1,三角形三边的关系和分类
三角形的三边长度关系
三角形的三边长度关系一、什么是三角形的三边长度关系三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条边和三个角组成。
三角形的三边长度之间存在一定的关系，这个关系可通过不等式来描述。
在本文中，我们将探讨三角形三边长度关系的原理和性质，并给出相关的数学证明和例子。
二、三边长度关系的基本定理在三角形中，三条边的长度分别为a、b、c，根据三条边的关系，可以得到以下的三个定理。
1. 任意两边之和大于第三边三角形的基本性质之一是，任意两边之和大于第三边。
即对于三角形ABC来说，有以下的关系式成立：a +b > cb +c > aa + c > b这个定理可以直观地理解为，在一个平面上，无法通过两条较短的线段连接起来构成一条较长的线段。
2. 两边之差小于第三边三角形的第二个定理是，两边之差小于第三边。
即对于三角形ABC来说，有以下的关系式成立：a -b | < cb -c | < aa - c | < b这个定理可以通过反证法来证明。
假设存在一个三角形ABC，使得|a - b| >= c，那么可以推出a >= b + c，与第一个定理矛盾，所以这个不等式成立。
3. 两边之和大于第三边的充要条件三角形的第三个定理是，两边之和大于第三边是构成三角形的充要条件。
即对于三角形ABC来说，有以下的关系式成立：a +b >c 且 b + c > a 且 a + c > b证明：假设存在一个三角形ABC，使得a + b > c 且 b + c > a 且 a + c > b不成立。
不失一般性，我们假设a + b <= c。
由于a和b的长度是正数，所以这个不等式不成立。
因此，两边之和大于第三边是构成三角形的必要条件。
三、三边长度关系的数学证明下面我们给出三边长度关系的数学证明，以深入理解这个定理的原理。
1. 任意两边之和大于第三边的证明假设有一个三角形ABC，其中三边分别为a、b、c。
三角形的三边关系(基础)知识讲解
三角形的三边关系(基础)知识讲解三角形的三边关系（基础）知识讲解三角形是几何中常见的图形之一，由三条边和三个顶点构成。
在三角形中，三条边之间存在着一些特殊的关系，包括边长的关系和角度的关系。
本文将对三角形的三边关系进行知识讲解。
1. 三边关系的定义在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。
换句话说，如果一条线段的长度小于另外两条线段的长度之和，那么这三条线段不能构成一个三角形。
2. 三边关系的分类根据三边关系的大小比较，三角形可以分成三类：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。
- 锐角三角形：三个内角都小于90度的三角形称为锐角三角形。
在锐角三角形中，任意两边的和大于第三边。
- 钝角三角形：三个内角中有一个大于90度的三角形称为钝角三角形。
在钝角三角形中，任意两边的和大于第三边。
- 直角三角形：一个内角等于90度的三角形称为直角三角形。
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，符合勾股定理。
3. 三边关系的性质在三角形中，三个内角的和为180度，也就是说，三个内角相加等于180度。
4. 三边关系的应用三边关系在几何推理和计算中有着广泛的应用。
下面介绍一些常见的应用：- 判断三角形的存在性：根据三边关系的定义，我们可以通过比较三条线段的长度来判断是否能构成一个三角形。
- 计算三角形的未知边长：如果已知三角形的两条边和它们之间的夹角，可以使用三角函数（正弦、余弦、正切）来计算第三边的长度。
- 判断三角形的类型：通过三边关系，我们可以判断三角形是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形，从而更好地进行几何推理。
- 寻找三角形的相似性质：对于两个具有相似三边关系的三角形，它们的对应角度相等，对应边长成比例。
通过对三角形的三边关系进行了解和应用，我们能够更好地理解三角形的性质和几何关系。
掌握这些基础知识，对于解决几何问题和推理证明都有很大的帮助。
希望本文能够对您掌握三角形的三边关系有所帮助。
三角形中的线与角
三角形中的线与角一、知识提要1．三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；2．三角形按边分类：等边三角形，等腰三角形，不等边三角形；3．三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角；4．三角形的中线：连接顶点和它对边中点的线段叫做三角形对边上的中线；5．三角形的高线：从三角形顶点向对边所在直线画垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高；6．三角形的角平分线：画角的平分线，交对边于一点，顶点和对边交点的线段叫做三角形的角平分线.二、精讲精练1．以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的是（）A．7cm，8cm，15cm B．15cm，20cm，5cmC．6cm，7cm，5cm D．7cm，6cm，14cm2．一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边为整数，这样的三角形的周长最小值是（）A．14B．15C．16D．173．