2015届高考数学总复习第七章 第十节抛物线(二)精讲课件 文
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第十节抛物线(二) 文
第十节抛物线(二)基础自测1．(2012·合肥月考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2.圆x 2＋y 2－6x －7＝0，可化为(x －3)2＋y 2＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4.又抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x -7＝0相切， ∴3＋p2＝4，解得p ＝2.故选C.答案：C2．已知抛物线C ：y ＝14x 2，则过抛物线的焦点F 且斜率为12的直线l 被抛物线截得的线段长为( )A.94 B.178C.5D.4解析：抛物线C ：x 2＝4y ，则焦点F (0,1)．直线l 为y ＝12x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝12x ＋1，得x 2－2x －4＝0.由韦达定理，得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4. 由弦长公式可得，截得的线段长为1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝1＋⎝⎛⎭⎫122×22－4×(－4)＝5.答案：C3．(2013·东北三校第二次联考)若拋物线y 2＝2px (p >0)上一点P 到焦点和拋物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为________．解析：设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p2＝10，|y 0|＝6，y 2＝2px 0，所以36＝2p ⎝⎛⎭⎫10－p2，即p 2－20p ＋36＝0，解得p ＝2或18.答案：2或184．(2013·宁夏银川一中第五次月考)已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则此抛物线的焦点坐标是________．解析：圆方程：x 2＋y 2－6x －7＝0化为：(x －3)2＋y 2＝16，垂直于x 轴的切线为：x ＝－1，x ＝7.抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p2，因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x－3)2＋y 2＝16相切，所以－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．答案：(1,0)1．(2013·江西卷) 已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3解析：依题意可得AF 所在直线方程为x2＋y ＝1，代入x 2＝4y 得y ＝3－52，又|FM |∶|MN |＝(1－y )∶(1＋y )＝1∶ 5.答案：C2．(2013·辽宁卷)如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．解析：(1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是 y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p .②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 224，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 22，③ y ＝x 21＋x 228.④切线MA 、MB 的方程为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .1．(2012·三明模拟)设抛物线y 2＝4x 的准线为l ，焦点为F ，P 为抛物线上的点，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若△PQF 的面积与△POF 的面积之比为3∶1，则点P 坐标是________________．解析：(2，－22)或(2,22)2．(2013·江苏泰州二模)已知过点A (－4, 0)的动直线l 与拋物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求拋物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解析：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x＝2y －4.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，y 1＋y 2＝8＋p 2，y 1y 2＝4，由已知AC →＝4AB →，所以y 2＝4y 1，由韦达定理及p >0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，所以拋物线G 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0，设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)，得x 2－4kx －16k ＝0，由Δ>0得k <－4或k >0，所以x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k ，BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x－2k )，所以b ＝2(k ＋1)2，所以b 的取值范围是(2，＋∞)．。
高考数学总复习课件第十单元 第七节 抛物线
错解 设直线l的方程为y＝kx＋3，将其代入y2＝
4x，整理得k2x2＋(6k－4)x＋9＝0，则由Δ ＝0解得
k＝ .
∴直线l的方程为y＝x＋3.
错解分析 上述解法只考虑了直线的斜率k存在的情况，而忽视 了k不存在以及直线l平行抛物线对称轴时的两种情形．
正解 当斜率k存在且k≠0时，由上述知直线l的方程为y＝x＋3.
变式训练4
如图，倾斜角为α 的直线经过抛物线y2＝8x的焦点F，且与抛 物线交于A，B两点． (1)求抛物线的焦点F的坐标及准线
l的方程；
(2)若α 为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明：
|FP|－|FP|cos2α 为定值， 并求此定值．
1．求抛物线的标准方程 (1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，
性质3：由几何图形易得以AB为直径的圆与抛物线的准线相 切． 性质4：过焦点F且垂直于对称轴的弦称为通径，通径是最短 的焦点弦，长度为2p.
变式训练3
已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相
交于A、B两点．求证：OA⊥OB.
抛物线的综合问题 (12分)已知抛物线C：y＝2x2，直线y＝
kx＋2交C于A、B两点，M是线段AB的中点，
当k＝0时，直线l的方程为y＝3，此时l平行于对称轴，且与轨 物线只有一个交点. 当k不存在时，直线l与抛物线也只有一个公共点，此时l的方程 为x＝0.
综上，过点(0,3)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线l的
方程为y＝x＋3，y＝3，x＝0.
