人教版八年级数学 《三角形的高、中线、角平分线》同步练习题(含答案)
人教版八年级数学《三角形的高、中线、角平分线》同步练习题
选择题
1.下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是( )
2．下列说法正确的是（）
A．三角形三条高都在三角形内B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外D．三角形的角平分线是射线
3.如图，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，那么下列说法中不正确的是( )
A.DE是△BCD的中线
B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC，BE=EC
D.AD=EC，DC=BE
4.三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个( )
A.形状相同的三角形
B.面积相等的三角形
C.直角三角形
D.周长相等的三角形
5.如图所示,AD是△ABC的角平分线,AE是△ABD的角平分线.若∠BAC=80°,则∠E AD的度数是( )
A.20°
B.30°
C.45°
D.60°
6．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．正确的是（）
A．①②B．③④C．①④D．②③
7.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（）
A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角D．三角形的稳定性
8.三角形的高线是（）
A．直线B．线段C．射线D．三种情况都可能
二、填空题
9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：
①点A与点B的距离是线段AB的长；
②点A到直线CD的距离是线段AD的长；
③线段CD是△AB C边AB上的高；
上述说法中，正确的个数为_________个
10.如图，△ABC 的角平分线AD 、中线BE 相交于点O ，则①AO 是△ABE 的角平分线；②BO 是△ABD 的中线；③DE 是△ADC 的中线；④ED 是△EBC 的角平分线的结论中正确的有_________.
11．如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是______________________．
12.如图所示，CD 是△ABC 的中线，AC=9cm ，BC=3cm ，那么△ACD 和△BCD 的周长差是___________cm ．
13.AD 是△ABC 的一条高，如果∠BAD=65°，∠CAD=30°，则∠BAC=______．
14.如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于点D ．则图中共有_____个直角三角形．
15.如图，在△ABC 中，BD 是角平分线，BE 是中线，若AC=24cm ，则AE= cm ，若∠ABC=72°，则∠ABD=_____度．
三、解答题
16.如图，D 是△ABC 中BC 边上的一点，DE ∥AC 交AB 于点E ，若∠EDA=∠EAD ，试说明AD 是△ABC 的角平分线.
17.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC,BE ⊥AC,BC=12,AC=8,AD=6,BE 的长为多少？
18.如图，在3×2的正方形网格中，小正方形的边长为1，以图中A ，B ，C ，D ，E 中的三点为顶点的三角形中，面积为1的三角形有哪些?
（第9题） （第10题） （第11题）
（第12题） （第14题）
（第15题）
19.已知AD为△ABC的中线，AB=5 cm，且△ACD的周长比△ABD的周长少2 cm，求AC的长度
20.张大爷的四个儿子都长大成人了，也该分家了，于是张大爷准备把如图所示的一块三角形的田地平均分给四个儿子，四个儿子要求田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种平分的方案.
21.如图，AD是∠CAB的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.请问：DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
22.如图1，在四边形木条框架中，任意添加1根对角线木条，就能使框架的形状稳定.
判断下列说法是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在图2中任意添加2根对角线木条，都能使框架的形状稳定.( )
(2)在图3中任意添加3根对角线木条，都能使框架的形状稳定.( )
(3)图4是一个用螺钉将木条链接成的框架，颇具美感，它的形状是稳定的.( )
23.如图所示,在△ABC中,已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点,且S△ABC=4 cm2,求阴影部分的面积S阴影.
参考答案
1.A
2.B.
3.D
4.B
5.A 7.A 8.B
9.4 10.2 11.利用三角形的稳定性使门板不变形． 12..6 13.95°或35°
14.3 15.12,36
16.∵DE ∥AC,∴∠EDA=∠CAD.∵∠EDA=∠EAD,∴∠CAD=∠EAD.∴AD 是△ABC 的角平分线. 17.∵S △ABC=36,又∵S
△ABC=AC ·BE ，∴×8×BE=36.解得BE=9.
18.以A 、B 、C 、D 、E 中的三点为顶点的三角形共有9个，其中面积为1的三角形有：△A BC,△ADE,△BCE,△ACD
19.∵AD 为△ABC 的中线，∴BD=CD.∵△ACD 的周长比△ABD 的周长少2 cm ，∴(AB+BD+AD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2 cm ，∴AC=AB-2=5-2=3(cm).
20.答案不唯一，第一种方案：四等分一条边构成的四个三角形，图略；第二种方案：由一条中线以及中线上的中线分割成的四个三角形，图略.
21.DO 是∠EDF 的角平分线.证明：∵AD 是∠CAB 的角平分线，∴∠EAD=∠FAD.∵DE ∥AB ，DF ∥AC ，∴∠EDA=∠FAD ，∠FDA=∠EAD.∴∠EDA=∠FDA ，即DO 是∠EDF 的角平分线.
22.(1)√(2)√(3)√
23.∵D 是边BC 的中点，∴S △ABD=S △ACD=S △ABC=×4=2(cm2).∵E 是AD 的中点，∴S △B DE=S △ABD=1 cm2,S
△CDE=S △A CD=1 cm2.∴S △BEC=S △BDE+S △CDE=2 cm2.又∵F 是CE 的中点,∴S 阴影=S △BEC=1 cm2.
2121
212121
2121。
人教版八年级数学上册《三角形》三角形的高、中线、角平分线专项小练习(附答案)
人教版八年级数学上册《三角形》三角形的高、中线、角平分线专项小练习（附答案）1.（生活情境题）周师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图.要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？A.0根B.1根C.2根D.3根2.如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）A.B.C.D.3.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B落在点B'的位置，则线段AC具有的性质是( )A.边BB'上的中线B.边BB'上的高C.∠BAB'的平分线D.以上三种性质都具备4.如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，已知S△ABE=7cm²，则△ABC的面积是（）A.18cm²B.28cm²C.36cm²D.45cm²5.（易错警示题）如图，以AD为高的三角形共有个.6.如图，在△ABC中，∠BCA是钝角，完成下列画图，并用适当的符号表示：（1）∠ABC的平分线；（2）AC边上的中线；（3）AC边上的高7.（素养提升题）如图，请你在△ABC上画三条线段，把这个三角形分成面积相等的四部分，看谁的方法多？解题模型发散思维模型三角形的中线分成的两个三角形的周长及面积的关系（1）周长关系：如图1所示，AD是△ABC的中线，△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD 的周长=AC+CD+AD，所以△ABD的周长-△ACD的周长=（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB-AC.即△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的差.图1（2）面积关系：如图2所示，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高.则S△ABD=1 2BD·AE，S△ACD=12CD AE，因为BD=CD，所以12BD·AE=12CD·AE，所以S△ABD=S△ACD.即三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分.图2参考答案1.答案:B2.答案:B3.答案:D4.答案:B5.答案:66.答案：见解析解析：如图所示：（1）BE为∠ABC的平分线,可表示为∠ABE=∠CBE=12∠ABC，或∠ABC=2∠ABE=2∠CBE.（2）BD为AC边上的中线，可表示为AD=CD=12 AC.（3）BF为AC边上的高.可表示为BF⊥AC于F，或∠AFB=90°.7.答案：见解析解析：因为“三角形的一条中线将原三角形分成面积相等的两部分”，所以可以从三角形的中线入手，利用“三角形等底等高必等积”进行分析.如图所示：。
八年级上册11.1三角形的中线、高线、角平分线同步测试(人教版含答案解析)
八年级上册11.1三角形的中线、高线、角平分线同步测试（人教版含答案解析）三角形的中线、高线、角平分线时间：60分钟总分： 100 题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）下列说法错误的是( )A. 三角形三条高交于三角形内一点B. 三角形三条中线交于三角形内一点 C. 三角形三条角平分线交于三角形内一点 D. 三角形的中线、角平分线、高都是线段下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是( ) A. B. C. D. 如图，在△ABC中，若AD⊥BC，点E是BC 边上一点，且不与点B、C、D重合，则AD是几个三角形的高线( ) A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 8个如图，AD⊥BE于D，以AD为高的三角形有( )个． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E.F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有( ) ①AD是△ABE 的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在( )A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三个角的角平分线的交点C. 三角形三条高的交点 D. 三角形三条中线的交点如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高线，AB=3，AC=5，DE=2，那么点D到AB的距离是( )A. 10/3B. 5/3C. 6/5D. 2 已知：三角形的两边长分别为3和7，则第三边的中线长x的取值范围是( ) A. 2<x<5 B. 4<x<10 C.3<x<7 D. 无法确定如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖80〗^∘，则∠EOD的度数为( )A. 〖20〗^∘B. 〖30〗^∘C. 〖10〗^∘D. 〖15〗^∘一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在( ) A.三角形内部 B. 三角形的一边上 C. 三角形外部 D. 三角形的某个顶点上二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE=〖26〗^∘，则∠BFE=______．平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD的周长为______cm．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A=〖50〗^∘，则∠BOC= ______ ．如图所示，D是BC的中点，E是AC的中点，若S_(△ADE)=1，则S_(△ABC)= ______ ．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB=8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC=______cm．