拉压杆的变形计算图文
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拉压杆的变形与变形能-5
§2-5拉伸或压缩时的变形1．沿杆件轴线的轴向变形如图2-23，设等直杆的原长为，横截面面积为。
在轴向力l A P 作用下，长度由l 变为。
杆件在轴线方向的伸长，即轴向变形为1ll l l −=Δ1 （1）由于杆内各点轴向应力σ与轴向应变ε为均匀分布，所以一点轴向线应变即为杆件的伸长除以原长l ：l Δl l Δ=ε （2） 由εσE =得ll E A N Δ= 所以EAPl EA Nl l ==Δ （2-6） 式（2-6）表示：当应力不超过比例极限时，杆件的伸长l Δ与拉力P 和杆件的原长度l 成正比，与横截面面积成反比。
这是胡克定律的另一种表达形式。
式中是材料弹性模量与拉压杆件横截面面积乘积，EA 越大，则变形越小，将EA 称为抗拉（压）刚度。
A EA 2．横向变形若在图2-23中，设变形前杆件的横向尺寸为，变形后相应尺寸变为，则横向变形为 b 1bb b b −=Δ1横向线应变可定义为bb Δ=′ε 由实验证明，在弹性范围内μεε=′ （2-7） μ为杆的横向线应变与轴向线应变代数值之比。
由于μ为反映材料横向变形能力的材料弹性常数，为正值，所以，一般冠以负号εεμ′−=，称为泊松比或横向变形系数。
ε′与ε的关系为μεε−=′ （2-8）3()()x Nx e σγ0 ()A dA A σσγ+=+在处0=x 0A A =即：按指数函数变化。
A 例2-6 图2-25所示为变截面杆，已知BD 段cm 21=A 2，DA 段42=A cm 2，kN ，kN 。
求AB 杆的变形5=AB l 1P 102=P Δ。
（材料的MPa ）310120×=E 解：首先分别求得BD 、DC 、CA 三段的轴力，N ，为1N 23N 51−=N kN ；52−=N kN ；53=N kN449311111005.1102101205.0105−−×−=×××××−==Δ=ΔEA l N l l BD （m ） 449322221052.0104101205.0105−−×−=×××××−==Δ=ΔEA l N l l DC （m ） 449333331052.0104101205.0105−−×=×××××==Δ=ΔEA l N l l CA（m ） 43211005.1−×−=Δ+Δ+Δ=Δl l l l AB （m ） AB l Δ的负号说明此杆缩短。
工程材料力学第四章轴向拉压杆的变形
§4-5 轴向拉(压)杆的变形·胡克定律
拉(压)杆的纵向变形 （轴向变形） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
纵向总变形Δl = l1-l （反映绝对变形量）
l 纵向线应变 （反映变形程度） l
1
fl
f ( x x)
x
f
l
x
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f 轴力图
fx
微段的分离体
y
pbd 2b 0
pd 2
13
所以
pd (2 10 Pa)(0.2m) -3 2 2(510 m)
6
4010 Pa 40 MPa
6
14
2.
如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为
薄壁圆环沿圆环切向的线应变e(周向应变)与径向截面上
的正应力s 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即
ν
亦即
- n
低碳钢(Q235)：n = 0.24~0.28。
7
思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。
1.列出各段杆的纵向总变形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整个 杆纵向变形的表达式。
2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变
形是什么关系？
uB L1
22
作业：4-7,4-91 Pa ~ 2.101011 Pa 200GPa ~ 210GPa
l 1 FN 胡克定律的另一表达形式： l E A
E
←单轴应力状态下的胡克定律
6
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio)
单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
拉(压)杆的纵向变形 （轴向变形） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
纵向总变形Δl = l1-l （反映绝对变形量）
l 纵向线应变 （反映变形程度） l
1
fl
f ( x x)
x
f
l
x
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f 轴力图
fx
微段的分离体
y
pbd 2b 0
pd 2
13
所以
pd (2 10 Pa)(0.2m) -3 2 2(510 m)
6
4010 Pa 40 MPa
6
14
2.