变式训练1
已知点A(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，
P在抛物线上移动时，求|PA|＋|PF|的最小值，并求这时 点P的坐标．
【解析】
2015届高三数学第一轮复习课件：8.2抛物线
第十一页，编辑于星期五：八点 五十一分。
C 2．抛物线的性质及应用
(2013 年新课标全国Ⅰ卷)O 为坐标原点，F 为抛物线 C： y2＝4 2x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|＝4 2，则△POF
的点坐标为( 2，0)，设点 P 坐标为(x0，
第二十二页，编辑于星期五：八点 五十一分。
(2)已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的动点，点 P 在 y 轴上
的射影是 M，点 A 的坐标是(72，4)，则|PA|＋|PM|的最小值
是( )．
7
9
A.2 B．4 C.2 D．5
(1)抛物线 y2＝8x 的焦点 F 的坐标为(2，0)，如图
所示．
过 A，B，Q 分别作准线的垂线，垂足分别为 A1，B1，Q1.
第三页，编辑于星期五：八点 五十一分。
(1)抛物线的标准方程有四种类型，抛物线焦点所在直 线为抛物线方程的一次项，抛物线方程的系数符号决定着抛 物线的开口方向；抛物线的对称轴叫作抛物线的轴，抛物线 和它的轴的交点叫作抛物线的顶点．
(2)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延 伸，但它没有渐近线．
即(x1－6)2＋y21＝(x2－6)2＋y22，
第十八页，编辑于星期五：八点 五十一分。
又 y21＝2px1，y22＝2px2， ∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0. ∵AB 与 x 轴不垂直，∴x1≠x2， 故 x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即 p＝4. 从而抛物线的方程为 y2＝8x.
(1)抛物线化标准方程为 x2＝14y，准线方程为 y＝－ 116，M 到准线的距离为 1，
所以到 x 轴的距离等于 1－116＝1156.
(2)将 x＝1 代入抛物线方程 y＝14x2，得 y＝14，∵1＞14， ∴点 A 在抛物线内部，如图所示．
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第九节抛物线(一) 文
第九节抛物线(一)1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.2.理解数形结合的思想.知识梳理一、抛物线的定义平面内到定点F的距离等于到定直线l(定点不在定直线上)的距离的点的轨迹是抛物线．其中定点叫做焦点，定直线叫做准线．注意：当定点在定直线上时，点的轨迹是过该定点且与定直线垂直的一条直线．二、抛物线的类型、标准方程及其几何性质(注意：表中各式的p>0)标准方程y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py图形焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 准线 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Rx ∈R ，y ≥0x ∈R ，y ≤0 对称轴 x 轴y 轴顶点 (0,0) 离心率 e ＝1焦半径 ||PF ＝ p2 ＋ x 1 ||PF ＝ p2 ＋ ||x 1||PF ＝ p 2 ＋ y 1 ||PF ＝ p2＋ ||y 1基础自测1．(2013·四川卷)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3B ．2C. 3D ．1解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，由点到直线的距离公式得F (2,0)到直线x －3y ＝0的距离d ＝|2－3×0|12＋(－3)2＝22＝1.故选D.答案：D2．一动圆的圆心在抛物线x 2＝－8y 上，且动圆恒与直线y －2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(0，－4)C ．(2,0)D ．(0，－2)解析：由抛物线的定义知到焦点距离与到准线的距离相等，动圆必过焦点(0，－2)． 答案：D3．若动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为____________．解析：由抛物线定义知点P 的轨迹是以F (2,0)为焦点，直线x ＝－2为准线的抛物线，所以p ＝4，所以其方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x4．若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4.答案：41．(2013·新课标全国Ⅰ卷)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△P OF的面积为()A．2 B．2 2 C．2 3 D．4解析：由y2＝42x知：焦点F(2，0)，准线x＝－ 2.设P点坐标为(x0，y0)，则x0＋2＝42，所以x0＝32，所以y20＝42×32＝24，所以|y0|＝26，所以S△POF＝12×2×26＝2 3.故选C.答案：C2．已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求A D →·E B →的最小值．解析：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0. 所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故A D →·E B →＝(A F →＋F D →)·(E F →＋F B →)＝A F →·E F →＋A F →·F B →＋F D →·E F →＋F D →·F B →＝|A F →|·|F B →|＋|F D →|·|E F →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 ＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k2＝16. 当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，A D →·E B →取得最小值16.1．(2013·汕头一模)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________．解析：因为y 2＝4x ，所以p ＝2，焦点坐标为(1,0)，依题意可知当P ，Q 和焦点三点共线且点P 在中间的时候，距离之和最小如图，故P 的纵坐标为－1，然后代入抛物线方程求得x ＝14.答案：⎝⎛⎭⎫14，－12．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点F ()1，0的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点F 作倾斜角为45°的直线m 交轨迹E 于点A ，B ，求△AOB 的面积．解析：(1)设P ()x ，y ，由抛物线定义知，点P 的轨迹E 为抛物线，方程为y 2＝4x . (2)m ：y ＝x －1，代入y 2＝4x ，消去x 得y 2－4y －4＝0.设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则||y 2－y 1＝42，所以S △AOB ＝12×||OF ×||y 2－y 1＝12×1×42＝2 2.。
2015高考数学一轮课件：10-7抛物线
点评：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的 定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此 类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准 线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
第二十五页，编辑于星期五：十三点 八分。
通关训练1 已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物
答案：D
第十六页，编辑于星期五：十三点 八分。
4．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝ __________.