在画三角形的三条重要线段(角平分线、中线和高线)时，不一定画在三角形内部的是______ ．如图，已知△ABC中，∠B=〖65〗^∘，∠C=〖45〗^∘，AD是∠ABC的高线，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE= ______ ．如图，在△ABC中，∠A=α.∠ABC与∠ACD的平分线交于点A_1，得∠A_1；∠A_1 BC与∠A_1 CD的平分线相交于点A_2，得∠A_2；…；∠A_2011 BC与∠A_2011 CD的平分线相交于点A_2012，得∠A_2012，则∠A_2012= ______ ．如图，在△ABC中，AB=13，AC=10，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差= ______ ．如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点G，AD与BF相交于点H，∠BAC=〖50〗^∘，∠C=〖70〗^∘，则∠AHB= ______ ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=〖40〗^∘，∠C=〖60〗^∘，求∠DAE的度数．如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．如图所示：△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖70〗^∘，求∠CAD，∠BOA的度数是多少？如图△ABC中，∠A=〖20〗^∘，CD是∠BCA的平分线，△CDA中，DE 是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求∠B的大小．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则：(1)∵AE是△ABC的中线，∴BE= ______ =1/2 ______ ；(2)∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD= ______ =1/2 ______ ；(3)∵AF是△ABC的高，∴∠AFB= ______ =〖90〗^∘；(4)∵AE是△ABC的中线，∴BE=CE，又∵S_(△ABE)=1/2 ______ ，S_(△AEC)=1/2 ______ ，∴S_(△ABE)=S_(△ACE)=1/2 ______ ．已知，如图，AE是∠BAC的平分线，∠1=∠D．求证：∠1=∠2．答案和解析【答案】 1. A 2. A 3. C 4. D 5. B 6. A 7. A 8.A 9. A 10. A 11. 〖64〗^∘ 12. 32或34 13. 〖115〗^∘ 14. 4 15.10 16. 高线 17. 〖10〗^∘ 18. α/2^2012 19. 3 20. 〖120〗^∘ 21. 解：∵∠B=〖40〗^∘，∠C=〖60〗^∘，∴∠BAC=〖180〗^∘-∠B-∠C=〖80〗^∘，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=1/2∠BAC=〖40〗^∘，∴∠AEC=∠B+∠BAE=〖80〗^∘，∵AD⊥BC，∴∠ADE=〖90〗^∘，∴∠DAE=〖180〗^∘-∠ADE-∠AED=〖10〗^∘．答：∠DAE的度数是〖10〗^∘． 22. 解：延长AD到E使AD=DE，连接CE，在△ABD和△ECD中{■(AD=DE@∠ADB=∠EDC@BD=DC)┤，∴△ABD≌△ECD，∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，∴AC^2=AE^2+CE^2，∴∠E=〖90〗^∘，由勾股定理得：CD=√(DE^2+CE^2 )=√61，∴BC=2CD=2√61，答：BC的长是2√61． 23. 解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=〖90〗^∘，∵∠C=〖70〗^∘，∴∠CAD=〖180〗^∘-〖90〗^∘-〖70〗^∘=〖20〗^∘；∵∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖70〗^∘，∴∠BAO=〖30〗^∘，∠ABC=〖50〗^∘，∵BF 是∠ABC的角平分线，∴∠ABO=〖25〗^∘，∴∠BOA=〖180〗^∘-∠BAO-∠ABO=〖180〗^∘-〖30〗^∘-〖25〗^∘=〖125〗^∘．故∠CAD，∠BOA的度数分别是〖20〗^∘，〖125〗^∘． 24. 解：∵DE是CA边上的高，∴∠DEA=∠DEC=〖90〗^∘，∵∠A=〖20〗^∘，∴∠EDA=〖90〗^∘-〖20〗^∘=〖70〗^∘，∵∠EDA=∠CDB，∴∠CDE=〖180〗^∘-〖70〗^∘×2=〖40〗^∘，在Rt△CDE中，∠DCE=〖90〗^∘-〖40〗^∘=〖50〗^∘，∵CD是∠BCA的平分线，∴∠BCA=2∠DCE=2×〖50〗^∘=〖100〗^∘，在△ABC中，∠B=〖180〗^∘-∠BCA-∠A=〖180〗^∘-〖100〗^∘-〖20〗^∘=〖60〗^∘．故答案为：〖60〗^∘． 25. CE；BC；∠CAD；∠BAC；∠AFC；S_(△ABC)；S_(△ABC)；S_(△ABC) 26. 证明：∵∠1=∠D，∴AE//DC(同位角相等，两直线平行)，∴∠EAC=∠2(两直线平行，内错角相等)，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠1=∠EAC，∴∠1=∠2．【解析】 1. 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线以及三角形的面积和外角性质，熟记概念与性质是解题的关键.根据三角形的高线、外角的性质、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A.三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故本选项说法不正确； B.三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确； C.三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，故本选项说法正确；D.三角形的中线，角平分线，高都是线段，因为它们都有两个端点，故本选项说法正确．故选A． 2. 解：线段BD是△ABC的高，则过点B作对边AC的垂线，则垂线段BD为△ABC的高．故选A．根据三角形高的定义进行判断．本题考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 3. 解：∵在△ABC中，AD⊥BC，点E是BC边上一点，且不与点B、C、D重合，∴AD是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC的高．故选C．根据三角形高的定义可知，三角形的高可以在三角形内部，可以是三角形的边，还可以在三角形外部，结合图形即可求解．本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 4. 解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故选：D．由于AD⊥BC 于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活． 5. 解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选B．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段.透彻理解定义是解题的关键． 6. 解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条(边垂直平分线)的交点．故选：A．用线段垂直平分线性质判断即可．此题考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握性质是解本题的关键． 7. 解：∵AC=5，DE=2，∴△ADC的面积为1/2×5×2=5，∵AD是△ABC的中线，∴△ABD的面积为5，∴点D到AB的距离是2×5÷3=10/3．故选A．根据三角形的面积得出△ADC的面积为5，再利用中线的性质得出△ABD的面积为5，进而解答即可．此题考查三角形的面积问题，关键是根据三角形的面积得出△ADC的面积为5． 8. 解：7-3<2x<7+3，即2<x<5．故选A．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.倍长中线，构造一个新的三角形.根据三角形的三边关系就可以求解．本题主要考查了三角形的三边关系，注意此题构造了一条常见的辅助线：倍长中线． 9. 解：∵∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖80〗^∘，∴∠B=〖40〗^∘．又∵AD 是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=1/2∠BAC=〖30〗^∘，∴∠ADE=〖70〗^∘，又∵OE⊥BC，∴∠EOD=〖20〗^∘．故选A．首先根据三角形的内角和定理求得∠B，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．此类题要首先明确思路，考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义． 10. 解：一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在三角形的内部．故选A．根据三角形的高的性质即可判断．本题考查了三角形的高线，锐角三角形的三高线交于三角形内部一点，直角三角形三高线的交点是直角三角形的直角顶点，钝角的三条高所在的直线一定交于一点，这交点一定在三角形的内部． 11. 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形的高以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用角平分线的定义和直角三角形的性质求解.由角平分线的定义可得，∠FAD=∠BAE=〖26〗^∘，而∠AFD 与∠FAD互余，与∠BFE是对顶角，故可求得∠BFE的度数．【解答】解：∵AE是角平分线，∠BAE=〖26〗^∘，∴∠FAD=∠BAE=〖26〗^∘，∵DB是△ABC的高，∴∠AFD=〖90〗^∘-∠FAD=〖90〗^∘-〖26〗^∘=〖64〗^∘，∴∠BFE=∠AFD=〖64〗^∘．故答案为〖64〗^∘． 12. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，AD//BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE， (1)当AE=5时，AB=5，平行四边形ABCD的周长是2×(5+5+6)=32； (2)当AE=6时，AB=6，平行四边形ABCD的周长是2×(5+6+6)=34；故答案为：32或34．由平行四边形ABCD推出∠AEB=∠CBE，由已知得到∠ABE=∠CBE，推出AB=AE，分两种情况(1)当AE=5时，求出AB的长；(2)当AE=6时，求出AB的长，进一步求出平行四边形的周长．本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出AE=AB.用的数学思想是分类讨论思想． 13. 解；∵∠A=〖50〗^∘，∴∠ABC+∠ACB=〖180〗^∘-〖50〗^∘=〖130〗^∘，∵∠B和∠C的平分线交于点O，∴∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=1/2×(∠ABC+∠ACB)=1/2×〖130〗^∘=〖65〗^∘，∴∠BOC=〖180〗^∘-(∠OBC+∠OCB)=〖115〗^∘，故答案为：〖115〗^∘．求出∠ABC+∠ACB=〖130〗^∘，根据角平分线定义得出∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB，求出∠OBC+∠OCB=1/2×(∠ABC+∠ACB)=〖65〗^∘，根据三角形的内角和定理得出∠BOC=〖180〗^∘-(∠OBC+∠OCB)，代入求出即可．本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线等知识点，关键是求出∠OBC+∠OCB的度数． 14. 解：∵D是BC的中点，E是AC的中点，∴△ADC的面积等于△ABC的面积的一半，△ADE的面积等于△ACD的面积的一半，∴△ADE的面积等于△ABC的面积的四分之一，又∵S_(△ADE)=1，∴S_(△ABC)=4．故答案为：4．先根据D是BC的中点，E是AC的中点，得出△ADE的面积等于△ABC的面积的四分之一，再根据S_(△ADE)=1，得到S_(△ABC)=4．本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 15. 