第八章三维形体的表示
三维形的认识与分类
三维形的认识与分类在我们日常生活中，我们所接触到的事物都有不同的形状。
有些形状是平面的，只有长度和宽度，称为二维形状，比如圆形和矩形；而还有一些形状则有长度、宽度和高度，称为三维形状，比如立方体和圆柱体。
本文将探讨三维形状的认识与分类。
对于三维形状的认识，我们首先需要了解什么是三维空间。
三维空间是指具有长度、宽度和高度三个方向的空间，如一个立方体，它的六个面都是平面，分别代表了不同的方向。
在三维空间中，物体可以以各种不同的方式排列和组合，形成各种不同的三维形状。
分类三维形状的方法主要有两种：根据表面特征分类和根据构成要素分类。
根据表面特征分类，我们可以将三维形状分为以下几类：1. 球体：球体是一种完全由曲面构成的三维形状，它的表面到圆心的距离处处相等。
例如，地球就是一个近似于球体的天体。
球体具有无数个不同的半径，因此可以分为不同大小的球体。
2. 圆柱体：圆柱体是一种由两个平行的圆面和连接两个圆面的侧面组成的三维形状。
圆柱体的侧面是一个矩形，两个圆面的圆心在同一直线上。
例如，一根筒状的笔就是一个近似于圆柱体的物体。
3. 圆锥体：圆锥体是一种由一个圆面和连接圆面和圆心的侧面组成的三维形状。
侧面是一条从圆心到圆周的曲线。
如果圆锥体的底面是正圆，则称为正圆锥体；如果底面是椭圆，则称为椭圆锥体。
4. 立方体：立方体是一种具有六个面，每个面都是一个正方形的三维形状。
立方体的六个面互相平行，并且相邻的两个面之间的距离相等。
例如，一个骰子就是一个近似于立方体的物体。
根据构成要素分类，我们可以将三维形状分为以下几类：1. 多面体：多面体是一种由多个平面构成的立体物体。
它的边界由多个面、边和顶点组成。
例如，正方体和六面体都是多面体。
2. 曲面体：曲面体是指由曲面构成的立体物体，其表面没有平面。
曲面体可以是球体、圆柱体、圆锥体等。
曲面体在数学和几何中有着重要的应用。
虽然三维形状的分类方法多种多样，但通过了解不同的分类方法，我们可以更好地认识和理解各种立体物体的特征和属性。
第八讲三维形体的真实感图形与虚拟设计PPT课件
1 简介
CAD造型技术发展的一个新方向是虚拟产品造型。传统产 品设计中，常需要制作产品零件模型来检查设计效果。 如采用虚拟产品技术，用计算机生成真实感图形，就可 以方便地在屏幕上以各种角度显示产品的真实视图，并 直接对外形进行交互式的修改，这种技术可以代替实物 模型的制作。 三种表现形体的方式： 线框图、消隐图和真实感图。
B
Bxmin , Bymin
(2)多边形之间的相交检测
当多边形外接矩形相交时，要判定多边形是否重叠， 需要对各边进行求交运算。在对边做求交运算之前，还可 以使用边的外接矩形相交检测来排除大量不相交的情况。
在下图中，只有c 边和g 边以及f 边和g 边的外接矩 形相交，两个多边形之间其他边均不可能相交。 判定c 和g 或者f和g 是否相交，需要通过线段求交运算来实现。
以下假定消隐算法都是在规范化观察坐标系中进行的，
即所有坐标(x,y,z)都是在规范化观察坐标系中定义的。
任何表面消隐算法必须从透视投影的投影中心或沿着平 行投影的投影方向确定哪些边和哪些面是可见的。即沿 着每条投影线确定最近的可见边与可见面。
可见性问题可归结为：给定两点P1(x1,y1,z1)和 P2(x2,y2,z2)，一个点是否遮挡另一点？这可通过以 下两步进行解答：
（3）当所有的多边形被处理完毕，帧缓存区中 保留的是已消隐的最终结果。
深度缓存算法Zbuffer() : { //初始化深度缓存ZB和帧缓存FB.
