吸附热力学及动力学的研究
吸附动力学和热力学各模型公式及特点(终审稿)
吸附动力学和热力学各模型公式及特点文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-分配系数K d =(C 0−C e )C C e C吸附量 C t =C 0−C t C×C LangmiurC e =C m C L C e 1+C L C eC e C e =1C m C L +C e C m KL 是个常数与吸附剂结合位点的亲和力有关，该模型只对均匀表面有效FreundlichC e =C F C e 1/Cln C e =ln C F +1Cln C e Ce 反应达到平衡时溶液中残留溶质的浓度KF 和n 是Freundlich 常数，其中KF 与吸附剂的吸附亲和力大小有关，n 指示吸附过程的支持力。
1/n 越小吸附性能越好一般认为其在0.1~0.5时，吸附比较容易；大于2时，难以吸附。
应用最普遍，但是它适用于高度不均匀表面，而且仅对限制浓度范围（低浓度）的吸附数据有效一级动力学1(1)k t t e q q e -=-C t =C e (1−C −C 1C )线性 ln (C e −C t )=ln C e −C 1C二级动力学 2221e t e k q t q k q t =+C t =C 2C e 2C 1C 2C e C线性 C C t =1C 2C e 2+CC e初始吸附速度C0=C2C C2Elovich 动力学模型C t=C+C ln C Webber-Morris动力学模型C C=C ip C1/2+C Boyd kinetic plotC C C C =1−6×exp−C C CC6令F=Q t/Q e,K B t=-0.498-ln(1-F)准一级模型基于假定吸附受扩散步骤控制；准二级动力学模型假设吸附速率由吸附剂表面未被占有的吸附空位数目的平方值决定，吸附过程受化学吸附机理的控制，这种化学吸附涉及到吸附剂与吸附质之间的电子共用或电子转移；Webber-Morris动力学模型粒子内扩散模型中，qt与t1/2进行线性拟合，如果直线通过原点，说明颗粒内扩散是控制吸附过程的限速步骤；如果不通过原点，吸附过程受其它吸附阶段的共同控制；该模型能够描述大多数吸附过程，但是，由于吸附初期和末期物质传递的差异，试验结果往往不能完全符合拟合直线通过原点的理想情况。
海带对Pb~(2+)吸附动力学及热力学研究
图 ２ 吸 附 时 间对 Ｐ ｈ 吸 附量 的 影 响
高 时饱 和 吸附量最 大 。
３ ４ ０
地
质
学
刊
２ ０ １ ３年 ６月
比较 Ｌ ａ ｎ ｇ ｍ ｕ ｉ ｒ 和 Ｆ ｒ ｅ ｕ ｎ ｄ ｌ ｉ ｃ ｈ等 温 式 拟 合 所 得
Ｒ ， 可 以看 出海带对 金 属 离 子 的 吸 附过 程 更好 地 符 合Ｌ ａ ｎ ｇ ｍ ｕ ｉ ｒ 等温式 。
２ ． ２ 吸 附 动 力 学
准确 配 制 初 始 体 积 质 量 为 ５ ０ ，８ ０ ， １ ０ ０ ，２ ０ ０， ４ ０ ０ ， ６ ０ ０， ８ ０ ０， １ ０ ０ ０ ｍ＃Ｌ的 Ｐ ｈ 溶液 ， 各１ ０ ０ ｍ Ｌ 于一 系 列 ２ ５ ０ ｍＬ锥 形 瓶 中 ， ｐ Ｈ 值均调 整为 ４ ． ５ 。 分别投 加 ０ ． ２ ｇ海 带 粉 ， 分别在 ２ ０ ， ２ ５ ， ３ ０， ３ ５ ｃ Ｃ下
ｌ ｇ （ ｑ 一 ｇ ）＝ｌ ｇ ｑ 一
准
（ １ ）
式（ ４） 中， 为 吸 附 系数 ； Ｃ 为 吸附 平 衡 时 溶 液 中 Ｐ ｂ “ 的浓度 ； １ ／ ｎ为 吸附 指 数 ， 通 常 数值 在 ０～１之 间 。拟合 参数 见表 ２ 。
由表 ２可 以看 出 ， 海 带对 Ｐ ｂ ¨ 的 吸 附指数 １ ／ ｎ
第３ ７卷
曹
军
等： 海带对 Ｐ ｂ 吸附动力学 及热力学研 究