如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边长为奇数，那么第三边长为；若第三边为偶数，那么三角形的周长为．4．已知等腰三角形的一边等于5，一边等于6，那么该三角形的周长是．5．下列说法正确的是（）A．锐角大于它的余角B．锐角大于它的补角C．钝角大于它的补角D．锐角与钝角之和等于平角6．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定7．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠B+∠A=∠CB．∠A:∠B:∠C=2:3:5C．∠A=2∠B=3∠CD．一个外角等于和它相邻的一个内角8．给出下列五种说法中：①三角形的三个内角中至少有两个锐角；②三角形的三个内角中至少有一个钝角；③一个三角形中，至少有一个角不少于60°；④CBAFECDBAFBECDAICB A 钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余，正确的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 9．下列说法错误的是( )A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D ．三角形的三条高可能相交于外部一点10．在△ABC 中，AD 为BC 边的中线，若△ABD 比△ADC 的周长大3，AB =8，则AC 的长为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11 11．三角形的角平分线是（ ）A ．射线B ．线段C ．直线D ．以上都有可能12．如图1，△ABC 中，AD ⊥BC 交BC 的延长线于D 点，BE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，FC ⊥BC 于C ，下列说法错误的是（ ） A ．AD 是△ABC 的高 B ．BE 是△ABC 的高 C ．BC 是△BCF 的高 D ．CF 是△ABC 的高13．如图2，△ABC 的两条高线AD ，BE 交于点F ，∠BAD =45°，∠C =60°，则∠BFD 度数为（ ）A ．60°B ．65°C ．75°D ．80°图1 图2 图3 14．如图3，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于I ，若∠ABC +∠ACB =130°，则∠BIC = ．15．一个等腰三角形底边的长为5cm ，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm ，则腰长为_______． 16．如图,在△ABC 中，请作图：①画出△ABC 的一条角平分线； ②画出△ABC 中AC 边上的中线； ③画出△ABC 中BC 边上的高．21E CFBDABE D CA南北4321O DE CB A17．如图，B 处在A 处的南偏西45°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东80°方向，求∠ACB ．18．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，AF 是角平分线，交CD 于点E ，求证：∠1=∠2．19．△ABC 中，已知∠ABC =66°，∠ACB =54°，BE 是AC 边上的高，CF 是AB上的高，H 是BE 和CF 的交点，求∠BCF 、∠HCE 、∠BHC 的度数．三、测试提高【板块一】三角形的三边关系1. 下列各组线段，不能组成三角形的是（ ）A ．1，2，3B ．2，3，4C ．3，4，5D ．5，12，13 【板块二】三角形的分类2. 如图，BD 、CE 是△ABC 的高， 下面给出的四个结论：①∠1=∠2=90°； ②∠3=∠4=90°-∠1；③∠EOD =∠1+∠2+∠A ④∠1+∠2+∠3+∠4=180°，其中错误的结论有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个西北东南BCA【板块三】高线、中线与角平分线 3. 下列说法正确的是（ ）A ．三角形的三条角平分线有可能在三角形内，也可能在三角形外B ．三角形三条高都在三角形内C ．三角形的角平分线是射线D ．三角形三条中线相交于一点4. 若AD 是△ABC 的中线，则下列结论错误的是（ ）A ．AD 平分∠BACB ．BD =DC C ．D 是线段BC 中点 D ．BC =2DC 【板块四】方位角5. 如图，某出租车从A 地出发，沿着北偏东60°的方向前进，到达B 处后沿着南偏东50°的方向行驶来到C 处，此时C 地正处于A 地正东方向；则下列说法中正确的个数有（ ） ①B 在C 处的北偏西50°； ②公路AB 和BC 的夹角是110°； ③A 在B 处的北偏西30°； ④公路AC 和BC 的夹角是50° A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个四、课后作业1．关于三角形的边的叙述正确的是（ ）A .三边互不相等B .至少有两边相等C .任意两边之和一定大于第三边D .最多有两边相等2．已知△ABC 中，∠A =20°，∠B =∠C ，那么三角形△ABC 是（ ） A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .正三角形 3．