平面向量的概念
a
a c
b
向量的模：向量的大小称作向量的长度向（或） 模，向量 AB 的长度记作| AB | ；向量 a 的长度记作| a |。向量的长度是一个数量， 是非负数。
零向量、单位向量概念：
长度为0的向量叫零向量，记作 0 ，零向量 没有确定的方向。 长度为 1个单位长度的向量，叫单位向量，记 作 e 。
如图设O是正六边形ABCDEF的中 心，分别写出与 OA 相等的向量、相反 的向量、平行的向量。
A B
F
O
C
E
D
练习：P37练习2
思考交流： 1、相等向量是平行向量吗？相反向量呢？ 2、任何一组平行向量是否都可以平移到一条 直线上？
问题解决： 在比例尺为1:50000的图 上，小张步行从A地出发， 始终沿一个方向匀速前进， 到达B地。 （1）求小张走过的距离（单 位：米） （2）说明小张的位移 （3）如果小张要先经过C地 再去B地，走过的距离是多 少？位移情况又是怎样呢？
D
A
C
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相 等向量（或同一向量） . 向量 与 相等， b a 记作 a = b . 相反向量：度相等且方向相反的向量叫相反 向量。向量a 与 b 相反，记作 a = －b .
平行向量：如果两个非零向量方向相同或 相反，我们就说这两个向量互相平行，叫 平行向量或共线向量。向量 与 平行， a b 记作 a // b .
a b
a b
பைடு நூலகம்
规定：零向量与任何向量平行。即 0// a 。
例3 如图（ 1）所示，在4×5方格中有一个 向量 AB ，分别以图中的格点为起点和终点 作向量，其中与 AB相等的向量有多少个？ 与 AB 长度相等且共线的向量有多少个？ （ AB 除外）
B
A
练习：P37练习1
例4
● A
● C
B
●
练习：P37练习3
课堂小结
1、向量及向量的有关概念、表示方法； 2、知道有两个特殊向量：零向量、单位向量； 3、向量间的关系，即相等向量、相反向量、 平行向量（共线向量）。
C
（1）甲、乙两人从起点跑到折返处，再从折返处跑回 起点（终点）所发生的位移分别是哪些？试用向量表示 出来。 （2）表示从点A到C所发生的位移的向量与表示从点B 到点D所发生的位移的向量有什么关系？ （3）表示从点A到C所发生的位移的向量与表示从点C 到点A所发生的位移的向量有什么关系？
B
B
C
A
D
思考交流： 向量能比较大小吗？AB与 BA 是否是同一向量？ 为什么？
探究： 为达成《国家体育锻炼标准测试项目表》中的 训练要求，体育课上体育老师对学生进行50m （25m×2往返跑）测试。学生甲、乙两人为一 组分别从A、B跑到25米处的点C、D后折返跑回 起点A、B。
B
D
A
练习：P34练习1
例1 如图所示，每个小正方形的边长均为1个单 位长度。分别以A、B、C为起点或终点，可以构 成哪些向量？用有向线段表示这些向量并求出它 们的模。
_ B
A _
_ C
练习：P34练习2
例2 如图，设平行四边形ABCD的边长 分别为1和2，其所有的边能构成哪些向 量？这些向量的模分别是多少？
A
定义：我们把既有大小又有方向的量叫 向量
向量的表示方法： 用有向线段表示向量，有向线段的长度表 示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的 方向。以A为起点、B为终点的向量记为 AB
AB
A B
起 点
终 点
用小写黑体字母表示向量，如a,b,c等，手写时
写成带箭头的小写字母，如 a 、 b 、 c 等。
平面向量的 概念
数量（也称标量）：只有大小的量
矢量：有大小，又有方向的量
探究： 如图，某学生在标准400m运动场上的百米起点A （1道）处出发，沿跑道跑完400m到达终点（起 点）A处。
A
（1）该生所跑的路程是多少？所发生的位移是多少？ （2）如果该生从A点出发，跑完1500m，那么他所跑的 路程是多少？位移是多少？ （3）位移和路程这两个量有什么差别？
2020年高一下学期第1讲：平面向量的基本概念与线性运算(含解析)
4若两个向量相等，则它们的起点和终点分另重合；
5若a//b,b//c，则a//C.