ZB(i,j)=1(即显示空间中的最大z值); FB(i,j)=背景色. i=0,1,…,H-
1;j=0,1,…,V-1 for(每一个多边形)
{ // 扫描转换该多边形 for(该多边形所覆盖的每个像素(i,j)) { 计算多边形在该像素的深度值
三维形体的表示
实体的定义（2）
❖ 将三维物体看作一个点集, 由内点 与边界点共同组成
❖ 内点：是指点集中的这样一些点, 点集的正则它 小运们 的算r：具 领有 域完全包含于i：该取内点点集运算的充分
❖ 边r •界A点：c •指i •那A些不具c：备取此闭包性运算质的点
集中的点。
(a) 带有悬挂边、孤立边、 (b) 物体的内部 孤立点的二维物体
偶数个多边形共享。 简单多面体
与球拓扑同构的多面体，即它可以连续变换成一个球。
二、欧拉公式 v-e+f=2
其中：V--顶点数 e--边数 f--面数
欧拉公式是一个多面体是简单多面体的 必要条件
广义欧拉公式
v-e+f-r=2(s-h)
r: 多面体表面上孔的个数 s: 相互分离的多面体数 h: 贯穿多面体的孔洞个数
象，不适合真实感显示
❖ 表面模型
将形体表示成一组表面的集合 形体与其表面一一对应，适合于真实感显示
实体模型
用来描述实体，主要用于CAD/CAM 包含了描述一个实体所需的较多信息，如几何信息、拓扑信 息
过程模型
❖ 以一个过程和相应的控制参数描述
例如： 用一些控制参数和一个生成规则描述的植物
❖ 以一个数据文件和一段代码的形式存在
包括----粒子系统、L系统、迭代函数系统等
2 实体的定义
❖ 抽象带来的问题(数学中的点线面是一 种抽象)
计算机中以数学方法描述的物体是无效的 不能够客观存在
❖ 为什么要求客观存在
CAD/CAM的需求
❖ 什么是客观存在(有效)—实体的定义
具有一定的形状 具有封闭的边界（表面) 内部连通的三维点集 占据有限的空间
个子立方体，对每一个子立方体进行同样的处理
CAD(计算机辅助设计技术)第8章：三维形体显示
3.
ax+by+cz+d=0
4.则L与Q之交点(x,y,z)应满足：
5.
x=x1+pt
6.
y=y1+qt
7.
z=z1+rt
8.
ax+by+cz+d=0
9.其中，p=x2-x1,q=y2-y1, r=z2-z1, 0<=t<=1
求解可得:
t a 1 b x 1 c y 1 d z / a b p c q r
xp x, yp y
(x,y,z)
yv (x,y)
xv
zvp
zv
当zvp=0，即投影平面为xvyv坐标平面时，zp=0。这时正交平 行投影的矩阵表达式为：
1 0 0 0
xp,
yp,
zp,1
x,
y,
z,10
0
1 0
0 0
0 0
0 0 0 1
8.4.2 透视投影
投影参考点用的是观察坐标系中的三维点。假设投影参 考点位于zv轴上的zprp处，则描述投影线的参数方程为：
3. 确定yv轴的正向。方法如下： 选取一个观察正向V，将它投射到过P0并与N垂直的
平面上。注意：可任意选取不与N平行的V。
yv P0
V
N
zv
xv
yv
Pv0
n u
V zv
xv
补充说明：
uvn系统
选定V后，建立yv和xv轴的另一种方法是：由N,V作 叉积求出第三个向量U，它垂直于N和V，由此确定 xv轴 。然后由N和U作叉积确定与它们垂直的向量 v。
（2） 透视投影的情况
Frustum 平截头体
三维实体表示方法
(a)带有悬挂边、孤立边 和孤立点的二维物体
(b)物体的内部 (c)物体内部的闭包
☆几何造型基础 ● 实体的定义
◘ 现实实体性质 ◘ 点集拓扑表示 ◘ 正则点集定义 ◘ 二维流形定义 ◘ 正则运算定义 ◘ 正则运算原理 ◘ 正则运算计算 ● 几何模型定义 ☆实体表示方法 ● 多边形面表示 ● 特征表示方法 ● 空间分割表示 ● 推移表示方法 ● 边界表示方法 ● 构造几何实体 ☆实体表示比较
实体的点集拓扑表示
从点集拓扑的角度可给出实体的简洁定义。 – 三维物体可看作一个点集，它由内点与边界点共同 组成。 • 内点是指点集中具有完全包含于该点集的充分小 邻域的一些点。 • 边界点就是指那些不具备此性质的点集中的点。 – 定义点集的正则运算r： r·A=c·i·A。 其中：i为取内点运算，c取闭包运算，A为一个点 集，那么， • i·A即为A的全体内点组成的集合，称为A的内部， 它是一个开集。 • c·i·A为A的内部闭包，是i·A与其边界点的并集， 它本身是一个闭集。
• 实体的定义(可计算条件)： – 对于一个占据有限空间的正则点集，如果其表面是 二维流形，则该正则点集为实体(有效物体)。 • 这个描述中的条件是在计算机中可检测的，对衡 量一个模型表示是否为实体非常有用。
几何造型技术
