数学史勾股定理
数学史勾股定理论文
鲁东大学2011－2012学年第一学期《数学史》课程论文课程号：2191010任课教师成绩勾股定理的证明与推广勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。
这个定理在中国有的称为“商高定理”，在国外称为“毕达哥拉斯定理”。
人类一直想要弄清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系，那么怎样才能与外星人沟通呢？数学家曾设想用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。
勾股定理有着悠久的历史，很多具有古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的定理是勾股定理。
1：勾股定理的历史1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成．这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体——毕达哥拉斯派，它的成立以及在文化上的贡献．邮票上的图案是最著名和最有用的勾股理．在欧洲人们称它为毕达格拉斯定理．在欧洲，人们都把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯；但通过二十世纪对在美索不达米亚出土的楔形文字泥版书进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年，古代巴比伦人就已经知道这个定理．考古学家们发现了几块泥板书，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为 30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。
这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。
在我国西汉或更早时期的天文历算著作《周髀算经》①中，第一章记述了西周开国时期（约公元前1000年）商高和周公姬旦的问答．周公问商高：“夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法，出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五．”祖先天才地用测量日影的办法，推算了夏至日太阳离地的斜高，用同理测定了，夏至日的太阳斜高．又取中空竹管，径一寸长八尺，用来观测太阳，我们的祖先发现太阳圆影恰好充满竹管的视线，於是用太阳的斜高和勾股的原则，推算太阳的直径．这些测定的数据虽然非常粗略，但在三千年前那样的年代，有这样的观测精神，是我们应该学习的。
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勾股定理勾股定理勾股定理是数学⼏何中的⼀个定理，⼀般的表述为：直⾓三⾓形两直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅。
勾股定理是余弦定理的⼀个特例，约有400种证明⽅法。
古埃及⼈在4500年前建造⾦字塔和测量尼罗河泛滥后的⼟地时，就⼴泛地使⽤勾股定理。
古巴⽐伦（公元前1800到1600年）的数学家也提出许多勾股数组。
数学史上普遍认为最先证明这个定理的是毕达哥拉斯，所以很多数学书上把此定理称为毕达哥拉斯定理。
中国古代称直⾓三⾓形的直⾓边为勾和股，斜边为弦，故此定理称为勾股定理。
中⽂名勾股定理外⽂名Pythagoras theorem别称毕达哥拉斯定理表达式a2+b2=c2提出者商⾼毕达哥拉斯提出时间公元前约1000年应⽤学科数学⼏何适⽤领域范围数学适⽤领域范围物理等理⼯学科记载著作《⼏何原本》《九章算术》⽬录1公式2验证推导3定理推⼴逆定理推⼴定理4发展简史5定理意义1公式如果直⾓三⾓形的两条直⾓边长分别为，，斜边长为，那么。
2验证推导标准验证：该证明对切即为加菲尔德的梯形证明法如右图所⽰：⼤正⽅形的⾯积等于中间正⽅形的⾯积加上四个三⾓形∴∴∴图⽰3定理推⼴逆定理勾股定理的逆定理是判断三⾓形为钝⾓、锐⾓或直⾓的⼀个简单的⽅法，其中C为最长边：如果，则△ABC是直⾓三⾓形。
如果，则△ABC是锐⾓三⾓形。
（若⽆先前条件C为最长边，则仅满⾜∠C是锐⾓）如果，则△ABC是钝⾓三⾓形。
