2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准 精品

2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准精品2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分。

如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。

第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.已知$a=1+\frac{1}{2+1}$，$b=3-2$，$c=6-2$，那么$a,b,c$的大小关系是（）A。

$a<b<c$B。

$a<c<b$XXX<a<c$D。

$b<c<a$答】C.因为 $\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$，所以$a=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$b=1$，$c=4$。

因为 $\frac{1}{3}<1$，所以$a<\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}<c$，所以 $b<a<c$。

2.方程$x^2+2xy+3y^2=34$的整数解$(x,y)$的组数为（）A。

3B。

4C。

5D。

6答】B.方程即$(x+y)^2+2y^2=34$，显然$x+y$必须是偶数，所以可设$x+y=2t$，则原方程变为$2t^2+y^2=17$。

因为$2t^2\leq 16$，所以$t=\pm 2$，从而可求得原方程的整数解为$(x,y)=(-7,3),(1,3),(7,-3),(-1,-3)$，共4组。

3.已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，$CE=1$，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A。

$\frac{65}{26}$B。

$\frac{3}{3}$C。

$\frac{2}{5}$D。

$\frac{9}{4}$答】D.过点C作$CP\parallel BG$，交DE于点P。

因为$BC=CE=1$，所以$CP$是$\triangle BEG$的中位线，所以$P$为$EG$的中点。

又因为$AD=CE=1$，$AD\parallel CE$，所以$\triangle ADF\cong \triangle ECF$，所以$CF=DF$，又$CP\parallel FG$，所以$FG$是$\triangle DCP$的中位线，所以$G$为$DP$的中点。

因此$DG=GP=PE=\frac{1}{2}DE=\frac{3}{2}$，$BCE$连接$BD$，易知$\angle BDC=\angle EDC=45^\circ$，所以$\angle BDE=90^\circ$。

又$BD=\sqrt{2}$，所以$BG=BD+DG=\sqrt{2}+\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$。

4.已知实数$a,b$满足$a+b=1$，则$a+ab+b$的最小值为（）A。

$-\frac{1}{9}$B。

$0$C。

$1$D。

$\frac{8}{8}$答】B。

a+ab+b=a(1+b)+b=a(1-b)+(1-a)$，令$f(a)=a(1-b)+(1-a)$，则$f'(a)=2b-1$，当$b=\frac{1}{2}$时，$f(a)$取得最小值$\frac{1}{4}$。

因为$a+b=1$，所以$b=1-a$，代入上式得$a+ab+b=a(1-a)+(1-a)=2a-a^2-1=(a-1)^2-2$，所以$a+ab+b$的最小值为$-2$，当$a=1$时取得，即最小值为$-2$。

3）使用3个不同的数字，使用的数字有4种可能（1、2、3，1、2、4，1、3、4，2、3、4）.如果使用的数字是1、2、3，组成的四位数可以是1231，1321，2131，2311，3121，3211，共有6个；同样地，如果使用的数字是另外3种情况，组成的四位数也各有6个.因此，这样的四位数共有4×6＝24个.4）使用4个不同的数字，这样的四位数共有4！＝24个.综上所述，满足条件的四位数共有4＋24＋24＋24＝76个，但是题目中要求数字可以重复使用，因此还需要减去4个重复的数字，即1111，2222，3333，4444，所以最终答案为76－4＝72个，即选项C．44个.3.使用数字1、2、2、3或2、3、3、4，可以组成的四位数共有几个？答：使用1、2、2、3可以组成的四位数有：1223、1232、1322、2123、2132、2213、2231、2312、2321、3122、3212、3221，共12个。

使用2、3、3、4可以组成的四位数有：2334、2343、2433、3234、3243、3324、3342、3423、3432、4233、4323、4332，共12个。

因此，使用这两组数字可以组成的四位数共有12+12=24个。

4.使用数字1、2、3、4，可以组成的四位数共有几个？答：使用数字1、2、3、4可以组成的四位数有：1234、1243、1324、1342、1423、1432、2134、2143、2314、2341、2413、2431、3124、3142、3214、3241、3412、3421、4123、4132、4213、4231、4312、4321，共24个。

因此，满足要求的四位数共有24+24+8+8=64个。

二、填空题：1.已知互不相等的实数a,b,c满足a±1/b=b±1/c=c±1/a=t，则t=_________。

答：由a±1/b=b±1/c=c±1/a=t可得b±1/t=a，c±1/t=b，a±1/t=c。

将以上三个式子相乘，得到：a±1/b)(b±1/c)(c±1/a)=t^3代入abc=-1，化简可得：t^3=t±1因此，t=1或t=-1.2.使得5×2^m+1是完全平方数的整数m的个数为______。

