Fourier变换-习题课
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Fourier变换
t
d
2
0
sin
1
sin
2
t
d
所以有
0
sin sint 12
d
2
sin 0
t
| t | | t |
17
例2 求函数 f (t) A et2 旳Fourier变换及其积分体现 式，其中A > 0,β> 0。这个函数叫做钟形脉冲 函 数，也是工程技术中常遇到旳一种函数。
解 根据Fourier变换式，有
2 jsin 12
(cos t
j sin t ) d
1
2
2
sin sin 12
t
d
16
例
求函数
f (t)
sin t
0
|t |t
| |
旳Fourier变换并求：
0
sin
1
sin
2
t
d
.
解： f (t ) F 1[F ( )] 1 F ( )ejtd
2
1
2
2
sin sin 12
2
1
0
cos t 2
sin
2
t
d
所以
0 t0
f (t) 1
0
cos t 2
sint 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d
1 / 2 e t
t0 t0
11
例1
求函数
0, f (t ) e t ,
t t
0 0
旳Fourier变换及其积
分体现式，其中β >0。这个f (t) 叫指指数衰减函数，
是工程技术上常遇到旳一种函数。
sin
复变函数课件--7-习题课
| | e e (1ii )t
(1 i i )t
1 i i 0
1 i i 0
10
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1 2
1
1 i
i
1
1 i
i
1
1 (1
)i
1
1 (1
)i
2 2 4 44 .
再由Fourier积分公式得
f (t) 1
F
(
)e
it
d
2
11
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(1) 设f (t ) tei0t ,则F [ f (t )] ( D )
( A) 2 ( 0 ) (C) 2i ( 0 )
(B) 2 ( 0 ) (D) 2i ( 0 )
(2)设F [ f (t)] F (),假如当t 时,
g(t) t f (t)dt 0,则F [ 2t f (t)dt] ( B )
(2)设f (t) sin2 t,则F [ f (t)]
.
( ) [ ( 2) ( 2)]
2
21
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(3) 设f (t ) (2 t ) ei0t , 则F [ f (t )] ( A )
( A) e2i 2 ( 0 ) (C ) e2i 2 ( 0 )
变 换.
解 法一 由F [u(t )et ] 1 ,
i
利用位移性质
F [u(t )et sin 0t]
1 F [u(t )etei0t ] 1 F [u(t )etei0t ],
2i
2i
26
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2 0
( A) 1 F ( ) 2i 2
fourier级数 习题课
定义 16.4.1 设函数 f 在[a , b]上除有限个点 a x0 x1 x2 x N b , 外均可导，而在 x i （ i 0,1,2,, N ) 处 f 的左右极限 f ( x i ) 和 （在 x0 a 右极限存在， 在 x N b 左极限存在） ， f ( x i )都存在 并且极限 f ( x i h) f ( x i ) lim h 0 h 和 f ( x i h) f ( x i ) lim h 0 h 都存在（在 x0 a 上述第二个极限存在，在 x N b 上述第一 个极限存在） ，那么称 f 在[a, b]上分段可导。
数学分析 a0 (a n cos nx bn sin nx ) 是某个在[ , ]上可 推论 16.3.1 2 n 1 bn 积或绝对可积函数的 Fourier 级数的必要条件是 收敛。 n 1 n
定理 16.3.3 （Fourier 级数的逐项微分定理） 设 f ( x)在[ , ] a0 (a n cos nx bn sin nx ) ， f ( ) f ( ) ， 上连续， f ( x ) ~ 2 n 1 且除了有限个点外 f ( x)可导。进一步假设 f ( x)在[ , ]上可 积或绝对可积（注意： f ( x)在有限个点可能无定义，但这并 不影响其可积性） 。则 f ( x)的 Fourier 级数可由 f ( x)的 Fourier 级数逐项微分得到，即 d a0 d f ( x ) ~ (a n cos nx bn sin nx ) dx 2 n 1 dx
数学分析
2 f ( x ) ~ bn sin nx bn 0 f ( x ) sin nxdx ( n 1,2,) n 1
Fourier变换.