推⼴定理欧⼏⾥得在他的《⼏何原本》中给出了勾股定理的推⼴定理：“直⾓三⾓形斜边上的⼀个直边形，其⾯积为两直⾓边上两个与之相似的直边形⾯积之和”。
4发展简史编辑⼏个⽂明古国都先后研究过这条定理，远在公元前约三千年的古巴⽐伦⼈就知道和应⽤勾股定理，他们还知道许多勾股数组。
古埃及⼈在建筑宏伟的⾦字塔和尼罗河泛滥后测量⼟地时，也应⽤过勾股定理。
我国也是最早了解勾股定理的国家之⼀。
三千多年前，周朝数学家就提出“勾三、股四、弦五”，它被记载于《周髀算经》中。
九章算术 勾股定理
九章算术勾股定理
（原创实用版）
目录
1.九章算术的概述
2.勾股定理的定义和历史
3.勾股定理的证明方法
4.勾股定理的应用
正文
【九章算术】
九章算术，是中国古代数学著作之一，也是中国数学史上最重要的著作之一。
它的成书时间大约在公元前 1 世纪，是中国古代数学的重要代表作之一。
九章算术主要涵盖了算术、代数、几何等方面的内容，其中最重要的部分是几何学。
【勾股定理】
勾股定理，也被称为毕达哥拉斯定理，是中国古代数学家毕达哥拉斯最早发现的。
它的表述为：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理是直角三角形中最基本的定理，也是几何学中最重要的定理之一。
【勾股定理的证明方法】
勾股定理的证明方法有很多种，其中最常用的方法是利用几何图形进行证明。
另外，也可以利用代数的方法进行证明。
无论使用哪种方法，都能够得出勾股定理的正确性。
【勾股定理的应用】
勾股定理在实际生活中的应用非常广泛，例如在建筑、制造、测量等
方面都会用到勾股定理。
此外，勾股定理也是解决许多几何问题的关键，是几何学中不可或缺的一部分。
勾股定理简介与证明(3篇)
第1篇一、勾股定理简介勾股定理，又称为毕达哥拉斯定理，是数学中一个重要的几何定理。
它指出，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理不仅在我国古代数学著作《周髀算经》中有记载，而且在古希腊、印度、埃及等地的数学文献中也有所体现。
勾股定理是解决直角三角形问题的基础，也是许多数学领域的重要工具。
二、勾股定理的证明1. 证明方法一：几何证明如图所示，设直角三角形ABC中，∠C为直角，AC、BC分别为直角边，AB为斜边。
作辅助线CD，使得CD⊥AB于点D。
（1）证明AC²+BC²=AB²由于CD⊥AB，∠ACD和∠BCD都是直角。
因此，三角形ACD和三角形BCD都是直角三角形。
根据直角三角形的性质，有：AC² = AD² + CD²BC² = BD² + CD²将上述两个等式相加，得到：AC² + BC² = (AD² + CD²) + (BD² + CD²)AC² + BC² = AD² + BD² + 2CD²由于AD+BD=AB，将AD+BD替换为AB，得到：AC² + BC² = AB² + 2CD²由于CD是AB的一半，即CD=AB/2，代入上式，得到：AC²+ BC² = AB² + 2(AB/2)²AC² + BC² = AB² + AB²AC² + BC² = 2AB²由于2AB²=AB²，因此：AC² + BC² = AB²（2）证明结论根据上述证明，得出勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理
勾股定理勾股定理是中国古代数学史上的伟大发现，被誉为“中国数学史上的第一定理”。
它是一个简洁而优美的几何定理，描述了直角三角形边长之间的关系。
毫无疑问，勾股定理是几何学中不可或缺的基础性理论。
勾股定理最早出现在《周髀算经》，作者是中国古代数学家祖冲之。
祖冲之是东晋时期的数学家、天文学家和物理学家，他的数学成就为后世留下了宝贵的遗产。
在《周髀算经》中，他提到了勾股定理的一个特殊案例，即当直角边长相差为1时，斜边长恰好是广义的整数。
这个特殊的例子在古代数学界引起了轰动，因为它为后来对勾股定理的研究奠定了基础。
勾股定理的一般形式如下：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
换句话说，设直角三角形的两个直角边为a和b，斜边为c，则有a² + b² = c²。
这个简单的数学关系被称为勾股定理，因为它与勾股关系有着密切的联系。
勾股定理不仅在数学上具有重要意义，还在实际生活和应用中发挥着无可替代的作用。
例如，勾股定理可以用于计算任意直角三角形的边长和角度。
它是应用三角函数的基础，是测量学、导航学和航空航天等领域的重要工具。
