货郎担问题 其他应用
货郎担问题讲稿
贪心算法 送报线路安排 一个送报员从送报中心出发到五个小区 送报，最后要回到送报中心。 送报，最后要回到送报中心。送报中心到各 小区的距离及各小区间的距离均已知（ 小区的距离及各小区间的距离均已知（见表 问送报员应按怎样的线路行驶较好？ 1），问送报员应按怎样的线路行驶较好？ ），问送报员应按怎样的线路行驶较好 距离单位为千米） （距离单位为千米）
阶段指标函数d : 设从城市1出发，第k-1阶段到达到城市j,
ji
则城市j与下一阶段（第k阶段）的目的地城市i之间的距离为d ji 最优指标函数 fk (S, i) ：从城市1出发，经过S中k个城市,到 达城市i的最短距离.
则动态规划的顺序递推关系为:
m { fk1(S \ j, j) + d ji} in fk (S, i) = j∈S f0 (φ, i) = d1i , i = 2,3,, n, k =1,2,, n 1.
f1(S,2) = m f0 (φ,3) + d32, f0 (φ,4) + d42} in{
= m 7 + 8,9 + 5} =14, in{
* x2 ({4},2) = 4
即从城市1出发，途经1个城市去城2，应先到4，再到2。
城 城 市 1 2 3 4 0 8 5 6 6 0 8 5 7 9 0 5 9 7 8 0 市 1 2 3 4
当k=3时，从城市1出发，途经3个城市到达城市1的最短距离
f3({2,3,4},1) = m f2 ({2,3},4) + d41, f2 ({2,4},3) + d31, f2 ({3,4},2) + d21} in{ = m 22 + 6,18 + 5,20 + 8} = 23 in{
第四章 常用生产系统模型
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定义如下决策变量：
MinZ cij xij
i j
（4-1）
xij 1 i V j i xij 1 j V i j s.t. xij | S | 1 S V i , jS x {0,1} i, j V ij
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（3）r-Opt算法 r-Opt算法一般是对构造算法和插入算法产生的线路进行改 进的算法。主要用于对称型旅行商问题的求解。核心思想是 对给定的初始回路，每次通过交换r条边来改进当前的解。 通常，r增大可以使改进的结果更优秀。但是，通过大量的 仿真实验，发现3-Opt比2-Opt好，但是4-Opt和5-Opt却并不 比3-Opt优秀，但计算量却增大很多。
4.2.2 背包问题的模型和分类
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1.背包问题的模型 背包问题可以描述为：有n物品，一个最大承受重量为C的 背包，每件物品的价值是 p j ( j 1,2, , n)。物品的重量是 wj ( j 1,2, , n) 。要求在不超过背包最大承受重量的前提下，使装载的物品 总价值最高。数学模型如下： n （4-3） max z px
第四章 常用的生产系统模型
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
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TSP问题模型
背包问题模型 指派问题模型 切割与布局问题模型 车辆路径问题模型 生产调度问题模型
项目调度问题模型
思考与练习题
4.1 TSP问题模型
4.1.1 TSP问题概述
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旅行商问题（ Traveling Salesman Problem ， TSP ）又 称旅行推销员问题、货郎担问题，简称 TSP 问题，是最基本 的组合优化问题。该问题是在寻求单一旅行者由起点出发，
近似算法与性能分析
近似算法与性能分析
局部搜索的原理与应用
局部搜索的原理与应用
▪ 局部搜索原理
1.局部搜索是一种在解决方案空间中寻找近似最优解的方法， 通过在当前解周围进行邻域搜索，逐步改进解的质量。 2.局部搜索的原理主要包括两个核心步骤：产生新解和接受新 解。通过对当前解的邻域进行探索，生成新的候选解，并根据 一定接受准则决定是否接受新解作为当前解。 3.局部搜索的有效性取决于邻域结构和接受准则的设计。合适 的邻域结构能够产生质量更好的新解，而合理的接受准则能够 保证搜索过程向更好的方向进行。
近似算法与性能分析
线性规划的原理与应用
线性规划的原理与应用
线性规划原理
1.线性规划是一种求解最优化问题的数学方法，其目标函数和约束条件均为线性函数。 2.线性规划的原理包括单纯形法和内点法等求解方法，能够高效地解决线性规划问题。 3.线性规划的应用范围广泛，包括生产计划、货物运输、资源分配等领域。
动态规划应用
1.动态规划在计算机科学和工程领域有广泛应用，如计算机网 络中的路由协议、语音识别、生物信息学中的序列比对等。 2.在解决实际问题时，首先需要确定问题是否具有“最优子结 构”性质，即问题的最优解能否由其子问题的最优解组合而成 。 3.动态规划的应用需要充分考虑问题的约束条件和目标函数， 以确保算法的正确性和效率。 以上内容仅供参考，建议查阅专业书籍或咨询专业人士获取更 全面和准确的信息。
▪ 贪心算法的优缺点
1.贪心算法的优点是简单、高效，适用于大规模数据的处理。 2.缺点是不一定能够得到全局最优解，只能得到近似最优解。
贪心算法的原理与应用
▪ 贪心算法的经典案例
1.活动选择问题：选择尽可能多的互不冲突的活动。 2.货郎担问题：经过若干个城市，选择最短的一条路径。
