证明：无理数比有理数多。
有理数和无理数的概念
有理数和无理数的概念在我们的数学世界中，有理数和无理数是两个非常重要的概念。
它们共同构成了实数的大家庭，为我们解决各种数学问题和描述现实世界中的数量关系提供了坚实的基础。
首先，让我们来聊聊有理数。
有理数，简单来说，就是可以表示为两个整数之比的数。
这里的两个整数，分母不能为零。
比如，整数 5可以写成 5/1，－3 可以写成－3/1，所以 5 和－3 都是有理数。
再比如分数 2/3、7/8 等等，也都是有理数。
小数中的有限小数和无限循环小数也属于有理数。
比如 025 可以写成 1/4，0333可以写成 1/3，这些都是有理数。
有理数在我们的日常生活中随处可见。
当我们去商店买东西，商品的价格通常是有理数。
比如一个苹果 25 元，这里的 25 可以写成 5/2。
在计算路程、时间和速度的关系时，所用到的数值也往往是有理数。
那无理数又是什么呢？无理数是指那些不能表示为两个整数之比的实数。
最常见的无理数就是圆周率π和自然对数的底数 e。
π约等于314159，它的小数部分是无限不循环的。
e 约等于 271828，其小数部分也是无限不循环的。
还有像根号 2 也是无理数。
我们来证明一下为什么根号 2 是无理数。
假设根号 2 是有理数，那么它可以表示为两个整数 p 和 q 的比值，且 p 和 q 互质，即（p/q）＾2 ＝ 2，p^2 ＝ 2q^2。
这意味着 p^2 是偶数，因为奇数的平方还是奇数，所以 p 也是偶数。
设 p ＝ 2k，那么（2k）＾2 ＝ 2q^2，4k^2 ＝ 2q^2，2k^2 ＝ q^2，这又说明 q 也是偶数，与 p 和 q互质矛盾，所以根号 2 是无理数。
无理数的存在让数学变得更加丰富多彩。
在几何中，无理数经常出现。
比如一个正方形的对角线长度，如果边长为 1，那么对角线的长度就是根号 2。
有理数和无理数虽然有着不同的定义和性质，但它们在数学中都有着不可替代的作用。
有理数的运算规则相对简单和明确，我们在进行加减乘除等运算时，都有固定的方法和规律可循。
2023-2024学年北京市模拟学业水平考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市模拟学业水平考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图为某品牌车型设计图，它的俯视图是哪一张？()A. B.C. D.2.一个数的倒数就是它的相反数，这样的数有多少个？()A.0B.1C.2D.无数个3.下列陈述中错误的数量为()陈述一：正方形的每一条对称轴都过它的对称中心陈述二：正方形的对角线就是它的对称轴陈述三：有且仅有4条直线同时平分正方形的周长和面积陈述四：任意一条过正方形对称中心的直线均将它分为两个全等的图形A.1B.2C.3D.44.中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M个为的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M个为的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的，加百列彩票店，比较在甲乙彩票店中奖的概率()A.彼得彩票店大B.加百列彩票店大C.一样大D.无法比较5.小明在银行中存入10000元，活期月利率为存入足够长的时间后，通过网络银行他获取了每个月的总存款包含利息信息，他惊奇的发现总存款包含利息中首数字为a的最多．则a为多少？()A.1B.2C.5D.96.我们学习过方差的表述意义，下列指标能刻画数据的离散程度有几个？()我们记：A.1B.2C.3D.47.对于实数x，我们用表示不超过x的最大整数．下列表述错误的是？()A.B.函数的最大值为1，最小值为0C.函数不存在对称轴D.随着x的增大，函数和函数越来越接近8.对于最小的n，使得任意n个人中必定存在r个人均相互认识或存在s个人互相不相识．我们称下列表述错误的是？()A.B.C.D.我不能在考场上计算出的值二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
9.小明与小李讨论小区、学校和超市的距离．小明：我从家到学校需要5分钟，从家到超市需要7分钟小李：那你从学校到超市需要多少分钟呢？小明：大约是a分钟吧假设小明行走的速度恒定不变，小明可能推测的a取值范围为__________10.光速为，光年指光运动一年的距离，一光年的距离可以用科学记数法表示为，通过估算可以得出b的值为__________.11.对于若两个不相等的实数给出命题：如果和ab都是有理数，则a和b都是有理数．这个命题是__________真/假命题．根据你的选择．完成第二空：如果这个命题是真命题，写出你的判断依据如果这个命题是假命题，直接写出一组反例．__________12.平面中有四个点交CD于点M使得三角形ABC的外接圆为表示和的关系__________13.20世纪伟大的物理学家爱因斯坦思考狭义相对论时提出了一个著名的问题：有一辆火车以速度v向前行驶，火车中有一束光以速度c竖直射入地面．此时车内有一个人观测到光射入地面所需时间为t，在车的左侧有一个人观测到光射入地面所需时间为用t表示__________提示：研究车内和车外的人看到的光的路程．再利用光速不变【探究】时间居然可以变化！你对相对论感兴趣吗？如果有兴趣，不妨阅读有关著作寻找答案．14.对于101条直线，满足，，则这101条直线最多有__________个交点．15.A国是一个思想独裁的国家，它共有m个异教，因此设立了一个异教徒监狱．监狱内有n个房间，每个房间关押一位罪犯，每个罪犯属于一个异教．如果相邻房间的犯人的宗教相同，就会发生暴乱．如果异教徒监狱进入了n个犯人，如果他们的宗教完全等可能随机，采用等可能随机的方式安排罪犯的监狱，发生暴乱的概率为__________三、解答题：本题共13小题，共104分。