《积分变换》第一章 Fourier 变换 §.1 Four ier 积设f T (t)以T 为周期，在［-? T"］满足Dirichletf T (t)=亚 + 瓦 I a ^ jbne jn® t2 n =1 L 2变换是数学的灵魂.我们经常利用变换把复杂运算转化为简单运算.例如，解析几何中的坐标变换、复变中的保角变换，四则运算中利用对数变换可将积与商转化为加与减:alg(ab ^lg ^lgb, lg -^lg ^lgb.再取反对数变换复原.b积分变换 T:A T B , T(f) = F(U a f (t)K(t,d )dt ,af(t)壬 A 象原函数,F©)- B ――象函数,K(t,a )——核.它实现了从函数类A 到函数类B 的变换.在一定条件下可逆.积分变换是应用性很强的数学工具，在数学和其它学科中均有应用.主要应用：a .求解线性微分方程(组);b 信号处理.第一类间断点;20只有有限个极值点.则在［- p£］的连续点t 处，有 f T (t)二並+ 2+瓦(a n cosn® t 十 b nn =1sin n ⑷t), 其中2一〒， 21 =T, Ia nb n %T 』巧 f T (t)cos n ⑷ tdt, 2 T /=—f T (t)sin n« tdt,T /2(n =0,1,2,3，…) (n - 1,2,3/ ) 利用Euler 公式，转化成复数形式:cos® =丄(e" + e j) 2 ，sin® -1(e W e j 、 2j (…)收敛条件， 即: 10连续或只有有限个+ a n + jb n -j n « t2V f /T —j n T.b "I j«n t二心f 心d丁-T Tf T （t ）=f （t ）, tq 〒 2】.1 母-母.，"I ■. t—石J 亠卩亠fC )ej e*, t 匸(-处，+处),(3).称为Fourier 积分公式.它成立的条件如下.Fourier 积分定理.若f (t)在(S +处)上满足：1。
积分变换第一章习题及答案
(2).微分性质 如果f (t)在(-, +)上连续或只有
有限个可去间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则 ℱ[f '(t)]=j ℱ [f (t)]. 同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设
d F ( ) d
ℱ[- j tf ( t )].
(3). 位移性质:
1）象原函数的位移性质
ℱ
-1
[ F1 ( ) F2 ( )] f1 ( t ) f 2 ( t )
同理可得
1 F1 ( ) F2 ( ). ℱ [ f1 ( t ) f 2 ( t )] 2
12
任给函数f(t), 都有f(t)*d(t)=f(t), 这是因为
f (t )* d (t ) f (t )
单位脉冲函数d(t)在卷积运算中起着类似数的 运算中的1的作用.
6 微分、积分方程的Fourier解法
首先取傅氏变换将微分方程化为象函数的代数方程, 解代数方程求出象函数, 再取逆变换得最后的解. 如 下图所示. 象原函数 (微分方程的解)
象函数
取傅氏逆变换 解代数 方程
微分、积分方 程
取傅氏变换
-
d ( n) (t ) f (t )dt ( -1)n f ( n) (0)
两个常用的积分：
-
e e
- j t
d t 2d ( ) d t 2d ( - 0 )
- j( -0 ) t
-
4 Fourier变换的性质
(1).线性性质 设F1()= ℱ [f1(t)], F2()= ℱ [f2(t)], a, b是常数,则 ℱ[af1(t)+bf2(t)]=aF1()+bF2() 同样, 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质, 即 ℱ -1[aF1()+bF2()]=af1(t)+bf2(t)
第4章傅立叶变换例题
g2 g2
2
g2
g2
例7：时域微分
sgn t
求：f
2
t
1 t2
F
j ?