解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，∴CE=BE，又∵AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，∴AC-AB=2cm，即AC-8=2cm，∴AC=10cm，故答案为：10；依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE=BE，再根据AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，即可得到AC的长．本题考查了三角形的角平分线、中线和高，求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键． 16. 解：三角形的角平分线和中线都在三角形内部，而锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故答案为：高线．根据三角形的角平分线、中线和高的定义求解．考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 17. 解：在△ABC中，∵∠BAC=〖180〗^∘-∠B-∠C=〖70〗^∘，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=〖35〗^∘．又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=〖90〗^∘，∵在△ABD中∠BAD=〖90〗^∘-∠B=〖25〗^∘，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=〖10〗^∘．由三角形的内角和定理，可求∠BAC=〖70〗^∘，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=〖35〗^∘，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=〖90〗^∘，可求∠BAD=〖25〗^∘，所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=〖10〗^∘．本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，熟知三角形的内角和定理是解答此题的关键． 18. 解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A_1，∴∠A_1 BC=1/2∠ABC，∠A_1 CD=1/2∠ACD，根据三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACD，∠A_1+∠A_1 BC=∠A_1 CD，∴∠A_1+∠A_1 BC=∠A_1+1/2∠ABC=1/2(∠A+∠ABC)，整理得，∠A_1=1/2∠A=α/2，同理可得，∠A_2=1/2∠A_1=1/2×α/2=α/2^2 ，…，∠A_2012=α/2^2012 ．故答案为：α/2^2012 ．根据角平分线的定义可得∠A_1 BC=1/2∠ABC，∠A_1 CD=1/2∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠ABC=∠ACD，∠A_1+∠A_1 BC=∠A_1 CD，然后整理即可得到∠A_1与∠A的关系，同理得到∠A_2与∠A_1的关系并依次找出变化规律，从而得解．本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 19. 解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD=DC=1/2 BC，∴△ABD与△ACD的周长之差 =(AB+BD+AD)-(AC+DC+AD) =AB-AC =13-10=3．则△ABD与△ACD的周长之差=3．故答案为3．根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法． 20. 解：∵在△ABC中，∠BAC=〖50〗^∘，∠C=〖70〗^∘，∴∠ABC=〖60〗^∘，∵在△AB C中，AD是高，AE，BF是角平线，∴∠EAD=〖90〗^∘-(〖25〗^∘+〖60〗^∘)=5^∘，∴∠AGH=〖25〗^∘+〖30〗^∘=〖55〗^∘，∴∠AHB=〖180〗^∘-〖55〗^∘-5^∘=〖120〗^∘．故答案为：〖120〗^∘．根据三角形的内角和得出∠ABC=〖60〗^∘，再利用角平分线的定义和高的定义解答即可．此题考查三角形的内角和问题，关键是根据三角形的内角和得出∠ABC=〖60〗^∘． 21. 根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，根据三角形的外角性质得到∠AEC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出答案．本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线，垂直的定义等知识点，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 22. 延长AD到E 使AD=DE，连接CE，证△ABD≌△ECD，求出AE和CE的长，根据勾股定理的逆定理求出∠E=〖90〗^∘，根据勾股定理求出CD即可．本题综合考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质和判定、三角形的中线等知识点的应用，关键是正确地作辅助线，把已知条件转化成一个直角三角形，题型较好． 23. 因为AD是高，所以∠ADC=〖90〗^∘，又因为∠C=〖70〗^∘，所以∠CAD度数可求；因为∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖70〗^∘，所以∠BAO=〖30〗^∘，∠ABC=〖50〗^∘，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO=〖25〗^∘，故∠BOA的度数可求．本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义.关键是利用角平分线的性质解出∠ABO、∠BAO，再运用三角形内角和定理求出∠AOB． 24. 根据直角三角形两锐角互余求出∠EDA的度数，再根据平角的定义求出∠CDE的度数，再次利用直角三角形两锐角互余求出∠DCE的度数，从而得到∠BCA的度数，最后利用三角形内角和等于〖180〗^∘计算即可．本题考查了三角形的角平分线的定义，三角形的高以及三角形的内角和定理，稍微复杂，但仔细分析图形也不难解决． 25. 解：(1)根据AE是△ABC的中线，可得BE=CE=1/2 BC； (2)根据AD是△ABC 的角平分线，可得∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC； (3)根据AF是△ABC的高，可得∠AFB=∠AFC=〖90〗^∘； (4)根据AE是△ABC的中线，可得BE=CE，所以S_(△ABE)=1/2 S_(△ABC)，S_(△AEC)=1/2 S_(△ABC)，即S_(△ABE)=S_(△ACE)=1/2 S_(△ABC)．故答案为：(1)CE，BC；(2)∠CAD，∠BAC；(3)∠AFC；(4)S_(△ABC)，S_(△ABC)，S_(△ABC)． (1)三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线； (2)三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线； (3)从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高； (4)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．本题主要考查了三角形的中线、高线以及角平分线的概念的运用，解题时注意：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 26. 由∠1=∠D，根据同位角相等，两直线平行可证AE//DC，根据两直线平行，内错角相等可证∠EAC=∠2，再根据角平分线的性质即可求解．本题考查了平行线的判定与性质和三角形的角平分线的性质，有一定的综合性，但难度不大．。
人教版八年级上册数学三角形的高、中线与角平分线同步训练
人教版八年级上册数学11.1.2 三角形的高、中线与角平分线同步训练一、单选题1．下列四个图形中，线段BE 是ABC 的高的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 的中点，点F 是BE 的中点，已知△ABC 的面积为8，则△AEF 的面积为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．12 3．如图，在ABC 中，BD CD =，2AE BE =，连接AD 、CE 相交于点O ，若ABC 的面积为24，则AOE △与COD △的面积之差为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8 4．如图，点D 、E 在ABC 的边上，连接AD 、BE 交于点F ．若BD CD =，13CE AC =，224cm ABC S =，则图中两个阴影面积之差即AEF BDF S S -△△等于（ ）2cm ．A ．8B ．4C ．2D ．15．如图，在ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且224cm ABC S =，则阴影部分AEF 的面积为（ ）2cm ．A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5 6．如图，ABC 中，AD BC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，则AB 边上的高是（ ）A ．ADB ．CEC ．DCD ．AE 7．如图，ABC 中，90C ∠=︒，8cm AC ，6cm BC ，10cm AB =．若动点P 从点C 开始，按C A B C →→→的路径运动，且速度为每秒2cm ．设运动的时间为t 秒，当t =（ ）秒时，CP 把ABC 的面积分成相等的两部分．A ．4B ．6C ．6.5D ．7 8．如图，D 、E 分别是ABC 边BC 、AB 边上的中点，F 是AD 上一点且3AF FD =，若阴影部分的面积为9，则ABC 的面积是（ ）A ．18B ．16C ．15D ．14二、填空题9．如图，BD 是△ABC 的中线，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，那么△ABD 的周长比△CBD 的周长多_____．10．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，P 是BC 上任意一点，PE △AB 于点E ，PF △AC 于点F ，若S △ABC ＝3，则PE +PF ＝__________．11．如图，AB CD ∥，BC AB ⊥，若4cm AB =，212cm ABC S =△，求ABD △中AB 边上的高等于______．12．如图，△ABC 的面积是12，点D ，E ，F ，G 分别为BC ，AD ，BE ，CE 的中点，则△AFG 的面积是_____．13．如图，在三角形ABC 中，CD △AB 于点D ，DE △BC 于点E ，DE ＝8，AC ＝10，且CD 的长为整数，则CD 的长为________．14．如图，线段AD ，CE 分别是△ABC 中边BC ，AB 上的高．若AD ＝10，CE ＝9，AB ＝12，则BC 的长是________15．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的中线，如果2AD BC =，那么:BC AB 的值是________．16．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，若210cm ABD S =△，则ACD S =______2cm ．三、解答题17．如图，ABC 中，AD 是角平分线，AF 是高线，36,74B C ∠=︒∠=︒，求DAF ∠的度数．18．如图，BD和CE是△ABC的中线，AE=3cm，CD=2cm，若△ABC周长为15cm，求BC边的长．，AC边上的中线BD把三角形的周长分为10和18两部19．在ABC中，AB AC分，求腰长AB．20．如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形方格纸的格点上，将△ABC向上平移4格．(1)请在图中画出平移后的三角形A′B′C′；(2)在图中画出三角形△ABC的高CD、中线BE；(3)△ABC的面积是．参考答案：1．D2．C3．B4．B5．C6．B7．C8．B9．2cm10．311．6cm12．9 213．9 14．10.815．1 416．10 17．19°18．5cm 19．12 20．(3)8。
人教版八年级数学上册《11-1-2 三角形的高、中线与角平分线》作业同步练习题及参考答案
