(完整版)初中数学中考规律题目汇编
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35．猜想、探索律型一、14. (2009年金市 ) 在直角坐系中，已知点A(3,2).作点 A 关于 y 的称点 A ,1作点 A1关于原点的称点A2, 作点 A2关于 x 的称点 A３，作点 A 关于 y 的称点A4，⋯按此律，点A8的坐３▲ .18．（ 2009 年天水市）察下列算：1· (2＋ 1) ＝ (2－ 1)( 2＋ 1) ＝ 1，2＋ 1(1＋1)(3＋ 1) ＝ [( 2－ 1) ＋ ( 3－ 2)](3＋ 1) ＝ 2，3＋ 22＋ 1(1＋1＋1)( 4＋1) ＝ [(2－ 1) ＋(3－ 2) ＋ (4－ 3)]( 4＋ 1) ＝ 3，3＋ 22＋ 14＋ 3⋯⋯从以上算程中找出律，并利用一律行算：(1＋1＋1＋⋯＋1)(2010＋ 1) ＝．3＋ 22＋ 14＋ 3200＋ 20095． (2009年口市 ) 算： 31＋ 1＝ 4， 32＋ 1＝ 10， 33＋ 1＝ 28， 34＋ 1＝ 82，35＋ 1＝ 244，⋯，算果中的个位数字的律，猜32009＋ 1 的个位数字是（）A ．0B ．2C． 4D． 81． (2009 年四川省内江市 )如，小从O 点出，前 5 米后向右20O，再前 5 米后又向右20O，⋯⋯，一直走下去，他第一次回到出点 O 一共走了（）OA ． 60 米B． 100 米20oC． 90 米D． 120 米20o【关】正多形 .【答案】 C.2．（ 2009 年州黔南州）某校生物教李老在生物室做，将水稻种子分行芽；第 1 取 3 粒，第 2 取 5 粒，第 3 取7 粒⋯⋯即每所取种子数目比前一增加 2 粒，按此律，那么你推第n 有种子数（）粒。
A 、2n 1B 、2n 1C、2n D 、n 2【关】探索律型【答案】 A3．（ 2009 年江省）下面是按一定律排列的一列数：第 1 个数：111；22第 2 个数：1111(1)21(1)3；3234第 3 个数：1111(1)21(1)31 ( 1)41 ( 1)5；423456⋯⋯第 n 个数：111 1 (1)21 ( 1)3L1( 1)2 n 1．n12342n那么，在第 10 个数、第11 个数、第 12个数、第13 个数中，最大的数是（）A ．第 10 个数B ．第 11 个数C．第 12 个数 D ．第 13 个数【关】有理数的运算探索律提【答案】 A4．（ 2009 年孝感）于每个非零自然数n，抛物y x22n1x1与 x 交于 A n、 B n两点，n(n1)n(n1)以 A n B n表示两点的距离，A1B1 A2 B2L A2009B2009的是2009200820102009A．B．C．D．2008200920092010【关】探索律【答案】 D5．（ 2009 年重）察下列形，第n 个形中三角形的个数是（）⋯⋯第 1 个第 2 个第 3 个A ．2n2B ．4n4C．4n4D．4n【关】三角形的概念【答案】 D ．6． (2009 年河北 )古希腊著名的达哥拉斯学派把1、 3、6、 10 ⋯的数称“三角形数”，而把 1、4、 9、16 ⋯的数称“正方形数”．从7中可以，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相“三角形数”之和．下列等式中，符合一律的是（）⋯4=1+39=3+616=6+107A ．13 = 3+10 C．36 = 15+21B ． 25 = 9+16 D ． 49 = 18+31【关】数形合【答案】 C,找律7．(2009 年福建省泉州市)点 A 1、 A 2、 A 3、⋯、 A n（ n 正整数）都在数上.点且 A 1O=1；点 A 2在点 A 1的右，且 A 2A1=2；点 A3在点 A 2的左，且 A 3A 2=3 ；点且 A 4A 3=4 ；⋯⋯，依照上述律，点 A 2008、 A 2009所表示的数分（）. A.2008 、 -2009 B.-2008 、 2009 C.1004、 -1005 D.1004 、 -1004A 1在原点 O 的左，A 4在点 A 3的右，【关】找律【答案】 C 二、填空1． (2009 年四川省内江市 )把一 片剪成 4 ，再从所得的 片中任取若干 ，每 又剪成4 ，像依次地 行下去，到剪完某一次 止。
初中数学规律题(全部有解析)
规律题应用知识汇总“有比较才有鉴别”。
通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。
找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
揭示的规律，常常包含着事物的序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a1+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。
然后再简化代数式a+(n-1)b。
例：4、10、16、22、28……，求第n位数。
分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：4+(n-1) 6＝6n－2（二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。
如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。
此种数列第n位的数也有一种通用求法。
基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。
（三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.（四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。
此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。
二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
找出的规律，通常包序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
中考数学规律类试题集锦(含答案)
14．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第 个图形需要黑色棋子的个数是．
15．如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是．
20．如图，点B1在反比例函数y= （x＞0）的图象上，过点B1分别作x轴和y轴的垂线，垂足为C1和A，得到第一个矩形AOC1B1，点C1的坐标为（1，0）；取x轴上一点C2（ ，0），过点C2作x轴的垂线交反比例函数图象于点B2，过B2作线段B2A1⊥B1C1，，交B1C1于点A1，得到第二个矩形A1C1C2B2；依次在x轴上取点C3（2，0），C4（ ，0）按此规律作矩形，则第10个矩形A9C9C10B10的面积为．
21．如图，观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么2011这个数在第_____个三角形的____顶点处．
A．670左下B．670右下C．671左下D．671上
22．用棋子按如图方式摆图形，依照此规律，第n个图形比第(n-1)个图形多▲枚棋子．
23．右图是由数字组成的三角形，除最顶端的1以外，以下出现的数字都有一定的规律．根据它的规律，则最下排数字x的值是_____________．
参考答案
1．23
2．158
3． ，也可写成
4．738.
5．45
6．(14,8)
7．65
8．49
9．45
10．n2＋n＋2。
11．11，4n﹣1
12．
13． .
