初二数学思维训练

八年级下思维训练一（2019、3、8）班级姓名1．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝+．其中正确结论的序号是（）A．①③④B．①②③C．②③④D．①②④2．如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是．3．在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．（1）如图1，若∠ADC＝90°，G是EF的中点，连接AG、CG．①求证：BE＝BF．②请判断△AGC的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠ADC＝60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）4．提出问题：如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG连接EG，小亮发现△ABC与△AEG面积相等．小亮思考：这个问题中，如果∠A≠90°，那么△ABC与△AEG面积是否仍然相等？猜想结论：经过研究，小亮认为：上述问题中，对于任意△ABC，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE 和正方形ACFG，连接EG，那么△ABC与△AEG面积相等．证明猜想：（1）请你帮助小亮画出图形，并完成证明过程．已知：以△ABC的两边AB、AC为边长分别向外作正方形ABDE、ACFG，连接GE．求证：S△AEG＝S△ABC．结论应用：（2）学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，其中四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，且面积分别为9m2、5m2和4m2．求这个六边形花圃ABIHFE的面积．5．如图，以△ABC三边为边，分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADEF是菱形？请说明理由．（3）当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADEF是正方形？不必说出理由．6．如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD ＝DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．（1）若M为AG中点，且DM＝2，求DE的长；（2）求证：AB＝CF+DM．7．如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．8．（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH＝EF+EG；（2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL＝BC，连接CL，点E是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段的关系，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝+．其中正确结论的序号是（）A．①③④B．①②③C．②③④D．①②④【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∵AP⊥AE，∴∠BAE+∠BAP＝90°，又∵∠DAP+∠BAP＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAP，在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS），故①正确；∵AE＝AP，AP⊥AE，∴△AEP是等腰直角三角形，∴∠AEP＝∠APE＝45°，∴∠AEB＝∠APD＝180°﹣45°＝135°，∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，∴EB⊥ED，故③正确；∵AE＝AP＝1，∴PE＝AE＝，在Rt△PBE中，BE＝＝＝2，∴S△APD+S△APB＝S△APE+S△BPE，＝×1×1+××2，＝0.5+，故④正确；过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，∵∠BEF＝180°﹣135°＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BF＝×2＝，即点B到直线AE的距离为，故②错误，综上所述，正确的结论有①③④．故选：A．2．如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是 1.5．【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EG，∵旋转角为60°，∴∠ECD+∠DCF＝60°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，∴∠DCF＝∠GCE，∵AD是等边△ABC的对称轴，∴CD＝BC，∴CD＝CG，又∵CE旋转到CF，∴CE＝CF，在△DCF和△GCE中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，此时∵∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×6＝3，∴EG＝AG＝×3＝1.5，∴DF＝1.5．故答案为：1.5．3．在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．（1）如图1，若∠ADC＝90°，G是EF的中点，连接AG、CG．①求证：BE＝BF．