八年级上常考几何模型专题

在△CDE和△CFB中，
，
∴△CDE≌△CFB（AAS），
∴CD=CB，
∵∠BCD=60°，
∴△CBD是等边三角形；
（3）如图3，
∵OP平分∠EOF，∠EOF=120°，
∴∠POE=∠POF=60°，在OE上截取OG'=OP=1，连接PG'，
∴△G'OP是等边三角形，此时点H'和点O重合，
同理：△OPH是等边三角形，此时点G和点O重合，
∴CD=CB，（角平分线的性质定理），
∴△BCD是等边三角形；
故答案为：60，等边；
（2）如图2，同（1）得出，∠BCD=60°（根据三角形的内角和定理），
过点C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，
∵AC是∠MAN的平分线，
∴CE=CF，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠ABC，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠ACE=∠B=45°且CE=BD．
∵∠ACB=∠B=45°，
∴∠ECB=45°+45°=90°，即CE⊥BD．
故答案为：垂直，相等；
②都成立，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△DAB与△EAC中，
∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中， ，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF，设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，∴BM=BC+CM=3+1=4，∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x，
（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．
【详解】
（1）如图（2），连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，
参考答案
1．①②④
【解析】
【分析】
由ASA证明 ，得出BE=AF，DE=DF，可判断出①②正确；再根据BE+CF=AF+AE,利用三角形两边之和大于第三边，即可判定③错误；根据全等三角形的面积相等可得 ，从而求出S四边形AEDF＝ ，判断出④正确.
【详解】
∵在Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点
∴
∵
∴
∴ ，故①正确
∴
∴ ，故②正确
∴
∵
∴ ，故③错误
∵
∴S四边形AEDF＝ ，故④正确；
故答案为：①②④
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质，还涉及了等腰直角三角形的性质以及三角形的面积，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
2．2.5
【解析】
试题分析：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
6．（1）①垂直，相等．②都成立，理由见解析；（2）45°，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；
②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；
3．5：00时针与分针成_________度，8：25时分针与时针成___________度.
二、解答题
4．已知∠MAN=120°，点C是∠MAN的平分线AQ上的一个定点，点B，D分别在AN，AM上，连接BD．
（发现）
（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，则∠BCD=°，△CBD是三角形；
（探索）
∴△DAB≌△EAC，
∴CE＝BD，∠B＝∠ACE，
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．
（2）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动。探究：当∠ACB多少度时，CE⊥BC？请说明理由．
7．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．
将等边△PHG绕点P逆时针旋转到等边△PG'H'，在旋转的过程中，
边PG，PH分别和OE，OF相交（如图中G''，H''）和点P围成的三角形全部是等边三角形，（旋转角的范围为（0°到60°包括0°和60°），
所以有无数个；
理由：同（2）的方法．
故答案为④．
5．（1）见解析；（2）MB=MC．理由见解析；（3）MB=MC还成立，见解析．
6．如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE、BD的位置关系为___________，数量关系为___________
MF=MB，
∴△FCM≌△BGM（SAS）.
∴CF=BG，∠FCM=∠BGM.
∴CF//BG，即D、B、G在同一条直线上.
在△CFB和△BGC中，
CF=BG，
∠FCB=∠GBC，
CB=BC，
∴△CFB≌△BGC（SAS）.
∴BF=CG.
∴MC= CG= BF=MB．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键．
（2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论．
【详解】
（1）：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD．
理由：如图1，∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
又BA=CA，AD=AE，
∵CE∥BD，
∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE.
又∵M是DE的中点，
∴MD=ME.
在△MDB和△MEF中，
∠MDB=∠MEF，
∠MBD=∠MFE，
MD=ME，
∴△MDB≌△MEF（AAS），
∴MB=MF.
∵CE∥BD，
∴∠FCM=∠BGM.
在△FCM和△BGM中，
CM=MG，
∠CMF=∠GMB，
9．在四边形ABCD中，E为BC边中点.
（Ⅰ）已知：如图，若AE平分∠BAD，∠AED=90°，点F为AD上一点，AF=AB.求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD=AB+CD
（Ⅱ）已知：如图，若AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∠AED=120°，点F，G均为AD上的点，AF=AB，GD=CD.求证：（1）△GEF为等边三角形；（2）AD=AB+ BC+CD.
参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足_关系时，仍有EF=BE+DF；
（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，求DE的长．
∴FB=GC，∠MFB=∠M
∴∠GCB=90°.
在△FBC和△GCB中，
FB=GC，
∠FBC=∠GCB，
BC=CB，
∴△FBC≌△GCB（SAS）.
∴FC=GB.
∴MB= GB= FC=MC.
（3）MB=MC还成立．
如图（4），延长BM交CE于F，延长CM到G，使得MG=CM，连接BG.
【解析】
【分析】
（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证；
几何复习
一、填空题
1．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点，点E在AB边上，连接DE，过点D作DE的垂线，交AC于点F．下列结论：①△BDE≌△ADF；②AE＝CF；③BE+CF＝EF；④S四边形AEDF＝ AD2，其中正确的结论是__________（填序号）.
2．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为．
（2）如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，请判断△CBD的形状，并证明你的结论；
（应用）
（3）如图3，已知∠EOF=120°，OP平分∠EOF，且OP=1，若点G，H分别在射线OE，OF上，且△PGH为等边三角形，则满足上述条件的△PGH的个数一共有．（只填序号）
①2个②3个③4个④4个以上