浙江省 高一数学 测试题
浙江省嘉兴市2023-2024学年高一上学期1月期末检测数学试题(含答案)
嘉兴市2023~2024学年第一学期期末检测高一数学试题卷（答案在最后）（2024.1）本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}24,3A x x B x x =≤<=≥，则A B = （）A.[)2,4 B.[)3,4 C.[)2,+∞ D.[)3,+∞【答案】B 【解析】【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}{}24,3A x x B x x =≤<=≥，所以A B ⋂{}34x x =≤<.故选：B .2.已知()3sin π5α+=，则sin α=（）A.45 B.35 C.45-D.35-【答案】D 【解析】【分析】应用诱导公式()sin πsin αα+=-，求解即可.【详解】由诱导公式()sin πsin αα+=-，且()3sin π5α+=，可得3sin 5α-=，即3sin 5α=-.故选：D.3.已知函数()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3f =（）A.14B.12C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 的解析式可求得()3f 的值.【详解】因为()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()()113113212442f f f -====.故选：B.4.已知(),,0,a b m ∈+∞，则“a b >”是“b m ba m a+>+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用作差法，得出b m ba m a+>+的等价条件()0()m a b a a m ->+，再分析充分性和必要性，即可得出结论.【详解】由于()()b m b m a b a m a a a m +--=++，则b m ba m a+>+成立，等价于()0()m a b a a m ->+成立，充分性：若a b >，且(),,0,a b m ∞∈+，则0,0a m a b +>->，则()0()m a b a a m ->+，所以b m ba m a+>+成立，满足充分性；必要性：若b m ba m a+>+，则()0()m a b a a m ->+成立，其中(),,0,a b m ∞∈+，且0a m +>，则可得0a b ->成立，即a b >成立，满足必要性；故选：C.5.已知,αβ都是锐角，()2510cos ,sin 510αβα+==，则cos β=（）A.10B.10 C.2D.10【答案】B 【解析】【分析】根据()βαβα=+-，结合同角三角关系以及两角和差公式运算求解.【详解】因为,αβ都是锐角，则()0,παβ+∈，则()sin ,cos 510αβα+==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+++⎣⎦51051010=⨯+⨯=.故选：B.6.设函数()323f x x x =-，则下列函数是奇函数的是（）A.()12f x ++B.()12f x -+C.()12f x --D.()12f x +-【答案】A 【解析】【分析】化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断可得出合适的选项.【详解】因为()323f x x x =-，对于A 选项，()()()32322312131233136323f x x x x x x x x x x ++=+-++=+++---+=-，令()313f x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()331133f x x x x x f x -=---=-+=-，则()12f x ++为奇函数，A 满足要求；对于B 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x -+=---+=-+--+-+32692x x x =-+-，令()322692f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()2020f =-≠，所以，函数()12f x -+不是奇函数，B 不满足条件；对于C 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x --=----=-+--+--32696x x x =-+-，令()323696f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()3060f =-≠，所以，函数()12f x --不是奇函数，C 不满足条件；对于D 选项，()()()323223121312331363234f x x x x x x x x x x +-=+-+-=+++----=--，令()3434f x x x =--，该函数的定义域为R ，则()4040f =-≠，所以，函数()12f x +-不是奇函数，D 不满足要求.故选：A.7.已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，ABC 是等腰直角三角形，,A B 为图象与x 轴的交点，C 为图象上的最高点，且3OB OA =，则（）A.()262f =B.()()190f f +=C.()f x 在()3,5上单调递减 D.函数()f x 的图象关于点5,02⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称【答案】D 【解析】【分析】根据C 为图象上的最高点，且点C 的纵坐标为1，ABC 为等腰直角三角形可以求出2AB =，进而求出周期，即求出ω，将点C 代入即可求出ϕ，从而确定函数()f x 解析式，再逐项判断.【详解】由ABC 为等腰直角三角形，C 为图象上的最高点，且点C 的纵坐标为1，所以2AB =．则函数()f x 的周期为4，由2π4ω=，0ω>，可得π2=ω，又3OB OA =，所以13,0,,022A B ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1,12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将点C 代入()πsin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得π1sin 4ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则ππ2π42k ϕ+=+，k ∈Z ．而0πϕ<<，则π4ϕ=，所以()ππsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,则()2ππ6s n i 624f ⎛⎫⨯+=-⎪⎝=⎭，A 错误；()()419sin s ππππ3π3πsin sin 92424i 4n f f ⎛⎫⎛⎫++⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭=⎝+=⎭，B 错误；若()3,5x ∈，则ππ7π11π,2444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，显然函数不是单调的，C 错误；()5π5πsin sin π02224f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，D 正确.故选：D.8.已知函数()e xf x x =+，()lng x x x =+，若()()12f x g x t ==，则2122x x t ++-的最大值为（）A.94B.2C.2e 12- D.23e 1e -【答案】A 【解析】【分析】由已知可得出()()ln g x f x =，分析函数()f x 的单调性，可得出12ln x x =，即可得出221222x x t t t ++-=+-，结合二次函数的基本性质可求得2122x x t ++-的最大值.【详解】因为函数e x y =、y x =均为R 上的增函数，所以，函数()e xf x x =+为R 上的增函数，()()ln ln e ln ln x g x x x x f x =+=+=，因为()()()122ln f x g x f x t ===，其中t ∈R ，所以，12ln x x =，故222212221992ln 22244x x t x x t t t t ⎛⎫++-=++-=+-=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12t =时等号成立，故2122x x t ++-的最大值为94.故选：A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用指对同构思想结合函数单调性得出12ln x x =，将所求代数式转化为以t 为自变量的函数，将问题转化为函数的最值来处理.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知幂函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则（）A.12α=B.()f x 的图象经过点()1,1C.()f x 在[)0,∞+上单调递增 D.不等式()f x x ≥的解集为{}1xx ≤∣【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意，代入法确定函数解析式，从而依次判断选项即可.【详解】由幂函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则24α=，得12α=，所以幂函数()12f x x ==，所以A 正确；又()11f ==，即()f x 的图象经过点()1,1，B 正确；且()f x 在[)0,∞+上单调递增，C 正确；不等式()f x x ≥x ≥，解得01x ≤≤，D 错误.故选：ABC.10.已知0a >，0b >，且1a b +=，则（）A.18ab ≥B.221a b +>C.11022a b ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D.11lnln 1a b+>【答案】CD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断A 选项；利用二次函数的基本性质可判断B 选项；利用不等式的基本性质可判断C 选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，取18a =，78b =，则71648ab =<，A 错；对于B 选项，因为0a >，0b >，且1a b +=，则10b a =->，可得01a <<，所以，111222a -<-<，则211024a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，因为()22222211112212,1222a b a a a a a ⎛⎫⎡⎫+=+-=-+=-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，B 错；对于C 选项，21111111102222222a b a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---=--=--≤ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为21024a b ab +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b a b =⎧⎨+=⎩时，即当12a b ==时，等号成立，所以，()1111lnln ln ln ln ln 414ab a b ab +==-≥-=>，D 对.故选：CD.11.已知函数()()22*sin cos kkk f x x x k =+∈N ，值域为kA ，则（）A.21,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B.()*,k k f x ∀∈N 的最大值为1C.*1,k k k A A +∀∈⊆N D.*k ∃∈N ，使得函数()k f x 的最小值为13【答案】AB 【解析】【分析】对于A ，利用换元法与二次函数的单调性即可判断；对于B ，利用指数函数的单调性即可判断；对于C ，利用幂函数的单调性即可判断；对于D ，结合ABC 选项的结论，求得3A ，从而得以判断.【详解】对于A ，因为22sin cos 1x x +=，故()2222sin cos 1cos cos kk k k x x x x+=-+今2cos x t =，则22sin cos (1),[0,1]k k k k x x t t t +=-+∈，当2k =时，222211(1)221222t t t t t ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[0,1]t ∈，211222y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以21,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故A 正确；对于B ，因为[0,1]t ∈，011t ≤-≤，则(1)(1)k t t -≤-且k t t ≤，故(1)11k k t t t t -+≤-+=，当且仅当0=t 或1t =时，(1)1k k t t -+=，所以()k f x 最大值为1，故B 正确；对于C ；因为[0,1]t ∈，011t ≤-≤，则11(1)(1),k k k k t t t t ++-≤-≤，即11(1)(1)k k k k t t t t ++-+≤-+，所以()()1min min k k f x f x +≤，由选项B 又知()1k f x +与()k f x 的最大值都为1，所以1k k A A +⊆，故C 错误；对于D ，当3k =时，233211(1)331324t t t t t ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[0,1]t ∈，211324y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以31,14A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又()()1min min k k f x f x +≤，所以当3k >时，()min 14k f x ≤，又21,12A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，易知{}11A =，故不可能存在*N k ∈使()k f x 最小值为13，故D 错误.故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用换元法将函数转化为二次函数，从而得解.12.设定义在R 上的函数()f x 满足()()()20,1f x f x f x ++=+为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2=⋅+x f x a b ，若()01f =-，则（）A.()10f =B.12a b +=-C.()21log 242f =- D.()2f x +为偶函数【答案】ABD【解析】【分析】由题意可得()()110f x f x ++-+=可判断A ；由()01f =-可得()21f =，列方程组，解出,a b 可判断B ；由函数的周期性、对称性和对数函数的运算性质可判断C ；由()()()()2,2f x f x f x f x +=--=-得()()22f x f x +=-可判断D .【详解】选项A ：因为()1f x +为奇函数，所以()()110f x f x ++-+=，即()f x 关于()1,0对称，又()f x 是定义在R 上的函数，则()10f =，故A 正确；选项B ：由()01f =-可得()21f =，则有120124121a b a a b a b b ⎧+==⎧⎪⇒⇒+=-⎨⎨+=⎩⎪=-⎩，故B 正确；选项C ：因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 的周期为4；因为224log 2450log 2441<<⇒<-<，即230log 12<<，所以()223log 24log 2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；因为()f x 关于()1,0对称，所以()()=2f x f x --，则2223381log 2log log 2233f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；选项D ：由()()()()2,2f x f x f x f x +=--=-得()()22f x f x +=-，即()2f x +为偶函数，故D 正确．故选：ABD.【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论（1）()()()f x a f b x f x +=-⇒关于2a bx +=轴对称，（2）()()()2f x a f b x c f x ++-=⇒关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，（3）()()()f x a f x b f x +=+⇒的一个周期为T a b =-，（4）()()()f x a f x b f x +=-+⇒的一个周期为2T a b =-.可以类比三角函数的性质记忆以上结论.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个扇形的弧长和面积都是2π3，则这个扇形的半径为________．【答案】2【解析】【分析】由扇形的面积公式求解即可.【详解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，所以2π3l =，112π2π2233S rl r ===，解得：2r =.故答案为：2.14.函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．【答案】(],0-∞【解析】【分析】根据指数函数的单调性即可得解.【详解】()1,01222,0xxx x f x x ⎧⎛⎫>⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪≤⎩，所以函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是(],0-∞.故答案为：(],0-∞.15.海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深()H t （单位：m ）与时间t （单位：h ）之间满足关系式：()()3sin 50H t t ωω=+>，且当地潮汐变化的周期为12.4h T =．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5m ，安全条例规定至少要有1.5m 的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留________h ．【答案】6215【解析】【分析】根据函数周期性可得5π31ω=，令() 6.5H t >，结合正弦函数性质分析求解即可.