☆几何造型基础 • 造型技术：研究如何在计算机中建立恰当的模型表示这
● 实体的定义
些物体的技术。
● 几何模型定义 ☆实体表示方法 ● 多边形面表示 ● 特征表示方法 ● 空间分割表示 ● 推移表示方法 ● 边界表示方法
• 真实世界中存在着千姿百态的物体； • 它是计算机图形学的重要研究内容之一。 – 其中，实体造型技术关注表示实体的信息的完备性 和可操作性，
计算机图形学课件第八章-几何造型简介
32
作业
1．几何造型有哪三种模型？各有什么特点？ 2．分析比较CSG法与B-rep法优缺点。
1973年在英国剑桥大学由I· C· Braid等建成了BUILD系统 1973年日本北海道大学公布了TIPS-1系统 1978年，Shape Data的ROMULUS系统问世 1980年 Evans和Sutherland开始将ROMULUS投放市场
目前市场上已有许多商品化的几何造型系统。
国外： AUTOCAD、CATIA、I - DEAS 、Pro/Engineer、
1
第八章 几何造型简介
8.1 概述 8.1.1 几何造型定义 几何造型是计算机及其图形
工具表示描述物体形状，设计几 何形体，模拟物体动态处理过程 的一门综合技术。包括： 1、曲面造型：B样条曲面，Coons 2、实体造型 3、特征造型：面向制造全过程，实现CAD/CAM集成重要手段 三种造型关键是实体造型，后面重点讨论实体造型。
画、边、点之间的拓扑关系
16
8.3.2 边界表示（B-rep）法
2、形体边界表示法 （1）分层表示 将形体面、边、顶点的信息分别记录，建立层与层 之间的关系，其信息包括几何信息和拓扑信息。 （2）翼边结构 以边为核心来组织形体数据
（3）优缺点 优点：可直接用几何体面、边、点来定义数据， 方便图形绘制。 缺点：数据结构复杂，存储量大。
27
8.3.5 分解表示法（D-rep）
先讨论四叉树再讨论八叉树。 1、四叉树
四叉树处理图形基本思想：假定图形由N ×N个像素构成， 且 N＝ 2m。将图形四等分，划分后可能出现三种情况：
（1）图形不占区域：白色区域，不必再划分；
三维形的投影了解俯视和立体的表示方法
三维形的投影了解俯视和立体的表示方法投影是对于三维形的表达方法，通过将三维形投射到二维平面上来呈现其形状和结构。
在投影的过程中，俯视图和立体图是两种常用的表示方法。
本文将介绍三维形的投影，包括俯视图和立体图的含义、表达方法以及其在不同领域的应用。
一、俯视图的表达方法俯视图是指从上方向下看的视角，类似于鸟瞰图。
在俯视图中，三维形的上、前、后、左、右等各个方向的轮廓都能够清晰地展现出来，同时可以准确表达三维形各个部分之间的关系。
俯视图的表达方法有几种常见的方式：1. 平面投影法：将三维形放置在平面上，然后从上方垂直向下投影，得到的投影图即为俯视图。
这种方法通常用于制图和建筑设计中，能够准确地表示尺寸和比例。
2. 效果图法：在计算机图形学中，可以通过三维建模软件将三维形转化为俯视图的效果图。
这种表达方法更加直观生动，适用于室内设计、游戏开发等领域。
二、立体图的表达方法立体图是指通过投影方法将三维形体现在二维平面上的一种图形表达方式。
与俯视图不同，立体图可以呈现三维形的各个侧面，更加贴合实际物体。
立体图的表达方法有几种常见的方式：1. 正射投影法：通过将不同侧面的立体形分别投影到垂直的平面上，再将各个投影图进行组合，得到整个立体图。
这种方法常用于工程制图和机械设计中，能够准确地表示尺寸和形状。
2. 透视投影法：透视投影法是一种能够表现三维效果的投影方法，在绘画和建筑设计中广泛应用。
通过透视原理，在二维平面上用特定的透视点和透视线来表达三维形的立体感，使观者能够感受到深度和空间关系。
三、俯视图和立体图的应用俯视图和立体图作为三维形投影的主要表达方法，在多个领域中得到广泛应用。
1. 建筑设计与室内设计：在建筑设计与室内设计过程中，用俯视图和立体图能够清晰地展示整体规划、空间布局、材质效果等信息，帮助设计师和客户更好地理解和沟通设计意图。
2. 工程制图与机械设计：在工程制图和机械设计中，用俯视图和立体图能够准确地表示物体尺寸、形状和结构，为制造、加工等工艺提供依据。
图形学-8-三维对象表示方法