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.下列命题中，正确的是（）
a.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点
十、十muruur r
和0A交于E，设AB占，AO b
(1)用向量a与b表示向量Oc,CD；
…uuumu，亠
(2)若OE OA，求实数的值.
26.如图，已知ABC的面积为14,D、E分别为边AB、BC上的点，且AD:DB BE:EC2:1,AE
(1)求及；
rr uuu
(2)用aLeabharlann b表示BP;(3)求PAC的面积.
动点
uuu
P满足OP
uur
OA
uuur
/AB
(uuu
|AB|
uuur
AC、
-uuu^),
|AC|
[0,），则P的轨迹一定通过
ABC的（）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
1 2.如图，四边形ABCD是正方形,
延长CD至E,
使得
DE CD.若动点P从点A出发，沿正方形
A点，其中
UUU
AP
UUL
AB
AE，下列判断正确的是（）
3
|CB|,
若
AB BC，贝U(
)
2
2
5
5
A .-
B .-
C.
D.
3
3
3
3
5.已知|a11,
rrr
高三数学平面向量考点解析
高三数学平面向量考点解析1、高中数学知识点总结平面向量的概念：平面向量是既有大小又有方向的量。
向量和数量是数学中讨论的两种量的形式，数量是实数。
2、平面向量的三种形式：（1）字母形式：用单独的小写字母带箭头或者用两个大写字母带箭头表示向量；（2）几何形式；用平面内的有向线段表示向量，零向量是一个点；（3）坐标形式：向量可以在坐标平面内用坐标表示，向量坐标等于它的终点坐标减去始点坐标。
3、平面向量的相关概念，（1）模（绝对值）：向量的大小或者向量的长度叫做向量的模，模是大于等于的实数。
模也叫作绝对值、大小、长度，这几个说法是一个意思。
（2）相等向量：方向相同、大小相等的向量叫做相等向量（或者叫相同向量），两个相等向量的x，y坐标对应相等。
（3）相反向量：方向相反、大小相等的向量叫做相反向量。
一个向量加负号即变为其相反向量，在向量化简和运算中很常见、很重要。
（4）平行（共线）向量：平面内两个向量所在的直线平行或者重合，则说这两个向量平行（或者共线），用平行符号表示。
因为向量可以自由平移，所以对向量来讲平行和共线是一个意思。
两个非零向量平行时，必定方向相同或相反。
规定零向量和任意向量都平行，但不能说零向量和其它向量方向相同或相反。
（5）垂直向量：两向量所在的直线垂直（或者说夹角为90度），则说这两个向量为垂直向量，用垂直符号表示。
规定零向量和任意向量都垂直，但不能说夹角90度。
（6）零向量：大小为零（或者说模、绝对值、长度为零都是一个意思）的向量叫做零向量，规定零向量的方向是任意的，不能讨论零向量和其它向量方向的关系及夹角问题。
规定零向量和任意向量都平行且垂直。
（7）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。
一个向量除以自己的模得到和这个向量同方向的单位向量；单位向量乘以一个向量的模得到这个向量。
（8）位置向量：向量AB可以表示点B相对点A的位置，所以向量AB可以叫做点B关于点A的位置向量。
（9）方向向量：一个非零向量与一条直线平行，则这个向量叫做这条直线的平行向量。
平面向量的概念及线性运算(优质课)教案
1.6平面向量的基本概念与线性运算（优质课）教案教学目标：1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.教学过程：*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1一、平面向量的概念：1、平面向量：在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．BaA图7－22、向量的模长：向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．3、零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．4、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．5、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．6、 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．7、相反向量：与向量a 长度相等且方向相反的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．二、平面向量的基本运算：一般地，λa ＋μb 叫做a , b 的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如果l ＝λa ＋μ b ，则称l 可以用a ，b 线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．1、三角形法则：位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC =AB +BC ．一般地，设向量a 与向量b 不共线，在平面上任取一点A (如图7－6)，依次作AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量a 与向量b 的和，记作a ＋b ，即 a ＋b =AB ＋BC =AC （7．1）求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则． 2、平行四边形法则：如图7－9所示， ABCD 为平行四边形，由于AD =BC ，根据三角形法则得AB ＋AD =AB ＋BC =AC这说明，在平行四边形ABCD 中， AC 所表示的向量就是AB 与AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质： （1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0； （2）a ＋b =b ＋a ；图7－7ACBaba +bab图7－9ADCB（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）． 