旅行商问题的中心辐射算法与应用
旅行商问题的中心辐射算法与应用摘要：针对经典旅行商问题，本文提出了中心辐射算法，该算法首先计算节点中心，然后比较节点与中心连线的与横坐标轴夹角，再按角度从小到大按顺序依次连接节点，完成了走行路线设计。
算例分析并与贪心算法结果比较。
表明该算法具有简单实用性，能够对具体问题实现快速计算，为工程问题分析提供基础。
关键词：旅行商问题；中心辐射算法；可视化设计旅行商问题（traveling salesman problem，简称为tsp），也称为货郎担问题，是著名的组合优化问题，也是一个多局部最优解的问题。
它是由爱尔兰数学家sir william rowan hamilton和英国数学家thomas penyngton kirkman在19世纪提出的。
tsp是这样提出的[1]：假设有一个旅行商人要拜访n个城市，已知这些城市之间的距离，为了每个城市都会到达并且只拜访一次，而且最终要回到原来出发的那个城市，那么他需要怎么选择才能够得到一条最优路径呢？路径的选择目标是要求得的路径总路程为所有路径之中的最小值。
换言之，数据包括一个边权值是整数的，且边数有限的完全图。
目标是找到一个边权值之和最小的哈密尔顿回路。
1954年，tsp问题研究获得重大突破，george dantzig等描述了一种求解tsp的方法；50年后，2004年，获得一个包含多座城市的tsp问题的解决办法。
tsp问题目前研究主要有精确算法和近似算法。
精确算法主要包括回溯法，分支定界法和动态规划算法；能保证得到最优解，但是运行时间复杂度是呈指数增加，难以适应大规模计算的要求；近似算法则只能求得近似解，称为次优解。
包括构造算法和环路改进算法等。
构造算法从某个非法解开始，通过某种增广策略逐步改变该解，直到得到一个合法解为止。
这类算法包括最近邻算法、贪心算法等。
环路改进算法则在给定初始的合法解之后，使用某种策略来改进初始解，这些策略包括局部搜索、模拟退火、遗传算法等，其中最为简单和有效的方法为局部搜索法。
一些解决TSP问题的算法及源代码
模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当
前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法
决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
(3)产生新解S′
(4)计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数
(5)若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.
(6)如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。
(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).
上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。
也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。
代价函数差设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un),则代价函数差为：
第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。
事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。
第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则:若Δt′<0则接受S′作
为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
% coordinates given by LOC, which is an M by 2 matrix and M is
数学北师大四年级下册-《优化》教案详案
一、教学内容
《优化》教案详案，选自北师大版四年级下册数学教材第八单元。本节课主要包括以下内容：1.理解优化问题的概念，掌握其基本思想方法；2.运用优化策略解决实际生活中的问题，如最短路线、最少时间等；3.通过实际操作，培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。具体内容包括以下案例：
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“优化在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在教学方法上，我觉得可以尝试以下改进：
1.利用多媒体教学手段，如动画、视频等，让学生更直观地了解优化问题的解决过程。
2.增加课堂互动环节，鼓励学生提问和发表观点，提高他们的课堂参与度。
3.设计更具挑战性的问题，激发学生的求知欲和探究精神。
举例：在解决优化问题的过程中，鼓励学生尝试不同的方法和途径，发现新的解决方案。
2.教学难点
（1）将实际问题抽象为数学模型，找出关键信息并进行求解。
难点解释：学生在面对实际问题时，往往难以抓住关键信息，将问题抽象为数学模型。教师需引导学生学会从复杂问题中提炼关键信息，建立数学模型。
举例：在游园路线规划案例中，学生需要从地图中找出关键节点、路径长度等信息，建立数学模型，然后运用优化策略求解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解优化的基本概念。优化是指在一定条件下，寻找使某一目标达到最佳效果的方案。它是解决生活中各种问题的有力工具，可以帮助我们节省时间、提高效率。
