高等数学：第十一讲 由参数方程所确定的函数的导数
合集下载
隐函数和由参数方程确定的函数求导
\ \frac{dy}{dt} &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{y(t + \Delta t) - y(t)}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{2} - t^{2}}{\Delta t}
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{3} - t^{3}}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 3t^{2} + 3\Delta t(t)
\ &= 3t^{2}
由参数方程确定的函数求导
把一个隐函数化作显函数，叫隐函数的显化，另外有一些隐函数是很难显化或无法显化的，这样就需要考虑直接由方程入手来计算其所确定的隐函数导数的方法。
下面来举个例子说明他的求法。
隐函数求导
&= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^{3} - 3(x + \Delta x) - x^{3} + 3x}{\Delta x} \ &= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{3x^{2} + 3\Delta x(2x + \Delta x) - 3}{\Delta x} \ &= 3x^{2} + 6x
\
由参数方程确定的函数求导
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 2t + \Delta t \ &= 2t \end{aligned}$$ 然后，我们可以使用链式法则和乘法法则来找到 $x$ 和 $y$ 的导数的组合
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{2} - t^{2}}{\Delta t}
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{3} - t^{3}}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 3t^{2} + 3\Delta t(t)
\ &= 3t^{2}
由参数方程确定的函数求导
把一个隐函数化作显函数，叫隐函数的显化，另外有一些隐函数是很难显化或无法显化的，这样就需要考虑直接由方程入手来计算其所确定的隐函数导数的方法。
下面来举个例子说明他的求法。
隐函数求导
&= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^{3} - 3(x + \Delta x) - x^{3} + 3x}{\Delta x} \ &= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{3x^{2} + 3\Delta x(2x + \Delta x) - 3}{\Delta x} \ &= 3x^{2} + 6x
\
由参数方程确定的函数求导
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 2t + \Delta t \ &= 2t \end{aligned}$$ 然后，我们可以使用链式法则和乘法法则来找到 $x$ 和 $y$ 的导数的组合
10 由参数方程确定的函数的导数、高阶导数
6
首页
上页
返回
下页
结束
铃
二、高阶导数
1、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度 问题:变速直线运动的加速度.
设 s = f (t ), 则瞬时速度为 v ( t ) = f ′( t )
Q 加速度 a是速度 v对时间 t的变化率
∴ a ( t ) = v ′( t ) = [ f ′( t )]′ .
一 地 函 f ( x)的 −1 导 的 数 为 般 , 数 n 阶 数 导 称
数 n 导 , 作 函 f ( x)的 阶 数 记
dn y dn f ( x) f (n) ( x), y(n) , . 或 n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 高阶导数. 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数
(4) ( x α ) ( n ) = α(α − 1) L (α − n + 1) x α − n
(n)
(5) (ln x )
14
= ( −1)
上页
n −1
( n − 1)! xn
返回
1 (n) n n! ( ) = ( −1) n + 1 x x
下页 结束 铃
首页
1 (5) , 求y . 2 x −1 1 1 1 1 解Qy= 2 ) = ( − x −1 2 x −1 x +1
例6 设 y =
∴y
(5)
1 − 5! − 5! ] = [ − 6 6 2 ( x − 1) ( x + 1) 1 1 ] = 60[ − 6 6 ( x + 1) ( x − 1)
15
首页
上页
返回
下页
结束
铃
12,13隐函数和由参数方程所确定的函数的导数.
y= 3 2
y=3 3 2
故切线方程为 即
3 3 y − 3 = − (x − 2) 2 4
求由方程 y5 + 2y − x − 3x7 = 0 确定的 y = y(x) 在 x = 0 处的导数 dy 隐函数 . dx x = 0 解 方程两边对 x 求导 例5
得
dy 5y + 2 −1− 21x6 = 0 dx dx 6 dy 1+ 21x ∴ = 4 dx 5y + 2
π πa 直 坐 为 0, )的 对 的 角 θ = 角 标 ( 点 应 极 为 2 2 dy 2 而 =− d x θ=π π
2
故 求 线 程 所 切 方 为
aπ 2 y− = − ( x − 0) 2 π 即 aπ x+ y = . 2 π 2
例3
抛射体运动轨迹的参数方程为
的运动速度的大小和方向. 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向 解 先求速度大小: 先求速度大小 速度的水平分量为 故抛射体速度大小 故抛射体速度大小 铅直分量为
d(ln y) dh(x) = dx dx d(ln y) d(ln y) d y 1 ′ = ⋅y Q = ⋅ d y dx y dx 1 ′ ∴ ⋅ y′ = h (x), y′ = yh (x). ′ y
令
易求导
(2) 适用范围
y = [u(x)]v( x) 的 数 1) 幂 函 : 指 数 导 .