第十七页，编辑于星期五：十三点 八分。
解析：将直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2联立， 消去y得ax2－x＋1＝0， ∵直线与抛物线相切， ∴a≠0且Δ＝1－4a＝0，解得a＝14. 答案：14
化简得y2＝2x＋2|x|. 当x≥0时，y2＝4x； 当x<0时，y＝0. 所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x (x≥0)和y＝0 (x<0)．(5 分)
第四十六页，编辑于星期五：十三点 八分。
考点二 抛物线的标准方程及几何性质 【例2】 (1)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(－
2，－4)的抛物线方程为__________． (2)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的
中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为__________．
第二十八页，编辑于星期五：十三点 八分。
第三十八页，编辑于星期五：十三点 八分。
点评：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的 位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线 的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p， 若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
2015届高考数学总复习第七章 第八节双曲线(二)精讲课件 文
x2 y2 点评：(1)熟记双曲线的标准方程a2－b2＝1(a＞0，b＞0)与渐 x y 近线方程a± b＝0 的转化关系：将标准方程中的平方去掉，“－” 改为“± ”，“1”改为“0”，即得渐近线方程． (2)双曲线方程确定，则渐近线确定，反之，渐近线确定，则 x y x2 y2 方程不确定． 即双曲线的渐近线为a± 则标准方程设为a2－b2 b ＝0 ， ＝λ(λ≠0)，再根据已知条件确定 λ 的值，进而求得方程．
变式探究
1．(1)(2013· 东莞调研)已知中心在原点，焦点在 y 轴上的双 曲线的离心率为 5，则它的渐近线方程为( ) A．y＝± 2x 1 C．y＝± 2x 5 B．y＝± 2 x D．y＝± 6x
(2)(2013· 茂名一模)已知双曲线 x2－ky2＝1 的一个焦点是( 5， 0)，则其渐近线方程为__________．
y2 x2 解析：(1)设双曲线的方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)， c 因为 e＝a＝ 5，c＝ a2＋b2， 所以 a2＋b2 a2 ＝
b2 1＋a ＝
5，
b a 1 所以a＝2，所以双曲线的渐近线方程为 y＝± bx＝± 2x. 故选 C.
2 y (2)双曲线 x2－ky2＝1 化成标准方程得 x2－ 1 ＝1， k
且分别设为m－d，m，m＋d，
则由双曲线定义和勾股定理可知：
m－(m－d)＝2a，m＋d＝2c，(m－d)2＋m2＝(m＋d)2， 解得m＝4d＝8a，∴2c＝m＋d＝5d,2a＝d， ∴e＝ ＝5.故选D.
(2)双曲线的渐近线为 bx± ay＝0， 因为它与圆(x－2)2＋y2＝2 相交， 所以圆心(2,0)到该直线的距离小于圆的半径， |2b| 2 2 即 2 ＜ 2 ，整理得 b ＜ a ， 2 a ＋b
高考数学一轮总复习课件：抛物线(二)
2．(课本习题改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x
仅有一个公共点，这样的直线有( C )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析 两条切线，另一条平行于对称轴．
3．(2020·辽宁五校期末联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条
【解析】 设斜率为k，则切线为y＝k x＋p2 ，代入y2＝2px 中，得k2x2＋p(k2－2)x＋k24p2＝0.
Δ＝0，即p2(k2－2)2－4·k2·k24p2＝0.解得k2＝1，∴k＝±1.
(2)(2021·河南新乡市模拟)若抛物线x2＝ay(a≠0)的准线与抛
物线y＝－x2－2x＋1相切，则a＝( B )
＝2.故选C.
