弹簧振子周期影响因素
弹簧的振动与周期
弹簧的振动与周期弹簧是一种常见的机械装置，在许多领域中都有广泛的应用。
其中，弹簧的振动是一个重要的物理现象，对于了解弹簧的特性和应用具有重要的意义。
本文将探讨弹簧的振动行为，包括弹簧的周期以及影响振动周期的因素。
弹簧的振动是由于外力作用下的弹性形变引起的。
当外力作用结束后，弹簧会因恢复力而回复到原来的形状，然后再次形变，这种来回的形变称为振动。
弹簧的振动可以分为纵向振动和横向振动，这取决于振动方向与弹簧的形状。
首先讨论弹簧的纵向振动。
当一个弹簧悬挂在一定的固定点上，并拉伸或压缩后释放，弹簧会在垂直于重力方向的方向上振动。
这种振动被称为纵向弹簧振动。
纵向振动的周期取决于弹簧的劲度系数和质量。
劲度系数是指单位长度内弹簧的恢复力与形变长度之比，通常用符号k表示。
质量则是弹簧的质量。
根据胡克定律，弹簧的恢复力与形变长度成正比。
因此，我们可以得到纵向弹簧振动的周期公式：T = 2π√(m/k)其中，T表示振动周期，m表示弹簧的质量，k表示弹簧的劲度系数。
可以看出，周期与质量的平方根成反比，与劲度系数的平方根成正比。
这意味着弹簧的质量越大，周期越大；劲度系数越小，周期越大。
接下来我们讨论弹簧的横向振动。
横向振动是指当外力作用在弹簧的一侧时，弹簧沿着水平方向发生振动。
横向振动的周期同样受到弹簧的劲度系数和质量的影响。
不同之处在于，横向振动的周期还取决于弹簧的长度和横向振动的幅度。
根据实验观测，横向弹簧振动的周期近似与纵向弹簧振动的周期相等。
这是因为在横向振动中，弹簧的恢复力与形变长度成正比，而振动的幅度相对较小，所以可以近似视为线性弹簧。
因此，我们可以将横向弹簧振动的周期公式表示为：T = 2π√(m/k)其中，T表示振动周期，m表示弹簧的质量，k表示弹簧的劲度系数。
这与纵向弹簧振动的周期公式完全一致。
除了劲度系数和质量外，还有其他因素可以影响弹簧的振动周期。
首先，弹簧的材料和结构可以影响弹簧的劲度系数，从而影响振动周期。
弹簧振子周期
弹簧振子周期
弹簧振子是一种典型的简谐运动系统，它的运动周期可以用下面的公式来计算：
T = 2π √(m/k)
其中，T是弹簧振子的周期，m是振子的质量，k是弹簧的弹性系数。
这个公式适用于弹簧的静力学，即振子的运动受到的力是一个常数。
如果弹簧的长度是L，则弹簧的弹性系数可以表示为：
k = F/ΔL
其中，F是弹簧在延伸或收缩时受到的力，ΔL是弹簧延伸或收缩的长度。
例如，如果弹簧的质量是0.5千克，弹簧的弹性系数是50牛，则弹簧振子的周期为：
T = 2π √(0.5/50) = 0.63秒
注意，这个公式只适用于小振幅的弹簧振子。
如果振幅很大，弹簧振子的周期就不是固定的了。
简谐振动弹簧振子的周期和频率
简谐振动弹簧振子的周期和频率简谐振动弹簧振子是物理学中经典的振动系统，它具有较为简单的运动规律，周期和频率是描述其运动性质的两个重要参数。
一、简谐振动弹簧振子的周期简谐振动弹簧振子的周期是指它从一个振动极值到另一个振动极值所需的时间，通常用字母T表示。
在理想情况下，简谐振动弹簧振子的周期与振子的质量m以及弹簧的劲度系数k有关。
根据经典力学理论，简谐振动弹簧振子的周期可以通过以下公式计算得到：T = 2π√(m/k)其中，π为圆周率，√为开方运算。
根据该公式，我们可以看出，简谐振动弹簧振子的周期与振子的质量成正比，与弹簧的劲度系数的平方根成反比。
换言之，质量越大，周期越大；劲度系数越大，周期越小。
二、简谐振动弹簧振子的频率简谐振动弹簧振子的频率是指它单位时间内完成的振动次数，通常用字母f表示。
频率与周期有以下关系：f = 1/T也就是说，频率是周期的倒数。
在理想情况下，简谐振动弹簧振子的频率与振子的质量m以及弹簧的劲度系数k有关。
根据经典力学理论，简谐振动弹簧振子的频率可以通过以下公式计算得到：f = 1/2π√(k/m)其中，π为圆周率，√为开方运算。
根据该公式，我们可以看出，简谐振动弹簧振子的频率与振子的质量成反比，与弹簧的劲度系数的平方根成正比。
换言之，质量越大，频率越小；劲度系数越大，频率越大。