14． 或 或
初中数学规律题汇总(全部有解析)
初中数学规律题汇总“有比较才有鉴别”。
通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。
找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
揭示的规律，常常包含着事物的序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a1+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b 为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。
然后再简化代数式a+(n-1)b。
例：4、10、16、22、28……，求第n位数。
分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：4+(n-1) 6＝6n－2（二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。
如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。
此种数列第n位的数也有一种通用求法。
基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。
（三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.（四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。
此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。
二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
找出的规律，通常包序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。
中考数学规律复习题（整理全-含答案）
中考数学规律复习题（整理全-含答案）规律探索1⼀．选择题1．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…解答下列问题：3＋32＋33＋34…＋32013的末位数字是（）A．0 B．1 C．3 D．72.把所有正奇数从⼩到⼤排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现⽤等式A M=（i，j）表⽰正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2013=（）A．（45，77）B．（45，39）C．（32，46）D．（32，23）3.下表中的数字是按⼀定规律填写的，表中a的值应是．4.下列图形都是由同样⼤⼩的矩形按⼀定的规律组成，其中第（1）个图形的⾯积为2cm2，第（2）个图形的⾯积为8 cm2，第（3）个图形的⾯积为18 cm2，……，第（10）个图形的⾯积为（）A．196 cm2B．200 cm2C．216 cm2D．256 cm25．如图，动点P从（0，3）出发，沿所⽰的⽅向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射⾓等于⼊射⾓，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（）A、（1，4）B、（5，0）C、（6，4）D、（8，3）6．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M与m、n的关系是7．我们知道，⼀元⼆次⽅程12-=x 没有实数根，即不存在⼀个实数的平⽅等于-1，若我们规定⼀个新数“”，使其满⾜12-=i (即⽅程12-=x 有⼀个根为)，并且进⼀步规定: ⼀切实数可以与新数进⾏四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成⽴，于是有,1i i =12-=i ，,).1(23i i i i i -=-=?=.1)1()(2224=-==i i 从⽽对任意正整数n ，我们可得到,.)(.4414i i i i i i n n n ===+同理可得,1,,143424=-=-=++n n n i i i i那么，20132012432i i i i i i +++++的值为( ) A ．0 B ．1 C ．-1 D ． i 8．下列图形都是由同样⼤⼩的棋⼦按⼀定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋⼦，第②个图形⼀共有6颗棋⼦，第③个图形⼀共有16颗棋⼦，…，则第⑥个图形中棋⼦的颗数为（）A ．51B ．70C ．76D ．81 ⼆．填空题1．观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n 个图形中所有的个数为（⽤含n 的代数式表⽰）．2．如图，在直⾓坐标系中，已知点A （﹣3，0）、B （0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则3．如图，正⽅形ABCD 的边长为1，顺次连接正⽅形ABCD 四边的中点得到第⼀个正⽅形A 1B 1C 1D 1，由顺次连接正⽅形A 1B 1C 1D 1四边的中点得到第⼆个正⽅形A 2B 2C 2D 2…，以此类推，则第六个正⽅形A 6B 6C 6D 6周长是．图①图②图③···（第8题图）5．如图，古希腊⼈常⽤⼩⽯⼦在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是．6 ．如图，是⽤⽕柴棒拼成的图形，则第n个图形需根⽕柴棒．7．观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2013的值是．8．如图12，⼀段抛物线：y＝－x(x －3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；……如此进⾏下去，直⾄得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m =_________．9.直线上有2013个点，我们进⾏如下操作：在每相邻两点间插⼊1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有个点.25×25=2×3×100+25，35×35=3×4×100+25，…………请猜测，第n个算式(n为正整数)应表⽰为____________________________．11．将连续的正整数按以下规律排列，则位于第7⾏、第7列的数x是__ __．12、如下图，每⼀幅图中均含有若⼲个正⽅形，第①幅图中含有1个正⽅形；第②幅图中含有5个正⽅形；……按这样的规律下去，则第（6）幅图中含有个正⽅形；13．将⼀些半径相同的⼩圆按如图所⽰的规律摆放：第1个图形有6个⼩圆，第2个图形有10个⼩圆，第3个图形有16个⼩圆，第4个图形有24个⼩圆， ……，依次规律，第6个图形有个⼩圆．14.已知⼀组数2，4，8，16，32，…，按此规律，则第n 个数是． 15、我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y ＝ax 2＋bx (a ≠0) （1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，a ＝__________；当顶点坐标为（m ，m ），m ≠0时，a 与m 之间的关系式是__________；（2）继续探究，如果b ≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y ＝kx (k ≠0)上，请⽤含k 的代数式表⽰b ；（3）现有⼀组过原点的抛物线，顶点A 1，A 2，…，A n 在直线y ＝x 上，横坐标依次为1，2，…，n （为正整数，且n ≤12），分别过每个顶点作x 轴的垂线，垂⾜记为B 1，B 2，…，B n ，以线段A n B n 为边向右作正⽅形A n B n C n D n ，若这组抛物线中有⼀条经过D n ，求所有满⾜条件的正⽅形边长．①②③16．如图，所有正三⾓形的⼀边平⾏于x 轴，⼀顶点在y 轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次⽤1A 、2A 、3A 、4A 、…表⽰，其中12A A 与x 轴、底边12A A 与45A A 、45A A 与78A A 、…均相距⼀个单位，则顶点3A 的坐标是，22A 的坐标是．第16题图17．如图，已知直线l ：y=33x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；……按此作法继续下去，则点A 2013的坐标为．