5．(2021·湖南长沙质检)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛
物线C交于A，B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆
的位置关系为( B )
A．相离
B．相切
C．相交但不经过圆心 D．相交且经过圆心
解析 设圆心为M，过点A，B，M分别作准线l的垂线，垂
足分别为A1，B1，M1(图略)，则|MM1|＝
【证明】 (1)∵y2＝2px(p>0)的焦点为Fp2，0， 当k不存在时，直线方程为x＝p2. 这时y1＝p，y2＝－p，则y1y2＝－p2，x1x2＝p42.
当k存在时，设直线方程为y＝kx－p2(k≠0)． 由y＝kx－p2，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.①
y2＝2px ∴y1y2＝－p2，x1x2＝（y41py22）2＝p42. 因此，总有y1y2＝－p2，x1x2＝p42成立．
斜角为
π 6
的直线交C于A，B两点．若线段AB中点的纵坐标为
2015届高考数学总复习第七章 第九节抛物线(一)精讲课件 文
(2)令 x＝0 得 y＝－2，令 y＝0 得 x＝4， ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)． p 当焦点为(4,0)时，2＝4， ∴p＝8，此时抛物线方程 y2＝16x. p 当焦点为(0，－2)时，2＝2， ∴p＝4，此时抛物线方程为 x2＝－8y. ∴所求的抛物线的方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y， 对应的准线方程分别是 x＝－4，y＝2.
(2)如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，
解析：(1)设所求的抛物线方程为 y2＝－2px 或 x2＝2py(p＞0)．∵过点(－3,2)， ∴4＝－2p· (－3)或 9＝2p· 2. 2 9 ∴p＝3或 p＝4. 4 ∴所求的抛物线方程为 y ＝－3x
2
9 1 或 x ＝2y，前者的准线方程是 x＝3，
2
9 后者的准线方程是 y＝－8.
变式探究
2 2 x y 2．抛物线 x＝ay2 的焦点 F 是椭圆20＋ 4 ＝1 的左焦点，则 a 的值为______________．
解析：椭圆中，c＝ a2－b2＝4， ∴椭圆的左焦点坐标为(－4,0)． 1 将 x＝ay 化为标准型为 y ＝ax.
2 2
依题意知
1 a＜0，焦点坐标为4a，0，
∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0，
∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2， 故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4. 从而抛物线方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2. 点评：(1)求抛物线的标准方程，要先根据题设判断抛物线
的标准方程的类型，然后求抛物线的标准方程，再由条件确定
1 1 4a＝－4，得 a＝－16. 1 答案：－16
利用抛物线的定义求距离和的最小值 【例3】 设P是抛物线y2＝4x上的一动点．
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行线，与抛物线在第一象限的交点为 G，已知抛物线在点 G的 切线经过椭圆的右焦点F1. (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； (2)设A、B分别是椭圆长轴的左、右端 点，试探究在抛物线上是否存在点 P，使得△ ABP为直角三角 形．若存在，请指出共有几个这样的点，并说明理由 ( 不必具
体求出这些点的坐标)
2
∴过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，－2， ∴过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y＝4x－8， y＝－2x－2，联立方程组解得x＝1，y＝－4，故点A的纵 坐标为－4.
答案：－4
直线与抛物线的位置关系 【例 2】 已知抛物线 y2 ＝ 4x 及点 P(2,2) ，直线 l 的斜率
为1且不过点P，它与抛物线交于A，B两点．
Hale Waihona Puke x2 2x 所以 x1，x2 是方程2p－ p －2p＝0 两根， 即 x2－4x－4p2＝0. 所以 x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2. 1 2 2 所以 y1＋y2＝2p(x1＋x2) 1 ＝2p[(x1＋x2)2－2x1x2] 1 ＝2p(16＋8p2)． 又因为线段 AB 的中点纵坐标为 6，所以 y1＋y2＝12，
第七章
第十节 抛 物 线 （二）
直线与抛物线相切问题 【例1】 方程． 自主解答： 过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p>0)的两条切
线，切点分别为A，B，若线段AB中点的纵坐标为6，求抛物线
1 2 x 解析：x ＝2py 变形为 y＝2px ，所以 y′＝p.
2
x1 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以 y′|x＝x1＝ p . x1 所以切线 AM 方程为 y－y1＝ p (x－x1)， x1 x2 1 即 y＝ p x－2p. x2 x2 2 同理 BM 方程为 y＝ p x－2p. 又(2，－2p)在两条直线上， 2x1 x2 2x2 x2 1 2 所以－2p＝ p －2p，－2p＝ p －2p.