３ ３ ９
下振荡 ２ ｈ后 过滤 ， 测 量 其 吸 附量 。ｐ Ｈ值 对 海 带 吸
吸附动力学和热力学各模型公式及特点
吸附动力学和热力学各模型公式及特点-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1分配系数吸附量LangmiurKL 是个常数与吸附剂结合位点的亲和力有关，该模型只对均匀表面有效 FreundlichCe 反应达到平衡时溶液中残留溶质的浓度KF 和n 是Freundlich 常数，其中KF 与吸附剂的吸附亲和力大小有关，n 指示吸附过程的支持力。
1/n 越小吸附性能越好一般认为其在~时，吸附比较容易；大于2时，难以吸附。
应用最普遍，但是它适用于高度不均匀表面，而且仅对限制浓度范围（低浓度）的吸附数据有效一级动力学1(1)k t t e q q e -=-线性二级动力学 2221e t e k q t q k q t =+线性初始吸附速度Elovich 动力学模型Webber-Morris动力学模型Boyd kinetic plot令F=Q t/Q e,K B t=(1-F)准一级模型基于假定吸附受扩散步骤控制；准二级动力学模型假设吸附速率由吸附剂表面未被占有的吸附空位数目的平方值决定，吸附过程受化学吸附机理的控制，这种化学吸附涉及到吸附剂与吸附质之间的电子共用或电子转移；Webber-Morris动力学模型粒子内扩散模型中，qt与t1/2进行线性拟合，如果直线通过原点，说明颗粒内扩散是控制吸附过程的限速步骤；如果不通过原点，吸附过程受其它吸附阶段的共同控制；该模型能够描述大多数吸附过程，但是，由于吸附初期和末期物质传递的差异，试验结果往往不能完全符合拟合直线通过原点的理想情况。
粒子内扩散模型最适合描述物质在颗粒内部扩散过程的动力学，而对于颗粒表面、液体膜内扩散的过程往往不适合Elovich 方程为一经验式，描述的是包括一系列反应机制的过程，如溶质在溶液体相或界面处的扩散、表面的活化与去活化作用等，它非常适用于反应过程中活化能变化较大的过程，如土壤和沉积物界面上的过程。
此外，Elovich 方程还能够揭示其他动力学方程所忽视的数据的不规则性。
吸附等温线及动力学
V:样品实际吸附量；Vm:单层饱和吸附量；
C:与样品吸附能力有关的常数。 从上式可以看出，BET方程建立了单层饱和吸附量Vm与多层吸附量V之间的 数量关系，为比表面积测定提供了很好的理论基础。
BET方程实际上基于下面两个假设：
1. BET方程是建立在Langmuir吸附理论基础上的，但同时还认为：物理吸附 为分子间力，被吸附的分子与气相分子之间仍有此种力，故可发生多层吸附， 多层吸附与气体的凝聚相似。
度和可信度高，特别适合科研及生产单位使用。
2、孔径分布测定
（1）孔径分布介绍 超微粉体颗粒的微观特性不仅表现为表面形状的不同，很多还存在孔结构。 孔的大小、形状及数量对比表面积测定结果有很大的影响，同时材料的孔体积
大小及孔径分布规律对材料本身的吸附、催化剂稳定性等有很大影响。因此，
测定孔容积大小及孔径分布规律成为粉体材料性能测试的又一大领域，通常与 比表面积测定密切相关。
N2因其易获得性和良好的可逆吸附特性，成为最常用的吸附质。通过这种方法测 定的比表面积称之为“等效”比表面积。所谓“等效”的概念是指：样品的表面
积是通过其表面密排包覆（吸附）的氮气分子数量和分子最大截面积来表征的。
实际测定出氮气分子在样品表面平衡饱和吸附量(V)，通过不同理论模型计算出单 层饱和吸附量(Vm)，进而求出分子个数，采用表面密排六方模型计算出氮气分子 等效最大横截面积(Am)，即可求得被测样品的比表面积。计算公式如下：
Ce C 1 e qe qmax qmax K L
式中，Ce为溶液的平衡浓度，mg/L, qmax为最大吸附量（饱和），mg/g，KL