下面说法正确的是个数有（ ）①如果三角形三个内角的比是1∶2∶3，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果∠A =∠B =21∠C ，那么△ABC 是直角三角形；⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；⑥在△ABC 中，若∠A ＋∠B =∠C ，则此三角形是直角三角形. A .3个 B .4个 C .5个 D .6个4．下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图形是( )A ．B ．C ．D ．5．D 是△ABC 中AB 边上的一点，以下说法中错误的是（ ）A ．若AD =BD ，则CD 是△ABC 的中线；B ．若∠ADC =90°，则CD 是△ABC 的高线； C ．若∠ACD =21∠ACB ，则CD 是△ABC 的角平分线； D ．三角形的中线、高线、角平分线是射线． 6．△ABC 中，如果AB =8cm ，BC =5cm ，那么AC 的取值范围是_____________. 7．已知等腰三角形的一边等于4，一边等于9，则周长为 .8．（1）在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C =1：3：5，则∠A = ，∠B = ，∠C = ．（2）在△ABC 中，∠A -∠B =30°，∠C =4∠B ，则∠A = ． （3）在△ABC 中，如果∠B -∠A -∠C =20°，则∠B = ． 9．如图，AH ⊥BC 于H ，那么 以AH 为高的三角形有 个，它们是 ． 10．如图，在△ABC 中，已知AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高．根据已知条件填空:BE = =21；∠BAD = =21；∠AFD = =90°． 11．△ABC 中，∠A =80°，I 是△ABC 中∠ABC ，∠ACB 的平分线的交点，则∠BIC = ．12．如图，已知D ,E 分别是△ABC 的边BC 和边AC 的中点，连接DE 、AD ，若S △ABC =24cm 2,求△DEC 的面积.HDCBAF D E C B A A B C AB C EABCEABC EC ABCE A B C EABC E EC BAEDCBAEDCBA13．如图，已知：在△ABC 中，∠C =∠ABC ，BE ⊥AC ，△BDE 是正三角形，求∠C 的度数.。
三角形的三边关系基础知识
三角形的三边关系基础知识在数学中，三角形是研究几何形状和关系的重要概念。
而三角形的三边关系则是三角形基础知识中的重要内容之一。
本文将介绍三边关系的相关概念和性质，以帮助读者更好地理解三角形的特性和性质。
1. 三边关系的定义三角形由三条边所组成，而这三条边之间存在着特殊的关系。
在三角形ABC中，设三条边分别为a，b，c，则三边关系可以用下述定义来描述：a +b > cb +c > ac + a > b这三个不等式被称为三边关系的定义。
简而言之，任意两边之和大于第三边，而任意两边之差小于第三边。
2. 三边关系的性质三边关系的定义为我们提供了关于三角形边长的限制条件。
根据这些条件，我们可以推导出一些重要的性质。
（1）等边三角形当三条边的长度都相等时，即a = b = c，这样的三角形称为等边三角形。
在等边三角形中，每条边都相等，同时三个内角也相等，每个内角为60度。
当两条边的长度相等时，即a = b 或 b = c 或 c = a，这样的三角形称为等腰三角形。
在等腰三角形中，两个等边对应的两个内角相等。
（3）直角三角形当一个角恰好为90度时，这样的三角形称为直角三角形。
在直角三角形中，较长的一条边称为斜边，而与直角相对的两个较短的边分别称为直角边。
根据勾股定理，斜边的平方等于直角边平方的和。
（4）斜三角形当三条边均不相等时，这样的三角形称为斜三角形。
斜三角形是三角形中最常见的一种类型，其内角的大小也是各不相同的。
3. 三边关系的应用三边关系在几何学和应用数学中具有广泛的应用。
（1）判断三角形的存在性根据三边关系的定义，我们可以判断给定三边长度是否可以构成一个三角形。
当三条边满足任意两边之和大于第三边的条件时，三角形才存在。
（2）解决实际问题三边关系可以帮助我们解决各种实际问题，例如测量无法直接测量的距离、定位远离物体的位置等。
通过测量三角形的边长和角度，我们可以利用三边关系来推算出其他未知量。
三角形地三边关系
一、三角形的有关概念 1、定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形注意三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
2、有关概念及其表示方法如图所示 线段AB ，BC ，CA 是三角形的边。
点A,B,C 是三角形的顶点。
C B A ∠∠∠,,是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。
即：组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
顶点是A,B,C 的三角形，记作△ABC 。
读作“三角形ABC ”。
△ABC 的三边，有时也用a,b,c 来表示。
如图所示。
三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.。
① 三角形的分类我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。
