小升初数学培优讲义全46讲—第24讲 牛吃草问题
小升初数学牛吃草问题及答案 (15)
小升初数学牛吃草问题
1．牧场上长满了牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧草可供18头牛吃30天，或者可供24头牛吃20天，有若干头牛在牧场上方牧，6天后，卖了4头牛，余下的牛再吃两天将牧草全部吃完，那么牧场上原来共有多少头牛在吃草？
【分析】根据“这片牧草可供18头牛吃30天，或者可供24头牛吃20天”条件求出：草的生长量和牧场的原有草量；再把有“卖牛”看作是“没卖牛”条件，这样就变为“原有牛都吃了8天”，只是原有牛都吃了8天草的总草量比有卖牛的情况多出了4头牛2天吃的量，确定了这些原有牛吃的草总量，进而就能求出这些牛的头数了．
【解答】解：草的生长量是（18×30﹣24×20）÷（30﹣20）＝60÷10＝6（份）
牧场原有草的总量是18×30﹣6×30＝360（份）
这些若干牛都吃了8天的草总量是360+6×（6+2）+4×2＝416（份）
416÷（6+2）＝52（头）
答：牧场上原来共有52头牛在吃草．
【点评】学会改动一下条件，靠到“牛吃草问题公式”上来，就可解决这类问题了．
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牛吃草问题
学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
学科培优数学“牛吃草问题”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位牛吃草问题的概念:英国伟大的科学家牛顿，曾经写过一本数学书。
书中有一道非常有名的、关于牛在牧场上吃草的题目，后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”，也就是我们今天要学的牛吃草问题。
牛吃草问题实际上是在教我们一种分析题的思想，这种题的类型和解题思想是小升初的考试热点知识梳理“牛顿问题”是这样的：“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。
如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。
”分析本题就给了牛的头数，和吃草的时间。
设想如果题目给我们操场原有的草量和草的生长速度那么题目就变得简单多了，所以需要我们通过设每头牛每天的吃草速度为“1”来求这两个量。
解决牛吃草问题常用到四个基本公式：(1)草的生长速度＝(对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数－吃的较少天数)(2)原有草量＝(牛头数－草的生长速度)×吃的天数(3)吃的天数＝原有草量÷(牛头数－草的生长速度)(4)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度【授课批注】关于牛吃草这样的题有很多的变例，像抽水问题，超市开口人等待问题，扶梯行走，行程中的追及问题等等，所以不提倡大家生搬这个公来做题，要理解解题的思路和解题的目的，用画图或列表法来解题。
才能做到举一反三。
本讲主要解决纯牛吃草问题，关于牛吃草变型题我们留下以后解决。
小升初数学牛吃草问题及答案 (87)
小升初数学牛吃草问题
1．有一片草地，32头牛可以吃12天，或24头牛吃18天，问16头牛可以吃几天？
【分析】设每头牛每天吃草1份，根据“32头牛可以吃12天，或24头牛吃18天．”可以求出草每天生长的份数：（24×18﹣32×12）÷（18﹣12）＝8（份）；再根据“24头牛吃18天，”可以求出草地原有的草的份数：（24﹣8）×18＝288（份）；由于草每天生长8份，可供16头牛中的8头吃，剩下的8头吃草地原有的288份，可吃288÷8＝36（天）；
问题得解．
【解答】解：设每头牛每天吃草1份，则草每天生长：
（24×18﹣32×12）÷（18﹣12）
＝（432﹣384）÷6
＝48÷6
＝8（份）；
原有的草量：（24﹣8）×18＝288（份）；
16头牛吃：288÷（16﹣8）
＝288÷8
＝36（天）；
答：16头牛可以吃36天．
【点评】此题属于典型的牛吃草的最基本类型的题目，只要设出每头牛每天吃“1”份草，求出牧场每天的长草量和牧场原有的草量，问题即可解决．
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六年级下小升初典型奥数之牛吃草问题
六年级下小升初典型奥数之牛吃草问题在六年级下册的小升初奥数学习中，“牛吃草”问题可是一个常常让同学们感到困惑，但又十分有趣和富有挑战性的经典题型。
那到底什么是“牛吃草”问题呢？咱们一起来瞧瞧。
“牛吃草”问题，简单来说，就是一群牛在一片草地上吃草，草在不断生长，牛吃草的速度和草生长的速度都已知或者需要我们通过条件去求解，然后让我们算出这片草地能够供这些牛吃多少天，或者在规定时间内有多少头牛能把草吃完。
比如说，有这样一道题：一片草地，每天都匀速长出青草。
如果 27 头牛 6 天可以把草吃完，或者 23 头牛 9 天可以把草吃完。
那么，假设要 12 天吃完这片草地上的草，需要多少头牛？要解决这类问题，咱们得先搞清楚几个关键的量。
首先是原有的草量，也就是在牛还没开始吃之前草地上本来就有的草的数量；然后是草每天的生长量，这是因为草不是一成不变的，它每天都在生长；还有就是牛每天的吃草量。
那怎么算出这些量呢？咱们可以通过设未知数来解决。
假设每头牛每天的吃草量为 1 份。
27 头牛 6 天的吃草量就是 27×6 ＝ 162 份，23 头牛 9 天的吃草量就是 23×9 ＝ 207 份。
为什么这两个吃草量不一样呢？这是因为草多生长了 9 6 ＝ 3 天。
所以这 3 天草生长的总量就是 207 162 ＝ 45 份，那么草每天的生长量就是 45÷3 ＝ 15 份。
既然知道了草每天生长 15 份，那么原有的草量就可以算出来啦。