【详解】由题意可得：2π5π12.431ω==，则()5π3sin 531H t t =+，令()5π3sin 5 6.531H t t =+>，则5π1sin 312t >，可得π5π5π2π2π,6316k t k k +<<+∈Z ，解得62316231,53056k t k k +<<+∈Z ，设该船到达港口时刻为1t ，离开港口时刻为2t ，可知121224t t <<<，则0k =，即1262316231,,53056t t ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，所以最多可停留时长为62316231625653015⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭小时.故答案为：6215.16.若函数()212(0)11f x x x a a a x ⎛⎫=---> ⎪+-⎝⎭有两个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】102a +<<【解析】【分析】令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，即2211a t a t =-++，据此即可求解.【详解】函数的定义域为R ，令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，且该零点为正数，()22011ag t t a t =⇔=-++，根据函数()()210h t tt =≥和()()22101ah t a t t =-+≥+的图象及凹凸性可知，只需满足()()1200h h <即可，即：221515011022a a a a a -+<-++⇒--<⇒<<，又因为0a >，所以实数a 的取值范围是102a <<．故答案为：0a <<.【点睛】关键点点睛：本题令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，即2211a t a t =-++的分析.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{}{}2230,2A x x x B x x =--≥=≤．（1）求集合A ；（2）求()R A B ð．【答案】（1）{}13A x x x =≤-≥或（2）(){23}A B xx ⋃=-≤<R ∣ð【解析】【分析】（1）先求解2230x x -->，从而可得1x ≤-或3x ≥，从而可求解.（2）分别求出{}13A x x =-<<R ð，{}22B x x =-≤≤，再利用集合的并集运算从而可求解.【小问1详解】由题意得2230x x -->，解得3x ≥或1x ≤-，所以{1A xx =≤-∣或3}x ≥.【小问2详解】由（1）可得{}13A x x =-<<R ð，{}22B x x =-≤≤，所以(){23}A B xx ⋃=-≤<R ∣ð.18.如图，以Ox 为始边作角α与()0πββα<<<，它们的终边与单位圆O 分别交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，已知点P 的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求sin sin αβ-的值；（2）求tan2β的值．【答案】（1）15-（2）247-【解析】【分析】（1）由三角函数的定义可得出α的正弦值和余弦值，分析可得π2βα=-，利用诱导公式可求得sin β的值，由此可得出sin sin αβ-的值；（2）利用诱导公式求出cos β的值，可求得tan β的值，再利用二倍角的正切公式可求得tan 2β的值.【小问1详解】解：由三角函数的定义可得4cos 5α=-，3sin 5α=，将因为0πβα<<<，且角α、β的终边与单位圆O 分别交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，结合图形可知，π2βα=-，故π4sin sin cos 25βαα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故341sin sin 555αβ-=-=-.【小问2详解】解：由（1）可知4sin 5β=，且π3cos cos sin 25βαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，故sin 454tan cos 533βββ==⨯=，根据二倍角公式得22422tan 243tan21tan 7413βββ⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭．19.已知函数()()()22log 1log 1f x x x =+--．（1）求函数()f x 的定义域，并根据定义证明函数()f x 是增函数；（2）若对任意10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，关于x 的不等式()211221x xx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）定义域为()1,1-，证明见解析（2）(【解析】【分析】（1）由对数的真数大于零，可得出关于x 的不等式组，即可解得函数()f x 的定义域，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）分析可知，210121xx -≤<+，由()211221x xx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭可得出1121211221xx x xt t ⎧-<-⋅<⎪⎨--⋅<⎪+⎩，结合参变量分离法可得出()222221x x x t <<+，利用指数函数的单调性可求得实数t 的取值范围.【小问1详解】解：对于函数()()()22log 1log 1f x x x =+--，则1010x x +>⎧⎨->⎩，可得11x -<<，所以，函数()f x 的定义域为()1,1-，证明单调性：设1211x x -<<<，则有()()()()()()1221212222log 1log 1log 1log 1f x f x x x x x -=+---+--⎡⎤⎣⎦，()()()()1221211log 11x x x x +-=-+，由于1211x x -<<<，所以120x x -<，()()12110x x +->，()()12110x x -+>，并且()()()()()()121211222121111111x x x x x x x x x x x x +---+=-+--+--()1220x x =-<，则()()()()12121111x x x x +-<-+，于是()()()()1212110111x x x x +-<<-+，所以()()()()1221211log 011x x x x +-<-+，即：()()12f x f x <，所以函数()f x 在定义域()1,1-上单调递增．【小问2详解】解：当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2120112121x x x -≤=-<++，所以不等式()211221xxx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭恒成立等价于1121211221x x x xt t ⎧-<-⋅<⎪⎨--⋅<⎪+⎩对任意的10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，等价于()222221x x x t <<+在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．由10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12x ≤≤222x≤≤，())222112x x≤+≤=+，则()221221x x≤≤+，于是实数t 的取值范围是(．20.噪声污染问题越来越受到人们的重视．我们常用声压与声压级来度量声音的强弱，其中声压p （单位：Pa ）是指声波通过介质传播时，由振动带来的压强变化；而声压级p L （单位：dB ）是一个相对的物理量，并定义020lgp p L p =⨯，其中常数0p 为听觉下限阈值，且50210Pa p -=⨯．（1）已知某人正常说话时声压p 的范围是0.002Pa 0.02Pa ~，求声压级p L 的取值范围；（2）当几个声源同时存在并叠加时，所产生的总声压p 为各声源声压()1,2,3,,i p i n = 的平方和的算术平方根，即p =现有10辆声压级均为80dB 的卡车同时同地启动并原地急速，试问这10辆车产生的噪声声压级p L 是多少？【答案】（1）[]40,60dB P L ∈（2）()90dB p L =【解析】【分析】（1）因为P L 是关于p 的增函数结合声压p 的范围是0.002Pa 0.02Pa ~，即可得出答案；（2）由题意可得出08020lg i p p =⨯求出i p ，代入可求出总声压p ，再代入020lg p pL p =⨯，求解即可.【小问1详解】当30.002210Pa p -==⨯时，3521020lg 40dB 210P L --⨯=⨯=⨯；当20.02210Pa p -==⨯时，2521020lg 60dB 210P L --⨯=⨯=⨯；因为P L 是关于p 的增函数，所以正常说话时声压级[]40,60dB P L ∈．【小问2详解】由题意得：()4008020lg 10Pa ii p p p p =⨯⇒=⨯（其中1,2,3,,10i = ）总声压：()4010Pa p ==⨯(40001020lg 20lg 20490(dB)P p L p p ⨯=⨯=⨯=⨯+=故这10辆车产生的噪声声压级()90dB p L =．21.设函数()22cos 2sin cos 1(04)f x x x x ωωωω=--<<，若将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后得到曲线C ，则曲线C 关于y 轴对称．（1）求ω的值；（2）若直线y m =与曲线()y f x =在区间[]0,π上从左往右仅相交于,,A B C 三点，且2AB BC =，求实数m 的值．【答案】（1）32ω=（2）2【解析】【分析】（1）方法一：利用三角恒等变换化简可得()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据图象变换结合对称性分析求解；方法二：利用三角恒等变换化简可得()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意可知函数()f x 关于直线π12x =-对称，根据对称性分析求解；（2）方法一：根据题意结合图象可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，进而结合对称性分析求解；方法二：根据题意结合图象可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，1πππ3,442t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，可得4π2π3t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，进而可得结果.【小问1详解】方法一：因为()()22cos 12sin cos f x x x xωωω=--cos2sin2x x ωω=-π24x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题意可知：曲线C 为函数πππ212124y f x x ω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为曲线C 关于y 轴对称，则ππ2π,124k k ω⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭Z ，解得36,2k k ω=-∈Z ，又因为04ω<<，所以30,2k ω==；方法二：因为()()22cos 12sin cos f x x x xωωω=--cos2sin2x x ωω=-π24x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题意可知：函数()f x 关于直线π12x =-对称，则ππ2π,124k k ω⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭Z ，解得36,2k k ω=-∈Z ，又因为04ω<<，所以30,2k ω==.【小问2详解】方法一：由（1）可知：()π34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数()f x 在[]0,π上的图象，如图所示：设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，由2AB BC =，得2124π39x x T -==①，又因为,A B 两点关于直线π4x =对称，则12π2x x +=②由①②可得121π3617π36x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，于是()1ππ33642m f x ⎛⎫==⨯+=⎪⎝⎭；方法二：由（1）可知：()π34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，根据函数()f x 在[]0,π上的图象，如图所示：由题意可知：1π0,012m x ><<，且312π3x x T -==，又因为2AB BC =，得2124π39x x T -==，则214π9x x =+，而()()12f x f x =12ππ3344x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得111π4πππ4πcos 3cos 3cos 349443x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，令1πππ3,442t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则4πcos cos 3t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得4π2π3t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即π3t =，故()()112342m f x x t ==+==．22.已知函数()2π4cos2f x x x a x =--．（1）若1a =-，求函数()f x 在[]0,2上的值域；（2）若关于x 的方程()4f x a =-恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，求()()131278f x f x x --的最大值，并求出此时实数a 的值．【答案】（1）[]5,1-（2）12，2a =【解析】【分析】（1）根据2(2)4y x =--和πcos2y x =的单调性可得()f x 在[]0,2上单调递减，进而可求解；（2）构造()()4F x f x a =-+，根据()()4F x F x -=，可得()F x 关于直线2x =对称，进而可得13224x x x +==，即可代入化简得()()131278f x f x x --的表达式，即可结合二倍角公式以及二次函数的性质求解.【小问1详解】若()2π1,(2)cos42a f x x x =-=-+-，因为函数2(2)4y x =--和πcos 2y x =均在[]0,2上单调递减，所以函数()f x 在[]0,2上单调递减，故()()min max ()25,()01f x f f x f ==-==，所以函数()f x 在[]0,2上的值域为[]5,1-．【小问2详解】()2π4(2)cos 12f x a x a x ⎛⎫=-⇔-=+ ⎪⎝⎭，显然：当2x ≠时，2π(2)0,0cos122x x ->≤+≤，由于方程()4f x a =-有三个不等实根123,,x x x ，所以必有0a >，令()()4F x f x a =-+，则()2π4cos42F x x x a x a =---+，显然有()20F =，由()()()22ππ4(4)44cos 4444cos 22F x x x a x a x x a x a -=------+=-+--，得到()()4F x F x -=，所以函数()F x 关于直线2x =对称，由()()()1230F x F x F x ===，可得：13224x x x +==，于是()()231111π44cos2f x f x x x a x =-=--，()21111248cosπf x x x a x =--，()()221311111111π27848cosπ74cos 82f x f x x x x a x x x a x ⎛⎫--=------ ⎪⎝⎭()22111ππ32122cos 17cos 22x a x x ⎛⎫=--+--- ⎪⎝⎭①，由()10F x =可得：()211π2cos12x a x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭②，将②代入①式可得：()()2131111πππ2783cos 1122cos 17cos 222f x f x x a x a x ⎛⎫⎛⎫--=-++--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211ππ2cos 4cos 21222a x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭21π2cos 112122a x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当1πcos12x =，即()14x k k =∈N 时等号成立，由于()4f x a =-恰有三个不等实根，22x =且123x x x <<，所以10x =，此时34x =，由()211π2cos 12x a x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭可得()4co 0s 1a =+，故2a =.【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.（3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.。
浙江省宁波市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题卷含答案