为与键合位点的亲和力及吸附能有关的Langmuir常数, L/g，
Langmuir 分子吸附模型对于当固体表面的吸附作用相当均匀，且吸附限于单分 子层时，能够较好地代表实验结果。但是由于它的假定是不够严格的，因而具有 相当的局限性。
吸附动力学和热力学各模型公式及特点
吸附量是个常数与吸附剂结合位点地亲和力有关，该模型只对均匀表面有效反应达到平衡时溶液中残留溶质地浓度和是常数，其中与吸附剂地吸附亲和力大小有关，指示吸附过程地支持力.越小吸附性能越好一般认为其在时，吸附比较容易；大于时，难以吸附.文档收集自网络，仅用于个人学习应用最普遍，但是它适用于高度不均匀表面，而且仅对限制浓度范围（低浓度）地吸附数据有效一级动力学1(1)k t t e q q e -=-线性二级动力学 2221e t e k q t q k q t =+线性初始吸附速度动力学模型动力学模型令, ()准一级模型基于假定吸附受扩散步骤控制；准二级动力学模型假设吸附速率由吸附剂表面未被占有地吸附空位数目地平方值决定，吸附过程受化学吸附机理地控制，这种化学吸附涉及到吸附剂与吸附质之间地电子共用或电子转移；文档收集自网络，仅用于个人学习 动力学模型粒子内扩散模型中，与进行线性拟合，如果直线通过原点，说明颗粒内扩散是控制吸附过程地限速步骤；如果不通过原点，吸附过程受其它吸附阶段地共同控制；该模型能够描述大多数吸附过程，但是，由于吸附初期和末期物质传递地差异，试验结果往往不能完全符合拟合直线通过原点地理想情况.粒子内扩散模型最适合描述物质在颗粒内部扩散过程地动力学，而对于颗粒表面、液体膜内扩散地过程往往不适合文档收集自网络，仅用于个人学习 方程为一经验式，描述地是包括一系列反应机制地过程，如溶质在溶液体相或界面处地扩散、表面地活化与去活化作用等，它非常适用于反应过程中活化能变化较大地过程，如土壤和沉积物界面上地过程.此外，方程还能够揭示其他动力学方程所忽视地数据地不规则性.和双常数模型适合于复非均相地扩散过程.文档收集自网络，仅用于个人学习模型假定吸附剂表面均匀，吸附质之间没有相互作用，吸附是单层吸附，即吸附只发生在吸附剂地外表面. 为饱和吸附量，表示单位吸附剂表面，全部铺满单分子层吸附剂时地吸附量；该模型地假设对实验条件地变化比较敏感，一旦条件发生变化，模型参数则要作相应地改变，因此该模型只能适用于单分子层化学吸附地情况. 等温吸附模型作为第一个对吸附机理做了生动形象描述地模型，为以后其他吸附模型地建立起到了奠基作用.文档收集自网络，仅用于个人学习吸附方程既可以应用于单层吸附，也可以应用于不均匀表面地吸附情况.吸附方程作为一个不均匀表面地经验吸附等温式，既能很好地描述不均匀表面地吸附机理，更适用于低浓度地吸附情况，它能够在更广地浓度范围内很好地解释实验结果.但是，吸附方程地缺点则是不能得出一个最大吸附量，无法估算在参数地浓度范围以外地吸附作用.文档收集自网络，仅用于个人学习由于等温吸附方程受低浓度地限制，而等温吸附方程则受高浓度地限制.–等温吸附方程则是综合等温吸附方程和等温吸附方程而提出地较合理地经验方程. 是一个与吸附量有关地常数，也是一个与吸附能力有关地经验常数，指数为介于和之间地经验常数.避免了吸附过程受浓度限制地影响.文档收集自网络，仅用于个人学习方程适用于均匀表面地吸附，而方程和方程适用于不均匀表面地吸附文档收集自网络，仅用于个人学习。
吸附平衡与动力学模型介绍
吸附动力学模型
Bangham（孔道扩散模型） 在吸附过程中Bangham(班厄姆)方程常被用来 描述孔道扩散机理。
C0 k0m loglog logt C qm log 2.303 V 0
当线性拟合得到较好直线，拟合系数 R 2 大于 0.99时表示此孔道扩散模型能较好的表示实际吸 附情况。
拟二级动力学指反应速率与两种反应物浓度呈线 性关系。
吸附动力学模型