直角三角形两个锐角互余。
斜三角形2、按边分类。
三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形； 三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。
在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。
即底边和腰相等的等腰三角形。
按边分类: 不等边三角形等腰三角形三、三角形的三边关系对任意一个△ABC ，如果把其中任意两个顶点（例如B ，C ）看成定点，由“两点的所有连线中，线段最短“可得AB+AC ＞BC ① 同理有 AC+BC ＞AB ② AB+BC ＞AC ③由式子①②③我们可以知道三角形的任意两边之和大于第三边. 注释：（1）三边关系的性质：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反应了三角形边得限制关系。
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形。
三角形三边关系讲义
中考要求内容 基本要求略高要求较高要求 三角形 了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会正确对三角形进行分类：理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；了解三角形的内心、外心、重心会用尺规法作给定条件的三角形；会运用三角形内角和定理及推论；会按要求解三角形的边、角的计算问题；能根据实际问题合理使用三角形的内心、外心的知识解决问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题板块一 与三角形有关的边与三角形相关的边⑴三角形中的三种重要线段①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部． ②三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部． ③三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心． 锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部， 直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高． ⑵三角形三条边的关系①三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边．②三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边．即a 、b 、c 三条线段可组成三角形⇔b c a b c -<<+⇔两条较小的线段之和大于最大的线段． 注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．【例1】 下列线能否组成三角形．A ．123，，B ．234，，C ．222345，， D ．222123(0)a a a a +++≠，，【巩固】在下列长度的线段中，能组成三角形的是( )．A ．2，2，4B ．2，3，5C ．2，3，6D ．4，4，7【巩固】下列不能构成三角形三边长的数组是( )．例题精讲三角形的三边关系A ．2-、3-、4-B ．12、13、14C ．21a +、221a +、231a +D ．25、312、313【例2】 如图，为估计池塘岸边A 、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15OA =米，10OB =米，A 、B 间的距离不可能是( ) A ．5米 B ．10米 C ． 15米 D ．20米【巩固】已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三角形的第三边的长可能是( )A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．13cm【巩固】 已知三角形三边长分别为2，1x +，3，则x 的取值范围是( )A ．34x <<B ．0x <<4C ．26x <<D ．34x ≤<【巩固】若三角形的三边长为3，4，x ，则偶数x 的值有 ．【巩固】已知三角形的三边长分别为4、5、x ，则x 不可能是( )A ．3B ．5C ．7D ．9【巩固】如果线段a ，b ，c 能组成一个三角形，那么它们的长度的比可以是( )A ．112::B ．252-::C ．200820092010::D ．484::【例3】 已知三角形两边长为2cm 和7cm ，求它的周长的取值范围．【巩固】已知三角形中两条边的长分别为a 、b ，且a b >，求这个三角形的周长l 的取值范围( )A ．33a l b >>B ．2()2a b l a +>>C ．22a b l b a +>>+D ．32a b l a b ->>+【例4】 （1）一个三角形三边长分别为6，7，x ，则三角形的周长l 的范围是 ．（2）已知ABC ∆有两边长为a 、b ，其中a b <，则其周长l 一定满足( )． A ．22()b l a b <<+ B ．22a l b << C ．a l a b <<+ D ．2a l a b <<+【例5】 已知三角形中两边长为2和7，（1）若第三边长为奇数，则这个三角形的周长为_________． （2）若这个三角形的周长为奇数，则第三边长为_________．