ABCD 是边长为2的菱形，则ED ＝EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，⊥PE ⊥平面ABCD ，即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=，解得PE = ⊥PC ＝PD ＝2.设点B 到平面PCD 的距离为h ，⊥V B ﹣PCD ＝V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=， ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=，⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ， 所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥， 又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =.。
高中数学本册综合检测题素养作业提技能含解析第二册
本册综合检测题考试时间120分钟，满分150分。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知i是虚数单位,复数z1在复平面内对应的向量错误!＝（－2,1），则复数z＝错误!的虚部为（D）A．－错误!B．－错误!C．错误!D．错误![解析］由题意可知z1＝－2＋i，所以z＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!＋错误!i，因此，复数z的虚部为错误!。
2．某台机床加工的1 000只产品中次品数的频率分布如下表：则次品数的众数、平均数依次为（A)A．0,1.1B．0，1C．4，1D．0。
5，2[解析]由表可知,次品数的众数为0，平均数为0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0。
2＋4×0.05＝1.1．3．已知l，m表示两条不同的直线，α表示平面,则下列说法正确的是（A)A．若l⊥α，m⊂α,则l⊥mB．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若l∥m，m⊂α,则l∥αD．若l∥α,m⊂α，则l∥m[解析]对于A,若l⊥α，m⊂α，则根据直线与平面垂直的性质，知l⊥m，故A正确；对于B，若l⊥m，m⊂α，则l可能在α内,故B不正确；对于C,若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C不正确;对于D，若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行，也可能异面，故D不正确.故选A．4．在△ABC中，角A，B,C所对的边分别是a,b,c,若a＝a cos B ＋b cos A，则△ABC是(A）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形[解析]因为a＝a cos B＋b cos A，所以由余弦定理可得a＝a×错误!＋b×错误!，整理得a＝c,所以△ABC为等腰三角形。
5．已知平面向量a与b的夹角为错误!，且｜a|＝1，｜b|＝2，则｜a＋b｜＝(B)A．3B．错误!C．7D．错误
2.下列关于一组数据的50百分位数的说法正确的是
()
A.50百分位数就是中位数
B.总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%
C.它一定是这组数据中的一个数据
D.它适用于总体是离散型的数据
【解析】选A.由百分位数的意义可知选项B,C,D错误.
3.(教材二次开发:例题/习题改编)数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的 30百分位数是________. 【解析】数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1是按照从小到大的顺序排列 的,因为8×30%=2.4,故30百分位数是第三项数据8.4. 答案:8.4
3.四分位数 中位数即为50百分位数,我们也把中位数、25百分位数和75百分位数称为四分 位数.
【思考】 (1)p百分位数有什么特点? 提示:总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p. (2)某组数据的p百分位数在此组数据中一定存在吗?为什么? 提示:不一定.因为按照计算p百分位数的步骤,第2步计算所得的i=n×p%如果是 整数,则p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数,若第i项与第(i+1)项数据 不相等,则p百分位数在此组数据中就不存在.
【思路导引】(1)依据题设条件,分段写出函数解析式; (2)依据题设条件结合频率直方图,利用方程思想解决; (3)利用百分位数的定义结合频率直方图直接求解.
【变式探究】 根据典例的(2)题中求得的数据计算用电量的15百分位数. 【解析】设15百分位数为x,因为用电量低于100千瓦时的所占比例为0.001× 100=10%,用电量不超过200千瓦时的占30%,所以15百分位数在[100,200)内,所 以0.1+(x-100)×0.002=0.15,解得x=125千瓦时,即用电量的15百分位数为125千 瓦时.
2020-2021学年高一下学期数学(人教A版(2019)必修第二册)(含解析)
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足 ，求 的最大值和最小值．
20．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 、 、…、 、 ．
【详解】
∵向量 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
6．D
【分析】
设出正六棱柱底面边长为 ，可知正六棱柱的高为 ，再通过正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为 可得正六棱锥的高，这样就可以得到答案.
【详解】
设正六棱柱底面边长为 ，由题意可知正六棱柱的高为 ，则可知正六棱柱的侧面积为 .