18、如图，在平⾯直⾓坐标系中，⼀动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的⽅向不断地移动，每移动⼀个单位，得到点A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A4（2，0），… 那么点A 4n ＋1（n 为⾃然数）的坐标为（⽤n 表⽰）19．当⽩⾊⼩正⽅形个数n等于1，2，3…时，由⽩⾊⼩正⽅形和和⿊⾊⼩正⽅形组成的图形分别如图所⽰．则第n个图形中⽩⾊⼩正⽅形和⿊⾊⼩正⽅形的个数总和等于__________．（⽤n表⽰，n是正整数）20. （2013?衢州4分）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形A2B2C2D2的周长是；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是．21.⼀组按规律排列的式⼦：ａ２，43a，65a,87a,….则第n个式⼦是________22.观察下⾯的单项式：a，﹣2a2，4a3，﹣8a4，…根据你发现的规律，第8个式⼦是．23.如图，已知直线l：y=x，过点M（2，0）作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x 轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，…；按此作法继续下去，则点M10的坐标为．24.为庆祝“六?⼀”⼉童节，某幼⼉园举⾏⽤⽕柴棒摆“⾦鱼”⽐赛．如图所⽰：按照上⾯的规律，摆第（n）图，需⽤⽕柴棒的根数为．答案：选择题：1、C 2、C 3、21 4、B 5、D 6、D 7、D 8、 C填空题：1、（n+1）2 2、（8052,0） 3、0.5 4、16097 5、51 6、2n+1 7、1014049 8、2 9、16097 10、[10(n-1)+5]2=100n(n-1)+25 11、85 12、91 13、46 14、2n 15、（1）－1；a ＝－1m（或am ＋1＝0）（2）解：∵a ≠0 ∴y ＝ax 2＋bx＝a (x ＋2b a∴顶点坐标为（－2ba，－24b a ）∵顶点在直线y ＝kx 上∴k (－2ba)＝－24b a∵b ≠0 ∴b ＝2k（3）解：∵顶点A n 在直线y ＝x 上∴可设A n 的坐标为（n ，n ），点D n 所在的抛物线顶点坐标为（t ，t ）由（1）（2）可得，点D n 所在的抛物线解析式为y ＝－1tx 2＋2x∵四边形A n B n C n D n 是正⽅形∴点D n 的坐标为（2n ，n ）∴－1t(2n )2＋2×2n ＝n ∴4n ＝3t∵t 、n 是正整数，且t ≤12，n ≤12 ∴n ＝3，6或9∴满⾜条件的正⽅形边长为 3，6或916、（01），（－8，－8）. 17、()()201340260,40,2或（注：以上两答案任选⼀个都对）18、（2n ，1） 19、n 2+4n 20、20；21、221na n -（n 为正整数）22、-128a 8 23、（884736,0） 24、6n+2规律探索21、我们平常⽤的数是⼗进制数，如2639=2×103+6×102+3×101+9×100，表⽰⼗进制的数要⽤10个数码（⼜叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。
中考数学规律压轴选择题汇编经典和答案解析
一、规律问题数字变化类1．世界上著名的莱布尼茨三角形如下图所示：则排在第10行从左边数第4个位置上的数是（）A．190B．1360C．1840D．1504答案：C解析：C【分析】观察发现：下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推即可得到第10行左边第4个位置的数．【详解】从图形中可看出，每行第一个数的分母就是这行的行数，第8行的第一个数是18，第9行的第一个数是19，第10行的第一个数是110；再按照上面的规律，可得：第8行的第2个数等于第7行的第一个数减去第8行的第1个数，即：111 7856 -=，第9行的第2个数等于第8行的第1个数减去第9行的第1个数，即：111 8972 -=，第9行的第3个数等于第8行的第2个数减去第9行的第2个数，即：111 5672252-=，第10行的第2个数等于第9行的第1个数减去第10行的第1数，即：111 91090 -=，第10行的第3个数等于第9行的第2个数减去第10行的第2个数，即：1117290360-=，则第10行第4个数就等于第9行第3个数减去第10行第3个数，即：111252360840-=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考察学生对规律型题目的掌握情况，解题的关键是观察分析发现规律． 2．观察图中每一个正方形各顶点所标数字的规律，2 020应标在( )A ．第504个正方形右上角顶点处B ．第505个正方形右下角顶点处C ．第505个正方形右上角顶点处D ．第504个正方形右下角顶点处答案：B解析：B 【分析】观察可知，每个正方形标四个数字，从右上角的顶点开始，按照逆时针方向每四个正方形为一组依次循环，用2020除以4确定出所在的正方形的序号为505，再用505除以4确定出循环组的第几个正方形，然后确定出在正方形的位置，即可得解． 【详解】解：∵通过观察可知，第1个正方形的第一个数字标在正方形的右上角； 第2个正方形的第一个数字标在正方形的左上角； 第3个正方形的第一个数字标在正方形的左下角； 第4个正方形的第一个数字标在正方形的右下角； 第5个正方形的第一个数字标在正方形的右上角；∴依此类推，每四个正方形为一组依次循环 ∴20204505÷=，50541261÷=∴2020应标在第505个正方形的最后一个顶点，是第127个循环组的第1个正方形，在正方形的右下角，即，2020应标在第505个正方形右下角顶点处． 故选：B 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出数字的排列特点然后准确确定出2020所在的正方形以及所在循环组的序号是解题的关键．3．按一定规律排列的一列数依次为：﹣22a ，55a ，﹣810a ，1117a ，…（a ≠0），按此规律排列下去，这列数中的第10个数是（ ） A ．2363aB ．2680a -C ．29101aD ．32101a答案：C解析：C 【分析】根据题目中的数字，从分子和分母两个角度总结规律，从而推出第n 个数的形式，然后代入n =10即可得出结论． 【详解】解：首先观察出符号依次交替，则第n 个数的符号可表示为()1n-，然后对于分子，可观察得出分子的指数部分依次增加3，则第n 个数的分子为31n a -， 最后对于分母，可总结出第n 个数的分母为21n +， ∴第n 个数表示为：()31211n na n --+， 当n =10时，()3101291021101101a a ⨯--=+， 故选：C ． 【点睛】本题考查数字变化类规律探究，分别从不同角度总结变化规律是解题关键．4．下面两个多位数1248624…，6248624…，都是按照如下方法得到的：从首位数字开始，将左边数字乘以2，若积为一位数，将其写在右边数位上，若积为两位数，则将其个位数字写在右边数位上．依次再进行如上操作得到第3位数字…后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前2020位的所有数字之和是（ ） A ．10091B ．10095C ．10099D ．10107答案：B解析：B 【分析】根据题意进行计算，找到几个数字一循环，然后乘以循环的次数加上非循环的部分即可得到结果． 【详解】解：当第一个数字为3时， 这个多位数是362486248…， 即从第二位起，每4个数字一循环， （2020﹣1）÷4＝504…3， 前2020个数字之和为：3+（6+2+4+8）×504+6+2+4＝10095． 故选：B ． 【点睛】本题考查循环类数字规律题，根据题意找到循环次数，即可求解；本题易错点为是否能找对几个数字循环，易错数目为505次，由于第一个数字不参与循环即易错点为2020漏减1．5．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，（如8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，即8，16，24均为“和谐数”），若将这一列和谐数8，16，24……由小到大依次记为a 1，a 2，a 3，……，a n ，则a 1+a 2+a 3+…+a n ＝（ ） A ．4n 2+4B ．4n+4C ．4n 2+4nD ．4n 2答案：C解析：C 【分析】根据题意设两个连续奇数为2n ﹣1，2n+1（n 为自然数），则“和谐数”＝（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2，据此解答即可． 【详解】解：a 1+a 2+a 3+…+a n ＝32﹣12+52﹣32+72﹣52+…+（2n ﹣1）2﹣（2n ﹣1）2+（2n+1）2 ＝4n 2+4n ． 故选：C ． 【点睛】本题考查平方差公式：a 2-b 2=（a-b ）（a-b ），同时也考查对代数式的变形能力． 6．