镇海2023学年第二学期期末考试高一数学试题卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点P 是椭圆2212x y +=上一动点，则点P 到两焦点的距离之和为（）A.2B.C. D.4【答案】C 【解析】【分析】由椭圆的定义求解即可.【详解】由2212x y +=可得：a =，由椭圆的定义可知：点P到两焦点的距离之和为2a =.故选：C .2.若{,,}a b c是空间中的一组基底，则下列可与向量,2a c a c +-构成基底的向量是（）A.aB.2a b+C.2a c+D.c【答案】B 【解析】【分析】借助空间中基底定义，计算该向量能否用,2a c a c +-表示即可得.【详解】由{,,}a b c 是空间中的一组基底，故,,a b c两两不共线，对A ：有()()1223a a c a c ⎡⎤=++-⎣⎦，故A 错误；对B ：设()()22a b m a c n a c +=++- ，则有()()22a b m n a m n c +=++-，该方程无解，故2a b +可与,2a c a c +-构成基底，故B 正确；对C ：有()()12423a c a c a c ⎡⎤+=+--⎣⎦，故C 错误；对D ：有()()123c a c a c ⎡⎤=+--⎣⎦，故D 错误.故选：B.3.l 为直线，α为平面，则下列条件能作为l α∥的充要条件的是（）A.l 平行平面α内的无数条直线B.l 平行于平面α的法向量C.l 垂直于平面α的法向量D.l 与平面α没有公共点【答案】D 【解析】【分析】根据直线与平面平行的定义，由于定义是充要条件得到选项．【详解】对A ：没有强调l α⊄，故A 错误；对B ：l 平行于平面α的法向量，可得l α⊥，故B 错误；对C ：同A 一样，没有强调l α⊄，故C 错误；对D :根据直线与平面平行的定义：直线与平面没有公共点时，直线与平面平行.所以“直线l 与平面α没有公共点”是“l α∥”的充要条件.故D 正确.故选：D4.己知 (2,2,1)(1,1,0)a b ==，，则a 在b 上的投影向量的坐标为（）A.(1,1,0)B.(1,2,0)C.(2,2,0)D.(1,1,1)【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量的概念求解即可.【详解】向量a 在b上的投影向量为：()()21,1,02,2,0a b b bb⋅⋅⨯==，故选：C5.点()()1122,,,P x y Q x y 为直线20kx y -+=上不同的两点，则直线111:1l x x y y -=与直线222:1l x x y y -=的位置关系是（）A.相交B.平行C.重合D.不确定【答案】A 【解析】【分析】利用这两直线的斜率来结合已知条件，即可以作出判断.【详解】由点()()1122,,,P x y Q x y 为直线20kx y -+=上不同的两点，则直线111:1l x x y y -=与直线222:1l x x y y -=的斜率存在时一定为1212x x y y ，，可以把这两个斜率看成直线上两点到原点的斜率的倒数，由已知可得OP OQ k k ≠，则1212x x y y ≠，即两直线不可能平行与重合，则只能相交;若直线111:1l x x y y -=与直线222:1l x x y y -=的斜率有一个不存在，则另一个斜率必存在，也能判定两直线相交；故选：A.6.如图，平行六面体各棱长为1，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，动点P 在该几何体内部，且满足1(1)(,R)AP xAB y AD x y AA x y =++--∈ ，则||AP的最小值为（）A.4B.3C.62D.12【答案】B 【解析】【分析】由平面向量共面定理可知：点P 在平面1BDA 内，则||AP的最小值即为点P 到平面1BDA 的距离，求出三棱锥1A A BD -为正四面体，过点A 作AH ⊥平面1BDA ，求解AH 即可得出答案.【详解】因为1(1)(,R)AP xAB y AD x y AA x y =++--∈，则()()111AP AA x AB AA y AD AA -=-+- ，即111A P xA B y A D =+ ，由平面向量共面定理可知：点P 在平面1BDA 内，则||AP的最小值即为点P 到平面1BDA 的距离，连接11,,,BD DA A B 因为平行六面体各棱长为1，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，所以111BD DA A B ===，所以三棱锥1A A BD -为正四面体，过点A 作AH ⊥平面1BDA ，因为1A H ⊂平面1BDA ，所以AH ⊥1A H ，如图，所以1223323A H ==⨯=，所以3AH ===，所以||AP的最小值为3AH =.故选：B .7.实数,x y 满足2222x y x y +=-，则|3|x y -+的最小值为（）A.3B.7C. D.3+【答案】A 【解析】【分析】化简2222x y x y +=-可得()()22112x y -++=，|3|x y -+表示为圆上点到直线30x y -+=【详解】化简2222x y x y +=-可得()()22112x y -++=，即(),x y 在圆上，则|3|x y -+表示为圆上点到直线30x y -+=倍，圆心()1,1-到直线距离为d =则|3|x y -+的最小值为3-=.故选：A8.在棱长为2的正四面体O ABC -中，棱,OA BC 上分别存在点,M N （包含端点），直线MN 与平面ABC ，平面OBC 所成角为θ和ϕ，则sin sin θϕ+的取值范围是（）A.2,33⎡⎢⎣⎦B.2,33⎡⎢⎣⎦C.,33⎣⎦D.,33⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，然后利用空间向量得到3sin sin θϕ+=最后根据,a b 范围求sin sin θϕ+的取值范围即可.【详解】如图，取ABC 的中心1O ，连接1OO ，取BC 中点F ，连接1O F ，过点1O 作1O E BC ∥交AB 于点E ，以1O 为原点，分别以111,,O E O F O O 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，因为O ABC -为正四面体，所以13O A =，13O F =，13O O =，()10,0,0O，1,,03B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,3O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，10,0,3O O ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,,33OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,,33OC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设230,3M a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,,03N b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，230,3a ⎡∈⎢⎣⎦，[]1,1b ∈-，则(),MN b a =，由题意得1O O uuu r可以作为平面ABC 的一个法向量，则113sin a MN O O MN O Oθ⋅==，设平面OBC 的法向量为(),,m x y z =，033033m OB x y z m OC x y z ⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，则0x =，令y =4z =，所以4m ⎛= ⎝⎭ ，33332sin a m MNm MNϕ--⋅==33sin sin θϕ-+=因为0,3a ⎡∈⎢⎣⎦，[]1,1b ∈-，所以[]2332,3a -+∈，[]20,1b ∈，⎤⎦，3sin sin ,33θϕ+=⎥⎣⎦.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用相似设出点M 的坐标，然后利用空间向量的方法求出线面角，最后求范围即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．9.已知椭圆222:14x y C a +=的焦点分别为12,FF ，焦距为P 为椭圆C 上一点，则下列选项中正确的是（）A.椭圆C 的离心率为53B.12F PF △的周长为3C.12F PF ∠不可能是直角D.当1260F PF ∠=︒时，12F PF △的面积为3【答案】AD【解析】【分析】先确定椭圆的方程，再根据方程分析椭圆的性质.【详解】由题意，焦距为2c =⇒c =，又2<，所以椭圆焦点必在x 轴上，由245a -=3a ⇒=.所以椭圆的离心率3c e a ==，故A 正确；根据椭圆的定义，12F PF △的周长为226a c +=+，故B 错误；如图：取()0,2M 为椭圆的上顶点，则()()123,23,250MF MF ⋅=-⋅--=-<,所以12F MF ∠为钝角，所以椭圆上存在点P ，使得12F PF ∠为直角，故C 错误；如图：当1260F PF ∠=︒时，设11PF t =，22PF t =，则1222121262cos6020t t t t t t +=⎧⎨+-︒=⎩⇒12221212620t t t t t t +=⎧⎨+-=⎩⇒12163t t =，所以12121116343sin 6022323F PF S t t =︒=⨯⨯=，故D 正确.故选：AD10.已知圆221:(1)(2)9C x y a -+-=，圆2222:82120,C x y x ay a a +-+++=∈R ．则下列选项正确的是（）A.直线12C C 恒过定点(3,0)B.当圆1C 和圆2C 外切时，若,P Q 分别是圆12,C C 上的动点，则max ||10PQ =C.若圆1C 和圆2C 共有2条公切线，则43a <D.当13a =时，圆1C 与圆2C 相交弦的弦长为2【答案】ABD 【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线12C C 的方程，即可判断A ；根据圆1C 和圆2C 外切求出a 的值，数形结合，可判断B ；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C ；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D.【详解】对于A ，由圆221:(1)(2)9C x y a -+-=，圆2222:82120,C x y x ay a a +-+++=∈R ，可知()()121,2,4,C a C a -，故直线12C C 的方程为(4)y a a x +=--，即()3y a x =--，即得直线12C C 恒过定点(3,0)，A 正确；对于B ，2222:82120,C x y x ay a a +-+++=∈R 即()()222:44,C x y a a -++=∈R ，当圆1C 和圆2C 32=+，解得43a =±，当43a =时，如图示，当12,,,P C C Q 共线时,max 12||32510PQ C C =++==；同理求得当43a =-时，max ||10PQ =，B 正确；对于C ，若圆1C 和圆2C 共有2条公切线，则两圆相交，则123232C C -<<+，即15<<，解得4433a -<<，C 错误对于D ，当13a =时，两圆相交，2212:(1)(93C x y -+-=，()2221:443C x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，将两方程相减可得公共弦方程596203x y --=，则121,3C ⎛⎫⎪⎝⎭到596203x y --=4=，则圆1C 与圆2C相交弦的弦长为2=，D 正确，故选：ABD11.埃舍尔是荷兰著名的版画家，《哈利波特》《盗梦空间》《迷宫》等影片的灵感都来源于埃舍尔的作品．通过著名的《瀑布》（图1）作品，可以感受到形状渐变、几何体组合和光学幻觉方面的魅力．画面中的两座高塔上方各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2），其可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造．如图4，,,,(1,2,3)n n n n A B C D n =分别为埃舍尔多面体的顶点，,(1,2,3)n n P Q n =分别为正方形边上的中点，埃舍尔多面体的可视部分是由12个四棱锥构成．为了便于理解，图5中构造了其中两个四棱锥11122A PE P E -与22131,,(1,2)n n A P E P F E F n -=分别为线段的中点．左塔上方是著名的“三立方体合体”（图3），取棱长为2的正方体ABCD A B C D -''''的中心O ，以O 为原点，,,x y z 轴均平行于正方体棱，建立如图6所示的空间直角坐标系，将正方体分别绕,,x y z 轴旋转45︒，将旋转后的三个正方体,1,2,3n n n n n n n n A B C D A B C D n ''''-=（图7，8，9）结合在一起便可得到“三立方体合体”（图10），下列有关“埃舍尔多面体”和“三立方体合体”的说法中，正确的是（）A.在图5中，1322A P E P ⊥B.在图5中，直线12Q A 与平面122A E P 所成角的正弦值为63C.在图10中，设点nA '的坐标为(),,,1,2,3n n n x y z n =，则()122239n n n n x y z =∑++=D.在图10中，若E 为线段22B C 上的动点（包含端点），则异面直线2D E 与23A A 所成角余弦值的最大值为22【答案】BCD 【解析】【分析】利用建立空间直角坐标系，结合空间向量法可以解决各个问题.【详解】对A ，在图5中，如图建系，设1231OP OP OP ===，则()10,1,1A ，()31,0,0P ，()20,1,0P ，2111,,222E ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以()13221111,1,1,,,222A P E P ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，则()132********1,1,1,,02222222A P E P ⎛⎫⋅=--⋅-=-+=≠ ⎪⎝⎭ ，13A P 与22E P 不垂直，故A 错误；对B ，由图知：()10,0,1Q -，()21,1,0A ，()10,1,1A ，1111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭，()20,1,0P 则()121,1,1Q A = ，()120,0,1A P =-，22111,,222E P ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，设平面122A E P 的法向量为(),,n x y z =，则122200n A P n E P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得01110222z x y z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令1y =得，01z x ==，，即()01,1n =，，又由121212cos ,3Q A nQ A n Q A n⋅==，所以直线12Q A 与平面122A E P所成角的正弦值为3，故B 正确；对C ，在平面直角坐标系中，正方形绕中心旋转45︒，1A 坐标由()11，变为()，所以结合图形可知：点1A '的坐标为(1,0,2,点2A '的坐标为(0,1,2,-点3A '的坐标为)2,0,1,-则()()()()322211212129n n n n xy z =++=+++++=∑，故C 正确；对D ，由图知：)22,1,0A -，)22,1,0B ，(22C ,(20,2D -,)32,0,1A ,则()2301,1A A =，，由E 为线段22B C 上的动点（包含端点），则可设222C E C B λ=，[]0,1λ∈，所以())222222220,2,02,0,22,2,2D E D C C E D C C B λλλλ=+=+=+-=-，则22322322223222cos ,44221D E A A D E A A D E A A λλλλ⋅--==⋅+⋅+2t λ=，22t ∈，则()223222cos ,322121221212333t D E A A tt tt ==⎛⎫-+-+-+⎪⎝⎭，由1221,2t ⎤∈⎥⎣⎦，得2212221,32318t ⎛⎛-≥-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭即22322cos ,=211121232318333D E A A t=≤⎛⎫⨯+-+⎪⎝⎭ 所以异面直线2D E 与23A A 所成角余弦值的最大值为22，故D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：就是针对旋转后的点的空间坐标表示，这里先通过借助平面旋转时的坐标变化关系，再来写空间旋转后的点的坐标表示，只有表示出各点坐标，再就是借助空间向量的运算就能求解各选项问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在空间直角坐标系中，点(2,0,0)A 为平面α外一点，点(0,1,1)B 为平面α内一点．若平面α的一个法向量为(1,1,2)-，则点A 到平面α的距离是_______．【答案】62【解析】【分析】根据条件，利用点到面的距离的向量法，即可求出结果.【详解】由题知(2,1,1)AB =-，又平面α的一个法向量为(1,1,2)n =-，所以点A 到平面α的距离为62AB n d n ⋅==，故答案为：2.13.已知点P 是直线80-+=x y 上的一个动点，过点P 作圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，与圆切于点,M N ，则cos MPN ∠的最小值是_______．【答案】34##0.75【解析】【分析】结合切线的性质与二倍角公式可将求cos MPN ∠的最小值转化为求sin MPC ∠的最大值，结合三角函数定义与点到直线距离公式计算即可得.【详解】由题意可得PM CM ⊥、PN CN ⊥，MPC NPC ∠=∠，设MPC α∠=，则2MPN α∠=，则2cos cos 212sin MPN αα∠==-，由()()22:114C x y -+-=可得圆心为()1,1C ，半径为2r =，则2sin MC PCPC α==，又min PC ==，则()max min 2sin 4PC α===，则()22min 23cos 12sin 1244MPN α⎛⎫∠=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：34.14.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别是12(,0),(,0)F c F c -，下顶点为点()0,M b -，直线2MF 交椭圆C 于点N ，设1△MNF 的内切圆与1NF 相切于点E ，若122NE F F ==，则椭圆C 的离心率为_______，1△MNF 的内切圆半径长为_______．【答案】①.12##0.5②.5【解析】【分析】借助切线长定理与椭圆性质可得12F E FF =，从而可结合椭圆定义得到a 的值，即可得其离心率；借助余弦定理的推论可得三角形各边长，结合面积公式运用等面积法即可求取内切圆半径.【详解】设1△MNF 的内切圆与NM 、1MF 相切于点F ，G ，由切线长定理可得11F E FG =，MF MG =，NE NF =，又12MF MF a ==，则12FG FF =，故12F E FF =，由椭圆定义可知122NF NF a +=，即122222NE EF NF NE FF NF NE a ++=++==,故2a NE ==，又1222F F c ==，则12c e a ==；则2π6OMF ∠=，故12π3F MF ∠=，设1EF m =，则2422NF m m =--=-，即12NF m =+，4NM m =-，则有()()()22222111442πcos 32224m m MF MN NF MF MN m +--++-==⨯⋅⨯⨯-，计算可得45m =，则()11π24sin 235MNF S m =⨯⨯-= ，又184MNF C a == ，则11412MNF MNF S r C r =⋅= ，即有45r =，即5r =.