拉压杆的变形计算胡克定律
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工程力学-第13讲轴向拉压杆的变形和胡克定律.
设杆件变形前的横向尺寸为a变形后为a试验表明杆的横向应变与纵向应变之间存在着一定的关系在弹性范围内横向应变与纵向应变的比值的绝对值是一个常数用表示称为泊松比或横向变形系数其值可通过试验确定
LOGO
现在打盹,你将做梦; 现在学习,你将圆梦!!!!_
拓展：
对于作用在物体边界上一小块表面上的外力系可以用静力等效（主矢量、 主矩相同）并且作用于同一小块表面上的外力系替换，这种替换造成的 区别仅在离该小块表面的近处是显著的，而在较远处的影响可以忽略。
l
二、胡克定律
应力不超过某一限度时：
l Nl EA
E•
E为弹性模量，表示材料的弹性性能，单位为MPa。
三、横向变形
拉（压）杆产生纵向变形时，横向也产生变形。 设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后为a1，则横 向变形为
a a1 a
a
a
试验表明，杆的横向应变与纵向应变之间存在着 一定的关系，在弹性范围内，横向应变与纵向应变的
比值的绝对值是一个常数，用 表示
称为泊松比或横向变形系数，其值可通过试
验确定。由于 和 的符号恒为异号，故有
例1 求图示构件B点的位移（EA=常数）。
解：(1)求各段杆轴力。 FNAC=2F，FNBC=F (2)求各段杆变形。
l AC
2Fa EA
l l 假设杆件变形前长度为
件的纵向变形为
，变形后长为 1 ，则杆
F
Fll1l Nhomakorabea l1 l
纵向变形的大小与杆的原长有关，为了度量杆的 变形程度，需用单位长度的变形量。单位长度的变形
称纵向线应变，简称线应变，以 表示。对于轴力为
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拓展：
对于作用在物体边界上一小块表面上的外力系可以用静力等效（主矢量、 主矩相同）并且作用于同一小块表面上的外力系替换，这种替换造成的 区别仅在离该小块表面的近处是显著的，而在较远处的影响可以忽略。
l
二、胡克定律
应力不超过某一限度时：
l Nl EA
E•
E为弹性模量，表示材料的弹性性能，单位为MPa。
三、横向变形
拉（压）杆产生纵向变形时，横向也产生变形。 设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后为a1，则横 向变形为
a a1 a
a
a
试验表明，杆的横向应变与纵向应变之间存在着 一定的关系，在弹性范围内，横向应变与纵向应变的
比值的绝对值是一个常数，用 表示
称为泊松比或横向变形系数，其值可通过试
验确定。由于 和 的符号恒为异号，故有
例1 求图示构件B点的位移（EA=常数）。
解：(1)求各段杆轴力。 FNAC=2F，FNBC=F (2)求各段杆变形。
l AC
2Fa EA
l l 假设杆件变形前长度为
件的纵向变形为
，变形后长为 1 ，则杆
F
Fll1l Nhomakorabea l1 l
纵向变形的大小与杆的原长有关，为了度量杆的 变形程度，需用单位长度的变形量。单位长度的变形
称纵向线应变，简称线应变，以 表示。对于轴力为
材料力学 杆件的变形计算
例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa， ν = 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上的正应力 σ (b) 螺栓的横向变形△d
解：1) 求横截面正应力 ：
ε=
∆l 0.04 = = 7.41×10-4 l 54
l = 54 mm ，di = 15.3 mm， E＝200 GPa， ν = 0.3， △l ＝0.04 mm
∆ac = a ′c′ − ac
∆ac ε′ = ac
二、拉压杆的弹性定律 1、等内力拉压杆的弹性定律 P P
PL NL dL = = EA EA
PL dL ∝ A
2、变内力拉压杆的弹性定律
N（x） N(x)
x dx dx 内力在n段中分别为常量时 内力在 段中分别为常量时
※“EA”称为杆的抗拉压刚度。 ※“ ”称为杆的抗拉压刚度。
C1
C点总位移： 点总位移：
∆C = ∆C y + ∆C x = 1.47mm
2 2
C0
Cx
(此问题若用圆弧精确求解) 此问题若用圆弧精确求解)
∆C x = 0.278mm ∆C y = 1.44mm
第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角
为 dx 的两个相邻截面之间有相对转角dϕ 的两个相邻截面之间有相对转角d
800 π × 0.04 4 80 ×109 32 = 0.03978rad / m
综合两段， 综合两段，最大单位扭转角应在BC 段 为 0.03978 rad/m
例4-5 图示一等直圆杆， 图示一等直圆杆，已知 d =40mm a =400mm G =80GPa, ϕ DB=1O , 求 : 1) 最大切应力 2）ϕ AC
拉压杆的变形
EA称为杆的拉压刚度，它是单位长度的杆产生单位长度的变形 所需的力。所以拉压刚度EA代表了杆件抵抗拉伸（压缩）变形 的能力。
