第八章 三维形体的表示
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三维形的体积与表面积
三维形的体积与表面积对于我们身边的三维物体来说，了解其体积和表面积是非常重要的。
体积和表面积是描述三维物体大小和形状的重要参数，它们在数学和实际应用中都具有广泛的应用。
一、体积的概念和计算方法体积是指三维物体所包含的空间的大小。
常见的三维物体包括立方体、圆柱体、球体等。
不同的物体有不同的计算方法。
1. 立方体的体积计算方法：立方体的体积可以通过边长的乘积得出，即V = a³，其中a为立方体的边长。
2. 圆柱体的体积计算方法：圆柱体的体积可以通过底面积乘以高得出，即V = πr²h，其中r为底面圆的半径，h为圆柱体的高度。
3. 球体的体积计算方法：球体的体积可以通过四分之三乘以半径的立方得出，即V =(4/3)πr³，其中r为球体的半径。
二、表面积的概念和计算方法表面积是指三维物体外部各个面的总面积。
同样，不同的物体有不同的计算方法。
1. 立方体的表面积计算方法：立方体的表面积可以通过六个面的面积之和得出，即S = 6a²，其中a为立方体的边长。
2. 圆柱体的表面积计算方法：圆柱体的表面积可以通过侧面积、底面积和顶面积之和得出，即S = 2πrh + 2πr²，其中r为底面圆的半径，h为圆柱体的高度。
3. 球体的表面积计算方法：球体的表面积可以通过球冠的表面积再加上底面积得出，即S = 2πrh + 4πr²，其中r为球体的半径，h为球冠的高度。
三、体积和表面积的意义和应用1. 建筑设计：在建筑设计中，深入了解建筑物的体积和表面积可以帮助设计师更好地规划空间，确定建筑物的大小和外观。
2. 容器设计：制作容器时，计算容器的体积可以帮助确定容器的容量，而计算表面积可以帮助确定所需的材料。
3. 自然科学：研究天体、地球等自然现象时，了解物体的体积和表面积可以帮助科学家深入了解它们的性质和特征。
4. 工程施工：在工程施工中，了解建筑物的体积和表面积可以帮助工程师合理安排材料和设备，提高施工效率。
第八讲三维形体的真实感图形与虚拟设计PPT课件
1 简介
CAD造型技术发展的一个新方向是虚拟产品造型。传统产 品设计中，常需要制作产品零件模型来检查设计效果。 如采用虚拟产品技术，用计算机生成真实感图形，就可 以方便地在屏幕上以各种角度显示产品的真实视图，并 直接对外形进行交互式的修改，这种技术可以代替实物 模型的制作。 三种表现形体的方式： 线框图、消隐图和真实感图。
B
Bxmin , Bymin
(2)多边形之间的相交检测
当多边形外接矩形相交时，要判定多边形是否重叠， 需要对各边进行求交运算。在对边做求交运算之前，还可 以使用边的外接矩形相交检测来排除大量不相交的情况。
在下图中，只有c 边和g 边以及f 边和g 边的外接矩 形相交，两个多边形之间其他边均不可能相交。 判定c 和g 或者f和g 是否相交，需要通过线段求交运算来实现。
以下假定消隐算法都是在规范化观察坐标系中进行的，
即所有坐标(x,y,z)都是在规范化观察坐标系中定义的。
任何表面消隐算法必须从透视投影的投影中心或沿着平 行投影的投影方向确定哪些边和哪些面是可见的。即沿 着每条投影线确定最近的可见边与可见面。
可见性问题可归结为：给定两点P1(x1,y1,z1)和 P2(x2,y2,z2)，一个点是否遮挡另一点？这可通过以 下两步进行解答：
（3）当所有的多边形被处理完毕，帧缓存区中 保留的是已消隐的最终结果。
深度缓存算法Zbuffer() : { //初始化深度缓存ZB和帧缓存FB.
