概率统计全国卷真题汇总及基础练习题
2007-2019年新课标全国卷理——概率统计.doc

2007- 2019 年全国课标卷概率统计试题( 2007 宁夏卷)11.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20 次,三人的测试成绩如下表甲的成绩乙的成绩丙的成绩环数7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数5 5 55频数6 4 46频数 46 64s 1, s 2, s 3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有()A. s 3 s 1 s 2B. s 2 s 1 s 3C. s 1 s 2 s 3D. s 2 s 3 s 120.(本小题满分 12 分)如图,面积为S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M ,可 DC按下面方法估计 M 的面积:在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点,若 n个点中有 m 个点落入 M 中,则 M 的面积的估计值为mS ,假设正方Mn 形 ABCD 的边长为 2, M 的面积为 1,并向正方形 ABCD 中随机投掷 10000个点,以 X 表示落入 M 中的点的数目.AB( I )求 X 的均值 EX ;( II )求用以上方法估计 M 的面积 时, M 的面积的估计值与 实际值之差在区间( 0.03,内)的概率.k附表: P(k )C 10000t 0.25t 0.7510000 ttk2424 2425 2574 2575 P(k)0.04030.04230.95700.9590( 2008 年宁夏卷)9、甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人, 并要求甲安排在另外两位前面。
不同的安排方法共有 ()A. 20 种B. 30 种C. 40 种D. 60 种 16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位: mm ),结果如下:由以上数据设计了如下茎叶图:根据以上茎叶图,对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论:① __________________________________________________________________________甲品 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 种:308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品284292295304306307312313315315316318 318种:320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356②__________________________________________________________________________甲乙3 1 277 5 5 0 28 45 4 2 29 2 58 7 3 3 1 30 4 6 79 4 0 31 2 3 5 5 6 8 88 5 5 3 32 0 2 2 4 7 97 4 1 33 1 3 6 734 32 35 619、(本小分 12 分) A、B 两个投目的利率分随机量X1和 X2。
全国高考试题(全国I卷)汇总(概率统计)

全国高考试题(全国I 卷)汇总《概率统计》1、【 2013 全国 I 卷 18】为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药, B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 A 药, 20 位患者服用 B 药,这 40 位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位: h ),试验的观测结果如下:服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间:0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间:3.2 1.7 1.90.80.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.60.5 1.80.62.1 1.1 2.5 1.2 2.70.5(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?(3)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?A药B药0.1.2.3.2、【 2014 全国 I 卷 18】从某企业生产的某种产品中抽取100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:质量指标值分组[75 , 85)[85 , 95)[95 , 105)[105 , 115)[115 , 125)频数62638228(I )在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:( II )估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品的80%”的规定?频率 / 组距产品数据频率分布直方图0.0400.0380.0360.0340.0320.0300.0280.0260.0240.0220.0200.0180.0160.0140.0120.0100.0080.0060.0040.0020758595105115125质量指标值3、【 2015 全国 I 卷 19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量 y (单位: t )和年利润 z (单位:千元)的影响,对近8 年的宣传费 x i 和年销售量 y i i 1,2, L ,8 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.年 销 620 售600 量580 560 540 520 500480 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13436 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56年宣传费 /千元r urur 8888xy[来w( x ix) 2(w iw) 2(x ix)( y i y)(w i w)( y iy)源:]i 1i 1i 1i 146.6 56.3 6.8289.81.61469108.8表中 w i =xiur18, w =w i8 i 1(I )根据散点图判断,ya bx 与 y c dx ,哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);(II )根据( I )的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程;(III ) 已知这种产品的年利润z 与 x ,y 的关系为 z 0.2 y x ,根据( II )的结果回答下列问题:( i )当年宣传费 x 90 时,年销售量及年利润的预报值时多少?( i i )当年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据 (u 1 ,v 1) , (u 2 ,v 2 ) ,⋯⋯ ,(u n , v n ) ,其回归线 v u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为:n^u i u viv^^β i 1n2vuu i u ,i 14、【 2016 全国 I 卷 19】某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200 元 .在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元 .现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:频数2420161060161718192021更换的易损零件数记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元), n 表示购机的同时购买的易损零件数.(I )若n =19,求 y 与 x 的函数解析式;(II )若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5,求n的最小值;(III )假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20 个易损零件,分别计算这100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买 1 台机器的同时应购买19 个还是 20 个易损零件?。