三、简谐振动弹簧振子的特点简谐振动弹簧振子具有以下特点：1. 平衡位置：在没有外力作用时，弹簧振子处于平衡位置，即不发生振动。
2. 反弹力：当弹簧振子离开平衡位置，沿着正方向运动时，弹簧对振子产生向负方向的反弹力，反之亦然。
这种力的方向与振子的偏离方向相反，且与偏离大小成正比。
3. 振动频率稳定：在理想情况下，简谐振动弹簧振子的频率不受振动的幅度和初相的影响，只与质量和劲度系数有关。
因此，频率是一个固有特征，也称为固有频率。
四、总结简谐振动弹簧振子的周期和频率是描述其运动规律的重要参数，通过质量和劲度系数可计算得到。
弹簧振子的周期与振动频率之间的关系
弹簧振子的周期与振动频率之间的关系弹簧振子是物理学中经常研究的一个重要问题，它的周期与振动频率之间存在着密切的关系。
下面将从物理学的角度对这一关系进行探讨。
首先，我们需要了解弹簧振子的基本特征。
弹簧振子由一根弹簧和一质点组成，当质点受到外力作用时，弹簧会产生恢复力使质点向平衡位置回归。
在振动过程中，质点来回作周期性运动，称为振动周期。
振动周期是指质点从一个极值位置到另一个极值位置所需要的时间。
在实际观察中，我们可以发现，弹簧振动的周期与质点的质量和弹簧的劲度系数有关。
首先让我们来看看质量对振动周期的影响。
根据牛顿第二定律F=ma，质点所受到的合力与质量成正比。
当质点质量增加时，合力也随之增加，弹簧恢复力的作用也随之增强。
由于弹簧的劲度系数不变，质量越大，质点的加速度越小，运动的速度就越慢，那么振动周期自然就变长了。
因此，质量增大会使振动周期变长。
接下来我们看看弹簧的劲度系数对振动周期的影响。
弹簧的劲度系数是描述弹簧刚度的参数，表示弹簧单位变形时恢复力的大小。
当劲度系数增大时，弹簧的刚度增加，恢复力也会相应增大。
这时，给质点作用的弹簧恢复力比较大，质点加速度增大，速度增加，振动周期减小。
反之，劲度系数减小会使振动周期增大。
所以，弹簧的劲度系数增大会使振动周期变短。
除了质量和劲度系数之外，振动的频率还与振动周期有密切的关系。
振动频率是指单位时间内振动的次数，是振动周期的倒数。
即，频率等于1除以周期。
所以振动频率的大小与振动周期成反比。
物理学中有一个重要的结论，即振动频率与弹簧振子的劲度系数和质量无关。
这意味着，无论质量如何改变，劲度系数如何变化，弹簧振子的频率都保持不变。
这个结论可以通过利用振动方程来证明，但在此就不再详述。
总的来说，弹簧振子的周期与振动频率之间存在着紧密的关系，周期受到质量和劲度系数的影响，而振动频率与这两个因素无关。
这种关系在实际应用中有着广泛的应用，例如弹簧悬挂的钟摆、弹簧隔振器等。
弹簧振子的简谐振动与周期
弹簧振子的简谐振动与周期弹簧振子是物理学中经常研究的一种振动系统，它的简谐振动与周期成为许多学生研究的重点。
在学习弹簧振子的过程中，我们需要了解弹簧振动的基本概念和相关定律，深入探究它的周期与振动的关系。
首先，我们来了解一下弹簧振子的基本情况。
弹簧振子由悬挂物体和弹簧组成，当悬挂物体受到外力作用后，会发生振动。
弹簧振子的振动可以分为简谐振动和非简谐振动两种。
简谐振动是最基本的一种振动形式，它的特点是振幅恒定、周期固定，振动方式规律性强。
非简谐振动则是指在振动过程中，振幅和周期都可能发生变化，振动方式不规律。
本文将重点讨论简谐振动。
简谐振动的周期取决于弹簧的劲度系数和悬挂物体的质量。
劲度系数是衡量弹簧刚度的物理量，用符号k表示，单位是牛顿/米。
悬挂物体的质量用符号m表示，单位是千克。
根据振动力学定律，简谐振动的周期T与劲度系数和质量之间的关系可以通过公式T=2π√(m/k)来表示。
从上述公式可以看出，周期T与质量的平方根成正比，与劲度系数的平方根成反比。
这意味着当弹簧的劲度系数增大时，周期将减小；而当悬挂物体的质量增加时，周期将增大。
这种关系使得我们可以通过调整弹簧的刚度或者悬挂物体的质量来改变振动的周期。
弹簧振子的周期还受到摩擦力的影响。
在实际的振动过程中，摩擦力会阻碍振动的进行，使得周期变长。
根据振动力学的研究，摩擦力对于弹簧振子的影响可以通过引入阻尼系数来描述。