ZB(i,j)=1(即显示空间中的最大z值); FB(i,j)=背景色. i=0,1,…,H-
1;j=0,1,…,V-1 for(每一个多边形)
{ // 扫描转换该多边形 for(该多边形所覆盖的每个像素(i,j)) { 计算多边形在该像素的深度值
三维几何认识不同的三维形
三维几何认识不同的三维形三维几何是研究立体空间中各种形状、大小和位置关系的数学分支。
在三维几何中，我们将具有三个维度的物体称为三维形，它们可以是实体的，也可以是表面的。
不同的三维形体具有独特的性质和特点，本文将介绍几种常见的三维形体及其相关知识。
一、立方体立方体是一种具有六个面、八个顶点和十二条边的多面体。
它的所有面都是正方形，所有边长相等。
立方体是一种非常常见的三维形体，在日常生活中经常可以见到，如骰子等。
立方体的体积可以通过边长的立方计算得出，即V = a³，其中V表示立方体的体积，a表示立方体的边长。
二、球体球体是一种具有无穷多个点且到球心距离相等的立体。
球体有一个很重要的属性，即半径，它决定了球体的大小。
球体的体积可以通过公式V = (4/3)πr³计算得出，其中V表示球体的体积，r表示球体的半径。
三、圆柱体圆柱体是一种具有两个平行且相同大小的圆底和一个侧面的立体。
圆柱体的体积可以通过公式V = πr²h计算得出，其中V表示圆柱体的体积，r表示底面圆的半径，h表示圆柱体的高度。
四、锥体锥体是一种具有一个圆底和一个侧面的立体。
锥体的体积可以通过公式V = (1/3)πr²h计算得出，其中V表示锥体的体积，r表示底面圆的半径，h表示锥体的高度。
五、棱柱棱柱是一种具有两个相等、平行且相交的多边形底和多个侧面的立体。
棱柱的体积可以通过公式V = 底面积 × h计算得出，其中V表示棱柱的体积，底面积表示底面多边形的面积，h表示棱柱的高度。
六、棱锥棱锥是一种具有一个多边形底和一个顶点到底面各点的连线的侧面的立体。
棱锥的体积可以通过公式V = (1/3) ×底面积 × h计算得出，其中V表示棱锥的体积，底面积表示底面多边形的面积，h表示棱锥的高度。
以上是几种常见的三维形体及其体积计算公式，掌握了这些知识，我们可以更好地理解和利用立体空间中的各种形状。
三维形体的表示
实体的定义（2）
❖ 将三维物体看作一个点集, 由内点 与边界点共同组成
❖ 内点：是指点集中的这样一些点, 点集的正则它 小运们 的算r：具 领有 域完全包含于i：该取内点点集运算的充分
❖ 边r •界A点：c •指i •那A些不具c：备取此闭包性运算质的点
集中的点。
(a) 带有悬挂边、孤立边、 (b) 物体的内部 孤立点的二维物体
偶数个多边形共享。 简单多面体
与球拓扑同构的多面体，即它可以连续变换成一个球。
二、欧拉公式 v-e+f=2
其中：V--顶点数 e--边数 f--面数
欧拉公式是一个多面体是简单多面体的 必要条件
广义欧拉公式
v-e+f-r=2(s-h)
r: 多面体表面上孔的个数 s: 相互分离的多面体数 h: 贯穿多面体的孔洞个数
象，不适合真实感显示
❖ 表面模型
将形体表示成一组表面的集合 形体与其表面一一对应，适合于真实感显示
实体模型
用来描述实体，主要用于CAD/CAM 包含了描述一个实体所需的较多信息，如几何信息、拓扑信 息
过程模型
❖ 以一个过程和相应的控制参数描述
例如： 用一些控制参数和一个生成规则描述的植物
❖ 以一个数据文件和一段代码的形式存在
包括----粒子系统、L系统、迭代函数系统等
2 实体的定义
❖ 抽象带来的问题(数学中的点线面是一 种抽象)
计算机中以数学方法描述的物体是无效的 不能够客观存在
❖ 为什么要求客观存在
CAD/CAM的需求
❖ 什么是客观存在(有效)—实体的定义
具有一定的形状 具有封闭的边界（表面) 内部连通的三维点集 占据有限的空间
个子立方体，对每一个子立方体进行同样的处理
CAD(计算机辅助设计技术)第8章：三维形体显示
3.
