初中数学二次函数图像性质练习题
数学二次函数图像性质练习题
1、函数()2h x a y -=的图象与性质
1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小， 函数有最 值 。
2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
（1）右移2个单位；（2）左移3
2个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。
3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）。
4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知2
1=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式。
5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积。
6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6。
求：（1）求出此函数关系式。
（2）说明函数值y 随x 值的变化情况。
7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值。
()k h x a y +-=2
的图象与性质
1、请写出一个以（2， 3）为顶点，且开口向上的二次函数： 。
2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝ 时，y 有最小值。
3、函数 y ＝12
(x －1)2＋3，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大。
4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=2
1x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到。
5、已知抛物线的顶点坐标为2,1，且抛物线过点3,0，则抛物线的关系式是
6、如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）
A 、x>3
B 、x<3
C 、x>1
D 、x<1
7、已知函数()9232+--=x y 。
（1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当x= 时，抛物线有最 值，是 。
（3）当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小。
（4）求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离；
（5）求出该抛物线与y 轴的交点坐标；
（6）该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？
8、已知函数()412-+=x y 。
（1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积；
（3）指出该函数的最值和增减性；
（4）若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式；
（5）该抛物线经过怎样的平移能经过原点。
（6）画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0。
c bx ax y ++=2的图象和性质
1、抛物线942++=x x y 的对称轴是 。
2、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 。
3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。
4、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝ 。
5、把二次函数215322
y x x 的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是
6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_______ __；
7、函数x x y +-=22有最__ __值，最值为______ _；
8、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ）
A 、6，4
B 、－8，14
C 、－6，6
D 、－8，－14
9、二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为（ ）
A 、22
B 、23
C 、32
D 、33
10、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）12212+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； （3）44
12-+-=x x y
11、把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。
12、求二次函数62+--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标。
13、已知一次函数的图象过抛物线223y x x 的顶点和坐标原点，回答：（1）求一次函数的关系式；（2）判断点2,5是否在这个一次函数的图象上。
湘教版九年级下册数学二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质测试题
湘教版九年级数学下册测试题测试题湘教版初中数学1.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数)0y的图象和性质ax(2>=a1.填空：（1）y＝x2的图像是；开口向；对称轴是；顶点坐标是；（2）在抛物线y＝x2的对称轴左侧y随x的减小而；而在对称轴的右侧是y随着x的增大而；此时函数y＝x2当x＝时的值最是.2.若点A（-5，y1）、B（2，y2）都在y=2x2上，则y____2y（填“>”1或“<”）3.关于函数2y=的性质的叙述,错误的是( )．3xA．对称轴是y轴 B．顶点是原点C．当0x时,y随x的增大而增大 D．y有最大值>4.已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=x与y=x2的图象有可能是（）A．B．C．D．5.已知正方形的边长为ccm，面积为Scm2.(1)求S与c之间函数关系式；(2)画出图象；(3)根据图象，求出S＝1cm2时，正方形的边长；(4)根据图象，求出c取何值时，S≥4cm2.6.已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．（1）求a、m的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积初中生提高做题效率的方法厚薄读书法：复习课本要厚薄结合著名数学家华罗庚先生说:“书要能从薄读到厚,还要能从厚读到薄。
”这就是厚薄读书法。
我们在复习功课时,也可以用这种方法,具体来说分为“由薄到厚”和“由厚读薄”两个部分由薄到厚第一步要“由薄到厚”地复习课本。
这就是说,我们在复习过程中对书本中的某些原理、定律、公式,不仅应该记住它的结论,而且还应该思考一下,这个定律是怎样发现的,这个公式是怎样推导的。
在阅读过程中对书中的每个概念、原理和观点要有自己的理解,对自己不懂的地方,还要查阅参考资料,通过充实书本的有关内容,使自己获得比书本上内容更为丰富、更为深刻的认识和见解,也就是把书“越读越厚”。
初中数学二次函数的图象与性质基础练习题A1(附答案详解)
初中数学二次函数的图象与性质基础练习题1（附答案详解）1．将二次函数2y x 的图像向上平移1个单位，则所得的二次函数表达式为（ ） A ．2(1)y x =- B ．21y x =+ C ．2(1)y x =+ D ．21y x =-2．如图，二次函数243y x x =-+的图象交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，则ABC的面积为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．13．在平面直角坐标系中，二次函数y=2（x ﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（1，﹣3）C ．（﹣1，3）D ．（﹣1，﹣3） 4．将二次函数y=x 2-4x+2化为顶点式，正确的是（ ）A ．2y (x 2)2=--B ．2y (x 2)3=-+C ．2y (x 2)2=+-D ．2y (x 2)2=-+5．二次函数2y 3x 4=-的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ） A ．抛物线开口向下B ．抛物线经过点()3,4C ．抛物线的对称轴是直线x 1=D ．抛物线与x 轴有两个交点6．抛物线y ＝－2x 2经过平移后得到抛物线y ＝－2x 2－4x －5，平移方法是（ ）A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝c x的大致图象是( ) A ． B ． C ． D ．8．若点()111,P y -，()222,P y -，()331,P y ，都在函数223y x x =-+的图象上，则（ ）A ．213y y y << B ．123y y y << C ．213y y y >>D ．123y y y >>9．已知二次函数y=x 2﹣bx+2（﹣2≤b≤2），当b 从﹣2逐渐增加到2的过程中，它所对应的抛物线的位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ） A ．先往左上方移动，再往左下方移动B ．先往左下方移动，再往左上方移动C ．先往右上方移动，再往右下方移动D ．先往右下方移动，再往右上方移动10．如图，抛物线与x 轴交于点()1,0-和()3,0，与y 轴交于点()0,3-则此抛物线对此函数的表达式为（ ）A ．223y x x =++B ．223y x x =--C ．223y x x =-+D ．223y x x =+- 11．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x 2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是__________。
初中数学：二次函数的性质练习(含答案)