【例6】 （1）有三条线段，其中两条线段的长为3和5，第三条线段的长为x ，若这三条线段不能构成三角形，则x 的取值范围是 ．（2）已知三角形三边长分别为2，1x -，3，则x 的取值范围是 ．（3）一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1997，则三角形的第三边是 ．【巩固】一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为( )A ．7B ．9C ．12D ．9或12【巩固】已知三角形的两边为8、10，求第三边的范围，求周长的范围．【例7】 判断说理，正确的说明理由，错误的举出反例．已知ABC ∆的三边分别为x ，y ，z ．（1）以2x ，2y ，2z 为三边的三角形一定存在．（2）以1()2x y +，1()2y z +，1()2z x +为三边的三角形一定存在．【巩固】判断说理，正确的说明理由，错误的举出反例．已知ABC ∆的三边分别为x ，y ，z ．⑴ 以1x 、1y 、1z为三边的三角形一定存在．⑵ 以1x y -+、1y z -+、1z x -+为三边的三角形一定存在．【例8】 如图，四边形ABCD 中，3AB =，4BC =，9CD =，AD a =，则a 的取值范围a934ABCD【例9】 不等边三角形中，如果一条边长等于另两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值k 的取值范围是 ．【巩固】在不等边三角形中，如果有一条边长等于另两条边长的平均值，那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( )A ．314k <<B ． 113k <<C ． 12k <<D ． 112k <<【巩固】不等边三角形ABC 的两条高长度为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．【例10】a、b、c为三角形的三边长，化简a b c b c a c a b--+--+--，若此三角形周长为11，求上面式子的值．【巩固】a、b、c为三角形的三边长，化简a b c a b c a b c a b c++-----+-+-【例11】已知在ABC∆中，8AB=，14BC=，求BC边上的中线AD的取值范围．【例12】下列长度的线段能否组成三角形：23a+、24a+、27a+(0a≠)；【例13】下列长度的线段能否组成三角形：3a、4a、21a+(15 a>)；【巩固】下列线段能组成三角形的是( )A．1a+，2a+，3a+B．a，a，1a+C．a，a，21a+D．1a，12a，23a【巩固】下列长度的线段能否组成三角形：23a+、24a+、27a+(0a≠)；【巩固】下列长度的线段能否组成三角形：3a、4a、5a(0a>)；【巩固】长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任意取三根，能组成多少个三角形？【例14】已知三角形的三边长a、b、c都是整数，且a b c<<，如果7b=，求满足题意的三角形的个数．【巩固】 已知三角形三边的长a 、b 、c 都是整数，且a b c <≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形．【巩固】 已知三角形三边的长a 、b 、c 都是整数，若a b c ≤≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形．【例15】 周长为整数的三角形三边长分别为3、4、x ，且x 满足不等式12327x x ->⎧⎨<⎩，这样的三角形有 个．【例16】 周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？【巩固】 将三边长为a ，b ，c 的三角形记作()a b c ，，．写出周长为20，各边长为正整数的所有不同的三角形．【例17】 一个三角形的三条边的长分别是a ，b ，c (a ，b ，c 都是质数)，且16a b c ++=，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．直角三角形或等腰三角形【例18】 设m 、n 、p 均为自然数，足m n p ≤≤，15m n p ++=，试问以m 、n 、p 为边长的三角形有多少个?【例19】 若三角形的周长为60，求最大边的范围．【巩固】 已知ABC ∆的周长是12，求最大的边的范围．【例20】 设ABC ∆的三边a 、b 、c 的长度均为自然数，且a b c ≤≤，13a b c ++=，则以a 、b 、c 为三边的三角形共有 个．【巩固】 设m 、n 、p 均为自然数，且m n p ≤≤，11m n p ++=，试问以m 、n 、p 为边长的三角形有多少个?【巩固】 若三角形三边长a 、b 、c 是三个连续的自然数，三角形的周长小于19，这样三角形有 个．【例21】 用7根火柴棒首尾顺序连接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为 ．【巩固】现有长度分别为2cm ，3cm ，4cm ，5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为 ．