已知有理数1a ≠，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1=-112-，-1的差倒数是11=1(1)2--．如果12a =-，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……依此类推，那么12100a a a +++的值是（ ）A ．-7.5B ．7.5C ．5.5D ．-5.5答案：A解析：A 【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以2-，13，32依次循环，且1312326-++=-，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案． 【详解】解：∵12a =-，∴2111(2)3a ==--，3131213a ==-，412312a ==--，……∴这个数列以-2，13，32依次循环，且1312326-++=-， ∵1003331÷=，∴121001153327.562a a a ⎛⎫+++=⨯--=-=- ⎪⎝⎭，故选A．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．7．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是2，…，则第2020次输出的结果是（）A．1 B．2 C．1-D．2-答案：B解析：B【分析】把x=2代入程序中计算，以此类推得到一般性规律，即可确定出第2020次输出的结果．【详解】解：把x=2代入得：0.5×2=1，把x=1代入得：1+1=2，把x=2代入得：0.5×2=1，把x=1代入得：1+1=2，⋯，由此可知，奇数次运算结果是1，偶数次运算结果为2∴第2020次输出的结果为2，故选：B．【点睛】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序框图是解本题的关键．8．将正偶数按下表排成5列第一列第二列第三列第四列第五列第一行2468第二行16141210第三行18202224则2004应该排在（ ） A ．第251行，第3列 B ．第250行，第1列 C ．第500行，第2列D ．第501行，第5列答案：A解析：A 【分析】观察各行各列的规律，首先分析两端的规律：第一列是偶数行有，且数是16的2n倍，第五列是奇数行有，且数是8的n 倍，因为20041612522=⨯+⨯，200482504=⨯+，所以2004在第251行第3列. 【详解】规律为第一列是偶数行有，且数是16的2n倍，第五列是奇数行有，且数是8的n 倍，所以2004在第251行第3列. 故选：A. 【点睛】此题考查数字的规律，观察表格得到数字的排列规律，得到特定行列的数字规律并运用解决问题是解题的关键.9．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，试利用上述规律判断算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是（ ） A ．0B ．1C ．3D ．7答案：A解析：A 【分析】观察所给等式发现规律末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，每4个数一组循环，进而可得算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字． 【详解】解：观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…， 发现规律：末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…， 每4个数一组循环， 所以2020÷4＝505，而3+9+7+1＝20， 20×505＝10100．所以算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是0． 故选：A ． 【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 10．已知整数1234,,,a a a a ……满足下列条件：12132430,1,2,3a a a a a a a ==-+=-+=-+……，依次类推，则2019a 的值为（ ）A ．2018B ．2018-C ．1009-D ．1009答案：C解析：C 【分析】根据条件求出前几个数的值，再分n 是奇数时，结果等于-12（n-1），n 是偶数时，结果等于-2n，然后把n 的值代入进行计算即可得解． 【详解】 解：123450|01|1|12|1|13|2|24|2a a a a a ==-+=-=--+=-=--+=-=--+=- 678|25|3|36|3|37|4a a a =--+=-=-+=-=--+=-⋯⋯∴201920181009a a ==-， 故选择C 【点睛】本题考查了数字变化规律，根据所求出的数，观察出n 为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．二、规律问题算式变化类11．观察下列等式：2223471236⨯⨯++=，222245912346⨯⨯+++=，222225611123456⨯⨯++++=，…．按照此规律，式子2222123100+++⋅⋅⋅+可变形为（ ）A ．1001011026⨯⨯B ．1001012016⨯⨯C ．1001012036⨯⨯D ．100101201100⨯⨯答案：B 【分析】根据已知等式归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】 ， ， ，归纳类推得：，其中n 为正整数， 则， 故选：B ． 【点睛】本题考查了有理数运算的规律型问题，正确归纳类推出一般规律解析：B 【分析】根据已知等式归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】()()2223313434712366⨯+⨯+⨯⨯++==， ()()222244145459123466⨯+⨯+⨯⨯+++==， ()()222225515656111234566⨯+⨯+⨯⨯++++==， 归纳类推得：()()()()222111211266n n n n n n n n ++++++++==，其中n 为正整数，则()()222210010012100110010120123100166⨯+⨯⨯++++⨯⨯⋅⋅⋅+==， 故选：B ． 【点睛】本题考查了有理数运算的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．12．已知T 132，T 276，T 31312，⋯，T n 为正整数．设S n =T 1+T 2+T 3+⋯+T n ，则S 2021值是（ ） A ．202120212022B ．202120222022C ．120212021D ．120222021答案：A 【分析】根据数字间的规律探索列式计算 【详解】解：由题意可得：T1=， T2=， T3= ∴Tn= ∴T2021=∴S2021=T1+T2+T3++T2021 = = = = = = =解析：A 【分析】根据数字间的规律探索列式计算 【详解】解：由题意可得：T 1312+1=212⨯⨯，T 2723+1=623⨯⨯，T 31334+1=1234⨯=⨯∴T ()()1+11n n n n ++ ∴T 2021=20212022+120212022⨯⨯∴S 2021=T 1+T 2+T 3+⋯+T 2021=371320212022+1 +++ (261220212022)⨯+⨯=11111++1++1++...1+261220212022+⨯=1111 2021++++...+261220212022⨯=1111 2021++++...+12233420212022⨯⨯⨯⨯=1111111 2021+1++...+2233420212022⎛⎫-+---⎪⎝⎭=1 2021+12022⎛⎫-⎪⎝⎭=2021 20212022故选：A．【点睛】本题考查实数数字类的规律探索，探索规律，准确计算是解题关键．13．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和．事实上，这个三角形给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等．根据上面的规律，请你猜想（a+b）7的展开式中所有系数的和是（）A．2018 B．512 C．128 D．64答案：C【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，求出系数之和即可．【详解】解：根据题意得：（a+b）7＝a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7，系解析：C 【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，求出系数之和即可． 