阻尼系数用符号b表示，单位是牛顿秒/米。
当阻尼系数增大时，摩擦力的作用就越大，振动的周期也会变长。
除了周期，弹簧振子的振幅也是我们关注的重点之一。
振幅是指振动物体从平衡位置到达最大位移的最大距离。
在简谐振动中，振幅是恒定的，不受其他因素的影响。
然而，当振幅超过一定限制时，弹簧会失去弹性，振动不再符合简谐振动的规律，这种现象称为超调。
弹簧振子的简谐振动与周期是许多物理学实验和应用中的基础内容。
它不仅具有理论价值，还有着广泛的实用价值。
例如，在钟表制造中，利用弹簧振子的周期稳定特性，可以精确地测量时间。
弹簧振子的频率与周期分析
弹簧振子的频率与周期分析弹簧振子是物理学中常见的振动系统，具有重要的理论和实际应用价值。
本文将分析弹簧振子的频率与周期，探讨其相关原理和计算方法。
一、频率与周期的定义弹簧振子的频率指的是单位时间内振动的次数，用赫兹（Hz）表示。
频率的倒数称为周期，用秒（s）表示。
频率与周期是互为倒数的物理量，两者之间存在着简单的数学关系。
二、弹簧振子的基本原理弹簧振子是由质点和弹性体（弹簧）组成的振动系统。
在无外界干扰的情况下，弹簧振子能够以一定的频率和周期进行周期性振动。
弹簧振子的振动是由质点在弹簧的拉伸和压缩作用下产生的。
当质点偏离平衡位置时，由于弹簧的弹性恢复力，它将受到一个恢复力的作用，使其做简谐振动。
三、弹簧振子的频率计算方法弹簧振子的频率与其相关的质量、弹性系数和弹簧的伸长量等因素有关。
下面将介绍两种常见的计算频率的方法。
1. 单摆近似法当弹簧振子振幅较小时，可以采用单摆近似法来计算频率。
单摆的频率公式为：f = 1 / (2π) * √(g / L)，其中f为频率，π为圆周率，g为重力加速度，L为弦长。
应用单摆近似法计算弹簧振子的频率时，可以将弹簧的伸长量视为弦长L，利用上述公式进行计算。
2. 动能法当弹簧振子振幅较大时，不能使用单摆近似法。
此时可以利用动能法来计算频率。
动能法的基本原理是通过计算质点在振动过程中的动能来求解频率。
弹簧振子的动能由质点的动能和弹簧的变形能组成。
根据动能法，弹簧振子的频率可以表示为：f = 1 / (2π) * √(k / m)，其中f为频率，π为圆周率，k为弹簧的劲度系数，m为质点的质量。
四、弹簧振子的周期计算方法周期是指弹簧振子完成一个完整振动所需要的时间。
周期可以通过频率的倒数来计算，也可以直接计算得到。
弹簧振子的周期与频率的关系为：T = 1 / f，其中T为周期，f为频率。
五、实际应用与意义弹簧振子在生活中有着广泛的应用，如钟摆、弹簧秤等。
通过对弹簧振子频率和周期的分析，我们可以更好地理解物体的振动行为，为相关领域的研究和应用提供理论依据。
弹簧振子了解弹簧振子的周期与频率关系
弹簧振子了解弹簧振子的周期与频率关系弹簧振子：了解弹簧振子的周期与频率关系弹簧振子是物理学中一个非常重要且常见的现象，它是由一个质点与一个弹簧相连接而形成的系统。
弹簧振子可以提供关于物体振动的许多有用信息，例如振动的周期和频率。
在本文中，我将解释弹簧振子的周期与频率之间的关系以及如何计算它们。
一、弹簧振子的周期弹簧振子的周期是指从一个极值到另一个极值的时间间隔，也就是振动的完成一次往复运动所需的时间。
弹簧振子的周期与其所受的力以及弹簧的刚度有关。
根据胡克定律，弹簧所受的力与其伸长或压缩的长度成正比。
因此，我们可以得到以下公式来计算弹簧振子的周期：T = 2π√(m/k)其中，T为弹簧振子的周期，m为质点的质量，k为弹簧的劲度系数。
从公式中可以看出，周期与质量成正比，与劲度系数的平方根成反比。
这意味着质量越大，周期越长；劲度系数越小，周期越长。
二、弹簧振子的频率弹簧振子的频率是指在单位时间内完成的振动次数，也可以理解为振动的速率。
频率与周期是倒数关系，即频率f等于周期T的倒数。
因此，我们可以使用以下公式来计算弹簧振子的频率：f = 1/T = 1/(2π√(m/k))从公式中可以推导出，频率与质量成反比，与劲度系数的平方根成正比。
这意味着质量越大，频率越小；劲度系数越小，频率越大。
频率与周期是描述弹簧振子的两个重要参数，它们之间的关系是互相决定的。