模拟退火算法
模拟退火算法模拟退火是一种通用概率算法，目的是在固定时间内在一个大的搜寻空间内寻求给定函数的全局最优解。
它通常被用于离散的搜索空间中，例如，旅行商问题。
特别地，对于确定的问题，模拟退火算法一般是优于穷举法。
这是由于我们一般只需得到一个可接受的最优解，而不是精确的最优解。
退火一词来源于冶金学。
退火（见图1）是将材料加热后再经特定速率冷却，目的是增大晶粒的体积，并且减少晶格中的缺陷。
材料中的原子原来会停留在使内能有局部最小值的位置，加热使能量变大，原子会离开原来位置，而随机在其他位置中移动。
退火冷却时速度较慢，使得原子有较多可能可以找到内能比原先更低的位置。
因此，我们将热力学的理论应用到统计学上，将搜寻空间内每一点想象成空气内的分子；分子的能量，就是它本身的动能；而搜寻空间内的每一点，也像空气分子一样带有“能量”，以表示该点对命题的合适程度。
而模拟退火算法先以搜寻空间内一个任意点作起始：每一步先选择一个“邻居”，然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。
模拟退火原理最早是 S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt 和 M. P. Vecchi 在1983年所创造的。
而 V . Černý 在1985年也独立发明了此算法。
1. 问题描述数学上的最优化问题一般描述为如下形式：()()minimize()g 0,1,2,,subject to 0,1,2,,i i f x x i m h x i p≤=⎧⎪⎨==⎪⎩ 其中，():R n f x R →称作问题的目标函数，()g 0i x ≤称作问题的不等式约束条件，()0i h x =称作问题的等式约束条件。
寻求上述问题的最优解的过程就类似于从热动力系统的任意一个初始状态向内能最小的状态转移的过程，即退火过程。
2. 模拟退火算法基本思想模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有图1 物理退火原理图序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。
算法设计与分析实验报告
实验一找最大和最小元素与归并分类算法实现（用分治法）一、实验目的1．掌握能用分治法求解的问题应满足的条件；2．加深对分治法算法设计方法的理解与应用；3．锻炼学生对程序跟踪调试能力；4．通过本次实验的练习培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。
二、实验内容1、找最大和最小元素输入n 个数，找出最大和最小数的问题。
2、归并分类将一个含有n个元素的集合，按非降的次序分类（排序）。
三、实验要求（1）用分治法求解问题（2）上机实现所设计的算法；四、实验过程设计（算法设计过程）1、找最大和最小元素采用分治法，将数组不断划分，进行递归。
递归结束的条件为划分到最后若为一个元素则max和min都是这个元素，若为两个取大值赋给max，小值给min。
否则就继续进行划分，找到两个子问题的最大和最小值后，比较这两个最大值和最小值找到解。
2、归并分类使用分治的策略来将一个待排序的数组分成两个子数组，然后递归地对子数组进行排序，最后将排序好的子数组合并成一个有序的数组。
在合并过程中，比较两个子数组的首个元素，将较小的元素放入辅助数组，并指针向后移动，直到将所有元素都合并到辅助数组中。
五、源代码1、找最大和最小元素#include<iostream>using namespace std;void MAXMIN(int num[], int left, int right, int& fmax, int& fmin); int main() {int n;int left=0, right;int fmax, fmin;int num[100];cout<<"请输入数字个数：";cin >> n;right = n-1;cout << "输入数字:";for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> num[i];}MAXMIN(num, left, right, fmax, fmin);cout << "最大值为：";cout << fmax << endl;cout << "最小值为：";cout << fmin << endl;return 0;}void MAXMIN(int num[], int left, int right, int& fmax, int& fmin) { int mid;int lmax, lmin;int rmax, rmin;if (left == right) {fmax = num[left];fmin = num[left];}else if (right - left == 1) {if (num[right] > num[left]) {fmax = num[right];fmin = num[left];}else {fmax = num[left];fmin = num[right];}}else {mid = left + (right - left) / 2;MAXMIN(num, left, mid, lmax, lmin);MAXMIN(num, mid+1, right, rmax, rmin);fmax = max(lmax, rmax);fmin = min(lmin, rmin);}}2、归并分类#include<iostream>using