概率基础测试题及答案解析

概率基础测试题及答案解析一、选择题(每题3分,共30分)1. 随机变量X服从标准正态分布,那么P(X>0)等于多少?A. 0.5B. 0.6826C. 0.8413D. 0.5000答案:A解析:标准正态分布的均值为0,标准差为1,对称轴为X=0,因此P(X>0)等于0.5。
2. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p),其中n=10,p=0.3,那么E(X)等于多少?A. 1.5B. 3C. 2.7D. 0.3答案:B解析:二项分布的期望值E(X)=np,所以E(X)=10*0.3=3。
3. 一组数据的平均数是5,方差是4,那么这组数据的中位数是多少?A. 4B. 5C. 6D. 无法确定答案:B解析:平均数是所有数据的总和除以数据的个数,而中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间的数。
在没有具体数据的情况下,无法确定中位数,但根据平均数的定义,可以推断中位数为5。
4. 已知随机变量X和Y相互独立,且P(X=1)=0.5,P(Y=1)=0.3,那么P(X=1且Y=1)等于多少?A. 0.15B. 0.5C. 0.3D. 0.6答案:A解析:由于X和Y相互独立,所以P(X=1且Y=1)=P(X=1)*P(Y=1)=0.5*0.3=0.15。
5. 一组数据的样本容量为100,样本均值为50,样本方差为25,那么这组数据的标准差是多少?A. 5B. 10C. 20D. 25答案:A解析:标准差是方差的平方根,所以标准差=√25=5。
6. 已知随机变量X服从泊松分布,其参数λ=4,那么P(X=3)等于多少?A. 0.182B. 0.273C. 0.409D. 0.546答案:B解析:泊松分布的概率质量函数为P(X=k)=e^(-λ)λ^k/k!,代入λ=4和k=3,计算得到P(X=3)=e^(-4)4^3/3!=0.273。
7. 已知随机变量X服从均匀分布U(0,1),那么P(0.5<X<0.6)等于多少?A. 0.1B. 0.05C. 0.15D. 0.2答案:B解析:均匀分布的概率等于区间长度,所以P(0.5<X<0.6)=0.6-0.5=0.1,但因为题目中区间长度为0.1,所以答案为0.05。
高考数学2024概率与统计历年题目全集

高考数学2024概率与统计历年题目全集概率与统计是高中数学中一门重要的学科,也是高考数学考试的一部分。
在概率与统计中,我们需要通过概率的计算和统计的方法来分析和解决实际问题。
为了帮助同学们复习和准备高考数学考试,本文整理了高考数学2024概率与统计历年题目全集,希望能对同学们有所帮助。
1. 单项选择题1) 已知概率为P(A) = 0.2,P(B) = 0.4,事件A、B相互独立,求P(A并B)的值。
2) 一次抛掷一硬币,设正面向上的概率为p,反面向上的概率为q。
连续抛掷3次硬币,求正面朝上的次数不超过2次的概率。
3) 某音乐社有男生40人,女生60人。
从中随机抽取一人,求抽到女生的概率。
2. 典型案例题1) 某超市中购买了100个某品牌产品,其中有5个是次品。
现从中不放回地连续抽取3个产品,求至少有一个次品的概率。
2) 某餐厅的饭菜有4个主食和6个副食。
现从中选择2个饭菜,求至少有一个主食的概率。
3. 解答题1) 设事件A与事件B相互独立,且P(A) = 0.3,P(B) = 0.5。
求下列事件的概率:a) P(A并B)b) P(A或B)c) P(A的对立事件)2) 设P(A) = 0.4,P(B) = 0.3,P(A并B) = 0.1,求下列事件的概率:a) P(A的对立事件)b) P(B的对立事件)c) P(A或B)3) 有一批产品,其中20%是次品。
现从中不放回地连续抽取3个产品,求以下事件的概率:a) 已抽出的3个产品都是次品;b) 至少有一个次品。
(提示:利用组合数学中的排列、组合知识进行计算)本文仅列举了一部分高考数学2024概率与统计历年题目,希望能给同学们提供一些复习和备考的参考。
在备考过程中,同学们还需结合教材和课堂上的知识,多进行习题训练和模拟考试,提高解题能力和应试技巧。
祝同学们取得优异的高考成绩!。
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(概率统计)汇编(附答案)

历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(概率统计)汇编【2023年真题】1.(2023·新课标II 卷 第3题)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生,则不同的抽样结果共有 A. 4515400200C C ⋅种B. 2040400200C C ⋅种C. 3030400200C C ⋅种D. 4020400200C C ⋅种2. (2023·新课标I 卷 第9题)(多选)一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅,其中1x 是最小值,6x 是最大值,则( ) A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差3.(2023·新课标II 卷 第12题)(多选)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为(01)αα<<,收到0的概率为1;α-发送1时,收到0的概率为(01)ββ<<,收到1的概率为1.β-考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次;三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1).A. 采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为2(1)(1)αβ--B. 采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为2(1)ββ-C. 采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D. 当00.5α<<时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率4. (2023·新课标I 卷 第21题)甲乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签确定第1次投篮的人选,第一次投篮的人是甲,乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率. (2)求第i 次投篮的人是甲的概率.(3)已知:若随机变量i X 服从两点分布,且111(1)1(0)P X P X q ==-==,1i =,2, ,n ,则11().nni i i i E X q ===∑∑记前n 次(即从第1次到第n 次投篮)中甲投篮的次数为Y ,求().E Y5.(2023·新课标II 卷 第19题)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c ,将该指标大于c 的人判定为阳性,小于或等于c 的人判定为阴性,此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为()p c ;误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为().q c 假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率()0.5%p c =时,求临界值c 和误诊率()q c ;(2)设函数()()().f c p c q c =+当[95,105]c ∈时,求()f c 的解析式,并求()f c 在区间[95,105]的最小值.【2022年真题】6.(2022·新高考I 卷 第5题)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为( )A.16B.13C.12D.237.(2022·新高考II 卷 第13题)随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ,若(2 2.5)0.36P x <=…,则( 2.5)P X >=__________.8.(2022·新高考I 卷 第20题)一支医疗团队研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:不够良好良好 病例组 40 60 对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)从该地的人群中任选一人,A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B 表示事件“选到的人患有该疾病”,(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为.R()i 证明:(|)(|.;(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =()ii 利用该调查数据,给出(|)P A B ,(|)P A B 的估计值,并利用()i 的结果给出R 的估计值.