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线1.关于三角形的高、中线与角平分线,下列说法正确的是( ).A.都是直线B.都是射线C.都是线段D.可以是射线,也可以是线段2.如图,已知BD 是△ABC 的中线,AB=5,BC=3,则△ABD 和△BCD 的周长的差是( ).A.2B.3C.6D.不能确定3.如图,AD 是△ABC 的角平分线,AE 是△ABD 的角平分线.若∠BAC=80°,则∠EAD 的度数是( ).A.20°B.30°C.45°D.60°4.如图,AM 是△ABC 的中线,△ABC 的面积为4 cm2,则△ABM 的面积为( ).A.8 cm2B.4 cm2C.2 cm2D.以上答案都不对5.如果一个三角形的三条高的交点在三角形的内部,那么该三角形是三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)6.如图,线段AD,CE 分别是△ABC 中边BC,AB 上的高.若AD=10,CE=9,AB=12,则BC= .7.如图,在△ABC 中,AB=AC,线段AD 是△ABC 的中线,△ABC 的周长为34 cm,△ABD 的周长为30 cm,求AD 的长.8.如图,已知AD,AE 分别是△ABC 的高和中线,AB=6 cm,AC=8 cm,BC=10 cm,∠CAB=90°.试求:(1)AD 的长;(2)△ABE 的面积;(3)△ACE 和△ABE 的周长的差.9.如图,D 是△ABC 的边AC 上一点,过点D 作DE∥AB 交BC 于点E.若∠DBE=∠BDE,试说明线段BD 是△ABC 的角平分线.10.有一块三角形优良品种试验基地如图所示,由于引进四个品种进行对比试验,需将这块土地分成面积相等的四块,请你制定出两种以上的划分方案以供选择,并画图说明.★11.如图,线段AD 是△ABC 的角平分线,DE∥AC 交AB 于点E,EF∥AD 交BC 于点F,试问线段EF 是△BED 的角平分线吗?为什么?答案与解析夯基达标1.C2.A 因为BD 是△ABC 的中线,所以AD=CD.所以△ABD 与△BCD 的周长的差是(AB+BD+AD)-(BC+CD+BD)=AB+BD+AD-BC-CD-BD=AB+AD-BC-CD=5-3=2.3.A4.C 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.5.锐角6.10.8 SABC =1·BC ·AD=1·AB ·CE ,△ 2 2则 BC=A ·C = 12×9=10.8.A 107.解 ∵点 D 是线段 BC 的中点,∴BC=2BD.∵AB=AC ,△ABC 的周长为 34 cm,∴2AB+2BD=34 cm,即 AB+BD=17 cm .①∵△ABD 的周长为 30 cm,即 AB+BD+AD=30 cm,②∴由②-①,得 AD=13 cm .培优促能8.解 (1)S ABC =1AB ·AC=1×6×8=24(cm 2),△ 2 2所以 S ABC =1AD ·BC=24,即 AD=4.8 cm .△ 2(2)S ABE =1BE ·AD=1 1 �� ·AD=1BC ·AD=12 cm 2.△ 2 2 2 4(3)将△ACE 和△ABE 的周长分别记为 C △ACE 和 C △ABE ,则 C △ACE -C △ABE =AC+CE+AE-(AB+BE+AE )=AC-AB=8-6=2(cm).9. 解 ∵DE ∥AB ,∴∠BDE=∠ABD.又∠BDE=∠DBE ,∴∠ABD=∠DBE,即线段BD 是△ABC 的角平分线.10.解答案不唯一,如方案一:如图①,在BC 上取点D,E,F,使BD=DE=EF=CF,连接AD,AE,AF. 方案二:如图②,分别取AB,BC 的中点D,E,连接AE,DE,再取AE 的中点F,连接FC.方案三:如图③,分别取BC 的中点D,CD 的中点E,AB 的中点F,连接AD,AE,DF.方案四:如图④,分别取BC 的中点D,AB 的中点E,AC 的中点F,连接AD,DE,DF.①②③④创新应用11.解线段EF 是△BED 的角平分线.理由如下:如图,∵线段AD 是△ABC 的角平分线,∴∠1=∠2.∵EF∥AD,∴∠1=∠3,∠4=∠ADE. ∵DE∥AC,∴∠2=∠ADE,∴∠2=∠4,∴∠3=∠4.故线段EF 是△BED 的角平分线.。
八年级上册数学人教版三角形的高、中线与角平分线 课时练 试题试卷 含答案解析(5)
11.1.2三角形的高、中线与角平分线一、选择题1．下列结论正确的有（）①两条直线相交，所得的四个角中有一个角是90°，这两条直线一定互相垂直②三角形的三条角平分线交于一点，这点称为三角形的重心③直线AB⊥CD，也可以说成直线CD⊥AB④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短A．1个B．2个C．3个D．4个2．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形C．直角三角形D．周长相等的三角形3．若线段CM、CH是△ABC的中线和高线，则（）A．CM>CH B．CM≥CH C．CM<CH D．CM≤CH4．下列命题正确的是（）A．三角形的三条边上的高交于三角形内部一点，到三个顶点的距离相等B．三角形的三条中线交于三角形内部一点，到三个顶点距离相等C．三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等D．三角形的三边中垂线交于三角形内部一点，到三边的距离相等5．下列说法正确的个数有（）①三角形的高、中线、角平分线都是线段；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，是ABC的中线，AB比AC长3cm，若ABD△的周长为25cm，则△ACD的周长为（）A．28cm B．25cm C．22cm D．19cm7．如图，若CD是△ABC的中线，AB＝10，则AD＝（）A ．5B ．6C ．8D ．48．如图，△ABF 的面积是2，D 是AB 边上任意一点，E 是CD 中点，F 是BE 中点，△ABC 的面积是（）A ．4B ．6C ．8D ．169．如图，D 、E 分别在∆ABC 的边BC 、AC 上，13CD BC =，13CE AC =，CD =1，CE =1，AC ，AD 与BE 交于点O ，已知∆ABC 的面积为12，则∆ABO 的面积为（）A ．4B ．5C ．6D ．710．如图，在三角形ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于E ．F 为AB 上的一点，CF ⊥AD 于H ．下列判断正确的有（）．（1）AD 是三角形ABE 的角平分线．（2）BE 是三角形ABD 边AD 上的中线．（3）CH 为三角形ACD 边AD 上的高．A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个二、填空题11．如图，在三角形ABC 中，AB AC ^，AD BC ^，垂足为D ，3AB =，4AC =，5BC =，则AD =______．12．设E 、F 是ABC 边AB 、AC 上的点，线段BE 、CF 交于D ，已知BDF ，BCD △，CDE △的面积分别为5，9，9，则四边形AEDF 的面积为___________．13．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 在线段AC 上且EC ＝2AE ，线段AD 与线段BE 交于点F ，若△ABC 的面积为6，则四边形EFDC 的面积为________．14．如图，点G 是ABC 的重心，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接,GD GE ，若ABC 的面积为6，则GDE △的面积为_________．15．如图，在ABC 中，D 是AB 的中点，E 是BC 上的一点，且5BE EC =，CD 与AE 相交于点F ，若CEF △的面积为1，则ABC 的面积为______．三、解答题16．如图，在ABC 中，AB ＝AC ，AC 边上的中线BD 把ABC 的周长分成12cm 和15cm 两部分，求ABC 各边的长．17．如图，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线．若△ABC 的面积为40，BD=5，则△BDE 中BD 边上的高为多少？18．已知，如图，在△ABC 中，,,6,5,4AD BC CE AB AB AD BC ^^===，求CE 的长.19．如图，在ABC 中AD 、AE 、AF 分别为△ABC 的高、角平分线和中线，已知AFC 的面积为10，AD ＝4，∠DAE ＝20°，∠C ＝30°．（1）求BC 的长度；（2）求∠B 的度数．20．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，AB=10cm ，BC=8cm ，AC=6cm ，（1）求CD 的长；（2）若AE 是BC 边上的中线，求△ABE 的面积．21．如图，在△ABC 中，AE 为边BC 上的高，点D 为边BC 上的一点，连接AD ．（1）当AD 为边BC 上的中线时．若AE =4，△ABC 的面积为24，求CD 的长；（2）当AD 为∠BAC 的角平分线时．①若∠C =65°，∠B =35°，求∠DAE 的度数；②若∠C-∠B =20°，则∠DAE =°．22．如图所示，已知AD ，AE 分别是△ADC 和△ABC 的高和中线，AB=6cm ，AC=8cm ，BC=10cm ，∠CAB=90°．试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE的周长的差．23．操作与探究探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．（1）如图1,延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=________（用含a的代数式表示）；（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2=（用含a的代数式表示）；（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=__________（用含a的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_____倍．【参考答案】1．C2．B3．B4．C5．C6．C7．A8．C9．C10．A 11．2.412．4013．5 214．1215．4216．AB＝AC＝8cm，BC＝11cm或AB＝AC＝10cm，BC＝7cm 17．418．10 319．（1）10；（2）70°20．（1）4.8；（2）12cm2 21．（1）6；（2）①15°；②10．22．⑴4.8cm；⑵12cm²；⑶2cm. 23．（1）a；（2）2a；（3）6a；7。
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 人教版八年级数学上册课时习题(含答案)
11.1.2三角形的高、中线与角平分线基础知识一、选择题1.三角形的角平分线、中线、高线都是（）A.线段B.射线C.直线D.以上都有可能【答案】A2.至少有两条高在三角形内部的三角形是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D.都有可能【答案】A3. 不一定在三角形内部的线段是（）（A）三角形的角平分线（B）三角形的中线（C）三角形的高（D）三角形的中位线【答案】C4.在△ABC中，D是BC上的点，且BD:CD=2:1,S△ACD=12,那么S△ABC等于（）A. 30B. 36C. 72D.24【答案】B5.小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ）A. B. C. D.【答案】A6．可以把一个三角形分成面积相等的两部分的线段是（ ）A．三角形的高B．三角形的角平分线C．三角形的中线D．无法确定【答案】C7．在三角形中，交点一定在三角形内部的有（ ）①三角形的三条高线②三角形的三条中线③三角形的三条角平分线④三角形的外角平分线．A．①②③④B．①②③C．①④D．②③【答案】D8.如果一个三角形三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【答案】B9．下图中，正确画出△ABC的AC边上的高的是（）A B C D【答案】C二、填空题10.如图，在△ABC中，BC边上的高是，在△AEC中，AE边上的高是，EC边上的高是.【答案】AB;CD;AB11.AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，△ABD与△ACD的周长之差为.答案：2cm三、解答题12.如图,在⊿ABC中画出高线AD、中线BE、角平分线CF.解:如图,AD为高线,BE为中线,CF为角平分线.13.在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm, 求AD的长.解：∵AB+AC+BC=34cm,BD=CD,AB=AC∴AB+BD=17cm∵AB+BD+AD=30cm∴AD=30-17=13cm14.如图，已知：在三角形ABC中，∠C=90º,CD是斜边AB上的高，AB=5,BC=4,AC=3,求高CD的长度.答案：∵S⊿ABC=×3×4=×5CD∴CD=2.415.用四种不同的方法将三角形面积四等分.答案：如下图：16.如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE．解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴S△ABD=S△ABC=×4=2（cm2）．∵BE是△ABD的边AD上的中线，∴S△ABE=S△ABD=×2=1（cm2）．17．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求：（1）△ABC的面积；（2）CD的长；（3）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积；（4）作出△BCD的边BC边上的高DF，当BD=11cm 时，试求出DF的长。