因σ＝FN/A、ε＝Δl/l，故式（2-5）变为 σ＝Eε （2-6
上式是胡克定律的另一表达式。它表明：在弹性限度内，正应力 与线应变成正比。
1.2横向变形
设图2-12所示拉、压杆在变形前、后的横向尺寸分别为d与d1， 则其横向变形Δd为
【例2-6】如图2-14（a）所示等截面直杆，已知 其原长l、横截 面积A、材料的容重γ、弹性模量E、受杆件自重和下端处集中力 F作用。求该杆下端面的位移ΔB。
【解】如图2-14（b）所示。距B端为x的横截面上的轴力为 FN（x）＝F＋γAx
微段dx如图2-14（c）所示。 略去两端内力的微小差值，则微段的变形为
＝-0.975×10-3m＝-0.975mm
各段柱的纵向线应变为
εBC＝ΔlBC/lBC=-0.5mm/2000mm＝2.5×10-4
εAB＝ΔlAB/lAB=-0.975mm/1500mm=-6.5×10-4 全柱的总变形为两段柱的变形之和，即
Δl=ΔlBC+ΔlAB=-0.5mm-0.975mm=-1.475 mm
【解】由于上下两段柱的轴力不等，故两段柱 的变形要分别计算。各段柱的轴力为
FNBC＝-100 kN 各段柱的纵向变形为
FNAB＝-260 kN
ΔlBC＝FNBC/EA ＝ -100×103N×2m/10×109Pa× （0.2m）2 ＝-0.5×10-3m＝-0.5mm
图2-13
ΔlAB＝FNAB/EA＝ 260×103N×1.5m/10×109Pa×（0.2m）2
大量的实验表明，当杆的变形为弹性变形时，杆的纵向变形Δl与 外力F及杆的原长l成正比，而与杆的横截面面积A成反比，即
5-2拉压杆的变形计算汇总
F
a1
横向变形为 a = a 1- a
2.线应变——杆件单位长度内的变形量。
l l1 l 纵向线应变： l l a a1 a 横向线应变： a a
拉伸时， ﹥0， ' ﹤0；压缩时， ﹤0， ' ﹥0。 3.泊松比μ（横向变形系数） 实验结果表明：一定范围内，杆件的横向线应变 与纵向线应变的比值为一常数。即 ' =-
10kN
x
练习1．图示等截面直杆，其横截面面积A=4000cm2， 材料的弹性模量E=2×108Pa，试分别求上、下段的应力 和变形量。
300kN A B
3m
400kN
4m
C
小结： 1.应力与应变关系:
虎克定律:
Nl l EA
＝E
2.拉压杆的变形计算
Nl l EA
应用时注意：N的正负要代入公式中计算。
A B C 30kN D
②分段计算变形量。 N ABl AB l AB EAAB
10kN
100
100
100
FN 20kN + 20103 100 0.02mm O 3 20010 500
－
△lBC = -0.01mm △lCD = -0.0167mm ③计算总变形量。 △l = △lAB + △lBC + △lCD = -0.0067mm
复习：
1.轴向拉压的受力特点和变形特点；
2．轴力的计算及轴力图的绘制
轴力的计算：N=∑F左或N=∑F右
轴力图作图规律：
左上右下，突变值等于外力的大小。
3．轴向拉(压)杆横截面上的正应力的计算。
工程力学-第7章-轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽 车 学 院
7
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽
斜拉桥承受拉力的钢缆 车 学 院
8
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽 车 学 院9来自 7-1轴向拉压杆横截面上的应力
胡克定律
车
学
院
工程力学
17
轴向拉压的变形分析
P
P
A 细长杆受拉会变长变细，
P
B 受压会变短变粗
C 长短的变化，沿轴线方向， 称为纵向变形
l+Dl l
d-Dd d
D 粗细的变化，与轴线垂直，
称为横向变形
P
P
P
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
工程力学
Guang Zhou Auto College
变形量的代数和：
汽
车
Δ
l
＝
FNi li FNi ADlEADA＋i
＝Dl AD DlDE DlEB Dl
FNDElDE ＋ FNEBlEB ＋ FNBClBC
BC
学
Ec AAD
Ec ADE
Es AEB
Es ABC
＝1.2106 m 0.6106 m 0.285106 m 0.428106 m
广
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的
州
应用非常广泛。
汽
由汽缸、活塞、连
杆所组成的机构中，不
车
仅连接汽缸缸体和汽缸
盖的螺栓承受轴向拉力，
学
带动活塞运动的连杆由
7
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽
斜拉桥承受拉力的钢缆 车 学 院
8
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工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽 车 学 院9来自 7-1轴向拉压杆横截面上的应力
胡克定律
车
学
院
工程力学
17
轴向拉压的变形分析
P
P
A 细长杆受拉会变长变细，