附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,2()P K k …0.050 0.010 0.001 k 3.8416.63510.8289.(2022·新高考II 卷 第19题)在某地区进行某种疾病调查,随机调查了100位这种疾病患者的年龄,得到如下样本数据频率分布直方图.(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄;(同一组数据用该区间的中点值作代表) (2)估计该地区以为这种疾病患者年龄位于区间[20,70)的概率;(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口数占该地区总人口数的16%,从该地区选出1人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(精确到0.0001).【2021年真题】10.(2021·新高考I 卷 第8题)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球、甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( ) A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立11.(2021·新高考II 卷 第6题)某物理量的测量结果服从正态分布,下列结论中不正确的是( )A. σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B. σ越小,该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C. σ越小,该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D. σ越小,该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等12.(2021·新高考I 卷 第9题)(多选)有一组样本数据12,,,n x x x ,由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ,其中(1,2,,)i i y x c i n =+= ,c 为非零常数,则A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样本数据的样本极差相同13.(2021·新高考II 卷 第9题)(多选)下列统计量中,能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是( ) A. 样本12,,,n x x x 的标准差 B. 样本12,,,n x x x 的中位数 C. 样本12,,,n x x x 的极差D. 样本12,,,n x x x 的平均数14.(2021·新高考I 卷 第18题)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A ,B 两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B 类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分。
历年(2019-2023)高考数学真题专项(概率与统计解答题)汇编(附答案)

历年(2019-2023)高考数学真题专项(概率与统计解答题)汇编考点01:统计案例及应用1 (2021年全国高考乙卷文科)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:122S .(1)求x ,y ,21S ,22S ;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y x -≥则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).2 (2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A ,B ,C ,D 四个等级.加工业务约定:对于A 级品、B 级品、C 级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D 级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下: 甲分厂产品等级的频数分布表等级 ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级 ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率;(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?3 (2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下实验:将200只小鼠随机分成A ,B 两组,每组100只,其中A 组小鼠给服甲离子溶液,B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据实验数据分别得到如下直方图:记C 为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P (C )的估计值为0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中的a ,b 的值;(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用改组区间的中点值为代表).4 (2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组[0.20,0)-[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数 2 24 53 147 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)8.602≈.5.(2022新高考全国II 卷·)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表); (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.0001).考点02相关关系与回归分析1.(2022年高考全国乙卷(文)·)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:2m )和材积量(单位:3m ),得到如下数据:样本号i 12345678910总和根部横截面积i x0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0050050.07 0.07 0.06 0.6材积0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9..量i y并计算得10101022i i i ii=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474x y x y===∑∑∑.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附:相关系数i i(1.377)()nx x y yr--=≈∑.2.(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科·)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(x i,y i)(i=1,2,…,20),其中x i和y i分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得20160iix==∑,2011200iiy==∑,202180iixx=-=∑(,2021)9000iiy y=-=∑(,201)800iiix yx y=--=∑((.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本(x i,y i)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.附:相关系数r)ni ix yx y--∑((≈1.414.考点03 独立性检验1.(2022年全国高考甲卷(文)·)甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表:准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B21030(1)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;(2)能否有0090的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,()2P K k …0.100 0.050 0.010 k2.7063.8416.6352.