如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为
薄壁圆环沿圆环切向的线应变e(周向应变)与径向截面上
的正应力s 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即
ν
亦即
- n
低碳钢(Q235)：n = 0.24~0.28。
7
思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。
1.列出各段杆的纵向总变形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整个 杆纵向变形的表达式。
2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变
形是什么关系？
uB L1
22
作业：4-7,4-91 Pa ~ 2.101011 Pa 200GPa ~ 210GPa
l 1 FN 胡克定律的另一表达形式： l E A
E
←单轴应力状态下的胡克定律
6
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio)
单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
材料力学 杆件的变形计算
例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa， ν = 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上的正应力 σ (b) 螺栓的横向变形△d
解：1) 求横截面正应力 ：
ε=
∆l 0.04 = = 7.41×10-4 l 54
l = 54 mm ，di = 15.3 mm， E＝200 GPa， ν = 0.3， △l ＝0.04 mm
∆ac = a ′c′ − ac
∆ac ε′ = ac
二、拉压杆的弹性定律 1、等内力拉压杆的弹性定律 P P
PL NL dL = = EA EA
PL dL ∝ A
2、变内力拉压杆的弹性定律
N（x） N(x)
x dx dx 内力在n段中分别为常量时 内力在 段中分别为常量时
※“EA”称为杆的抗拉压刚度。 ※“ ”称为杆的抗拉压刚度。
C1
C点总位移： 点总位移：
∆C = ∆C y + ∆C x = 1.47mm
2 2
C0
Cx
(此问题若用圆弧精确求解) 此问题若用圆弧精确求解)
∆C x = 0.278mm ∆C y = 1.44mm
第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角
为 dx 的两个相邻截面之间有相对转角dϕ 的两个相邻截面之间有相对转角d
800 π × 0.04 4 80 ×109 32 = 0.03978rad / m
综合两段， 综合两段，最大单位扭转角应在BC 段 为 0.03978 rad/m
例4-5 图示一等直圆杆， 图示一等直圆杆，已知 d =40mm a =400mm G =80GPa, ϕ DB=1O , 求 : 1) 最大切应力 2）ϕ AC
材料力学-杆件的变形计算
EIz EIw M (x)dx C
再进行一次积分,可得到挠度方程
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
其中， C 和 D 是积分常数，需要经过边界条件或者连续条件来拟
定其大小。
❖ 边界条件：梁在其支承处旳挠度或转角是已知旳， 这么旳已知条件称为边界条件。
❖ 连续条件：梁旳挠曲线是一条连续、光滑、平坦旳 曲线。所以，在梁旳同一截面上不可能有两个不同 旳挠度值或转角值，这么旳已知条件称为连续条件。
例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
= 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上旳正应力 σ (b) 螺栓旳横向变形△d
解：1) 求横截面正应力
l 0.04 7.4110-4
l 54 E 200 103 7.41104 148.2 MPa
M lBA BA GI p
180 7Ma π GI p
x
7 3
j
DB
2.33
第三节 梁旳变形
1、梁旳变形
梁必须有足够旳刚度，即在受载后不至于发生过大旳弯 曲变形，不然构件将无法正常工作。例如轧钢机旳轧辊，若 弯曲变形过大，轧出旳钢板将薄厚不均匀，产品不合格；假 如是机床旳主轴，则将严重影响机床旳加工精度。
dx
GI p
取
dj M x
dx GI p
单位长度扭转角 用来表达扭转变形旳大小
单位长度扭转角旳单位: rad/m
GI p 抗扭刚度
GI p 越大，单位长度扭转角越小
g
在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，
就可得到两端相对扭转角j 。
dj
dx
dj M x
再进行一次积分,可得到挠度方程
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
其中， C 和 D 是积分常数，需要经过边界条件或者连续条件来拟
定其大小。
❖ 边界条件：梁在其支承处旳挠度或转角是已知旳， 这么旳已知条件称为边界条件。
❖ 连续条件：梁旳挠曲线是一条连续、光滑、平坦旳 曲线。所以，在梁旳同一截面上不可能有两个不同 旳挠度值或转角值，这么旳已知条件称为连续条件。
例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
= 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上旳正应力 σ (b) 螺栓旳横向变形△d