ax+by+cz+d=0
4.则L与Q之交点(x,y,z)应满足：
5.
x=x1+pt
6.
y=y1+qt
7.
z=z1+rt
8.
ax+by+cz+d=0
9.其中，p=x2-x1,q=y2-y1, r=z2-z1, 0<=t<=1
求解可得:
t a 1 b x 1 c y 1 d z / a b p c q r
xp x, yp y
(x,y,z)
yv (x,y)
xv
zvp
zv
当zvp=0，即投影平面为xvyv坐标平面时，zp=0。这时正交平 行投影的矩阵表达式为：
1 0 0 0
xp,
yp,
zp,1
x,
y,
z,10
0
1 0
0 0
0 0
0 0 0 1
8.4.2 透视投影
投影参考点用的是观察坐标系中的三维点。假设投影参 考点位于zv轴上的zprp处，则描述投影线的参数方程为：
3. 确定yv轴的正向。方法如下： 选取一个观察正向V，将它投射到过P0并与N垂直的
平面上。注意：可任意选取不与N平行的V。
yv P0
V
N
zv
xv
yv
Pv0
n u
V zv
xv
补充说明：
uvn系统
选定V后，建立yv和xv轴的另一种方法是：由N,V作 叉积求出第三个向量U，它垂直于N和V，由此确定 xv轴 。然后由N和U作叉积确定与它们垂直的向量 v。
（2） 透视投影的情况
Frustum 平截头体
三维实体表示方法
(a)带有悬挂边、孤立边 和孤立点的二维物体
(b)物体的内部 (c)物体内部的闭包
☆几何造型基础 ● 实体的定义
◘ 现实实体性质 ◘ 点集拓扑表示 ◘ 正则点集定义 ◘ 二维流形定义 ◘ 正则运算定义 ◘ 正则运算原理 ◘ 正则运算计算 ● 几何模型定义 ☆实体表示方法 ● 多边形面表示 ● 特征表示方法 ● 空间分割表示 ● 推移表示方法 ● 边界表示方法 ● 构造几何实体 ☆实体表示比较
实体的点集拓扑表示
从点集拓扑的角度可给出实体的简洁定义。 – 三维物体可看作一个点集，它由内点与边界点共同 组成。 • 内点是指点集中具有完全包含于该点集的充分小 邻域的一些点。 • 边界点就是指那些不具备此性质的点集中的点。 – 定义点集的正则运算r： r·A=c·i·A。 其中：i为取内点运算，c取闭包运算，A为一个点 集，那么， • i·A即为A的全体内点组成的集合，称为A的内部， 它是一个开集。 • c·i·A为A的内部闭包，是i·A与其边界点的并集， 它本身是一个闭集。
• 实体的定义(可计算条件)： – 对于一个占据有限空间的正则点集，如果其表面是 二维流形，则该正则点集为实体(有效物体)。 • 这个描述中的条件是在计算机中可检测的，对衡 量一个模型表示是否为实体非常有用。
几何造型技术
☆几何造型基础 • 造型技术：研究如何在计算机中建立恰当的模型表示这
● 实体的定义
些物体的技术。
● 几何模型定义 ☆实体表示方法 ● 多边形面表示 ● 特征表示方法 ● 空间分割表示 ● 推移表示方法 ● 边界表示方法
• 真实世界中存在着千姿百态的物体； • 它是计算机图形学的重要研究内容之一。 – 其中，实体造型技术关注表示实体的信息的完备性 和可操作性，
计算机图形学课件第八章-几何造型简介
可以预计，在这一发展道路上，将会不断出现新成果。
32
作业
1．几何造型有哪三种模型？各有什么特点？ 2．分析比较CSG法与B-rep法优缺点。
1973年在英国剑桥大学由I· C· Braid等建成了BUILD系统 1973年日本北海道大学公布了TIPS-1系统 1978年，Shape Data的ROMULUS系统问世 1980年 Evans和Sutherland开始将ROMULUS投放市场
目前市场上已有许多商品化的几何造型系统。