此外，勾股定理在建筑和工程上也有广泛应用。
工程师们可以根据勾股定理来计算建筑物的结构和设计，确保其稳定性和安全性。
在测量学中，人们可以利用勾股定理来测量不可直接测量的距离，例如河流的宽度或山脉的高度等。
勾股定理的应用还延伸到了艺术领域。
许多艺术作品运用了勾股定理的原理，例如画家们可以依靠勾股定理的比例关系来绘制逼真的景物和人物。
勾股定理深深地影响了数学史，它不仅成为了几何学的基石，更是后续数学研究的源泉。
勾股定理在世界范围内都被广泛研究和应用，不仅在古代，也在现代科学中持续发挥作用。
总之，勾股定理是中国古代数学的重要瑰宝，也是世界数学史上的伟大发现之一。
它不仅在理论和实际中发挥着重要作用，还为后来的数学家提供了宝贵的启示和思路。
勾股定理的发现，标志着中国古代数学的辉煌成就，也深深地影响了世界数学学科的发展。
勾股定理的历史演变
勾股定理的历史演变勾股定理是数学中的一个重要定理，被广泛应用于几何学、物理学和工程学中。
它是一个简单而又有趣的定理，其历史演变可以追溯到古代文明时期。
一、古代文明时期的起源勾股定理最早可以追溯到古代埃及和美索不达米亚文明时期。
在古埃及文明中，人们已经具备了一些几何知识，并且使用勾股定理进行建筑、土地测量和计算等实际应用。
二、古希腊的贡献在古希腊时期，数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）被认为是勾股定理的发现者。
毕达哥拉斯学派把勾股定理作为其学派的核心理论之一，并开始对勾股定理进行更深入的研究。
毕达哥拉斯学派认为，存在一个具有特殊性质的数，即勾股数，可以用于构造直角三角形。
这些三角形的边长与勾股数之间存在着简单而又美妙的关系。
三、古印度对勾股定理的贡献在古印度文明中，勾股定理也得到了广泛的应用和研究。
古印度数学家阿耶拔多（Baudhayana）在他的著作《贝德豪娜·苏特拉（Baudhayana Sulba Sutra）》中首次描述了勾股定理的应用。
他用勾股定理来解决土地测量和建筑设计中的问题。
四、中国古代数学对勾股定理的发展在中国古代，勾股定理被称为“勾股数学”。
早在公元前11世纪，中国古代数学家商高就已经发现了一些勾股数的性质。
中国古代数学家通过勾股定理解决了很多实际问题，如土地测量、建筑设计和天文测量等。
勾股定理在中国的发展推动了数学在中国古代的繁荣和发展。
五、欧洲的认知和应用在中世纪，勾股定理开始从古希腊传播到欧洲。
欧洲的数学家们对勾股定理进行了更加系统和深入的研究，如尼科拉·费尔马（Pierre de Fermat）和爱德华·威廉·斯泰诺斯（Edward William Steno）等人。
他们提出了更多的证明方法和相关定理，并使勾股定理在欧洲得到了更广泛的应用。
总结回顾：勾股定理的历史演变可以追溯到古代文明时期，经过了埃及、美索不达米亚、古希腊、古印度以及中国古代数学的贡献和发展。
在《勾股定理》课堂教学中渗透数学史的策略
在《勾股定理》课堂教学中渗透数学史的策略《勾股定理》是数学中的重要概念之一，也是中国数学史上的经典成果之一。
在教授《勾股定理》时，除了传授基本的公式、证明方法和应用技巧外，我们还可以通过渗透数学史的策略，让学生更深入地了解这一定理的来龙去脉、历史背景和对人类文明的影响。
一、介绍勾股定理的历史背景勾股定理最早是由中国古代数学家贾宪三个多世纪前在《周髀算经》中所提出的。
让学生了解一下《周髀算经》在中国古代数学中的地位和影响力，讲述贾宪提出勾股定理的历史背景和奠定基础的数学概念和方法，可以进一步加深学生对勾股定理的理解和认识。
二、介绍勾股定理的多种证明方法勾股定理的证明方法很多，学生可以了解欧拉、毕达哥拉斯、宋赵衡等著名数学家们对勾股定理的证明方法，从而进一步理解勾股定理的内在原理。
为了保证教学效果，教师应该重点介绍欧拉和毕达哥拉斯等人的证明方法，因为他们的证明方法思路清晰，严密，证明过程清晰简洁，可以让学生更容易理解。
勾股定理在现实生活中有很多应用，例如建筑设计、航空航天、地貌测量、计算机图形学等领域。
教师可以通过生动的例子，让学生感受到勾股定理的实际用途，激发其学习数学的兴趣和动力，加深他们对数学知识的掌握和理解。
四、概述勾股定理对世界数学的影响勾股定理在中国数学史和世界数学史上都占有重要地位，对数学的发展和人类文明的进步产生了深远影响。
教师应该让学生了解勾股定理的影响和意义，鼓励他们认识到数学对人类文明的重要作用，从而更加珍视数学学科，好好学习数学知识。