设正六棱锥的高为 ，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为 上的高为 ，
9．BD
【分析】
根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A，在前四年有下降的过程，故A错误；
对B，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；
对C， ，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；
对D， ，故D正确.
故选：BD
10．ABC
【分析】
对于A， ，可判断错误；对于B找出反例 不满足题意，判定错误；对于C若 ，则其不正确；对于D， ，则其虚部为0，故正确．故可得答案．
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10．下列说法不正确的是（）
2020学年高中数学课时训练(二十二)圆的一般方程苏教版必修2(2021-2022学年)
课时跟踪检测（二十二) 圆的一般方程层级一学业水平达标１．圆ｘ2+y２＋４ｘ－６ｙ－3＝0的标准方程为( )A．（x－2)2+(y-3)2＝16 B.(ｘ－2）2＋（y+3)2=16C．(ｘ＋2)2＋(ｙ－3)２＝１6 D．(x+2)2＋（y＋3)2＝1６解析：选Ｃ将x2＋y2＋4x－6y-3=０配方,易得(x＋2)2+（y-3)2=１6.２.将圆ｘ2＋y2-２x－４y＋4＝０平分的直线是(）A.x+ｙ-1=0B．x+y＋3＝0Ｃ．x－y＋1＝０D．x-y＋3=0解析：选Ｃ要使直线平分圆,只要直线经过圆的圆心即可,圆心坐标为(1,2）．A、Ｂ、C、D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C。
３.方程x2+y2＋2ax＋2bｙ+a２＋b２=0表示的图形为（)A.以（ａ,b)为圆心的圆ﻩB.以(-a,-b)为圆心的圆C．点(a,b) ﻩ D.点(－a,－ｂ)解析：选Ｄ原方程可化为(x+ａ）2+(y+ｂ)2=0，∴错误!未定义书签。
即错误!∴表示点(-a，-b)．4．如果方程x２＋ｙ2＋Dx+Ey＋F=0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于直线y=x对称,则必有（）A.D＝EB.D＝FC．E＝Ｆ D.D=E=Ｆ解析:选A由D2+E２-4F>0知,方程表示的曲线是圆，其圆心错误!未定义书签。
在直线ｙ＝x 上，故D＝Ｅ.５．当ａ为任意实数时，直线(a－1）x－y＋a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，错误!未定义书签。
为半径的圆的方程为( )Ａ．x2+y2－2ｘ+4ｙ=０Ｂ．x２+ｙ2＋2x+4y=0C．x2＋y２＋２x－4ｙ=0 ﻩ D.ｘ２＋y2－2x－4y＝０解析:选C 直线(a－1)x－y＋a+1＝0可化为(-x－y＋1)＋ａ(1+x)=0,由错误!未定义书签。
得C（－1,2).∴圆的方程为(x+1）2＋(y－２)2＝５，即x２＋ｙ2+2ｘ－４ｙ=0.6.设Ａ为圆(x－１)２+y2=1上的动点，PA是圆的切线且ＰＡ=1，则P点的轨迹方程是____＿___．解析:设P(x,y)是轨迹上任一点，圆（x-1)2+y2=1的圆心为B(1,0)，则PA2+1＝PB２，∴(x－1)２＋y2=２。
2021年苏教版高中数学选修1-2全册同步练习及单元检测含答案
2021年苏教版高中数学选修1-2全册同步练习及单元检测含答案苏教版高中数学选修1～2 全册同步练习及检测苏版高中数学课时作业及单元检测题全册合编含答案第1章统计案例§1.1 独立性检验课时目标1.了解独立性检验的基本思想.2.体会由实际问题建模的过程，了解独立性检验的基本方法．1．独立性检验：用______________研究两个对象是否有关的方法称为独立性检验． 2．对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B，Ⅱ也有两类取值，即类1和类2.我们得到如下列联表所示的抽样数据：Ⅱ 类A 类B 合计类1 a c a＋c 类2 b d b＋d 合计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d Ⅰ则χ2的计算公式是________________． 3．独立性检验的一般步骤：(1)提出假设H0：两个研究对象没有关系；(2)根据2×2列联表计算χ2的值；(3)查对临界值，作出判断．一、填空题1．下面是一个2×2列联表：x1 x2 总计 y1 a 8 b y2 21 25 46 总计 73 33 则表中a、b处的值分别为________，________. 2．为了检验两个事件A，B是否相关，经过计算得χ2＝8.283，则说明事件A和事件B________(填“相关”或“无关”)．3．为了考察高一年级学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在高一年级随机抽1苏版高中数学课时作业及单元检测题全册合编含答案取了300名，得到如下2×2列联表．判断学生性别与是否喜欢数学________(填“有”或“无”)关系.男女合计喜欢 37 35 72 不喜欢 85 143 228 合计 122 178 300 4．