有理数与无理数
谈谈有理数与无理数实数通常分为有理数和无理数两类。
这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。
本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关于有理数，我们知道得较多，其特征有：1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；m2、每个有理数都可以写成分数的形式，即，其中m和n都是整数，且nn≠0。
利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。
我们不加证明地给出关于有理数的一条结论：m当有理数的分母n能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）nm时，有理数能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。
（关于有理数与小n数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述）2无理数是指那些无限不循环小数。
大家熟悉的无理数很多，、e、π等等都是。
与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。
譬如，两个无理数的四2则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，=1。
2根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：1、任何有理数≠任何无理数；2、设是a有理数，b是无理数，则a+b，a-b，a·b（a≠0），a/b（a≠0）都是无理数。
下面着重介绍实数无理性的判定方法。
在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算2311有关，如，；与对数值有关，如log23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e（自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。
判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。
原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数m和无理数的关系，α就是有理数，故α=（n≠0），于是就得到一个具体的n等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。
比较无理数大小的几种方法
•比较无理数大小的几种方法：比较无理数大小的方法很多，在解题时，要根据所给无理数的特点，选择合适的比较方法。
一、直接法直接利用数的大小来进行比较。
①、同是正数:例:与3的比较根据无理数和有理数的联系，被开数大的那个就大。
因为3=>,所以3>②、同是负数:根据无理数和有理数的联系，及同是负数绝对值大的反而小。
③、一正一负:正数大于一切负数。
二、隐含条件法:根据二次根式定义，挖掘隐含条件。
例:比较与的大小。
因为成立所以a-2≧0即a≧2所以1-a≦-1所以≧0，≦-1所以>三、同次根式下比较被开方数法:例:比较4与5大小因为四、作差法:若a-b>0,则a>b例：比较3-与-2的大小因为3---2=3--+2=5-2<=2.5所以：5-2>0即3->-2五、作商法:a>0,b>0,若>1,则a>b例：比较与的大小因为÷=×=<1所以：<六、找中间量法要证明a>b,可找中间量c，转证a>c,c>b例:比较与的大小因为>1,1>所以>七、平方法:a>0,b>0,若a2>b2,则a>b。
例:比较与的大小()2=5+2+11=16+2()2=6+2+10=16+2所以:<八、倒数法:九、有理化法:可分母有理化，也可分子有理化。
十、放缩法:。
《有理数的大小比较》 知识清单
《有理数的大小比较》知识清单一、有理数的概念有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
有理数可以表示为两个整数之比的形式，包括有限小数和无限循环小数。
例如：5 是整数，属于有理数；025 可以写成 1/4，也是有理数；－3/5 同样是有理数。
二、有理数大小比较的方法1、数轴法数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
在数轴上，右边的数总比左边的数大。
例如，在数轴上表示出－3，－1，0，2 这几个数，从左到右依次为：－3，－1，0，2。
所以－3 ＜－1 ＜ 0 ＜ 2 。
2、法则法（1）正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数。
比如，3 是正数，大于 0；－5 是负数，小于 0；所以 3 ＞ 0 ＞－5 。
（2）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
例如，比较－2 和－5 的大小。
先求出它们的绝对值，｜－2 ｜＝2 ，｜－5 ｜＝ 5 。
因为 5 ＞ 2 ，所以－2 ＞－5 。
3、作差法对于两个有理数 a 和 b ，若 a b ＞ 0 ，则 a ＞ b ；若 a b ＝ 0 ，则a ＝ b ；若 a b ＜ 0 ，则 a ＜ b 。
比如，比较 5 和 3 的大小，5 3 ＝ 2 ＞ 0 ，所以 5 ＞ 3 。