3、平面向量减法法则：与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即a −b = a ＋(−b )．设a =OA ，b =OB ，则()= OA OB OA OB OA BO BO OA BA −=+−+=+=．即 OA OB −=BA （7．2）观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a 、 b ，其差a －b 仍然是一个向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3）若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4） 一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=−=−a a a a ， ；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ．aAa -bBbO图7－13题型1 平面向量的基本概念 例1 给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号) 答案：①②③⑥解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．例2 在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点． （1）找出与向量DA 相等的向量； （2）找出向量DC 的负向量； （3）找出与向量AB 平行的向量．分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．解 由平行四边形的性质，得 （1）CB =DA ；（2）BA =DC −,CD DC =−； （3）BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ．练习：1． 如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写出ADCB图7－5O（1）与EF 相等的向量；（2）与AD 共线的向量．2．如图，O 点是正六边形ABCDEF 的中心，试写出 （1）与OC 相等的向量； （2）OC 的负向量； （3）与OC题型2 向量的线性表示例3 一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．解 如图7－10所示，AB 表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC =+=22125+=13．又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723CAD '∠≈︒1． 即船的实际航行速度大小是13km/h ，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约6723'︒．*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k ，两条绳子与垂线的夹角为θ，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小．分析 由于两条同样的绳子与竖直垂线所成的角都是θ，所以12F F =．解决问题不考虑其它因素，只考虑受力的平衡，所以12F F k +=−.解 利用平行四边形法则，可以得到1212cos F F F k +==θ，所以12cos k F =θ．练习：1． 如图，已知a ，b ，求a ＋b ．F AD BE C（练习题第1题图EFAB C DO （图1－8）第2题图 A BDC图7－10F 1F 2kθ 图7－112．填空（向量如图所示）：（1）a ＋b =_____________ ,答案：→AC （2）b ＋c =_____________ ,答案：→BD （3）a ＋b ＋c =_____________ ．答案：→AD 3．计算：（1）AB ＋BC ＋CD ； （2）OB ＋BC ＋CA ． 答案：（1）→AD （2）→OA例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．解 如图7－14（2）所示，以平面上任一点O 为起点，作OA =a ，OB =b ，连接BA ，则向量BA 为所求的差向量，即BA = a －b ． 练习：1．填空：（1）AB AD −=_______________，答案：→DABbOaAba（1）（2）图7－14（图1－15）bbaa（1）（2）第1题图（2）BC BA −=______________，答案：→AC （3）OD OA −=______________．答案：→AD2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．解：AC =a+b ，BD =b-a,DB =a －b例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD . 解 ：AC ＝a ＋b ,BD ＝b −a ， 因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以 1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，OD ＝12BD ＝12（b −a ）＝−12a +12b ．练习：1． 计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．解：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）=3a -6b-4a-2b=4 b-a （2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）=-11b2．设a , b 不共线，求作有向线段OA ，使OA ＝12（a ＋b ）． 解：如图所示。
高中数学必修二 专题6 1 平面向量的概念-同步培优专练