人教版八年级数学上册《三角形的高、中线与角平分线》同步练习
《三角形的高、中线与角平分线》同步练习班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________一、选择题(每小题6分，共30分)1．钝角三角形的高线在三角形外的条数有（）条.A．3 B．2 C．1 D．02．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是三角形的() A．中线B．角平分线C．高线D．中位线3．下列说法错误的是( )A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点4．如图，AD⊥BC，BD＝DC，AC＝CE，若∠B＝52°，则∠E＝（）A．40°B．26°C．31°D．38°第4题图第5题图5．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF-S△BEF＝（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每小题6分，共30分)6．如图，AE是△ABC的中线，已知 EC＝8，DE＝3，则BD＝___________.第6题图第7题图第8题图7．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝28º，∠C＝60º，则∠DAE＝______º .8．如图，直角三角形ABC中，∠C＝90°，若AC＝3 cm，BC＝4 cm，AB＝5 cm，则点C到AB的最短距离等于cm.9．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△ACE＝3cm2，则S△ABC＝__cm2．第9题图第10题图10．如图，在△ABC中，∠A＝50°，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，则∠BOC＝_______________.三、解答题(每小题20分，共40分)11．如图，AD为△ABC的中线，（1）作△ABD的中线BE；（2）作△BED的BD边上的高EF；（3）若△ABC的面积为60，BD＝10，则点E到BC边的距离为多少？12．如图，在△ABC中（AB＞BC），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．参考答案1．B【解析】本题考查的是三角形的高，作出钝角三角形的三条高线即可得出结果．钝角三角形有3条高，其中两条在外部，一条在内部．故选B．2．A【解析】∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选A.3．A.【解析】A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点，错误，符合题意；B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点，正确，不符合题意；C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点，正确，不符合题意；D．三角形的三条高可能相交于外部一点，正确，不符合题意.故选A.4．B．【解析】解：∵AD⊥BC，BD＝DC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠B＝52°，∴∠ACB＝52°，∵AC＝CE，∴∠E＝∠CAE，∵∠E+∠CAE＝∠ACB＝52°，∴∠E＝26°，5．B【解析】∵点D是AC的中点，∴AD＝12 AC，∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝12S△ABC＝12×12＝6．∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝13S△ABC＝13×12＝4，∵S△ABD-S△ABE＝（S△ADF+S△ABF）-（S△ABF+S△BEF）＝S△ADF-S△BEF，即S△ADF-S△BEF＝S△ABD-S△ABE＝6-4＝2．故选B．6．5【解析】根据三角形的中线定义可得出BE的长，再作差即可求解. 解：∵AE是△ABC的中线∴BE＝CE＝8∴BD＝BE-DE＝8-3＝5故答案为：57．16°【解析】∵∠B＝28°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°-28°-60°＝92°．∵AD是角平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝46°，∴∠AED＝∠B+∠BAE＝74°．∵AD是高，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE＝90°-∠AED＝90°-74°＝16°．故答案为：16°．8．12 5【解析】试题分析：利用三角形面积相等法可CD的长度.因为直角三角形的面积为：12×AC×BC＝12×3×4＝6;还可表示为：12×AB×CD＝52CD即12×AB×CD＝52CD＝6∴CD ＝125. 9．12 【解析】∵CE 是△ACD 的中线，∴＝2＝3cm².∵AD 是△ABC 的中线，∴＝2＝12cm².故答案为:12.10．115°【解析】∠A ＝50°，依据三角形内角和定理，∠ABC +∠ACB ＝180°-50°＝130°，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，所以∠OBC +∠OCB ＝21(∠ABC +∠ACB )＝65°，∠BOC ＝180°-(∠OBC +∠OCB )＝180°-65°＝115°.11．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）3【解析】（1）找到边AD 的中点E ，连接BE ，线段BE 是△ABD 的中线；（2）△BED 是钝角三角形，所以BD 边上的高在BD 的延长线上；（3）先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，结合题意可求得△BED 的面积，再直接求点E 到BC 边的距离即可．解：（1）如图所示，BE 是△ABD 的中线；（2）如图所示，EF 即是△BED 中BD 边上的高．（3）∵AD 为△ABC 的中线，BE 为三角形ABD 中线，∴S △BED ＝14S △ABC ＝14×60＝15； ∵BD ＝10，∴EF ＝2S △BED ÷BD ＝2×15÷10＝3，即点E 到BC 边的距离为3．12．AC ＝48；AB ＝28【解析】首先设BD ＝CD ＝x ，AB ＝y ，则AC ＝4x ，然后分AC +CD ＝60，AB +BD ＝40和AC +CD ＝40，AB +BD ＝60两种情况分别求出x 和y 的值，然后看三角形的三边关系判定是否都符合条件.解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，分为两种情况：①AC+CD＝60，AB+BD＝40，则4x+x＝60，x+y＝40，解得：x＝12，y＝28，即AC＝4x＝48，AB＝28；②AC+CD＝40，AB+BD＝60，则4x+x＝40，x+y＝60，解得：x＝8，y＝52，即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，此时不符合三角形三边关系定理；综合上述：AC＝48，AB＝28．。
人教版八年级数学上册《三角形的三边、高线、中线及角平分线》专项练习题-附含答案
人教版八年级数学上册《三角形的三边、高线、中线及角平分线》专项练习题-附含答案考点一三角形的稳定性考点二三角形的三边关系考点三三角形的高线考点四三角形的中线考点五三角形的角平分线考点一三角形的稳定性例题：（2021·广西·南宁十四中七年级期末）下列图形中没有运用三角形稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】利用三角形的稳定性解答即可．【详解】解：对于A、C、D选项都含有三角形故利用了三角形的稳定性；而B选项中用到了四边形的不稳定性.故选B．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性需理解稳定性在实际生活中的应用；明确能体现出三角形的稳定性则说明物体中必然存在三角形是解题关键．【变式训练】1．（2022·吉林吉林·二模）如图人字梯中间设计一“拉杆” 在使用梯子时固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（）A．三角形具有稳定性B．两点之间线段最短C．经过两点有且只有一条直线D．垂线段最短【答案】A【解析】【分析】人字梯中间设计一“拉杆”后变成一个三角形稳定性提高．【详解】三角形的稳定性如果三角形的三条边固定那么三角形的形状和大小就完全确定了三角形的这个特征叫做三角形的稳定性.故选A【点睛】本题考查三角形的稳定性理解这一点是本题的关键．2．（2022·广东·佛山市惠景中学七年级期中）如图所示的自行车架设计成三角形这样做的依据是三角形具有___．【答案】稳定性【解析】【分析】根据是三角形的稳定性即可求解．【详解】解：自行车的主框架采用了三角形结构这样设计的依据是三角形具有稳定性故答案为：稳定性．【点睛】本题考查的是三角形的性质掌握三角形具有稳定性是解题的关键．考点二三角形的三边关系例题：（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）下列各组长度的线段为边能构成三角形的是（）．A．123B．345C．4511D．633【答案】B【解析】【分析】比较三边中两较小边之和与较大边的大小即可得到解答．【详解】解：A、1+2=3不符合题意；B、3+4>5符合题意；C、4+5<11不符合题意；D、3+3=6不符合题意；故选B．【点睛】本题考查构成三角形的条件熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．【变式训练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期中）下列各组长度的三条线段能够组成三角形的是（）A．348B．5611C．5610D．1073【答案】C【解析】【分析】根据三角形三边关系可直接进行排除选项．解：A、3+4＜8不符合三角形三边关系故不能构成三角形；B、5+6=11不符合三角形三边关系故不能构成三角形；C、5+6＞10符合三角形三边关系故能构成三角形；D、3+7=10不符合三角形三边关系故不能构成三角形；故选C．【点睛】本题主要考查三角形三边关系熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．2．（2022·海南·海口市第十四中学七年级阶段练习）在△ABC中三条边长分别为3和6第三边长为奇数那么第三边的长是()A．5或7B．7或9C．3或5D．9【答案】A【解析】【分析】先求出第三边长的取值范围再根据条件具体确定符合条件的值即可．【详解】解：因为三条边长分别为3和6所以6-3＜第三边＜6+3所以3＜第三边＜9因为第三边长为奇数∴第三边的长为5或7故选：A．【点睛】本题考查了三角形的三边关系掌握三角形任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边是解题的关键．3．（2022·江苏·南师附中新城初中七年级期中）已知三角形三边长分别为3x14若x为正整数则这样的三角形个数为（）A．4B．5C．6D．7【解析】【分析】直接根据三角形的三边关系求出x的取值范围进而可得出结论．【详解】解：三角形三边长分别为3x14x<<．x143143∴-<<+即1117x为正整数12x=13141516即这样的三角形有5个．故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系熟知三角形两边之和大于第三边两边之差小于第三边是解答此题的关键．考点三三角形的高线例题：（2022·重庆市育才中学七年级阶段练习）下列各组图形中BD是ABC的高的图形是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线顶点和垂足间的线段．根据概念即可得到答案．【详解】解：根据三角形高的定义可知只有选项B中的线段BD是∴ABC的高故选：B．【点睛】考查了三角形的高的概念掌握高的作法是解题的关键．【变式训练】1．（2022·浙江杭州·中考真题）如图 CD ∴AB 于点D 已知∴ABC 是钝角 则（ ）A ．线段CD 是ABC 的AC 边上的高线B ．线段CD 是ABC 的AB 边上的高线C ．线段AD 是ABC 的BC 边上的高线 D ．线段AD 是ABC 的AC 边上的高线【答案】B【解析】【分析】根据高线的定义注意判断即可．