当我们知道其中一个参数时，可以通过上述公式计算出另一个参数。
三、应用举例为了更好地理解弹簧振子的周期与频率关系，我们来举一个例子。
假设一个弹簧的劲度系数为100 N/m，挂在上面的质点质量为1 kg。
我们可以用上述公式计算出弹簧振子的周期和频率。
首先，计算周期：T = 2π√(1/100) ≈ 0.628 s接下来，计算频率：f = 1/T ≈ 1.59 Hz所以，这个弹簧振子的周期约为0.628秒，频率约为1.59赫兹。
四、总结通过上述分析，我们了解到弹簧振子的周期与频率之间存在着确定的关系。
弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨
弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨第２６卷第５期Ｖ０１．２６Ｎｏ．５周口师范学院学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＺｈｏｕｋｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ２００９年９月Ｓｅｐ．２００９弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨周俊敏，王玉梅（周口师范学院物理系，河南周口４６６００１）摘要：从能量的观点出发，分别讨论了弹簧振子垂直地面放置和平行地面放置时所遵守的运动方程，并通过解微分方程，得出结论．这些结论对指导实验和生产实践有一定的参考价值．关键词：弹簧振子；振动周期；机械能守恒；运动方程中图分类号：０３２６文献标识码：Ａ文章编号：１６７１—９４７６（２００９）０５—００５８—０３弹簧振子在生产实践中有着十分广泛的应用，而振动的周期是描述振动系统运动的一个非常重要的基本物理量，因此探讨弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响就显得十分必要．在实验教学中笔者发现，大部分实验教材直接给出弹簧振子的振动周ｒ‘‘—？———＝７的正方向，建立坐标系如图１（ｂ）所示．设质点的位置坐标为Ｘ，引即为质点相对于坐标原点的位移．取物体为研究对象，作用在物体上的力有两个：重力大小为ｍｇ，方向竖直向下；弹簧对物体的拉力Ｆ＝一ｋ（ｘ＋ｚ。
），方向竖直向上．由此可知物体的合力Ｆ台一一点（ｚ＋Ｘ。
）＋ｍｇ＝一妇．由简谐期公式为Ｔ一２，ｒ＾／ｍ＋ｃＭ，学生通过实验测出ｆ值的范围为０．３２～０．３４，但未从理论上分析ｃ值在这一范围的原因［１－３］．另外，教材中分析弹簧振子振动周期时，大都从力的观点［４＿５１出发得出运动方程．笔者从能量的观点出发，分别讨论弹簧振子垂直地面放置和平行地面放置时所遵守的运动方程，并通过解运动方程得出弹簧振子的振动周期以及振动的定义“质点在线性回复力的作用下，围绕平衡位置的运动是简谐振动”可知，竖直放置的弹簧振子将作简谐振动．对于作简谐振动的振子来说，只有保守力作功，可以用机械能守恒定律来求运动方程．选取平衡位置为重力势能零点，振动物体重力势能为Ｅ，＝一ｍｇｘ，弹簧的弹性势能为Ｅ如＝弹簧质量对振动周期的修正系数ｃ＝÷，从理论上证明了学生的实验结果在误差范围内是正确的．忽略弹簧质量时弹簧振子的振动周期弹簧与地面垂直弹簧的原长为Ｌ０，劲度系数为ｋ，上端固定，下－｝ｋ（ｘ＋ｚ。
弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响
也谈弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响金彪（浙江省上虞市春晖中学，浙江 上虞 312353）贵刊（《物理教师》）2010年第1期《弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响》一文，指出了贵刊（同上）2009年第5期《非轻质弹簧问题的分析》一文中的错误，认为“一质量为m 的弹簧与物体M （视为质点）组成的一个‘弹簧振子’，弹簧振子的振动周期为kmM T 22+=π。