P
B 受压会变短变粗
C 长短的变化，沿轴线方向， 称为纵向变形
l+Dl l
d-Dd d
D 粗细的变化，与轴线垂直，
称为横向变形
P
P
P
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
工程力学
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变形量的代数和：
汽
车
Δ
l
＝
FNi li FNi ADlEADA＋i
＝Dl AD DlDE DlEB Dl
FNDElDE ＋ FNEBlEB ＋ FNBClBC
BC
学
Ec AAD
Ec ADE
Es AEB
Es ABC
＝1.2106 m 0.6106 m 0.285106 m 0.428106 m
广
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的
州
应用非常广泛。
汽
由汽缸、活塞、连
杆所组成的机构中，不
车
仅连接汽缸缸体和汽缸
盖的螺栓承受轴向拉力，
学
带动活塞运动的连杆由
胡克定律与拉压杆的变形
1.分段解法
FN1 = F2 − F1
FN2 = F2
(∆l )分段解法
=
FN1l1 EA
+
FN2l2 EA
=
(F2
− F1 )l1 EA
+
F2l2 EA
(∆l )分段解法
=
F2(l1 + EA
l2 )
−
F1l1 EA
2. 分解载荷法
(∆l
)分段解法
=
F2
( l1 + EA
l2
)
−
F1l1 EA
3. 比较
§9 连接部分的强度计算
连接实例 剪切与剪切强度条件 挤压与挤压强度条件 例题
单辉祖:工程力学(材料力学)
73
连接实例
单辉祖:工程力学(材料力学)
销钉
螺栓
耳片
74
单辉祖:工程力学(材料力学)
75
剪切与剪切强度条件
以耳片销钉为例介绍分析方法
单辉祖:工程力学(材料力学)
76
解：1. 破坏形式分析
单辉祖:工程力学(材料力学)
81
2. 许用载荷 [F]
n
τ
=
4F πd 2
≤ [τ
]
F ≤ πd 2[τ ] = 1.257 kN
4
o
σ bs
=
F
δd
≤ [σ bs ]
F ≤ δd[σ bs ] = 2.40 kN
p
σ max
=
F
(b − d )δ
≤ [σ ]
F ≤ (b − d )δ [σ ] = 3.52 kN
FN1 = FN1,F1 + FN1,F2 = −F1 + F2
拉压杆横截面上的应力应变及胡克定律
拉、压杆横截面上的应力、应变及胡克定理
一、杆件在一般情况下应力的概念
用同一材料制成而横截面积不同的两杆，在相同 拉力的作用下，随着拉力的增大，横截面小的杆件必 然先被拉断。这说明，杆的强度不仅与轴力的大小有 关，而且还与横截面的大小有关，即杆的强度取决于 内力在横截面上分布的密集程度。分布内力在某点处 的集度，即为该点处的应力。
A 力平观在面察横假到截设：面。横上向的线分在布变是形均前匀后的均，为且直都线垂，直且于都横垂截直面于。杆的轴线，
只是其正间应距力增大，(缩其小计)算，式纵为向间距减小(增大)，所有正方形的
网格均变成大小相同的长方形。
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一中段开槽的直杆，承受轴向载荷F＝20kN作用，
机械工业出版社
同的。当=0时，横截面上的正应力达到最大值
max =
当 =45时，切应力达到最大值
max
=
2
当 =90时， 和均为零，表明轴向拉（压）杆在平
行于杆轴的纵向截面上无任何应力。
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＝ cos2
＝ sin 2
2
（6-3）
机械工业出版社
A11—1
A22—2
h h0 h
中段正应力大。
A2=(h-h0)b=(25-10)20mm2
=300mm2
F
b
b
FN
3）计算最大正应力
max
FN A2
20103 300
N/mm 2
66.7MPa
负号表示其应力为负（压力）。
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三、斜截面上的应力
轴向拉（压）杆的破坏有 F
机械工业出版社
解 1）作轴力图。用截 面法求得CD段和BC段的轴力
《材料力学》2-4拉(压)杆的变形.胡克定律
拉（压）杆的变形.胡克定律`
杆件在轴向拉压时：
沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形 横向尺寸也相应地发生改变——横向变形
1、纵向变形
LLL 绝对变形
线应变: 受力物体变形时，一点处沿 某一方向微小线段的相对变 形
当杆沿长度均匀变形时
L L
纵向线应变 (无量纲)
y
C
O
x
A
B
z △x
当杆沿长度非均匀变形时
αD
B1 BB2C1 C
FNCD
F
A
C
a
CC1
CL CCD ccooss
C
C1
L/2
L/2
B
mA 0
FNCD
2F
cos
B1
LC FD LFN1 2CEL D A cLC o DsFCD
2Fa
EAcos2
B
4Fa
EAco3s
移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆 的抗拉刚度EA.