【详解】∴ 线段CD 是ABC 的AB 边上的高线∴A 错误 不符合题意；∴ 线段CD 是ABC 的AB 边上的高线∴B 正确 符合题意；∴ 线段AD 是ACD 的CD 边上的高线∴C 错误 不符合题意；∴线段AD 是ACD 的CD 边上的高线∴D 错误 不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了三角形高线的理解 熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．2．（2022·湖南怀化·七年级期末）如图 在直角三角形ABC 中 90ACB ∠=︒ AC ＝3BC ＝4 AB ＝5则点C 到AB 的距离为______．【答案】125【解析】【分析】根据面积相等即可求出点C 到AB 的距离．【详解】解：∴在直角三角形ABC 中 90ACB ∠=︒ ∴1122AC BC AB CD ⨯=⨯ ∴AC ＝3 BC ＝4 AB ＝5 ∴1134522CD ⨯⨯=⨯⨯ ∴CD =125故答案为：125． 【点睛】本题考查求直角三角形斜边上的高 用面积法列出关系式是解题关键．3．（2022·重庆·七年级期中）如图 点A 、点B 是直线l 上两点 10AB = 点M 在直线l 外 6MB = 8MA = 90AMB ∠=︒ 若点P 为直线l 上一动点 连接MP 则线段MP 的最小值是______．【答案】4.8【解析】【分析】根据垂线段最短可知：当MP AB ⊥时 MP 有最小值 再利用三角形的面积可列式计算求解MP 的最小值．【详解】解：当MP AB ⊥时 MP 有最小值10AB = 6MB = 8MA = 90AMB ∠=︒AB MP AM BM ∴⋅=⋅即1068MP =⨯解得 4.8MP =．故答案为：4.8．【点睛】本题主要考查垂线段最短 三角形的面积 找到MP 最小时的P 点位置是解题的关键．考点四 三角形的中线例题：（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期中）如图 已知BD 是∴ABC 的中线 AB ＝5 BC ＝3 且∴ABD 的周长为12 则∴BCD 的周长是_____．【答案】10【解析】【分析】先根据三角形的中线、线段中点的定义可得AD CD = 再根据三角形的周长公式即可求出结果．【详解】 解：BD 是ABC 的中线 即点D 是线段AC 的中点AD CD ∴=5AB = ABD △的周长为1212AB BD AD ∴++= 即512BD AD ++=解得：7BD AD +=7BD CD ∴+=则BCD △的周长是3710BC BD CD ++=+=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了三角形的中线、线段中点的定义等知识点 掌握线段中点的定义是解题关键．【变式训练】1．（2022·陕西·西安市曲江第一中学七年级期中）在ABC 中 BC 边上的中线AD 将ABC 分成的两个新三角形的周长差为5cm AB 与AC 的和为11cm 则AC 的长为________．【答案】3cm 或8cm【解析】【分析】根据三角形的中线的定义可得BD CD = 然后求出ABD △与ADC 的周长差是AB 与AC 的差或AC 与AB 的差 然后代入数据计算即可得解．【详解】如图1 图2∴AD 是BC 边上的中线∴BD CD =∴中线AD 将ABC 分成的两个新三角形的周长差为5cm∴()()5AB BD AD AC CD AD ++-++=或()()5AC CD AD AB BD AD ++-++=∴5AB AC -=或者5AC AB -=∴AB 与AC 的和为11cm∴11AB AC +=∴83AB AC =⎧⎨=⎩或38AB AC =⎧⎨=⎩故答案为：3cm 或8cm ．【点睛】本题考查了三角形的中线熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边长的差是解题的关键．2．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级阶段练习）如图D E分别是∴ABC边AB BC上的点AD=2BD BE=CE设∴ADF的面积为S1∴FCE的面积为S2若S△ABC=16则S1－S2的值为_________．【答案】8 3【解析】【分析】S△ADF−S△CEF＝S△ABE−S△BCD所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可因为AD＝2BD BE＝CE且S△ABC＝16就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积.【详解】解：∴BE＝CE∴BE＝12BC∴S△ABC＝16∴S△ABE＝12S△ABC＝8．∴AD＝2BD S△ABC＝16∴S△BCD＝13S△ABC＝163∴S△ABE−S△BCD＝（S1＋S四边形BEFD）−（S2＋S四边形BEFD）＝S1−S2＝8 3故答案为83．【点睛】本题考查三角形的面积关键知道当高相等时面积等于底边的比据此可求出三角形的面积然后求出差．3．（2022·江苏·苏州市相城实验中学七年级期中）如图AD 是∴ABC 的中线BE 是∴ABD 的中线EF ⊥BC 于点F．若24ABCS=BD =4则EF 长为___________．【答案】3【解析】【分析】因为S △ABD =12S △ABC S △BDE =12S △ABD ；所以S △BDE =14S △ABC 再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】解：∴AD 是∴ABC 的中线 S △ABC =24∴S △ABD =12S △ABC =12同理 BE 是∴ABD 的中线 612BDE ABD SS ==∴S △BDE =12BD •EF∴12BD •EF =6 即1462EF ⨯⨯= ∴EF =3．故答案为：3．【点睛】此题考查了三角形的面积 三角形的中线特点 理解三角形高的定义 根据三角形的面积公式求解 是解题的关键．考点五 三角形的角平分线例题：（2022·全国·八年级）如图 在ABC 中 90CAB ∠=︒ AD 是高 CF 是中线 BE 是角平分线 BE 交AD 于G 交CF 于H 下列说法正确的是（ ）①AEG AGE ∠=∠；②BH CH =；③2EAG EBC ∠=∠；④ACF BCF S S =A．①③B．①②③C．①③④D．②③④【答案】C【解析】【分析】①根据∴CAB=90° AD是高可得∴AEG=90°−∴ABE∴DGB=90°−∴DBG又因为BE是角平分线可得∴ABE=∴DBE故能得到∴AEG=∴DGB再根据对顶角相等即可求证该说法正确；②因为CF是中线BE是角平分线得不到∴HCB=∴HBC故该说法错误；③∴EAG+∴DAB=90° ∴DBA+∴DAB=90° 可得∴EAG=∴DBA因为∴DBA=2∴EBC故能得到该说法正确；④根据中线平分面积可得该说法正确．【详解】解：①∴∴CAB=90° AD是高∴∴AEG=90°−∴ABE∴DGB=90°−∴DBG∴BE是角平分线∴∴ABE=∴DBE∴∴AEG=∴DGB∴∴DGB=∴AGE∴∴AEG=∴AGE故该说法正确；②因为CF是中线BE是角平分线得不到∴HCB=∴HBC故该说法错误；③∴∴EAG+∴DAB=90° ∴DBA+∴DAB=90°∴∴EAG=∴DBA∴∴DBA=2∴EBC∴∴EAG=2∴EBC故该说法正确；④根据中线平分面积可得S△ACF=S△BCF故该说法正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高中线角平分线的性质解题的关键是熟练掌握各线的特点和性质．【变式训练】1．（2022·全国·八年级）如图在∴ABC中∴C＝90° D E是AC上两点且AE＝DE BD平分∴EBC那么下列说法中不正确的是（）A．BE是∴ABD的中线B．BD是∴BCE的角平分线C．∴1＝∴2＝∴3D．S△AEB＝S△EDB【答案】C【解析】【分析】根据三角形中线、角平分线的定义逐项判断即可求解．【详解】解：A、∴AE＝DE∴BE是∴ABD的中线故本选项不符合题意；B、∴BD平分∴EBC∴BD是∴BCE的角平分线故本选项不符合题意；C、∴BD平分∴EBC∴∴2＝∴3但不能推出∴2、∴3和∴1相等故本选项符合题意；D、∴S△AEB＝12×AE×BC S△EDB＝12×DE×BC AE＝DE∴S△AEB＝S△EDB故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了三角形中线、角平分线的定义熟练掌握三角形中连接一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线；三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线是解题的关键．2．（2022·全国·八年级）如图AD BE CF依次是ABC的高、中线和角平分线下列表达式中错误的是（ ）A ．AE ＝CEB ．∴ADC ＝90° C ．∴CAD ＝∴CBE D ．∴ACB ＝2∴ACF【答案】C【解析】【分析】 根据三角形的高、中线和角平分线的定义（1）三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交 连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线；（2）三角形的中线定义：在三角形中 连接一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线；（3）三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线 顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线 简称为高．求解即可．【详解】解：A 、BE 是△ABC 的中线 所以AE ＝CE 故本表达式正确；B 、AD 是△ABC 的高 所以∴ADC ＝90 故本表达式正确；C 、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∴CAD ＝∴CBE 故本表达式错误；D 、CF 是△ABC 的角平分线 所以∴ACB ＝2∴ACF 故本表达式正确．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义 是基础题 熟记定义是解题的关键．3．（2021·全国·八年级课时练习）填空：（1）如图（1）,,AD BE CF 是ABC 的三条中线 则2AB =______ BD =______ 12AE =______． （2）如图（2）,,AD BE CF 是ABC 的三条角平分线 则1∠=______ 132∠=______ 2ACB ∠=______．【答案】 AF 或BF CD AC 2∠ ABC ∠ 4∠【解析】【分析】（1）根据三角形的中线定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线可得E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 上的中点 进而得到答案．（2）根据角平分线定义 从一个角的顶点出发 把这个角分成两个相等的角的射线 叫做这个角的平分线即可解答．【详解】解：（1）∴CF 是AB 边上的中线∴AB ＝2AF ＝2BF ；∴AD 是BC 边上的中线∴BD ＝CD∴BE 是AC 边上的中线∴AE ＝12AC（2）∴AD 是BAC ∠的角平分线∴12∠=∠∴BE 是ABC ∠的角平分线 ∴132∠=ABC ∠ ∴CF 是ACB ∠的角平分线∴2ACB ∠=4∠．故答案为：AF 或BF ；CD ；AC ；2∠；ABC ∠；4∠【点睛】此题主要考查了三角形的中线、角平分线解题的关键是掌握三角形的中线及角平分线的定义．一、选择题1．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）画ABC的BC边上的高正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用三角形的高线的定义判断即可．【详解】解：画△ABC的BC边上的高即过点A作BC边的垂线．∴只有选项A符合题意故选：A．【点睛】本题考查了三角形高线的画法从三角形的一个顶点向对边作垂线顶点与垂足间的线段叫做三角形的高线锐角三角形的三条高线都在三角形的内部钝角三角形的高有两条在三角形的外部．直角三角形的高线有两条是三角形的直角边．2．（2022·山东潍坊·七年级期末）在数学实践课上小亮经研究发现：在如图所示的ABC中连接点A和BC上的一点D线段AD等分ABC的面积则AD是ABC的（）．A．高线B．中线C．角平分线D．对角线【答案】B【解析】【分析】直接利用三角形中线的性质即可得出结果．【详解】解：∴线段AD等分∴ABC的面积∴∴ABD的面积等于∴ACD的面积∴两个三角形的高为同一条高∴BD=CD∴AD为∴ABC的中线故选：B．【点睛】题目主要考查三角形中线的性质理解三角形中线将三角形分成两个面积相同的三角形是解题关键．3．（2022·河北保定外国语学校一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据各图所用到的直线、线段有关知识即可一一判定【详解】解：A、利用的是“两点确定一条直线” 故该选项不符合题意；B、利用的是“两点之间线段最短” 故该选项不符合题意；C、窗户的支架是三角形利用的是“三角形的稳定性” 故该选项符合题意；D、利用的是“垂线段最短” 故该选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了两点确定一条直线、两点之间线段最短、三角形的稳定性、垂线段最短的应用结合题意和图形准确确定所用到的知识是解决本题的关键．