同一类动力学中又有分类，例如：一级、准一级、伪（拟） 一级。准一级或伪（拟）一级，准二级或伪（拟）二级，因 为不是遵守理想的动 力学模型，而是利用某种修正方法得到 的新的模型，英文均为pseudo。 1）理想单因子环境中，单因子决定反应速率称为一级动 力学； 2）现实中并不存在单因子理想条件，但是众多因子中只 存在一种因子决定反应速率称为伪（拟）一级动力学； 3）准一级动力学方程则是在理论上不是一级动力学但可 以相当于一级反应的动力学的动力学行为； 4）准二级，与伪（拟）二级动力学的区别同上。
吸附机理
吸附质在吸附剂多孔表面被吸附的过程分为四步：
污染物克服液 膜阻力并穿过 液膜到达吸附 剂表面 污染物在活性 位上发生吸附 反应
1
污染物从主体溶液 扩散到由于水化作 用在吸附剂表面形 成的水膜表面
2
3
污染物从颗粒 外表面扩散到 颗粒内表面吸 附位
4
在吸附的四步当中，我们把步骤一和步骤二统称为液膜扩散过程， 步骤三为颗粒内扩散过程，其中扩散较慢的环节称为整个吸附过程的速 率限制步骤。（吸附反应通常很快就会完成，对吸附速率的影响可以忽 略）
吸附动力学模型
Elovich（伊洛维奇）动力学模型 1 q ln1 t 方程：
吸附热力学及动力学的研究
吸附热力学及动力学的研究吸附热力学及动力学的研究吸附热力学及动力学的研究摘要：杂乱无章的实验数据，不经过数学处理，得不到能够描述它们的模型，其本身无论在科学理论上•还是在应用技术上都没有太大的实际意义。
综述了近些年来在液固吸附理论研究领域对吸附等温线•吸附热力学及吸附动力学的研究进展。
论述5种类型吸附等温线，总结了热力学中、AG、Z\S的几种求算方法•以及5种吸附动力学的模型,从而•为吸附实验数据的处理和模型优选，，提供依据。
关键字：吸附等温曲线热力学动力学1吸附等温曲线吸附等温曲线是指在一定温度下溶质分子在两相界面上进行的吸附过程达到平衡时它们在两相中浓度之间的关系曲线。
在一定温度下，分离物质在液相和固相中的浓度关系可用吸附方程式来表示。
作为吸附现象方面的特性有吸附量、吸附强度、吸附状态等，而宏观地总括这些特性的是吸附等温线.0］型分子吸附模型Langmuir 吸附模型是应用最为广泛的分子吸附模型,Langmuir型分子吸附模型［2］就是在Langmuir吸附模型的基础上，研究者就Langmuir吸附模型的局限性进行了改进、发展，形成了一系列的分子吸附模型。
ngmuir分子吸附模型Langmuir分子吸附模型是根据分子间力随距离的增加而迅速下降的事实，提出气体分子只有碰撞固体表面与固体分子接触时才有可能被吸附，即气体分子与mol-1 ;R为气体摩尔常数&314 J -mol -1 K-1 ;T为绝对温度，K、Kd为吸附热力学平衡常数;AHO为吸附标准焙变,kJ -mol -1 ; AS 0为吸附标准燧变值,Jmol -1 K-1。
根据式(8)可以作In Kd -1/T曲线图，计算出AHO、AS 0。
3、吸附动力学吸附过程的动力学研究主要是用来描述吸附剂吸附溶质的速率快慢•通过动力学模型对数据进行拟合•从而探讨其吸附机理。
以下为5种动力学模型.、吸附动力学一级模型吸附动力学一级模型采用Lagergren方程［17］计算吸附速率：dQtdt?kt(Qe?Qt)(22)式中，Qt和Qe分别为t时刻和平衡态时的吸附量•mg?g-1 • k1为一级吸附速率常数•min-1。
吸附动力学及动态学
实验步骤与实验方法
01
实验步骤
02
1. 选择合适的吸附剂和吸附质，进行预处理；
2. 配置不同浓度的吸附质溶液；
03
实验步骤与实验方法
01
实验步骤
02
1. 选择合适的吸附剂和吸附质，进行预处理；
2. 配置不同浓度的吸附质溶液；
03
实验步骤与实验方法
3. 在恒温条件下进行吸附实验，记录吸附量随时 间的变化；
扩散系数
描述分子在溶液中扩散快慢的常数， 影响吸附速率。