初中数学：二次函数的性质练习（含答案）知识点1 二次函数的最大(小)值1．当x＝________时,二次函数y＝x2－2x＋6有最小值________．2．函数y＝(x－2)(3－x)取得最大值时,x＝________．3．求下列函数的最大值(或最小值)以及对应的自变量的值：(1)y＝2x2－3x－5；(2)y＝－x2＋2x＋3；(3)y＝x2－4x－5.知识点2 二次函数图象与坐标轴的交点4．二次函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴的交点情况是( )A．有一个交点 B．有两个交点C．没有交点 D．无法确定5．抛物线y＝x2－5x－6与x轴的两个交点坐标分别为________________．6．已知二次函数的图象经过点(－1,－8),顶点为(2,1)．(1)求这个二次函数的表达式；(2)分别求这个二次函数图象与x轴、y轴的交点坐标．7．将抛物线y＝x2－4x＋4沿y轴向下平移9个单位,所得新抛物线与x轴正半轴交于点B,与y轴交于点C,顶点为D.求：(1)点B,C,D的坐标；(2)△BCD的面积．知识点3 抛物线的对称性及增减性8．对于二次函数y＝12(x－2)2,当x________时,函数值y随x的增大而减小；当x________时,函数值y随x的增大而增大；当x＝________时,函数取得最________值为________．9．已知抛物线y＝ax2(a>0)过A(－2,y1),B(－1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是( )A．y1>0>y2 B．y2>0>y1C．y1>y2>0 D．y2>y1>010．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：x …－3－2－101…y …－3－2－3－6－11…则该函数图象的对称轴是( )A．直线x＝－3 B．直线x＝－2C．直线x＝－1 D．直线x＝011．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋1,当x＞1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是________．图1－3－112．某广场有一喷水池,水从地面喷出(如图1－3－1所示),以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－12x 2＋2x 的一部分,则水喷出的最大高度是( )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米13．点P 1(－1,y 1),P 2(3,y 2),P 3(5,y 3)均在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系是( )A ．y 3>y 2>y 1B ．y 3>y 1＝y 2C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1＝y 2>y 314．若一次函数y ＝(a ＋1)x ＋a 的图象过第一、三、四象限,则二次函数y ＝ax 2－ax ( )A ．有最大值a 4B ．有最大值－a4C ．有最小值a 4D ．有最小值－a415．已知a ,b ,c 为实数,点A (a ＋1,b ),B (a ＋2,c )在二次函数y ＝x 2－2ax ＋3的图象上,则b ,c 的大小关系是b ________c (用“＞”或“＜”填空)．16．如图1－3－2所示,已知函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A (2,0),B (0,－6)两点．(1)设该二次函数的图象的对称轴与x 轴交于点C ,连结BA ,BC ,求△ABC 的面积； (2)若该函数自变量的取值范围是－1≤x ≤8,求函数的最大值和最小值．图1－3－217．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ,B (点A ,B 在原点O 两侧),与y 轴相交于点C ,且点A ,C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上,线段AB 长为16,线段OC 长为8,当y 1随着x 的增大而减小时,求自变量x 的取值范围．18．已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q 图象的顶点M 为直线y ＝12x ＋12与y ＝－x ＋m －1的交点．(1)用含m 的代数式来表示顶点M 的坐标(直接写出答案)；(2)当x ≥2时,二次函数y ＝x 2＋px ＋q 与y ＝12x ＋12的值均随x 的增大而增大,求m 的取值范围；(3)若m ＝6,当x 取值为t －1≤x ≤t ＋3时,二次函数的最小值为2,求t 的取值范围．详解详析1．1 5 [解析] ∵y ＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5,∴当x ＝1时, y 最小值＝5. 2.523．解：(1)二次函数y ＝2x 2－3x －5中的二次项系数2>0,因此抛物线y ＝2x 2－3x －5有最低点,即函数有最小值．∵y ＝2x 2－3x －5＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －342－498,∴当x ＝34时,函数y ＝2x 2－3x －5取得最小值－498.(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4,－1<0, ∴当x ＝1时,函数y ＝－x 2＋2x ＋3取得最大值4. (3)∵y ＝x 2－4x －5＝(x －2)2－9,1>0,∴当x ＝2时,函数y ＝x 2－4x －5取得最小值－9. 4．A [解析] 二次函数y ＝x 2－2x ＋1, ∵b 2－4ac ＝4－4＝0,∴二次函数图象与x 轴有一个交点． 故选A.5．(－1,0),(6,0)6．解：(1)设y ＝a (x －2)2＋1, 把(－1,－8)代入,得－8＝9a ＋1,解得a＝－1,所以这个二次函数的表达式为y＝－(x－2)2＋1.(2)令y＝0,则－(x－2)2＋1＝0,解得x1＝3,x2＝1,所以这个二次函数图象与x轴的交点坐标是(1,0),(3,0)．令x＝0,则y＝－3.所以这个二次函数图象与y轴的交点坐标是(0,－3)．7．解：(1)抛物线y＝x2－4x＋4沿y轴向下平移9个单位后所得抛物线的函数表达式是y ＝x2－4x＋4－9,即y＝x2－4x－5.y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9,则点D的坐标是(2,－9)．在y＝x2－4x－5中,令x＝0,则y＝－5,则点C的坐标是(0,－5),令y＝0,则x2－4x－5＝0,解得x＝－1或5,则点B的坐标是(5,0)．(2)如图,过点D作DA⊥y轴于点A.则S △BCD ＝S 梯形AOBD －S △BOC －S △ADC ＝12×(2＋5)×9－12×5×5－12×2×4＝15.8．≤2 ≥2 2 小 09．C [解析] ∵y ＝ax 2(a >0),∴抛物线的开口向上,对称轴为y 轴,在对称轴左侧,y 随x 的增大而减小．∵－2＜－1,∴y 1>y 2>0,因此选择C 选项．10．B11．m ≥－1 [解析] 抛物线的对称轴为直线x ＝－m －12＝1－m 2,∵当x ＞1时,y 的值随x 值的增大而增大, ∴1－m2≤1,解得m ≥－1.12．C [解析] ∵水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－12x 2＋2x 的一部分,∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y ＝－12x 2＋2x 的顶点的纵坐标．∵y ＝－12x 2＋2x ＝－12(x －2)2＋2,∴抛物线的顶点坐标为(2,2),故喷水的最大高度为2米．13．D [解析] 抛物线的对称轴是直线x ＝1,开口向下,根据“点到对称轴的水平距离越近,函数值越大”的原则,应选D.14．B [解析] 因为一次函数y ＝(a ＋1)x ＋a 的图象过第一、三、四象限,所以⎩⎨⎧a ＋1＞0，a ＜0，因此－1＜a ＜0,而y ＝ax 2－ax ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －122－14a ,所以二次函数有最大值－a 4. 15．＜ [解析] ∵对称轴为直线x ＝a , ∴A (a ＋1,b ),B (a ＋2,c )在对称轴右侧． ∵1＞0,∴抛物线开口向上,∴在对称轴右侧,y 随x 的增大而增大, ∴b ＜c .16．解：(1)将点A (2,0),B (0,－6)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ,得⎩⎨⎧0＝－12×4＋2b ＋c ，c ＝－6.解得⎩⎨⎧b ＝4，c ＝－6.∴对称轴是直线x ＝4,∴AC ＝2,BO ＝6, ∴△ABC 的面积为12×2×6＝6.(2)由(1)知函数表达式为y ＝－12x 2＋4x －6.当x ＝－1时,y ＝－10.5； 当x ＝8时,y ＝－6.又由(1)知函数图象的顶点坐标为(4,2),∴当x ＝4时,函数取得最大值2；当x ＝－1时,函数取得最小值－10.5. 17．解：根据OC 长为8可得一次函数中的n 的值为8或－8. 分类讨论：(1)当n ＝8时,易得A (－6,0)．∵抛物线经过点A ,C ,且与x 轴的交点A ,B 在原点的两侧,∴抛物线开口向下,则a <0,如图①.∵AB ＝16,且A (－6,0),∴B (10,0),而点A ,B 关于对称轴对称,∴对称轴为直线x ＝－6＋102＝2.要使y 1随着x 的增大而减小,∴x ≥2；(2)当n ＝－8时,易得A (6,0)．∵抛物线过A ,C 两点,且与x 轴的交点A ,B 在原点两侧,∴抛物线开口向上,则a >0,如图②.∵AB ＝16,且A (6,0),∴B (－10,0),而点A ,B 关于对称轴对称,∴对称轴为直线x ＝6－102＝－2.要使y 1随着x 的增大而减小,∴x ≤－2.综上所述,自变量x 的取值范围为x ≥2或x ≤－2.18．解：(1)由⎩⎨⎧y ＝12x ＋12，y ＝－x ＋m －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m －33，y ＝m 3，即交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －33，m 3. (2)∵二次函数y ＝x 2＋px ＋q 图象的顶点M 为直线y ＝12x ＋12与y ＝－x ＋m －1的交点,坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －33，m 3,且当x ≥2时,二次函数y ＝x 2＋px ＋q 与y ＝12x ＋12的值均随x 的增大而增大, ∴2m －33≤2,解得m ≤92.(3)∵m ＝6,∴顶点M 的坐标为(3,2),∴二次函数的表达式为y ＝(x －3)2＋2,∴函数y 有最小值为2.∵当x 取值为t －1≤x ≤t ＋3时,二次函数的最小值为2,∴t －1≤3,t ＋3≥3,解得0≤t ≤4.。
【初中数学】22.1.2 二次函数y=ax^2的图象和性质 [人教版九年级上册] (练习题)