27 头牛 6 天一共吃了 162 份草，在这 6 天里，草一共生长了 15×6 ＝90 份，所以原有的草量就是 162 90 ＝ 72 份。
现在咱们来算如果要 12 天吃完这片草地上的草，需要多少头牛。
12 天里草一共生长了 15×12 ＝ 180 份，原有的草量是 72 份，那么 12 天里一共要吃的草量就是 72 ＋ 180 ＝ 252 份。
小升初数学培优讲义全46讲—第24讲牛吃草问题
第24讲牛吃草问题考点解读1、考察范围：图示、图表或类推法解决问题。
2、考察重点：主要考察学生的分析能力。
在变量中抓住两个不变量。
3、命题趋势：牛吃草问题难度比较大，历年考试出现的不是很多，但是对于训练数学思维能力有重要的作用。
知识梳理一、“牛吃草问题”涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。
难点在于随时间的增长，草也在按均匀的速度增长，所以，草的总量不固定。
二、解“牛吃草问题”的主要依据：①草每天的生长量不变；②每头牛每天的吃草量不变；③草的总量＝草场原有的草量＋新生长出的草量。
（草场原有草量是一个固定值）④新生的草量＝草每天的生长量×天数三、同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：①设定1头牛1天的吃草量为“1”；②草的生长速度＝（对应牛的头数×较多天数－对应牛的头数×较少天数）÷（较多天数－较少天数）；③原来的草量＝对应牛的头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；④吃的天数＝原来的草量÷（牛的头数－草的生长速度）；⑤牛的头数＝原来的草量÷吃的天数＋草的生长速度。
“牛吃草问题”有很多的变型，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草问题”的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题。
典例剖析【例1】一片草地以均匀的速度增长，10头牛可以吃40天，15头牛可以吃20天，那么25头牛可以吃多少天？【变式练习】1、一片草地以均匀的速度增长，27头牛可以吃6周，23头牛可以吃9周，那么21头牛可以吃多少周？2、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多，从开始检票到等候检票的的队伍消失，同时开4个检票口需要30分钟，同时开5个检票口需要20分钟。
如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟？【例2】一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果10人淘水，3消失淘完；如果5人淘水，8小时淘完。
小升初数学牛吃草问题及答案 (47)
小升初数学牛吃草问题
1．两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走．在20秒钟里，男孩可走27级台阶，女孩可走24级台阶，男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端，该扶梯共有多少级台阶？
【分析】我们可把“孩子看作是“牛”，台阶看作是草”，这样根据“牛吃草的公式”，可先求“草增长的速度即自动扶梯的运行速度为0.9级/秒”；之后可同样依据“牛吃草公式”
求得“原有的草量”即扶梯的台阶级数为54级．
【解答】解：2分钟＝120秒，3分钟＝180秒
24÷20×180﹣27÷20×120＝54（级）
54÷（180﹣120）＝0.9（级/秒）
（24÷20﹣0.9）×180＝54（级）
答：该扶梯共有54级台阶．
【点评】解答此题的关键是要明确题目中的什么相当于“牛”，什么相当于“草”，之后灵活运用好“牛吃草问题”的公式，即可轻松解答．
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小升初数学专题牛吃草问题
小升初数学专题四牛吃草问题英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。
这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？解题关键：牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。
解题环节主要有四步：1、求出每天长草量；2、求出牧场原有草量；3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原有草量)；4、最后求出可吃天数想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。
把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。
求出了这个条件，把25头牛分成两部分来研究，用5头吃掉新长出的草，用20头吃掉原有的草，即可求出25头牛吃的天数。
解：新长出的草供几头牛吃1天：（10×22-16×1O）÷(22-1O）=（220-160）÷12=60÷12=5（头）这片草供25头牛吃的天数：（10-5）×22÷（25-5）=5×22÷20=5.5（天）答：供25头牛可以吃5.5天。
----------------------------------------------------------------“一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天？”这道题太简单了，一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。
如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。
这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。
