力学课件 质点动力学习题课
质点动力学优质获奖课件
由此拟定力 F 旳方向与矢径 相反，即力 旳方向恒指向椭
圆中心 ，称之为有心力
理论力学
第十一章
第三节 质点运动微分方程
质点动力学基本方程
例题：摆动输送机由曲柄带动货架AB输送质量为m旳木箱。
已知两曲柄旳长度O1A O2B 1.5 m 、O1O2 AB；在 45 输 送机由静止开始开启，曲柄 O1A 旳初角加速度 0 = 5 rad/s 。 若开启时木箱与货架间没有相对滑动，试拟定木箱与货架间
静摩擦因数旳最小值。
O1
0
A
O2
m
B
理论力学
第十一章
第三节 质点运动微分方程
质点动力学基本方程
O1
0
an
m
aτ
A
O2
a
B
解：该问题属于第一类问题。
1、研究木箱，视为质点。进行运 动分析
在开启瞬时，点A旳加速度:
v2
an
l
0
at l0
故该瞬时木箱加速度旳大小 a at l0
理论力学
理论力学
第十一章
第三节 质点运动微分方程
质点动力学基本方程
例题：如图所示，从某处抛射一质量为m旳物体，已知初速度
为v0，抛射角即初速度对水平线旳夹角为α, 若不考虑空气阻 力旳影响，试求物体旳运动方程和轨迹方程。
y
v0
x
理论力学
第十一章
第三节 质点运动微分方程
质点动力学基本方程
解：本题属于动力学第二类问题，即已知力求运动。
第十一章
第三节 质点运动微分方程
质点动力学基本方程
解：2、对木箱进行受力分析
O1
0
an
大学物理质点力学第一章 质点运动学 PPT
方向：
cosa
=
x r
cosβ=
y r
cosγ=
z r
路程:质点所经路径得总长度。
三、速度
描述位置矢量随时间变化快慢得物理量
1、平均速度
在移质为点r由）A，到单B的位过时程间中内（的所平用均时位间移为称为t该，质所点发在生该的过位
程中的平均速度。
v
=
Δ Δ
r t
=
Δx Δt
i
+ΔΔ
y t
j
+
Δ Δ
0
Δx
Δ t —割线斜率（平均速度）
dx —切线斜率（瞬时速度） dt
x~t图
t tt
1
2
2、 v ~ t 图
v ~ t图
割线斜率：
Δv Δt = a
v v2
切线斜率：
dv dt
=a
v1
v ~ t 图线下得面积(位移):
0 t1
t2
x2
dt dx x2 x1 x
t1
x1
t2 t
3、 a ~ t 图
=
dθ
dt
B
Δθ A
θ
0
x
(3)、角加速度
β =ΔΔωt
β
=
lim
Δt
Δω
0Δ t
=ddωt
=ddθt2 2
(4)、匀变速率圆周运动
0
t
1 2
t2
0 t
2
2 0
2
(5)、线量与角量得关系
Δ s = rΔθ
lim Δ s
Δt 0Δ t
=
lim
Δt 0
r
Δθ
理论力学9质点动力学基本方程ppt课件
小球在水平面内作匀速圆周运动。
a 0,
an
v2 r
12.5 m
s2
方向指向O点。
45º A B
60º
Or
A
FA
B
60º
FB O an
r
M
v
mg
建立自然坐标系得：
v2
m r FA sin 45 FB sin 60
(1)
0 mg FA cos 45 FB cos60 (2)
解得： FA 8.65 N, FB 7.38 N
9.3 质点动力学的两类基本问题
1. 力是常数或是时间的简单函数
v
t
mdv F(t)dt
v0
0
2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv dx v dv dt dx dt dx
v
x
mvdv F(x)d x
v0
x0
3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
vm
t
d v dt
9.1 动力学的基本定律
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是 大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分 别作用在这两个物体上。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为 古典力学。
必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的 加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律 不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称 为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。