【例22】 在平面内，分别用3根、5根、6根……火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示：222221111等边三角形等腰三角形等边三角形653形状示意图火柴数① 4根火柴能搭成三角形吗？② 8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？【例23】 将长度为2n (n 为自然数且4n ≥)的一根铅丝折成各边长均为整数的三角形，记(,,)a b c 为三边的长分别为a ，b ，c 且满足a b c ≤≤的一个三角形．（1）就4n =、5、6的情况，分别写出所有满足题意的(,,)a b c ；（2）有人根据⑴中的结论，便猜想：当铅丝的长度为2n (n 为自然数且4n ≥)时，对应的(,,)a b c 的个数一定是3n -．事实上，这是一个不正确的猜想；请写出12n =时的所有(,,)a b c ，并回答(,,)a b c 的个数；（3）试将12n =时所有满足题意的(,,)a b c ，按照至少两种不同的标准进行分类．【例24】 如图，P 是ABC ∆内任意一点，求证：（1）PB PC AB AC +<+； （2）P A ∠>∠PCBA【巩固】已知，如图，P Q ，为三角形ABC 内两点，B P Q C ，，，构成凸四边形，求证：AB AC BP PQ QC +>++． QPCBA【巩固】如图，在ABC ∆中取一点P ，使CP CB =，求证：AB AP >．PCB A【例25】 如图，P 为ABC △内一点，试说明1()2PA PB PC AB BC AC ++>++．ABC P【巩固】如图，在三角形ABC 中，AB AC BC >>，为三角形内任意一点，连结AP ，并延长交BC 于点D ．求证：（1）AB AC AD BC +>+； （2）AB AC AP BP CP +>++．PAB CD【巩固】如图所示，在ABC ∆中，AD BC ⊥，D 在BC 上，ABC ∠>ACB ∠，P 是AD 上的任意一点，求证AC BP AB PC +<+．A BC D P【例26】 点1C 、1A 、1B 分别在ABC ∆的边AB 、BC 和CA 上，且满足11111113AC C B BA AC CB B A ==::=::，求证：ABC ∆的周长p 与111A B C ∆的周长'p 之间有不等式1'2p p <．A 1AB 1BC 1C1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A ．1cm ，2cm ，5cmB ．4cm ，5cm ，9cmC ．5cm ，8cm ，15cmD ．6cm ，8cm ，9cm 2.已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为( )．A ．8B ．7C ．6D ．43. 两根木棒的长分别是7cm 和10cm ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长是cm a ，则a 的取值范围是___________．4. 一个三角形三边长分别为8，10，x ，则x 的取值范围是 ．5.一个三角形的周长为偶数，其中的两条边长分别为4和2003，则满足上述条件的三角形的个数为( )A ．1个B ．3个C ．5个D ．7个6. 有三条线段，其中两条线段的长为3和5，第三条线段的长为x ，若这三条线段不能构成三角形，则x 的取值范围是 ．7. 已知有长为1，2，3的线段若干条，任取其中三条构造三角形，则最多能构成形状或大小不同的三角形个数是 ．8.将长为15dm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有多少种．课后作业。
13.三角形三边关系
13.三角形三边关系【知识要点】1、三角形的概念、分类2、三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边3、三角形的角平分线、中线、高线的作法及性质角平分线的作法：作三角形的角平分线，只需作一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和交点之间的线段即是三角形的角平分线；一个三角形有三条角平分线，它们相交于三角形内一点。
中线的作法：作三角形的中线，只需连结顶点及其对边中点即可，一个三角形有三条中线，且相交于三角形内一点。
高线的做法：作三角形高，只需经过三角形的顶点向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高。
【典型例题】【例1】（1）如图16－1所示，D 是△ABC 内任一点，求证：AB+AC>BD+CD 。
【例2】在ABC ∆中，AB=9，BC=2．并且AC 为奇数，那么ABC ∆的周长为多少呢？【例3】已知等腰三角形ABC ∆的周长为23cm ，D 为AC 边上中点，ABD ∆的周长比BCD ∆的周长大7cm ，求AB 和BC 的长。
【例4】 一个三角形的周长是个偶数，其中的两条边长分别是4和1997，满足上述条件的三角形的个数为（ ）A ．1个B ．3个C ．5个D ．7个CAB DDE C BA图16－1【例5】如图，AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC 的中线。
（1）△ABD 与△ADC 的面积有何关系？请说明理由？（2）若△GFC 的面积GFC S ∆=1cm 2，则△ABC 的面积ABC S ∆= 。