故答案为：12；5.【点睛】关键点点睛：本题关键点一个是借助切线长定理与椭圆性质得到12F E FF =，从而可结合椭圆定义得到a 的值，第二个是借助等面积法求取内切圆半径.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤．15.已知直线l 经过点(4,4)A ，且点(5,0)B 到直线l 的距离为1．（1）求直线l 的方程；（2）O 为坐标原点，点C 的坐标为(6,3)-，若点P 为直线OA 上的动点，求||||PB PC +的最小值，并求出此时点P 的坐标．【答案】（1）4x =或158920x y +-=（2）10，1515,77P ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）考虑直线l 的斜率存在和不存在情况，存在时，设直线方程，根据点到直线的距离求出斜率，即得答案.（2）确定(6,3)-关于直线OA 的对称点，数形结合，利用几何意义即可求得答案.【小问1详解】由题意知直线l 经过点(4,4)A ，当直线斜率不存在时，方程为4x =，此时点(5,0)B 到直线l 的距离为1，符合题意；当直线l 斜率存在时，设方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k --+=，则由点(5,0)B 到直线l 的距离为11=，解得158k =-，即得15604088x y --++=，即158920x y +-=，故直线l 的方程为4x =或158920x y +-=；【小问2详解】由点(4,4)A ，可得直线OA 的方程为y x =，故点(5,0)B 关于y x =的对称点为1(0,5)B ，连接1PB ，则1PB PB =，则11||||||||||10PB PC PB PC B C +=+≥==，当且仅当1,,B P C 共线时，等号成立，即||||PBPC +的最小值为10，此时1B C 的方程为53455063y x x +=+=-+-，联立y x =，解得157x y ==，即151577P ,⎛⎫ ⎪⎝⎭.16.如图，正三棱柱111ABC A B C -所有的棱长均为2，点D 在棱11A B 上，且满足11123A D A B =，点E 是棱1BB 的中点．（1）证明：//EC 平面1AC D ；（2）求直线AE 与平面1AC D 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）65【解析】【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行，也可利用空间向量求线面角的大小.【小问1详解】如图：取AB 的中点O ，因为三棱柱是正三棱柱且棱长为2，故以O 为原点，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -，()3,0C ，()13,2C ，1,0,23D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,1E ，所以4,0,23AD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，113,03DC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3,1EC =--.设平面1AC D 的法向量为(),,n x y z =，由1n ADn DC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒()()4,,,0,2031,,3,003x y z x y z ⎧⎛⎫⋅= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩⇒460330x z x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取()6n =-.因为()()16EC n ⋅=--⋅-9360=-++=，又直线EC ⊄平面1AC D ，所以//EC 平面1AC D .【小问2详解】因为()2,0,1AE =，设直线AE 与平面1AC D 所成的角为θ，则sin θcos ,n AE n AE n AE ⋅===⋅5=.17.已知圆C 的圆心在x轴上，且过(-．（1）求圆C 的方程；（2）过点(1,0)P -的直线与圆C 交于,E F 两点（点E 位于x 轴上方），在x 轴上是否存在点A ，使得当直线变化时，均有PAE PAF ∠=∠？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=（2）存在，且()4,0A -【解析】【分析】（1）设出圆的方程，借助代入所过点的坐标计算即可得；（2）圆问题可转化为在x 轴上是否存在点A ，使0AE AF k k +=，设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与斜率公式计算即可得.【小问1详解】设圆C 为()222x a y r -+=，则有()()2222212a r a r ⎧--+=⎪⎨⎪-=⎩，解得24a r =⎧⎨=⎩，故圆C 的方程为224x y +=；【小问2详解】由题意可得，直线EF 斜率不为0，故可设:1EF l x my =-，()11,E x y ，()22,F x y ，联立2214x my x y =-⎧⎨+=⎩，有()221230m y my +--=，2224121216120m m m ∆=++=+>，12221my y m +=+，12231y y m -=+，设(),0A t ，1t ≠-，由PAE PAF ∠=∠，则有0AE AF k k +=，即()()()()12211212120y x t y x t y yx t x t x t x t -+-+==----，即()1221120y x y x t y y +-+=，()()()()12211212211211y x y x t y y y my y my t y y +-+=-+--+()()()()1212222216216210111m t m m t m my y t y y m m m +--+-=-++=-==+++，即()()621240m m t m t ++=+=，则当4t =-时，0AE AF k k +=恒成立，故存在定点()4,0A -，使得当直线变化时，均有PAE PAF ∠=∠.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，1π4B BC ∠=，平面11ABB A ⊥平面11CBB C ．（1）求证：1AC BB ⊥；（2）若12BB ==，点E 是线段AB 的中点，（i ）求平面1ECC 与平面1ACC 夹角的余弦值；（ii ）在平面11ABB A 中是否存在点P ，使得14PB PB +=且1PC PC =P 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）答案见解析（2）（i ）10；（ii ）存在，(2,0,0)P -【解析】【分析】（1）用线面垂直的判定定理证明BB 1⊥平面AOC ，后转移到线线垂直即可．（2）（i ）空间向量解题，先求出平面1ECC 与平面1ACC 的法向量，后按照夹角公式求解即可．（ii ）设假设存在(,0,)P x z ,若1PC PC =22560x z x +++=（∗）.1142PB PB BB +=>=,则根据椭圆定义知道P 的轨迹为椭圆，求出轨迹方程为：22143x z +=，整理得22334z x =-,联立（∗），解出即可【小问1详解】如图，过A 作1BB 的垂线AO ，交1BB 于O ，连接OC ，则,AO OB AO OC ⊥⊥．ABC 为等边三角形，则AB AC =，又AO AO =，则Rt Rt AOB AOC ≅ ，则BO CO =，则π4OCB ∠=，则π2COB ∠=，即11,,B B CO B B AO CO AO O ⊥⊥= ，,CO AO ⊂平面AOC ，则1BB ⊥平面AOC ，AC ⊂平面AOC ，则1AC BB ⊥．【小问2详解】（i ）由(1)可知OB ,OA ,OC 两两垂直，则可以O 为原点，建立如图所示空间坐标系O -xyz .122BB ==,点E 是线段AB 的中点，则2AB BC CA ===1OA OB OC ===．1111(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(2,1,0),(,0,22A B C B C E --，111(2,0,0),(0,1,1),(,1,)22CC CA CE =-=-=- .设平面1ECC 法向量(,,)m x y z = ，则100m CE m CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1102220x y z x ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩解得012x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故(0,1,2)m = ；同理平面1ACC 法向量(0,1,1)n = .则cos ,2510m n m n m n ⋅==⋅ ，设平面1ECC 与平面1ACC 夹角θ,则310cos 10θ=．（ii ）平面11ABB A 中,假设存在(,0,)P x z ,若15PCPC =222215(2)1x z x z ++=--++，整理得，22560x z x +++=（∗）.1142PB PB BB +=>=,则根据椭圆定义知道P 在以1BB 为焦距的椭圆上，且1142,22PB PB a c BB +====，解得2,1,3a c b ===则P 的轨迹方程为：22143x z +=，整理得22334z x =-,与（∗）联立方程组.2222560334x z x z x ⎧+++=⎪⎨=-⎪⎩，解得120x z =-⎧⎨=⎩，22180)x z =-<（，舍去．故在平面11ABB A 中存在点P ，使得14PB PB +=且1PCPC =P 坐标为(2,0,0)-．19.在空间直角坐标系O xyz -中，己知向量(,,)u a b c = ，点()0000,,P x y z ．若直线l 以u 为方向向量且经过点0P ，则直线l 的标准式方程可表示为000(0)x x y y z z abc a b c---==≠；若平面α以u 为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，一般式方程可表示为0ax by cz d +++=．（1）若平面1:210x y α+-=，平面1:210y z β-+=，直线l 为平面1α和平面1β的交线，求直线l 的单位方向向量（写出一个即可）；（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为22αβγ、、，其中平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)-，(1,5,2)-，平面2:4y z β+=，平面:(1)(2)30mx m y m z γ+++++=，求实数m 的值；（3）若集合{}(,,)|4,4,4M x y z x y y z z x =+≤+≤+≤，记集合M 中所有点构成的几何体为S ，求几何体S 的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小．【答案】（1）212,,333⎛⎫--⎪⎝⎭（2）1m =-（3）体积为128，相邻两个面（有公共棱）所成二面角为2π3【解析】【分析】（1）记平面1α，1β的法向量为11(1,2,0),(0,2,1)αβ==-，设直线l 的方向向量(,,)l x y z = ，由直线l 为平面1α和平面1β的交线，则1l α⊥，1l β⊥ ，列出方程即可求解；（2）设2:α10ax by cz +++=，由平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)-，(1,5,2)-，列出方程中求得2:4x y α+=，记平面22αβγ、、的法向量为22(1,1,0),(0,1,1),(,1,2)m m m αβγ===++ ，求出2α与2β交线方向向量为()1,1,1p =- ，根据p γ⊥ ，即可求得m 的值；（3）由题可知，S 由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，即可计算出体积，设几何体S 相邻两个面（有公共棱）所成二面角为()0,πθ∈，由题得出平面EBC 和平面ECD 的法向量，根据两平面夹角的向量公式计算即可．【小问1详解】记平面1α，1β的法向量为11(1,2,0),(0,2,1)αβ==-，设直线l 的方向向量(,,)l x y z = ，因为直线l 为平面1α和平面1β的交线，所以1l α⊥，1l β⊥ ，即112020l x y l y z αβ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取2x =，则(2,1,2)l =-- ，所以直线l 的单位方向向量为212,,333⎛⎫--⎪⎝⎭．【小问2详解】设2:α10ax by cz +++=，由平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)-，(1,5,2)-，所以4103105210a a b c a b c +=⎧⎪+-+=⎨⎪-+++=⎩，解得14140a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，即2:4x y α+=，所以记平面22αβγ、、的法向量为22(1,1,0),(0,1,1),(,1,2)m m m αβγ===++ ，与（1）同理，2α与2β确定的交线方向向量为()1,1,1p =-，所以p γ⊥ ，即()1210p m m m m γ⋅=-+++=+= ，解得1m =-．【小问3详解】由集合{}(,,)|4,4,4M x y z x y y z z x =+≤+≤+≤知，S 由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，如图所示，13224433V =⨯⨯⨯=正四棱锥，3244461283S V =⨯⨯+⨯=，设几何体S 相邻两个面（有公共棱）所成二面角为()0,πθ∈，平面:40EBC x z +-=，设平面EBC 法向量1(1,0,1)n = ，平面:40ECD y z +-=，设平面ECD 法向量2(0,1,1)n = ，所以121cos cos ,2n n θ== ，所以几何体S相邻两个面（有公共棱）所成二面角为2π3．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是作出空间图形，求出相关法向量，利用二面角的空间向量求法即可.。
2023-2024学年浙江省杭州高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年浙江省杭州高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}23M x x =-≤≤，{}ln 1N x x =≥，则M N ⋂=（）A ．[]2,0-B ．[)2,e -C ．[]2,e -D ．[]e,3【正确答案】D【分析】由对数函数单调性解不等式，化简N ，根据交集运算求解即可.【详解】因为{}ln 1{|e}N x x x x =≥=≥，{}23M x x =-≤≤,所以[e,3]M N ⋂=，故选：D 2．已知02πα<<，02βπ<<，则“αβ=”是“sin 2sin 2αβ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可.【详解】依题意02πα<<，02βπ<<，若αβ=，则22αβ=，故sin 2sin 2αβ=，即“αβ=”可推出“sin 2sin 2αβ=”；若sin 2sin 2αβ=，结合02απ<<，02βπ<<，则有22αβ=，或者22αβπ+=，故αβ=或2παβ+=，即“sin 2sin 2αβ=”推不出“αβ=”.故“αβ=”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件.故选：A.3．ABC 中，角,A B的对边分别为,a b ，且3A π=，a 4b =，那么满足条件的三角形的个数有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【正确答案】C【分析】利用余弦定理求出c 的值即可求解.【详解】因为在ABC 中，3A π=，a =，4b =，由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，所以214164c c =+-，也即2420c c -+=，解得：2c =2个，故选.C4．已知曲线12π:sin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，2:sin C y x =，则下面结论正确的是（）A ．把2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线1C B ．把2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π3个单位长度，得到曲线1C C ．把2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线1C D ．把2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π3个单位长度，得到曲线1C 【正确答案】C【分析】根据函数图像的伸缩变换与平移变换的法则，即可得解．【详解】已知曲线2:sin C y x =，把曲线2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线sin 2y x =，再把曲线sin 2y x =向左平移π3个单位长度，得到曲线π2πsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即曲线1C .故选：C.5．用二分法判断方程32330x x +-=在区间()0,1内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：30.750.421875=，30.6250.24414=）（）A ．0.825B ．0.635C ．0.375D ．0.25【正确答案】B【分析】设3()233f x x x =+-，由题意可得()f x 是R 上的连续函数，由此根据函数零点的判定定理求得函数()f x 的零点所在的区间．【详解】设3()233f x x x =+-，(0)30f ∴=-<，(1)23320=+-=>f ，3(0.5)20.530.530f =⨯+⨯-< ，()f x ∴在(0,0.5)内有零点，3(0.75)20.7530.7530f =⨯+⨯-> ()f x ∴在(0.5,0.75)内有零点，∴方程32330x x +-=根可以是0.635.故选：B ．6．已知函数()()()[)22,,0ln ,0,1,1,x x f x x x x x ∞∞-⎧∈-⎪=∈⎨⎪-∈+⎩，若函数()()g x f x m =-恰有两个零点，则实数m 不可．．能．是（）A ．1-B ．-10C ．1D ．