答：设5×2^m+1=n（其中n为正整数），则5×2^m=n^2-1=(n+1)(n-1)。

显然n为奇数，设n=2k-1（其中k是正整数），则5×2^m=4k(k-1)，即5×2^(m-2)=k(k-1)。

因为k和k-1互质，所以k和k-1中必有一个是2的幂次方。

设k-1=2^x，则k=2^x+1，代入上式得到：5×2^(m-2)=2^x(2^x+1)因为5和2^x+1互质，所以2^x+1必须是5的幂次方。

因此，当x=2时，有唯一的解m=4，使得5×2^m+1是完全平方数。

因此，满足要求的整数m只有1个。

3.在△ABC中，已知AB=AC，∠A=40°，P为AB上一点，∠ACP=20°，则BC/AP=______。

答：设D为BC的中点，在△ABC外作∠CAE=20°，则∠BAE=60°。

作CE⊥AE，PF⊥AE，则易证△ACE≌△ACD，所以XXX。

又因为∠CAP=60°，所以AP=AC/2=BC/2.因此，AP=BC/2=CE，所以BC/AP=2.一、已知a+b+c=30，求直角三角形外接圆面积。

设直角三角形三边长为a，b，c（a≤b<c），则a+b+c=30.显然，三角形的外接圆直径为斜边长c，下面先求c的值。

由a≤b10.由a+b>c及a+b+c=30得30=a+b+c>2c，所以c<15.又因为c为整数，所以11≤c≤14.根据勾股定理可得a+b=c，把c=30-a-b代入，化简得ab-30(a+b)+450=0，所以(30-a)(30-b)=450=2×3^2×5^2.因为a≤b，且a，b为整数，所以只可能是a=5，b=12.所以，直角三角形的斜边长c=13，三角形的外接圆面积为169π/4.二、证明：2AD=BD·CD。

连接OA，OB，OC。

因为XXX是⊙O的切线，所以∠APO=90°，∠AOP=∠XXX。

因为PBC是⊙O的割线，所以∠XXX∠XXX。

所以∠APO+∠XXX∠OPB+∠OPA=180°。

所以APBC是一个四边形，且AB||PC。

因为AD⊥OP，所以AD垂直于AP，所以AD也垂直于BC。

所以ABCD是一个平行四边形，且由平行四边形性质可知，2AD=BD·CD。

已知直角三角形，可以设其中一个角为90度，不妨设为角A。

则根据三角函数定义，$\sin A = \frac{a}{c}$，$\cos A = \frac{b}{c}$。

又因为$A$是直角，所以$\sin A \cos A =\frac{ab}{c^2} = \frac{1}{2}$。

而根据正弦定理和余弦定理，$a = c \sin A$，$b = c \cos A$，$c^2 = a^2 + b^2$。

将这些代入$\frac{1}{2} = \frac{ab}{c^2}$中，得到$\sin A \cos A =\frac{1}{2}$，即$\sin 2A = 1$。

因此，$2A = 90^\circ$，$A = 45^\circ$。

所以这个直角三角形是一个等腰直角三角形，边长分别为$a = b = \frac{c}{\sqrt{2}}$。

又因为周长为60，所以$c = 20\sqrt{2}$。

三角形的面积为$\frac{1}{2}ab =\frac{1}{4}c^2\approx 400$，外接圆的半径为$\frac{c}{2} = 10\sqrt{2}$，面积为$200\pi$。

因此，外接圆的面积为$\boxed{200\pi}$。

首先，根据勾股定理可得三角形的斜边长为c，因此需要求出c的值。

由于a≤b20.又因为a+b>c且a+b+c=60，可得60=a+b+c>2c，因此c<30.由于c为整数，因此21≤c≤29.根据勾股定理，可得a+b=c，将c=60-a-b代入得到ab-60(a+b)+1800=0，因此(60-a)(60-b)=1800=2^3×3^2×5^2.由于a和b均为整数且a≤b，只有两种可能：a=10，b=24或a=20，b=15.当a=20，b=15时，c=25，三角形的外接圆的面积为625π/4.当a=10，b=24时，c=26，三角形的外接圆的面积为169π。

证明部分：连接OA，OB，OC，BD。

由于OA⊥AP，AD⊥OP，根据射影定理可得PA=PD×PO，AD=PD×OD。