②请判断△AGC的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠ADC＝60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）【分析】（1）①先判定四边形ABCD是矩形，再根据矩形的性质可得∠ABC＝90°，AB∥DC，AD∥BC，然后根据平行线的性质求出∠F＝∠FDC，∠BEF＝∠ADF，再根据DF 是∠ADC的平分线，利用角平分线的定义得到∠ADF＝∠FDC，从而得到∠F＝∠BEF，然后根据等角对等边的性质即可证明；②连接BG，根据等腰直角三角形的性质可得∠F＝∠BEF＝45°，再根据等腰三角形三线合一的性质求出BG＝FG，∠F＝∠CBG＝45°，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG＝CG，再求出∠GAC+∠ACG＝90°，然后求出∠AGC＝90°，然后根据等腰直角三角形的定义判断即可；（2）连接BG，根据旋转的性质可得△BFG是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出AF＝AD，平行四边形的对角相等求出∠ABC＝∠ADC＝60°，然后求出∠CBG＝60°，从而得到∠AFG＝∠CBG，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG＝CG，全等三角形对应角相等可得∠F AG＝∠BCG，然后求出∠GAC+∠ACG＝120°，再求出∠AGC＝60°，然后根据等边三角形的判定方法判定即可．【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB∥DC，AD∥BC，∴∠F＝∠FDC，∠BEF＝∠ADF，∵DF是∠ADC的平分线，∴∠ADF＝∠FDC，∴∠F＝∠BEF，∴BF＝BE；②△AGC是等腰直角三角形．理由如下：连接BG，由①知，BF＝BE，∠FBC＝90°，∴∠F＝∠BEF＝45°，∵G是EF的中点，∴BG＝FG，∠F＝∠CBG＝45°，∵∠F AD＝90°，∴AF＝AD，又∵AD＝BC，∴AF＝BC，在△AFG和△CBG中，，∴△AFG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∴∠F AG＝∠BCG，又∵∠F AG+∠GAC+∠ACB＝90°，∴∠BCG+∠GAC+∠ACB＝90°，即∠GAC+∠ACG＝90°，∴∠AGC＝90°，∴△AGC是等腰直角三角形；（2）连接BG，∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，∴△BFG是等边三角形，∴FG＝BG，∠FBG＝60°，又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，∴∠ABC＝∠ADC＝60°∴∠CBG＝180°﹣∠FBG﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AFG＝∠CBG，∵DF是∠ADC的平分线，∴∠ADF＝∠FDC，∵AB∥DC，∴∠AFD＝∠FDC，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，在△AFG和△CBG中，，∴△AFG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∠F AG＝∠BCG，在△ABC中，∠GAC+∠ACG＝∠ACB+∠BCG+∠GAC＝∠ACB+∠BAG+∠GAC＝∠ACB+∠BAC＝180°﹣60°＝120°，∴∠AGC＝180°﹣（∠GAC+∠ACG）＝180°﹣120°＝60°，∴△AGC是等边三角形．4．提出问题：如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，小亮发现△ABC与△AEG面积相等．小亮思考：这个问题中，如果∠A≠90°，那么△ABC与△AEG面积是否仍然相等？猜想结论：经过研究，小亮认为：上述问题中，对于任意△ABC，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE 和正方形ACFG，连接EG，那么△ABC与△AEG面积相等．证明猜想：（1）请你帮助小亮画出图形，并完成证明过程．已知：以△ABC的两边AB、AC为边长分别向外作正方形ABDE、ACFG，连接GE．求证：S△AEG＝S△ABC．结论应用：（2）学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，其中四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，且面积分别为9m2、5m2和4m2．求这个六边形花圃ABIHFE的面积．【解答】（1）证明：①如图（1），当∠BAC＝90°时，∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，∴AB＝AE，AG＝AC，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAC＝∠EAG＝90°，∵在△BAC和△EAG中，∴△BAC≌△EAG（SAS），∴S△AEG＝S△ABC．②如图（2），当∠BAC＜90°时，过C作CM⊥AB，垂足为M，过G作GN⊥AE，与AE的延长线交于点N．∴∠AMC＝∠ANG＝90°∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，∴AB＝AE，AG＝AC，∠BAE＝∠CAG＝90°，∵∠GAN+∠NAC＝∠GAC＝90°，∠MAC+∠NAC＝∠MAN＝90°，∴∠GAN＝∠MAC．∵在△GAN和△CAM中，，∴△AMC≌△ANG（AAS），∴GN＝CM．∵S△AEG＝AE•GN，S△ABC＝AB•CM，∴S△AEG＝S△ABC．③如图（3），当∠BAC＞90°时，BM⊥CG的延长线与M，EN⊥AG于N，∴∠AMB＝∠ANE＝90°，∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，∴AB＝AE，AG＝AC，∠BAE＝∠CAG＝∠GAM＝90°，∴∠BAM＝∠EAN．∵在△BAM和△EAN中，，∴△BAM≌△EAN（AAS），∴BM＝EN．∵S△AEG＝AG•EN，S△ABC＝AC•BM，∴S△AEG＝S△ABC．（2）解：∵正方形ABCD、CIHG、GFED的面积分别为9m2、5m2和4m2，∴DC2＝9m2，CG2＝5m2，DG2＝4m2．∴DC2＝CG2+DG2，∴△DCG是直角三角形，∴∠DGC＝90°．∴S△DCG＝•DG•CG＝×2×＝m2．∵四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，根据上面结论可得：△ADE、△FGH△、△CBI均与△DCG的面积相等，∴六边形ABIHFE的面积为9+5+4+4×＝（18+4）m2．5．如图，以△ABC三边为边，分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADEF是菱形？请说明理由．（3）当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADEF是正方形？