【详解】解：根据题意得：（a +b ）7＝a 7+7a 6b +21a 5b 2+35a 4b 3+35a 3b 4+21a 2b 5+7ab 6+b 7， 系数之和为2×（1+7+21+35）＝128， 故选：C ． 【点睛】此题考查了完全平方公式，以及规律型：数字的变化类，弄清“杨辉三角”中系数的规律是解本题的关键．14．观察下列各式及其展开式：()2222a b a ab b +=++；()3322333a b a a b ab b +=+++；()4432234464a b a a b a b ab b +=++++；()544322345510105a b a a b a b a b ab b +=+++++…，请你猜想()11a b +的展开式第三项的系数是（ ） A ．36B ．45C ．55D ．66答案：C 【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出的展开式第三项的系数． 【详解】 解：依据规律可得到： 第三项的系数为1， 第三项解析：C 【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出11()a b +的展开式第三项的系数． 【详解】 解：222()2a b a ab b +=+++=+++33223()33a b a a b ab b 4322344()464a b a a b a b ab b +=++++ 554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++ ⋯⋯∴依据规律可得到：2()a b +第三项的系数为1，3()a b +第三项的系数为312=+，4()a b +第三项的系数为6123=++，⋯11()a b +第三项的系数为：10(101)123910552⨯++++⋯++==． 故选：C ． 【点睛】本题考查了数字规律型，理解题意，找到系数的规律是解题的关键． 15．下面是按一定规律排列的一列数： 第 1 个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； 第 2 个数：()()2311111113234⎡⎤⎡⎤---⎛⎫-+++⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； 第 3 个数：()()2311111114234⎡⎤⎡⎤---⎛⎫-+++⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； ⋯⋯；第 n 个数：()()()232n-111111111...1n 12342n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎛⎫-++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦； 那么在第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数、第 13 个数中，最大的数是 ( ) A ．第 10 个数B ．第 11 个数C ．第 12 个数D ．第 13 个数答案：A 【分析】根据有理数的计算，计算第1个数、第2个数、第3个数等，总结第n 个数的规律即可得出答案． 【详解】 解：第 个数：； 第 个数：； 第 个数：；；第个数：；n越大，第n个解析：A【分析】根据有理数的计算，计算第1个数、第2个数、第3个数等，总结第n个数的规律即可得出答案．【详解】解：第1个数：1110 22-⎛⎫-+=⎪⎝⎭；第2个数：()()2311111 11132346⎡⎤⎡⎤---⎛⎫-+++=-⎢⎥⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；第3个数：()()2311111 11142344⎡⎤⎡⎤---⎛⎫-+++=-⎢⎥⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；⋯⋯；第n个数：()()()232n-11111111 111 (1)n12342n12n⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎛⎫-++++=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪++⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦；∴n越大，第n个数越小故选：A．【点睛】本题考查有理数的计算，掌握数的规律是解题的关键．16．如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y＝x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形n n n nA B C D的面积是（）A．（92）n B．（92）n﹣1C．（32）n D．（32）n﹣1答案：B 【分析】根据正比例函数的性质得到，分别求出正方形的面积、正方形的面积，总结规律解答． 【详解】解：直线为正比例函数的图象， ， ，正方形的面积， 由勾股定理得，，， ，正方形的面积， 同解析：B 【分析】根据正比例函数的性质得到1145D OA ∠=︒，分别求出正方形1111D C B A 的面积、正方形2222A B C D 的面积，总结规律解答．【详解】 解：直线l 为正比例函数y x =的图象， 1145D OA ∴∠=︒， 1111D A OA ∴==，∴正方形1111D C B A 的面积1191()2-==，由勾股定理得，1OD =122D A =，222A B A O ∴= ∴正方形2222A B C D 的面积2199()22-==， 同理，33392A D OA ==， ∴正方形3333A B C D 的面积31819()42-==， ⋯由规律可知，正方形n n n n A B C D 的面积19()2n -=，故选：B ． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到1145D OA ∠=︒，正确找出规律是解题的关键．17．山西面食不仅是中华民族饮食文化的重要组成部分，也是世界的面食之根.其中，“拉面”远播世界各地.制作方法如图所示，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，反复几次，这根很粗的面条就被拉成许多细的面条，第一次捏合变2根细面条，第二次捏合变4根细面条，第三次捏合变8根细面条，这样捏合到第n次后可拉出细面条（）A．2n根B．12n+根C．12n-根D．112n+⎛⎫⎪⎝⎭根答案：A【分析】找规律，然后根据有理数的乘方的定义列出更加一般的情况即可求解.【详解】解：第一次捏合变2根细面条，可以看成是第二次捏合变4根细面条，可以看成是第三次捏合变8根细面条，可以看成是解析：A【分析】找规律，然后根据有理数的乘方的定义列出更加一般的情况即可求解.【详解】解：第一次捏合变2根细面条，可以看成是12第二次捏合变4根细面条，可以看成是22第三次捏合变8根细面条，可以看成是32依据这个规律下去第n次捏合可拉出细面条的根数为：2n.故答案为：A.【点睛】本题借助生活中的实际例子考查了有理数的乘方的定义，理解乘方的意义是解题的关键. 18．若规定“!”是一种数学运算符号，且则的值为（）A．B．99! C．9 900 D．2!答案：C【详解】根据题意可得：100！=100×99×98×97×…×1，98！=98×97×…×1， ∴ =100×99="9" 900，故选C ．解析：C 【详解】根据题意可得：100！=100×99×98×97×…×1，98！=98×97×…×1， ∴=100×99="9" 900，故选C ．19．已知11(0 1)a x x x =+≠≠-且，231211,11a a a a ==--，…，111n n a a -=-，则a 2020 等于（ ） A ．xB ．x +1C ．1x-D ．1x x + 答案：B 【分析】把a1代入确定出a2，进而求出a3，a4，找出结果的规律，判断即可． 【详解】解：把a1=x+1代入得：， 依此类推，以循环， ∵2020÷3=673…1， 则a2020=x+1．解析：B 【分析】把a 1代入确定出a 2，进而求出a 3，a 4，找出结果的规律，判断即可． 【详解】解：把a 1=x+1代入得：2341111,,111(1)11()11x a a a x x x x x x x ==-====+-++---+， 依此类推，以11,,1xx x x +-+循环， ∵2020÷3=673…1， 则a 2020=x+1． 故选：B ． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，探索与表达规律．熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．将2019加上它本身的12的相反数，再将这个结果加上其13的相反数，再将上述结果加上，其14的相反数，…，如此继续，操作2019次后所得的结果是（）A．1 B．－1 C．20192020D．