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22.1.2 二次函数y=ax^2的图象和性质[人教版九年级上册] (2912)1.关于二次函数y=3x2，下列说法不正确的是（）A.其图象是抛物线B.其图象的对称轴是y轴C.其图象的开口向上D.其图象的最高点坐标是(0，0)2.如图，函数y=−2x2的图象是（）A.①B.②C.③D.④3.若二次函数y=ax2的图象过点P(−2，4)，则该图象必经过点（）A.(2，4)B.(−2，−4)C.(−4，2)D.(4，−2)4.已知二次函数y=(m−2)x2的图象开口向下，则m的取值范围是5.根据题意完成下列题目(1)在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2,y=12x2,y=−2x2与y=−12x2的图象．(2)观察(1)中所画的图象，回答下列问题:①由图象可知抛物线y=2x2与抛物线的形状相同，且关于轴对称；同样，抛物线y=12x2与抛物线的形状相同，也关于轴对称．②当|a|相同时，开口大小；当|a|变大时，抛物线的开口；当|a|变小时，抛物线的开口6.已知抛物线y=ax2经过点A(−2，−8).(1)求此抛物线的函数解析式；(2)写出这个抛物线的顶点坐标、对称轴、开口方向；(3)判断点B(−1，−4)是否在此抛物线上；(4)求出此抛物线上纵坐标为−6的点的坐标7.已知二次函数y=x2，当x>0时，y随x的增大而(填“增大”或“减小”)．8.已知抛物线y=ax2过点(−1，3)，则a的值是，当x<0时，y随x的增大而9.已知点(−1，y1)，(−3，y2)都在函数y=x2的图象上，则（）A.y1<y2<0B.y2<y1<0C.0<y2<y1D.0<y1<y210.已知点(x1，y1)，(x2，y2)是函数y=(m−3)x2的图象上的两点，且当0<x1<x2时，有y1>y2，则m的取值范围是（）A.m>3B.m≥3C.m≤3D.m<311.在同一直角坐标系内，函数y=kx2和y=kx−2(k≠0)的图象大致是（）A. B. C. D.12.关于抛物线y=−x2，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当x>10时，y随x的增大而减小；③当1<x<2时，−4<y<−1；④若点(m，p)，(n，p)是该抛物线上的两点，则m+n=0.其中正确的说法有（）A.1个B.2个C.3个D.4个13.已知关于x的二次函数y=mx m2−2m−6，当x>0时，y随x的增大而增大，则m=．14.当−1≤x≤2时，二次函数y=x2的最大值和最小值分别为15.如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2.比较a，b，c，d的大小，用“>”连接为．16.如图，已知一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A(1，m)和B(−2，4).(1)求两个函数的解析式；(2)求△AOB的面积17.如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1,1)，(3,1)，(3，3)，(1,3).若抛物线y=ax2与正方形有公共点，求实数a的取值范围.参考答案1.【答案】:D2.【答案】:C3.【答案】:A【解析】:二次函数y=ax2的图象是轴对称图形，且对称轴是y轴，观察各选项可知，点(2，4)和点(−2，4)关于y轴对称，故点(2，4)也在该函数的图象上．故选 A4.【答案】:m<25(1)【答案】【解析】:利用描点法在平面直角坐标系中画出各个函数的图象x2；x；相同；变小；变大(2)【答案】y=−2x2；x；y=−12【解析】:通过观察图象填空6(1)【答案】解：∵抛物线y=ax2经过点A(−2，−8)，∴a·(−2)2=−8，解得a=−2，∴此抛物线的函数解析式为y=−2x2.(2)【答案】这个抛物线的顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴，开口向下.(3)【答案】把x=−1代入y=−2x2，得y=−2×(−1)2=−2.∵−2≠−4，∴点B(−1，−4)不在此抛物线上.(4)【答案】把y=−6代入y=−2x2，得−6=−2x2，解得x1=√3，x2=−√3，∴此抛物线上纵坐标为−6的点的坐标分别为(√3，−6)，(−√3，−6).7.【答案】:增大【解析】:解：∵二次函数y=x2，开口向上，对称轴为y轴，∴当x>0时，y随x的增大而增大．8.【答案】:3；减小9.【答案】:D10.【答案】:D【解析】:因为当0<x1<x2时，有y1>y2，所以在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，所以抛物线开口向下，所以m−3<0，所以m<3.故选D.11.【答案】:B【解析】:A.一次函数解析式为y=kx−2，其图象应该与y轴负半轴相交，故此选项错误；B.两函数图象符合题意；C.二次函数图象开口向上，所以k>0，一次函数图象经过第二、四象限，所以k<0，矛盾，故此选项错误；D.一次函数解析式为y=kx−2，其图象应该与y轴负半轴相交，故此选项错误. 故选B.12.【答案】:D13.【答案】:4【解析】:由题意，得m2−2m−6=2且m≠0，解得m=4或m=−2.∵当x>0时，y随x的增大而增大，∴m>0，故只取m=414.【答案】:4，0【解析】:因为二次函数y=x2中，a=1>0，所以图象开口向上.因为−1≤x≤2,所以当x=0时，y取得最小值0，当x=2时，y取得最大值4.15.【答案】:a>b>d>c【解析】:因为直线x=1与这四条抛物线的交点从上到下依次为(1，a)，(1，b)，(1，d)，(1，c)，所以a>b>d>c16(1)【答案】把点B(−2，4)代入二次函数y=ax2，得4a=4，解得a=1，所以二次函数的解析式为y=x2.把点A(1，m)代入y=x2,得m=1，所以点A的坐标为(1，1).把点A(1，1)，B(−2，4)代入一次函数y=kx+b，得{k+b=1,−2k+b=4，解得{k=−1b=2，故一次函数的解析式为y=−x+2.(2)【答案】设一次函数图象与y轴交于点C，则C(0，2)，所以S△AOB=S△AOC+S△COB=12×2×1+12×2×2=3.17.【答案】:解：当抛物线y=ax2经过点(1,3)时，a=3；.当抛物线y=ax2经过点(3，1)时，a=19≤a≤3.由图象可知19。
2020年中考数学培优专练：二次函数图像和性质(含答案)
2020年中考数学培优专练：二次函数图像和性质（含答案）一、单选题（共有10道小题）1.抛物线247y x x =--的顶点坐标是（ ）A ．(2，-11)B ．(-2，7)C ．(2，11)D ．(2，-3)2.把抛物线23y x =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）A.()2332y x =+- B.()2322y x =++ C.()2332y x =--D.()2332y x =-+3.若抛物线22y x x c =-+与y 轴的交点坐标为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ）A.抛物线的开口向上B.抛物线的对称轴是直线x =1C.当x =1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）。
4.如图，二次函数()2,0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为1x =，点B 坐标为(－1，0)．则下面的四个结论中正确的个数是（ ）①20a b +=；②420a b c +<-；③0ac >；④当0y <时，1x <－或2x >．A ．1B ．2C ．3D ．45.将抛物线216212＝－＋y x x 向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为( )A ．21(8)52＝－＋yx B ．21(4)52＝－＋y x C ．21(8)32＝－＋y x D ．21(4)32＝－＋y x 6.已知二次函数()²,0y ax bx c c =++≠的图象如图所示，下列说法错误．．的是 ( )A.图像关于直线1x =对称B.函数()²,0y ax bx c c =++≠的最小值是－4C.－1和3是方程()²0,0ax bx c c ++=≠ 的两个根D.当1x <时，y 随x 的增大而增大CA B -1x=1x y O -11xyO7.对于二次函数22y x x =-+，有下列四个结论，其中正确的结论的个数为（）①它的对称轴是直线1x =；②设221112222,2y x x y x x =-+=-+，则21x x >时，有21y y >； ③它的图象与x 轴的两个交点是(0，0)和(2，0) ④当02x << 时，0y > A.1B.2C.3D.48.已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表： x …… -1 0 13 …… y …… -3 1 3 1 …… 则下列判断中正确的是( )A.抛物线开口向上B.抛物线与y 轴交于负半轴C.图象对称轴为直线x=1D.方程02=++c bx ax 有一个根在3与4之间9.如图，一段抛物线24(22)＝－＋－yx x ≤≤为1C ，与x 轴交于0A ，1A 两点，顶点为1D ；将1C 绕点1A 旋转180°得到2C ，顶点为2D ；1C 与2C 组成一个新的图象，垂直于y 轴的直线l 与新图象交于点111()P x y ，，222()P x y ，，与线段12D D 交于点333()P x y ，，设123x x x ，，均为正数，123＝＋＋t x x x ，则t 的取值范围是( )A ．68t <≤B ．68t ≤≤C ．1012t <≤D ．1012t ≤≤10.在同一平面直角坐标系中，函数y mx m =+,和函数222,)0y mx x m m =-++≠（是常数,且的图象可能是( )yxC 2C 1A 0D 2D 1A 1Oxy O x y O x yO x y O二、填空题（共有7道小题） 11.抛物线开口方向对称轴 顶点坐标()232y x =--()2132y x =+12.抛物线()2241y x =--的开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ； 当x ＝ 时，y 有最 值为 ；在对称轴左侧，即当x 时，y 随x 的增大而 ， 在对称轴右侧，即当x 时，y 随x 的增大而 .13.在平面直角坐标系中，若将抛物线()132++-=x y 先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．14.二次函数422-+=x x y 的图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是15.抛物线3422+-=x x y 绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的表达式是 ．16.若抛物线c x x y +-=42的顶点在直线1+=x y 上，求c 的值______ 17.已知点P （m ，n ）在抛物线a x ax y --=2上，当m ≥﹣1时，总有n ≤1成立，则a 的取值范围是 . 三、解答题（共有6道小题）18.抛物线()233y x =- 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A ，B 两点坐标及△AOB 的面积19.已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数xy 5=与二次函数c x x y ++-=22的图象交于点A (－1，m )．(1)求m ，c 的值；(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．20.已知抛物线32++=bx ax y 的对称轴是直线x=1． （1）求证：2a+b=0；（2）若关于x 的方程082=-+bx ax 的一个根为4，求方程的另一个根．21.当k 分别取-1，1，2时，函数()2145y k x x k =--+-都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有最大值，请求出最大值。
2020-2021初中数学二次函数的图象与性质能力达标训练题3(附答案详解)
16．如图为二次函数 图象，直线 与抛物线交于 两点, 两点横坐标分别为 根据函数图象信息有下列结论:
① ;
②若对于 的任意时若 变大,则线段 变长
【分析】
根据二次函数的图象与性质进行判断即可得解.