例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。
这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。
小升初培优之牛吃草问题
1
【例2】(★★) 水库原有一定量存水，河水每天均匀入库.5台抽水机连续 20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。 ⑴ 原有的水与20天流入的水可供____台抽水机抽1天。 ⑵ 原有的水与15天流入的水可供____台抽水机抽1天。 ⑶ 每天流入的水可供____台抽水机抽1天。 ⑷ 原有的水可供____台抽水机抽1天。 ⑸ 若6天抽完，共需抽水机____台。
【例6】(★★★) 一片均匀生长的草地，如果有15头牛吃草，那么8天可以把 草全部吃完；如果起初这15头牛在草地上吃了2天后，又来 了2头牛，则总共7天就可以把草吃完.如果起初这15头牛吃 了2天后，又来了5头牛，再过多少天可以把草吃完？
知识大总结
【今日讲题】 例2，例3，例5 【讲题心得】 _______________________________________________ ______________________________________。 【家长评价】 _______________________________________________ _______________________________________________ __________________________________。
【例3】 (★★★) 有一片草场，草每天的生长速度相同.若14头牛30天可将草 吃完，70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当 于1头牛一天的吃草量)，那么17头牛和20块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃 12天。如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那 么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃_____天。
【例1】(★★) 有一片牧场，草每天都在均匀地生长.如果在牧场上放养24 头牛，那么6天就把草吃完了；如果只放养21头牛，那么8 天才把草吃完。请问： ⑴ 如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？ ⑵ 要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？
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第24讲牛吃草问题
考点解读
1、考察范围：图示、图表或类推法解决问题。
2、考察重点：主要考察学生的分析能力。
在变量中抓住两个不变量。
3、命题趋势：牛吃草问题难度比较大，历年考试出现的不是很多，但是对于训练数学思维能力有重要的作用。
知识梳理
一、“牛吃草问题”涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。
难点在于随时间的增长，草也在按均匀的速度增长，所以，草的总量不固定。
二、解“牛吃草问题”的主要依据：
①草每天的生长量不变；
②每头牛每天的吃草量不变；
③草的总量＝草场原有的草量＋新生长出的草量。
（草场原有草量是一个固定值）
④新生的草量＝草每天的生长量×天数
三、同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
①设定1头牛1天的吃草量为“1”；
②草的生长速度＝（对应牛的头数×较多天数－对应牛的头数×较少天数）÷（较多天数－较少天数）；
③原来的草量＝对应牛的头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；
④吃的天数＝原来的草量÷（牛的头数－草的生长速度）；
⑤牛的头数＝原来的草量÷吃的天数＋草的生长速度。
“牛吃草问题”有很多的变型，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草问题”的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题。
典例剖析
【例1】一片草地以均匀的速度增长，10头牛可以吃40天，15头牛可以吃20天，那么25头牛可以吃多少天？
【变式练习】
1、一片草地以均匀的速度增长，27头牛可以吃6周，23头牛可以吃9周，那么21头牛可以吃多少周？
2、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多，从开始检票到等候检票的的队伍消失，同时开4个检票口需要30分钟，同时开5个检票口需要20分钟。
如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟？
【例2】一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果10人淘水，3消失淘完；如果5人淘水，8小时淘完。
如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
【变式练习】
1、一艘船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏水时已经进了一些水。
如果12人舀水，3小时舀完，如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。
现在想要2小时把水舀完，需要多少人？
2、有一口水井，连续不断地涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。
如果用3台抽水机来抽水，36分钟可以抽完；如果用5台抽水机，20分钟可以抽完。