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2＝99.9，根据这一数据分析，下列说法正确的是________(只填序号)．①有99.9%的人认为该栏目优秀；②有99.9%的人认为栏目是否优秀与改革有关系；③有99.9%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；④以上说法都不对．5．某班班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示．从表中数据分析，学生学习积极性与对待班级工作的态度之间有关系的把握有________.学习积极性高学习积极性一般合计 6．给出下列实际问题：①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟人群是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系．其中用独立性检验可以解决的问题有______．7．下列说法正确的是________．(填序号)①对事件A与B的检验无关，即两个事件互不影响；②事件A与B关系越密切，χ2就越大；③χ2的大小是判断事件A与B是否相关的唯一数据；④若判定两事件A与B有关，则A发生B一定发生．8．某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3 000人，计算发现χ2＝6.023，根据这一数据查表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系，这一断言犯错误的概率不超过____________________________________________________．二、解答题2积极参加班级工作 18 6 24 不太主动参加班级工作 7 19 26 合计 25 25 50 苏版高中数学课时作业及单元检测题全册合编含答案9．在对人们休闲的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表； (2)检验性别与休闲方式是否有关系．10．有甲、乙两个工厂生产同一种产品，产品分为一等品和二等品．为了考察这两个工厂的产品质量的水平是否一致，从甲、乙两个工厂中分别随机地抽出产品109件，191件，其中甲工厂一等品58件，二等品51件，乙工厂一等品70件，二等品121件．(1)根据以上数据，建立2×2列联表；(2)试分析甲、乙两个工厂的产品质量有无显著差别(可靠性不低于99%)能力提升11．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：3苏版高中数学课时作业及单元检测题全册合编含答案①若χ2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．12．下表是对某市8所中学学生是否吸烟进行调查所得的结果：父母中至少有一人吸烟父母均不吸烟吸烟学生 816 188 不吸烟学生 3 203 1 168 (1)在父母至少有一人吸烟的学生中，估计吸烟学生所占的百分比是多少？ (2)在父母均不吸烟的学生中，估计吸烟学生所占的百分比是多少？ (3)学生的吸烟习惯和父母是否吸烟有关吗？请简要说明理由． (4)有多大的把握认为学生的吸烟习惯和父母是否吸烟有关？1．对独立性检验思想的理解独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认两个变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设“两个变量没有关系”成立，在该假设下我们构造的随机变量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则在一定程度上4感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2020-2021高中数学人教版第二册学案：6.3.1平面向量基本定理含解析
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6.3.1平面向量基本定理含解析6.3平面向量基本定理及坐标表示6．3.1平面向量基本定理[目标］1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义,理解平面向量基本定理；2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．[重点] 平面向量基本定理．[难点] 平面向量基本定理的应用．要点整合夯基础知识点平面向量基本定理[填一填］(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.（2）若e1，e2不共线，我们把｛e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．［答一答］1．基底有什么特点?平面内基底唯一吗？提示：基底中的两向量e1，e2不共线,这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．2．如图,设OA、OB、OC为三条共端点的射线，P为OC上一点，能否在OA 、OB 上分别找一点M 、N ，使OP →＝错误!＋错误!？提示：能。