1. 已知ε
LCD
a
LCDa
D
FNCD
Fa
A
C 刚杆
B
L C1
L
2
2
B1
B2LCD 2a
2. 已知EA
LCD
FNCDa EA
mA 0
FNCD2F
B 2L 2 LC FN DCD 4EFFAaL0
例题
2.12
B
图示的杆系是由两根圆截面钢杆铰接而成。已知
L AB L AC F N EA L A C 2 EF c A o Ls
A
A AA
L AC
cos
FL
2EAcos2
杆件在轴向拉压时：
沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形 横向尺寸也相应地发生改变——横向变形
1、纵向变形
LLL 绝对变形
线应变: 受力物体变形时，一点处沿 某一方向微小线段的相对变 形
当杆沿长度均匀变形时
L L
纵向线应变 (无量纲)
y
C
O
x
A
B
z △x
当杆沿长度非均匀变形时
αD
B1 BB2C1 C
FNCD
F
A
C
a
CC1
CL CCD ccooss
C
C1
L/2
L/2
B
mA 0
FNCD
2F
cos
B1
LC FD LFN1 2CEL D A cLC o DsFCD
2Fa
EAcos2
B
4Fa
EAco3s
移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆 的抗拉刚度EA.
1. 已知ε
LCD
a
LCDa
D
FNCD
Fa
A
C 刚杆
B
L C1
L
2
2
B1
B2LCD 2a
2. 已知EA
LCD
FNCDa EA
mA 0
FNCD2F
B 2L 2 LC FN DCD 4EFFAaL0
例题
2.12
B
图示的杆系是由两根圆截面钢杆铰接而成。已知
L AB L AC F N EA L A C 2 EF c A o Ls
A
A AA
L AC
cos
FL
2EAcos2
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200 103 500
500
300
102 64 3.2102 mm 0.032mm 200 103
小结
一、变形与线应变
绝对变形 l=l1- l
线应变 =
Δl l
横向应变
， Δb b
横向变形系数（泊松比）
`
或
´= -
二、胡克定律
胡克定律的两种表达式 Δl FNl EA
`
横 向
Δb b1 b
Δb b
´= -
知识准备：拉（压）杆的变形计算
二、胡克定律
实验表明，在材料的弹性范围内，杆件的变形与内力FN、杆长l 成正比关系，与横截面积成反比关系，比例常数E 称为材料的弹性模
量。即
Δl FNl EA
E
或
E
其中EA 称为抗拉（压）刚度。
=E
抗拉（压）刚度EA，在弹性范围内，应力与应变成正比。
三、拉（压）杆的变形计算
任务布置
1.图示螺栓接头，螺栓内径d1=10.1mm ,拧紧后测得长度l=80mm 内的伸长量△l=0.4mm，E=200GPa,试求螺栓拧紧后横截面的正应
力及螺栓对钢板的预紧力。
情境三 轴向拉（压）强度计算
◆ 轴力 ◆ 应力 ◆ 强度计算（强度校核） ◆ 强度计算（设计截面，确定许可载荷） ◆ 变形计算 ◆ 材料力学性能
知识准备：拉（压）杆的变形计算
F
l l1
F b1 b
一、变形与线应变
绝对变形
相对变形 横向变形系数 （线应变） （泊松比）
轴
向
Δl l1 l
Δl l
公式表明，在弹性范围内，应力与应变成正比。
任务实施
1.变截面直杆受力如图，已知A1=500mm2, A2=300mm2,l=0.1m, E=200GPa,试计算杆件变形。
A1
62kN
A2
27kN
A
B
C
D
l
l，已知A1=500mm2, A2=300mm2,l=0.1m,
E=200GPa,试计算杆件变形。
A1
62kN
A2
27kN
解：1.画轴力图求各段轴力
A
B
C
D
FAB=-35kN
l
l
l
FBC=27kN
FN
27kN
FCD=27kN
x
2. 计算变形
-35kN
Δl
Δl AB
Δl BC
ΔlCD
FAB l EA1
FBC l EA1
FCD l EA2
102 ( 35103 27 103 27 103 )