j
2 2 sgn
jt
1 j sgn
t
d dt
1 t
j
j
sgn
sgn
1 t2
sgn
例8：频域微分
特别：当n=1时，
tf
jt n f t F n
t j dF j
j
d
nF
d
3
g2 5 g2 5
1
2
2g2
5
5
yt 2sin t cos 5t
t
Sa t g2
2
Sa
t
2
g
2
例12：帕斯瓦尔关系式
求：f t 2 cos 997t sin 5t 的能量
t
g10 t 10Sa 5
1 10
g10
t
Sa
5
Sa
5t
2
1 10
g10
sin 5t
t
g10
1
t
1 0 1
3
4
画出 1 F 2
j 2
e j 2所对应的时域信号的波 形。
4 f 2t 1 1 F 2
j 2
e j 2
图略
5 画出 ReF j 所对应的时域信号的波 形。
ReF j 所对应的时域信号为 f t 的偶函数分量fe t .
f t
fev
t
1 2
f
t
f
t
2
1
t
1 0 1
fm
923872-复变函数-7-习题课
再由Fourier积分公式得，在连续点处
f (t) 1
F
(
)e
it
d
2
i
F ( )sintd
0
2
0
sin
1
sint 2
d
即
0
sin sint 12
d
2 0,
sint, | t | | t |
.
例3 计算函数f (t ) e|t| cos t的Fourier变换, 并证明
(
)e
i
(1
)dt
ei
f
(
)e i( )
dt
eiF[tf (t)]
ie i
dF ( ) d
例7求函数f (t) tet2的Fourier变换,并推证
1
e
4 2
sintd
2
tet2 .
0
解 由钟型脉冲函数的Fourier变换知,
F[et2 ]
2
e 4 .
再由微分性质可得
F[tet 2 ]
0
t
]
F[t
cos
0t]
i(
1
0
)
( 0 )
i(
1
0
)
( 0 )
( 0 ) ( 0 )
(
1
0 )2
1
( 0 )
.
例6 求函数 (t 2)f (2t) 的傅里叶变换, 其中
F ( ) F[ f (t )].
解
F[( t
2)
f
(2t )]
1 2
1 2
F[tf
(t
)]
2
2F[ f (2t )]
f (t) 1
F
(
)e
it
d
2
i
F ( )sintd
0
2
0
sin
1
sint 2
d
即
0
sin sint 12
d
2 0,
sint, | t | | t |
.
例3 计算函数f (t ) e|t| cos t的Fourier变换, 并证明
(
)e
i
(1
)dt
ei
f
(
)e i( )
dt
eiF[tf (t)]
ie i
dF ( ) d
例7求函数f (t) tet2的Fourier变换,并推证
1
e
4 2
sintd
2
tet2 .
0
解 由钟型脉冲函数的Fourier变换知,
F[et2 ]
2
e 4 .
再由微分性质可得
F[tet 2 ]
0
t
]
F[t
cos
0t]
i(
1
0
)
( 0 )
i(
1
0
)
( 0 )
( 0 ) ( 0 )
(
1
0 )2
1
( 0 )
.
例6 求函数 (t 2)f (2t) 的傅里叶变换, 其中
F ( ) F[ f (t )].