【详解】
解：抛物线开口向下，因此①正确，
对称轴为 ，可知a、b异号，由a＜0，可知b＞0，因此②不正确；
抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，故③不正确；
抛物线的顶点坐标为 ，又顶点坐标为 ，则 ，因此④正确；
抛物线与x轴的一个交点在x轴的负半轴，对称轴为x＝ ，因此当x＝1时，y＝a+b+c＞0，因此⑤不正确；
（2）观察图象，当 取何值时， ？
23．已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与y轴交于点C．
（1）抛物线的顶点坐称为，点C坐标为；（用含m的代数式表示）
（2）当m＝1时，抛物线上有一动点P，设P点横坐标为n，且n＞0．
①若点P到x轴的距离为2时，求点P的坐标；
②设抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点纵坐标之差为h，求h与n之间的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；
（1）若二次函数 是闭区间 上的“闭函数”，求k的值；
（2）若一次函数 是闭区间 上的“闭函数”，求此函数的解析式(用含m，n的代数式表示)．
29．设 都是实数，且 ．我们规定：满足不等式 的实数 的所有值的全体叫做闭区间、表示为 ．对于一个函数，如果它的自变量 与函数值 满足：当 时，有 ，我们就称此函数是闭区间 上的“闭函数”．
二次函数的图象和性质备战2023年中考数学考点微专题
考向3.5 二次函数的图象和性质例1、（2021·四川德阳·中考真题）已知函数y 21213x 583x 8x ≤⎧=⎨-+≤≤⎩（＜）（）（）的图象如图所示，若直线y ＝kx ﹣3与该图象有公共点，则k 的最大值与最小值的和为 _____．解：当直线经过点（1，12）时，12=k -3，解得k =15； 当直线与抛物线只有一个交点时，（x -5）2+8=kx -3， 整理得x 2-（10+k ）x +36=0，∴10+k =±12，解得k =2或k =-22（舍去）， ∴k 的最大值是15，最小值是2， ∴k 的最大值与最小值的和为15+2=17． 故答案为：17．1、二次函数抛物线位置与a ，b ，c 的关系：（1）a 决定抛物线的开口方向⎩⎨⎧⇔<⇔>开口向下开口向上00a a（2）c 决定抛物线与y 轴交点的位置：c>0⇔图像与y 轴交点在x 轴上方；c=0⇔图像过原点；c<0⇔图像与y 轴交点在x 轴下方； （3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置：a ，b 同号，对称轴在y 轴左侧；b ＝0，对称轴是y 轴； a ，b 异号。
对称轴在y 轴右侧；1、本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k 的最大值和最小值是解题的关键；2、二次函数的性质是中考必考点，熟悉并运用二次函数性质解决问题是考前学生必须掌握的内容；例 2、（2021·山东泰安·中考真题）如图是抛物线2y ax bx c =++的部分图象，图象过点(3,0)，对称轴为直线1x =，有下列四个结论：①0abc >；②0a b c -+=；③y 的最大值为3；④方程210ax bx c +++=有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．解：∵抛物线的开口向下，与y 轴的交点在y 轴的正半轴， ∴a ＜0，c ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x =1， ∴﹣2ba=1，即b =﹣2a ＞0 ∴abc ＜0，故①错误；∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），∴根据对称性，与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴a ﹣b +c =0，故②正确；根据图象，y 是有最大值，但不一定是3，故③错误； 由210ax bx c +++=得2=1ax bx c ++﹣， 根据图象，抛物线与直线y =﹣1有交点， ∴210ax bx c +++=有实数根，故④正确， 综上，正确的为②④， 故答案为：②④．理解并熟练运用二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键。
初中数学二次函数的图象与性质基础过关测试题3(附答案详解)
初中数学二次函数的图象与性质基础过关测试题3（附答案详解）1．将抛物线24y x =+先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ） A ．2(2)3y x =-- B ．2(2)3y x =+- C ．2(2)3y x =-+D ．2(2)3y x =++2．如图，已知抛物线y ＝x 2+bx +c 与直线y ＝x 交于（1，1）和（3，3）两点，现有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②3b +c +6＝0；③当x 2+bx +c ＞2x时，x ＞2；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x +c ＜0，其中正确的序号是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．②④D ．③④3．二次函数y ＝2x 2－8x ＋9的图象可由y ＝2x 2的图象怎样平移得到（ ） A ．先向右平移2个单位再向上平移1个单位 B ．先向右平移2个单位再向下平移1个单位 C ．先向左平移2个单位再向上平移1个单位 D ．先向左平移2个单位再向下平移1个单位4．若点（﹣2，y 1），（﹣1，y 2），（3，y 3）在二次函数y ＝﹣x 2+x ﹣3的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 3＝y 1＜y 2B ．y 3≤y 2≤y 1C ．y 2＜y 1＝y 3D ．y 1＜y 2＜y 35．对于每个自然数n ，抛物线()()221111n y x x n n n n +=-+++与x 轴交于n A 、n B ，两点，以n n A B 表示该两点间的距离，则1122A B A B ++⋅⋅⋅20152015A B +值为（ ）. A ．20142015B ．20162015C ．20152014D ．201520166．已知点A(-3,y 1),B(-1,y 2),C(2,y 3)在函数y=-x 2的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系为( ) A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 1<y 37．抛物线y=﹣x 2经过平移得到抛物线y=﹣（x+2）2﹣3，平移的方法是（ ） A ．向左平移2个，再向下平移3个单位 B ．向右平移2个，再向下平移3个单位 C ．向左平移2个，再向上平移3个单位D ．向右平移2个，再向上平移3个单位9．把抛物线y ＝ax 2+bx+c 图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y ＝x 2+5x+6，则a ﹣b+c 的值为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．1210．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c +2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＝0；③a ＞2；④ax 2+bx +c ＝﹣2的根为x 1＝x 2＝﹣1；⑤若点B （﹣14，y 1）、C （﹣12，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＞y 2．其中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511．将抛物线y ＝x 2﹣6x +5化成y ＝a （x ﹣h ）2﹣k 的形式，则hk ＝_____． 12．如图，ABC ∆的顶点坐标分别为()()()0,4,2,0,4,2A B C ，若二次函数22y x bx =++的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b 的取值范围是__________．13．若抛物线y=x 2+bx(b>2)上存在关于直线y=x 成轴对称的两个点，则b 的取值范围是______.14．已知抛物线的顶点坐标为(1,8)--，且过点(0,6)-，则该抛物线的表达式为________．15．二次函数22(1)4y x =-+-图象的顶点坐标是______.16．抛物线2(0)y ax a =≠沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线2yx 沿直线y x =向上平移，平移距离2时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是_____．17．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = x 2 的图象经过点M (x 1 , y 1 ) ，N (x 2 , y 2 ) 两点，若- 4< x 1< -2， 0< x 2 <2 ，则 y 1 ____ y 2 . （用“ < ”，“=”或“>”号连接） 18．对于二次函数y=5x 2+bx+c ，甲、乙、丙、丁四位同学给出四个说法，甲：图象对称轴是x=1；乙：函数最小值为3；丙：当x=﹣1时，y=0；丁：点（2，8）在函数图象上．其中有且仅有一个说法是错误的，则哪位同学的说法是错误的_____． 19．已知抛物线y=2x 2-bx+3的对称轴经过点（2，—1），则b 的值为______.20．某同学利用描点法画二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象时，列出的部分数据如下表：经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出该二次函数的解析式：_____ x 0 1 2 3 4 y3﹣2321．已知二次函数y ＝﹣x 2﹣2x+3．（1）把函数关系式配成顶点式并求出图象的顶点坐标和对称轴．