国外： AUTOCAD、CATIA、I - DEAS 、Pro/Engineer、
1
第八章 几何造型简介
8.1 概述 8.1.1 几何造型定义 几何造型是计算机及其图形
工具表示描述物体形状，设计几 何形体，模拟物体动态处理过程 的一门综合技术。包括： 1、曲面造型：B样条曲面，Coons 2、实体造型 3、特征造型：面向制造全过程，实现CAD/CAM集成重要手段 三种造型关键是实体造型，后面重点讨论实体造型。
画、边、点之间的拓扑关系
16
8.3.2 边界表示（B-rep）法
2、形体边界表示法 （1）分层表示 将形体面、边、顶点的信息分别记录，建立层与层 之间的关系，其信息包括几何信息和拓扑信息。 （2）翼边结构 以边为核心来组织形体数据
（3）优缺点 优点：可直接用几何体面、边、点来定义数据， 方便图形绘制。 缺点：数据结构复杂，存储量大。
27
8.3.5 分解表示法（D-rep）
先讨论四叉树再讨论八叉树。 1、四叉树
四叉树处理图形基本思想：假定图形由N ×N个像素构成， 且 N＝ 2m。将图形四等分，划分后可能出现三种情况：
（1）图形不占区域：白色区域，不必再划分；
32
作业
1．几何造型有哪三种模型？各有什么特点？ 2．分析比较CSG法与B-rep法优缺点。
1973年在英国剑桥大学由I· C· Braid等建成了BUILD系统 1973年日本北海道大学公布了TIPS-1系统 1978年，Shape Data的ROMULUS系统问世 1980年 Evans和Sutherland开始将ROMULUS投放市场
目前市场上已有许多商品化的几何造型系统。
国外： AUTOCAD、CATIA、I - DEAS 、Pro/Engineer、
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第八章 几何造型简介
8.1 概述 8.1.1 几何造型定义 几何造型是计算机及其图形
工具表示描述物体形状，设计几 何形体，模拟物体动态处理过程 的一门综合技术。包括： 1、曲面造型：B样条曲面，Coons 2、实体造型 3、特征造型：面向制造全过程，实现CAD/CAM集成重要手段 三种造型关键是实体造型，后面重点讨论实体造型。
画、边、点之间的拓扑关系
16
8.3.2 边界表示（B-rep）法
2、形体边界表示法 （1）分层表示 将形体面、边、顶点的信息分别记录，建立层与层 之间的关系，其信息包括几何信息和拓扑信息。 （2）翼边结构 以边为核心来组织形体数据
（3）优缺点 优点：可直接用几何体面、边、点来定义数据， 方便图形绘制。 缺点：数据结构复杂，存储量大。
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8.3.5 分解表示法（D-rep）
先讨论四叉树再讨论八叉树。 1、四叉树
四叉树处理图形基本思想：假定图形由N ×N个像素构成， 且 N＝ 2m。将图形四等分，划分后可能出现三种情况：
（1）图形不占区域：白色区域，不必再划分；
第八章 投影变换分解
三.投影变换原理（10/15）
– 透视投影变换矩阵
M per
0 0 0 0 0 1
采用观察坐标系，投影简单
– 如何建立观察坐标系 坐标原点----聚焦参考点在投影平面上的投影， 称为观察参考点VRP（View Reference Point) n轴----照相机镜头方向（投影平面的法向） u轴----照相机向上的方向（观察正向） v轴---- u v n
三. 投影变换原理
三维设备 坐标系
演示
二. 投影介绍（4/9）
平面几何投影及其分类