(2020年新高考I 卷(山东卷)·)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度(单位:3μg/m ),得下表: 2SOPM2.5[0,50](50,150] (150,475][0,35]32 18 4 (35,75]6 8 12 (75,115]3710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且2SO 浓度不超过150”的概率; (2)根据所给数据,完成下面的22⨯列联表: 2SOPM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关?附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,2()P K k ≥ 0.050 0.010 0.001 k3.841 6.63510.8283 .(2020新高考II 卷(海南卷)·)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度(单位:3μg/m ),得下表:(1)估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75,且2SO 浓度不超过150”的概率; (2)根据所给数据,完成下面的22⨯列联表:(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关?的附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,4.(2021年高考全国甲卷文科·)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥ 0.050 0.0100.001k 3.841 6.635 10.8285.(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科·)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天): 锻炼人次 空气质量等级 [0,200](200,400](400,600]1(优) 2 16 25 2(良)51012的3(轻度污染) 67 84(中度污染) 72 0(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++,P(K2≥k)0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.8286.(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科·)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:满意不满意男顾客40 10女顾客30 20(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++.2()P K k…0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828参考答案考点01:统计案例及应用1 (2021年全国高考乙卷文科)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:122S .(1)求x ,y ,21S ,22S ;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y x -≥则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).【答案】(1)221210,10.3,0.036,0.04x yS S ====;(2)新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 【答案解析】:(1)9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==,10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==,22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610S +++++++++==,222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410S +++++++++==(2)依题意,0.320.15y x -==⨯==,=y x -≥,所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.2 (2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A ,B ,C ,D 四个等级.加工业务约定:对于A 级品、B 级品、C 级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D 级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲.分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:甲分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数 4020 20 20乙分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数 2817 34 21(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?【答案】(1)甲分厂加工出来的A级品的概率为0.4,乙分厂加工出来的A级品的概率为0.28;(2)选甲分厂,理由见答案解析.【答案解析】(1)由表可知,甲厂加工出来的一件产品为A级品的概率为400.4100=,乙厂加工出来的一件产品为A级品的概率为280.28 100=;(2)甲分厂加工100件产品总利润为()()()()4090252050252020252050251500⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元,所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件;乙分厂加工100件产品的总利润为()()()()2890201750203420202150201000⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元,所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件.故厂家选择甲分厂承接加工任务.3 (2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下实验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据实验数据分别得到如下直方图:的记C 为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P (C )的估计值为0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中的a ,b 的值;(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用改组区间的中点值为代表). 【答案】【答案解析】:(1)C 为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”, 根据直方图得到P (C )的估计值为0.70. 则由频率分布直方图得: 0.200.150.70.050.1510.7a b ++=⎧⎨++=-⎩, 解得乙离子残留百分比直方图中0.35a =,0.10b =. (2)估计甲离子残留百分比的平均值为:20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲.乙离子残留百分比的平均值为:30.0540.150.1560.3570.280.156x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙.4 (2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组[0.20,0)-[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数 2 24 53 147 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)8.602≈. 【答案】【答案解析】:(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21100+=.