解：1) 求横截面正应力
l 0.04 7.4110-4
l 54 E 200 103 7.41104 148.2 MPa
M lBA BA GI p
180 7Ma π GI p
x
7 3
j
DB
2.33
第三节 梁旳变形
1、梁旳变形
梁必须有足够旳刚度，即在受载后不至于发生过大旳弯 曲变形，不然构件将无法正常工作。例如轧钢机旳轧辊，若 弯曲变形过大，轧出旳钢板将薄厚不均匀，产品不合格；假 如是机床旳主轴，则将严重影响机床旳加工精度。
dx
GI p
取
dj M x
dx GI p
单位长度扭转角 用来表达扭转变形旳大小
单位长度扭转角旳单位: rad/m
GI p 抗扭刚度
GI p 越大，单位长度扭转角越小
g
在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，
就可得到两端相对扭转角j 。
dj
dx
dj M x
《工程力学》第五章 杆件的变形与刚度计算
根据杆所受外力，作出其轴力图如 图 b所示。
（2）计算杆的轴向变形 因轴力FN和横截面面积A沿杆轴线变
化，杆的变形应分段计算，各段变形的 代数和即为杆的轴向变形。
l
FNili FN1l1 FN 2l2 FN 2l3
EAi
EA1
EA1
EA2
1 200 103
( 20 103 100 500
10 103 100 500
10 103 100 )mm 200
0.015mm
例5-2 钢制阶梯杆如图，已知
轴向外力F1=50kN，F2=20kN，
各段杆长为l1=150mm，
l2=l3=120mm，横截面面积为：
1
A1=A2=600mm2，A3=300mm2，
钢的弹性模量E=200GPa。求各
x
l 3
，ym
ax
9
Ml2 3E
I
xMl2 16EI
A
M 6EIl
(l 2
3b2 )
B
M 6EIl
(l 2
3a2 )
三、叠加法计算梁的变形
➢叠加法前提条件：弹性、小变形。 ➢叠加原理：梁在几个载荷共同作用下任一截面的挠度或转角， 等于各个载荷单独作用下该截面挠度或转角的代数和。
F1=2kN，齿轮传动力F2=1kN。主轴的许可变形为：卡盘 C处的挠度不超过两轴承间距的 1/104 ；轴承B处的转角
不超过 1/103 rad。试校核轴的刚度。
解（1）计算截面对中 性轴的惯性矩
Iz
D4
64
(1 4 )
804 (1 0.54 )mm4
64
188104 mm4
（2）计算梁的变形
第四章 杆件的变形计算
C
x
B’
wB
w
B
某截面的法线方向与x轴 的夹角称为该截面的转角
x
挠度和转角的大小和截面所处的 x 方向的位
置有关，可以表示为关于 x 的函数。
挠度方程（挠曲线方程） 转角方程
w f1(x)
f2(x)
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿 x 轴方向的直线变 成一条在 xy 平面内的曲线，该曲线称为挠曲线。
某截面的竖向位移，称为
该截面的挠度
y
C’
A
M 2M
D a C aB Mx 2M M
3M 2a A 3M
+
j AC
180 π
M CBlCB GI p
M BAlBA GI p
180 7Ma π GI p
x
7 3
jDB
2.33
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
b1 b
横向也会发生变形
F
F 横向应变
l l1
b b1 b
bb
通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应
变和横向应变存在如下的比例关系
杆件轴向拉伸与压缩_图文
极限应力（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生过大变形而 不能安全工作时的最小应力值，即材料丧失工作能力时的应力，以符号 σu表示，其值由实验确定。
许用应力：构件安全工作时的最大应力，即构件在工作时允许承受的
最大工作应力，以符号[σ]表示。计算公式为：
式中，n为安全系数，它是一个大于1的系数，一般来说，确定安全系数 时应考虑以下几个方面的因素。(1) 实际荷载与设计荷载的出入。(2) 材料 性质的不均匀性。(3) 计算结果的近似性。(4) 施工、制造和使用时的条件 影响。可见，确定安全系数的数值要涉及工程上的各个方面，不单纯是个 力学问题。通常，安全系数由国家制定的专门机构确定。
根据上述现象，对杆件内部的变形作如下假设：变形之前横截面为平 面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，只是每个横截面沿 杆轴作相对平移。这就是平面假设。
ac
F
a' c'
F
b' d'
bd
11
建筑力学
推论：
1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截 面上没有切应力。 2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长 (缩短)变形是均匀的。亦即横截面上各点处的正应力 都相等。
p t
s M
10
建筑力学
拉(压)杆横截面上的正应力
推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式
简单实验如下。用弹性材料做一截面杆(如下图)，在受拉力前，在截 面的外表皮上画ab和cd两个截面，在外力F的作用下，两个截面ab和cd的 周线分别平行移动到a`b`和c`d`。根据观察，周线仍为平面周线，并且截 面仍与杆件轴线正交。
一般来说，在采用截面法之前不要使用力的可传性原理， 6
许用应力：构件安全工作时的最大应力，即构件在工作时允许承受的
最大工作应力，以符号[σ]表示。计算公式为：
