概率统计练习题

一、填空题1）()0.5,()0.6,()0.8P A P B P A B ==⋃=已知,()=P AB 则 0.3 2）已知()0.4,()0.5P A P B A ==, 则()P A B -= 0.23）设对于事件A,B,C,有P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8，则A,B,C 三个事件至少出现一个的概率为_____5/8_____________4）从0,1,2,3，，9十个数字中任取三个，则取出的三个数字中不含0和5的概率为 7/155）从3黄12白共15个乒乓球中任取1个出来，取到白球的概率为 4/5 6）()0.5,,()P A A P B A =⊂=已知P(B)=0.3,且B 则 3/57）已知随机变量X 的分布律为{}2,1,2,33iP X i a i ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则常数a 为 27/388）随机变量X 的概率密度为2,01;()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它，以Y 表示X 的三次独立重复观察中事件1{}2X ≤出现的次数，则(2)P Y ==___9/64_____9）已知随机变量X 服从二项分布1(100,)25B ，则X 的数学期望为 4 10）已知随机变量X 的概率密度为51,0()50,0xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则()E X = 511）设随机变量X 的方差为()=9D X ，则(35)D X += 81 12）0.4,()D X Y ρ=+=XY 设D(X)=25,D(Y)=36,则 8513）设()25D X =，()36D Y =，,0.4X Y ρ=，则()D X Y -= 37 。

14）已知),(Y X 服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ,且X 与Y 独立，则ρ为 0 15）(01)(0,1)X N Y N X Y 设，，，与相互独立，则X+Y 服从 N(0,2) 分布。

16）N 222129129设X ,X ,，X 相互独立且都服从（0,1），则X +X ++X 服从 29()χ 分布。

二、选择题1）某射手连续射击目标三次，事件i A 表示第i 次射击时击中)3,2,1(=i ，则“至少有一次击中”为（ ） (A) 121323A A A A A A (B) 123A A A (C) 123A A A (D) 123A A A2）某人射击中靶的概率为43，独立射击3次，则恰有2次中靶的概率为（ ）。

(A) 3)43( (B) 41)43(2 (C) 43)41(2 (D) 3)41(3）将n 个球随机放入M 个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，则第i 个盒子有球的概率（ ）(A)M n ； (B) n M ； （C ）1(1)n M -； (D) 11()nM M--。

4）已知连续型随机变量X 的概率密度为x ae x f -=)(，则a 为（ ）。

（A ）1 ( B)21 (C) 21- (D) 1- 5） 设X 服从参数为1的指数分布，则(12)P X <<为（ ） (A)12e e ---； (B) 11e --； (C) 1e e --； (D) 1e e -- 6）设随机变量X 的方差为)(X D ，,a b 为常数，则()D aX b += ( ) 。

（A ）()aD X (B) ()aD X - (C) )(X D (D) 2()a D X7）随机变量X 的概率密度函数为2(01)()0a bx x f x ⎧+<<=⎨⎩其它 ，且E(X)=35则a 为3/5____，b 为_6/5______；D(X)为___2/25___。

8) 已知随机变量X 的概率密度为2(3)4()x f x --=，)(+∞<<-∞x ，则X 的数学期望与方差为（ ）。

（A ）2,3 (B) 2,3 (C) 2,3- (D) 3,8 9）设X 服从参数为5的指数分布，则()E X 为（ ）(A) 15 (B) 5 (C) 5- (D) 15-10）设随机变量X 与Y 的协方差为(,)0Cov X Y =，则随机变量X Y 与 （ ） （A ）相互独立 (B)存在线性关系(C)不存在线性关系（D ）选A 、B 、C 都不正确11）随机变量X 服从参数为2的Poisson 分布，则()E X 为（ ）(A) 1/4 ； (B)2 ； (C)1 ； (D)1/2。

12）若~()T t n ，则2T 服从（ ）(A) F(n,1) 分布 (B) 2()n χ分布 (C) ()t n 分布 (D) F(1,n) 分布三、计算题1、 灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.3，求三个灯泡在使用1000小时以后最多有一个坏了的概率？解 记A={灯泡耐用时间在1000小时以上}，随机变量{}1000X =三个灯泡在使用小时以后坏了的个数 由已知()0.3,()0.7,(3,0.7)P A P A XB ==，即{}330.70.3,0,1,2,3kk k P X k C k -===所以 {}{}{}3123271010.30.30.7125P X P X P X C ≤==+==+⋅=2、 已知随机变量X 的分布函数为 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=31321915211991,0)(x x x x x F ，求离散型随机变量X 的分布律。

