(名师整理)最新数学中考《垂径定理》专题复习精品课件

课堂精讲
例 2 (2019·绥化)如图，AB 为⊙O 的直径，AC 平分∠BAD，交 弦 BD 于点 G，连接半径 OC 交 BD 于点 E，过点 C 的一条直线交 AB 的延长线于点 F，∠AFC＝∠ACD.
(1)求证：直线 CF 是⊙O 的切线； (2)若 DE＝2CE＝2. ①求 AD 的长； ②求△ACF 的周长．(结果可保留根号)
A．－2 14
B．－2 5
C．－8
D．－7
课后精练
3．(2019·威海改编)如图，⊙P 与 x 轴交于点 A(－5，0)，B(1，0)， 与 y 轴 的 正 半 轴 交 于 点 C. 若 ∠ ACB ＝ 60°， 则 点 C 的 纵 坐 标 为 2 2＋ 3 ．
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4．如图，以 G(0，1)为圆心，2 为半径的圆与 x 轴交于 A，B 两点， 与 y 轴交于 C，D 两点，点 E 为⊙G 上一动点，CF⊥AE 于点 F，则弦 AB 的长度为 2 3 ；点 E 在⊙O 上运动的过程中，线段 FG 的长度 的最小值为 3－1 ．
∴△ACF 的周长＝AC＋FC＋AF＝10＋2 5.
课堂精讲
【方法归纳】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径 定理，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定 理等，熟练掌握定理和推论内容是解本题的关键．
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1．(2018·贺州)如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦 CD 的中点 H，
课堂精讲
【解】(1)∵DF 过圆心，且 AF＝BF，∴DF⊥AB，
.
∴∠ACD＝∠EAD.又∠ADC＝∠EDA，∴△DAC∽△DEA. (2)连接 OA，如图，∵DF⊥AB，∴∠AFD＝∠DFE＝90°.
在 Rt△AOF 中，OA＝OD＝3，AF＝ 5，根据勾股定理，得 OF
＝ OA2－AF2＝2，∴DF＝OD＋OF＝3＋2＝5.在 Rt△ADF 中，AF＝ 5，DF＝5，
(2)由(1)知，∠ABO＝90°，而 OA＝5，OB＝OP＝3，由勾股定理，得 AB＝4.过 O 作 OD⊥PB 于 D，则 PD＝DB.∵∠OPD＝∠CPA，∠ODP＝ ∠CAP＝90°，∴△ODP∽△CAP.∴PPAD＝OCPP.又∵AC＝AB＝4，AP＝OA－ OP＝2，∴PC＝ AC2＋AP2＝2 5.∴PD＝OPC·PPA＝35 5.∴BP＝2PD＝65 5.
方法提炼
垂径定理的运用在于五个条件中知二推三的不断变化．垂径定理的巧用 主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．
(1)利用垂径平分弦所对的弧构成相等的圆周角．如图 1，∠ABD＝∠ C→△BAD∽△CAB.
(2)利用垂径垂直平分弦，构成等分线段，利用平行线分线段成比例解 决问题．如图 2，OOAB＝MMEF→ME＝MF，OOAB＝HHEF→HE＝HF.
课堂精讲
【分析】(1)根据圆周角定理，垂径定理，平行线的性质证得 OC ⊥CF，即可证得结论；
(2)①利用勾股定理求得半径，进而求得 OE，根据三角形中位线定 理即可求得；
②由平行线分线段成比例定理得到BFCE＝OOCE＝OOBF，求得 CF＝130， OF＝265，即可求得 AF＝OF＋OA＝230，然后根据勾股定理求得 AC， 即可求得三角形 ACF 的周长．
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
国虽大，好战必亡；天下 虽安，忘战必危.
——《司马法》
②如图，连接 BC.∵BD∥CF，∴BFCE＝OOCE＝OOBF.∵BE＝2， OE＝32，R＝52，∴CF＝130，OF＝265.∴AF＝OF＋OA＝230.在 Rt△BCE 中，CE＝1，BE＝2，∴BC＝ CE2＋BE2＝ 5.∵AB
是直径，∴△ACB 为直角三角形．∴AC＝ AB2－BC2＝2 5.
课堂精讲
【解】(1)证明：∵AC 平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC. ∴C 是 的中点． ∴OC⊥BD.∴BE＝DE. ∵∠AFC＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD， ∴∠AFC＝∠ABD. ∴BD∥CF. ∴OC⊥CF. ∵OC 是半径，∴CF 是⊙O 的切线．
课堂精讲
(2)①设 OC＝R.∵DE＝2CE＝2，∴BE＝DE＝2，CE＝1.∴OE＝R－1.在 Rt△OBE 中，(R－1)2＋22＝R2，解得 R＝52.∴OE＝52－1＝32.由(1)得，OA＝OB， BE＝DE，∴AD＝2OE＝3.
(2)证明：∵F 为 BC 的中点，△BPC 为直角三角形，∴FP＝FC. ∴∠C＝∠CPF.又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE.∵∠A ＋∠D＝90°，∴∠DPE＋∠D＝90°.∴EF⊥AD.