专题6.1 平面向量的概念知识储备一 向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.二 向量的几何表示1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB ，线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长度记作|AB |.2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用c b a ,,).3.模、零向量、单位向量 向量AB 的大小，称为向量AB 的长度(或称模)，记作|AB |.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？答案 错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.三 相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a 与b 平行，记作a ∥b .(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.思考 (1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？答案 (1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量.能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若a b ≠，则a b →→≠；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由相等向量的定义知（1）正确；平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错， 所以正确答案只有一个．故选B ．2．下列命题正确的是（ ）A ．若||0a =，则0a =B ．若||||a b =，则a b =C ．若||||a b =，则//a bD ．若//a b ，则a b =【答案】A 【解析】模为零的向量是零向量，所以A 项正确；||||a b =时，只说明向,a b 的长度相等，无法确定方向，所以B ，C 均错；a b 时，只说明,a b 方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D 错.故选A.3．若非零向量a 和b 互为相反向量，则下列说法中错误是（ ）A ．//a bB ．a b ≠C ．a b ≠D ．a b =-【答案】C 【解析】由平行向量的定义可知A 项正确；因为a 和b 的方向相反，所以a b ≠，故B 项正确；由相反向量的定义可知a b =-，故选项D 正确；由相反向量的定义知a b =，故C 项错误.故选C.4．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC 相等的向量为（ ）A ．BAB ．CDC ．AD D ．OD【答案】D 【解析】根据图形看出，四边形BCDO 是平行四边形//,BC OD BC OD ∴=BC OD ∴=故选：D 5．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定（ ）A ．不共线B ．长度不相等C ．不都是单位向量D ．不都是零向量 【答案】D 【解析】向量a 与向量b 不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A 、B 、C 错误，D 正确.故选：D.6．下列说法错误的是（ ）A ．若非零向量a b c ，，有//a b ，//b c ，则//a cB ．零向量与任意向量平行C ．已知向量a b ，不共线，且//a c ，//b c ，则0c =D ．平行四边形ABCD 中，AB CD =【答案】D【解析】选项A ：因为a b c ，，都不是零向量，所以由//a b ，可知向量a 与向量b 具有相同或相反方向.又由//b c ，可得向量c 与向量b 具有相同或相反方向，所以向量a 与向量c 具有相同或相反方向，故//a c ，故本说法是正确的；选项B ：零向量与任意向量平行这是数学规定，故本说法是正确的；选项C ：由//a c ，//b c ，可知：c 与向量a 具有相同或相反方向，c 与向量b 具有相同或相反方向，但是向量a b ，不共线，所以0c ，故本说法是正确的；选项D ：平行四边形ABCD 中，应该有AB DC =，故本说法是错误的.故选：D7．a ，b 为非零向量，且a b a b +=+，则（ ）A ．a ，b 同向B ．a ，b 反向C ．a b =-D ．a ，b 无论什么关系均可【答案】A 【解析】当两个非零向量a 与b 不共线时,a b +的方向与a ,b 的方向都不相同,且a b a b +<+；当向量a 与b 同向时,a b +的方向与a ,b 的方向都相同,且a b a b +=+； 当向量a 与b 反向且a b <时,a b +的方向与b 的方向相同（与a 的方向相反）,且a b b a +=-, 故选:A8．如图是34⨯的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与AB的向量共有( )A．12个B．18个C．24个D．36个【答案】C⨯的格点图中【解析】由题意知，每个小正方形的对角线与AB34包含12个小正方形，所以有12条对角线，与AB平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
数学平面向量的数量积与模长
数学平面向量的数量积与模长数学是一门系统性、抽象性很强的学科，其中，平面向量是数学中的重要内容之一。
在数学的学习过程中，学生需要掌握平面向量的基本性质和运算规则，以及数量积与模长的相关知识。
本教案将介绍平面向量的数量积与模长的相关概念和运算规则，帮助学生掌握相关知识，进一步提高他们的数学解题能力和逻辑思维能力。
一、平面向量的概念与性质1.1 平面向量的定义平面向量是由大小和方向共同确定的有向线段，通常用字母加箭头表示，如AB→。
1.2 平面向量的表示法平面向量可用坐标表示法、点表示法、分解表示法等形式进行表示。
1.3 平面向量的基本性质平面向量具有平移、方向相反、共线、比例等基本性质。
二、平面向量的数量积2.1 数量积的定义数量积，也称点积或内积，是两个向量的乘积的量的一种。
若两向量A→和B→的夹角为θ，则数量积的定义为A·B = |A| |B| cosθ。
2.2 数量积的性质数量积具有乘法交换律、数量积的线性性质、平行向量的数量积等性质。
三、平面向量的模长3.1 模长的定义平面向量的模长是该向量的长度，通常用竖线括起来表示，如|AB→|。
3.2 模长的计算公式若平面向量A→的坐标表示为A→(x, y)，则模长的计算公式为|A→| = √(x² + y²)。
