概率论与数学建模

第六章 概率论与数学建模一、随机事件及其概率1.随机事件：可重复；可预测结果且结果明确；试验前出现那个结果不能确定例如：抛骰子一次，抛一枚硬币三次等。

2.事件的运算及其含义：B A ⊂：A 为B 的子事件。

其含义是：A 发生则B 必发生 B A =：事件A ，B 相等。

其含义是：A 发生则B 必发生，反之亦然C B A =⋂：事件A 与B 的交。

其含义是：C 发生当且仅当A ，B 同时发生C B A =⋃：事件A 与B 的并（和）。

其含义是：C 发生当且仅当A ，B 中至少有一个发生。

C B A =-：事件A 与B 的差。

其含义是：C 发生当且仅当A 发生并且B 不发生。

φ=AB ：事件A 与B 互不相容。

其含义是：A 与B 不可能同时发生。

A ：事件A 的对立事件。

3.概率：刻化某一事件在一次试验中发生的可能性大小的数量指标。

(当∞→n 时，)()(A P A f P −→−) 4.古典概论：某个试验共有n 个等可能的结果（样本点），事件A 包含其中m 个结果（样本点），则认为nm 就是事件A 的概率。

这种基于等可能性确定概率的模型称为古典概率模型。

例6.1.1（Monte Hall Problem ）20世纪60，70年代，美国“电视游戏秀”曾经非常流行一个名叫“Let ’s Make a Deal ”的节目，由Monte Hall 主持。

游戏过程如下：有三扇关着的门，其中一扇门后面有奖品（一辆汽车），其余两扇门后面则没有奖品，若猜中了有奖品的门就能赢取这辆汽车。

你从中挑选一扇门，但暂不打开。

这时，主持人在另外两扇门中挑一个没有奖品的门打开，并展示给你和观众。

然后，主持人问你：是坚持原来的选择，还是换成最后那扇门？解：从能不能得奖的角度看，这个游戏只有两个结果：不换门得奖（A ）、换门能得奖（B ）。

第一个门是你“三选一”随机（等可能地）挑选的，故P(A)=1/3,自然，另一个结果的概率就是P(B)=2/3。

因此，正确的决定是换成那扇门。

例6.1.2（抽签原理）袋中有2只红球8只黑球（除颜色外无法再分辨）。

10个人依次摸球，得红球者中奖。

求：k A ＝{第k 个摸球者中奖}的概率，k=1,2,…,10解法一：假定对解题者来说这些球可辨别。

样本点为一轮抽签结束后这10个球的排列，共有10！个等可能的样本点。

事件k A 所含样本点的特征是：两个红球中任选一个排在第k 位（有12C 种可能），而其余9个球在其余9个位置上可任意排列（有9！种可能）。

因此k A 包含了9！12C 个样本点，故51!10!9)(12==C A P K . 解法二：假定球不可辨，只需关注红球落入哪两个人之手，样本空间共有45210=C 个等可能的样本点。

事件k A 发生意味着第k 个人得一红球，另一红球落入其余9人中某一人之手，这有19C 种可能，所以51459)(==K A P 。

例6.1.3（分球入盒模型）将2只球随机地放入3个可辨的盒子中。

求事件A={甲乙两个盒子中各有一只球}的概率。

模型一：假定球可辨，根据乘法原理，样本空间有23个等可能的样本点，而事件A 所含的样本点有222=P 个（两只球的排列），所以92)(=A P . 模型二：假定球不可辨，则样本空间共有624=C 个样本点（两块隔板就可以代表三个盒子，两只球以及两块隔板共4个位置，任选其中两个放置隔板）：⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯,,,,, 而事件A 所含的样本点只有一个。

人的直觉经验一般应该是这样的：从物理学上说，球总是可辨的（难以想象这个球既是这个球又是那个球），所谓不可辨，也只是根据问题或研究的目的，不在乎它们之间的区别而已。

如果需要，后三种情形还是可以区别的。

因此，现在这6个样本点不是等可能的：前三个均为91，后三个均为92。

故答案应该还是92)(=A P 。

例6.1.4（浦丰投针问题）在平面上画一些间距为d 的平行线，向此平面投掷一根长为l 的（l<a ）的针，试求A={此针能与某一直线相交}的概率。

略。

5.条件概率、乘法公式、独立性、全概率公式、贝叶斯公式（1）条件概率：)/(B A P 表示事件B 发生的条件下事件A 发生的概率。

且 )()()/(B P AB P B A P =(2) 乘法公式：若0)(>B P ，有)()/()(B P B A P AB P ⋅=.（3）独立性：若0)(>B P ,0)(>B P 有)()()(B P A P AB P ⋅=或)()/(A P B A P =。

则称A 、B 相互独立。

(4)全概率公式：设n B B ,,1Λ是S 的一个分割，且0)(>j B P ，则对任一事件S A ⊂,有∑==NJ J J B A P B P A P 1)/()()(.条件全概率公式：设n B B ,,1Λ是S 的一个分割，且0)(>j B P ，0)(>C P ,0)(>C B P j ,则∑==nj j j CB A P C B P C A P 1)/()/()/(例6.1.5（Polya 模型）罐子里有r 只红球和b 只黑球，随机取出一球，放回后再加入同颜色的球c 只。