4、作商法对于两个正数 a 和 b ，若 a ／ b ＞ 1 ，则 a ＞ b ；若 a ／ b ＝ 1 ，则 a ＝ b ；若 a ／ b ＜ 1 ，则 a ＜ b 。
对于两个负数 a 和 b ，若 a ／ b ＞ 1 ，则 a ＜ b ；若 a ／ b ＝ 1 ，则 a ＝ b ；若 a ／ b ＜ 1 ，则 a ＞ b 。
例如，比较 8 和 6 ，因为 8 ／ 6 ＝ 4 ／ 3 ＞ 1 ，所以 8 ＞ 6 。
再比如，比较－8 和－6 ，－8 ／－6 ＝ 4 ／ 3 ＞ 1 ，所以－8 ＜－6 。
三、绝对值的性质绝对值的定义：一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离。
无理数
摘要在实数系中，无理数和有理数相比较，无理数更为抽象，但它在实数系中是不可缺少的，占着重要的枢纽地位。
同时，它也是数系扩充的重要组成部分，即有理数系扩充到实数系。
对于无理数证明的研究，一方面，极大地促进了数学演绎推理的发展；另一方面，也体现了数学研究的严谨性。
因此，在研究无理数时，对于一些常见无理数的证明是非常重要的。
文章首先归纳了方根型无理数的证明方法，然后利用幂级数展开式和定积分的知识论证了一些特殊类型的无理数，最后，验证了 ，e的超越性，并借助Lindemann-Weierstrass定理证明在一定条件下的代数数的三角函数值与反三角函数值的无理性。
关键词：无理数，有理数，超越数ABSTRACTIn the real number system, irrational number is more abstract than rational number, but irrational number are indispensable and occupies an important key position in the real number system. Meanwhile, they are an important part when the rational number system is expanded to the real number system. The study of the proof of irrational number greatly promotes the development of mathematical rational deductive inference. At the same time, it also shows the rigorousness of mathematics. Therefore, the proofs of some common irrational numbers are extremely important. Firstly, the article generalizes the methods to prove irrational numbers with root type. Secondly, it uses the knowledge of power series expansion and definite integral to prove some irrational numbers with special types. Finally, the article demonstrates the transcendence of and e. Moreover, it uses Lindemann-Weierstrass theorem to prove the irrationality of trigonometric function value and anti-trigonometric function value under certain conditions.Key Words:irrational number, rational number, transcendental number目录摘要 (I)ABSTRACT ............................................ I I 一引言 . (1)二有理数与无理数的定义和性质 (1)2.1有理数与无理数的定义 (1)2.2相关性质 (1)三无理数的判定方法 (3)3.1 方根型无理数的证明 (3)3.2 幂级数证明方法 (9)3.3 利用定积分证明 (12)3.4 超越数证明法 ............................................................... 错误！未定义书签。
有理数和无理数的联系和区别
无理数在数学分析、 函数、微积分等领域
具有重要地位。
01
无限不循环小 数：无理数是 无限不循环小 数，无法用分 数表示。
02
稠密性：无理 数在实数轴上 稠密分布，即 任意两个有理 数之间都存在 无理数。
03
连续性：无理 数在实数轴上 连续分布，即 任意两个无理 数之间都存在 其他无理数。
04
超越性：无理 数是超越数， 即无理数不能 表示为整系数 多项式的根。
或积
几何：有理数 和无理数都可 以表示为几何 图形有理数是可表 示为两个整数 之比的数，无 理数是不可表 示为两个整数 之比的数。
02
有理数包括整 数和分数，无 理数包括无理 数、π、e等。
03
有理数可以进 行四则运算， 无理数不能进 行四则运算。
04
有理数在数轴 上表示为离散 的点，无理数 在数轴上表示 为连续的线。
01
都是实数：有理数 和无理数都是实数 的一部分，共同构 成了实数集。
02
相互依存：有理数 和无理数在数学中 相互依存，共同构 成了完整的实数体 系。
03
04
运算关系：有理数 和无理数可以进行 四则运算，如加法、 减法、乘法和除法。