-2【正确答案】C【分析】依题意画出函数图像，函数()()g x f x m =-的零点，转化为函数()y f x =与函数y m =的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；【详解】因为()()()[)22,,0ln ,0,1,1,x x f x x x x x ∞∞-⎧∈-⎪=∈⎨⎪-∈+⎩，画出函数()f x的图像如下所示，函数()()g x f x m =-的有两个零点，即方程()()0g x f x m =-=有两个实数根，即()f x m =有两个实数根，即函数()y f x =与函数y m =有两个交点，由函数图像可得1m ≤-，所以m 不能为1，故选：C.7．已知sin cos sin cos m αααα+==，则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．1D ．不存在【正确答案】B【分析】由()2sin cos 12sin cos αααα+=+，代入已知条件解方程即可.【详解】()222sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos αααααααα+=++=+，由sin cos sin cos m αααα+==，则212m m =+，解得1m =由三角函数的值域可知，sin cos 1αα+=1m =故选：B8．已知22log 2023log 2022a =-，11cos 2023b =-，12022c =，则（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a>>D ．a c b>>【正确答案】D【分析】比较a c 、，等价成比较()()2log ,1f x x g x x ==-，在20232022x =时的大小，结合函数的单调性，由数形结合即可判断；比较b c 、，构造单位圆A 如图所示，12023BAC Ð=，BD AC ⊥于D ，则比较b c 、转化于比较CD 、 BC的长度即可.【详解】2222033log 2023log 2022log 2022a =-=，203312022c =-，设()()2log ,1f x x g x x ==-，函数图象如图所示，()()f x g x 、均单调递增，且()()()()11,22f g f g ==，结合图象得在()1,2x ∈，()()f x g x >，即()2log 10x x -->，故220332033log 10020222022a c ⎛⎫-->⇒-> ⎪⎝⎭，故a c >；如图，单位圆A 中，BAC θ∠=，BD AC ⊥于D ，则 BC的长度l θ=，sin BD θ=，1cos CD θ=-，则由图易得，l BC BD >>，当π2θ<，则ππ24θC -=>，故tan 1BD C BD CD CD =>Þ>，故当1π20232θ=<时，有11sin 1cos 1cos 20232023BC BD CD θθθ>>Þ>>-Þ>-，∴1111cos 202220232023c b >>-Þ>.综上，a c b >>.故选：D.（1）比较对数式大小，一般可构造函数，根据函数的单调性来比较大小；（2）比较非特殊角三角函数大小，可结合单位圆转化为比较长度，则可由数形结合解答.二、多选题9．在直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(),2P x -，且tan 2α=，则（）A ．1x =-B．sin 5α=-C．cos 5α=D ．tan02α<【正确答案】ABD【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解.【详解】则题意可得2tan 2xα-==，则1x =-，A 选项正确；sin α=-B选项正确；cos α==，C 选项错误；由()1,2P --，角α的终边在第三象限，即()3π2ππ,2πZ 2k k k α⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，则()π3ππ,πZ 224k k k α⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，即角2α的终边在二、四象限，所以tan02α<，D 选项正确.故选：ABD.10．下列说法正确的是（）A ．若()2x k k ππ≠+∈Z ，则1cos 2cos x x+≥B ．若x y ≠，则22x y xy +>恒成立C ．若正数a ，b 满足8a b ab +=-，则ab 有最小值D ．若实数x ，y 满足2sin 1x y +=，则sin x y -没有最大值【正确答案】BC【分析】对A 举反例πx=即可判断，对B 利用配方法即可判断，对C 利用基本不等式得8a b ab +=-≥ab 范围即可，对D ，利用正弦函数的有界性求出x 的范围，再结合二次函数的最值即可判断.【详解】对A ，若πx =，则cos 1x =-，则1cos 22cos x x+=-<，故A 错误；对B ，22223024y x y xy x y ⎛⎫+-=-+≥ ⎪⎝⎭，取等号的条件为2202304y x y ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，但x y ≠，故220x y xy +->恒成立，即22x y xy +>恒成立，故B 正确；对C ，若,0a b >，则8a b ab +=-≥4≥2≤-（舍去）所以16ab ≥，当且仅当4a b ==时等号成立，则()min 16ab =，故C 正确；对D ，2sin 1x y += ，则21sin 1y x =-≤，又1sin 1y -≤≤ ，2111x ∴-≤-≤，解得x ≤，()22215sin 1124x y x xx x x ⎛⎫-=--=+-=+- ⎪⎝⎭，当x =时，()2max 15sin 124x y ⎫-=+-+⎪⎭，故D 错误.故选：BC.11．设函数3()f x x bx c =-+，[,]x a a ∈-，c ∈Z ，若()f x 的最大值为M ，最小值为m ，那么M 和m 的值可能分别为（）A ．3与1B ．4与3-C ．8与2D ．6与1【正确答案】AC【分析】()f x 可以表示为一个奇函数和常数之和，利用奇函数在对称区间上的最大值加最小值为0进行分析即可.【详解】记3()h x x bx =-，[,]x a a ∈-，定义域关于原点对称，由33()()()()h x x bx x bx h x -=-+=--=-，于是()h x 为奇函数，设()h x 在[,]x a a ∈-上的最大值和最小值分别为,p q ，根据奇函数性质，0p q +=，而()()f x h x c =+，故,M p c m q c =+=+，于是2M m c +=，注意到c ∈Z ，经检验，AC 选项符合故选：AC12．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，且()f x 在区间2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则下列结论正确的有（）A ．()f x 的最小正周期是π3B ．若2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．若()π3f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则满足条件的ω有且仅有1个D ．若π6ϕ=-，则ω的取值范围是22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】BCD【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围，判断A ，根据中心对称即可求值，知B 正确，由周期的范围求出ω的范围，利用函数平移求出周期，判断C ，结合已知单调区间得出ω范围后判断D.【详解】对于A ，因为函数()f x 在区间2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以5π2ππ2636T ≥-=，所以()f x 的最小正周期π3T ≥，即()f x 的最小正周期的最小值为π3，故A 错误；对于B ，因为2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图像关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，若()π3f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则π3为函数()f x 的周期或周期的倍数，所以2ππ3k ω⨯=，所以6k ω=，因为π3T ≥，所以2π6Tω=≤，又0ω>，所以06ω<≤，所以6ω=，即满足条件的ω有且仅有1个，故C 正确；对于D ，由题意可知2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭为()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增区间的子集，所以2πππ2π3625ππ3π2π662k k ωω⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，其中Z k ∈，解得123125k k ω+≤≤+，k ∈Z ，当0k =时，12ω≤≤，当0k =时，2245ω≤≤，故ω的取值范围是22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：BCD三、填空题13．设函数()()2log 12,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨≥⎩，则()()2f f -=______.【正确答案】12【分析】根据分段函数解析式，利用指数式和对数式的运算规则代入求值即可.【详解】函数()()2log 12,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨≥⎩，则()222lo 3g f -=+，2322log +>，()()()223log 2o 22l 3g 2log 222341232f f f +-===⨯==+⨯.故12.14．一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为原来的距离为_______海里.【正确答案】4【分析】先结合条件找出已知角及线段长，然后结合余弦定理即可直接求解．【详解】设轮船的初始位置为A ，20分钟后轮船位置为B ，灯塔位置为C，如图所示由题意得，120BAC ∠= ，11863AB =⨯=，BC =由余弦定理得222cos1202AB AC BC AB AC︒+-=⋅，即213676212AC AC +--=，解得4AC =．则灯塔与轮船原来的距离为4海里故4．15．已知函数()log ,021,2a x x f x x x<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩.若函数()f x 存在最大值，则实数a 的取值范围是______.【正确答案】(]1,4【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合()f x 存在最大值即可求解【详解】当01a <<时，函数不存在最大值，故1a >，当02x <≤时，()log a f x x =在区间(]0,2上单调递增，所以此时()(],log 2a f x ∞∈-；当2x >时，()1f x x =在区间()2,+∞上单调递减，所以此时()10,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若函数()f x 存在最大值，则1log 22a ≥，解得4a ≤，又1a >，所以a 的取值范围为(]1,4故(]1,416．已知π,0,2x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，则222(1)x y --的最大值为________.【正确答案】2π2π22-+【分析】由tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，通过研究函数tan sin y x x =+单调性可得02πx y <+≤，后设x y m +=，则222(1)x y --()22422y m y m =-+-+-，其中02π,y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π02m <≤.【详解】因tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，则1122sin ππtan sin cos tan sin tan tan x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫++≤=+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因函数tan ,sin y x y x ==均在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则函数tan sin y x x =+在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故有.02πx y <+≤设x y m +=，其中π02m <≤，则()()22222(1)21x y m y y --=---()()()()2222242222121y m y m y m m m ⎡⎤=-+-+-=---+-≤-⎣⎦，当且仅当2y m =-时取等号，则此时022πm <-<，得222ππm -<≤又函数()()221f m m =-在212π,m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时单调递减，在12π,m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时单调递增，222ππf f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()22212222πππf m m f ⎛⎫=-≤=-+ ⎪⎝⎭，此时222π，π-y x =-=.故2π2π22-+关键点点睛：本题涉及构造函数，含参二次函数的最值，难度较大.对于所给不等式，分离含x ，y 式子后，通过构造函数得到02πx y <+≤.后将问题化为求含参二次函数的最值问题.四、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+.(1)求角A 的大小；(2)若a =ABCABC 的周长.【正确答案】(1)π3(2)+【分析】（1）由()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+，根据正弦定理化简得22()3b c a bc +=+，利用余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）由ABC 4bc =，结合余弦定理，求得b c +=.【详解】（1）由题意及正弦定理知22()3b c a bc +=+，222a b c bc ∴=+-，2221cos 22b c a A bc +-∴==，0πA << ，π3A ∴=.（2）a = ，226b c bc ∴+-=①又1=sin 2S bc A = ，4bc ∴=②由①，②可得b c +=所以ABC 的周长为+.18．已知π02α<<，π02β-<<，tan 7α=，sin 5β=-.(1)求()cos αβ-的值；(2)求tan(2)αβ-的值，并确定2αβ-的大小.【正确答案】(1)10(2)1-，3π4【分析】（1）由tan α解得sin ,cos αα，由sin β求出cos β，利用两角差的余弦公式求解()cos αβ-的值；（2）由sin β，cos β求出tan β，再求tan 2β，利用两角差的正切公式计算tan(2)αβ-的值，并得到2αβ-的大小.【详解】（1）π02α<< ，由22sin tan 7cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，sin 10α∴=，cos 10α=，又π02β-<<，sin 5β=，cos β∴，cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+（2）由（1）可知，1tan 2β=-，22tan 4tan 231tan βββ∴==--，tan tan 2tan(2)11tan tan 2αβαβαβ-∴-==-+，3π022αβ<-< ，3π24αβ∴-=.19．已知函数2()2sin cos 26f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)当02x π≤≤时，求()f x 的值域.【正确答案】(1)π，单调递增区间为()2,36k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z (2)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由三角恒等变换化简解析式，由余弦函数的性质求解；（2）由余弦函数的性质得出()f x 的值域.【详解】（1）()11cos 2cos 21cos 2sin 2cos 2cos 213223f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=--+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，T π∴=，由2223k x k ππππ-≤+≤可得236k x k ππππ-≤≤-，k ∈Z ，即()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为()2,36k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）02x π≤≤ ，42333x πππ∴≤+≤，1cos(2)1,32x π⎡⎤+∈-⎢⎣⎦故()f x 的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20．为了迎接亚运会，滨江区决定改造一个公园，准备在道路AB 的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路AB 长为4km ，四边形的另外两个顶点C ，D 设计在以AB 为直径的半圆O 上.记02COB παα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭.(1)为了观赏效果，需要保证3COD π∠=，若薰衣草的种植面积不能少于(3+km 2，则α应设计在什么范围内?(2)若BC =AD ，求当α为何值时，四边形ABCD 的周长最大，并求出此最大值.【正确答案】(1)62ππα≤<(2)3πα=，10km【分析】（1）由ABCD OBC OCD OAD S S S S =++ ，利用三角形面积公式得到πsin 62α⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭求解；（2）由BC =AD 得到,π2AOD COB COD αα∠=∠=∠=-，进而得到AB BC CD DA +++=28sin 8sin 822αα-++，利用二次函数的性质求解.