三维对象表示方法三维实体描述方法：1.边界表示 多边形表面2.空间区分 立体构造 八叉树 分形多边形表面：几何表：顶点坐标和用来标识多边形表面空间方向的参数点表 边表 面表欧拉公式：V-E+S=2（V 为顶点数，E 为棱线数，S 为面数）凡是满足欧拉公式的形体均称为欧拉形体属性表：指明物体透明度及表面反射度的参数和纹理特征曲线曲面：样条曲线/面：样条曲线：通过一组指定点集而生成的平滑曲线的柔性带；样条曲面：可以使用两组正交样条曲线进行描述；、y K y y y K ''≈<<''+''=,1|:|when )1(232曲率公式：曲线不同要求：0阶连续 1阶连续 2阶连续Bezier 样条：N+1个控制点 控制点P k =(x k ,y k ,z k ) 混合函数∑==n k n k k u B P u P 0,)()(P K :控制点位置向量B k,n (u) = C(n,k) * u k * (1-u)n-kC(n,k) = n! / (k!(n-k)!)实体构造：由简单物体构成复杂物体1. 扫描表示：基于一个元素(点、线、面等)或一个形体沿指定路径运动而生成的新的形体2. 结构实体几何法：通过两个指定物体间的并、交、差等集合操作而生成新的物体八叉树8叉树的表示应用三维形体的分解.它对一个外接三维立方体进行递归分解；直至所有小立方体单元要么全部均质，要么全部空，或已分解到规定的分解精度为止。
分形几何方法基本特征1.每点处无限细节2.整体和部分的自相似性分数维：我们知道某些形状相同的几何体放在一起可以组成一个较大的它们的复制品。
例如，需要2条相同的线段（1维的）组成长度扩大到两倍的一条线段。
需要4个相同的正方形（2维几何体）组成棱长扩大到两倍的一个正方形。
需要8个相同的正方体组成一个边长扩大到2倍的一个正方体。
一般的，需要2^d个相同的d维超立方体组成边长扩大到两倍的一个大的d维超立方体；需要c=a^d个相同的几何体组成一个边长扩大a倍的大复制品。
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1
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表面模型
❖ 缺点： ❖ 不能有效的用来表示实体 ❖ 原因： ❖ 1、表面模型中的所有面未必形成一个封
闭的边界 ❖ 2、各个面的侧向没有明确定义，即不知
道实体位于面的哪一侧
2020/7/8
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实体模型
实体模型
❖用来描述实体，主要用于CAD/CAM ❖包含了描述一个实体所需的较多信息，如几何信
2020/7/8 询问形体的属性及其浙有江关大学参计数算机学院
1
形
❖ 在计算机中形体一 般定义为六层拓扑 结构，首先介绍在 三维空间中基本术 语的定义。
体 形体(object) 外壳(shell) 面(face)
边(loop)
环(loop) 顶点(vertex)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2020/7/8
曲线和直线方程
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息、拓扑信息，可以支持多种运算，如欧拉运算 等。
2020/7/8
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表示形体的两种模型
❖ 过程模型
以一个过程和相应的控制参数描述 例如
❖ 用一些控制参数和一个生成规则描述的植物
以一个数据文件和一段代码的形式存在 包括----粒子系统、L系统、迭代函数系统等
2020/7/8
2020/7/8
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v2
e2
线框模型
s1 e3 v3 e10 s5
线框模型：将形体表示成 一组轮廓线的集合。
v6 e7s2 e11 e6
s6
一般地，画出了形体的棱线与
v7
v1
s4 e4
e1
e9
v4
v5 e8
e2 e12 s3
v8
轮廓线就能唯一地表示出来。
如图，八个顶点可以定义一个
引言
❖ 三维图形在科学研究和工程技术中有着广泛的应用。在CAD中，需 要对所设计的作品从不同的角度进行审视。计算机几何造型就是 用计算机系统来表示、控制、分析和输出三维形体。所以几何造 型是计算机图形学中一个十分重要的应用领域，它是CAD/CAM和 CIMS系统的核心技术，也是用来实现计算机辅助设计的基本手段。 几何造型的功能：
形体输入，即把形体从用户格式转换成计算机内部格式；
图形数据的存储和管理；
图形控制，如对形体进行平移、缩放、旋转等几何变换；
图形修改，如应用集合运算、欧拉运算、有理B样条操作及其 交互手段实现对形体局部或整体修改；
图形分析，如形体的容差分析，物质特性分析等；
图形显示输出，如消隐、光照、颜色的控制等；
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实体的定义
❖ 抽象带来的问题
计算机中表示的物体是无效的 不能够客观存在