2020答案：C【分析】根据题意易得第一次运算的结果为，第二次运算的结果为，第三次运算的结果为，第四次运算的结果为，….由此规律可进行求解．【详解】解：2019加上它本身的的相反数为：，再将这个结果加上其解析：C【分析】根据题意易得第一次运算的结果为120192⨯，第二次运算的结果为120193⨯，第三次运算的结果为120194⨯，第四次运算的结果为201951⨯，….由此规律可进行求解．【详解】解：2019加上它本身的12的相反数为：1120192019201922-⨯=⨯，再将这个结果加上其13的相反数为11112019201920192233⨯-⨯⨯=⨯，再将上述结果加上，其14的相反数为11112019201920193344⨯-⨯⨯=⨯，….由此规律可得第n次的运算结果为112019n+⨯，∴第2019次后所得结果是12019 2019202020191⨯=+；故选C．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．三、规律问题图形变化类21．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……，则正方形A2020B2020C2020D2020的边长是（）A ．(12)2017B ．(12)2018C ．32019D ．32020 解析：C 【分析】利用正方形的性质结合锐角三角形函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案． 【详解】∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠∠B 1C 1O =60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3， ∴D 1E 1=B 2E 2，D 2E 3=B 3E 4，∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°， ∴D 1E 1=C 1D 1sin 30°=12， 则B 2C 2=22cos30B E ︒=13333⎛= ⎝⎭， 同理可得：B 3C 3=21333⎛= ⎝⎭， 故正方形A n B n C n D n 的边长是：13n -⎝⎭，则正方形A 2020B 2020C 2020D 2020的边长是：20193⎝⎭，故选C ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数，根据已知条件推导出正方形的边长与序号的变化规律是解题的关键．22．如图，8AOB ∠=︒，点P 在OB 上．以点P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点1P （点1P 与点O 不重合），连接1PP ；再以点1P 为圆心，OP 为半径画弧，交OB 于点2P （点2P 与点P 不重合），连接12PP ；再以点2P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点3P （点3P 与点1P 不重合），连接23P P ；…按照这样的方法一直画下去，得到点n P ，若之后就不能再画出符合要求的点1n P +，则n 等于（ ）A ．13B ．12C ．11D ．10解析：C 【分析】先观察题目，可知画出的三角形为等腰三角形，可依次算出第一个第二个第三个等腰三角形的底角的度数，发现规律：第n 个等腰三角形的底角度数为(8)n ︒，再根据等腰三角形的底角度数小于90°，即可算出答案． 【详解】解：根据题意可得出：∵11223OP PP PP P P ===∴画出的三角形为等腰三角形∵8AOB ∠=︒∴18AOB PPO ∠=∠=︒ ∴121216PPP PP P ∠==︒ ∴21323132P PP P P P ∠==︒依次推算可发现规律：第n 个等腰三角形的底角度数为(8)n ︒ ∵等腰三角形的底角度数小于90° ∴(8)90n ︒<︒ ∴908n <（n 为正整数） ∴11n =． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查规律探索和等腰三角形的性质，知道三角形的外角度数等于其它两个内角和的度数以及等腰三角形的底角小于90°是解题的关键．23．如图，在坐标系中放置一菱形 OABC ，已知∠ABC =60°，点 B 在 y 轴上，OA =1，先将菱形 OABC 沿 x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转 60°，连续翻转2019次，点 B 的落点依次为 B 1，B 2，B 3，…，则 B 2 019 的坐标为( )A ．(1010，0)B ．(1310．5，32) C ．(1345， 32) D ．(1346，0)解析：D 【分析】连接AC ，根据条件可以求出AC ，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2019=336×6+3，因此点3B 向右平移1344（即3364 ）即可到达点2019B ，根据点3B 的坐标就可求出点2019B 的坐标．【详解】连接AC ，如图所示．∵四边形OABC 是菱形， ∴OA =AB =BC =OC ． ∵∠ABC =60°， ∴△ABC 是等边三角形． ∴AC =AB ． ∴AC =OA ． ∵OA =1， ∴AC =1．由图可知：每翻转6次，图形向右平移4． ∵2019=336×6+3，∴点B 3向右平移1344(即336×4)到点B 2019． ∵B 3的坐标为(2，0)， ∴B 2019的坐标为(1346，0)， 故选：D 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．24．如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O 是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA 绕点O 顺时针转过的角度是（ ）A ．240°B ．360°C ．480°D ．540°解析：C【详解】 由题意可得：第一次AO 顺时针转动了120°，第二次AO 顺时针转动了240°，第三次AO 顺时针转动了120°，故当由①位置滚动到④位置时，线段OA 绕点O 顺时针转过的角度是：120°+240°+120°=480°．故选：C ．25．如图，已知1111222233334,,,AB A B A B A A A B A A A B A A ==== ……，若∠A ＝70°，则11n n n A A B --∠的度数为（ ）A ．702nB ．1702n +C ．1702n -D ．2702n - 解析：C【分析】根据等边对等角可得∠AA 1B=∠A=70°，然后根据三角形外角的性质和等边对等角可得∠A 1A 2B 1=12∠AA 1B=702︒=35°，同理可得：∠A 2A 3B 2=12∠A 1A 2B 1=2702︒=17.5︒，∠A 3A 4B 3=12∠A 2A 3B 2=3702︒=8.75︒，找出规律即可得出结论． 【详解】∵1AB A B =，70A ∠=︒∴∠AA 1B=∠A=70°∵1112A B A A =∴∠A 1A 2B 1=∠A 1 B 1A 2∵∠AA 1B=∠A 1A 2B 1＋∠A 1 B 1A 2∴∠A 1A 2B 1=12∠AA 1B=702︒=35° 同理可得：∠A 2A 3B 2=12∠A 1A 2B 1=2702︒=17.5︒ ∠A 3A 4B 3=12∠A 2A 3B 2=3702︒=8.75︒ ∴11n n n A A B --∠=1702n -︒ 故选C ．【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形外角的性质，掌握等边对等角和三角形外角的性质是解决此题的关键．26．如图，古希腊人常用小石子（小黑点）在沙滩上摆成各种图形来研究数．例如：图1表示数字1，图2表示数字5，图3表示数字12，图4表示数字22，……，依次规律，图6表示数字（ ）A ．49B ．50C ．51D ．52解析：C【分析】 通过前4个图形找出一般性规律，即可得出图6表示的数．【详解】解：第1个图形有1个点；第2个图形有5=2+3个点；第3个图形有12=3+4+5个点；第4个图形有22=4+5+6+7个点；第5个图形有35=5+6+7+8+9个点；第6个图形有6789101151+++++=个点；故选：C ．【点睛】本题考查探索与表达规律，解决此题的关键是善于观察，找出图形上的点与序号之间的关系．27．法国数学家柯西于1813年在拉格朗日、高斯的基础上彻底证明了《费马多边形数定理》，其主要突破在“五边形数”的证明上．如图为前几个“五边形数”的对应图形，请据此推断，第20个“五边形数”应该为（ ），第2020个“五边形数”的奇偶性为（ ）A ．533；偶数B ．590；偶数C ．533；奇数D ．590；奇数解析：B【分析】 根据前几个“五边形数”的对应图形找到规律，得出第n 个“五边形数”为23122n n -，将n=10代入可求得第20个“五边形数”，利用奇偶性判断第2020个“五边形数”的奇偶性．