如此下去，求第n 次取出红球的概率。

解：设n R ={第n 次取出的是红球}，n B ={第n 次取出的是黑球}，n=1,2,….根据全概率公式，有br r c b r r b r b c b r c r b r r B R P B P R R P R P R P +=++⋅+++++⋅+=+=)/()()/()()(1211212 依次递推，易知有br r R P n +=)(。

（5）贝叶斯公式：设n B B ,,1Λ是S 的一个分割，且0)(>j B P ，则对概率大于零的事件S A ⊂，有∑==n j j j i i i B A P BP B A P B P A B P 1)/()()/()()/( i=1,2,…,n 例6.1.6一个从不抽烟的60岁男性去医院看病，主诉有症状A={慢性咳嗽及非经常性憋气}，医生安排他做肺部活组织检验，假定检验只有三种可能的结果:1B ={正常（没有严重的肺病）}，2B ={肺癌}，3B ={结节病}。

假设医生根据临床经验，得知这三种病与该组症状之间的关联（条件概率）如下：001.0)/(1=B A P ，9.0)/(2=B A P ，9.0)/(3=B A P另外，从疾病资料库中“年龄-性别-抽烟”这个症状组合栏目可以找到，在60岁从不抽烟的男性群体中，患这三种病的先验概率（频率）为 99.0)(1=B P ，001.0)(2=B P ，009.0)(3=B P问：肺部活组织检查前，医生对该名男子应该如何诊断？ 解：用贝叶斯公式，已知症状组合A,三种疾病321,,B B B 的条件概率分别为0991.09.0009.09.0001.0001.099.0001.099.0)/(1≈⨯+⨯+⨯⨯=A B P 0901.09.0009.09.0001.0001.099.09.0001.0)/(2≈⨯+⨯+⨯⨯=A B P 8108.09.0009.09.0001.0001.099.0001.0009.0)/(3≈⨯+⨯+⨯⨯=A B P 虽然结节病的先验概率很小，但他患有结节病的后验概率却高达.也就是说，虽然这组症状与两种疾病（肺癌和结节病）都比较相符，但结合病人的年龄、性别和抽烟等情况综合考虑，应该诊断为结节病。

下面举一个综合运用加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式和独立性的例子。

例6.1.7一个罪犯单独作案，在现场留下了一些DNA 信息。

法医研究后发现能够辨别的只有5对，而且无罪的人也可能与此匹配，匹配的概率为510-。

检查官认为罪犯就是该城镇100万居民之一。

过去10年，该城镇曾有包括琼斯在内的10000人蹲过监狱，他们的DNA 资料均记录在案。

在检查对比这些DNA 文档之前，检察官根据经验，认为有前科的人又犯罪的概率是没有前科的人犯罪概率的k 倍。

实际的DNA 对比结果是：琼斯是唯一匹配的人。

琼斯有罪的概率是多少？ 解：设有前科者的犯罪概率为α，无前科者的犯罪概率为β，则βαk =。

由于是单独作案，某甲作案与某乙作案不相容，且必有一人作案，故 199000010000=+βα，因此99000010000+=k k α，990000100001+=k β 记A={琼斯是作案者}，B={琼斯是10000人中唯一与现场留下的DNA 信息匹配的人}，则α=)(A P 。

我们要求的概率是)/(B A P ,由贝叶斯公式)/()()/()()/()()/(A B P A P A B P A P A B P A P B A P ⋅+⋅⋅=在10000个有前科的DNA 对比试验中，每个人是否与现场DNA 信息匹配是相互独立的。

这里我们必须再补充一个假设：DNA 对比试验技术上完美无缺（即，事实上匹配的人，对比结果必然匹配，事实上不匹配的人，对比结果必然不匹配）。

因此，在琼斯是作案者（其他9999人都不是作案者）的前提下，琼斯匹配而其他9999人都不匹配的概率应该是99995)101(1)/(--⋅=A B P 现来求)/(A B P .设C ={琼斯以外的9999个有前科者这次都没作案}，根据条件全概率公式，有)/()/()/()/()/(A C B P A C P A C B P A C P A B P +=显然其中的0)/(=A C B P ，999955)101(10)/(---=A C B P 注意到，事件A C 意为“该案是990000个没有前科者之一所为”，故 β990000)(=A C P ,即α100001-。

于是αα--==1100001)()()/(A P A C P A C P 最终，我们得到kB A P 9.911)100001(101100001)101(10)1()101()101()/(59999559999599995+=-+=--⋅-⋅⋅-+--=-----αααααααα 例如，若10=k 则新的DNA 证据表明琼斯作案的概率为5025.099.11)/(≈=B A P ，若100=k 则琼斯作案的概率为9099.0099.11)/(≈=B A P 。

二、随机变量1.随机变量的概念：2.常见的随机变量：(1)泊松分布：k e P X k k k λλ-（=）=，=0、1、2、、、！实际应用：一本书中一页中的印刷错误数。

（小概率事件）某地区在一天内邮件遗失的信件数。

某一天内医院的急症病人数。

某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数 一个时间间隔内某种放射性物质发出的经过计数器的α粒子数等等……(2)指数分布：⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x λλ 其中>0λ为常数 ，记为 )(~λExp X特点:无记忆性P(/)()X s t X s P X t >+>=>一个元件已经使用了s 小时，在此情形下，它总共能使用至少s+t 小时的概率，与开始使用时算起它至少能使用t 小时的概率相等，即元件对已使用过s 小时无记忆。