（2）若图象与x 轴交点为A ．B ，与y 轴交点为C ，求A 、B 、C 三点的坐标； （3）在图中画出图象．并求出△ABC 面积．22．已知抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点()C 0,6-与x 轴的一个交点坐标是()A 2,0-．()1求此抛物线的顶点D 的坐标；()2将此图象沿x 轴向左平移2个单位长度，直接写出当y 0<时x 的取值范围．23．已知二次函数y ＝x 2﹣6mx+9m 2+n （m ，n 为常数）（1）若n ＝﹣4，这个函数图象与x 轴交于A ，B 两点（点A ，B 分别在x 轴的正、负半轴），与y 轴交于点C ，试求△ABC 面积的最大值；（2）若n ＝4m+4，当x 轴上的动点Q 到抛物线的顶点P 的距离最小值为4时，求点Q 的坐标．24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:23c y ax ax =-+与直线:l y kx b =+交于A ，B 两点，且点A 在y 轴上，点B 在x 轴的正半轴上.（1）直接写出点A 的坐标； （2）若1a =-，求直线l 的解析式； （3）若31k -≤≤-，求a 的取值范围.25．如图，是一块三角形材料，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝6．用这块材料剪出一个矩形DECF ，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 上，要使剪出的矩形DECF 面积最大，点D 应该选在何处？26．如图，已知二次函数21:22(0)L y ax ax a a =++->和二次函数22:(2)2(0)=--+>L y a x a 图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），(1))函数222(0)y ax ax a a =++->的顶点坐标为 ；当二次函数L 1 ，L 2 的y 值同时随着x 的增大而增大时，x 的取值范围是 ；(2)当AD=MN 时，求a 的值，并判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）； (3)当B ，C 是线段AD 的三等分点时，求a 的值.27．在如图的平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2﹣2amx +am 2+1（a ＜0）与x 轴交于点A 和点B ，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，顶点是D ，且∠DAB ＝45°． （1）填空：点C 的纵坐标是 （用含a 、m 的式子表示）； （2）求a 的值；（3）点C 绕O 逆时针旋转90°得到点C ′，当﹣12≤m ≤52时，求BC ′的长度范围．28．如图，直线y =－x +4与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，点A 在x 轴负半轴上，且OA =12OB , 抛物线y =ax 2+bx +4经过A ，B ，C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值；（3）设点E为抛物线对称轴与直线BC的交点，若A，B，E三点到同一直线的距离分别是d1，d2，d3，问是否存在直线l，使得d1= d2=12d3? 若存在，请直接写出d3的值，若不存在，请说明理由．参考答案1．D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”进行判断即可. 【详解】解：抛物线24y x =+先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的函数关系式是：2(2)3y x =++. 故选D. 【点睛】本题考查了抛物线的平移，属于基础题型，熟知抛物线的平移规律是解题的关键. 2．C 【解析】 【分析】由函数y ＝x 2+bx +c 与x 轴无交点，可得b 2﹣4c ＜0；当x ＝3时，y ＝9+3b +c ＝3，3b +c +6＝0；利用抛物线和双曲线交点（2，1）得出x 的范围；当1＜x ＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x 2+bx +c ＜x ，继而可求得答案． 【详解】∵函数y ＝x 2+bx +c 与x 轴无交点， ∴b 2﹣4ac ＜0； ∴b 2﹣4c ＜0 故①不正确；当x ＝3时，y ＝9+3b +c ＝3， 即3b +c +6＝0； 故②正确；把（1，1）（3，3）代入y ＝x 2+bx +c ，得抛物线的解析式为y ＝x 2﹣3x +3， 当x ＝2时，y ＝x 2﹣3x +3＝1，y ＝2x＝1， 抛物线和双曲线的交点坐标为（2，1）第一象限内，当x＞2时，x2+bx+c＞2x；或第三象限内，当x＜0时，x2+bx+c＞2x；故③错误；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确；故选：C．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．3．A【解析】【分析】先将二次函数y＝2x2－8x＋9变形为顶点式，再利用函数平移规则：上加下减，左加右减，即可解答.【详解】y＝2x2－8x＋9=2（x-2）2+1所以由y＝2x2的图象先向右平移2个单位再向上平移1个单位得到二次函数y＝2x2－8x＋9的图象.故选A【点睛】本题考查二次函数平移，熟练掌握二次函数平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键. 4．A【解析】【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为x＝12，再根据抛物线的增减性以及对称性可得y1，y2，y3的大小关系．【详解】解：∵二次函数y ＝﹣x 2+x ﹣3＝﹣（x ﹣12）2﹣114，∴对称轴为x ＝12， ∵a ＜0， ∴x ＜12时，y 随x 增大而增大， ∵（3，y 3）关于对称轴的对称点为（﹣2，y 3） ∴y 3＝y 1＜y 2． 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的增减性． 5．D 【解析】 【分析】首先求出抛物线与x 轴两个交点坐标，然后由题意得到n n A B 111n n =-+，进而求出1122A B A B ++⋅⋅⋅20152015A B +的值．【详解】 令y =x 2()211n n n +-+x ()11n n +=+0， 即x 2()211n n n +-+x()11n n +=+0， 解得：x 1n =或x 11n =+， 故抛物线y =x 2()211n n n +-+x ()11n n ++与x 轴的交点为（1n ，0），（11n +，0），由题意得：n n A B 111n n =-+，则1122A B A B ++⋅⋅⋅20152015A B +=11111122320152016-+-++-=11201520162016-=． 故选D ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴交点的知识，解答本题的关键是求出n n A B ． 6．B 【解析】 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入二次函数解析式，计算出y 1、y 2、y 3的值，然后比较它们的大小． 【详解】当x=-3时，y 1=-x 2=-9；当x=-1时，y 2=-x 2=-1；当x=2时，y 3=-x 2=-4， 所以y 1＜y 3＜y 2． 故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 7．A 【解析】 【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况． 【详解】解：抛物线y=-x 2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标为（-2，-3），而点（0，0）向左平移2个，再向下平移3个单位可得到（-2，-3），所以抛物线y=-x 2向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=﹣（x+2）2﹣3． 故选A ． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 8．C【解析】【分析】 根据图上给出的条件是与x 轴交于（1，0），叫我们加个条件使对称轴是x=2，意思就是抛物线的对称轴是x=2是题目的已知条件，这样可以求出a 、b 的值，然后即可判断题目给出四个人的判断是否正确．【详解】解：∵抛物线过（1，0），对称轴是x=2，3022a b b a++=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩ 解得a=1，b=-4，∴y=x 2-4x+3，当x=3时，y=0，所以小华正确；当x=4时，y=3，小彬也正确，小明也正确；抛物线被x 轴截得的线段长为2，已知过点（1，0），则可得另一点为（-1，0）或（3，0），所以对称轴为y 轴或x=2，此时答案不唯一，所以小颖错误．故选：C ．【点睛】本题是开放性题目，要把题目的结论作为题目的条件，再推理出四个人说的结论的正误．难度较大．9．B【解析】【分析】求得平移后抛物线的顶点坐标，根据平移规律求得原抛物线的顶点坐标，写出原抛物线解析式，即可取得a 、b 、c 的值．【详解】y ＝x 2+5x+6＝（x+）2﹣．则其顶点坐标是（﹣，﹣），将其右左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到（﹣，）．故原抛物线的解析式是：y ＝（x+）2+＝x 2+x+3．所以a ＝b ＝1，c ＝3．所以a ﹣b+c ＝1﹣1+3＝3．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．10．