【详解】解：第1个“五边形数”为1=2311122⨯-⨯， 第2个“五边形数”为5= 2312222⨯-⨯， 第3个“五边形数”为12= 2313322⨯-⨯， 第4个“五边形数”为22= 2314422⨯-⨯， 第5个“五边形数”为35= 2315522⨯-⨯， ··· 由此可发现：第n 个“五边形数”为23122n n -， 当n=20时，23122n n -= 231202022⨯-⨯=590， 当n=2020时，232n =3×2020×1010是偶数，12n =1010是偶数，所以23122n n -是偶数， 故选：B ．【点睛】本题考查数字类规律探究、有理数的混合运算，通过观察图形，发现数字的变化规律是解答的关键．28．第①图形中有2个三角形，第②图形中有8个三角形，第③个图形中有14个三角形，依此规律，第⑦个图形中三角形的个数是（ ）A ．40B ．38C ．36D ．34解析：B【分析】 由图形可知：第①个图形有2+6×0=2个三角形；第②个图形有2+6×1=8个三角形；第③个图形有2+6×2=14个三角形；…第n 个图形有2+6×（n-1）=6n-4个三角形；进一步代入求得答案即可．【详解】解：∵第①个图形有2+6×0=2个三角形；第②个图形有2+6×1=8个三角形；第③个图形有2+6×2=14个三角形；…∴第n 个图形有2+6×（n-1）=6n-4个三角形；∴第⑦个图形有6×7-4=38个三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．29．如图，在第一个1ABA ∆中，20B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得121A A AC =，得到第二个12A A C ∆；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点4A 为顶点的等腰三角形的顶角的度数为（ ）A ．170︒B ．175︒C ．10︒D ．5︒解析：A【分析】 先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出∠A 5的度数．【详解】解：∵在△ABA 1中，∠B=20°，AB=A 1B ，∴∠BA 1A= 1802B ︒-∠=80°， ∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1=18022BA A ︒∠==40°； 同理可得∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°，∴∠A n =1802n ︒-， 以点A 4为顶点的等腰三角形的底角为∠A 5，则∠A 5=4802︒=5°， ∴以点A 4为顶点的等腰三角形的顶角的度数为180°-5°-5°=170°．故选：A ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．30．如图，图①是一块边长为1，周长记为P 1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12）后，得图③、④，…，记第n （n≥3）块纸板的周长为P n ，则P n －P n －1等于…（ ）A ．112n -B ．3－12nC ．1－132n - D ．132n -＋212n -解析：A【分析】根据等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长P 1，P 2，P 3，P 4，然后周长相减即可得到规律，进行解答．【详解】解：P 1＝1＋1＋1＝3，P 2＝1＋1＋12＝52， P 3＝1＋1＋14×3＝114， P4＝1＋1＋14×2＋18×3＝238， …∴P 3－P 2＝114－52＝211=42，P 4－P 3＝238－114＝311=82， ∴P n －P n －1＝n-112， 故答案为：A ．【点睛】 本题主要考查对等边三角形的性质的理解和掌握，此题是一个规律型的题目，题型较好．。
初中数学规律题汇总(全部有解析)
初中数学规律题拓展研究之答禄夫天创作“有比较才有鉴别”。
通过比较，可以发现事物的相同点和分歧点，更容易找到事物的变更规律。
找规律的题目，通常依照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
揭示的规律，经常包含着事物的序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奇妙。
初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以暗示为：a1+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。
然后再简化代数式a+(n-1)b。
例：4、10、16、22、28……，求第n位数。
分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n 位数是：4+(n-1) 6＝6n－2（二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。
如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。
此种数列第n 位的数也有一种通用求法。
基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。
（三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.（四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。
此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包含第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。
二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目，通常依照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
找出的规律，通常包序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奇妙。
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且 A 4A 3=4 ； …… ，依照上述规律，点 A 2008 、 A 2009 所表示的数分别为（
）.
A.2008 、 -2009 B.-2008 、 2009
C.1004、 -1005
D.1004 、 -1004
【关键词】找规律
【答案】 C
二、填空题
1． (2009 年四川省内江市 )把一张纸片剪成 4 块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成
为 ▲ .
18．（ 2009 年天水市） 观察下列计算： 1 · ( 2＋ 1) ＝ ( 2－ 1)( 2＋ 1) ＝ 1， 2＋ 1
( 1 ＋ 1 )( 3＋ 1) ＝ [( 2－ 1) ＋ ( 3－ 2)]( 3＋ 1) ＝ 2， 2＋ 1 3＋ 2
( 1 ＋ 1 ＋ 1 )( 4＋1) ＝ [( 2－ 1) ＋( 3－ 2) ＋ ( 4－ 3)]( 2＋ 1 3＋ 2 4＋ 3
【关键词】规律探索 【答案】
15．（ 2009 年益阳市） 图 6 是一组有规律的图案，第
基础图形组成， …… ，第 n ( n 是正整数 )个图案中由
-
1 个 图案由 4 个基础图形组成，第 个基础图形组成．
……
2 个图案由 7 个
(1)
【关键词】规律探索 【答案】 3n+1
(2)
(3)
图6
16．（ 2009 年济宁市） 观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第
图形有 10 个小圆，第 3 个图形有 16 个小圆，第 4 个图形有 24 个小圆， …… ，依次规律，第 6 个图形有
个小圆．
…
第 1 个图形
第 2 个图形
第 3 个图形
【关键词】规律探究
【答案】 46
6．（ 2009 重庆綦江） 观察下列等式：
22
1.4 1 3 5 ； 2.52 22 3 7 ； 3.62 32 3 9 4.7 2 42 3 11 ；
10（ 2009 丽水市） 如图，图①是一块边长为 1，周长记为 P1 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边
长为 1 的正三角形纸板后得到图②， 然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板 2
（即其边长为前一
块被剪掉正三角形纸板边长的
1 ）后，得图③，④，… ，记第 n(n≥3) 块纸板的周长为 Pn，则 Pn-Pn-1= 2
这样一直做下去，得到了一组线段 CA 1， A 1C1， C1 A2 ， … ，则 CA 1=
C 4 A5
，
A5 C5
【关键词】勾股定理 .