v0 F (v)
0
例例1 9如.1图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方
程为x＝a cos wt，y＝a sin wt，求作用在质点上的力F。
解：以质点M为研究对象。分析运 动：由运动方程消去时间 t，得
力学习题课PPT课件
1．如图，两小球质量相等，均为m，开始时外力使劲度 系数为k的弹簧压缩某一距离x，然后释放，将小球m1投 射出去，并于静止的小球m2发生弹性碰撞，碰后m2沿半 径为R的圆轨道上升，达到A点恰与圆环脱离，A与竖直
线所成角q = 60°，忽略一切摩擦力。试求弹簧被压缩的
距离x等于多少？
解: 过程I，发射m1，机械能守恒。 kx2 2 mu120 2
过程III，泥球-板向下运动，泥球-板-弹簧-地球机械 能守恒，弹性势能零点在原长处、重力势能零点在 板的平衡位置。
1 2
k x02
1 2
(m
M
)u 2
1 2
k ( x0
x)2
(m
M
)gx
m
四式联立有，x mg (1 1
2kh )
h
f M
k
(M m)g
G10
3．一质量为m的子弹，水平射入悬挂着的静止砂袋中， 如图所示．砂袋质量为M，悬线长为l．为使砂袋能在竖 直平面内完成整个圆周运动，子弹至少应以多大的速度 射入？
解: 过程I，子弹-砂袋发生完全非弹性碰撞，动量守恒。
mu0 (m M )u1
过程II，轨道运动，遵循牛顿运动定律和机械能守 恒。以最低点为势能零点，在最高点有，
m M g N m M u 2
R
1 2
m
M
u12
2m
M
gR
1 2
m
M
u
2
m
NG O l M
mgR(1
c osq
)
1 2
mu 2
大学物理习题课件2.质点动力学1
当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f=kv(k
为常数），证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间t
的关系为
v
mg
F
(1
kt
em
)
k
F
式中t为从沉降开始计算的时间
证明：作受力图，取坐标。
f
根据牛顿第二定律，有
mg kv F ma m dv dt
a x
mg
mg kv F ma m dv dt
静摩擦力： 0 f N
摩
0
0
擦
方向：与物体相对滑动趋势的方向相反
力 滑动摩擦力： f N
方向：与物体相对运动的方向相反
判断下列情况中的摩擦力的方向：
F
F
四、牛顿运动定律的应用
1、动力学的两大类问题
（1）已知运动求力：
r r t v t
dr
at
dv
F
ma
（2）已知力求运动：
dt
dt
直角坐标系：
Fx
max
m
dvx dt
,
自然坐标系：
F
ma
m
dv , dt
Fy
may
m
dvy dt
Fn
man
m
v2
例2-1：升降机内有一固定光滑 斜面，倾角为，如
图物A所体对解示A地：沿。设的斜当A加面相升速滑对降度下于机为，斜以求面a匀 A的加对a加速地速a面a度0 0上的为升加a时速＇Y，度质。量为Am的aN0
ax＝ax＝a cos
a'
mg
ay＝ay a０＝a０ a sin
根据牛顿第二定律，有
N sin ＝macos
第二章-质点动力学(教学版)-(3)PPT课件
例题2.3 有一轻绳索围绕在圆柱上，绳索绕圆柱的张 角为θ,绳与圆柱间的静摩擦系数为µ，求绳索处于滑动 的边缘时,绳两端的张力间的关系。
Y
B
A
N
f
d 2 X
0
T
d
TB
TA .
T dT
20
例题2.4、从实验知道,当物体速度不大时,可认为空 气阻力正比于物体的速度,问以初速度竖直向上运动 的物体,其速度将如何变化？
理想实验之二：
.
？3
当球沿斜面的顶端向下滚后，即沿对面的斜面向上滚，达 到与原来差不多的高度。他推论： ①若无摩擦力，减少后一斜面的斜率，球仍达到同一高度，但 这时球要滚得远些； ②斜率愈小，球滚得愈远； ③若将后一斜面放平，球要永远滚下去。
惯性定律：任物体都要保持其静止或匀速直线运动状 态，直到外力迫使它改变运动状态为止。
③约束方程：物体作约束运动时，受到限制常表现为各坐标 之间 一定的函数关系。
例2.2：如图，求每个物体的加速度?