D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】 解：①由抛物线的对称轴可知：02b a -<， ∴0ab >，由抛物线与y 轴的交点可知：22c +>，∴0c >，∴0abc >，故①正确；②抛物线与x 轴只有一个交点，∴0∆=，∴240b ac -=，故②正确；③令1x =-，∴20y a b c =-++=， ∵12b a-=-， ∴2b a =，∴220a a c -++=，∴2a c =+，∵22c +>，∴2a >，故③正确；④由图象可知：令0y =，即202ax bx c =+++的解为121x x ==-,∴22ax bx c ++=-的根为121x x ==-，故④正确； ⑤∵11124-<-<-， ∴12y y >，故⑤正确；故选D ．【点睛】考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想.11．﹣12．【解析】【分析】将抛物线化成顶点式，可得h ，k 的值，代入计算即可.【详解】解：∵y ＝x 2﹣6x +5＝x 2﹣6x +9﹣4＝（x ﹣3）2﹣4，∴h ＝3，k ＝﹣4，∴hk ＝3×（﹣4）＝﹣12．故答案是：﹣12．【点睛】本题考查了抛物线的顶点式，熟练掌握顶点式的转化是解题关键.12．b≥-4【解析】【分析】因为a=1＞0，根据左同右异可知，对称轴在y 轴的左侧时，b ＞0，对称轴在y 轴右侧时，b ＜0，对称轴x=-2b ≤2时，二次函数y=x 2+bx+2的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点． 【详解】抛物线y=x 2+bx+2与y 轴的交点为（0，2），∵C （4，2），当对称轴在y 轴的右侧时当C 与（0，2）是对称点时，抛物线的对称轴的位置在最右边，∴对称轴0＜-2b ≤2时，二次函数y=x 2+bx+2的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点， ∴-4≤b ＜0．当对称轴在y 轴或y 轴的右侧时，都满足条件则有-02b ≤ 解得：b ≥0， 故有b≥-4故答案为b≥-4．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题时，利用了二次函数对称轴的位置列不等式来求b 的取值范围，并利用数形结合的思想．13．b>3【解析】【分析】可设出对称的两个点P ，Q 的坐标，利用两点关于直线y=x 成轴对称，可以设直线PQ 的方程为y=-x+a ，由于P 、Q 两点存在，所以方程组2y x a y x bx =-+⎧⎨=+⎩有两组不同的实数解，利用中点在直线上消去b ，建立关于a 的函数关系，求出变量a 的范围．【详解】解：设抛物线上关于直线l 对称的两相异点为P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），线段PQ 的中点为M （x 0，y 0），设直线PQ 的方程为y=x+a ，由于P 、Q 两点存在，所以方程组2y x a y x bx=-+⎧⎨=+⎩有两组不同的实数解， 即得方程x 2+（1+b ）x -a=0．①判别式△=21b （）+-41a ⨯⨯-（）＞0．② 由①得x 0=x1x22+=-1b 2+，y 0=-x 0+a=1b 2++a ∵M （x 0，y 0）在y=x 上，x 0=y 0∴-1b 1b 22++=+a ∴a=-b-1代入②解得b ＞3或b <-1 ∵b>2，∴b ＞3故答案为b ＞3【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及对称问题，属于难题，有一定的计算量． 14．22(1)8y x =+-【解析】【分析】利用顶点式求解即可，设y=a （x+1）2-8，把(0,6)-代入求解.【详解】设y=a （x+1）2-8，把(0,6)-代入，得-6=a ×（0+1）2-8，∴a=2，∴22(1)8y x =+-.故答案为：22(1)8y x =+-.【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法,关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0）；顶点式y=a （x-h ）2+k ，其中顶点坐标为（h ，k ）；交点式y=a （x-x 1）（x-x 2），抛物线与x 轴两交点为（x 1，0），（x 2，0）．15．(-1,-4)【解析】【分析】根据抛物线的顶点式直接得到答案.【详解】二次函数22(1)4y x =-+-图象的顶点坐标是(1,4)--.【点睛】本题考查二次函数的顶点式，二次函数的顶点式为y=a （x-h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），解决此题需注意坐标的符号问题.16．()211y x =-+【解析】【分析】沿直线y=x y=ax 2 (a≠0)向右平移1个单位，向上平移1个单位，即可得到平移后抛物线的表达式．【详解】解:∵抛物线2y x =沿直线y x =向上平移，相当于抛物线()2y ax a 0=≠向右平移1个单位，向上平移1个单位，∴根据平移的规律得到:“同簇抛物线”的表达式是()2y x 11=-+．故答案为:()2y x 11=-+．【点睛】本题考查了二次函数的几何变换:由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17．>【解析】【分析】通过比较点M 和点N 到y 轴的距离的远近判断y 1与y 2的大小．【详解】解：抛物线y=x 2的对称轴为y 轴，而M （x 1，y 1）到y 轴的距离比N （x 2，y 2）点到y 轴的距离要远，所以y 1＞y 2．故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用二次函数的图象比较二次函数值的大小比较简便．18．丙【解析】【分析】设甲乙正确，利用顶点时写出抛物线的解析式为y=5（x-1）2+3，然后计算自变量为-1和2对应的函数值，从而判断丙错误．【详解】若甲乙对，则抛物线的解析式为y=5（x-1）2+3，当x=-1时，y=23，此时丙错误；当x=2时，y=8，此时丁正确．而其中有且仅有一个说法是错误的，所以只有丙错误．故答案为丙．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．19．8【解析】【分析】根据公式法可求对称轴，可得关于b 的一元一次方程，解方程即可．【详解】∵抛物线y=2x 2-bx+3的对称轴经过点（2，-1），∴对称轴x=-22b =2， 解得：b=8．故答案为8．【点睛】此题考查二次函数的性质，掌握利用公式法求对称轴是解决问题的关键．20．y＝x2﹣4x+3．【解析】【分析】由图表的信息知：第一、二、四、五个点的坐标都关于x=2对称，所以错误的一组数据应该是（2，-2）；可选取其他四组数据中的任意三组，用待定系数法求出抛物线的解析式．【详解】解：选取（0，3）、（1，0）、（3，0）；设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），则有：a（0﹣1）（0﹣3）＝3，a＝1；∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3．故答案为y=x2﹣4x+3【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，能够正确的判断出错误的一组数据是解答此题的关键．21．（1）y=﹣（x+1）2+4（2）抛物线与 y 轴的交点 C（0，3）（3）6【解析】【分析】（1）根据配方法步骤将解析式配成顶点式可得；（2）求出y=0时x的轴可得点A、B的坐标，求出x=0时y的值可得点C的坐标；（3）根据抛物线的顶点坐标及其与坐标轴的交点可画出抛物线的图象，再由三角形的面积公式可得答案．【详解】（1）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），对称轴为直线 x ＝﹣1； （2）当 y ＝0 时，﹣x 2﹣2x+3＝0，解得：x ＝1 或 x ＝﹣3，∴抛物线与 x 轴的交点 A （﹣3，0）、B （1，0），当 x ＝0 时，y ＝3，∴抛物线与 y 轴的交点 C （0，3）；（3）其函数图象如下图所示：S △ABC ＝ AB•y C ＝ ×4×3＝6．【点睛】本题考查的知识点是抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式，解题的关键是熟练的掌握抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式.22．(1) D 的坐标为125,24⎛⎫-⎪⎝⎭；(2) 4x 1-<<. 【解析】【分析】 ()1根据抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点()C 0,6-与x 轴的一个交点坐标是()A 2,0-，可以求得该抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可求得点D 的坐标；()2根据平移的特点，可以得到平移后抛物线的解析式，从而可以写出当y 0<时x 的取值范围．【详解】解：()1抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点()C 0,6-与x 轴的一个交点坐标是()A 2,0-， {c 642b c 0=-∴-+=，得{b 1c 6=-=-， ∴抛物线的解析式为22125y x x 6(x )24=--=--， ∴此抛物线的顶点D 的坐标为125,24⎛⎫- ⎪⎝⎭； ()2抛物线的解析式为2125y (x )24=--， ∴此图象沿x 轴向左平移2个单位长度后对应的函数解析式为：22125325y (x 2)(x )2424=-+-=+-， ∴平移后抛物线的对称轴为直线3x 2=-，当y 0=时，1x 4=-，2x 1=， ∴当y 0<时x 的取值范围是4x 1-<<．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．23．（1）当m ＝0时，△ABC 的面积最大为8；（2）Q 点的坐标为（﹣6，0）或（0，0）．【解析】【分析】（1）把n ＝﹣4代入得到带有m 的解析式解析式y ＝x 2﹣6mx+9m 2﹣4，再用带有m 的值表示出A 、B 、C 的坐标，然后得出三角形面积判断最大值；（2）把n ＝4m+4代入原解析式得到y ＝（x ﹣3m ）2+4m+4，得出顶点P 的坐标，再根据动点Q 到抛物线的顶点P 的距离最小时为PQ 的横坐标相同，即可得出Q 的坐标.