解
F[( t
2)
f
(2t )]
1 2
1 2
F[tf
(t
)]
2
2F[ f (2t )]
傅里叶变换习题
f (t ) = a 0 +
∑ (a
n =1
∞
n
cos n ω 0 t + b n sin n ω 0 t )
其中an,bn分别用p89(3-3）,（3-4）表达 均方误差En为
E
n
N 1 N 2 2 2 = f 2 (t ) − a0 + ∑ (a1n + b1n ) − ∑ (a1n an + b1n bn ) 2 n =1 n =1
0
例三：p170.3 − 46
f (t)
E
−T − T − τ
2
τ T
2 2
T
t
2
解：单个梯形脉冲的傅立叶变换为（380.附录3）
8E (T + τ )ω (T − τ ) F1 (ω ) = 2 sin sin ω (T − τ ) 4 4 (T + τ ) E (τ + T )ω (T − τ ) = Sa[ Sa ] 2 4 4
− 2 n
2
2
1 N 2 2 + ∑(an + bn )] 2 n=1
证明:设 证明 设
1 2 其 : f (t) = ∫ f (t )dt 中 TT
2
sN (t) = a0 + ∑(a1n cos nω1t + b1n sin nω1t)
N
ε N (t) = f (t) − sN (t)
EN = ξn
*冲激抽样
∞
1 ∞ f (t ) ∑ δ (t − nTS ) ↔ ∑ F (ω − nω s ) Ts n = −∞ N = −∞ ∞ ωm f (t ) = ∑ f ( nT ) Sa[ω m (t − nT )] (内插公式) N = −∞ π
∑ (a
n =1
∞
n
cos n ω 0 t + b n sin n ω 0 t )
其中an,bn分别用p89(3-3）,（3-4）表达 均方误差En为
E
n
N 1 N 2 2 2 = f 2 (t ) − a0 + ∑ (a1n + b1n ) − ∑ (a1n an + b1n bn ) 2 n =1 n =1
0
例三：p170.3 − 46
f (t)
E
−T − T − τ
2
τ T
2 2
T
t
2
解：单个梯形脉冲的傅立叶变换为（380.附录3）
8E (T + τ )ω (T − τ ) F1 (ω ) = 2 sin sin ω (T − τ ) 4 4 (T + τ ) E (τ + T )ω (T − τ ) = Sa[ Sa ] 2 4 4
− 2 n
2
2
1 N 2 2 + ∑(an + bn )] 2 n=1
证明:设 证明 设
1 2 其 : f (t) = ∫ f (t )dt 中 TT
2
sN (t) = a0 + ∑(a1n cos nω1t + b1n sin nω1t)
N
ε N (t) = f (t) − sN (t)
EN = ξn
*冲激抽样
∞
1 ∞ f (t ) ∑ δ (t − nTS ) ↔ ∑ F (ω − nω s ) Ts n = −∞ N = −∞ ∞ ωm f (t ) = ∑ f ( nT ) Sa[ω m (t − nT )] (内插公式) N = −∞ π
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-
f ( )e- j d e j t d -
设 F ( ) 则
-
f (t ) e- j t d t
-
( 1) (2)
1 f (t ) 2
F ( ) ej t d
(1)式叫做f(t)的Fourier变换式, (2)式为F()的Fourier逆 变换式, f(t)与F()可相互转换,可记为 F()= ℱ [f(t)] 和 f(t)= ℱ -1[F()]
（3）-
1 d ( t )dt u t 其中, u(t ) 0
t0 t0
称为单位阶跃函数.反之,有
d u( t ) d t dt
(4)若f (t )为无穷次可微的函数,则有
' ' d ( t ) f ( t ) dt f (0) -
一般地，有
ℱ
-1
j0t F ( ) f ( t ) e 0
j t0 e f (t ) F ( - 0 ) ℱ
(4). 积分性质
如果当t 时, g( t )
t -
f ( t )d t 0
t 1 则 ℱ f ( t )d t [ f ( t )]. ℱ - j
实际上, 只要记住下面几个常用的Fourier变换, 则 所有的Fourier变换都无须用公式直接计算而可由 Fourier变换的性质导出.
d (t )
e j 0 t
1, 2d ( - 0 )
d ( t - t0 )
1
e - j t0 2d ( ) 1 b j
1 u( t ) d ( ) u( t )e - b t j sin 0 t j [d ( 0 ) - d ( - 0 )]
(3)结合律 f1 (t ) [ f 2 (t )* f 3 (t )] [ f1 (t ) f 2 (t )]* f 3 (t )
卷积定理 假定f1(t), f2(t)都满足傅氏积分定理中 的条件, 如 ℱ[ f1(t) ]=F1(), ℱ[f2(t) ]=F2() 则 ℱ[ f1(t) * f2(t) ] = F1()F2() 以及
0, t 0 例4 已知f (t ) - b t ( b 0), e , t 0
求 ℱ [tf ( t )], ℱ [t 2 f ( t )].
例5 求下列函数的傅氏逆变换：
1 - j sin (1) F ( ) e d ( ); (2) F ( ) . j
5 卷积和卷积定理
f1 ( t ) f 2 ( t )
-
f1 ( ) f 2 ( t - )d
卷积满足下列性质:
(1)交换律 f1 (t ) f2 (t ) f2 (t ) f1 (t )
(2)分配律 f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
象函数的 代数方程
三、典型例题
-1, t 0, 例1 求符号函数 sgn(t ) 的Fourier变换。 1, t 0.