03
02
吸附速率常数
描述吸附速率快慢的常数，与扩散 系数、反应速率常数等有关。
反应速率常数
描述化学反应快慢的常数，影响化 学反应控制模型的吸附速率。
04
吸附动力学模型的参数
01
平衡吸附量
在一定温度和压力下，吸附剂达到 吸附平衡时的吸附量。
扩散系数
吸附动态学在各领域的应用
环境科学
吸附动态学在环境科学领域中广泛应用于处理和治理环境污染问题。例如，通过研究土壤、水体和空气中的污染物在 吸附剂表面的动态行为，可以有效地去除和降低污染物的浓度。
能源科学
在能源科学领域，吸附动态学可用于研究和开发高效、低成本的储氢材料和二氧化碳捕获技术。通过了解吸附剂对氢 气和二氧化碳的动态吸附特性，可以优化材料的结构和制备方法，提高储氢和二氧化碳捕获的性能。
物理吸附
物理吸附是指分子间的范德华力 作用，吸附力较弱，吸附速率较 快。
化学吸附
02
03
动态吸附
化学吸附是指吸附剂与被吸附物 之间通过化学键结合，吸附力较 强，吸附速率较慢。
动态吸附是指吸附剂在动态条件 下的吸附行为，如流化床、固定 床等反应器中的吸附过程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
吸附热力学及动力学的研究吸附热力学及动力学的研究摘要：杂乱无章的实验数据, 不经过数学处理, 得不到能够描述它们的模型，其本身无论在科学理论上，还是在应用技术上都没有太大的实际意义。
综述了近些年来在液固吸附理论研究领域对吸附等温线，吸附热力学及吸附动力学的研究进展。
论述5 种类型吸附等温线，总结了热力学中△H、△G、△S的几种求算方法，以及5种吸附动力学的模型，从而，为吸附实验数据的处理和模型优选,，提供依据。
关键字：吸附等温曲线热力学动力学1吸附等温曲线吸附等温曲线是指在一定温度下溶质分子在两相界面上进行的吸附过程达到平衡时它们在两相中浓度之间的关系曲线。
在一定温度下, 分离物质在液相和固相中的浓度关系可用吸附方程式来表示。
作为吸附现象方面的特性有吸附量、吸附强度、吸附状态等, 而宏观地总括这些特性的是吸附等温线.[1] 型分子吸附模型Langmuir 吸附模型是应用最为广泛的分子吸附模型,Langmuir 型分子吸附模型[2]就是在Langmuir 吸附模型的基础上,研究者就Langmuir 吸附模型的局限性进行了改进、发展,形成了一系列的分子吸附模型。
1. Langmuir 分子吸附模型Langmuir 分子吸附模型是根据分子间力随距离的增加而迅速下降的事实,提出气体分子只有碰撞固体表面与固体分子接触时才有可能被吸附,即气体分子与表面相接触是吸附的先决条件。
并做如下假定: ①气体只能在固体表面上呈单分子层吸附; ②固体表面的吸附作用是均匀的; ③被吸附分子之间无相互作用。
所以Langnuir 等温吸附方程[3 ] q?qmcKd?c或q?qmKbc1?Kbc(1) 其中,qm 为饱和吸附容量,Kd 为吸附平衡的解离常数,Kb 为结合常数( = 1/ Kd) 。
Langnuir 分子吸附模型对于当固体表面的吸附作用相当均匀,且吸附限于单分子层时,能够较好的代表试验结果。
但于它的假定是不够严格的,具有相当的局限性[4]。
2 竞争吸附的Langmuir 模型上述的Langmuir 模型描述一种组分发生单分子层吸附的情况,当有多种组分同时在固体表面发生吸附,它们之间将产生竞争吸附,通过对Langmuir 模型进行一定改进可以得到竞争吸附的Langmuir 模型,即: qi?qimKibcin1??j?1Kjbcj(2) 其中qim和Kib可以从相应的单一组分吸附的Langmuir 模型中得出。
竞争吸附的Langmuir 模型可以描述多组分的吸附情况,尤其当固体表面的吸附作用相当均匀,且吸附限于单分子层时,能够较好的代表试验结果。