y =ψ[ϕ−1(x)] 可导， 且 可导， 确定的函数
dy dy dt dy 1 ψ′(t) = ⋅ = . = ⋅ dx dt dx dt dx ϕ′(t) dt
一个半径为a的圆在定直线上滚动时 的圆在定直线上滚动时,圆周上任一 例1 一个半径为 的圆在定直线上滚动时 圆周上任一 定点的轨迹称为摆线 计算由摆线的参数方程: 定点的轨迹称为摆线, 计算由摆线的参数方程 摆线 x = a(t − sint), 摆线 y = a(1− cost) dy . 所确定的函数 y = y (x) 的导数 dx dx dy dy dy dt dt [a(1−cost)]' = ⋅ = = 解 dx dt dx dx [a(t −sint)]' dt t asint = (t ≠ 2kπ,k ∈Z ). = cot a(1− cost) 2
y=3 3 2
故切线方程为 即
3 3 y − 3 = − (x − 2) 2 4
求由方程 y5 + 2y − x − 3x7 = 0 确定的 y = y(x) 在 x = 0 处的导数 dy 隐函数 . dx x = 0 解 方程两边对 x 求导 例5
得
dy 5y + 2 −1− 21x6 = 0 dx dx 6 dy 1+ 21x ∴ = 4 dx 5y + 2
π πa 直 坐 为 0, )的 对 的 角 θ = 角 标 ( 点 应 极 为 2 2 dy 2 而 =− d x θ=π π
2
故 求 线 程 所 切 方 为
aπ 2 y− = − ( x − 0) 2 π 即 aπ x+ y = . 2 π 2
例3
抛射体运动轨迹的参数方程为
的运动速度的大小和方向. 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向 解 先求速度大小: 先求速度大小 速度的水平分量为 故抛射体速度大小 故抛射体速度大小 铅直分量为
d(ln y) dh(x) = dx dx d(ln y) d(ln y) d y 1 ′ = ⋅y Q = ⋅ d y dx y dx 1 ′ ∴ ⋅ y′ = h (x), y′ = yh (x). ′ y
令
易求导
(2) 适用范围
y = [u(x)]v( x) 的 数 1) 幂 函 : 指 数 导 .
y =ψ[ϕ−1(x)] 可导， 且 可导， 确定的函数
dy dy dt dy 1 ψ′(t) = ⋅ = . = ⋅ dx dt dx dt dx ϕ′(t) dt
一个半径为a的圆在定直线上滚动时 的圆在定直线上滚动时,圆周上任一 例1 一个半径为 的圆在定直线上滚动时 圆周上任一 定点的轨迹称为摆线 计算由摆线的参数方程: 定点的轨迹称为摆线, 计算由摆线的参数方程 摆线 x = a(t − sint), 摆线 y = a(1− cost) dy . 所确定的函数 y = y (x) 的导数 dx dx dy dy dy dt dt [a(1−cost)]' = ⋅ = = 解 dx dt dx dx [a(t −sint)]' dt t asint = (t ≠ 2kπ,k ∈Z ). = cot a(1− cost) 2
由参数方程确定的函数的求导方法
一、概述从高中开始学习数学，我们就被教导如何求解代数函数的导数。
但是在高等数学领域，我们还需要学会如何求解由参数方程确定的函数的导数。
参数方程在描述曲线、曲面等几何图形时具有独特的优势，因此求解由参数方程确定的函数的导数是十分重要的。
二、参数方程的定义参数方程是由参数对确定的函数，其自变量和因变量均为参数。
常见的参数方程形式可表示为$x=f(t)$，$y=g(t)$，其中$x$和$y$分别是$t$的函数。
参数方程的优点在于能够将几何问题转化为代数问题，简化问题的求解过程。
三、从参数方程求导的基本方法1. 链式法则当我们需要求解由参数方程确定的函数的导数时，可以利用链式法则。
设有参数方程$x=f(t)$，$y=g(t)$，需求解函数$y$关于$x$的导数$\frac{dy}{dx}$。
根据链式法则，我们有$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$。
通过对参数$t$的求导，我们可以得到$y$关于$x$的导数。
2. 极限定义法我们也可以利用极限定义法来求解由参数方程确定的函数的导数。
设有参数方程$x=f(t)$，$y=g(t)$，需求解函数$y$关于$x$的导数$\frac{dy}{dx}$。
我们可以将$\frac{dy}{dx}$表示为$\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$，其中$\Delta t$趋近于$0$。
通过极限的定义，我们可以求得函数$y$关于$x$的导数。
四、实例分析为了更好地理解从参数方程求导的方法，我们通过实例来进行分析。
假设有参数方程$x=2t$，$y=t^2$，我们需要求解函数$y$关于$x$的导数。
根据链式法则，我们有$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，代入参数方程得$\frac{dy}{dx}=\frac{2t}{2}=\frac{t}{1}=t$。
隐函数与参数方程确定的函数的导数
sin t cos t
) )
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解
dy dx
dt dx
a sin t sin t a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
1.