现在12分钟要把水抽完，需要几台抽水机？
3、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多，从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开5个检票口则需要30分钟，若同时开6个检票口则需要20分钟，如果要使队伍10分钟消失，那么需要同时开几个检票口？
【例3】有一片牧场上面的草每天均匀生长。
它可以供9头牛吃12天，或者供8头牛吃16天。
如果开始只有4头牛吃，从第7天开始，又增加了若干头牛，再用6天吃完所以的草。
那么增加了多少头牛？
【变式练习】
1、有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天，假设草每天的生长速度不变，现在有羊若干只，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天，便将草吃完，问原来有羊多少只？
2、公司里有一台自动售货机为员工提供可乐，每天有专人负责补充可乐，且每天补充可乐的数量是相同的，如果公司有5个员工，那么30天后售货机内的可乐正好卖完，如果公司有6个员工，那么20天后售货机内的可乐正好卖完。
已知每个员工每天买的可乐数量是相同的，如果4个员工买了30天后，又新招入2个员工，那么所有的可乐再过几天刚好卖完？
【例4】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定速度在减少。
已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或供15头牛吃6天，照此计算，可供多少头牛吃10天？
【变式练习】
1、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定速度在减少。
已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或供16头牛吃6天，照此计算，可供11头牛吃几天？
2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定速度在减少。
已知某块草地上的草可供33头牛吃5天，或供24头牛吃6天，照此计算，这块草地可供多少头牛吃10天？
【例5】两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。
在20秒钟里，男孩可以走27级台阶，女孩可以走24级台阶，男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端，该扶梯共有多少级台阶？
【变式练习】
1、自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。
问：该扶梯共有多少级？
2、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。
白天往下爬，一只每个白天爬20分米，另一只每个白天爬15分米。
黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同。
结果一只蜗牛恰好用5个昼夜达到井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底。
那么，井深多少米？
【例6】75头牛12天啃完一块60亩地的草，而81头牛15天啃完一块72亩地的草，那么18天啃完96亩草需要多少头牛？
【变式练习】
1、有三块草地，面积分别为5公顷、6公顷、8公顷，草地上的草一样厚，而且生长速度一样快。
第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天，问第三块草地可供19头牛吃多少天？
课后精练
A、温故知新
1、牧场上有一片草地，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，或者供15头吃10天，那么可供25头牛吃几天？
2、有一水池，池底有泉水不断涌出。
用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可以把水抽干。
那么用25部这样的抽水机多少小时把水抽干？
3、一个牧场，草每天匀速生长，每头牛每天吃的草量相同，17头牛30天可以把草吃完，19头牛只需24天就可以把草吃完，现有一群牛，吃了6天后，卖掉其中4头牛，余下的牛再吃2天恰好把草吃完。
问原来这群牛有多少头？
4、由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少，经过计算现有牧场上的草可供20头牛吃5天，或者12头牛吃7天，那么6头牛可以吃几天？
5、自动扶梯以均匀的速度自下而上行驶着，小明和小红要从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小红每分钟走20级台阶，结果小明用5分钟，小红用6分钟分别到达楼上。
问该扶梯共有多少级台阶？
B、拓展提升
1、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有一个出水孔，两孔同时打开后，如果每小时注水30立方米，7小时可以注满水箱；如果每小时注水45立方米，注满水箱可以少用2.5小时。
那么每小时由底面小孔排出多少立方米的水？（每小时排水量相同）
2、快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路去追赶前面的一个骑车人。
这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人，现在知道快车每小时行24千米，中车每小时行20千米，那么慢车每小时行多少千米？
3、有三块草地，面积分别是5亩、15亩、24亩，草地上的草一样厚，而且生长速度一样快，第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块草地可供多少头牛吃80天？。