【例6】已知等腰三角形的一边长为6cm ，另一边长为12cm ，则其周长为多少？【课堂训练】一．选择题1．在一个三角形中，两条边长分别为2和7，另一条边的长是奇数，符合这样条件的三角形（ ）A.不存在B.只有一个C.只有两个D.有三个2．有长度分别为10cm ，7cm ，5cm 和3cm 的四根铁丝，选其中三根组成三角形则（ ）A.共有4种选法B.只有3种选法C.只有2种选法D.只有1种 选法3、在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，③∠A=900－∠B ，④∠A=∠B= 12 ∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个4．ABC ∆的三边c b a ,,，且()()0=-⋅-+c a c b a ，那么ABC ∆中（ ）A.c b a >>B.c b a =+C.c a =D.不能确定其边的关系5．三角形的两边长分别为2和5，则三角形的周长t 的取值范围是（ ）A.73<<tB.129<<tC.1410<<tD.无法确定6．三角形的角平分线、中线、高都是（ ）A.线段B.射线C.直线D.射线或线段7．下列说法中，正确的是（ ）A.三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部B.三角形的角平分线有时在三角形的外部C.三角形的中线有时在三角形的外部D.三角形的高至少有1条在三角形的内部8.能把1个三角形分成2个面积相等的小三角形的是该三角形的（ ）A.角平分线B.中线C.高D.一边的垂直平分线二、解答题1．已知三角形的两边长分别为7和2．（1）如果这个三角形是等腰三角形，求它的周长．（2）如果周长是奇数，求第三边的长．2．已知等腰三角形的周长为20．（1）当一边长为6时，另两边的长是多少？（2）当一边长为4时，另两边的长是多少？3．等腰三角形一腰上的中线把周长分为6和4两部分，则这个三角形的各边分别为_________、_________、_________。
三角形的三边长度关系
三角形的三边长度关系三角形是几何学中的基本形状之一，由三条线段组成，每条线段称为边，而三条边之间的关系对于三角形的性质和特点有着重要影响。
本文将以三角形的三边长度关系为主题，探讨三角形的性质和特点，带领读者深入了解三角形。
一、三角形的定义及性质三角形是由三条线段组成的多边形，其中的每条线段称为边，而三条边的交点称为顶点。
根据三角形的边长关系，可以将三角形分为三种类型：等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
1. 等边三角形等边三角形的三条边长度相等，每个内角均为60度。
它是一种特殊的等腰三角形，具有对称美观的特点。
2. 等腰三角形等腰三角形的两条边长度相等，另一条边长度不同。
等腰三角形的两个底角相等，而顶角则与底角不相等。
3. 普通三角形普通三角形的三条边长度都不相等，每个内角均不相等。
普通三角形是最常见的三角形类型，根据边长的不同，可以进一步分类为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。
二、三边长度关系及其应用三角形的三边长度关系是研究三角形性质的基础，它可以帮助我们计算三角形的周长、面积和各个角的大小。
1. 三边之和根据三角形的定义，三角形的任意两边之和大于第三边。
即对于三角形的三条边a、b、c，有a+b>c、a+c>b、b+c>a。
这个关系被称为三边不等式，它是判断三条线段是否可以组成三角形的重要条件。
2. 等边三角形的边长关系等边三角形的三条边长度相等，即a=b=c。
等边三角形的周长可以通过边长乘以3来计算，即周长=3a。
3. 等腰三角形的边长关系等腰三角形的两条边长度相等，即a=b。
等腰三角形的周长可以通过边长乘以2再加上底边长来计算，即周长=2a+c。
4. 普通三角形的边长关系普通三角形的三条边长度都不相等，即a≠b≠c。
普通三角形的周长可以通过三条边长之和来计算，即周长=a+b+c。
5. 三角形的面积计算根据海伦公式，已知三角形的三边长a、b、c，可以通过以下公式计算三角形的面积S：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中，p为半周长，即p=(a+b+c)/2。
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有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
三角形按角的不同只能分成三类，在三 角形中包含着这样的关系
锐角三角形
钝角三角形 直角三角形
用直尺量一量下面两个三角形的边， 你发现了什么？
慢
红领巾
交通标志
2厘米 52厘米 6厘米 22厘米 22厘米
22厘米
两条边相等
三条边都相等
三角形按边又怎样分类呢？
①
②
图 ②有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
B
底
C 这条对边叫做三角形的底
一个三角形只能画一条高吗？
底
高 高 高
底
底
A
底
高 高 高 底
B
底
C
1.如果BC为底，（ 红 ）色的虚线是它的高；
2.如果绿色的虚线是高,它的底是（ AC ）；
3.AB是底，红色的虚线是它的高，这样说法对吗？
高
底
高
底
直角三角形的两条直角边互为底和高。
画出下面三角形中给定底边 上的高 A
一根铁丝长60厘米。
（1）用这根铁丝围成一个腰长为24厘米的等腰三角形， 这个三角形的底边是多少厘米？
60－24－24 = 12(厘米)
（2）如果用这根铁丝围成一个等边三角形，那么这个 三角形的边长是多少厘米?