解 随机变量1,2,3X =99{1}(1)(1)01919P X F F -==-=-= 1596{2}(2)(2)191919P X F F -==-=-=154{3}(3)(3)11919P X F F -==-=-=所以X 的分布律为3、 将3个球随机地放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中，以X 表示其中至少有一个球的盒子的最小号码(如3X =表示第1,2号盒空，第3号盒至少有一个球)，求随机变量X 的分布律。

解 X 可取1，2，3，412213333333337{1}44C C C P X ++===；1223333332219{2}44C C C P X ++===；123333337{3}44C C C P X ++===；31{4}4P X ==4、 已知连续型随机变量X 的分布函数为0,0(),01,x F x kx b x x ππ<⎧⎪=+≤<⎨⎪≥⎩，求常数k 和b以及X 的概率密度。

解 由题意，可知00lim 0lim()(0)(0)(0),lim ()lim 11()()()x x x x kx b b F F F kx b F F F πππππ-+-+-+→→-+→→=+=⎧⎧==⎪⎨⎨+====⎩⎪⎩即，亦01b k b π=⎧⎨+=⎩ 所以1,0k b π==。

此时连续型随机变量X 的分布函数为0,0(),01,x x F x x x πππ<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩其概率密度1,0()()0,x f x F x ππ⎧<<⎪'==⎨⎪⎩其它5、 设随机变量X 的概率密度为2,0()0,x x Af x <<⎧=⎨⎩其他，求常数A 以及概率(00.5)P X <<。

解 由题意，知()d 1f x x +∞-∞=⎰，即02d 1Ax x =⎰，有21A =，1(0)A A =>{}0.5100.52d 4P X x x <<==⎰6、设随机变量X 与Y 的分布相同，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,020,83)(2x x x ϕ ，已知事件{}a X A >=与{}a Y B >=相互独立，且3()4P A B =，求常数a解 由题意，记{}()P A P X a p =>=，显然{}()P B P Y a p =>=________23()1()1()1()()1(1)4P A B P A B P AB P A P B p =-=-=-=--=所以12p =，即 {}2231()()d d 82aaP A P X a x x x x ϕ+∞=>===⎰⎰，有34a =，a =7、已知二维连续型随机变量的联合密度函数为(24),0,0(,)0,x y ce x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，求()P X Y <。

解 由于(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，所以2401x y ce e dxdy +∞+∞--=⎰⎰，118c = 有8c =此时二维连续型随机变量(,)X Y 的联合密度函数为(24)8e ,0,0(,)0,x y x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它.故42420e ()8e e 8e ()4y x y x x x P XY dxdy dx +∞+∞+∞----+∞-<==⋅⎰⎰⎰ 13=8、已知二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)(arctan )(arctan )F x y A B x C y =++，,x y -∞<<+∞， （1）确定常数,,A B C ；（2）求关于X 和Y 的边缘分布函数；解（1）由分布函数的性质(,)lim (arctan )(arctan )()()122(,)lim (arctan )(arctan )()(arctan )02(,)lim (arctan )(arctan )(arctan )()02x y x y F A B x C y A B C F y A B x C y A B C y F x A B x C y A B x C ππππ→+∞→+∞→-∞→-∞⎧+∞+∞=++=++=⎪⎪⎪⎪-∞=++=-+=⎨⎪⎪-∞=++=+-=⎪⎪⎩ 有21,2A B C ππ===此时二维随机变量(,)X Y 的分布函数为21(,)(arctan )(arctan )22F x y x y πππ=++，,x y -∞<<+∞ 211()(,)lim (arctan )(arctan )(arctan )222X y F x F x x y x πππππ→+∞=+∞=++=+211()(,)lim (arctan )(arctan )(arctan )222Y x F y F y x y y πππππ→+∞=+∞=++=+9、已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xp x y ⎧<<<=⎨⎩，，其他 ，求：（1）关于X 的边缘概率密度；（2）概率1{X<}2P解12()(,)0,x x X dx xf x f x y dy +∞--∞⎧=⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它1111,10()(,)11,010,y Y y dx y y f y f x y dx dx y y -+∞-∞⎧=+-<≤⎪⎪⎪===-<≤⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其它1122011{X<}=(,)24x x P dx f x y dy dx dy +∞-∞-∞-==⎰⎰⎰⎰10、一袋子中有10个球，其中2个是红球，8个是白球。