”的结论是错误的，并经过计算后得出：一质量为m 的弹簧与一质量为M 的质点组成的“弹簧振子”震动周期为：kmM T 32+=π。
而笔者认为此结论同样是错误的，我们可以先假设0=M ，即去掉质点M,让质量为m 的弹簧自由振动，振动稳定时，振动的周期由上式得kmT 32π=。
这个结论是否正确呢？总长度为L ，质量为m ，劲度系数为k 的弹簧一端固定，另一端自由（如图1所示），其振动的固有周期到底为多少呢？设另有一根弹簧的总长度很长，质量均匀分布，且弹簧单位长度的质量为Lm=η，劲度系数为k 。
让这根弹簧两端以相同的振幅和频率沿弹簧方向振动起来，稳定后必然在弹簧上形成驻波。
调节波源频率，使长弹簧的波长恰好为4L ，则相邻波腹与波节的距离恰好为L 。
由于驻波的波节振幅为零，与图1弹簧的固定点O 一样；驻波的波腹振幅最大，与自由点P 一样，可得图1弹簧的振动与长弹簧波节到相邻波腹振动情况完全一样。
由于固体中弹性纵波的波速ρYv =（1）其中Y 为杨氏模量，ρ为密度，对于上述弹簧来说，等效密度和杨氏模量分别为：SkLY LS m ==,ρ，代入（1）式得： mkL v 2=（2） 欲使弹簧波波长为4L ，则图1弹簧的固有周期为：kmmkL L vT 442===λ（3） 由此可知“弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响”一文的结论是错误的。
那么为什么会引起这样的错误呢？该文认为：“对距O 点为l 的一小段弹簧l ∆，其振动速度可表示为O P图1l L v v A =。
弹簧振子的周期与质量关系探究
弹簧振子的周期与质量关系探究弹簧振子是物理学研究中最基本的力学系统之一。
它由一个质量块连接在一根弹簧上，当块受到外力作用时产生振动。
在这个过程中，周期与质量之间有着密切的关系。
本文将探究弹簧振子的周期与质量之间的关系。
首先，我们需要了解弹簧振子的基本原理。
弹簧振子的振动是由弹簧的弹性势能和质量的动能交换而产生的。
当质量块向下拉伸弹簧时，弹簧储存了弹性势能。
当松开质量块后，弹簧会将弹性势能转化为质量块的动能，使其向上运动。
当质量块抵达最高点时，动能转化为弹性势能，弹簧再次将其拉回，反复往复，形成周期性的振动。
周期是指振动过程中所用的时间，通常用T表示。
根据牛顿第二定律和胡克定律，我们可以得出弹簧振子的周期与质量和弹性系数之间的关系。
牛顿第二定律表明力与加速度成正比，可以表达为：F = ma。
在弹簧振子中，力等于弹簧的弹性力，由胡克定律可以得出：F = kx，其中k是弹簧的弹性系数，x是弹簧的伸长量。
联立以上两个公式，我们可以得出：kx = ma。
由于振子的振动是以弹性势能和动能之间的转换为基础的，我们可以将这个方程改写为：kx = 1/2 mv²，其中v是质量块的速度。
根据振动的特性，质量块在振动过程中会从最高点归位到最低点，利用这一点，我们可以得到：x = A sin(2πft)，其中A是振幅，f是频率。
根据周期和频率的关系，T = 1/f。
将x 和 v 的值带入方程中，可以得到：kA sin(2πft) = 1/2 m (dx/dt)²。
化简后得到：(2πf)² = (k/m)。
通过以上推导，我们得出了弹簧振子的周期与质量和弹性系数的关系式：T =2π√(m/k)。
从这个关系式可以看出，周期与质量成平方根的反比关系。
这个关系式的意义非常重要，它揭示了弹簧振子的特性。
首先，周期的平方根与质量成正比，也就是说，质量越大，周期越长。
这是因为质量增加会导致向上运动的惯性增加，所以越容易受到重力的影响，振动周期就越长。
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弹簧振子周期的影响因素
（南京 210096）
摘要：本文研究了弹簧质量对弹簧振子系统周期的影响，分析了不同方法近似成立的条件并对计算结果进行了讨论。
并且通过对弹簧振子研究的进一步探析，发现如果弹簧的形状不是几何对称, 即使用相同的方法对弹簧两端分别挂测，其质量对周期公式产生的影响也是不同的。