– 投影 将n维的点变换成小于n维的点 将3维的点变换成小于2维的点 – 投影中心(COP:Center of Projection) 视觉系统—观察点、视点 – 投影面 不经过投影中心 平面--照相机底片 曲面—球幕电影视网膜
第八章
内容: 一. 导引 二. 投影介绍 三. 投影变换原理 四. 总结 五 .补充内容
投影变换
一. 导引（1/7）
三维图形的基本问题
在二维屏幕上如何显示三维物体？
– 显示器屏幕是二维的 – 显示对象是三维的 – 解决方法----投影(平行投影或透视投影)
一. 导引（2/7）
三维图形的基本问题
– 解决方法----消除隐藏面与隐藏线
如何反映遮挡关系？（消隐）
一.导引（4/7）
三维图形的基本问题
– 人们观察现实世界产生的真实感来源于 空间位置关系----近大远小透视关系和遮挡关 系 光线传播引起的物体表面颜色的自然分布 颜色是光刺激人的视网膜所产生的视觉印象， 反映了光源所发出的光的主要特性，物体对 光的反射、折射、投射等物理属性 – 解决方法
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形体
面
Pt F
R3中非空、连续、共面且封闭的子集称为面F，
其边界(记为∂F)是有限条线段的并集， Pt表示含有F的唯一平面。 面是形体表面的一部分，且具有方向性.
北大计算机系多媒体与人机交互
形体
环
由有序、有向边组成的面的封闭边界称 为环，环中任意边都不能自交，相邻两 条边共享一个端点，环又分为内环和外 环。内环是在已知面中的内孔或凸台面 边界的环，其边按逆时针方向。外环是 已知面的最大外边界的环，其边按顺时 针方向，按这种方式定义，在面上沿着 边的方向前进，面的内部始终在走向的 右侧。
形体输入，即把形体从用户格式转换成计算机内部格式； 图形数据的存储和管理； 图形控制，如对形体进行平移、缩放、旋转等几何变换； 图形修改，如应用集合运算、欧拉运算、有理B样条操作及 其交互手段实现对形体局部或整体修改； 图形分析，如形体的容差分析，物质特性分析等； 图形显示输出，如消隐、光照、颜色的控制等； 询问形体的属性及其有关参数
北大计算机系多媒体与人机交互
形体
在计算机形体一般 定义为六层拓扑结构 ，首先介绍在三维空 间中基本术语的定义 。
形体 (object) 外壳(shell)
面(face)
环(loop)
边(loop)
顶点 (vertex)
曲线和直 线方程
点的 几何坐标
北大计算机系多媒体与人机交互
形体
y z
体
由封闭表面围成的有效空间称为体；一个形体Q是R3空间中非空、有x 界的封闭子集。其 边界（记为∂Q） 是有限个面的并集，而外壳是 形体的最大边界。一个单位立方体可定义为：
北大计算机系多媒体与人机交互
形体
v1
边
f1 e f2 v2
形体内两个相邻面的交界称为边，一条边有且仅有两个
相邻面。两个端点确定一条边，这两个端点分别称为该
边的起点和终点。假设Q是一个形体，E(Q)是形体边的集
合，则在∂Q(形体的边界)中E(Q)满足下属条件的所有线
段的集合：
边e的两个端点属于V(Q)；
方体都能唯一地表示了。对于多
面体由于其轮廓线和棱线通常是
一致的，所以多面体的线模型更
便于识别，且简单。
北大计算机系多媒体与人机交互
线框模型
优点：简单、处理速度快 缺点：
1、对于非平面多面体，如圆柱、球等形体， 其轮廓线随观察方向的改变而改变，无法用 一组固定的轮廓线来表示它们。
2、线框模型与形体之间不存在一一对应关系 ：它仅仅通过给定的轮廓线约束所表示形体 的边界面，而在轮廓线之间的地方，形体的 表面可以任意变化。
地位于物体内、物体外或面内，顶点又是∂F(面边界)中