3.3 模长的性质模长具有大于等于零、平行向量的模长相等等性质。
四、平面向量数量积与模长的关系4.1 平面向量数量积与模长的关系若平面向量A→和B→之间的夹角为θ，则数量积的计算公式可以表示为 A·B = |A→| |B→| cosθ。
4.2 平面向量数量积与模长的运算法则根据数量积的定义和模长的计算公式，可以得出平面向量数量积与模长的运算法则。
五、例题分析与解答5.1 例题分析通过分析具体的实例，帮助学生理解数量积与模长的运算规则和应用方法。
5.2 例题解答提供一些练习题，帮助学生巩固所学知识，培养解题能力。
平面向量基础知识
平面向量一、平面向量的基本概念㈠、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母AB 表示.（AB 的大小──长度称为向量的模，记作|AB|. ）3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.4.向量与有向线段的区别：⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.5、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.6、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：⑴综合①、②才是平行向量的完整定义；⑵向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.7、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：⑴向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；⑵零向量与零向量相等；⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 8、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．）. 说明：⑴平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；⑵共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.二、 向量的加法与减法1、位移问题：①某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=②某人从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=③某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=④船速为AB，水速为BC ，则船单位时间内的位移：AB BC AC +=2、向量的加法：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
高中数学平面向量知识点总结及常见题型
高中数学平面向量知识点总结及常见题型平面向量一、向量的基本概念与基本运算1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。
向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。
③单位向量：模为1个单位长度的向量。
向量a为单位向量｜a｜＝1.④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。
由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合，记为a b。
大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2.2.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设AB a，BC b，则a+b=AB BC=AC。
1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD…+PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”。
3.向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。
零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0.iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
平面向量模块
平面向量模块一、基本概念：1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．2.平行向量：若非零向量,a b 方向相同或相反，则//a b ；规定零向量与任一向量平行3、向量相等：b a =⇔ 模相等，方向相同；相反向量：b a-=⇔模相等，方向相反4、两个非零向量a 、b 的夹角：做OA =a ；OB =b ；AOB ∠叫做a 与b的夹角。
5、坐标表示：i 、j 分别是与x 轴、y 轴同向的单位向量，若=aj y i x +，则()y x ,叫做a 的坐标。
6.向量a 在b 方向上的投影：设θ为a 、b 的夹角，则cos a θ为a 在b 方向上的投影二、基本运算：运算 向量形式坐标形式：()11,y x a =；()22,y x b =加法三角形法则(作图)：=+BC AB AC平行四边形法则(作图)：AB AD +=ACa +b=()2121,y y x x ++减法作图：=-AC AB CBa -b=()2121,y y x x --数乘a λ是一个向量，=aλ||||a λ方向：0>λ时，与a 同向；0<λ时，与a 反向；0=λ时，0=a λ()11,y x a λλλ=数量积 a ·b=θcos ||||b a a ·b=2121y y x x +A BC ABC DABC三、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若1e 与2e 不共线，则对平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数1λ、2λ；使得=a2211e e λλ+。
