(A卷)2015级场论与无穷级数(信)考试试卷
2015年普通高等学校招生全国统一考试(正文)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数z满足1+z1-z=i,则|z|=( )A.1B.2C.3D.22.sin20°cos10°-cos160°sin10°=()A.-32B.32C.-12D.123.设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为( )A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n4.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3125.已知M(x0,y0)是双曲线C:x 22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是( )A.-33,33B.-36,36C.-223,223D.-233,2336.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛7.设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则( )A.AD=-13AB+43AC B.AD=13AB-43ACC.AD=43AB+13AC D.AD=43AB-13AC8.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A. kπ-14,kπ+34,k∈Z B.2kπ-14,2kπ+34,k∈ZC. k-14,k+34,k∈Z D.2k-14,2k+34,k∈Z9.执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )A.5B.6C.7D.810.(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )A.10B.20C.30D.6011.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )A.1B.2C.4D.812.设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x 0使得f(x 0)<0,则a 的取值范围是( ) A. -32e ,1B. -32e ,34C. 32e ,34D. 32e ,1第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.若函数f(x)=xln(x+ a +x 2)为偶函数,则a= .14.一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 .15.若x,y 满足约束条件 x -1≥0,x -y ≤0,x +y -4≤0,则y x的最大值为 . 16.在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n +3.(Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和.18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC;(Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.19.(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中w i = x i ,w =8∑i =18w i. (Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(Ⅲ)已知这种产品的年利润z 与x,y 的关系为z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i =1n(u i -u )(v i -v )∑i =1n(u i -u )2,α^=v -β^u .20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中,曲线C:y=x 24与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N 两点. (Ⅰ)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(Ⅱ)y 轴上是否存在点P,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x 3+ax+14,g(x)=-lnx.(Ⅰ)当a 为何值时,x 轴为曲线y=f(x)的切线?(Ⅱ)用min{m,n}表示m,n 中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC交☉O于点E.(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线;(Ⅱ)若OA=求∠ACB的大小.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积. (Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=π424.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.。
第十二章无穷级数A同步测试卷(最新整理)
1 1 1 1
2
23
『方法技巧』 本题考查等比（几何）级数求和及级数的性质.
『特别提醒』 等比级数的和为 a1 ( q 1) ，一定记住分子为第一项. 1 q
7. 解
lim un1 u n
n
lim n
2n1
n 1 (3)n1
x 2 n 1
2n
n (3)n
x 2 n 1
lim n
2n (3)n 2n1 (3)n1
x2
1 lim
( 2)n 1 3
x2 x2
3 n ( 2)n1 1
3
3
5
由比值审敛法知：当 x2 1，即 x 3 时，级数收敛；当 x2 1 ，即 x 3 时，
3
3
级数发散，因此级数的收敛半径为 R 3 .
『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法及其特殊性.由比值审敛法
判断级数 un 收敛时，原级数 un 绝对收敛；而级数 un 发散时，原级数
2 a2
n an )
S(1) a
a (1 1 )2
a (a 1)2
a
『方法技巧』 本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个
利用分式的性质，将
f
(x)
12 5x 6 5x x2
化为标准形式 1 1 (
x)
1 1 x
.
6
15. 解
所求极限实际上是级数
n1
n an
的和，所以考虑幂级数
nx n
n1
.
令
S(x)
x
n1
nxn1
x[
n1
xn ]
x( x 1
) x
x (1 x)2
吉林大学2015级高等数学AIII期末试题(含答案)
n n =0 ∞
x 3
3
= y 3 x − 3 x 由 A ( 0， 1 2. L 为 0 ) 到 B (1, 0 ) 对应的一段曲线，则 xdy − ydx =
2
∫
L
2 = 3．若 x
∑ an cos nx ( −π ≤ x < π ) ，则 x 2 的 Fourier 系数 a2 =
= a 2. L 为平面曲线 x + y
2 2
2
2 ( a > 0 ) ,计算曲线积分 ∫ L ( x + y )ds
解：
∫
L
2 ( x + y 2 )ds = ∫ y ds = ∫ L
1 2 ( x + y 2 )ds =πa 3 L 2
3．解微分方程 xy′+y = 1 .