namespace std;int num[100];int n;void merge(int left, int mid, int right) { int a[100];int i, j,k,m;i = left;j = mid+1;k = left;while (i <= mid && j <= right) {if (num[i] < num[j]) {a[k] = num[i++];}else {a[k] = num[j++];}k++;}if (i <= mid) {for (m = i; m <= mid; m++) {a[k++] = num[i++];}}else {for (m = j; m <= right; m++) {a[k++] = num[j++];}}for (i = left; i <= right; i++) { num[i] = a[i];}}void mergesort(int left, int right) { int mid;if (left < right) {mid = left + (right - left) / 2;mergesort(left, mid);mergesort(mid + 1, right);merge(left, mid, right);}}int main() {int left=0,right;int i;cout << "请输入数字个数：";cin >> n;right = n - 1;cout << "输入数字:";for (i = 0; i < n; i++) {cin >> num[i];}mergesort(left,right);for (i = 0; i < n; i++) {cout<< num[i];}return 0;}六、运行结果和算法复杂度分析1、找最大和最小元素图1-1 找最大和最小元素结果算法复杂度为O(logn）2、归并分类图1-2 归并分类结果算法复杂度为O(nlogn）实验二背包问题和最小生成树算法实现（用贪心法）一、实验目的1．掌握能用贪心法求解的问题应满足的条件；2．加深对贪心法算法设计方法的理解与应用；3．锻炼学生对程序跟踪调试能力；4．通过本次实验的练习培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。
Matlab在最优化问题中的应用举例
在企业生产和日常生活中，人们总是希望用最少的人力、物力、财力和时间去办更多的事，这就是所谓的最优化问题。
线性规划方法是解决最优化问题的有效方法之一，因此受到人们的普遍关注。
在企业生产过程中，生产计划安排直接影响到企业的经济效益，而生产计划本质就是在目标一定时，对于人力、时间和物质资源的优化配置问题。
1。
综述了最优化方法，归纳了最优化闯题中线性规划和非线性规划模型的解法，并给出了相应的matlab求解代码。
2。
提出了基于信息增益率的用电客户指标选择方法，根据信息增益率的大小选择对分类有贡献的指标。
关键词：Matlab，最优化方法，应用举例In enterprise production and daily life, people always hope with the least amount of human, material and financial resources and time to do more things, this is the so-called optimization problem. Linear programming method is to solve the optimal problem, so one of the effective method by people's attention. In enterprise production process, production plan directly affect the enterprise economic benefit, but in essence is the production plan for the target certain human, time and material resources optimization allocation problem.1·Studying the optimization,summing up the solutions ofoptimization problem for both linear and non-linear programming model and proposing the matlabcode．2·Proposing a new way based on information-gain-ratio to choose the powercustomer indices,selecting the indices which are more contributive to theclassification,in order to avoid over learning。
旅行商问题 Traveling Salesman Problem
• 旅行商问题吸引了越来越多的人对它进行研究。 其中，有数学家，计算机科学家，运筹学家，还 有一些其它领域的研究者。
• 增加变异概率实际上是把遗传算法退化成了一种 纯粹的随机搜索，所谓的自适应也无从谈起！
灾变思想
• 那么如何解决遗传算法容易陷入局部极值的问题呢？ • 让我们来看看大自然提供的方案。六千五百万年以前，恐