【答案】 12 ， 5 . 54
图1
4．（ 2009 年桂林市、百色市） 如图，在 △ ABC 中，∠ A＝ ．∠ ABC 与∠ ACD 的
平分线交于点 A1，得∠ A1；∠ A1BC 与∠ A1CD 的平分线相
bn 2(1 a1)(1 a2 )...(1 an) ，则通过计算推测出 bn 的表达式 bn ＝ _______．
(用含 n 的代数式表示 ) 【关键词】规律探索
【答案】 n 2 n1
8．（ 2009 年淄博市） 如图，网格中的每个四边形都是菱形．如果格点三角形
ABC 的面积为 S，按照如图
所示方式得到的格点三角形 A1B1C1 的面积是 7S ，格点三角形 A2B2C2 的面积是 19S，那么格点三角形 A3B3 C3
▲ .
①
②
③
【关键词】三角形的周长
【答案】
n1
1 2
11（ 2009 恩施市） 观察数表
1
1
1
1 21
1 33 1
14 64 1 1 5 10 A 5 1 1 6 15 20 15 6 1
… ④
根据表中数的排列规律，则字母 【关键词】探索规律，相反数 【答案】 -10
A 所表示的数是 ____________．
A 2009B 2009C2009D2009 的面积用含 a、b 的代数式表示为
．
D
D1
D 2
C1
D3
C3
A2 A
C2 C
A3 A
1
B 3
B 2
B 1
B 第 20题图 3
【关键词】矩形 ,菱形 ,菱形的面积 ,归纳法
【答案】（ 1 ）2010 ab ． 2
18．（2009 年日照） 正方形 A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，… 按如图所示的方式放置．点
4
2
3
4
5
6
……
第 n 个数： 1
1
( 1)2
( 1)3
( 1)2 n 1
1
1
1
L1
．
n1
2
3
4
2n
那么，在第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数、第 13 个数中，最大的数是（
）
A ．第 10 个数
B ．第 11 个数
C．第 12 个数
D ．第 13 个数
【关键词】有理数的运算探索规律提
【答案】 ( 2n 1 , 2n 1).
A 1，A2，A3， …
和点 C1，C2， C3， … 分别在直线 y kx b (k＞ 0)和 x 轴上，已知点 B1(1， 1)，B2(3， 2)，
则 Bn 的坐标是 ______________ ．
y
A3
B3
A2
B2
A1
B1
O C1
C2
（第 17 题图）
C3 x
【关键词】坐标的意义 , 正方形的性质 , 确定一次函数解析式 ,不完全归纳法
……
从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：
4＋ 1) ＝ 3，
( 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋
1
)( 2010＋ 1) ＝
．
2＋ 1 3＋ 2 4＋ 3
200＋ 2009
5． (2009 年营口市 ) 计算： 31＋ 1＝ 4， 32＋ 1＝ 10， 33＋ 1＝ 28， 34＋ 1＝ 82，35＋ 1＝ 244，…，归纳计算结
形有
个．
5 个大三角形中白色三角
第1个
【关键词】三角形规律探索
第2个
第3个
【答案】 121
17．（ 2009 年宜宾） 如图，菱形 ABCD 的对角线长分别为 a、b ，以菱形 ABCD 各边的中点为顶点作矩形
A 1B 1C1D1，然后再以矩形 A 1B 1C1D 1 的中点为顶点作菱形
A 2 B2C2D2 ， …… ，如此下去，得到四边形
那么请你推测第 n 组应该有种子数（
）粒。
A、 2n 1
B 、 2n 1
【关键词】探索规律型
C、 2n
D、 n 2
【答案】 A
3．（ 2009 年江苏省） 下面是按一定规律排列的一列数：
第 1 个数： 1 1 1 ；
2
2
1
1
( 1)2
( 1)3
第 2 个数：
1
1
1
；
3
2
3
4
第 3 个数： 1 1 1 1 ( 1)2 1 ( 1)3 1 ( 1)4 1 ( 1)5 ；
16 … 这样的数称为 “正方形数 ”． 从图 7 中可以发现，任何一个大于 1
的 “正方形数 ”都可以看作两个相邻 “三角形数 ”之和．下列等式中，符合这一规律的是（
）
…
4=1+3
9=3+6 16=6+10 图7
A ．13 = 3+10 C．36 = 15+21
B ． 25 = 9+16 D ． 49 = 18+31
【答案】 A
4．（ 2009 年孝感） 对于每个非零自然数
n，抛物线 y x2
2n 1
x
1 与 x 轴交于 An、 Bn 两点，
n(n 1) n(n 1)
以 An Bn 表示这两点间的距离，则 A1B1 A2 B2 L A2009 B2009 的值是
2009 A．
2008 【关键词】探索规律
2008 B．
【关键词】正方形 .
【答案】 n
3．（ 2009 年泸州） 如图 1，已知 Rt△ ABC 中， AC=3 ，BC= 4，过直角顶点 C 作 CA 1⊥AB ，垂足为 A1， 再过 A 1 作 A 1C1⊥ BC，垂足为 C1，过 C1 作 C1A 2⊥ AB ，垂足为 A 2，再过 A2 作 A 2C2⊥ BC ，垂足为 C2，…，
【关键词】数形结合 ,找规律 【答案】 C
7．(2009 年福建省泉州市 )点 A 1、 A 2、 A 3、 …、 A n（ n 为正整数）都在数轴上 .点 A 1 在原点 O 的左边，
且 A 1O=1；点 A 2 在点 A 1 的右边，且 A 2A1=2；点 A3 在点 A 2 的左边，且 A 3A 2=3 ；点 A 4 在点 A 3 的右边，
4 块，像这
样依次地进行下去，到剪完某一次为止。那么
2007， 2008， 2009，2010 这四个数中 ______________可能
是剪出的纸片数 【关键词】整数的性质 .
【答案】 2008
2．（ 2009 仙桃） 如图所示，直线 y＝ x＋ 1 与 y 轴相交于点 A 1，以 OA1 为边作正方形 OA 1B1C1，记作第一 个正方形；然后延长 C1B 1 与直线 y＝ x ＋ 1 相交于点 A 2，再以 C1A 2 为边作正方形 C1A 2B2C2，记作第二个 正方形；同样延长 C2B2 与直线 y ＝x ＋ 1 相交于点 A3 ，再以 C2A 3 为边作正方形 C2A 3B 3C3，记作第三个正 方形； … 依此类推，则第 n 个正方形的边长为 ________________ ．