但于它的假定与Langmuir 模型一样,不够严格,具有相当的局限性 3 多参数的Langmuir 模型三参数的Langmuir 模型:Langmuir 模型和竞争Langmuir 模型都是两参数的分子吸附模型,以单分子层吸附且分子间无相互作用为基础,它们解释和关联实验数据时有很大的局限性,因此研究者们提出了很多的模型,增加其中的参数,以提高它们处理实验数据的关联精确性。
其中发展了很多的三参数Langmuir 模型,它们在处理数据时更为准确,应用更为广泛。
其中如: Langmuir - Freundlich 吸附模型q? Toth 吸附模型[5 ] qm(Kbc)1?(Kbc)nn(3) q?qmKbc[1?(Kbc)]n1/n(4) Extended Langmuir 吸附模型[6 ] q?qmKbc1?Kbc?nKbc(n 为模型参数,可以通过实验数据回归得到) (5) 、Henry公式[5 ] q?kc(6) 式中: q—吸附量, mg/g; c—吸附质的平衡质量浓度, mg/L; k—分配系数。
、Freundlich公式Freundlich型吸附等温线是基于吸附剂在多相表面上的吸附建立的经验吸附平衡模式. Freundlich等温线方程[6]:qe?lnKf?1nlnCe(7) 式中:qe为吸附达平衡时的吸附量,mg/g; Ce为吸附平衡时溶液中磷浓度,mg/L; Kf 是Freundlich模型下与吸附容量和吸附强度有关的常数; 1/n为Freundlich常数。
较大的Kf、n值是吸附剂具有较好吸附性能的表征。
在不同温度下,分别以lnqe 对lnCe 作图得到的Freundlich吸附等温线、Redlich-Peterson模型[7] qe?KRCe/(1?aRCe)а(8) 其中, Ce 为溶液平衡浓度, mmol/L; qe 为吸附量; qm、KL分别表示单层最大吸附量、与吸附能有关的常数; Kf和n是Freundlich等温方程的特征参数;KR, aR 和α均为经验常数、Temkin方程[8] Temkin方程所描述的能量关系是，吸附热随吸附量线性降低简单的方程形式(9) 式中：Ce为平衡浓度，q为吸附量，A和B式方程的两个常数。
以q对logCe作图为一直线，可确定该方程对实验数据的拟合程度。
2. 吸附热力学通过吸附热力学的研究可以了解吸附过程进行的程度和驱动力，也可以深入分析各种因素对吸附影响的原因[9] 2. 1 吸附焓△H的计算方法一Clausius - Clapeyron方程[10] : q?A?BlogCe lnCe?ΔHRT ?K (10) 式中: Ce ———平衡浓度, mg·L - 1 T———热力学温度, K R———理想气体常数, J·mol - 1·K- 1 △H ———等量吸附焓, J·mol- 1 K ———常数通过测定各种温度下离子交换纤维对Cr (V I)的吸附等温线,再吸附等温线做出不同等吸附量时的吸附等量线InCe -1 /T,用线性回归法求出各吸附量所对应的斜率,计算出不同吸附量时Cr (V I)的等量吸附焓ΔH。
方法二Van’t Hoff 方程式[11] ln 1Ce?lnK0?(?ΔHRT) (11) 式中: Ce为平衡浓度，mg·L -1 ; △H 为等量吸附焓变，kJ·mol -1 ; T 为试验温度，K; K0为Van’tHoff 方程常数。
不同温度时的Ce可根据一定吸附量，从吸附等温线上查得。
以ln ( 1 /Ce) 对1 /T 作图，若△H与温度无关，则可通过斜率计算出来。
方法三[14] 0ΔH?R(T2T1/T2?T1)ln(Kc2/Kc1)(12) KC?CBe/CAe常数。
(13) 其中CBe、CAe分别为Cr(?)在吸附剂和溶液中的平衡浓度(mg?L), Kc 为平衡吸附自能ΔG的计算方法一ΔG0??RTlnKd(14) 式中:ΔG0为吸附标准吉布斯自能变值,kJ ·mol - 1 ; R 为气体摩尔常数8. 314 J ·mol - 1 ·K- 1 ;T 为绝对温度, Kd 为吸附热力学平衡常数。