【详解】（1）解：11π1222sin 22sin 22sin π22323ABCD OBC OCD OAD S S S S αα⎛⎫=++=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭，π2sin sin 26αααα⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，由题意，π36α⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，sin()6πα+因为02πα<<，所以ππ2π363α≤+<，解得ππ62α≤<；（2）由BC =AD 可知，,π2AOD COB COD αα∠=∠=∠=-，故π2422sin 22sin 22sin 48sin 4cos 2222AB BC CD DA ααααα-+++=+⋅+⋅+⋅=++，222148sin 412sin 8sin 8sin 88sin 10222222ααααα⎛⎫⎛⎫=++-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而四边形ABCD 周长最大值是10km ，当且仅当1sin22α=，即π3α=时取到.21．已知函数11()1x x f x axa -=-++，其中a 为常数，且1a >.(1)若()f x 是奇函数，求a 的值；(2)证明：()f x 在(0,)+∞上有唯一的零点；(3)设()f x 在(0,)+∞上的零点为0x ，证明.011log 2a x a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭【正确答案】(1)2a =(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）()f x 是奇函数，由()()f x f x -=-恒成立，求a 的值；（2）()f x 在(0,)+∞上是连续增函数，结合由零点存在定理可证；（3）把零点代入函数解析式，有00001+1=(1)11x ax a a x x =+--，由零点所在区间得011(1)221x a a a +>+=-，化简变形可得结论.【详解】（1）由题意，0x ∀≠，()()f x f x -=-恒成立，即1111()11x x x x ax axa a -----+=--+-++，化简得21a=，解得2a =.（2）由题意，111()1x f x ax a a =--++，∵1a >，∴11x a -+和1ax-在(0,)+∞上都是连续增函数，∴()f x 在(0,)+∞上是连续增函数，又1(1)01f a =-<+，22211(1)(2)0212(1)a f a a a a -=-+=++，所以，由零点存在定理可知()f x 在(0,)+∞上有唯一的零点.（3）由0()0f x =可知0001101x x ax a --+=+，即00001+1=(1)11x ax a a x x =+--，由（2）可知012x <<，∴011(1)221x a a a +>+=-，021x a a ∴>-，即0log (21)a x a >-，所以011log (2)a x a->-.思路点睛：第3问的证明，可以从结论出发，经过变形，对数式换指数式，寻找与已知条件的关联.22．已知函数()f x 满足：对x ∀∈R ，都有1(3)()2f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()f x x x m =--+.函数3()log (54)x x g x =-.(1)求实数m 的值；(2)已知22()3h x x x λλ=-+-+，其中[0,1]x ∈.是否存在实数λ，使得()()()()g h x f h x >恒成立?若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)8(2)存在，01λ<<【分析】（1）根据题意代入0x =，运算求解即可；（2）先根据对数函数的定义求得1λ-<<，进而可得当1λ-<<时，则可得0()3h x <≤对任意[]0,1x ∈时恒成立，结合恒成立问题结合函数单调性分析可得()0h x >恒成立，列式运算求解.【详解】（1）由题意可得：1(3)(0)2f f =-，则21332m m --+=-，解得m =8.（2）令540x x ->，可得5(14x >，即0x >，∴()g x 定义域为(0,)+∞，∵5544()14x x x x ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，则对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，可得112255()1()14044,04x x x x <<<-<-，故11225504(14()144x x x x ⎡⎤⎡⎤<-<-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即112205454x x x x <-<-，且3log y x =在(0,)+∞是增函数，则()()112233log 54log 54x x x x -<-，即12()()<g x g x ，∴3()log (54)x x g x =-在(0,)+∞是增函数，若要使(())(())g h x f h x >恒成立，则首先要满足()0h x >恒成立，则22(0)30(1)130h h λλλ⎧=-+>⎨=-+-+>⎩，解得1λ-<，则22233()(333244h x x λλλ=---+≤-+≤，故当1λ-<<时，则0()3h x <≤对任意[]0,1x ∈时恒成立，令()t h x =(03)t <≤，则()()g t f t >恒成立，即()()0g t f t ->恒成立，而()g t 在(0,3]上是增函数，()f t 在(0,3]上是减函数，∴()()g t f t -在(0,3]上是增函数，又32()log (54()8)t t f t t g t t =+-+--，(2)(2)0g f -=，故只需2t >恒成立，则22(0)32(1)132h h λλλ⎧=-+>⎨=-+-+>⎩，解得01λ<<，综上所述：存在01λ<<满足条件.方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．。
浙江高一高中数学月考试卷带答案解析
浙江高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合A={0，1，4}，B={2，4}，则A∪B=（）A．{4}B．{0，1，2，4}C．{0，1，2}D．{0，2，4}2.方程组的解构成的集合是（）A．（1，1）B．C．D．3.下列四组中表同一函数的是（）A．B．C．D．4.设，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．5.下列四个函数中，在上是增函数的是（）A．B．C．D．6.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）A．B．C．D．7.函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围（）A．B．C．D．8.已知函数满足，且对任意的，有，设，则的大小关系为（）A．B．C．D．二、填空题1.设集合，集合．若，则___________，．2.设函数f（x）=则f（0）= ，f[f（﹣1）] = ．3.的单调减区间为，值域为．4.已知集合A={﹣1，3，m2}，B={3，4}，若B A，则m= ．5.已知函数的定义域为[-2，2]，且在区间[-2，2]上是增函数，，求实数m的取值范围__________________．6.已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是．三、解答题1.（本题满分8分）已知集合A={x|1≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}．（1）分别求：A∩B，A∪（）；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C B，求实数a的取值范围．2.（1）求函数++的定义域；（要求用区间表示）（2）若函数，求的值和的解析式．3.（本题满分10分）已知函数，（1）画出函数图像；（2）求的值；（3）当时，求的取值范围．4.（本题满分12分）已知函数（实数p、q为常数），且满足．（1）求函数的解析式；（2）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）当时，函数恒成立，求实数m的取值范围浙江高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知集合A={0，1，4}，B={2，4}，则A∪B=（）A．{4}B．{0，1，2，4}C．{0，1，2}D．{0，2，4}【答案】B【解析】由并集的定义易得，．故选B．【考点】并集运算．2.方程组的解构成的集合是（）A．（1，1）B．C．D．【答案】C【解析】解得，x=1，y=1．但应注意集合中的元素是有序数对且只有一个元素．故选C．【考点】解方程组、集合的表示．3.下列四组中表同一函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于答案A中的两个函数它们的解析式相同，定义域不同，故不是同一函数；对于答案B中的两个函数它们的解析式本质一样，定义域均为实数集R，故是同一函数．答案C中函数的定义域不同，答案D中函数的解析式不一样．因此选B．【考点】函数的三要素．4.设，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，要使，即集合A、B有公共元素，则有a>1．故选D．【考点】交集运算求参数范围．5.下列四个函数中，在上是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的单调递增区间是，显然在上是增函数，故选A．函数在上单调递减，在单调递增，故答案B错误．函数在上是减函数，故答案C错误．函数在上是减函数，故答案D错误．综上选A．【考点】函数单调性．6.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】汽车启动加速过程，随时间增加路程增加的越来越快，汉使图像是凹形，然后匀速运动，路程是均匀增加即函数图像是直线，最后减速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越来越慢即函数图像是凸形．故选A．【考点】函数图像的特征．7.函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的单调递减区间为：．要使函数在区间上是减函数需有，所以．故选C．【考点】由函数的单调性求参数范围．8.已知函数满足，且对任意的，有，设，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数满足，则函数的图像关于直线对称．又对任意的，有，则函数在单调递增．而，所以．故选D．【考点】抽象函数的对称性、单调性及由单调性比大小．二、填空题1.设集合，集合．若，则___________，．【答案】1，{1，2，5}【解析】因为，所以a+1=2，即a=1，同时b=2．因此，故【考点】交集、并集运算．2.设函数f（x）=则f（0）= ，f[f（﹣1）] = ．【答案】1，4【解析】将x=0，x=-1分别代入x≤1时的解析式得，f（0）=1，f（-1）=2，再将2代入x>1时的解析式得，f[f （﹣1）] =4．【考点】分段函数求函数值．3.的单调减区间为，值域为．【答案】、【解析】二次函数开口向上，定义域为R，对称轴是x=1，所以函数的单调递减区间是．由于其定点纵坐标为3，所以值域为．【考点】二次函数的单调性及值域问题．4.已知集合A={﹣1，3，m2}，B={3，4}，若B A，则m= ．【答案】±2【解析】因为B A，所以m2=4，即m=±2．【考点】由子集关系求参数值．5.已知函数的定义域为[-2，2]，且在区间[-2，2]上是增函数，，求实数m的取值范围__________________．【答案】【解析】由题意得，，解得．【考点】由单调性解抽象函数不等式．6.已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是．【答案】【解析】结合函数图像，可得，解不等式组得，．【考点】数形结合并利用单调性解不等式．三、解答题1.（本题满分8分）已知集合A={x|1≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}．（1）分别求：A∩B，A∪（）；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C B，求实数a的取值范围．【答案】（1）A∩B=（2，6），A∪=（﹣∞，6）∪[9，+∞）；（2）[2，8]．【解析】（1）由交集、并集、补集的定义容易求解；（2）由子集运算可列出关于a的不等式组，解得即可．试题解析：（1）∵A={x|1≤x＜6}=[1，6），B={x|2＜x＜9}=（2，9），全集为R，∴A∩B=（2，6），=（﹣∞，2]∪[9，+∞），则A∪=（﹣∞，6）∪[9，+∞）；（2）因为C={x|a＜x＜a+1}，B={x|2＜x＜9}，且C B，所以解得：2≤a≤8，则实数a的取值范围是[2，8]．【考点】交集、并集、补集、子集运算．2.（1）求函数++的定义域；（要求用区间表示）（2）若函数，求的值和的解析式．【答案】（1）（2），【解析】（1）要使函数有意义，需要使函数解析式中的每个因式都有意义，然后解不等式组即可．（2）换元法求解析式或者凑配法求解析式．试题解析：（1）要是函数有意义需有，解得，．所以函数的定义域为．因为，所以令，得．用配凑法求函数解析式，故，【考点】求函数定义域、求函数解析式．3.（本题满分10分）已知函数，（1）画出函数图像；（2）求的值；（3）当时，求的取值范围．【答案】（1）见解析（2），【解析】（1）一次函数、二次函数的部分图像；（2）求函数值，只需代入解析式计算即可；（3）求不等式的解集，注意分段函数应分段分别求解，最后对各段的解求并集．试题解析：（1）图像（略）．作图时注意定义域中区间的端点函数值及是否包含端点．（2），（3）当时，，解得，．当时，符合题意．当时，，解得综上，时，的取值的范围为．另解：由图像知，当时，故的取值的范围为【考点】作分段函数的图像、求函数值、解不等式．4.（本题满分12分）已知函数（实数p、q为常数），且满足．（1）求函数的解析式；（2）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）当时，函数恒成立，求实数m的取值范围【答案】（1）；（2）在区间（0，] 上单调递减的，证明过程详见解析；（3）【解析】（1）由已知条件得到p、q的两个方程，求出p、q的值即可得到函数解析式；（2）利用单调性的定义即可证明函数在在区间（0，] 上单调递减；（3）恒成立问题常转化为最值问题，所以原题等价于时，函数，从而求出m的值．试题解析：（1）所以（2）由（1）问可得在区间（0，] 上单调递减的．证明：设任意的两个实数所以在区间（0，] 上单调递减的．（3）由（2）知在区间（0，] 上的最小值是要使当时，函数恒成立，则时，函数即可，所以．【考点】待定系数法求解析式、利用单调性的定义证明函数的单调性、恒成立问题求参数范围．。
浙江高一高中数学月考试卷带答案解析
浙江高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，，则=（）A．B．C．D．2.函数的定义域为（）A．B．C．D．3.下列各组函数的图象相同的是（）A．B．C．D．4.函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5.已知函数（）A．B．C．６D．１6.若，则（）A．B．C．D．7.已知二次函数y=2x2－1在区间[a,b]上有最小值－1，是下面关系式一定成立的是（）A．a≤0<b或a<0≤bB．a<0<bC．a<b<0或a<0<bD．0<a<b或a<b<08.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)=1.06(0.5·{m}+1)（元）决定，其中m>0，{m}是大于或等于m的最小整数，（如：{3}=3，{3.8}=4，{3.1}=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为（）A．3.71元B．3.97元C．4.24元D．4.77元9.给定函数：①，②，③，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④10.如果我们定义一种运算：已知函数，那么函数y=的大致图象是（）二、填空题1.设，集合，则__ .2.设＝，则＝ .3.幂函数在上为减函数，则实数的值是 .4.若是偶函数且在区间上是增函数，又，则的解集为__ .5.设函数f(x)=a x，（a>0且a≠1），对于任意x，y∈R，下列算式中：①f(x+y)=f(x)·f(y);②f(xy)=f(x)+f(y);③f(x-y)= ;④;⑤, 其中不正确的是__ .（填上所有不正确的题号）三、解答题1.（本小题8分）计算:（1）；（2）2.（本小题8分）已知函数的定义域为集合，且，；（1）求：和；（2）若，求实数的取值范围。
浙江省杭州2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案