❖ 为什么要求客观存在
CAD/CAM的需求
❖ 什么是客观存在（有效）—实体的定义
具有一定的形状 具有封闭的边界（表面) 内部连通 占据有限的空间 经过运算后，仍然是有效的物体
2020/7/8
点的 几何 坐标
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形体
❖ 体素 具有有限个参数定义，且简单 的连续封闭的形体称为体素， 如长方体、圆柱体、圆锥、球、环等。
❖ 半空间 集合{P|F(P)≤0}成为半空间，其中P为R3中的一点，F为一个平面， 当F=0时，表示一个平面，这个平面的半空间可以由 F(P)=ax+by+cz+d定义的平面加上在平面某一侧的所有点组成。显 然一个长方体可以看成是6个平面半空间的交。
❖ 几何信息 用来表示形体的几何性质和度量关系称为几何信息。
❖ 拓扑信息 用来表示形体之间的连接关系称为拓扑信息。
2020/7/8
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表示形体的两种模型
❖ 模型分类
2020/7/8
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4
表示形体的两种模型
❖ 数据模型
完全以数据描述 例如
❖用以8个顶点表示的立方体 ❖以中心点和半径表示的球 以数据文件的形式存在 包括----特征表示、空间分割表示、推移表示、边 界表示、构造实体几何表示等 进一步分为 ❖线框模型 ❖表面模型 ❖实体模型
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实体的定义
❖ 将三维物体看做一个点集，它由内点和 边界点共同组成。
❖ 内点：具有完全包含于该点集的充分小 的邻域
❖ 边界点：不具有内点性质的点集
2020/7/8
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实体的定义
A是一个点集，定义点集的正则运算如下： ❖ i：取内点运算 ❖ c: 取闭包运算
❖ 正则运算r r • A c •i • A
长方体，但还不足以识别它，
如果定义了棱线，则无论如何
放置长方体都能唯一地表示了。
对于多面体由于其轮廓线和棱
线通常是一致的，所以多面体
的线模型更便于识别，且简单。
2020/7/8
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线框模型
优点：简单、处理速度快
缺点：
1、对于非平面多面体，如圆柱、球等形体， 其轮廓线随观察方向的改变而改变，无法用 一组固定的轮廓线来表示它们。
❖ 二维流形
如果把线框模型中的棱线包围的部分定义为 面，所形成的模型便是表面模型。其数据结 构是在线模型的基础上附加一些指针，有序 地连接棱线。下图中表面编号表示第几个表 面，表面特征表面是平面还是曲面。
形体与其表面一一对应，适合于真实感显示
2 表面编号 5
顶点 属 连接指针 号性
表面特征 0
1202
起始指针 1
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实体的定义-举例说明
❖ 阴影部分：物体的内部区域 ❖ 黑色部分：边界 ❖ (a)图取内点->(b)图求闭包->(c)图
❖ 正则运算：去除与物体维数不一致的悬挂部分 或孤立部分。
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实体的定义
❖ 实体的定义—可计算的条件
正则点集 表面是二维流形
❖ i • A：A的全体内点组成的集合，称为A 的内部
❖ c • i • A为A的内部的闭包的运算，是 i • A与其边界点的并集。
2020/7/8
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实体的定义
❖ 正则点集
r • A 称为A的正则点集 称A为正则点集，如果它满足 r • A A
❖ 问题：正则点集是实体？
2020/7/8
2、线框模型与形体之间不存在一一对应关系： 它仅仅通过给定的轮廓线约束所表示形体的 边界面，而在轮廓线之间的地方，形体的表 面可以任意变化。
3、没有形体的表面信息，不适于真实感显示， 由此导致表示的形体可能产生二义性。
2020/7/8
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表面模型
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❖表面模型
将形体表示成一组表面的集合