产值负增长的企业频率为20.02100=. 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.(2)1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100y =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,()52211100i i i s n y y ==-∑222221(0.40)2(0.20)240530.20140.407100⎡⎤=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯⎣⎦ =0.0296,0.020.17s ==≈,所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.5.(2022新高考全国II 卷·)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表); (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.0001). 【答案】(1)47.9岁; (2)0.89; (3)0.0014.【答案解析】:(1)平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 550.020650.017750.006850.002)1047.9+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(岁). (2)设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)},所以()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++⨯=-=.(3)设{B =任选一人年龄位于区间}[40,50),{C =任选一人患这种疾病}, 则由条件概率公式可得 ()0.1%0.023100.0010.23(|)0.00143750.0014()16%0.16P BC P C B P B ⨯⨯⨯====≈.考点02相关关系与回归分析1.(2022年高考全国乙卷(文)·)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:2m )和材积量(单位:3m ),得到如下数据: 样本号i 12345678910总和根部横截面积i x0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0050050.07 0.07 0.06 0.6材积量i y0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9并计算得10101022ii i i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474xy x y ===∑∑∑.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量; (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m .已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附:相关系数ii( 1.377)()nx x y y r --=≈∑.【答案】(1)20.06m ;30.39m (2)0.97..(3)31209m【答案解析】:【小问1详解】样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610x == 样本中10棵这种树木的材积量的平均值 3.90.3910y == 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m , 平均一棵的材积量为30.39m 【小问2详解】()()1010iii i10x x y y x y xyr ---==∑∑0.01340.970.01377==≈≈则0.97r ≈ 【小问3详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为3m Y , 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比, 可得0.06186=0.39Y,解之得3=1209m Y . 则该林区这种树木总材积量估计为31209m2.(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科·)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2,…,20),其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得20160i ix==∑,2011200i i y ==∑,202180i ix x =-=∑(,2021)9000i i y y =-=∑(,201)800i i i x y x y =--=∑((.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本(x i ,y i )(i =1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.的附:相关系数r)niix y x y --∑((≈1.414.【答案】(1)12000;(2)0.94;(3)详见答案解析【答案解析】(1)样区野生动物平均数为201111200602020ii y ==⨯=∑, 地块数为200,该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯= (2)样本(,)i i x y (i =1,2,…,20)的相关系数为20()()0.943iix x y y r --===≈∑(3)由(2)知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性, 由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大, 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行,提高了样本的代表性, 从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取,考查学生数学运算能力,是一道容易题.考点03 独立性检验1.(2022年全国高考甲卷(文)·)甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表:准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B21030(1)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;(2)能否有0090的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,()2P K k …0.100 0.050 0.010 k2.7063.8416.635【答案】(1)A ,B 两家公司长途客车准点的概率分别为1213,78(2)有 【答案解析】根据表中数据,A 共有班次260次,准点班次有240次, 设A 家公司长途客车准点事件为M ,则24012()26013P M ==; B 共有班次240次,准点班次有210次, 设B 家公司长途客车准点事件为N , 则210()28074P N ==. A 家公司长途客车准点的概率为1213; B 家公司长途客车准点的概率为78. (2)列联表准点班次数未准点班次数 合计A 240 20 260B 210 30 240 合计4505050022()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++=2500(2403021020) 3.205 2.70626024045050⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯,根据临界值表可知,有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关. 2.(2020年新高考I 卷(山东卷)·)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度(单位:3μg/m ),得下表: 2SOPM2.5[0,50](50,150] (150,475][0,35]32 18 4 (35,75]6812(75,115]3 7 10(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且2SO 浓度不超过150”的概率; (2)根据所给数据,完成下面的22⨯列联表: 2SOPM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关?