过点P 作OA 、OB 的平行线，分别与OB 、OA 相交，交点即为N 、M .3．若向量a ，b 不共线，且c ＝2a －b ,d ＝3a －2b ，试判断c ，d 能否作为基底．提示：设存在实数λ使得c ＝λd ，则2a －b ＝λ（3a －2b )，即(2－3λ)a ＋（2λ－1)b ＝0.由于a ，b 不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0,这样的λ是不存在的，从而c ，d 不共线，故c ，d 能作为基底。
典例讲练破题型类型一 基底的概念［例1] 下面说法中，正确的是（ ）①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的．A ．②④B ．②③④C ．①③D ．①③④［解析] 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．［答案]B根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线,则它们不能作为一组基底。
2020-2021学年苏教版高中数学必修一全册课时同步练习及解析
（新课标）最新苏教版高中数学必修一§1.1 集合的含义及其表示（1）课后训练【感受理解】1．给出下列命题(其中N 为自然数集) ：①N 中最小的元素是1 ②若a ∈N 则-a ∉N ③ 若a ∈N,b ∈N ，则a+b 的最小值是2（4）x x 212=+的解可表示为}1,1{， 其中正确的命题个数为 . 2．用列举法表示下列集合.①小于12的质数构成的集合；②平方等于本身的数组成的集合；③由||||(,)a b a b R a b+∈所确定的实数的集合； ④抛物线221y x x =-+ (x 为小于5的自然数)上的点组成的集合.3. 若方程x 2-5x+6=0和方程x 2-x-2=0的解为元素的集合为M ，则M 中元素的个数为4．由2,2,4a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则a 的取值可以是【思考应用】5．由实数332,,,x x x x --所组成的集合里最多有 个元素.6. 由“,x xy ”组成的集合与由“0,||,x y ”组成的集合是同一个集合，则实数,x y 的值是否确定的？若确定，请求出来，若不确定，说明理由.7．定义集合运算：},),({B y A x y x xy z z B A ∈∈+==Θ，设集合}3,2{},1,0{==B A ，求集合B A Θ.8．关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠，当,,a b c 分别满足什么条件时，解集为空集、含一个元素、含两个元素？9. 已知集合{,}A x x m m Z N Z ==+∈∈.(1)证明：任何整数都是A 的元素；(2)设12,,x x A ∈求证：12,x x A ⋅∈【拓展提高】9.设S 是满足下列两个条件的实数所构成的集合： ①1S ∉，②若a S ∈，则11S a ∈-， 请解答下列问题：（1）若2S ∈，则S 中必有另外两个数，求出这两个数；（2）求证：若a S ∈，则11S a-∈ （3）在集合S 中元素能否只有一个？请说明理由；（4）求证：集合S 中至少有三个不同的元素.§1.1集合的含义及其表示（2）课后训练1． 设a ，b ，c 均为非零实数，则x=||||||||a b c abc a b c abc+++的所有值为元素组成集合是________2． 集合}9,7,5,3,1{用描述法表示为 .3． 下列语句中，正确的是 .（填序号）（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}；（3）方程0)2()1(22=--x x 的所有解的集合可表示为{1，1，2，2} （4）集合}54{<<x x 可以用列举法表示.4．所有被3整除的数用集合表示为 .5．下列集合中表示同一集合的是` （填序号）（1）M={3，2}，N={2，3} （2）M={(3，2)}，N={（2，3）}（3）M={(,)1},{(,)1}x y x y N y x x y +==+= (4) M={1，2}，N={(1,2)}6.下列可以作为方程组⎩⎨⎧-=-=+13y x y x 的解集的是 （填序号） （1）{1,2},x y ==(2){1,2}(3){(1,2)} （4）{(,)12}(5){(,)12}x y x y x y x y ====且或（6）}0)2()1(),{(22=-+-y x y x7．用另一种方法表示下列集合.（1）{绝对值不大于2的整数} （2）{能被3整除，且小于10的正数}（3）}5,{Z x x x x x ∈<=且 （4）*},*,6),{(N y N x y x y x ∈∈=+（5）{5,3,1,1,3--}8．已知{}{}0|,0|22=+-==++=q px x x B q px x x A .当{}2=A 时，求集合B9．用描述法表示图中阴影部分（含边界）的点的坐标集合.10．对于*,N b a ∈,现规定：⎩⎨⎧⨯+=)()(*的奇偶性不同与的奇偶性相同与b a b a b a b a b a ，集合{(,)*36,,*}M a b a b a b N ==∈ （1） 用列举法表示b a ,奇偶性不同时的集合M.（2） 当b a ,奇偶性相同时的集合M 中共有多少个元素？