例2 求函数f (t ) cos t sin t的Fourier变换。
例3 求函数f (t ) tu(t )e - b t sin 0t的Fourier变换， 其中b >0.
单位脉冲函数d(t)在卷积运算中起着类似数的 运算中的1的作用.
6 微分、积分方程的Fourier解法
首先取傅氏变换将微分方程化为象函数的代数方程, 解代数方程求出象函数, 再取逆变换得最后的解. 如 下图所示. 象原函数 (微分方程的解)
象函数
取傅氏逆变换 解代数 方程
微分、积分方 程
取傅氏变换
3 单位脉冲函数及其傅氏变换
对任意的f ( t ), 若
-
d ( t ) f ( t )d t lim d e (t ) f (t )d t f (0)
e 0
-
1 / e 其中d e ( t ) 0
0t e 其它
de(t)
1/e
O 称de(t)的弱极限为d-函数, 记为d(t).即
成立,而左端的f ( t )在它的间断点t 处,应以 f ( t 0) f ( t - 0) 来代替. 2
在( -, )绝对可积是指的
-
| f ( t ) | d t 收敛.
2 Fourier变换
若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件, 则在f(t)的连 续点处, 有
1 f (t ) 2
e
lim d e ( t ) d ( t )
e 0
d-函数有性质:
(1) - d ( t ) d t 1
-
d ( t ) f ( t ) d t f (0)
-
（2） d ( t ) 函数为偶函数,即 d (- t ) d ( t )
及
t
d ( t - t0 ) f ( t ) d t f ( t0 )
ℱ
-1
[ F1 ( ) F2 ( )] f1 ( t ) f 2 ( t )
同理可得
1 F1 ( ) F2 ( ). ℱ [ f1 ( t ) f 2 ( t )] 2
12
任给函数f(t), 都有f(t)*d(t)=f(t), 这是因为
f (t )* d (t ) f (t )
例6
2
若f ( t )是微分方程
d f 2 t f ( t ) Af (t )的解,有F( )= ℱ[f(t)] 2 dt
是F "( )- F ( ) AF ( )的解.
2
例7 求积分方程
x( t )
-
e
-|t - |
x( )d e
-|t |
的解.
(2).微分性质 如果f (t)在(-, +)上连续或只有
有限个可去间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则 ℱ[f '(t)]=j ℱ [f (t)]. 同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设
d F ( ) d
ℱ[- j tf ( t )].
(3). 位移性质:
1）象原函数的位移性质
若 F ( ) =ℱ f (t )
ℱ
-1
t 0 为实常数,则
- j t0 f ( t t ) e F () 0 ℱ
- j t0 e F ( ) f (t - t0 )
2）象函数的位移性质
若 F ( ) =ℱ f (t )
பைடு நூலகம்
0 为实常数,则
第一章 Fourier变换
1 重点和难点 2 内容提要
3 典型例题
一、重点与难点
重点：1 求函数的Fourier变换
2 Fourier变换的简单应用
难点： 求函数的Fourier变换
二、内容提要
1 Fourier积分定理
傅氏积分定理 若f(t)在(-, +)上满足条件: 1). f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件; 2). f(t)在无限区间(-, +)上绝对可积, 则有 1 - j e j t d f (t ) f ( ) e d - 2 -
-
d ( n) (t ) f (t )dt ( -1)n f ( n) (0)
两个常用的积分：
-
e e
- j t
d t 2d ( ) d t 2d ( - 0 )
- j( -0 ) t
-
4 Fourier变换的性质
(1).线性性质 设F1()= ℱ [f1(t)], F2()= ℱ [f2(t)], a, b是常数,则 ℱ[af1(t)+bf2(t)]=aF1()+bF2() 同样, 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质, 即 ℱ -1[aF1()+bF2()]=af1(t)+bf2(t)