式中，n为安全系数，它是一个大于1的系数，一般来说，确定安全系数 时应考虑以下几个方面的因素。(1) 实际荷载与设计荷载的出入。(2) 材料 性质的不均匀性。(3) 计算结果的近似性。(4) 施工、制造和使用时的条件 影响。可见，确定安全系数的数值要涉及工程上的各个方面，不单纯是个 力学问题。通常，安全系数由国家制定的专门机构确定。
根据上述现象，对杆件内部的变形作如下假设：变形之前横截面为平 面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，只是每个横截面沿 杆轴作相对平移。这就是平面假设。
ac
F
a' c'
F
b' d'
bd
11
建筑力学
推论：
1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截 面上没有切应力。 2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长 (缩短)变形是均匀的。亦即横截面上各点处的正应力 都相等。
p t
s M
10
建筑力学
拉(压)杆横截面上的正应力
推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式
简单实验如下。用弹性材料做一截面杆(如下图)，在受拉力前，在截 面的外表皮上画ab和cd两个截面，在外力F的作用下，两个截面ab和cd的 周线分别平行移动到a`b`和c`d`。根据观察，周线仍为平面周线，并且截 面仍与杆件轴线正交。
一般来说，在采用截面法之前不要使用力的可传性原理， 6
工程力学轴向拉压杆件的强与变形计算课件
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的 应用非常广泛。
由汽缸、活塞、连 杆所组成的机构中，不 仅连接汽缸缸体和汽缸 盖的螺栓承受轴向拉力， 带动活塞运动的连杆由 于两端都是铰链约束， 因而也是承受轴向载荷 的杆件。
第4页/共55页
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
第5页/共55页
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
第12页/共55页
7-2轴向拉压杆斜截面上的应力
第13页/共55页
7-2轴向拉压杆斜截面上的应力
第14页/共55页
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
7-3 轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
第15页/共55页
轴向拉压的变形分析
P
P
A 细长杆受拉会变长变细，
P
B 受压会变短变粗
C 长短的变化，沿轴线方向， 称为纵向变形
Dh h
第22页/共55页
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
横向变形与泊松比
实验结果表明，对于同一种材料，若在弹性范围内加载，轴向应变
x与横向应变y 之间存在下列关系：
y x
负号表示纵向与横向变形的方向相反
为材料的另一个常数，称为泊松比(Poisson ratio)。
泊松比为无量纲量。 第23页/共55页
l+Dl l
d-Dd d
D 粗细的变化，与轴线垂直，
称为横向变形
P
P
P
第16页/共55页
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
绝对变形 弹性模量
Dl l l 设一长度为l、横截面面积为A的等截面直杆，承受轴
向载荷后，其长度变为l十Dl，其中Dl为杆的伸长量。
Dl FN l A
由汽缸、活塞、连 杆所组成的机构中，不 仅连接汽缸缸体和汽缸 盖的螺栓承受轴向拉力， 带动活塞运动的连杆由 于两端都是铰链约束， 因而也是承受轴向载荷 的杆件。
第4页/共55页
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
第5页/共55页
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
第12页/共55页
7-2轴向拉压杆斜截面上的应力
第13页/共55页
7-2轴向拉压杆斜截面上的应力
第14页/共55页
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
7-3 轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
第15页/共55页
轴向拉压的变形分析
P
P
A 细长杆受拉会变长变细，
P
B 受压会变短变粗
C 长短的变化，沿轴线方向， 称为纵向变形
Dh h
第22页/共55页
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
横向变形与泊松比
实验结果表明，对于同一种材料，若在弹性范围内加载，轴向应变
x与横向应变y 之间存在下列关系：
y x
负号表示纵向与横向变形的方向相反
为材料的另一个常数，称为泊松比(Poisson ratio)。
泊松比为无量纲量。 第23页/共55页
l+Dl l
d-Dd d
D 粗细的变化，与轴线垂直，
称为横向变形
P
P
P
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7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
绝对变形 弹性模量
Dl l l 设一长度为l、横截面面积为A的等截面直杆，承受轴
向载荷后，其长度变为l十Dl，其中Dl为杆的伸长量。
Dl FN l A