【拓展提高】11 设元素为正整数的集合A 满足“若x A ∈,则10x A -∈”.（1）试写出只有一个元素的集合A ；（2）试写出只有两个元素的集合A ；（3）这样的集合A 至多有多少个元素？（4）满足条件的集合A 共有多少个？§1.2 子集·全集·补集（1）课后训练【感受理解】1． 设M 满足{1，2，3}⊆M ≠⊂{1，2，3，4，5，6}，则集合M 的个数为 2．下列各式中，正确的个数是 ①0={0}；②0∈{0}；③{1}∈{1，2，3}；④{1，2}⊆{1，2，3}；⑤{a ，b}⊆{a ，b}．3．设{|12}A x x =<< ，{|}B x x a =<，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围是 .4．若集合A ={1，3，x}，B ={x 2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数为 . 5．设集合M ={(x,y)|x+y<0，xy>0}和N ={(x,y)|x<0，y<0}，那么M 与N 的关系为______________．6．集合A ={x|x=a 2-4a+5，a ∈R}，B ={y|y=4b 2+4b+3，b ∈R} 则集合A 与集合B 的关系是________．【思考应用】7.设x ，y ∈R ，B={(x,y)|y-3=x-2}，A={(x,y)|32y x --=1}，则集合A 与B 的关系是_______ ____． 8.已知集合{}{}|21,,|41,,A x x n n Z B x x n n Z ==+∈==±∈则,A B 的关系是 .9．设集合{}{}21,3,,1,,1,A a B a a a ==-+,A B =若则________=a .10．已知非空集合P 满足：(){}11,2,3,4;P ⊆()2,5a P a P ∈-∈若则，符合上述要求的集合P 有 个.11．已知A={2，4，x 2-5x+9}，B={3，x 2+ax+a}，C={x 2+(a+1)x-3，1}. 求（1）当A={2，3，4}时，求x 的值；（2）使2∈B ，BA ，求x a ,的值； （3）使B= C 的x a ,的值．【拓展提高】12．已知集合{}{},121|,52|-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A 满足,A B ⊆求实数m 的取值范围.(变式)已知集合{}{}|25,|121,A x x B x m x m =-<<=+<<-满足,A B ⊆求实数m 的取值范围.⊂ ≠§1.2 子集·全集·补集（2）课后训练【感受理解】1．设集合{}{},,3|,,4|22R b b y y B R a a x x A ∈+-==∈+-==则A ，B 间的关系为 . 2若U={x|x 是三角形}，P={x|x 是直角三角形}则U C P = . 3已知全集+=R U ，集合{}|015,,A x x x R =<-≤∈则_______.U C A = 4．已知全集}{非零整数=U ，集合}},42{U x x x A ∈>+=，则=A C U .5．设},61{},,5{N x x x B N x x x A ∈<<=∈≤=，则=B C A .【思考应用】6．设全集U={1，2，3，4，5}，M={1，4}，则U C M 的所有子集的个数是 .7．已知全集},21{*N n x x U n ∈==，集合}*,21{2N n x x A n ∈==，则=A C U .8．已知A A y ax y x A Z a ∉-∈≤-=∈)4,1(,)1,2(}3),{(,且，则满足条件a 的值为 .9．设U=R ，}1{},31{+≤≤=≥≤=m x m x B x x x P 或，记所有满足P C B U ⊆的m 组成的集合为M ，求M C U .10.（1）设全集{}{},1|,1|,+>=≤==a x x B x x A R U 且U C A B ⊆，求a 的范围.（2）已知全集{}{}{}22,3,23,2,,5,U U a a A b C A =+-==求实数b a 和的值.【拓展提高】10．已知全集}5{的自然数不大于=U ，集合}1,0{=A ，}1{<∈=x A x x B 且，}1{U x A x x C ∈∉-=且．（1）求U B ð，U C ð．（2）若}{A x x D ∈=，说明D B A ,,的关系.§1.3 交集·并集（1）课后训练【感受理解】1．设全集{1,2,3,4,5},{1,3,5},{2,4,5}U A B ===,则()()U U C A C B =I .2．设集合{|5,},{|1,}A x x x N B x x x N =≤∈=>∈，那么A B =I .3．若集合22{|21,},{|21,}P y y x x x N Q y y x x x N ==+-∈==-+-∈，则下列各式中正确的是 .(1);(2){0};(3){1};(4)P Q P Q P Q P Q N =∅==-=I I I I4．已知集合A={x|-5<x<5}，B={x|-7<x<a}，C={x|b<x<2}，且A ∩B=C ，则 a ，b 的值分别为 .【思考应用】5．设全集U={1，2，3，4}，A 与B 是U 的子集，若A ∩B ＝{1，3 }，则称(A,B)为一个“理想配集”.（若A ＝B ，规定(A,B)＝(B, A)；若A ≠B ，规定(A,B)与(B, A)是两个不同的“理想配集”）.那么符合此条件的“理想配集”的个数是 .6．记{}{},361T ,的三角形，至少有一内角为至少有一边为等腰三角形。