杭州2023学年第一学期高一年级期末考数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1.函数()1ln f x x x =-的零点所在的大致区间是（）A.()1,2 B.()2,e C.()e,3 D.()e,+∞【答案】A 【解析】【分析】由零点存在定理结合函数单调性得到结论.【详解】因为函数ln y x =在()0+∞，上为增函数，函数1y x=在()0+∞，上为减函数，所以函数1()ln f x x x=-在()0+∞，上为增函数，又(1)ln1110f =-=-<，112211(2)ln 2ln 4ln e 02212f =-=->-=，即(2)0f >，所以零点所在的大致区间(1,2).故选：A.2.设函数()()sin f x x θ=+，则“cos 0θ=”是“()f x 为偶函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的性质求出ππ,Z 2k k θ=+∈，即可判断.【详解】解：由cos 0θ=，得ππ,Z 2k k θ=+∈，由()()sin f x x θ=+为偶函数，得ππ,Z 2k k θ=+∈，则“cos 0θ=”是“()()sin f x x θ=+”为偶函数的充分必要条件.故选：C3.下列四个函数中的某个函数在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图象如图所示，则该函数是（）A.322xxx xy --=+ B.cos222xxx xy -=+ C.2122xxx y --=+ D.sin222x xx y -=+【答案】B 【解析】【分析】利用题给函数在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先正值后负值的变化情况排除选项A ；利用题给图象可知函数是奇函数排除选项C ；利用当π2x =时题给函数值为负值排除D ；而选项B 均符合以上要求.【详解】当01x <<时，30x x -<，3022x xx xy --=<+.排除A ；由偶函数定义可得2122x xx y --=+为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C ；当π2x =时，ππ222πn 22si 02y -⎛⎫⎝+ ⎭⨯==⎪.排除D ；cos222x x x x y -=+为奇函数，且当π04x <<时，cos2022x xx x y -=>+，当π2x =时，ππππ2222cos 20π2222ππ222y --⨯==⎛⎫⋅- ⎪⎭<++⎝.B 均符合题给特征.故选：B.4.《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）A.4B.5C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，列关系式即可.【详解】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，1221921225R R R R αα=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得6α=.故选：C 5.已知π3cos(124θ-=，则πsin(2)3θ+=（）A.716-B.18-C.18D.716【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式，结合二倍角的余弦公式计算即得.【详解】当π3cos()124θ-=时，2πππππ1sin(2)sin(2)cos 2()2cos ()136212128θθθθ+=-+=-=--=.故选：C6.已知函数()()cos f x x ωϕ=+π0,2ωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，1x ，2x 是()f x 的两个零点，若214x x =，则下列不为定值的量是（）A.ϕB.ωC.1x ω D.1x ωϕ【答案】B 【解析】【分析】求函数()f x 的周期，估计1x 的范围，再求函数()f x 的零点，由此确定1x ，2x ，结合条件化简可得结论.【详解】函数()()cos f x x ωϕ=+()0ω>的周期为2πω，由图象可得1π02x ω<<，令()0f x =，可得：ππ,Z 2x k k ωϕ+=+∈，所以ππ2k x ϕω+-=，即2ππ22k x ϕω+-=，又π0,2ωϕ><，所以1π22x ϕω-=，23π22x ϕω-=，又因为214x x =，所以3π2π2422ϕϕωω--=⨯，所以π6ϕ=，1π2ππππ22263x ϕωωϕω-=⨯=-=-=，1π32π6xωϕ==为定值.故选：B7.已知0x >，0y >，且311x y +=，则2x x y y++的最小值为（）A.9B.10C.12D.13【答案】D 【解析】【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得.【详解】()31322261x x y x x x y x y y x y y x y y⎛⎫++=+++=++++ ⎪⎝⎭337713y x x y =++≥+，当且仅当33y xx y=，即4x y ==时，等号成立.故选：D.8.若关于x 的方程()()2221151x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，则123x x x ++的值为（）A.32B.12C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案.【详解】由题知0x ≠，由()()2221151x m x x x +-+=+，得到12301m x m x x x+-+-=+，令1t x x =+，由对勾函数的图像与性质知，2t ≤-或2t ≥，且1t x x =+图像如图，则230mt m t-+-=，即2(3)20t m t m +--=，又方程()()2221151x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，所以2(3)20t m t m +--=有两根12,t t ，且122,2t t =->，故42620m m -+-=，得到52m =，代入2(3)20t m t m +--=，得到21502t t --=，解得2t =-或52t =，由12x x +=-，得到=1x -，由152x x +=，得到22520x x -+=，所以2352x x +=，所以12353122x x x ++=-+=，故选：A.【点睛】方法点晴：对于复杂方程的根有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.设α是第一象限角，则2α为第一或第三象限角B.cos 2sin 3πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C.在ABC 中，若点O 满足0OA OB OC ++=，则O 是ABC 的重心D.()a b c a b c⋅ ≤【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据象限角的概念可判断；对B ，根据辅助角公式化简即可；对C ，取BC 中点D ，得出2OA OD =-，根据重心的性质可判断；对D ，根据cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅，结合向量数乘运算性质即可判断.【详解】对A ，因为α是第一象限角，所以π2π2π,2k k k α<<+∈Z ，则πππ,24k k k α<<+∈Z ，其为第一或第三象限角，故A 正确；对B 1cos 2sin cos 2sin 226πααααα⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对C ，取BC 中点D ，则2OB OC OD +=，又0OA OB OC ++= ，所以2OA OD =-，所以O 在中线AD 上，且2OA OD =，所以O 为ABC 的重心，故C 正确；对D ，因为cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅ ，cos ,1a b ≤，所以a b a b ⋅≤ ，所以()a b c a b c a b c ⋅=⋅≤，故D 正确.故选：ACD .10.符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数{}[]x x x =-，那么下列命题中正确的是（）A.函数{}x 的值域为[]1,0-B.函数{}x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-C.函数{}x 是周期函数D.函数{}x 是减函数【答案】BC 【解析】【分析】结合函数性质逐项判断即可得.【详解】对A ：当x ∈Z ，则{}[]0x x x x x =-=-=，当x ∉Z ，则{}[]()1,0x x x =-∈-，故函数{}x 的值域为(]1,0-，故A 错误；对B ：当x ∈Z ，则{}[]0x x x x x =-=-=，{}0x ⎡⎤=⎣⎦，当x ∉Z ，则{}[]()1,0x x x =-∈-，{}1x ⎡⎤=-⎣⎦，即函数{}x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-，故B 正确；对C ：{}[][]{}111x x x x x x +=+--=-=，故函数{}x 是周期函数，故C 正确；对D ：由函数{}x 是周期函数，故函数{}x 不是减函数，故D 错误.故选：BC.11.已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=++π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，满足()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，都有()5π12f x f ⎛⎫≥-⎪⎝⎭，当ω取最小值时，则下列正确的是（）A.()f x 图象的对称中心为ππ,1Z 26k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭B.()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为1,3⎤+⎦C.将2sin 21y x =+的图象向左平移π6个单位长度得到()f x 的图象D.()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ACD 【解析】【分析】由题意可得()f x 的图象关于π(,1)6-对称，()f x 在5π12x =-处取得最小值，推得ϕ，ω的值，可得函数解析式()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的对称中心、值域和图象变换、单调性，可得结论.【详解】函数()()2sin 1f x x ωϕ=++π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，满足()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭,可得()f x 的图象关于π(,1)6-对称，故11ππ(Z)6k k ωϕ-+=∈，即11(Z)ππ6k k ϕω∈=+，由于对任意x ∈R ，都有()5π12f x f ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，可得()f x 在5π12x =-处取得最小值，即225ππ2π(Z)122k k ωϕ-+=-+∈，可得22π5π2π(Z)212k k ϕω=-++∈，则21π5ππ2ππ2126k k ϕωω=-++=+，化简得1224(2)πk k ω=+-12(2Z)k k -∈，因为0ω>，当ω取最小值时，1220k k -=，可得2ω=，则11ππ(Z)3k k ϕ=+∈且π2ϕ<，得π3ϕ=，所以()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对于A ，令π2π3x k +=，Z k ∈，解得ππ62k x =-+，则()f x 图象的对称中心为ππ,1Z 26k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，当ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，ππ2π2,363x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得π1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,3，故B 不正确；对于C ，将2sin 21y x =+的图象向左平移π6个单位长度得到ππ2sin 2(12sin(21()63y x x f x =++=++=的图象，故C 正确；对于D ，当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确；故选：ACD.12.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+，则（）A.1233BD BA BC=+ B.x y +的最大值为13+C.BP BC ⋅ 最大值为9 D.1BO DO ⋅=【答案】AC 【解析】【分析】对于AD ，将,,BD BO DO 分别用,BA BC表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于BC ，以点O 为原点建立平面直角坐标系，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.【详解】对于A ，因为23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以113OA OD DC AC ====，则()11123333BD BC CD BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，故A 正确；对于B ，()22213333BO BC CO BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，211211333333DO BO BD BA BC BA BC BA BC ⎛⎫=-=+-+=- ⎪⎝⎭，则2211212113333999DO BO BA BC BA BC BA BC BA BC⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1112133922=--⨯⨯⨯=，故D 错误；对于C ，如图，以点O 为原点建立平面直角坐标系，则()()1331,0,,,2,022A B C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，因为点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以点P 的轨迹方程为221x y +=，且在x 轴的下半部分，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，则133333333cos ,sin ,,,,222222BP BC BA αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以333327πcos 3cos 624243BP BC ααα⎛⎫⋅=--+=++ ⎪⎝⎭ ，因为[]π,2πα∈，所以π4π7π,333α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π2π3α+=时，BP BC ⋅ 取得最大值9，故C 正确；因为BP xBA yBC =+ ，所以133333333cos ,sin ,,222222x y αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()133333cos ,sin ,2222x y x y αα⎛⎫⎛⎫--=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3333sin 22x y α-=-+，所以23sin 19x y α+=-+，因为[]π,2πα∈，所以当3π2α=时，x y +取得最大值2319+，故B 错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数tan y x =的定义域为_____________．【答案】,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【详解】函数tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭故答案为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭14.若sin1a =，ln sin1b =，sin1e c =，则a ，b ，c 三数中最小数为_________.【答案】b 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合sin1的范围比较大小即得.【详解】依题意，0sin11<<，ln sin1ln10b =<=，10sin 1e e c >==，所以,,a b c 三数中最小数为b .故答案为：b15.在解析几何中，设()111,P x y ，()222,P x y 为直线l 上的两个不同的点，则我们把12PP及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量，常用n表示，此时120P P n ⋅=.若点P l ∉，则可以把PP 在法向量n上的投影向量的模叫做点P 到直线l 的距离.现已知平面直角坐标系中，()2,2P --，()12,1P ，()21,3P -，则点P 到直线l 的距离为__________.【答案】13【解析】【分析】先求出直线方程，后利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】设l 的斜率为k ，点P 到直线l 的距离为d ，则3123k -==--1-2，l 的直线方程为2370x y +-=，由点到直线的距离公式得31d ==.故答案为：1316.对于非空集合M ，定义()0,Φ1,M x M x x M ∉⎧=⎨∈⎩，若sin 2A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，(),2B a a =，且存在x ∈R ，()()2A B x x Φ+Φ=，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】π3π9π,,848∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭##π3π84a <<或9π8a >【解析】【分析】首先解三角不等式求出集合A ，依题意A B ⋂≠∅，则π2a ≥时一定满足，再考虑π02a <<时，求出A B ⋂≠∅时参数的取值范围，即可得解.【详解】因为sin 2A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，所以π3{|2}ππ2π4Z 4()A x k x k k =+∈<<+，因为(),2B a a =，B ≠∅，所以2a a >，所以0a >，因为()()2A B x x Φ+Φ=，所以1A B Φ=Φ=，所以A B ⋂≠∅，此时区间长度π2a ≥时一定满足，故下研究π02a <<时，此时02πa a <<<，因此满足题意的反面情况024πa a <<≤或92443ππa a ≤<≤，解得π02a <≤或834ππ9a ≤≤，因此满足题意a 的范围为π3π9π,,848⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .故答案为：π3π9π,,848⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键在于考虑π02a <<时，求出A B ⋂≠∅时参数的取值范围.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为04,5y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求cos α，sin α的值；（2）求()()πcos πcos 2πsin tan π2αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）35-（2）13-【解析】【分析】（1）根据任意角三角函数定义和同角基本关系式可解；（2）利用诱导公式化简即可求值.【小问1详解】∵角α的终边与单位圆的交点为04,5M y ⎛⎫⎪⎝⎭，∴4cos 5α=，∵3π,2π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭∴sin 0α<，∴3sin 5α==-.【小问2详解】原式()cos sin cos sin 1cos tan sin 3ααααααα--+===-⋅-.18.如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e ，2e分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量()12,OP xe ye x y =+∈R ，则把有序数对(),x y 叫做向量OP在坐标系xOy 中的坐标.（1）设()0,3OM = ，()4,0ON = ，求OM ON ⋅的值；（2）若()3,4OP =，求OP 的大小.