2
Y20A1N9G年Z6H月O2U4日U星N期IV一ERSITY高等数学(经济类)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
解法2
设 arctan y ln
x2
y2
,求 dy
d2y ,
x
dx dx2
arctan y ln x2 y2 1 ln x2 y2
x 方程两边对x求导得
1
2
1
y
2
y x
1 2
x2
1
y2
(x2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
当 t 时, x a( 1), y a.
2
2所求切线方程为来自ya
x
a(
1)
2
即 y x a( 2 ) 2
Y20A1N9G年Z6H月O2U4日U星N期IV一ERSITY高等数学(经济类)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x2
y
3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x 2)
2
4
即
Y20A1N9G年Z6H月O2U4日U星N期IV一ERSITY高等数学(经济类)
隐函数和由参数方程所确定的函数的导数
的隐函数，则 F[ x, y( x)] 0 ( x D)；
2°若隐函数 y y( x) ( x D)可由F ( x, y) 0中
解出，则称此隐函数可显化；
如：
确定了一个隐函数：y = y(x)
可显化：y 3 1 x.
2021/4/22
2
3°有些隐函数不易显化，甚至不能显化.
例1 e y xy 0 确定了一个隐函数：
y
t
2
,
t x 2
y
t2
( x)2
2
x2 4
故
消去参数 t
y 1 x. 2
问题: 消去参数困难或无法消去参数时，如何
求函数的导数?
2021/4/22
14
结论 (由参数方程所确定的函数的求导公式)
在
x y
(t) (t)
中，设
x
(t
)在某个区间上具有
单调且连续的反函数 t 1( x), 且能构成复合
5 y4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
由原方程得 x = 0 时 y = 0 , 故
2021/4/22
28
例3-4 设 y x ex , 求其反函数的导数 . 解 (方法1)
(方法2) 等式两边同时对 y 求导
2021/4/22
29
f (x) 0 f (x) 0
当 f ( x) 0 时，y f ( x)
f (x)
y (ln x ) 1 ( x 0) x
当
f
(
x)
0
时，y
[
1 f(
x)]
[
f
(
x
2°若隐函数 y y( x) ( x D)可由F ( x, y) 0中
解出，则称此隐函数可显化；
如：
确定了一个隐函数：y = y(x)
可显化：y 3 1 x.
2021/4/22
2
3°有些隐函数不易显化，甚至不能显化.
例1 e y xy 0 确定了一个隐函数：
y
t
2
,
t x 2
y
t2
( x)2
2
x2 4
故
消去参数 t
y 1 x. 2
问题: 消去参数困难或无法消去参数时，如何
求函数的导数?
2021/4/22
14
结论 (由参数方程所确定的函数的求导公式)
在
x y
(t) (t)
中，设
x
(t
)在某个区间上具有
单调且连续的反函数 t 1( x), 且能构成复合
5 y4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
由原方程得 x = 0 时 y = 0 , 故
2021/4/22
28
例3-4 设 y x ex , 求其反函数的导数 . 解 (方法1)
(方法2) 等式两边同时对 y 求导
2021/4/22
29
f (x) 0 f (x) 0
当 f ( x) 0 时，y f ( x)
f (x)
y (ln x ) 1 ( x 0) x
当
f
(
x)
0
时，y
[
1 f(
x)]
[
f
(
x
1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则
d 2 y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 即 . 2 3 dx (t )
湘潭大学数学与计算科学学院
上一页
下一页
返回首页
5
二、典型例题
x a( t sin t ) 在t 处的切线方程 . 例1 求摆线 2 y a(1 cos t )
1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则
一、求导法则 二、典型例题 三、小结
湘潭大学数学与计算科学学院
上一页
下一页
返回首页
1
一、求导法则
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t , y t2,
d2y 例3 设 x a cos t，y b sin t，求 2 . dx
解
dy dy dt b cot t， dx dx a dt
d dy d 2 y dt dx 2 dx dx dt
b cot t b ( csc 2 t ) a a (a cos t ) a sin t
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 返回首页
4
d ( t ) d dy ( ) ( ) dt dx dt ( t ) dx ( t ) dt
( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 1 2 (t ) ( t )
所求切线方程为
y a x a( 1) 2
即
y x a (2
2
).