设动滑轮的中心坐标为x，加速度
为a，由约束条件（绳长不变）给出
0
xx3 l1
x3
x2 xx1 x l2 m 3
x
a3 12a1 a2
x2
x1
m2
m1
x
.
19
三、解题步骤：
①明确题意，确定研究对象； ②隔离物体，受力分析，画受力图； ③选取坐标系，列出分量方程式（包括约束方程）； ④解方程，讨论。
.
2
§2.1、牛顿三定律和伽利略变换
牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中，把运动规律归纳 为三条定律，现分别叙述如下.
一、第一定律（惯性定律）
该定律最初是伽利略（近代科学之父）提出的，他设计了 两个理想实验：
质点运动学和动力学习题课
2 t SI）沿直线运动。设滑块初速度 2-7 一滑块以加速度 a sin （ 2
v0 2 ，且以滑块中心与坐标原点重合时为起始位置，求：
（1）滑块任意时刻的速度； （2）滑块的运动方程。 解：滑块作匀速直线运动。
（） 1 dv a 2 sin t， dt 2 v 2 cos d v 2 sin
二、填空题 1. 在光滑的水平面上 , 一根长 L=2m 的绳子 , 一端固定于 O 点,另一端系一质量为m=0.5kg的物体,开始时,物体位于 位置A，OA间距离D=0.5m，绳子处于松弛状态 ,现在使物 体以初速度vA=4m· s-1垂直于OA向右滑动,如图所示。设以 后的运动中物体到达位置 B,此时物体速度的方向与绳垂 1kg· m2/s 直,则此时刻物体角动量的大小为 。速率 为 1m/s 。
解：（）因 1 a 3m s 2 为常量，故由任一时刻的速率v a t，得 v 2 a2t 2 an R R 当总加速度a与径向成450时，an a，即 a2t 2 a R t R 1s a
（2）在上述0到1s内，质点经过的路程为 1 2 s a t 1.50 m 2
4
5. 如图，一弹簧劲度系数为 k ，一端固定在 A 点，另一 端连接一质量为m的物体，靠在光滑的半径为R的圆柱表 面，弹簧原长为 AB ，在切向变力 F 的作用下，物体极缓 慢地沿表面从位置B移到C，试分别用积分方法和功能原 理求力F作的功。 解：积分法 F mg cos kR
功能原理
2 2 2 2 2
2
可知质点作半径 R 3m
的圆周运动，故切向加速度 a 和法向加速度an分别为
2 dv v2 （ 12） a 0 an 48 （m s 2 ） dt R 3 2-5 一质点沿 x 轴运动，其加速度 a 与位置坐标 x 的关系为
工程力学下册05质点动力学的基本方程 ppt课件
● 5.1.2 惯性参考系
动力学基本定律涉及质点的不同运动状态——静止、匀速直
线运动和加速运动等运动状态，所给出的结论只有在惯性参考系
中才是正确的。
在某参考系中，若观测某个所受合外力等于零的质点的运动，
如果此质点正好处于静止或匀速直线运动状态，则该参考系称为
惯性参202考0/11系/13 。
6
● 5.2 质点的运动微分方程及其应用 ● 5.2.1 质点运动微分方程
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
● 5.1.1 动力学基本定律(牛顿定律)
牛顿第一定律(惯性定律) 任何物体，如果不受外力作用(包括所受合外力为零的情 况)，将保持静止或匀速直线运动状态。这是物体的固有属性， 称为惯性。这个定律定性地表明了物体受力与运动之间的关系， 即力是改变物体运动状态的根本原因。
● 5.2.2 质点动力学的两类基本问题 第一类基本问题：已知质点的运动，求解此质点所受的力。 第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。
一般来说，第一类基本问题需用微分和代数方法求解，第
二类基本问题需用积分方法求解。对于含有非线性函数的运动 微分方程，大多数情况下很难得到解析解，通常只能应用数值 方法求解。此外，求解微分方程时将出现积分常数，这些积分 常数通常根据质点运动的初始条件(如初始速度和初始位置等) 来确定。因此，对于这类问题，除了作用于质点的力外，还必 须知道质点运动的初始条件。