龙和灵长类动物并存，恐龙在地球上占绝对统治地位，如 果恐龙没有灭绝灵长类动物是绝没有可能统治地球的。正 是恐龙的灭绝才使灵长类动物有了充分进化的余地。 • 事实上地球至少经历了5次物种大灭绝，每次物种灭绝都 给更加高级的生物提供了充分进化的余地。 • 所以要跳出局部极值就必须杀死当前所有的优秀个体，从 而让远离当前极值的点有充分的进化余地。这就是灾变思 想。
Traveling Salesman Problem （TSP）
旅行商问题的发展历史
• 旅行商问题，也称货郎担问题，是一个较 古老的问题。其起源已经有些模糊了。最 早大概可以追溯到 1759 年 Euler 提出的骑 士旅行问题。
• 十九世纪初，爱尔兰数学家William R. Hamilton和英国数学家Thomas P. Kirkman 研究过一些与旅行商问题相关的数学问题。
• 对旅行商问题的研究经过几十年的发展，已经产生了许多 其它扩展形式,例如多旅行商问题(Multi-Salesman Problem),多目标旅行商问题(Multi-Objective TSP)等等。
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用微分法可求得上式当x1=s1/3=3时，有最大值：f1（s1）= 3 3 3 3 因此，原问题的最优解为： x1= x2= x3= 3，最优值为：
例9 求解四个城市的推销员问题，其距离矩阵如下表所示：
i
j 1 2 3 4
1
2
3
4
0 8 5 6 6 0 8 5 7 9 0 5 9 7 8 0
解：k=0 f0(2,φ)=8, f0(3,φ)=5, f0(4,φ)=6 k=1 f1(2,｛3｝)= f0(3,φ)+d32=5+9=14; f1(2,｛4｝)= f0(4,φ)+d42=6+7=13 f1(3,｛2｝)= f0(2,φ)+d23=8+8=16; f1(3,｛4｝)= f0(4,φ)+d43=6+8=14 f1(4,｛2｝)= f0(2,φ)+d24=8+5=13; f1(4,｛3｝)= f0(3,φ)+d34=5+5=10
k=2 f2(2,｛3,4｝)=min{ f1(4,｛3｝)+ d42, f1(3,｛4｝)+d32} =min｛10+7,14+9｝=17 p2(2,｛3,4｝)=4 f2(3,｛2,4｝)=min{ f1(4,｛2｝)+ d43, f1(2,｛4｝)+d23} =min｛13+8,13+8｝=21 p2(3,｛2,4｝)=2或4 f2(4,｛2,3｝)=min{ f1(2,｛3｝)+ d24, f1(3,｛2｝)+d34} =min｛14+5,16+5｝=19 p2(4,｛2,3｝)=2 k=3 f 3(1,｛2,3,4｝) =min{f2(2,｛3,4｝)+d21, f2(3,｛2,4｝)+d31, f2(4,｛2,3}+d41) =min｛17+6,21+7,19+9｝=23 员最短路线为 1→3→4→2→1 ，最短距离为23。 实际中很多问题都可以归结为货郎担问题，如物资运输中汽车 应走怎样的路线使路程最短；工厂中机床应如何布置，可使零件所 经过的路线最短等等。
运 筹 学
动态规划应用举例
§7 货郎担问题
货郎担问题也称旅行员问题，是运筹学里一个著名问题。设有 n个城市，以1，2，…，n表示，dij表示从i城到j城的距离。一个推销 员从城市1出发到其它每个城市去一次且仅仅一次，然后回到城市1， 问他应如何选择行走路线，使总的路程最短。这个问题属于组合最 优化问题，目前尚无有效解法。如果用穷举法，计算次数为n！,当n 很大时，例如n=20，计算次数20！=2.432902×1018，实际上这是无 法计算的。但当n不太大时，利用动态规划方法求解却是很方便的。 规定推销员是从城市1出发，设推销员走到i城，s表示到达i城之前 中途所经过的城市集合。选取（i,s）作为描述过程的状态变量，定 义fk(i,s)为从1城出发经由k个中间城市的s集到i城的最短路线的距离， 则 fk(i,s)=min｛fk-1(j,s/j)+ dji ｝,j∈s (k=1,2, …,n-1;i=2,3, …,n) 边界条件为f0(i,φ)=d1i. 记最优决策函数为pk(i,s)，它表示从1城出 发经k个中间城市的s集到i城的最短路线上紧挨着i城前面的城市。 这样，我们可以从k=0出发，依次求出fk(i,s)，直至求出 fn-1(1,N1)， 其中N1表示从1城出发回到1城的所有中间城市集合。
于是，状态转移方程为：sk+1= sk-xk 记 fk（sk）为k阶段到第3阶段按最优分配方案获得的最大效果， 则动态规划基本方程是： k （s fk（sk）= max｛ +fx k+1 k+1）｝
0≤xk≤sk
f4（s4）=0 k=3 k=2
k=3,2,1
0≤x3≤s3
f3（s3）=max｛ x3 ｝= s3
§8 其它应用问题
有些求最优解的问题，初看起来似乎不是多阶段决策问题，但 有些求 经过适当变换后仍能变为多阶段决策问题，从而可用动态规划方法 求解。
例10 求解下面的规划问题： maxZ= x1 x 2 x 3 x1+x2+x3=9 x1,x2,x3≥0 这是一个单约束条件的非线性规划问题，可以用非线性规划方 法求解。现在把它转换成动态规划模型。就问题的模型来看，类似 资源分配问题，约束条件右端常数相当于资源总量，三个变量可以 看成是分三个阶段分配已有资源，Z是分配后的总效果。 令 k代表阶段， k=1，2，3；sk为状态变量，代表k阶段初尚未 分配的资源总数； xk为决策变量，代表分配给第k阶段的资源量； xk 代表第k阶段决策确定后的直接效果。
0≤x2≤s2
x3 = s3
0≤x2≤s2
f2（s2）=max｛ x2 +f3（s3）｝= max｛ x2 + s2 x2 ｝
用微分法可求得上式当x2=0.5s2时，有最大值：f2（s2）= 2s2 k=1 f1（s1）=max｛ x1 +f2（s2）｝= max｛ x1 + 2s1 x 1 ｝