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（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二全册综合练习一、填空题1. 圆C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心到原点的距离是________．2. 已知直线l过直线l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y －5＝0，则直线l的方程是________________．3. 已知圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是________________．4. 不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点________．5. 半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为__________________．6. 给出下列说法：①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°；②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；③不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；④水平放置的平面图形的直观图是平面图形．其中，正确的说法是________．(填序号)7. 如图，正方体的棱长为1，C，D分别是两条棱的中点，A，B，M是顶点，那么点M 到截面ABCD的距离是________．(第7题)(第8题)8. 如图，正四棱锥SABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为________．9. 已知一圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．10. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥DABC 1的体积为__________．二、 解答题11. 已知直线l 1：(a ＋1)x ＋y －a ＋1a 2＋1＝0，l 2：x －y －a 2－3a 2＋1＝0.(1) 当a 为何值时，l 1∥l 2? 当a 为何值时，l 1⊥l 2?(2) 若l 1与l 2相交，且交点在第一象限，求a 的取值范围．12. 如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E 是棱AA1上任意一点．(1) 求证：BD⊥EC1；(2) 如果AB＝2，AE＝2，OE⊥EC1，求AA1的长．13. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB＝2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，点G为BC的中点．求证：(1) 直线OG∥平面EFCD；(2) 直线AC⊥平面ODE.14. 已知直线x －2y ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2－4y ＋m ＝0相交，截得的弦长为255.(1) 求圆C 的方程；(2) 过原点O 作圆C 的两条切线，与抛物线y ＝x 2相交于M ，N 两点(异于原点)．求证：直线MN 与圆C 相切．1. 5 解析：圆心C(－1，2)到原点距离d ＝（－1）2＋22＝ 5.2. 8x ＋16y ＋21＝0 解析：由直线l 过l 1与l 2的交点，故可设直线l 的方程为3x －5y －10＋λ(x ＋y ＋1)＝0，即(3＋λ)x ＋(λ－5)y ＋λ－10＝0.∵ l ∥l 3，∴ 3＋λ1＝λ－52≠λ－10－5，∴ λ＝－11. ∴ 直线l 的方程为－8x －16y －21＝0，即8x ＋16y ＋21＝0.3. 3x －y －9＝0 解析：AB 的垂直平分线经过两圆的圆心(2，－3)，(3，0)，所以AB 的垂直平分线的方程是y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.4. (9，－4) 解析：在(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0中，令⎩⎨⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝9，y ＝－4.5. (x ＋4)2＋(y －6)2＝36或(x －4)2＋(y －6)2＝36解析：设圆心坐标为(a ，b)，由所求圆与x 轴相切且与圆x 2＋(y －3)2＝1相内切可知，所求圆的圆心必在x 轴的上方，且b ＝6，即圆心为(a ，6)．由两圆内切可得a 2＋（6－3）2＝6－1＝5，所以a ＝±4.