附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,2()P K k ≥ 0.050 0.010 0.001 k3.841 6.63510.828【答案】(1)0.64;(2)答案见答案解析;(3)有.【答案解析】:(1)由表格可知,该市100天中,空气中的 2.5PM 浓度不超过75,且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天,所以该市一天中,空气中的 2.5PM 浓度不超过75,且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=; (2)由所给数据,可得22⨯列联表为:2SO2.5PM[]0,150(]150,475合计[]0,7564 16 80 (]75,11510 10 20 合计 7426100(3)根据22⨯列联表中的数据可得的222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>, 因为根据临界值表可知,有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关. 3 .(2020新高考II 卷(海南卷)·)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度(单位:3μg/m ),得下表:(1)估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75,且2SO 浓度不超过150”的概率; (2)根据所给数据,完成下面的22⨯列联表:(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关?附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,【答案】(1)0.64;(2)答案见答案解析;(3)有.【答案解析】:(1)由表格可知,该市100天中,空气中的 2.5PM 浓度不超过75,且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天,所以该市一天中,空气中的 2.5PM 浓度不超过75,且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=; (2)由所给数据,可得22⨯列联表为:2SO2.5PM[]0,150(]150,475合计[]0,7564 16 80 (]75,11510 10 20 合计 7426100(3)根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>, 因为根据临界值表可知,有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关. 【题目栏目】统计\相关关系、回归分析与独立性检验\独立性检验4.(2021年高考全国甲卷文科·)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥ 0.050 0.0100.001k 3.841 6.635 10.828【答案】(1)75%;60%;的(2)能.答案解析:(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075% 200=,乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060% 200=.(2)()22400150801205040010 6.63527013020020039K⨯-⨯==>>⨯⨯⨯,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.5.(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科·)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):锻炼人次空气质量等级[0,200](200,400] (400,600]1(优) 216 252(良) 510 123(轻度污染) 67 84(中度污染) 72 0(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++,P(K2≥k)0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828【答案】(1)该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09;(2)350;(3)有,理由见答案解析.【答案解析】(1)由频数分布表可知,该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=,等级为2的概率为510120.27100++=,等级为3的概率为6780.21100++=,等级为4的概率为7200.09100++=;(2)由频数分布表可知,一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=(3)22⨯列联表如下:人次400≤人次400>空气质量不好 3337 空气质量好 228()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,因此,有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.6.(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科·)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异? 附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.2()P K k …0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【答案】【答案解析】(1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.(2)22100(40203010)4.76250507030K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.由于4.762 3.841>,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.。
概率统计习题集(含答案)

第一章 随机事件及其概率一、选择题:1.设A 、B 、C 是三个事件,与事件A 互斥的事件是: ( )A .AB AC + B .()A B C + C .ABCD .A B C ++2.设B A ⊂ 则 ( )A .()P AB =1-P (A ) B .()()()P B A P B A -=-C . P(B|A) = P(B)D .(|)()P AB P A =3.设A 、B 是两个事件,P (A )> 0,P (B )> 0,当下面的条件( )成立时,A 与B 一定独立A .()()()P AB P A P B = B .P (A|B )=0C .P (A|B )= P (B )D .P (A|B )= ()P A4.设P (A )= a ,P (B )= b, P (A+B )= c, 则 ()P AB 为: ( )A .a-bB .c-bC .a(1-b)D .b-a5.设事件A 与B 的概率大于零,且A 与B 为对立事件,则不成立的是 ( )A .A 与B 互不相容 B .A 与B 相互独立C .A 与B 互不独立D .A 与B 互不相容6.设A 与B 为两个事件,P (A )≠P (B )> 0,且A B ⊃,则一定成立的关系式是( )A .P (A|B )=1 B .P(B|A)=1C .(|A)1p B =D .(A|)1p B =7.设A 、B 为任意两个事件,则下列关系式成立的是 ( )A .()AB B A -= B .()A B B A -⊃C .()A B B A -⊂D .()A B B A -=8.设事件A 与B 互不相容,则有 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (AB )=0C .A 与B 互不相容D .A+B 是必然事件9.设事件A 与B 独立,则有 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (A+B )=P (A )+P (B )C .P (AB )=0D .P (A+B )=110.对任意两事件A 与B ,一定成立的等式是 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (A+B )=P (A )+P (B )C .P (A|B )=P (A )D .P (AB )=P (A )P (B|A )11.若A 、B 是两个任意事件,且P (AB )=0,则 ( )A .A 与B 互斥 B .AB 是不可能事件C .P (A )=0或P (B )=0D .AB 未必是不可能事件12.