两条不共线的线段的交点。
北大计算机系多媒体与人机交互
形体
体素 具有有限个参数定义，且简单 的连续封闭的形体称为体素， 如长方体、圆柱体、圆锥、球、环等。 半空间 集合{P|F(P)≤0}成为半空间，其中P为R3中的一点，F为一个平面， 当F=0时，表示一个平面，这个平面的半空间可以由 F(P)=ax+by+cz+d定义的平面加上在平面某一侧的所有点组成。显然 一个长方体可以看成是6个平面半空间的交。 几何信息 用来表示形体的几何性质和度量关系称为几何信息。 拓扑信息 用来表示形体之间的连接关系称为拓扑信息。
3、没有形体的表面信息，不适于真实感显示 ，由此导致表示的形体可能产生二义性。
北大计算机系多媒体与人机交互
表面模型
表面模型 将形体表示成一组表面的集合
如果把线框模型中的棱线包围的部分定义为 面，所形成的模型便是表面模型。其数据结 构是在线模型的基础上附加一些指针，有序 地连接棱线。下图中表面编号表示第几个表 面，表面特征表面是平面还是曲面。
边e中没有一个内部点属于V(Q)（所有顶点的集 合）
边e上每个点，都有两个不同的面，即存在两个
面fi，fi≤∂Q使得边e∈fi∩fj；
形体Q的边框线WF(Q)是由有序对(V(Q),E(Q))所 北大计算机系多媒体与人机交互
形体
点
v1 f1 e f2
v2
边的端点称为点，点不能出现在边的内部，也不能孤立
北大计算机系多媒体与人机交互
表示形体的两种模型
数据模型
完全以数据描述 例如
用以8个顶点表示的立方体 以中心点和半径表示的球 以数据文件的形式存在 包括----特征表示、空间分割表示、推移表示、 边界表示、构造实体几何表示等 进一步分为 线框模型 表面模型 实体模型
北大计算机系多媒体与人机交互
{(x,y,z)∈R3|0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1} 其中一个表面可表示为：
{(1,y,z)∈R3|0≤y≤1,0≤z≤1} 必须注意：并没有规定形体必须是一个连续的封闭集合，目的是用 这样的定义来扩大几何造型的域，使得形体可以由不连续的体素， 或是仅有某些相交的形体组成。
北大计算机系多媒体与人机交互
第八章 三维形体的表 示
2020年4月22日星期三
引言
三维图形在科学研究和工程技术中有着广泛的应用。在CAD中，需 要对所设计的作品从不同的角度进行审视。计算机几何造型就是用 计算机系统来表示、控制、分析和输出三维形体。所以几何造型是 计算机图形学中一个十分重要的应用领域，它是CAD/CAM和CIMS系统 的核心技术，也是用来实现计算机辅助设计的基本手段。几何造型 的功能：
北大计算机系多媒体与人机交互
实体模型
实体模型
用来描述实体，主要用于CAD/CAM 包含了描述一个实体所需的较多信息，如几何信
形体与其表面一一对应，适合于真实感显示
1
2
顶点 属 连接指针
表面编号 5
号性
表面特征 0
1202
起始指针 1
2303
顶点个数 4
3404
4
3
41
1
北大计算机系多媒体与人机交互
表面模型
缺点： 不能有效的用来表示实体 原因： 1、表面模型中的所有面未必形成一个封 闭的边界 2、各个面的侧向没有明确定义，即不知 道实体位于面的哪一侧
线框模型
v2
e2
v1
s1
s4
e1
e3v3 e10 s5
e4 e9 v
线框模型：将形体表示成 一组轮廓线的集合。
v6e7s2e11e6 s6
v5 e8
e2e1 s
一般地，画出了形体的棱线
v7
v
与轮廓线就能唯一地表示出来。
如图，八个顶点可以定义一个长
方体，但还不足以识别它，如果
定义了棱线，则无论如何放置长