【详解】解：（1）若n ＝﹣4，则y ＝x 2﹣6mx+9m 2﹣4，当x ＝0时，y ＝9m 2﹣4，∴C （0，9m 2﹣4），∵这个函数图象开口向上，与x 轴交于A ，B 两点（点A ，B 分别在x 轴的正、负半轴），与y 轴交于点C ，∴9m 2﹣4＜0，当y ＝0时，x 2﹣6mx+9m 2﹣4＝0，x 1＝3m+2，x 2＝3m ﹣2，∴A （3m+2，0），B （3m ﹣2，0），∵3m+2﹣（3m ﹣2）＝4，∴AB ＝4，∴S △ABC ＝1•2C AB y ＝12×4•（﹣9m 2+4）＝﹣2m 2+8， ∵﹣2＜0，∴当m ＝0时，△ABC 的面积最大为8；（2）若n ＝4m+4，则y ＝x 2﹣6mx+9m 2+4m+4＝（x ﹣3m ）2+4m+4，∴P （3m ，4m+4），当动点Q 到抛物线的顶点P 的距离最小值为4时，则Q 为（3m ，0）且4m+4＝±4， 解得m ＝﹣2或m ＝0，∴Q 点的坐标为（﹣6，0）或（0，0）．【点睛】本题是二次函数的动点题型，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用.24．（1）()0,3A ；（2）3y x =-+；（3）a<−1或a>3【解析】【分析】（1）抛物线C ：y=ax 2-2ax+3与y 轴交于点A ，令x=0，即可求得A 的坐标；（2）令y=0，解方程即可求得B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l 的解析式； （3）当a=3时，抛物线C 过点B （1，0），此时k=-3．当a=-1时，抛物线C 过点B （3，0），此时k=-1．结合图象即可求得．【详解】(1)∵抛物线C:y=ax 2−2ax+3与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为(0,3).(2)当a=−1时,抛物线C 为y=−x 2+2x+3.∵抛物线C与x轴交于点B，且点B在x轴的正半轴上，∴点B的坐标为(3,0).∵直线l:y=kx+b过A，B两点，∴330bk b=⎧⎨+=⎩.解得13kb=-⎧⎨=⎩.∴直线l的解析式为y=−x+3.(3)如图，当a>0时，当a=3时,抛物线C过点B(1,0)，此时k=−3.结合函数图象可得a>3.当a<0时，当a=−1时,抛物线C过点B(3,0)，此时k=−1.结合函数图象可得a<−1.综上所述，a的取值范围是a<−1或a>3.【点睛】本题考查一次函数和二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式.25．使剪出的矩形DECF面积最大，点D应该选在AB的中点．【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理求出AC，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC ＝12AB ＝3，由勾股定理得，AC ==在Rt △ADF 中，∠A ＝30°，∴AD ＝2DF ，AF DF ，∴CF ＝AC ﹣AF ＝，则矩形DECF 面积＝DF ×（）2=23)24DF -+当DF ＝32时，剪出的矩形DECF 面积最大， 则AD ＝2DF ＝3，∴使剪出的矩形DECF 面积最大，点D 应该选在AB 的中点．【点睛】本题考查的是勾股定理、二次函数的性质、矩形的性质，根据勾股定理、矩形的面积公式列出二次函数解析式是解题的关键．26．（1）顶点坐标为M （-1，-2），12x -<<；（2）四边形AMDN 是矩形，理由见解析；（3）a =329 【解析】【分析】（1）把222(0)y ax ax a a =++->化为顶点式()212y a x =+-，即可求出顶点坐标；根据图像即可求出次函数L 1 ，L 2 的y 值同时随着x 的增大而增大时，x 的取值范围； （2）由两点间的距离公式求出MN 的长，用含a 的代数式表示出AD 的长，根据AD =MN列方程即可求出a 的值；由两点间的距离公式可求AN =MD ，AM =DN ，从而可证四边形AMDN是平行四边形，又AD =MN ，所以可证四边形AMDN 是矩形；（3）当B ，C 是线段AD 的三等分点时，分两种情况，根据两点间的距离公式求解：①点C 在点B 的左边，②点B 在点C 的左边.【详解】（1）∵222(0)y ax ax a a =++->∴()212y a x =+-，∴顶点坐标为M （-1，-2）；∵M （-1，-2），N （2，2），∴当1x >-时， L 1 的y 值随着x 的增大而增大，当2x <时，L 2的y 值随着x 的增大而增大. ∴x 的取值范围是12x -<< .（2）如图1，MN =，当y=0时，即()2120a x +-=，解得1A x =--1B x =-+当y=0时，即()2220a x --+=，2C x =-2D x =+∴AD=（2+-（1--=3+当AD=MN 时，即3+，解得a =2. 当 a =2时，1A x =--2，2D x =3，∵==∴AN=DM,∵==,∴AM=DN,∴四边形AMDN 是平行四边形，∵AD=3-(-2)=5,MN=5,∴AD=MN,∴四边形AMDN 是矩形 ;（3）当B，C是线段AD的三等分点时，存在以下两种情况：①点C在点B的左边，如图2，BC=（21a-+-（22a-=232a-+AC=BD=3 ，即232a-+，解得29a=;②点B在点C的左边，如图3，CB=（22a--（21a-+=23a-AB=CD=22a，即22a23a-329a= .【点睛】本题考查了二次函数一般式与顶点式的互化，二次函数的图像与性质，两点间的距离公式，矩形的判定，数形结合及分类讨论的数学思想.掌握一般式化顶点式的方法是解（1）的关键；灵活运用两点间的距离公式是解（2）的关键；分两种情况求解是解（3）的关键.27．（1）am2+1；（2）a＝﹣1；（3）0≤BC′≤94．【解析】【分析】（1）代入0x =求出y 值，此问得解；（2）设抛物线对称轴与x 轴交于点E ，由二次函数的对称性可得出ABD 为等腰直角三角形，进而可得出2AB DE =，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B 、D 的坐标，由2AB DE =可得出关于a 的无理方程，解之即可得出a 值；（3）由（1）（2）可得出点B 、C 的坐标，由旋转的性质可得出点'C 的坐标，利用两点间的距离公式可求出2'2BC m m =-++，再利用二次函数的性质即可求出：当1522m -≤≤时，'BC 的长度范围. 【详解】解：（1）当x ＝0时，y ＝ax 2﹣2amx +am 2+1＝am 2+1，∴点C 的纵坐标为am 2+1．故答案为am 2+1．（2）设抛物线对称轴与x 轴交于点E ，如图1所示．∵DA ＝DB ，∠DAB ＝45°，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AB ＝2DE ．∵y ＝ax 2﹣2amx +am 2+1＝a （x ﹣m ）2+1，∴点D 的坐标为（m ，1）．当y ＝0时，ax 2﹣2amx +am 2+1＝0，即a （x ﹣m ）2＝﹣1，解得：x 1＝m x 2＝m∴AB ＝2， 解得：a ＝﹣1．（3）由（1）（2）可知：点C 的坐标为（0，1﹣m 2），点B 的坐标为（m +1，0）．∵点C 绕O 逆时针旋转90°得到点C ′，∴点C ′的坐标为（m 2﹣1，0），∴BC ′＝|m +1﹣（m 2﹣1）|＝|﹣m 2+m +2|．∵﹣m 2+m +2＝﹣（m ﹣12）2+94，﹣12≤m ≤52，∴当m＝52时，﹣m2+m+2取得最小值，最小值为﹣74；当m＝12时，﹣m2+m+2取得最大值，最大值为94，∴当﹣12≤m≤52时，﹣74≤﹣m2+m+2≤94，∴当﹣12≤m≤52时，0≤BC′≤94．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、解无理方程、两点间的距离公式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）代入0x 求出y值；（2）利用等腰直角三角形的性质找出关于a的无理方程；（3）利用二次函数的性质找出'BC的长度范围.28．（1）y=－12x2+ x+4；（2）当m=2时，PE2；（3）存在，满足题意的d3的值为2或665．【解析】【分析】（1）由直线y=-x+4得出B（4，0），C（0，4），即可得出A（-2，0），将A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式；（2）已知P点横坐标，根据直线AB、抛物线的解析式，求出C、P的坐标，由此得到线段PC的长；在Rt△OBC中，∠OCB=45°，根据平行线的性质得出∠PFD=45°，解直角三角形即可求出PD的表达式，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可．（3）见解析.【详解】解:（1）由y=－x+4得当x=0时，y=4；当y=0时，x=4．∴B (4，0) ，C (0，4)， ∴ OB =4．∴ OA =12OB =2， ∴ 点 A (－2，0)． 把A (－2，0)，B (4，0)分别代入抛物线y =ax 2+bx +4中，得4230,16430.a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得1,21.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴ 抛物线的解析式为 y =－12x 2+ x +4． （2）∵ 点P 的横坐标为m ，则P (m ，－12m 2+ m +4)． 过点P 作PF ∥y 轴交BC 于点F ，则F (m ，－m +4) ．∴ PF =－12m 2+ m +4－(－m +4)=－12m 2+2m ． 在Rt △OBC 中，OB =4，OC =4．又 PF ∥y 轴， ∴ ∠PFD =∠OCB=45°．∴ PD =PF ·sin ∠PFD = PF ·sin ∠OCB =22(－12m 2+2m )=－24(m －2)22 ∵ 0＜m ＜4，－24＜0，∴ 当m =2时，PE 2 （3）存在，∵y =－12x 2+ x +4=－12（x-1）²+92， ∴C 点坐标为（1,3），如图，d 1= d 2=12d 3 ，满足题意的d3的值为2或6或655．【点睛】本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力，。
(完整版)初中数学二次函数专题经典练习题(附答案)