若事件A 、B 满足A B ⊂,则 ( )A .A 与B 同时发生 B .A 发生时则B 必发生C .B 发生时则A 必发生D .A 不发生则B 总不发生13.设A 、B 为任意两个事件,则P (A-B )等于 ( )A . ()()PB P AB - B .()()()P A P B P AB -+C .()()P A P AB -D .()()()P A P B P AB --14.设A 、B 、C 为三事件,则AB BC AC 表示 ( )A .A 、B 、C 至少发生一个 B .A 、B 、C 至少发生两个C .A 、B 、C 至多发生两个D .A 、B 、C 至多发生一个15.设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是( )A .A 与B 互不相容 B .A 与B 相互独立C .A 与B 相互对立D .A 与B 互不独立16.设随机实际A 、B 、C 两两互斥,且P (A )=0.2,P (B )=0.3,P (C )=0.4,则PA B C -= ()( ). A .0.5 B .0.1 C .0.44 D .0.317掷两枚均匀硬币,出现一正一反的概率为 ( )A .1/2B .1/3C .1/4D .3/418.一种零件的加工由两道工序组成,第一道工序的废品率为 1p ,第二道工序的废品率为2p ,则该零件加工的成品率为 ( )A .121p p --B .121p p -C .12121p p p p --+D .122p p --19.每次试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败一次概率为( )。
最新概率统计试题及答案(本科完整版)

一、 填空题(每题2分,共20分)1、记三事件为A ,B ,C . 则用A ,B ,C 及其运算关系可将事件,“A ,B ,C 中只有一个发生”表示为 . 2、匣中有2个白球,3个红球。
现一个接一个地从中随机地取出所有的球。
那么,白球比红球早出现的概率是 2/5 。
3、已知P(A)=0.3,P (B )=0.5,当A ,B 相互独立时,06505P(A B )_.__,P(B |A )_.__⋃==。
4、一袋中有9个红球1个白球,现有10名同学依次从袋中摸出一球(不放回),则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。
5、若随机变量X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布,则对a c b <<以及任意的正数0e >,必有概率{}P c x c e <<+ =⎧+<⎪⎪-⎨-⎪+>⎪-⎩e,c e b b ab c ,c e b b a6、设X 服从正态分布2(,)N μσ,则~23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 ) .7、设1128363X B EX DX ~n,p ),n __,p __==(且=,=,则 8、袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3只,以X 表示取出3只球中的最大号码。
则X 的数学期望=)(X E 4.5 。
9、设随机变量(,)X Y 的分布律为则条件概率 ===}2|3{Y X P 2/5 .10、设121,,X X 来自正态总体)1 ,0(N , 2129285241⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===i i i i i i X X X Y ,当常数k = 1/4 时,kY 服从2χ分布。
二、计算题(每小题10分,共70分)1、三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1,0.2,0.15,求: (1)没有一台机器要看管的概率 (2)至少有一台机器不要看管的概率 (3)至多一台机器要看管的概率解:以A j 表示“第j 台机器需要人看管”,j =1,2,3,则: ABC ABC ABCP ( A 1 ) = 0.1 , P ( A 2 ) = 0.2 , P ( A 3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得()()()()()123123109080850612P A A A P A P A P A ....=⋅⋅=⨯⨯= ()()()12312321101020150997P A A A P A A A ....⋃⋃=-=-⨯⨯= ()()()()()()1231231231231231231231233010808509020850908015090808500680153010806120941P A A A A A A A A A A A A P A A A P A A A P A A A P A A A .................=+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+++=2、甲袋中有n 只白球、m 只红球;乙袋中有N 只白球、M 只红球。
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【2011山东高考】某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表:根据数据可得回归方程a x b yˆˆˆ+=中的b ˆ为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为? (A )63.6 万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元【基础难度】东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调,关于这批空调的使用年限x (单位:年, *x N ∈)和所支出的维护费用y (单位:万元)厂家提供的统计资料如下:(1)请根据以上数据,用最小二乘法原理求出维护费用y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+; (2)若规定当维护费用y 超过13.1万元时,该批空调必须报废,试根据(1)的结论预测该批空调使用年限的最大值.参考公式:最小二乘估计线性回归方程ˆˆˆybx a =+中系数计算公式: ()1122211()()ˆn ni i i i i i nni i i i x x y y x y nxy b x x x nx====---==--∑∑∑∑, ˆˆay bx =- 解:(1)1234535x ++++==, 677.5897.55y ++++== 52222221()(13)(23)(33)(43)(53)10ii x x =-=-+-+-+-+-=∑()()()()()()()()()()()51()1367.52377.5337.57.54387.55397.57iii x x y y =--=--+--+--+--+--=∑()()()1217ˆ70.10ni i i n i i x x y y b x x ==--===-∑∑ 7.5ˆˆ0.73 5.4a y bx =-=-⨯= 故线性回归方程为0.7.4ˆ5yx =+ (2)当维护费用y 超过13.1万元时,即0.7 5.413.1x +> 11x ∴>∴从第12年开始这批空调必须报废,该批空调使用年限的最大值为11年.【基础难度】某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价,将产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据(x i ,y i )(i=1,2,3,4,5,6)如表所示,且已知80y =。
(1)求q 的值(2)已知变量x,y 具有线性相关性,求产品销量y 关于试销单价x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+ 可供选择的数据662113050,271iii i i x yx ====∑∑(3)用ˆy 表示(2)中所求的线性回归方程得到的与x i对应的产品销量的估计值。
当销售数据(x i ,y i )(i=1,2,3,4,5,6)对应的残差的绝对值ˆ1i i y y -≤时,则将销售数据(x i ,y i )称为一个“好数据”。
试求这6组销售数据中的 “好数据”。