不必说出理由．【分析】（1）根据等边三角形的性质推出∠BCE＝∠FCA＝60°，求出∠BCA＝∠FCE，证△BCA≌△ECF，推出AD＝EF＝AB，同理得出DE＝AF，即可得出答案；（2）根据菱形的判定证出即可；（3）根据正方形的判定证出即可．【解答】（1）证明：∵△BCE、△ACF、△ABD都是等边三角形，∴AB＝AD，AC＝CF，BC＝CE，∠BCE＝∠ACF，∴∠BCE﹣∠ACE＝∠ACF﹣∠ACE，即∠BCA＝∠FCE，在△BCA和△ECF中，∴△BCA≌△ECF，∴AB＝EF，∵AB＝AD，∴AD＝EF，同理DE＝AF，∴四边形ADEF是平行四边形．（2）解：当AB＝AC且∠BAC≠60°时，四边形ADEF是菱形，理由是：由（1）知：AD＝AB＝EF，AC＝DE＝AF，∵AC＝AB，∴AD＝AF，∵四边形ADEF是平行四边形，AD＝AF，∴平行四边形ADEF是菱形；（3）解：当AB＝AC，∠BAC＝150°时，四边形ADEF是正方形，理由是：∵四边形ADEF是平行四边形，已证：AD＝AF，∠DAF＝90°，∴平行四边形ADEF是正方形．【点评】本题考查了对平行四边形、菱形、正方形的判定的理解和运用，同时也运用了等边三角形性质和全等三角形的性质和判定，题目较好，有一定的难度．6．如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD ＝DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．（1）若M为AG中点，且DM＝2，求DE的长；（2）求证：AB＝CF+DM．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DEA，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠DEA，∴DE＝AD，∵DF⊥BC，∴DF⊥AD，∵M为AG中点，∴AG＝2DM＝4，∵DN⊥CD，∴∠ADM+∠MDG＝∠MDG+∠EDG，∴∠ADM＝∠EDG，∴∠DAE+∠ADM＝∠DEA+∠EDG，即∠DMG＝∠DGM，∴DG＝DM＝2，在Rt△ADG中，DE＝AD＝＝；（2）证法一：过点A作AD的垂线交DN的延长线于点H，在△ADH和△FDC中，，∴△DAH≌△DFC（ASA），∴AH＝FC，DH＝DC，∵DF⊥AD，∴AH∥DF，∴∠HAM＝∠DGM，∵∠AMH＝∠DMG，∠DMG＝∠DGM，∴∠HAM＝∠HMA，∴AH＝MH，∴MH＝CF，∴AB＝CD＝DH＝MH+DM＝CF+DM．证法二：延长MD到点P，使DP＝CF，连接PE由（1）知AD＝DE，又AD＝DF，∴DF＝DE，∠DFC＝∠EDP＝90°∴Rt△DCF≌Rt△EPD，∴DC＝EP，∠CDF＝∠PED∴PE∥DF，∴∠PEA＝∠DGA，由（1）得∠DGA＝∠DME，∴∠PEA＝∠DME∴PM＝PE，而PM＝DM+DP＝DM+CF，PE＝CD＝AB，∴AB＝DM+FC．证法三：过点A作AH⊥CB于点H，易证△ABH≌△DCF，从而证得四边形AHFD为正方形．把△ADG绕点A顺时针旋转90°，得△AHP，∠AHP＝∠AHB＝90°∴P、H、B三点共线∵AE平分∠BAD，∴∠1＝∠2，而∠2＝∠HAP，∴∠HAB+∠1＝∠HAB+∠HAP，即∠HAG＝∠P AB∵AH∥DF，∴∠HAG＝∠DGA而∠DGA＝∠APB∴∠P AB＝∠APB∴AB＝PB∵PB＝PH+HB＝DG+FC∴AB＝DM+FC．证法四：在DC上截取DP＝DM，连接PF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD∴∠BAE＝∠DEA，而∠BAE＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DEA⇒DA＝DE，又∠ADF＝∠MDE＝90°，∴∠ADM＝∠EDG，∴△ADM≌△EDG，∴DM＝DG，∴DG＝DP，又AD＝DF，∴DF＝DE，而∠PDF＝∠FDP，∴△PDF≌△GDE，∴∠DPF＝∠DGE，∠DFP＝∠DEG，∴∠CPF＝∠DGM，∵∠DFP+∠CFP＝∠DEG+∠DMG＝90°，∴∠CFP＝∠DMG，而∠DMG＝∠DGM，∴∠CFP＝∠CPF⇒CF＝CP，而CD＝DP+CP＝DM+CF，AB＝CD，∴AB＝DM+CF．8．如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【解答】解：当点O运动到AC的中点（或OA＝OC）时，四边形AECF是矩形．证明：∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2，又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，∴EO＝CO，同理，FO＝CO，∴EO＝FO，又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠4＝∠5，又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠5＝∠2+∠4，又∵∠1+∠5+∠2+∠4＝180°，∴∠2+∠4＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．9．（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH＝EF+EG；（2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL＝BC，连接CL，点E是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段的关系，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．【解答】（1）证明：过E点作EN⊥CH于N．∵EF⊥BD，CH⊥BD，∴四边形EFHN是矩形．∴EF＝NH，FH∥EN．∴∠DBC＝∠NEC．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，且互相平分∴∠DBC＝∠ACB∴∠NEC＝∠ACB∵EG⊥AC，EN⊥CH，∴∠EGC＝∠CNE＝90°，又∵EC＝CE，∴△EGC≌△CNE．∴EG＝CN∴CH＝CN+NH＝EG+EF；（2）解：猜想CH＝EF﹣EG；（3）解：EF+EG＝BD；（4）解：点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高．如图①，有CG＝PF﹣PN．【点评】此题主要考查矩形的性质和判定，解答此题的关键是作出辅助线，构造矩形和三角形全等来进行证明．。