60 ÷ 3 = 20(厘米)
下图是一块菜地，它周围的篱笆围成了一个 等腰三角形。如果∠B=∠C，那么这个篱笆 的周长是多少？
这是我摆的。
√
√
×
√
小明想要给他的小狗做一个房子，房顶的 框架是三角形的，其中一根木条是3分米，另一 根是5分米，那么第三根木条可以是多少分米呢？
（取整分米数）
你认为最有可能是哪种？
3 5 3
5 3 3
5 3 4
5 3 5
5 3 6
5
5
dog
5 3 7
3
用长度为2cm、2cm、6cm、6cm、6cm 这五条线段中的任意三条线段拼成一个
请同学说一说，下面哪些图形是三角形
三 角 支 架
这些物体中的三角形具有什么作用 呢？
请同学们任意画一 三角形具有 个三角形，仔细观 稳定性 察，讨论什么样的
图形叫做三角形？
由三条线段围成的图形叫三角形。 每相邻的两条线段的端点相连。
小 明 上 学 线 路 图
1、我上学有几条路可以怎么 走？ 2、走哪条路最近，为什么？
实验
用长是4cm、5cm、8cm、10cm的小棒摆三角形， （每边只能用一根小棒来表示）并做好记录。
组 别
三边长 （厘米） 能否围成 三 角 形 三边关系
第一组
第二组 第三组
4、5、8
5、8,10 4、5、10
能
4+5＞8 4+8＞5 5+8>4 5+8＞10 5+10＞8 8+10＞5
能
不能
4+5<10 4+10＞5 5+10＞4
图 ② 三条边都相等的三角形叫做等边三角形
1.三角形各部分名称 2.三角形有几条边、 几个角、几个顶点？
顶点
边
角
顶点
角
边
角
边
顶点
三角形有三条边、三个顶点，三个角
腰 底角
顶角腰 底角Leabharlann 底边 等腰三角形 等边三角形
等边三角形是特殊的等腰三角形。
A
高
从三角形的一个顶点到它 的对边做一条垂线，顶点 和垂足之间的线段叫做三 角形的高
练一练
1．判断下列说法正确吗？（用手势表示） （1）一个三角形如果有两个锐角，必定是一个锐角三 角形。（ × ） （2）所有的等边三角形都是锐角三角形。 （√ ） （3）等腰三角形都是等边三角形。 （ × ） （4）直角三角形中有2个直角。1个锐角。 （ √ ） （5）一个三角形中只能有一个直角或者一个钝角 （ ×）
两条线段长度之和小于第三条
两条线段长度之和小于第三条
不能围成三角形
两条线段长度之和等于第三条
有两条线段长度之和等于第三条 不能围成三角形
两条线段长度之和大于第三条线段
两条线段长度之和大于第三条线段
可以围成三角形
从4根小棒中任意选出3根，摆成一个三角形。 4cm 5cm 8cm 10cm
三角形，你能拼成几种不同的形状？
6
6
6
6
2
6
今
天
你
学
会
了
什
么
？
2，三角形的分类
旧知铺垫
1，角可分为哪几类？ 2，各类角有什么特征？
按角的特征给三角形分类
①
②
③
④
⑥ ⑤
⑦
① ⑤ ⑥三个角都是锐角
④ ②都是直角
③ ⑦都是钝角
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。
有一个角是直角的三角形是直角三角形。
A
8米
B
12米
C
8×2 + 12 = 28（米）
答：这个篱笆的周长是28米。
今
天
你
学
会
了
什
么
？
底 底 高 底
B
高
C
底 底
①三角形是由（ 3 ）条边
（3）个顶点，（3）个角组成。 ②三角形有（3 ）条高。
练一练 练一练
判断
１.有三条线段组成的图形叫做三角形。 （ 2.三角形有三条边、三个角、三个顶点。（ 3.三角形可以作出三条高。 ４.三角形和平行四边形都具有稳定性。 （ （ ） ） ） ）