从而发现弹簧振子的周期与其重心位置也是有关的。
关键词：弹簧振子；周期；质量；重心
Spring vibrator cycle impact factors
(Information science and engineering college of Southeast University, Nanjing, 210096)
Abstract:This paper studies the quality of spring spring vibration subsystem the influence of the cycle, and analyzes on the different methods of approximate established condition and the calculation results are discussed. And through the spring vibrator further analysis, found that if the shape of the spring is not symmetrical geometric, that is, using the same method of spring ends hang separately measured, its quality to cycle the impact of the formula is also different. Spring vibrator to find the cycle of barycenter position is also related with.
key words: spring vibrator; cycle;quality;focus
人们在讨论弹簧振子的振动情况时，往往忽略弹
簧本身的质量。
实际弹簧振子由质量为m、劲度系数为k的弹簧和连接于弹簧一端的质量为M的振动物体组成。
由于弹簧本身有质量，这种弹簧振子不是理想振子，它的振动周期与弹簧的质量有着密切的联系。
当我们把这种影响仅归于质量因素时，振子的周期可以写成与弹簧有效质量有关的表达式。
而且质量一定，形状不规则的弹簧，其运动周期还与他的形状及重心相关。
作者简介：1实验回顾
在“弹簧振子周期公式研究”的实验中，最后的课题探究采用控制变量的方法，控制振子质量M不变，研究弹簧自身质量m对弹簧振子振动周期的影响。
测得的数据见表1。
表1 弹簧振子周期与质量的关系
用Origin软件作出——图像，并进行线性
分析。
图1 ——图像
由Origin软件线性分析的到B=0.32437±0.00633。
可见如果考虑弹簧质量，弹簧这子周期公式就不再简
单的满足公式了。
那么弹簧质量是如何影
响弹簧振子运动的呢。
我想通过理论推导与实验的结
合来进行一定的分析。
2 分析弹簧质量对振动周期的影响
2.1利用机械能守恒法进行分析
如图2所示,设弹簧未形变时的长度为,此时弹
簧单位长度的质量为。
设弹簧质量m比振
动物体的质量M小,以至于弹簧质量对弹簧振子的振
型没有影响。
近似地,可以假定弹簧各截面的位移是按
线性规律变化的,因此,离弹簧固定端距离为u的截面
的位移为,其中,x为振动物体离开弹簧平
衡位置O的位移。
不计各种阻力引起的能量损耗,弹簧
振子系统的能量守恒。
图2 弹簧振子示意图
弹簧的动能
(1)
振动物体的动能
(2)
弹簧振子系统的弹性势能
(3)
根据机械能守恒定律有
(4)
将(4)式对时间求导，整理后得
(5)
与谐振子的动力学方程比较得弹簧振子系统的周
期为
(6)
可见，当考虑弹簧质量m,且在m比M小时，弹簧振子的运动仍可认为是谐振动，但计算周期时要把弹簧质量的1/3加到M上去，再按不考虑弹簧质量时的周期计算公式计算即可。
探究实验中求得的B=0.32437±0.00633。
其误差为
误差
<5，在误差允许范围内，可以认为两者相等。
2.2利用迭代法进行分析
设弹簧的匝数为N，实际弹簧振子的运动可以归结为不同圆频率谐振动的合成，即
且使
，
由参考文献[3]知
(7)
其中(n=0,1,2,…)