数轴表示：有理数 和无理数都可以在 数轴上表示，有理 数在数轴上表示为 点，无理数在数轴 上表示为线段。
有理数可以进行数理逻辑运算 有理数可以进行计算理论运算 有理数可以进行信息论运算 有理数可以进行密码学运算 有理数可以进行量子计算运算 有理数可以进行人工智能运算 有理数可以进行大数据运算 有理数可以进行物联网运算 有理数可以进行区块链运算 有理数可以进行虚拟现实运算 有理数可以进行增强现实运算
物理学：力学、光学、电磁 学等物理学领域的应用
有理数与无理数辨析
有理数与无理数辨析四川省邻水县九龙中学 任贤德 2006.8在初中，我们已学过实数的有关概念，实数包括有理数和无理数。
很多同学对于有理数和无理数概念的理解较模糊，对学习造成一定影响，甚至到了高中，也存在这种现象。
为此，有必要对此进行辨析。
有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，如：218、18.25、1..6等。
我们可将整数、有限小数的小数位后面添加0，把它看成是以0为循环节的无限循环小数，如：218=218..0 ，18.25=18.25.0，在此观点下，有理数就可看成是无限循环小数。
而有理数又可化为分数，整数可看成是分母为1的分数，如：218=218/1，有限小数化成分数，先去掉小数点得到的数作为分子，若小数点后的位数有n 位,则分母就为n 10，如18.25=1825/100=73/4，无限循环小数可化为分数（其化法见后），如：1..6=4/3，所以有理数都可表示成分数，即表示成q/p(其中p 、q 是整数，且p 、q 互质)。
分数化小数时，若除不尽，则得到的小数一定是无限循环小数，因此分数与小数可以互化。
与此相对，无理数就是无限不循环的小数，如：2、3、π=3.1415926……、e=2.71828……、0.101001000……。
有人说无理数就是开方开不尽的数，这种理解是片面的，当然开方开不尽的数是无理数，但如π=3.1415926……、e=2.71828……并不是因为开方开不尽而得到的数，又如0.101001000……，1的后面依次多一个0，也不是因为开方开不尽而得到的数，所以前面对于无理数的理解是错误的，必须纠正。
下面再来谈谈有关的几个问题：1．（混）循环小数化为分数（此法证明须用到无穷递缩等比数列，证明较繁，故略去）（1） 无限循环小数化分数无限循环小数化分数时，其分母为9···90···0,其中9的个数为一个循环节的数字个数，0的个数为循环节前、小数点后0的个数，其分子为一个循环节的数字。
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证明：无理数比有理数多
证明之前需要清楚以下几个概念和定义。
1、有理数包含整数和分数，任意一个有理数可以化成a/b，a、b为整数且b不等于0
2、无理数是无限不循环小数，是一切不属于有理数的实数。
3.证明两个数集一样多可以用一一对应的方法。
可数集合是指能和自然数一一对应的集合。
例如偶数2 4 6 8 10……
自然数1 2 3 4 5 6 7 8……
任意一个自然数n，都可以有偶数2n与之对应。
所以整数与偶数一样多。
偶数集是一个可数集合。
--------------------------------------------------------------------------------------- 首先证明，任意两个可数集的合集仍为可数集。
设集合A={a1,a2,a3...},B={b1,b2,b3...}且A,B集合均为可数集合
也就是
A: a1 a2 a3 ... B: b1 b2 b3 ...
分别与自然数相对应
1 2 3 ... 1 2 3 ...
则AB合集{a1,b1,a2,b2,a3,b3...} 可与自然数一一对应
a1 b1 a2 b2 a3 b3 ...
1 2 3 4 5 6 ...
所以两个可数集的合集是可数集。
下面证明有理数是可数集，也就是有理数和自然数一样多。
有理数可以化成a/b,a,b皆为整数且b不为0,将它化成集合C=(a,b)
因为a为整数，b为不为0的整数，所以a、b都是可数的。
设a=1,则可以得到新的集合Ca={(1,1),(1,-1),(1,2),(1,-2)...}
因为b是可数的，所以Ca集合也是可数的。
设b=1,得到集合Cb={(1,1),(-1,1),(2,1),(-2,1)...}
同上，Cb也是可数集合。
根据前一证明，两个可数集的合集可数，所以Ca与Cb的合集C为可数集合，即有理数为可数集，所以有理数和自然数一样多。
然后证明，实数集是不可数的。
设一个无理数H=0.abcdefgh.... ,a,b,c,d,e,f,g,h..是1-8间的正整数。
假设a=4,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=3,h=5,...
则H=0.42347635...
假设0和1间的所有实数是可数的。
设它的集合X={x1,x2,x3,...}
x1 x2 x3 x4 x5 ....
1 2 3 4 5 ....
设a和x1小数点第一位不同
b和x2的小数点第一位不同
c和x3的小数点第一位不同
……
根据已设条件，无理数H小数点后每一位都在1-8之间。
也就是H不可能为0.0000000....=0 或者0.999999999999...=1
所以H也在0和1之间
又因为a和x1小数点第一位不同
b和x2的小数点第一位不同
c和x3的小数点第一位不同
……
所以H不可能出现在X集合里，也就是H不在01之间
由此出现前后矛盾，01之间的实数应为不可数。
所以实数也是不可数的。
最后证明无理数是不可数的。
根据前面的证明过程，实数分为有理数和无理数，已证明实数集不可数而有理数集可数所以无理数不可数
所以无理数比有理数多。