质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不 计的物体。质点是物体最简单、最基础的模型，是构成复杂 物体系统的基础。动力学可分为质点动力学和质点系动力学， 前者是后者的基础。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章教学基本要求：
⒈理解牛顿运动定律的基本内容，掌握牛顿运动定律的适用条件。
⒉掌握常见力的性质和计算方法，能熟练地分析物体受力。
⒊熟练掌握运用牛顿定律和运动学知识解题的思路和步骤，并能科学地表述。
能用微积分方法求解一维变力作用下的质点动力学问题。
内容提要:
牛顿定律
第一定律: 任何物体如果不受其它物体的力的作用，就会保持静止或匀速直线运动的状态。
第二定律: )(d d v
m t
F =
当质量m 为常量时，a m F
= 在直角坐标系中，
z z y y x x ma F ma F ma F ===,,
在自然坐标系中，
ρ2
,v m
F dt dv m F n t ==
第三定律: 2112F F
-=
力学问题中的几个常见力
万有引力 G 2
r mM
重力 mg
弹簧力 f = -kx 正压力与支持力 N= -N ′ 滑动摩擦力 f μ = μN 静摩擦力 f μ ≤μN
习题1：
一半径为R 的环形竖直壁固定在光滑的水平面上，如题图所示，一质量为m 的物块紧靠着壁的内侧在水平面上运动。
已知物块与环形壁之间的摩擦系数为μ，0=t 时物块的速率为0v ，求物块的速率v 随时间t
图2-7
解： 研究对象：m 受力： 自然坐标系 方程：
法向： R v m N 2
= （1）
切向： dt dv
m f r =- （2）
N f r μ= （3） 求解：由 上 述 各 式 可 得 dt dv
R v =-2
μ
分离变量法
⎰⎰-=v v t v dv R dt 020μ
得： t v R Rv v 00
μ+=
图2-7
f
习题2：
一细绳跨过光滑的定滑轮,一端挂一m 重物,另一端被人用双手拉着,人悬空,质量 m/2,若人以相对于绳的加速度0a 向上爬,且不打滑,求:人相对于地的加速度。
解：如图建坐标,
分别选人和重物m 为对象, 受力分析,
设m 对地加速度为a ： 对m ：
ma mg T =-
对人：)(2
1210a a m mg T -=- 解得：30g a a -=
人相对于地的加速度为3
200g
a a a +=-
习题3：
一根弯成如图所示形状的金属丝，其上套一小环，设环与金属丝间的摩擦可略去不计.当金属丝以匀角速度ω绕竖直对称轴转动时，小环在金属丝上任何地方都能平衡，即与金属丝无相对运动，问这根金属丝要弯成什么形状?
解 : 小环受力如图所示, 当小环位置坐标为x y 、时其动力学方程为 :
N m x
N mg sin cos θωθ==2
而 x y d d tg =θ ,
所以 g x
x y 2
d d ω=
积分得
y x
g
c
=
+ω22
2 由x =0, y =0 定出 c =0
m g
θ
N
∴y
x
g
=
ω22
2 .
此即金属丝形状所满足的方程，应为顶点即坐标原点，口向上的抛物线。
习题4:
如图，升降机内有两个物体，质量分别为m1=100g和m2=200g，用细绳连接后跨过滑轮；绳子的长度不变，绳和滑轮的质量、滑轮轴上的摩擦及桌面的摩擦均可略去不计.当升降机以匀加速度a=4.9 m·s2上升时，
(1)在机内的观察者看来，m1和m2的加速度各是多少?
(2)在机外地面上的观察者看
来，它们的加速度又各是多少?
解: m m
12
,的受力如图。
设m m 12和相对升降机的加速度大小为a '
，
方向为m 1水平向右，m 2竖直向下。
因此对m m 12,分别用牛顿第二定律列方程如下 :
()T m a
T m g m a a =-=-122'
'
解得 ()a m a g m m '
.=++=212
98 m/s 2
（1）
机内观察者看 :
2
22
1m /s
8.9';
m /s 8.9j a i 'a -==
地面上观察者看 : 222
1m /s 9.4;m /s 9.48.9j a j i a -=+=
作业：P135，2.15（用牛顿定律求解）
m 1g
T
N
m 1 m 2g
T
m 2。