二次函数总复习经典练习题1．抛物线y=－3x2＋2x－1 的图象与坐标轴的交点情况是( )(A) 没有交点．(B) 只有一个交点．(C) 有且只有两个交点．(D) 有且只有三个交点．2．已知直线y=x 与二次函数y=ax2－2x－ 1 图象的一个交点的横坐标为1，则 a 的值为( )(A)2 ．(B)1 ．(C)3 ．(D)4 ．3．二次函数y=x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，则△ ABC的面积为( ) (A)6 ．(B)4 ．(C)3 ．(D)1 ．24．函数y=ax 2＋bx＋ c 中，若a> 0，b< 0，c<0，则这个函数图象与x 轴的交点情况是( )(A) 没有交点．(B) 有两个交点，都在x 轴的正半轴．(C) 有两个交点，都在x 轴的负半轴．(D) 一个在x 轴的正半轴，另一个在x 轴的负半轴．5．已知(2 ，5) 、(4 ，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c 上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是( ) a(A) x= ．(B) x=2．(C) x=4．(D) x=3．b6．已知函数y=ax2＋bx＋ c 的图象如图 1 所示，那么能正确反映函数y=ax＋ b 图象的只可能是( )7．二次函数y=2x2－4x＋5 的最小值是_____ ．28．某二次函数的图象与x轴交于点( －1，0) ，(4 ，0) ，且它的形状与y=－x2形状相同．则这个二次函数的解析式为_____ ．9．若函数y=－x2＋4 的函数值y> 0，则自变量x 的取值范围是______ ．10．某品牌电饭锅成本价为70 元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：801001101008060为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为元．11．函数y=ax 2－（a－3）x＋ 1 的图象与x 轴只有一个交点，那么 a 的值和交点坐标分别为12．某涵洞是一抛物线形, 它的截面如图3 所示, 现测得水面宽AB 1.6m, 涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m, 在图中的直角坐标系内, 涵洞所在抛物线的解析式为13．（本题8 分）已知抛物线y=x2－2x－2 的顶点为A，与y 轴的交点为B，求过A、B 两点的直线的解析式．14．（本题8分）抛物线y=ax2＋2ax＋a2＋2的一部分如图3所示，求该抛物线在y 轴左侧与x 轴的交点坐标．15．（本题8 分）如图4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a> 0）的顶点是C（0，1），直线l ：y＝－ax＋3 与这条抛物线交于P、Q两点，且点P 到x 轴的距离为2．（1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）求点Q的坐标．16．（本题8 分）工艺商场以每件155 元购进一批工艺品．若按每件200 元销售，工艺商场每天可售出该工艺品100 件；若每件工艺品降价 1 元，则每天可多售出该工艺品 4 件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？17．（本题10 分））杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐设施开放后，从第 1个月到第x 个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y=ax2＋bx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元) ，g也是关于x 的二次函数．(1) 若维修保养费用第 1 个月为 2 万元，第 2 个月为 4 万元．求y 关于x 的解析式；(2) 求纯收益g 关于x 的解析式；(3) 问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？18(本题10分)如图所示，图4- ①是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m，支柱A3B3=50m，5 根支柱A1B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5 之间的距离均为15m，B1B5∥ A1A5，将抛物线放在图4- ②所示的直角坐标系中．(1) 直接写出图4- ②中点B1、B3、B5的坐标；(2) 求图4- ②中抛物线的函数表达式；(3) 求图4- ①中支柱A2B2、A4B4 的长度．B319、如图5，已知A(2，2)，B(3，0)．动点P( m，0)在线段OB上移动，过点P作直线l 与x 轴垂直．(1) 设△ OAB中位于直线l 左侧部分的面积为S，写出S与m之间的函数关系式；(2) 试问是否存在点P，使直线l 平分△ OAB的面积？若有，求出点P 的坐标；若无，请说明理由．更多学习方法和中高考复习资料，免费下载，扫一扫关注微信：答案：一、1．B 2 ．D 3 ．C 4 ．D 5 ．D 6．B二、 7．3 8 ．y =－ x ＋3x ＋4 9 ．－ 2< x <2 10 ．1301 115 211． a =0， （ ，0）；a =1，（－1，0）；a =9，（ ，0） 12 ． y x 23 3 413．抛物线的顶点为 （1，－ 3），点 B 的坐标为 （0，－ 2）．直线 AB 的解析式为 y =－x －2 14．依题意可知抛物线经过点 （1，0） ．于是 a ＋ 2a ＋ a 2＋ 2=0，解得 a 1=－1，a 2=－2．当 a = －1 或 a =－2 时，求得抛物线与 x 轴的另一交点坐标均为 （ －3，0）2 15． （1） 依题意可知 b =0，c =1，且当 y =2 时，ax 2＋1=2①，－ ax ＋3=2②．由①、②解得 a =1， x =1．故抛物线与直线的解析式分别为： y =x 2＋ 1，y =－ x ＋3；（2） Q （ －2，5）216．设降价 x 元时，获得的利润为 y 元．则依意可得 y =（45－x ）（100 ＋4x ）= －4x 2＋80x ＋4500， 即 y =－4（x －10）2＋4900．故当 x =10时， y 最大=4900（元）2217． （1） 将（1，2）和（2，6） 代入 y =ax 2＋bx ，求得 a =b =1．故 y =x 2＋x ；（2） g =33x －150－y ， 22即 g =－x 2＋32x －150；（3） 因 y =－（x －16） 2＋106，所以设施开放后第 16 个月，纯收益最大．令 g =0，得－ x 2＋ 32 x － 150=0．解得 x =16± 106 ，x ≈16－ 10.3=5.7（ 舍去 26.3） ．当 x =5 时， g <0， 当 x =6 时， g >0，故 6 个月后，能收回投资18．（1） B 1（ 30，0）， B 3 （0，30） ， B 5 （30，0） ；（2）设抛物线的表达式为 y a （x 30）（x 30） ，把 B 3 (0，30) 代入得 y a(0 30)(0 30) 30．1∴ a ．30∵所求抛物线的表达式为： y3）∵ B 4 点的横坐标为 15， 1 45∴B 4 的纵坐标 y 4 (15 30)(15 30) ．4 30 2∵ A 3B 3 50 ，拱高为 30，1 (x 30)(x 30) ． 30∴立柱A4B445 8520 (m) ．22由对称性知：85A2B2 A4B4 (m) ．2四、1 2 1 119．（1）当0≤m≤2时，S= m2；当2<m≤3时，S= ×3×2－（3 －m）（－2m＋6）= －m22 2 2＋6m－6．（2）若有这样的P点，使直线l 平分△ OAB的面积，很显然0<m<2．由于△ OAB3 1 3的面积等于3，故当l 平分△ OAB面积时，S= ．∴ m2．解得m= 3 ．故存在这样2 2 2的P点，使l 平分△ OAB的面积．且点P的坐标为（3 ，0）．。
初中数学专题练习-二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质
《二次函数》专题第三讲：二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质一、二次函数2y ax bx c =++的图象和性质1．如何画216212y x x =-+的图象？2．用配方法推导顶点坐标公式二次函数2y ax bx c =++的图象是抛物线,其顶点坐标是（2b a -, 244ac b a -）,对称轴是平行于y 轴的一条直线2b x a=-． 列表小结=2++ （≠0）的图象和性质示意图 a >0a <0开口方向a >0时,开口向上 a <0时,开口向下 形状 ①a 相同⇔抛物线的形状、大小相同; ②a 越大, 开口越小; a 越小, 开口越大．二次函数2y ax bx c =++的图像与性质：顶点坐标24(,)24b ac b a a --,是抛物线最高（或最低）点 对称轴直线2b x a =- 函数最值 若a >0,当2b x a =-时,y 最小值=244ac b a-． 若a <0,当2b x a =-时, y 最大值244ac b a -． 增减性 若a>0,当2b x a ≤-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大． 若a<0,当2b x a≤-时,y 随x 的增大而增大; 当2b x a>-时,y 随x 的增大而减小．二、过特殊位置的抛物线：对于抛物线2y ax bx c =++,（1）若顶点是原点,则（2）若经过原点,则（3）若顶点在y 轴上,则（4）若顶点在x 轴上,则（5）若经过（1,0）点,则若经过（－1,0）点,则练习（1）抛物线223y x x =--的顶点坐标是 ,对称轴是 ．（2）若二次函数2221y ax x a =++-（0a ≠）的图象如图所示, 则a 的值是 ．（3）二次函数22y x bx c =++的顶点坐标是（1,－2）,则 b = ,c = ．（4）已知二次函数2y ax bx c =++（其中a >0,b >0,c <0）,关于 这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上;xyO②图象的顶点一定在第四象限;③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧．以上说法正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3。