1 即2p(16＋8p2)＝12，解得 p＝1 或 p＝2. 所以抛物线方程为 x2＝2y 或 x2＝4y.
点评：直线与抛物线的相切问题，可用两种方法求斜率： (1)设切线方程为 y ＝kx＋b(斜率存在)，将切线方程代入抛
物线方程中，消去x(或y)，由Δ＝0得到斜率(或斜率的关系式)，
斜率不存在的情况，由图形确定切线方程． (2)若抛物线方程为y＝ 切线的斜率． ，用求导法得过抛物线上某点的
1 2 解析：(1)由 x ＝8(y－b)得 y＝8x ＋b，
2
当 y＝b＋2 时，得 x＝± 4，∴点 G 的坐标为(4，b＋2)． 1 由 y′＝4x，y′|x＝4＝1 得 过点 G 的切线方程为 y－(b＋2)＝x－4， 即 y＝x＋b－2， 令 y＝0 得 x＝2－b， ∴点 F1 的坐标为(2－b,0)． 由椭圆方程得点 F1 的坐标为(b,0)， ∴2－b＝b，即 b＝1，即椭圆和抛物线的方程分别为 x2 2 2 ＋ y ＝ 1 和 x ＝8(y－1)． 2
变式探究 1. (2012· 辽宁卷)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点
P，Q的横坐标分别为 4，－2，过P，Q分别作抛物线的切 线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________． 解析：∵点P，Q的横坐标分别为4，－2，代入
抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.
1 2 由 x ＝2y，则 y＝2x ，∴y′＝x，
变式探究
2．(2013· 江苏金陵中学模拟)已知直线y＝2x＋k被拋物 线x2＝4y截得的弦长AB为20，如图所示，O为坐标原点． (1)求实数k的值； (2)问点C位于拋物线上 何处时，△ABC面积最大？
解析：(1)将y＝2x＋k代入x2＝4y得x2－8x－4k＝0，由Δ
＝64＋16k>0可知k>－4，又弦长AB = 5× 64＋16k＝20，解 得k＝1. (2)当k＝1时，直线为y＝2x＋1，要使得内接△ABC面
y(或x)的二次方程，则Δ＞0，直线与抛物线相交，Δ＝0，
直线与抛物线相切，Δ＜0，直线与抛物线相离．
(2)弦长公式： 若直线 y＝kx＋b 与圆锥曲线相交于两点 A， B， 且 x1，x2 分别为 A，B 的横坐标，则|AB|＝ 1＋k2· |x1－x2|，若 y1， 1 y2 分别为 A，B 的纵坐标，则|AB|＝ 1＋k2|y1－y2|，若弦 AB 所 在直线方程设为 x＝ky＋b，则|AB|＝ 1＋k2|y1－y2|.
2 my 2 m D 当x＝0时，y = ＝ ＝2， 2 yD＋m 2m＋m －2m 即直线AD与y轴的交点为(0,2)，同理可得BC与y轴的交
点也为(0,2)，所以AD，BC交于定点(0,2)． 点评：(1)判断直线与抛物线的位置关系，用方程思想， 即将直线方程代入抛物线方程中，消去 x( 或 y) ，得到关于
积最大，则只需使得y′C＝ ×2xc＝2，即xC＝4，即C位 于点(4,4)处时，△ABC面积最大．
抛物线与其他圆锥曲线知识的综合
x2 y2 【例3】 (2012· 合肥模拟)设b>0，椭圆方程为 2＋ 2 ＝1，抛 2b b 2 物线方程为x ＝8(y－b)．如图所示，过点F(0，b＋2)作x轴的平
由Δ>0，解得b<1. 所以直线l在y轴上截距的取值范围是(－∞， 0)∪(0,1)．
(2)证明：设 A，B
m2 n2 坐标分别为 4 ，m， 4 ，n.
因为 AB 斜率为 1，所以 m＋n＝4. 设点 D
y2 D 坐标为 4
，yD
，
因为 B，P，D 共线，所以 kPB＝kDP， 8 －2 n 2 m 得 yD＝ ＝ ， 2－n m－2 yD －m m2 ∴直线 AD 的方程为 y－m ＝ y2 m2x－ 4 ， D 4 －4
(1)求直线l在y轴上截距的取值范围； (2) 若 AP ，BP 分别与抛物线交于另一点 C ， D ，证明： AD，BC交于定点． 自主解答：
(1)解析：设直线l的方程为y＝x＋b， 由于直线不过点P，因此b≠0. 由
y＝x＋b， 2 得x ＋(2b－4)x＋b2＝0， 2 y ＝4x