【答案】（1）6（2【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【小问1详解】∵23OM e = ，14ON e = ，∴121212cos 606OM ON e e ⋅=⋅=︒=；【小问2详解】∵()222212112234924162524cos 6037OP e e e e e e =+=+⋅+=+︒= ，∴OP =19.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且向量(),m c a b =-，()sin sin ,sin sin n B C A B =-+ ，m n ⊥ .（1）求角A 的大小；（2）若2a =，ABC 的周长为l ，面积为S ，求Sl的最大值.【答案】（1）π3A =（2）6【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示，结合正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解；（2）利用（1）中结论与三角形面积公式将Sl表示为b c +的表达式，再利用基本不等式求得b c +的最大值，从而得解.【小问1详解】因为m n ⊥，故()(),sin sin ,sin sin 0m n c a b B C A B ⋅=-⋅-+=，即()()()sin sin sin sin 0c B C a b A B -+-+=，由正弦定理得，()()()0c b c a b a b -+-+=，整理得到222a b c bc =+-，则221cos 22b c bc A bc +-==，又()0,πA ∈，故π3A =.【小问2详解】由（1）知222a b c bc =+-，则224b c bc =+-，所以()243b c bc =+-，即()2143bc b c ⎡⎤=+-⎣⎦，因为1sin 24S bc A bc ==，2l b c =++，所以()()()()243324212212b c S b c l b c b c ⎡⎤+-⎣⎦===+-++++，又()24b c bc +≤，所以()()22434b c b c bc +=+-≥，所以4b c +≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以)()33324212126S b c l =+-⨯-=≤，即S l 的最大值为36.20.如图所示，有一条“L ”，河道均足够长.现过点D 修建一条栈道AB ，开辟出直角三角形区域（图中OAB ）养殖观赏鱼，且π02OAB θθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭.点H 在线段AB 上，且OH AB ⊥.线段OH 将养殖区域分为两部分，其中OH 上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤.（1）养殖区域面积最小时，求θ值，并求出最小面积；（2）若游客可以在栈道AH 上投喂金鱼，在河岸OB 与栈道HB 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求θ的取值范围.【答案】（1）π6θ=，（2）ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出养殖观赏鱼的面积13tan tan OAB S θθ=++ ，再由基本不等式求解；（2）由题意BH OB AH +≥，则11sin 1cos tan cos tan cos sin ≥≥θθθθθθθ++⇔即可求解.【小问1详解】过D 作DM ，DN 垂直于OA ，OB ，垂足分别为M ，N ，则DM ON ==DN OM ==tan tan DM AM θθ==，tan BN DN θθ==，养殖观赏鱼的面积)1113tan 22tan tan OAB S OA OB θθθθ⎫=⋅=+=++⎪⎪⎭，由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得tan 0θ>，则13tan tan θθ+≥，当且仅当tan 3θ=即π6θ=时取等号，故π6θ=时，OAB S 最小=.【小问2详解】由2AOB OHA π∠=∠=，可得BOH θ∠=，则tan OH AH θ=，tan BH OH θ=，cos OHOB θ=，由题意BH OB AH +≥，则()2211sin 1cos tan sin 1sin cos 1sin cos tan cos sin θθθθθθθθθθθ++≥⇔≥⇔+≥=-，则1sin 1sin sin 2θθθ-⇔≥≥，结合π02θ<<，则ππ,62θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.21.设a ∈R ，函数()2sin cos f x x x a =--，π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭.（1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，试证明：12121tan tan 31tan tan x x x x --≤.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123ππ2x x <+<，即()12cos 0x x +<，令1201tan tan x x λ=<-，则将原命题转化为证明2210λλ++≥，显然成立，进而原命题成立得证.【小问1详解】()2cos cos 1f x x x a =---+，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=-+，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，令()cos 1,0t x =∈-，所以21,04t t ⎡⎫+∈-⎪⎢⎣⎭，则()0f x =即21t t a +=-+，所以当10a -+≥或114a -+<-时，即1a ≤或54a >时，21t t a +=+无解；当114a -+=-时，即54a =时，21t t a +=+仅有一解；当1104a -<-+<即514a <<时，21t t a +=+有两解，综上，1a ≤或54a >时，()f x 无零点；54a =时，()f x 有一个零点；514a <<时，()f x 有两个零点.【小问2详解】若()f x 有两个零点1x ，2x ，令11cos t x =，22cos t x =，则1t ，2t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则1222211c cos 2c o os os c s x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得1cos 0x <，2cos 0x <，则120c 2os cos x x >，所以2212cos cos 1x x +<，所以2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得23,22πππx ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以23πcos 02x ⎛⎫-<⎪⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，所以123ππ2x x <+<，所以()12cos 0x x +<令121tan tan x x λ=-，则()1212121212cos cos cos sin sin 0cos cos cos cos x x x x x x x x x x λ+-==<要证12121tan tan 31tan tan x x x x --≤成立，即证：1132λλλ--=--≤；即证：2210λλ++≥，因为()222110λλλ++=+≥显然成立，故原式成立.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．。
2024届浙江省杭州市高级中学高一数学第二学期期末达标检测试题含解析
2024届浙江省杭州市高级中学高一数学第二学期期末达标检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．菱形，是边靠近的一个三等分点，，则菱形面积最大值为（ ） A ．36B ．18C ．12D ．92．已知向量a ，b 满足3a b -=且(0,1)b =-，若向量a 在向量b 方向上的投影为2-，则a =（ ） A ．2B ．23C ．4D ．123．不等式组2,1,0y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪⎩所表示的平面区域的面积为（ ）A ．1B ．12C ．13D ．144．某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一个容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人C ．7人D ．12人5．两条直线1:1x y l a b -=和2:1x yl b a-=，22a b ≠，在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（ ）A ．12.5；12.5B ．13；13C ．13；12.5D ．12.5；137．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC ∆为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8．为了得到函数sin(2)3y x π=+，(x ∈R )的图象，只需将sin(2)3y x π=-( x ∈R )的图象上所有的点（ ）. A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向左平移3π个单位 9．已知等差数列{}n a 的前m 项之和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项的和为（ ）A.130B.170C.210D.26010．在数列{}n a 中，121,64a a ==，且数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，其公比12q =-，则数列{}n a 的最大项等于（ ） A ．7aB ．8aC ．6a 或9aD ．10a二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
浙江高一高中数学期末考试带答案解析
浙江高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.直线与直线，直线分别交于两点，中点为，则直线的斜率是（）A．B．C．D．2.等比数列的前项和为，，若成等差数列，则( )A．7B． 8C．16D．153.在等差数列中，，则此数列前13项的和（）A．13B．26C．52D．1564.过点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（）A．B．或C．D．或5.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6.设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若；B．若；C．若，则D．若7.如图，在△中，是边上的点，且，则的值为（）A．B．C．D．8.已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是( )A．B．C．D．9.设x、y满足约束条件，若目标函数（其中)的最大值为3,则的最小值为（）A．1B．2C．3D．410.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E， F，，则下列结论中错误的是（）A．B．C．直线与平面所成的角为定值D．异面直线所成的角为定值二、填空题1.直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于2.在数列中，，，则等于3.已知点在直线上，则的最小值为4.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则与平面所成的角的大小为5.对于正项数列，定义为的“给力”值，现知某数列的“给力”值为，则数列的通项公式为=三、解答题1.锐角、、分别为的三边、、所对的角,.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积求的最小值.2.已知等差数列的首项为,公差为,前项的和为,且（Ⅰ）求数列的通项公式;（Ⅱ）设数列的前项的和为,求3.正方体中,为的中点.（Ⅰ）请确定面与面的交线的位置,并说明理由;（Ⅱ）请在上确定一点,使得面面,并说明理由;(Ⅲ) 求二面角的正切值.4.过点作两条直线,斜率分别为1,,已知与圆交于不同的两点,与圆交于不同的两点,且.（Ⅰ）求:所满足的约束条件;（Ⅱ）求:的取值范围.浙江高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.直线与直线，直线分别交于两点，中点为，则直线的斜率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：设P（a，1），Q（7，b），∵线段PQ的中点坐标为（1，-1），由中点公式可得 1=(a+7) 2 -1=(b+1) 2 ，解得 a=-5，b=-3，故P（-5，1），Q（7，-3），直线l的斜率为：（1+3 ）（-5-7） =-1 3 ，故选D．2.等比数列的前项和为，，若成等差数列，则( )A．7B． 8C．16D．15【答案】D【解析】解：因为等比数列的前项和为，，若，那么15，选D3.在等差数列中，，则此数列前13项的和（）A．13B．26C．52D．156【答案】B【解析】解：因为等差数列中，，则可知，那么数列前13项的和，选B4.过点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】解：当直线过原点时，再由直线过点（5，2），可得直线的斜率为2 5 ，故直线的方程为y="2" 5 x，即2x-5y=0．当直线不过原点时，设直线在x轴上的截距为k，则在y轴上的截距是2k，直线的方程为x k +y 2k =1，把点（5，2）代入可得5 k +2 2k =1，解得k=6．故直线的方程为x 6 +y 12 =1，即2x+y-12=0．故选B．5.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，三棱柱的体积V为：16.设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若；B．若；C．若，则D．若【答案】C【解析】解:选项A中，只有m,n相交时成立。
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高一数学 测试题
2.方程x 2-px +6=0的解集为M ,方程x 2+6x -q =0的解集为N ,且M ∩N ={2},那么p +q 等于
A.21
B.8
C.6
D.7
3. 下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是
A.f (x )=3-x
B.f (x )=x 2-3x
C.f (x )=-1
1+x D.f (x )=-| x | 4.函数f (x )=x 2+2(a －1)x +2在区间(-∞,4］上递减,则a 的取值范围是
A.［-3,+∞］
B.(-∞,-3)
C.(-∞,5］
D.［3,+∞)
5. 下列四个函数中,与y =x 表示同一函数的是
A.y =(x )2
B.y =33x
C.y =2x
D.y =x
x 2
6. 函数y =1-x +1(x ≥1)的反函数是
A.y =x 2-2x +2(x ＜1)
B.y =x 2-2x +2(x ≥1)
C.y =x 2-2x (x ＜1)
D.y =x 2-2x (x ≥1)
7. 已知函数f (x )=12++mx mx 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是
A.0<m ≤4
B.0≤m ≤1
C.m ≥4
D.0≤m ≤4
8.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
(1)如果不超过200元，则不给予优惠；
(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折 优惠.
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是
A.413.7元
B.513.7元
C.546.6元
D.548.7元
9. 二次函数y =ax 2+bx 与指数函数y =(a
b )x 的图象只可能是
10. 已知函数f (n )=⎩
⎨⎧<+≥-),10)](5([),10(3n n f f n n 其中n ∈N ，则f (8)等于 A.2 B.4 C.6 D.7
11．如图，设a,b,c,d>0，且不等于1，y=a x , y=b x , y=c x ,y=d x 在同一坐标系中的图象如
图，则a,b,c,d 的大小顺序（ ） A 、a<b<c<d B 、a<b<d<c
C 、b<a<d<c
D 、b<a<c<d
12．.已知0<a<1,b<-1,函数f(x)=a x +b
A.第一象限;
B.第二象限;
C.第三象限;
D.
第Ⅱ卷(非选择题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共2013.已知f (x )=x 2－1(x <0)，则f －1(3)=_______.
14． 函数)23(log 32-=x y 的定义域为______________
15.某工厂8年来某产品产量y 与时间t 年的函数关系如下图，则：
①前3年总产量增长速度增长速度越来越快；
②前3年中总产量增长速度越来越慢；
③第3年后，这种产品停止生产；
④第3年后，这种产品年产量保持不变.
以上说法中正确的是_______. 16. 函数y =⎪⎩
⎪⎨⎧>+≤<+≤+1)( 5-1),(0 30),( 32x x x x x x 的最大值是_______.
三、解答题
17. 求函数y =
12-x 在区间［2,6］上的最大值和最小值.（10分）
18.(本小题满分10分) 试讨论函数f (x )=log a 1
1-+x x (a ＞0且a ≠1)在(1,+∞)上的单调性,并予以证明.
答案
18．解:设u =1
1-+x x ,任取x 2＞x 1＞1,则 u 2－u 1=1
1111122-+--+x x x x =)
1)(1()1)(1()1)(1(122112---+--+x x x x x x =
)1)(1()(21221---x x x x . ∵x 1＞1,x 2＞1,∴x 1－1＞0,x 2－1＞0. 又∵x 1＜x 2,∴x 1－x 2＜0. ∴)
1)(1()(21221---x x x x ＜0,即u 2＜u 1. 当a ＞1时,y =log a x 是增函数,∴log a u 2＜log a u 1, 即f (x 2)＜f (x 1);
当0＜a ＜1时,y =log a x 是减函数,∴log a u 2＞log a u 1, 即f (x 2)＞f (x 1).
综上可知,当a ＞1时,f (x )=log a 11-+x x 在(1,+∞)上为减函数;当0＜a ＜1时,f (x )=log a 1
1-+x x 在(1,+∞)上为增函数.。