4．（2022·山东青岛·七年级期末）如图BD是ABC的边AC上的中线AE是ABD△的边BD上的中线BF是ABE△的边AE上的中线若ABC的面积是32则阴影部分的面积是（）A．9B．12C．18D．20【答案】B【解析】【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】∴BD是ABC的边AC上的中线∴11321622ABD BCD ABCS S S===⨯=△△∴AE是ABD△的边BD上的中线∴1116822ABE ADE ABDS S S===⨯=又∴BF 是ABE △的边AE 上的中线 则CF 是ACE 的边AE 上的中线 ∴118422BEF ABF ABE S S S ===⨯= 182CEF ACF ADE CED ACE S S S S S =====则4812BEF CEF S SS =+=+=阴影故选：B ．【点睛】 本题考查了中线的性质 清晰明确三角形之间的等量关系 进行等量代换是解题的关键．5．（2021·江苏·无锡市侨谊实验中学三模）如图为一张锐角三角形纸片ABC 小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC 边上的中线AD ②BC 边上的角平分线AE ③BC 边上的高AF ．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中 所有能够通过折纸折出的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】【分析】 根据三角形中线 角平分线和高的定义即可判断．【详解】沿着A 点和BC 中点的连线折叠 其折痕即为BC 边上的中线 故①符合题意；折叠后使B 点在AC 边上 且折痕通过A 点 则其折痕即为BC 边上的角平分线 故②符合题意； 折叠后使B 点在BC 边上 且折痕通过A 点 则其折痕即为BC 边上的高 故③符合题意；故选D ． 【点睛】本题考查三角形中线 角平分线和高的定义．掌握各定义是解题关键．二、填空题6．（2022·湖南邵阳·八年级期末）若ABC 的三条边长分别为3cm xcm 4cm 则x 的取值范围______．【答案】17x <<##71x >>【解析】【分析】根据三角形的三边关系进行求解即可.【详解】解：根据“三角形任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边”可得到4343x －＜＜＋∴17x ＜＜.故答案为：17x ＜＜.【点睛】本题主要考查三角形三边关系 熟记“三角形任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边”是解答此类题目的关键.7．（2022·云南红河·八年级期末）已知a b c 、、是ABC ∆的三边长 a b 、满足()2610a b -+-= c 为偶数则c =_______．【答案】6【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b 的值 再根据三角形的任意两边之和大于第三边 两边之差小于第三边求出c 的取值范围 再根据c 是偶数求出c 的值．【详解】解：∴a b 满足()2610a b -+-=∴a -6=0 b -1=0解得a =6 b =1∴6-1=5 6+1=7∴5＜c ＜7又∴c 为偶数∴c =6故答案为：6【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方 解题的关键是明确题意 明确三角形三边的关系．8．（2021·北京市陈经纶中学分校八年级期中）随着人们物质生活的提高手机成为一种生活中不可缺少的东西手机很方便携带但唯一的缺点就是没有固定的支点．为了解决这一问题某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机这是利用了三角形的______.【答案】三角形的稳定性【解析】【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．【详解】解：把手机放在上面就可以方便地使用手机这是利用了三角形的稳定性故答案为：三角形的稳定性．【点睛】本题考查了三角形的稳定性解题的关键是掌握三角形具有稳定性．9．（2022·北京市师达中学七年级阶段练习）如图AB∴BD 于点B AC∴CD 于点C且AC 与BD 交于点E已知AE=10DE=5CD=4则AB 的长为_________．【答案】8【解析】【分析】根据三角形高的定义可判断出边上的高然后利用三角形面积求解即可．【详解】解：∴AB∴BD AC∴CD∴AB 是∴ADE 的边DE 上的高 CD 是边AE 上的高∴S △AED =1122DE AB AE CD ⋅=⋅ ∴10485AE CD AB DE ⋅⨯=== 故答案为：8．【点睛】本题考查三角形高的定义 三角形的面积等知识 掌握基本概念是解题关键 学会用面积法求线段的长． 10．（2022·全国·八年级专题练习）如图 在ABC 中 2AB AC == P 是BC 边上的任意一点 PE AB ⊥于点E PF AC ⊥于点F .若ABC S = 则PE PF +=______．【解析】【分析】 根据1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF =+=⋅+⋅ 结合已知条件 即可求得PE PF +的值． 【详解】解：如图 连接APPE AB ⊥于点E PF AC ⊥于点F1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF ∴=+=⋅+⋅2AB AC == ABC S =∴1122AB PE AC PF ⋅+⋅PE PF =+=【点睛】本题考查了三角形的高掌握三角形的高的定义是解题的关键．三、解答题11．（2022·全国·八年级）在∴ABC中BC＝8AB＝1；(1)若AC是整数求AC的长；(2)已知BD是∴ABC的中线若∴ABD的周长为17求∴BCD的周长．【答案】(1)8(2)24【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边两边之差小于第三边”得7＜AC＜9根据AC是整数得AC＝8；（2）根据BD是∴ABC的中线得AD＝CD根据∴ABD的周长为17和AB＝1得AD+BD＝16即可得．(1)解：由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB∴7＜AC＜9∴AC是整数∴AC＝8．(2)解：如图所示∴BD是∴ABC的中线∴AD＝CD∴∴ABD的周长为17∴AB +AD +BD ＝17∴AB ＝1∴AD +BD ＝16∴∴BCD 的周长＝BC +BD +CD ＝BC +AD +CD ＝8+16＝24．【点睛】本题考查了三角形 解题的关键是掌握三角形三边的关系和三角形的中线．12．（2022·全国·八年级专题练习）已知：a 、b 、c 满足2(|0a c -=求：(1)a 、b 、c 的值；(2)试问以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形 求出三角形的周长；若不能构成三角形 请说明理由．【答案】(1)a = 5b = c =(2)能构成三角形 周长为(51【解析】【分析】（1）根据非负数之和等于零 则每个非负数等于零 分别建立方程求解即可；（2）先比较长三边的大小 再用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后计算三角形的周长即可．(1)解：∴(20a ≥ 0 0c -≥a 、b 、c 满足(20a c -=∴0a = 50b -= 0c -解得a = 5b = c =(2)解：∴81825<<∴5即a c b <<∴5=>∴能构成三角形三角形的周长)5551a b c =++===． 【点睛】本题考查了非负数的性质 二次根式有意义的条件和构成三角形的条件 解题的关键是根据非负数之和等于零的条件分别建立方程和如何判定三边能否构成三角形．13．（2022·四川·威远中学校七年级期中）（1）已知一个三角形的两边长分别是4cm 、7cm 则这个三角形的周长的取值范围是什么？（2）在等腰三角形ABC 中 AB ＝AC 周长为14cm BD 是AC 边上的中线 △ABD 比△BCD 周长长4cm 求△ABC 各边长．【答案】（1）14<c <22；（2）AB =6 AC =6 BC =2．【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系 先求出三角形第三边长的范围 即可求出周长范围．（2）根据三角形中线的定义可得,AD CD = 从而可得4,AB BC -=再根据ABC 的周长是14 以及,AB AC ＝ 可得214AB BC +=进行计算即可解答． 【详解】解：（1）设第三边长为x 根据三角形的三边关系得7474,x ∴-<<+3,x ∴<<11∴三角形的周长C 的取值范围为：1422.c <<（2）如图所示：∴BD是AC边上的中线,AD CD∴=∴△ABD比△BCD周长长4cm()()4,AB AD BD BC CD BD∴++-++=4,AB BC∴-=4,BC AB∴=-ABC的周长是1414,AB AC BC∴++=,AB AC＝214,AB BC∴+=2414,AB AB∴+-=6,AB∴=6,AB AC∴==2.BC∴=【点睛】本题主要考查了三角形三边关系等腰三角形的性质熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．14．（2022·河北邯郸·七年级阶段练习）如图在直角三角形ABC中∴BAC＝90° AD是BC边上的高CE 是AB边上的中线AB＝12cm BC＝20cm AC＝16cm求：（1）AD的长；（2）∴BCE的面积．【答案】（1）485；（2）48．【解析】【分析】（1）利用面积法得到12AD•BC＝12AB•AC然后把AB＝12cm BC＝20cm AC＝16cm代入可求出AD的长；（2）由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 所以S △BCE ＝12S △ABC ．【详解】解：（1）∴∴BAC ＝90° AD 是BC 边上的高 ∴12AD •BC ＝12AB •AC∴AD ＝121620⨯＝485（cm ）；（2）∴CE 是AB 边上的中线∴S △BCE ＝12S △ABC ＝12×12×12×16＝48（cm 2）．【点睛】本题考查三角形中线的性质 涉及等积法 是重要考点 掌握相关知识是解题关键．15．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）如图 在6×10的网格中 每一小格均为正方形且边长是1 已知∴ABC 的每个顶点都在格点上．(1)画出∴ABC 中BC 边上的高线AE ；(2)在∴ABC 中AB 边上取点D 连接CD 使3BCD ACD S S =△△；(3)直接写出∴BCD 的面积是__________．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3)7.5【解析】【分析】（1）利用网格线过A 作BC 的垂线即可；（2）利用网格线的特点 取格点D 满足3BD AD = 则D 即为所求作的点；（3）利用三角形的面积公式直接计算即可．(1)解：如图 AE 即为BC 上的高．(2)如图 利用网格特点 可得3BD AD =∴D 即为所求作的点 满足3BCD ACD S S =△△．(3)1537.52BCD S =⨯⨯=． 【点睛】本题考查的是画三角形的高 三角形的面积的计算 熟悉等高的两个三角形的面积之间的关系是解本题的关键．16．（2022·江苏·沭阳县怀文中学七年级阶段练习）如图 在ABC 中 CD 、CE 分别是ABC 的高和角平分线 ,()BAC B ∠α∠βαβ==>．(1)若70,40αβ=︒=︒ 求DCE ∠的度数；(2)试用α、β的代数式表示DCE ∠的度数_________．【答案】(1)15DCE ∠=︒(2)2αβ-【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∴ACB 的值 再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∴DCE ． （2）由（1）的解题思路即可得正确结果．(1) 解：70BAC ∠=︒ 40B ∠=︒∴()180()180704070ACB BAC B ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒CE 是ACB ∠的平分线∴1352ACE ACB ∠=∠=︒．CD 是高线∴90ADC ∠=︒∴9020ACD BAC ∠=︒-∠=︒∴352015DCE ACE ACD ∠=∠-∠=︒-=︒︒．(2) 解：BAC α∠= B β∠=∴()180()180ACB BAC B αβ∠=︒-∠+∠=︒-+CE 是ACB ∠的平分线∴()1118090222ACE ACB αβαβ+∠=∠=⨯︒-+=︒-⎡⎤⎣⎦．CD 是高线∴90ADC ∠=︒∴9090ACD BAC α∠=︒-∠=︒- ∴909022DCE ACE ACD αβαβα+-∠=∠-∠=︒--︒+=．【点睛】本题主要考查角平分线 高线以及角的转换 掌握角平分线 高线的性质是解题的关键．17．