y C 解： =
∫∫ ( x
Σ
2
y + 2 x − z ) cos α + ( y +z 2 ) cos β − 2 xyz cos γ dS =
∞ n ∞ n n
2π
1 幂级数 ∑ an ( x − 1) 在 x = 4 条件收敛，则 ∑ ( −1) (1 + 2 ) an
n =1 n =1
(
)A
（A）绝对收敛 2 以下正确的是 (
1 +1 x
4 1 1 1 4 ． 将 函 数 f ( x) = 2 展 为 x 的 幂 级 数 . 解 ： f ( x) = = − − x + 2x − 3 1− x 3 1+ x 3
2015年全国联考综合能力真题
2015年全国联考综合能力真题说明：由于2015年试题为一题多卷，因此现场试卷中的选择题顺序及每道题的选项顺序，不同考生有所不同。
请在核对答案时注意题目和选项的具体内容。
一、问题求解：第1-15小题，每小题3分，共45分，下列每题给出的五个选项中，A 、B 、C 、D 、E 只有一个项符合试题要求。
请在答题卡上将所选项字母涂黑。
1．若实数,,a b c 满足::1:2:5a b c =，且24a b c ++=，则222a b c ++=（ ）（A ）30 （B ）90 （C ）120 （D ）240 （E ）2702．某公司共有甲、乙两个部门，如果从甲部门调10人到乙部门，那么乙部门人数是甲部门人数的2倍，如果把乙部门员工的15调到甲部门，那么两个部门的人数相等，该公司的总人数为（ ）（A ）150 （B ）180 （C ）200 （D ）240 （E ）2503．设,m n 是小于20的质数，满足条件2m n -=的{},m n 共有（ ）（A ）2组 （B ）3组 （C ）4组 （D ）5组 （E ）6组4．如图1，BC 是半圆的直径，且4BC =，30ABC ∠=，则图中阴影部分的面积为（A ）43π （B ）43π- （C ）23π（D ）23π+ （E ）2π-5．某人驾车从A 地赶往B 地，前一半路程比计划多用时45分钟，平均速度只有计划的80%，若后一半路程的平均速度为120千米/小时，此人还能按原定时间到达B 地。
A 、B 两地的距离为（ ）（A ）450千米 （B ）480千米 （C ）520千米 （D ）540千米 （E ）600千米6．在某次考试中，甲、乙、丙三个班的平均成绩分别为8081、和81.5，三个班的学生得分之和为6952，三个班共有学生（ ）（A ） 85名 （B ）86名 （C ）87名 （D ）88名 （E ）90名7．有一根圆柱形铁管，管壁厚度为0.1米，内径为1.8米，长度为2米，若将该铁管熔化后浇铸成长方体，则该长方体体积为（单位：3m ； 3.14π≈）（ ）（A ）0.38 （B ）0.59 （C ）1.19 （D ）5.09 （E ）6.288．如图2，梯形ABCD 的上底与下底分别为5,7，E 为AC 与BD 的交点，MN 过点E 且平行于AD ,则MN =（ ）（A ） 265 （B ） 112 （C ） 356 （D ） 367 （E ） 4079．已知1x ，2x 是方程210x ax --=的两个实根，则2212x x +=（ ）（A ）22a + （B ）21a + （C ）21a - （D ） 22a - （E ）2a +10．一件工作，甲、乙合作需要2天，人工费2900元，乙、丙两人合作需要4天，人工费2600元，甲、丙两人合作2天完成全部工作量的56，人工费2400元，则甲单独完成这件工作需要的时间与人工费为（ ）（A ）3天，3000元 （B ）3天，2580元（C ）4天，3000元 （D ）4天，3000元 （E ）4天，2900元11．若直线y ax =与圆22()1x a y -+=相切，则2a =（ ）（A ） （B ） 1+ （C （D ） 1+ （E ） 12．设点(0,2)A 和(1,0)B ，在线段AB 上取一点(,)(01)M x y x <<，则以,x y 为两边长的矩形面积的最大值为（ ）（A ） 58 （B ） 12 （C ） 38 （D ） 14 （E ） 1813．某新兴产业在2005年末至2009年末产值的年平均增长率为q ，在2009年末至2013年末产值的年平均增长率比前四年下降了40%，2013年末产值约为2005年产值的14.46（41.95≈）倍，则q 为（ ）（A ）30% （B ）35% （C ）40% （D ）45% （E ）50%14．某次网球比赛的四强对阵为甲对乙，丙对丁，两场比赛的胜者将争夺冠军选手之间相互获胜的概率如下：甲获得冠军的概率为（ ）（A ）0.165 （B ）0.245 （C ）0.275 （D ）0.315 （E ）0.33015．平面上有5条平行直线与另一组n 条平行直线垂直，若两组平行直线共构成280个矩形，则=n （ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 （E ）9二、条件充分性判断：第16-25小题，每小题3分，共30分。
2013,2015-2017 级数学专业数学分析A(Ⅰ)期终考试试题(A 卷)
0, ∞ 上不一致连续。
9.（10 分）
（1）设数列 ������ 满足∑ |������
������ | ������, ������ 1,2, … ，其中������为正
的常数，证明： ������ 收敛。
（2）若 ������ 收敛， ������ 是否满足（1）中条件？即是否存在正常数������，
满
足
方
程
x =
ty
2
1 −
பைடு நூலகம்+ 2
t y
+ +
arctan t
，
sin t = 4
求
f ′(x) =
dy dx
及
y
=
f
(x) 在
（1,-2）处的切线方程；
∫ （4）求不定积分
e
x
2
1 +
+ ex ex
dx
；
∫ （5）求不定积分 x arctan x2 −1dx 。
( ) 二、（10 分）已知 f ( x)= ln x + x2 + 2 − ln x + 4 x2 + 2 ，验证 f 在 x = 1 处取得最小 2
使得 f ′(ξ ) ⋅ f ′(η ) = 1。
课程编号：H0171001 北京理工大学 2016-2017 学年第一学期
2017.1.17
2016 级数学专业数学分析Ⅰ期末试卷（B 卷）
一、计算题（每小题 5 分）
1.求函数极限
lim
x→0
1 x
+
ln
1
(1 −
x)
；
2.求函数极限
2015级《高等数学》(Ⅰ)B类(A)卷(1)
一、单项选择题（ 每小题 2 分，共 1 0 分 ） 1．当 x 0 时， 2 1 cos x A． 1 B． 2
2
与 x
a
是等价无穷小，则 a （ D． 4
）
C． 3
2．设函数 f x A． 1
k 1, x 0; 在点 x 0 处连续，则 k （ xe cos x, x 0.