参考数据:线性回归方程中ˆˆ,b a 的最小二乘估计分别是 ()1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x n x==-==--∑∑ 解:(1)8066875808384=+++++=q y 90=∴q(2)2136987654=+++++=x 4213627121380630502-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯-=∴∧b 106213)4(80=⨯--=∴∧a 1064+-=∴∧x y (3)1064+-=∧x y10|9090|||,9010641111<=-=-=+-=∴∧∧y y x y ,所以()90,4),(11=y x 是好数据; 12|8486|||,8610642222>=-=-=+-=∧∧y y x y ,所以()84,5),(22=y x 不是好数据11|8283|||,8210643333==-=-=+-=∧∧y y x y ,所以()83,6),(33=y x 是好数据12|8078|||,7810644444>=-=-=+-=∧∧y y x y ,所以()80,7),(44=y x 不是好数据11|7475|||,7410645555==-=-=+-=∧∧y y x y 所以()75,8),(55=y x 是好数据 12|6870|||,7010646666>=-=-=+-=∧∧y y x y 所以()68,9),(66=y x 不是好数据所以好数据为)75,8()68,6(),90,4(,【基础难度】某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示,该地周光照量X (小时)都在30小时以上,其中不足50小时的周数有5周,不低于50小时且不超过70小时的周数有35周,超过70小时的周数有10周.根据统计,该基地的西红柿增加量y (百斤)与使用某种液体肥料x (千克)之间对应数据为如图所示的折线图.(1)依据数据的折线图,是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系?请计算相关系数r 并加以说明(精确到0.01).(若75.0||>r ,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪,但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制,并有如下关系:若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪周利润为3000元;若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损1000元.若商家安装了3台光照控制仪,求商家在过去50周周总利润的平均值. 附:相关系数公式∑∑∑===----=ni ini ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((,参考数据55.03.0≈,95.09.0≈解:(1)由已知数据可得2456855x ++++==,3444545y ++++==.…………………1分因为51()()(3)(1)000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑, (2)分,52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x …………………3分==…………………………4分 所以相关系数()()0.95nii xx y y r --===≈∑…………5分因为0.75r >,所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系. ………………6分(2)记商家周总利润为Y 元,由条件可得在过去50周里:当X >70时,共有10周,此时只有1台光照控制仪运行,周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元. ……………………………………8分 当50≤X ≤70时,共有35周,此时有2台光照控制仪运行,周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元. ……………………………………9分 当X<50时,共有5周,此时3台光照控制仪都运行,周总利润Y =3×3000=9000元. ……………………………………………10分 所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y ⨯+⨯+⨯==元,所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元. …………………12分【2017全国文19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm ).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:经计算得16119.9716i i x x ===∑,0.212s ==≈18.439≈,161()(8.5) 2.78ii x x i =--=-∑,其中ix (1,2,,16i =⋅⋅⋅)为抽取的第i 0.09≈。
(1)求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若||0.25r <,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?(ⅱ)在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)附:样本(x i ,y i )(i=1,2,3…,n )的相关系数()()niix x y y r --=∑【2015全国文科19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t )和年利润z (单位:千元)的影响,对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(I )根据散点图判断,y a bx =+与y c =+,哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由)(II )根据(I )的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程(III )若此产品的年利润z 与x ,y 的关系为0.2z y x =- ,根据(II )的结果回答下列问题:(i )当年宣传费49x =时,年销售量及年利润的预报值时多少? (ii )当年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:一组数据11(,)u v ,22(,)u v ,……,(,)n n u v 其回归直线v u αβ=+的系数分别为121()()=()niii nii u u v v u u β==---∑∑,=v u αβ-其中w i , 811()8i i w w ==∑【2016全国文】某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损 零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如 果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此 搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:161718192021频数更换的易损零件数610162024记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n 表示购买机器的同时购买的易损零件数. (Ⅰ)若n =19,求y 与x 的函数解析式;(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5,求n 的最小值;(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?解:(Ⅰ)当19≤x 时,3800y =;当19>x 时,3800500(19)5005700y x x =+-=-,所以y 与x的函数解析式为3800,19,()5005700,19,x y x x x ≤⎧=∈⎨->⎩N .(Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n 的最小值为19.(Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在 购买易损零件上的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这 100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(380070430020480010)4000100⨯⨯+⨯+⨯=. 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000,10台的费用为4 500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(400090450010)4050⨯⨯+⨯=.100比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.【2018全国文】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:3m)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.353m的概率;(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)。