上一页 下一页 返回首页 7
湘潭大学数学与计算科学学院
湘潭大学数学与计算科学学院
上一页
下一页
返回首页
5
二、典型例题
x a( t sin t ) 在t 处的切线方程 . 例1 求摆线 2 y a(1 cos t )
1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则
一、求导法则 二、典型例题 三、小结
湘潭大学数学与计算科学学院
上一页
下一页
返回首页
1
一、求导法则
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t , y t2,
d2y 例3 设 x a cos t，y b sin t，求 2 . dx
解
dy dy dt b cot t， dx dx a dt
d dy d 2 y dt dx 2 dx dx dt
b cot t b ( csc 2 t ) a a (a cos t ) a sin t
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 返回首页
4
d ( t ) d dy ( ) ( ) dt dx dt ( t ) dx ( t ) dt
( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 1 2 (t ) ( t )
所求切线方程为
y a x a( 1) 2
即
y x a (2
2
).
上一页 下一页 返回首页 7
湘潭大学数学与计算科学学院
第11讲 3-3 隐函数与由参数方程所确定的函数的导数
再设函数 x (t ), y (t ) 都可导，且 (t ) 0，
由复合函数及反函数的求导法则得
dy 1 ( t ) d y d y dt . dt d x d x dt d x ( t ) dt
dy d y dt dx dx dt
10/12
y f x 在 x 0 处的导数 y | x 0 .
5/12
高等 微积分 数学
第三章 导数与微分
2 x2 y 例 2 求双曲线 2 2 1在 P0 x0 , y0 处的切线方程. a b
6/12
高等 微积分 数学
第三章 导数与微分
例4 设 y x x ( x 0), 求y.
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
（1）明确函数关系
（2）标明自变量的位置
（3）逐一求导解方程
4/12
高等 微积分 数学
第三章 导数与微分
dy 例 1 求由方程 e xy e 0所确定的隐函数的导数 . dx
y
练习 1 求由方程 y 5 2y x 3x 7 0 所确定的隐函数
第11讲 隐函数与由参数方程
所确定的函数的导数
如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎。 ——欧拉
高等 微积分 数学
第三章 导数与微分
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数
2/12
高等 微积分 数学
第三章 导数与微分
一、隐函数的导数
隐函数： 由方程F x, y =0所确定的函数 y y( x ). 显函数： y f ( x ) 形式的函数. 隐函数的显化： F ( x , y ) 0
确定 y 与 x 之间的函数关系，称此函数关系为由参 数方微积分 数学
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
dy dt
1 dx
y(t ) )
例题：
已知摆线方程为
x a(t sin t),
y
a(1
cost)
(a 为常数，0 t 2π) ，求摆线在 t
3
处的切线方程 .
解
与
t
3
对应的曲线上的点为
P a
3
3 2
,
1 2
a
,
y′ (t)= asin t， x′(t)= a(1-cos t)，
由参数方程所 确定的函数的
导数
引例
已知摆线方程为
x y
a(t a(1
sin t ) ， (a
cos t)
为常数，0
t
2π
)
，求摆线在
t 处的切线方程 .
3
分析 切线方程
切点
斜率
导数
问题
一、这里的函数如何确定？ 二、如何求该函数的导数？
隐由函 参数方程确定的函数
定义
如果参数方程
x y
x(t), y(t)
所以
dy
sin t
dy ,
dx 1 cos t dx t π
3.
3
点
P
处的切线方程为
y
1a 2
3
x
3
a
3 2
a
.
谢谢
(
t
)
可确定y与x之间的函数
关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的
函数。
例如，参数方程
x
y
r cost, r sin t
(0
t
2
)
确定了y与x之间的函数
关系，即 x2 y2 r 2.
隐由函 参数方程所确定的函数的导数
定理
设参数方程
x y
x(t), y(t)
(
t
)
所确定的函数为
y
y(x)
，
如果函数x(t), y(t)可导，且x (t)0, 又 x x(t) 具有单调连续的
反函数，则函数 y y(x) 可导，且
dy dx
y(t) . x(t)
t x1(x)
事实上，y y(x) 可以看成是由 y y(t), t x1(x) 构成的复合函数，
dy dx
dy dt dt dx