R x 63 10 x （万元/百台）.
试求： （1）总利润函数； （2）当产量为多少时总利润最大，并求出此时的总利润. 六、证明题（ 5 分 ） 证明：当 x 0 时，有： e tan x 1 ln x 1
x
2
3
0.5 x
dx 2 xd e0.5 x
5
2
5．函数 f x x 5 x 在 0,1 上的最大值是（ A． 5 B． 0 C． 10
） D． 6
二、填空题（ 每小题 3 分，共 1 5 分 ）
x 1 1．设 lim x x
（
）
5．
1 x
1
2015
dx 1 .
（
）
四、计算题（ 每小题 6 分，共 3 6 分 ） 1．求极限： lim
e x cos x x 1 x 0 x3
2．求极限： lim 3．设 y 1 x
y
1 2x x 1 2 2 x 0 x x
2
e
x
， 求y
2
.
4．求由方程 e y tan x ln 3 所确定的隐函数 y y x 的导数
概率论2015春A卷答案
(B) 1 2
(C) 1 2
(D) 1 2
X 9 相互独立， EX i 1, DX i 1
i 1,2,
9
9 ,则对任意给定的 0 ，
9 (A)P X i 1 1 2 i 1 9 (C)P X i 9 1 2 i 1
1 (B)P 9
X
i 1
i
1 1 2
9 (D)P X i 9 1 9 2 i 1
三、(10 分）甲、乙两人轮流投篮，甲先投。一般来说，甲、乙两人独立投篮的命中 率 分别为 0.7 和 0.6。但由于心理因素的影响，如果对方在前一次投篮中投中，紧跟在后 面投篮的这一方的命中率就会有所下降，甲、乙的命中率分别变为 0.4 和 0.5。求： （1）乙在第一次投篮中投中的概率； （2）甲在第二次投篮中投中的概率。 解：令
Y
2 2 X 12 X 2 X 10 服从 F (10,5) 2 2 2 2( X 11 X 12 X 15 )
分布.
《概率论与数理统计》试卷第 1 页 共 8 页
5、设随机变量 X 的概率密度为 f ( x)
2x 0 x 1 其它
0
，以 Y 表示对 X 的三次独立重复观
座位号
题 号 得 分
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
专业
注意： (1.65) 0.95 (1.96) 0.975 (1.45) 0.926
1.40 0.92
_____________ ________ 学院
t0.99 (7) 2.998 , t0.95 (7) 1.895 , t0.99 (6) 3.143, t0.95 (6) 1.943
(完整版)无穷级数习题及答案.doc
第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
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南开大学2015级“场论与无穷级数（信）”结课统考试卷 （A 卷） 2016年6月13日 草稿区
（说明：答案务必写在装订线右侧，写在装订线左侧无效。
影响成绩后果自负。
）
一、判定下列级数的敛散性(2054=⨯分): (1) ∑∞
=+-1
2
21
n n n ;
(2) ∑∞
=12
3
n n n ;
(3) )0(,)1
(
1
>+∑∞
=a n an n n
;
(4) ∑∞
=-+-1
11ln )1(n n n n
.
二、求幂级数
∑∞
=+0
)12(n n
x
n 的收敛域，并求其和函数。
（本题10分）.
三、求函数2
31
)(2++=
x x x f 在4-=x 处的泰勒展开.（本题10分） 草稿
四、求下列微分方程的通解或初值问题的解（每小题5分）： （1）034'
''=++y y y ；
（2）122'
+=+x y y
（3）x
e y y y 2'
'
'56=++；
（4）4
y x y dx dy +=;
（5）1)0(,0)1(2==++y dy x dx y ;
五、计算下列广义积分（每小题5分）： 草稿区
（1） ⎰
-1
2
31dx x
x ；
（2）
⎰
+1
32
3
)
1(x x dx
六、（本题9分）将函数)0(,1)(π≤≤+=x x x f 展开为正弦级数. .
场论与无穷级数（信）A4-3
七、（本题8分）讨论积分dx x x x F ⎰+∞
-+=
)
1()(αα的敛散性, 其中0>α. 草稿区
八、（8分）计算积分⎰-=2
/0
22)sin ln()(πdx x a a I ，其中1||>a .
场论与无穷级数（信）A4-4。