总之，通过渗透数学史的策略，可以使教学效果更加深入、全面，让学生了解数学的发展过程、数学家的思想和实践，加深对数学知识的掌握和理解，同时也能够激发他们对数学的兴趣和热爱，为未来成为优秀数学家打下坚实的基础。
勾股定理的证明
勾股定理的证明勾股定理是数学中的一条基本定理，它可以用来计算一个直角三角形的斜边长度。
在数学史上，勾股定理的证明经过了漫长的历史演变和多次的尝试。
以下是关于勾股定理的证明过程：勾股定理最早的记载可以追溯到中国古代的《周髀算经》中。
它的基本内容是：“周公旦商，说桓公之卦，用《勾陈》九章，与之占之。
宫□用龟，次□用蓍，外□用繇，内□用筮。
《勾周》之书曰：勾广三，股修四，径隅五。
”这个“勾广三，股修四”就是勾股定理的前两个要点，后一个要点在这里并没有体现出来。
这说明，勾股定理在中国古代早已被人们掌握和应用。
在此基础上，古希腊数学家毕达哥拉斯进一步推导出了勾股定理，并赋予了它深刻的几何解释。
二、勾股定理的几何解释1、勾股定理的基本形式勾股定理的基本形式是：在直角三角形中，直角边上的两个边长分别为a和b，斜边的长度为c，那么a²+b²=c²。
这个公式主要是告诉我们，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。
勾股定理的代数解释是：将直角边较小的一条的长度定为a，较长的一条的长度定为b，斜边的长度定为c，则有：a²+b²=c²。
可以看出，勾股定理是一种代数式，它可以代表某种关系和规律。
勾股定理的几何解释是：在直角三角形中，三个顶点组成了一个直角，而其他两个顶点则分别位于两条直角边上。
一个顶点与一条直角边组成了直角，而另一个顶点与斜边组成了锐角。
斜边的长度等于从锐角顶点到直角边上的垂足点的距离，而两个直角边的长度分别等于垂足点到两个顶点的距离。
因此，勾股定理可以用勾股图来表示。
1、几何证明勾股定理最早的证明是几何证明，它是在古希腊时期提出的，并且被认为是最简单的证明方法。
其证明思路如下：① 在直角三角形ABC中，以AC为一条边，以AB为一条高，作垂线BD。
② 由勾股定理：∵ AD²=DB²+AB²∴ AC²=AD²+DC²=(DB²+AB²)+DC²∵ DC=DB③ 所以在直角三角形ABC中，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。
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据史书记载，大禹治水与勾股定理有关，禹在治水的实践中总结出了勾股术（即勾股的 计算方法）用来确定两处水位的高低差．可以说，禹是世界上有文字记载的第一位与勾股定 理有关的人．中国古代数学著作《周髀算经》中记载有商高这样的话：……我们做成一个直 角三角形，这形亦称曰[勾股形]．它的距边名叫[勾]，长度为三；另一边名叫[股]，长度为四； 斜边名叫[弦]，长度为五．勾股弦三边，若各自乘，我们就可由其中任何两边以求出第三边 的长……
案例一
“勾股定理”是初中数学中的一个重要内容，具有悠久的历史和丰富的文化涵．《全日制 义务教育数学课程标准（实验稿）》中指出勾股定理的教学目标是让学生体验勾股定理的探 索过程，会运用勾股定理解决简单的问题．那么，教师如何教学才能使学生体验勾股定理的 探索过程呢？下面的案例中，山东省莱西市第一中学的仇鹏程老师向学生展现了历史上不同 文化中的勾股定理的巧妙的证明方法。这样的设计不仅能够激发学生的学习兴趣、拓宽学生 的视野，而且可以使学生客观地了解不同文化对数学的贡献，体会数学中的多元文化特征．
比较．基于史韦兹的观点，教师可以使学生课后完成以下历史上的勾股定理应用题． ①（巴比伦，公元前 1600-1800）长 30 英尺的梯子倚墙而立，当上端沿墙下移 6 英尺的距 离时，下端沿墙移动多远？（答案：18 英尺） ②（中国，公元 1 世纪）今有恒高一丈．倚木于恒，上与恒齐．引木却行一尺，其木至地．问 木长几何？（答案：5 丈 5 寸 ） ③（意大利，公元 1300 年）矛长 20 英尺，依塔而立．若将末端外移１２英尺，则尖端低塔 多高？（答案：16 英尺） 六、课堂小结
通过计算，小组内讨论，每个小组选一个代表给大家陈述本组的结论．教师在参与、指 导整个过程的基础上，根据学生的回答，给出正确的结论： ⑴任意直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方，这就是我们要学的勾股定理的 内容．这里的“勾”和“股”指的是直角三角形的两个直角边，斜边叫作“弦”． ⑵任意非直角三角形都不存在这种关系．