所以所求圆的方程为(x ＋4)2＋(y －6)2＝36或(x －4)2＋(y －6)2＝36.6. ④ 解析：对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x 轴、y 轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x 轴、y 轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则．对于②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形．对于③，只要坐标系选取恰当，不等边三角形水平放置的直观图可以是等边三角形．7. 23 解析：设点M 到截面ABCD 的距离为h ，由V C ABM ＝V M ABC 知13·S △ABM ·1＝13·S △ABC ·h ，又S △ABM ＝12，S △ABC ＝12·2·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝34，∴ h ＝23.8. 43π 解析：如图，过S 作SO 1⊥平面ABCD ，由已知O 1C ＝12AC ＝1.在Rt △SO 1C 中， ∵ SC ＝2，∴ SO 1＝SC 2－O 1C 2＝1，∴ O 1S ＝O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝O 1D ，故O 1是过S ，A ，B ，C ，D 点的球的球心，∴ 球的半径为r ＝1，∴ 球的体积为43π·r 3＝43π.9. 20 6 解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝52,∴ 圆心为P(3，4)．∴ 过点(3，5)的最长弦为直径AC ＝10, 过点(3，5)的最短弦长BD ＝4 6.故四边形ABCD 的面积＝12·AC ·BD ＝12×10×46＝20 6. 10. 1311. 解：(1) 当(a ＋1)·(－1)－1＝0且－a 2－3a 2＋1－a ＋1a 2＋1≠0时，l 1∥l 2，上式无解，即不存在a ∈R ，使l 1∥l 2.当(a ＋1)·1－1＝0，即a ＝0时，l 1⊥l 2.(2) 方程联立得交点为(a －1a 2＋1，－a 2＋a ＋2a 2＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1a 2＋1>0，－a 2＋a ＋2a 2＋1>0，解得1＜a ＜2.12. (1) 证明：由题设条件，容易证明BD ⊥平面AA 1C 1C.又EC ⊂平面AA 1C 1C ，所以BD ⊥EC 1.(2) 解：设A 1E ＝x ，在Rt △AEB 中，AE ＝2，AB ＝2，则BE ＝6； 在Rt △BCC 1中，BC ＝2，CC 1＝x ＋2，则BC 21＝BC 2＋CC 21＝22＋(x ＋2)2；在Rt △EA 1C 1中，EC 21＝A 1E 2＋A 1C 21＝x 2＋(22)2.又由(1)知BD ⊥EC 1且OE ⊥EC 1，BD ∩OE ＝O ， ∴ EC 1⊥平面BDE.又BE ⊂平面BDE ，∴ EC 1⊥BE.∴ △BEC 1为直角三角形．∴ BC 21＝BE 2＋EC 21，即22＋(x ＋2)2＝6＋x 2＋(22)2，解得x ＝2 2.又AE ＝2，∴ AA 1＝3 2.13. 证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是菱形，AC ∩BD ＝O ， ∴ 点O 是BD 的中点．∵ 点G 为BC 的中点，∴ OG ∥CD. ∵ OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴ 直线OG ∥平面EFCD.(2) ∵ BF ＝CF ，点G 为BC 的中点， ∴ FG ⊥BC.∵ 平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF ∩平面ABCD ＝BC ，FG ⊂平面BCF ，FG ⊥BC ， ∴ FG ⊥平面ABCD.∵ AC ⊂平面ABCD ，∴ FG ⊥AC.∵ OG ∥AB ，OG ＝12AB ，EF ∥AB ，EF ＝12AB ，∴ OG ∥EF ，OG ＝EF ，∴ 四边形EFGO 为平行四边形， ∴ FG ∥EO. ∴ AC ⊥EO.∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AC ⊥DO. ∵ EO ∩DO ＝O ，EO ，DO 在平面ODE 内， ∴ AC ⊥平面ODE.14. (1) 解：∵ C(0，2)，∴ 圆心C 到直线x －2y ＋2＝0的距离为d ＝|0－4＋2|5＝25.∵ 截得的弦长为255，∴ r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝1，∴ 圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝1.(2) 证明：设过原点的切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，∴ |0－2|k 2＋1＝1，解得k ＝±3， ∴ 过原点的切线方程为y ＝±3x. 不妨设y ＝3x 与抛物线的交点为M ，则⎩⎨⎧y ＝3x ，y ＝x 2，解得M(3，3)，同理可求得N(－3，3)， ∴ 直线MN ：y ＝3.∵ 圆心C(0，2)到直线MN 的距离为1且r ＝1，。