吸附平衡常数Kd 的确定, 文献中有多种计算方法。
根据文献[12 ] ,用Freundlich 方程拟合参数计算Kd , 即Kd= Kfn ；用L angmu ir 方程拟合参数计算Kd: Kd =ka/kb ，ka、kb 分别为吸附速率常数和解吸速率常数；Hen ry和Temk in方程拟合参数计算Kd，Kd 与标准压力平衡常数K等价。
方法二：吸附自能的值可以通过Gibbs方程从吸附等温线衍生得到[13] xΔG??RT ?0qdxx(15) 式中:q———吸附量,mg·g- 1 X———溶液中吸附质的摩尔分数如果Q和x的关系符合Freundlish方程,即1/nq?kx(16) 将式(16)代入式(15)得吸附吉布斯自能ΔG与Q无关。
ΔG??nRT(17) 方法三[14] 0ΔG?RTlnKc(18) CBe、CAe 数。
分别为Cr(v?)在吸附剂和溶液中的平衡浓度(mg?L), Kc 为平衡常KC?CBe/CAe2..3 吸附熵ΔS的计算方法一吸附熵可按Gibbs - Helm holtz方程计算[15] ΔS?ΔH?ΔGT(19) 方法二[16] ΔG?ΔH?TΔS (20) lnKd?ΔH0000?RT?ΔSR0(21) 式中:ΔG0为吸附标准吉布斯自能变值,kJ ·mol - 1 ; R 为气体摩尔常数8.314 J ·mol - 1 ·K- 1 ;T 为绝对温度, K、Kd 为吸附热力学平衡常数;ΔH0为吸附标准焓变,kJ ·mol - 1 ; ΔS 0 为吸附标准熵变值,J ·mol - 1 ·K-1 。
根据式(8) 可以作ln Kd - 1/ T曲线图,计算出ΔH0 、ΔS 0 。
3、吸附动力学吸附过程的动力学研究主要是用来描述吸附剂吸附溶质的速率快慢，通过动力学模型对数据进行拟合，从而探讨其吸附机理。
以下为5种动力学模型. 、吸附动力学一级模型吸附动力学一级模型采用Lagergren 方程[17]计算吸附速率：dQtdt?kt(Qe?Qt)(22) 式中，Qt 和Qe 分别为t 时刻和平衡态时的吸附量，mg?g-1，k1 为一级吸附速率常数，min-1。
对式(22)从t=0 到t>0(Q=0到Q>0)进行积分，可以得到：ln(Qe?Qt)?lnQc?k1t(23) 用式(23) 对在不同温度下吸附剂对Cr ( Ⅵ) 溶液的吸附作ln ( Qe -Qt ) - t 曲线图, 吸附动力学二级模型吸附动力学二级模型可以用McKay 方程描述[18] :，它是建立在速率控制步骤是化学反应或通过电子共享或电子得失的化学吸附基础上的二级动力学方程表达式[19]为：dQtdt?k2(Qe?Qt)2(24) 对式(24)从t=0 到t>0(q=0 到q>0)进行积分，写成直线形式为：tQt?1k2Q22e?1Qet(25) h?k2Qe (26) 式中，h 为初始吸附速率常数，mg·(g·min)-1。
用式(25)作t/Qtt - t 曲线图。
、颗粒内扩散模型颗粒内扩散模型最早Weber 等[20]提出，其表达式为：Qt?kpt1/2(27) 式中，kp 为颗粒内扩散速率常数，mg·(g·min1/2) -1 ，kp值越大，吸附质越易在吸附剂内部扩散，Qt—t1/2 的线形图的斜率可得到Kp。
根据内部扩散方程，以Qt对t1/2作图可以得到一条直线。
若存在颗粒内扩散，Qt对t0. 5为线性关系，且若直线通过原点，则速率控制过程仅内扩散控制。
否则，其它吸附机制将伴随着内扩散进行[21]。
、Elovich 方程Elovich 方程[22]是对反应速率和扩散因子综合调控的非均相扩散过程的描述，是另一个基于吸附容量的动力学方程，见式。