从毕达格拉斯时代到现在，对勾股定理给出了许多种不同的证明．“在卢米斯（E.S. Loomis）的《毕氏命题》一书第二版中，作者收集了这个著名定理的 370 种证明，并把它 们分了类．” 三、向学生展示历史上勾股定理的不同证明方法 1.毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前 580-前 500）的证明： 证明方法之特征：文字说明，没有代数表达式． 2.欧几里得（Euclid，约公元前 300）的证明： 证明方法之特征：严格的逻辑推理证明方法，展示的是对数学美和数学理性的追求． 3.赵爽（公元 3 世纪前期）的证明： 证明方法之特征：数形结合证法，建立在一种不证自明、形象直观的原理上，证明过程可以 借助实物进行操作，使现实问题数学化． 4.刘徽（公元 263 年左右）的证明： 刘徽用了巧妙的“出入相补”原理证明了勾股定理，“出入相补”见于刘徽为《九章算术》勾股 数——“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”所作的注：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令 出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也．”如何将勾方 与股方出入相补成弦方，刘徽未具体提示. 证明方法之特征：利用了巧妙的“出入相补”原理，蕴含“动态思想”． 5.婆什迦罗（Bhaskara 1114-约 1185）的证明： 证明方法之特征：数形结合证法，利用了三角形的相似性． 四、勾股定理应用举例 五、布置练习题
美国学者史韦兹（F． Swetz）认为，用历史来丰富数学教学和数学学习，一个直接的 方法是让学生去解一些早期数学家感兴趣的问题．这些问题让学生回到问题提出的时代，反 映当时人们所关心的数学主体．学生在解决源于数世纪以前的问题时，会经历某种激动和满 足．他主张，教师可以搜集历史上的不同时期和不同文化的数学问题，并布置给学生去解决、
数学史“勾股定理”教学设计
山东省莱西市第一中学 仇鹏程 一、从文化传统习惯入手使学生“发现”勾股定理
教师在课前要做好形式多样的三角形的模型（既有直角三角形又有非直角三角形，为方 便起见，使得每一个直角三角形的两个直角边的长度均为整数．）．发给每位学生两个直角三 角形和一个非直角三角形，并把全体学生分成几个小组，使得每位学生都要利用直尺测量三 角形的三条边长，并记录数据．然后，提出问题： ⑴你手里的直角三角形的三条边的平方之间有什么关系？ ⑵你在⑴中得到的结果对非直角三角形也成立吗？
《周髀算经》卷上还记载西周开国时期周公与商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问 时提到“勾广三，股修四，经偶五”，这是勾股定理的特例．卷上另一处叙述周公后人荣方与
陈子（约公元前 6、7 世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式： ……以日下为勾， 日高为股，勾股各自乘，并儿开方除之，得邪至日．”
在学生“发现”勾股定理，理解勾股定理的历史背景的基础上，给他们展现历史上不同文 化中的勾股定理各种巧妙的证明方法，能够激发学生的学习兴趣、拓宽学生的视野、培养学 生全方位的认知能力和思考弹性．这样既能让学生掌握勾股定理，又能让他们学习数学史， 理解巧妙的数学思想方法．通过类似的课，教师应该给学生强调：证明的目的不只是证实命 题成立，还要加深理解。通过老师的讲解，学生还可以理解各种不同证明方法背后的社会文 化意义。课堂上教师要融入数学史，适当地讲解不同文化对数学的贡献，与学生共同体会数 学中的多元文化特征．
由此看来，《周髀算经》中已经利用了勾股定理来量地测天．勾股定理又叫做“商高定理”． 在国外，早在古希腊之前的一千多年前的汉谟拉比时代的巴比伦人已经发现了勾股定理，并 认为勾股定理的第一个证明是毕达格拉斯给出的．因此，他们把勾股定理叫做“毕达哥拉斯” 定理．据传毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，宰了一百头牛来祭神，但迄今并没有 毕达哥拉斯发现和证明勾股定理的直接证据，并且后来人们指出宰牛之说与毕达哥拉斯学派 奉行的素食主义相违．尽管如此，人们仍然对毕达哥拉斯证明勾股定理的方法给出了种种猜 测，其中最著名的是普鲁塔克（Plutarch，约 46-120）的面积剖分法(见证法 1)．