(3)作 OM⊥AB 于 M，ON⊥CD 于 N，连接 PO，易证 四边形 MONP 是矩形，∵OM2＝(2 5)2－42＝4，ON2＝ (2 5)2－32＝11，∴OP＝ OM2＋ON2＝ 15.
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5．如图，半径为 2 5的⊙O 内有互相垂直的两条弦 AB，CD 相交 于点 P.
(1)求证：PA·PB＝PC·PD； (2)设 BC 的中点为 F，连接 FP 并延长交 AD 于 E，求证：EF⊥AD； (3)若 AB＝8，CD＝6，求 OP 的长．
课后精练
解：(1)证明：∵∠A＝∠C，∴Rt△APD∽Rt△CPB.∴ACPP＝PPDB. ∴PA·PB＝PC·PD.
(1)求证：△DAC∽△DEA； (2)求出 DA，AC 的长度．
课堂精讲
【分析】(1)由 DF 过圆心，且 AF＝BF，利用垂径定理的逆定理得到 DF 垂直 于 AB，且 D 为优弧 ADB 的中点，得到两条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等 可得出一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似 可得出△DAC 与△DEA 相似；
图1
图2
方法提炼
(3)利用垂径垂直于弦，构造特殊的四边形．如图 3，四边形 OFEG 为正方形．
(4)利用垂径垂直于弦，构造特殊三角形．如图 4，△ONC，△OMA 为直角三角形．
图3
图4
课堂精讲
例 1 已知：如图，圆内接四边形 ABCD 的两边 AB，DC 的延长 线相交于点 E，DF 经过⊙O 的圆心，交 AB 于点 F，AB＝BE，连接 AC，且 OD＝3，FA＝FB＝ 5.
已知 sin∠CDB＝35，BD＝5，则 AH 的长为( B )
A.235
B.136
C.265
D.166
课后精练
2．如图，坐标平面上，A，B 两点分别为⊙P 与 x 轴，y 轴的交点，
有一直线 l 通过 P 点且与 AB 垂直，C 点为 l 与 y 轴的交点．若 A，B，
C 的坐标分别为(a，0)，(0，4)，(0，－5)，其中 a＜0，则 a 的值为( A )
(2)连接 OA，由第一问得出 DF 与 AB 垂直，得到△AOF 为直角三角形，根据 OA 及 AF 的长，利用勾股定理求出 OF 的长，再由 DF＝OD＋OF 求出 DF 的长， 在 Rt△ADF 中，由 AF 及 DF 的长，利用勾股定理即可求出 DA 的长；由 AB＝BE ＝2AF＝2BF，根据 FB 的长求出 EF 的长，在 Rt△DEF 中，由 DF 及 EF 的长，利 用勾股定理求出 DE 的长，同时根据 AF＋EF＝AE 求出 AE 的长，由第一问的相 似三角形，根据相似的性质得出比例式，将各自的值代入即可求出 AC 的长．
课后精练
6．(2019·乐山)如图，直线 l 与⊙O 相离，OA⊥l 于点 A，与⊙O 相交于点 P，OA＝5.C 是直线 l 上一点，连接 CP 并延长交⊙O 于另一 点 B，且 AB＝AC.
(1)求证：AB 是⊙O 的切线； (2)若⊙O 的半径为 3，求线段 BP 的长．
课后精练
解：(1)证明：如图，连接 OB，则 OP＝OB，∴∠OBP ＝∠OPB＝∠CPA.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC.而 OA⊥ l，即∠OAC＝90°，∴∠ACB＋∠CPA＝90°，即∠ABP＋ ∠OBP＝90°.∴∠ABO＝90°，OB⊥AB，故 AB 是⊙O 的切线．
垂径定理
考点解读
垂径定理是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相 等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供 了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置，几乎在中考 中年年出现，作为单一知识点或在大题中结合其他知识综合考查， 重在考查学生对知识应用的能力．垂径定理在圆的有关计算和证明 中广泛应用，由垂径定理可得到线段、角、弧等的相等关系，和线 段的垂直关系，结合勾股定理、射影定理等知识通常能顺利解决问 题，常见的有：(1)得到推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并 且平分弦所Байду номын сангаас的两条弧．(2)垂径定理和勾股定理相结合，构造直角 三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使 用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数 学思想方法一定要掌握.
根据勾股定理，得 DA＝ AF2＋DF2＝ 30.又 EF＝FB＋BE＝FB＋AB＝3 5，AE
＝AF＋EF＝4 5.在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，得 DE＝ EF2＋DF2＝ 70，
∵△DAC∽△DEA，∴AACE＝ADDE，即4AC5＝
30，则 70
AC＝4
105 7.
课堂精讲
【方法归纳】此题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，以 及相似三角形的判定与性质，垂径定理的内容为：垂直于弦的直径平 分于弦，且平分弦所对的弧，熟练掌握定理是解本题的关键．