（2022·上海·八年级专题练习）如图 ∴ABC 中 ∴BAC ＝60º AD 平分∴BAC 点E 在AB 上 EG ∴ADEF ∴AD 垂足为F ．(1)求∴1和∴2的度数．(2)联结DE 若S △ADE ＝S 梯形EFDG 猜想线段EG 的长和AF 的长有什么关系？说明理由．【答案】(1)30º；60º(2)相等 理由见解析【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义求得BAD ∠ 然后在直角三角形中利用两锐角互余即可求得∴2 再利用平行线的性质即可求得∴1的度数．(2)根据S △ADE ＝S 梯形EFDG 可得AD =DF +EG 结合图形即可求解．(1)∴∴BAC ＝60º AD 平分∴BAC ∴1302BAD BAC ∠=∠=︒ 又∴EF ∴AD∴29060BAD ∠=︒-∠=︒ ∴EG ∴AD∴130BAD ∠=∠=︒．(2)相等． 理由如下： ∴EF ∴AD∴S △ADE =12AD EF ⋅ S 梯形EFDG =1()2DE EG EF +⋅ ∴S △ADE = S 梯形EFDG ∴12AD EF ⋅=1()2DE EG EF +⋅∴AD =DF +EG∴AD =AF +DF∴DF +EG =AF +DF即AF =EG ．【点睛】本题考查了平行线的性质 角平分线的定义以及三角形和梯形的面积公式 熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．18．（2021·安徽省六安皋城中学八年级期中）如图 AD 是∴ABC 的边BC 上的中线 已知AB =5 AC =3． （1）边BC 的取值范围是 ；（2）∴ABD 与∴ACD 的周长之差为 ；（3）在∴ABC 中 若AB 边上的高为2 求AC 边上的高．【答案】（1）28BC <<；（2）2；（3）103h =． 【解析】【分析】 （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可；（2）根据三角形中线将∴ABD 与∴ACD 的周长之差转换为AB 和AC 的差即可得出答案；（3）设AC 边上的高为h 根据三角形面积公式列出方程求解即可．【详解】解：（1）∴∴ABC 中AB =5 AC =3∴5353BC -<<+即28BC <<故答案为：28BC <<；（2）∴∴ABD 的周长为AB AD BD ++∴ACD 的周长为AC AD CD ++∴AD 是∴ABC 的边BC 上的中线∴BD CD =∴AB AD BD ++-(AC AD CD ++)=532AB AC -=-=故答案为：2；（3）设AC 边上的高为h 根据题意得：11222AB AC h ⨯=⨯ 即1152322h ⨯⨯=⨯⨯ 解得103h =．【点睛】本题考查了三角形三边关系 三角形的中线 三角形的高等知识点 熟练掌握基础知识是解本题的关键．。
人教版八年级数学上册《11.1.2三角形的高、中线与角平分线》同步测试题及答案
人教版八年级数学上册《11.1.2三角形的高、中线与角平分线》同步测试题及答案班级：姓名：一、单选题1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，根据尺规作图保留的痕迹，判断下列结论错误的是（）A．AD是∠BAC的平分线B．AD=BDC．AD=2CD D．2S△ABD =3S△ACD2．如图是一块不规则的四边形地皮ABCO，各顶点坐标分别为A(−2,6)，B(−5,4)，C(−7,0)，O(0,0)（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（）m2．A．25 B．250 C．2500 D．22003．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC面积相等的是（）A．B．C．D．4．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°， CD 是AB边上的高，若 AC=3， AB=5则CD=( )A．2 B．2.4 C．3 D．√155．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于△ABC的面积与△BCD 的面积的大小说法正确的是（）A．S△ABC>S△BCD B．S△ABC=S△BCDC．S△ABC<S△BCD D．无法比较6．如图，在四边形ABCD中∠A=90°，AD=2，BC=4，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．67．如图，已知∠ACB=90°，BC=8，AC=6，AB=10，点D在线段AB上运动，线段CD的最短距离是（）A．4.8 B．4 C．5.8 D．5 8．ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为()A．14B．√3−14C．18D．2√3−189．下列命题正确的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等10．下列说法中，正确的个数为（）①三角形的高、中线、角平分线都是线段②三角形的外角大于任意一个内角③△ABC中，∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形④若a、b、c均大于0，且满足a+b＞c，则长为a、b、c的三条线段一定能组成三角形A．1 B．2 C．3 D．411．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE=2，AC=4则△ADC 的面积为．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−3,−1)，B(1,3)，C(2,−3)，则三角形ABC的面积为．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足3S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA＋PB的最小值为.14．已知一次函数y=32x+m和y=−12x+n的图象都经过点A(−2,0)，且与y轴分别交于B，C两点，则△ABC的面积为．15．已知a b=35，则b+2ab−2a=．16．如图△ABC中AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°求∠DAC，∠AOB．17．三角形ABC在直角坐标系中，且A(0,4)，B(−2,0)，C(3,−5)，将三角形ABC向下平移2个单位，再向左平移4个单位得到三角形A1B1C1，求三角形A1B1C1的面积．18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.（1）则∠BAE＝；（2）求∠DAE的度数.参考答案1．答案D2．答案C3．答案A4．答案B5．答案B6．答案B7．答案A8．答案B9．答案C10．答案A11．答案412．答案1413．答案√4114．答案415．答案−1116．答案∠DAC=20°17．答案1518．答案（1）40°（2）解：∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴∠DAC＝90°-∠C＝60°∴∠DAE＝∠DAC-∠EAC＝20°.。
人教版八年级数学上册《11.1.2三角形的高、中线与角平分线》测试题及答案
人教版八年级数学上册《11.1.2三角形的高、中线与角平分线》测试题及答案班级：姓名：一、选择题1．下列说法：①三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和；②三角形中最小的锐角不能大于60°；③三角形任意两个内角的和大于第三个内角；④三角形一边上的高小于这个三角形的其他两边；⑤直角三角形只有一条高．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（）A．∠BCE＝36°B．BC＝AEC．BEAC=√5−12D．S△AECS△BEC=√5+123．如图，△ABC中∠ACB=75°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转一定角度得到△EDC．若点D恰好落在AB边上，且AD=CD，则∠E的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°4．在△ABC中AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，取AB边上的中点E，连接DE，则∠ADE=（）°．A．18 B．36 C．54 D．725．下列命题中，真命题的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条角平分线交于一点，且这一点到三角形的三个顶点距离相等C．同旁内角互补D．若a1，a2，a3都是正数，且a1+a2+a3=1，那么这三个数中至少有一个大于或等于136．如图，把等腰直角三角形ABC的直角顶点和另外一个顶点分别放在矩形纸片的两条对边上，已知∠1=20°，则∠2的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．75°7．如图，直线a∥b，若∠1=24°，∠A=42°，则∠2等于（）A．66°B．70°C．42°D．30°8．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+12∠C；②当∠C=60°时AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b则S△ABC=2ab．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①②③D．①③9．如图，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线DE∥BC，交AB于E,∠A=60°,∠BDC=95°，则∠BED的度数是（）A．95°B．100°C．105°D．110°10．等腰三角形一个外角为100°，则它的顶角为（）A．40°B．80°C．100°D．80°或20°二、填空题11．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在射线BC上EF⊥AD于F，∠B=40°，∠ACE=72°则∠E 的度数为.12．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，F在射线AD上，FE⊥BC于E，∠C=80°，∠B=36°则∠F=度．13．如图，在△ABC中，BAC=108°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，若点D恰好落在BC边上，且DC=DA，则∠E的度数为°．14．如图把三角形ABC沿DE折叠，使点B落在点B′处∠1=24°，∠2=80°，则∠B′=度．15．如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1−∠2=60°，则∠B 的度数是．16．如图，在△ABC中AB=AC，点D在AC上，且BC=CD=AD，则∠A=．三、解答题17．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，下面两幅图都是由同一副三角板拼合得到的：（1）如图1，请你计算出的∠ABC的度数．（2）如图2，若AE∥BC，请你计算出∠AFD的度数．18．如图，D是△ABC的BC边上一点∠B=∠BAD，∠ADC=70∘，∠BAC=80∘．求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数．19．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．（1）如图1，若∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度数；（2）如图2，∠B<∠C由(1)的计算结果，你能发现△DAE与∠C−∠B的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明；（3）如图3，∠B=30°，∠C=70°延长AB到点G，∠BAD和∠CBG的角平分线交于点F、请直接写出∠F的度数______．20．如图，△ABC中AB=AC，AB的垂直平分线交AC于P点．（1）若∠A=35°，求∠BPC的度数（2）若AB=5cm，BC=3cm，求△PBC的周长？21．陕西省的地势南北高、中间低，有高原、山地、平原和盆地等多种地形．某工程队现需穿过某座大山修一条隧道AB，如图，为了测量隧道AB的长度，在山的另一侧水平地面上取了一点C，在隧道BA的延长线上取了点D，测量得知∠CAD−∠C=90°，AC=500米，BC=140米，请你求出隧道AB的长．22．如图，在△ABC中∠1=∠B,∠2=∠C,∠DAC=40°，求∠B的度数．参考答案1．答案A2．答案C3．答案D4．答案C5．答案D6．答案C7．答案A8．答案A9．答案D10．答案D11．答案34°12．答案2213．答案2714．答案2815．答案30°16．答案36°17．答案（1）∠ABC＝75°（2）∠AFD＝75°18．答案（1）35°（2）65°19．答案（1）∠DAE=10°（2）∠DAE=12(∠C−∠B)（3）55°20．答案（1）∠BPC=70°（2）周长为8cm21．答案隧道AB的长为480米22．答案35°。