是为了描述动态劲度系数
和有效质量而引入的一系列参数，它们由弹簧振子的本征方程
， (8) 和本征值
(9)决定。
振动物体的各阶振动周期为
(10) 其中
(11)将式(9)代入式(8)中有
(12)
利用级数展开式式(12)可以写成
(13)通过分析发现，对固定的γ值，n=0
对应的基频的
振幅占绝对优势，高频振动的振幅随频率的增大而迅速减小（比如，γ=1时,=98％）。
因此，为简单起
见，只讨论n=0时弹簧振子的周期。
取式(13)右边前两项易得
(14)
再取初值代人式(14)迭代,有
(15)代人式(11)可得
(16)因此迭代法近似得到基频振动的周期为
(17) b由式(16)给出，只与振动物体质量和弹簧质量之比γ有关。
式(17)把弹簧质量对振动周期的影响归结为
有效质量，很容易就能求出基频振动周期。
2.3对两种分析方法的讨论
(1)比较两种不同方法知道,从机械能守恒定律出发,计算过程简单清晰,而迭代法过程稍为复杂,但能得到更准确且带有普遍意义的结果。
机械能守恒近似法中假定弹簧各截面的位移按线性规律变化，或者说
是弹簧各个匝数之间变化均匀，相当于要求弹簧各向均匀同性。
因为弹簧的一端固定，另一端系一振动物体，振动物体振动状态的任何变化都能够同时传递到弹簧的各个部分，必然要求弹簧的质量m比振动物体的质量M小得多。
事实上，比较式(6)，式(17)可知，前者正是后者在γ→∞时的极限情形。
(2)特别地,如果弹簧的质量m和振动物体的质量M 相等，即式(17)中γ=1
，两种方法得到的振动周期比
显然，使用机械能守恒近似法已经是很好的近似，而不必要求γ>>1或γ→∞，也可以不考虑其它高频振动的影响。
(3)注意到机械能守恒近似法中我们还假设弹簧单位
长度的质量是常数,事实上弹簧振动时弹簧单位长度的质量λ随x的变化而变化，即
(18) 此时弹簧的动能
(19) 和式(1)结果相同,因此弹簧单位长度的质量λ随x 变化不影响计算结果。
3 弹簧重心对周期公式的影响
3.1问题提出与理论分析
上文讨论的都是柱形弹簧的质量对其振动周期的影响，那么对于形状不对称的弹簧，其重心会不会也是影响振动周期的因素呢？我想通过对锥形弹簧的相关测定来验证我的猜想。
研究示意图见图3。
图3 研究示意图
由上文的式(17)已知，将其改写为
(20)
令
y=
,x=M,A=
,B=,则y=a+bx,从n
组值，可求得A,B的值，从而求得b的值
(21) B的不确定度
3.2 测量锥形弹簧正挂时的b值
首先测量弹簧的质量m=12.65g，其次测量弹簧下端悬挂不同负载M时的周期的周期T,共测3组，用秒表测量连续振动50次的时间t，测量数据见表2。
M/(
图4 弹簧正挂
图像
用Origin 分析得到A=0.88745±0.00697， B=0.1144±0.0019, u(A)=0.00697,u(B)=0.00194
天平的仪器误差
，
结果:b=0.613±0.011
3.3测量锥形弹簧反挂时的b 值
步骤同上，测量数据表格如下
表3 弹簧反挂周期测量数据
使用Origin 软件作出图像。
图5 弹簧反挂
图像
用Origin 分析得到A=0.4824±0.0010，
B=0.11346±0.0003,u(A)=0.00101, u(B)=0.000280598
结果:b=0.3361±0.0015
3.4讨论与思考
对于同一锥形弹簧而言， 正挂时弹簧的修正系数b 值要大于反挂时的b 值。
原因是正挂时弹簧振子系统重心位置相对反挂时的重心位置下移, 以致弹簧振子的周期变大。
从y=A+Bx 中分析可知, 因弹簧正、反挂时的B 值近似相等。
当 y 变大时, A 也变大, 故 b 值也随之变大。
上述实验的两个b 值显著不同, 说明修正系数b 不是普遍适应的常数, 它不仅与弹簧的形状有关,而且还
与弹簧振子系统重心的相对位置有关。
参考文献：
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[3] 徐延燕，弹簧振子近似作简谐振动的条件[J]. 河北师
范大学报，1997，21（1）：55-58.。