2、向量的模：a＝a a ⋅＝22y x +；非零向量a 与b 的夹角：=θcos 222221212121||||y x y x y y x x b a ba +++=⋅3、向量平行：a ∥b⇔b a λ=⇔1221y x y x =； 向量垂直：a ⊥b⇔0=⋅b a ⇔02121=+y y x x4、中点坐标公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x ；四、复习题1、在下列命题中，正确命题的个数为 ．①a ·0＝0；②0·a＝０；③（→a ·→b ）→c =→a （→b ·→c ） ④b a b a +=-，则0=b ；⑤→a ·→b -→b ·→a =→0；⑥1===→→→c b a ，且→a ∥→b ，→b ∥→c ，则→a 与→c 是模相等且同向或反向的两个向量⑦ a ·b ＝０，则a 与b中至少有一个为0； 2、化简下列各式：（1）)(CD AB -－)(BD AC -= ； （2）BA CO BO OC OA -+++= ． （3）)(MB AB ++)(BC BO ++OM =__________3．已知平面内三点A （-1，0），B （x ，6），P （3，4），且−→−AP =λ−→−PB ，x 和λ的值分别为( ) A ．-7，2 B ．5，2 C ．-7，52 D ．5，524、向量a ，b 满足6=a ，10=b ，则b a -的取值范围是 ．5、已知6=a ，8=b ，10=-b a ，则=+b a ．6、已知OA ＝1e ，OB ＝2e ，且1==OB OA ．∠AOB ＝︒120，又5=OC ， 且OC 平分∠AOB ，用1e ，2e 表示OC = ．7、已知∆ABC 顶点A （―1，12-），B （2，3）及重心坐标G （1，12），则顶点C 的坐标为__________8．已知O （0，0）和A （6，3）两点，若点P 在直线OA 上，且2PA OP =，又P 是线段OB 的中点，则点B 的坐标是 9、已知3,2==b a ，且4=⋅b a ，则向量b 在向量a 上的投影为 ．10、已知|a |=3，|b |=4，且|a －b |=37，则a 与b的夹角为 ．11．已知(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为_____________________ 12.已知点A （4，1），B （-2，7），P 是直线AB 是一点，且||2||AP PB =，求P 的坐标。
平面向量的概念说课稿
平面向量的概念说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是“平面向量的概念”。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学方法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“平面向量”这一章节是高中数学必修 4 的重要内容。
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。
而“平面向量的概念”作为这一章节的起始课，为后续学习向量的运算、向量的坐标表示等内容奠定了基础。
本节课主要介绍了向量的定义、向量的表示方法、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量等基本概念。
通过这些概念的学习，让学生初步认识向量的本质特征，感受向量的应用价值。
二、学情分析学生在之前的学习中已经掌握了数量的概念和运算，具备了一定的数学抽象和逻辑推理能力。
但向量对于学生来说是一个全新的概念，它的抽象性和双重性（既有大小又有方向）可能会给学生的理解带来一定的困难。
不过，高中生的思维已经逐渐从形象思维向抽象思维过渡，他们具备了一定的自主探究和合作学习的能力，只要引导得当，学生能够通过观察、思考、讨论等活动，逐步理解和掌握平面向量的概念。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解向量的概念，掌握向量的表示方法。
（2）理解向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量的概念。
（3）能正确区分向量与数量，能根据所给条件判断向量之间的关系。
2、过程与方法目标（1）通过对实际问题的分析，经历向量概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力和数学建模能力。
（2）通过对向量概念的辨析，培养学生的逻辑推理能力和批判性思维能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
（2）通过合作学习，培养学生的团队合作精神和创新意识。
四、教学重难点1、教学重点（1）向量的概念和表示方法。
（2）零向量、单位向量、平行向量、相等向量的概念。
平面向量概念
1．向量的有关概念2．向量的线性运算三角形法则平行四边形法则三角形法则|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.,共线向量定理的深解读定理中限定了a≠0，这是因为如果a＝0，则λa＝0，(1)当b≠0时，定理中的λ不存在；(2)当b＝0时，定理中的λ不唯一．因此限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．向量概念的4点注意(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同．(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．比如：命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”是假命题，因为当b为零向量时，a，c可为任意向量，两者不一定平行．(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．向量线性运算的3点提醒(1)两个向量的和仍然是一个向量．(2)利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点．(3)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用． 1．与向量a 共线的单位向量为±a |a |.2．两非零向量不共线求和时，两个法则都适用；共线时，只适用三角形法则．3．A ，B ，C 三点共线，O 为A ，B ，C 所在直线外任一点，则OA→＝λOB →＋μOC →且λ＋μ＝1.4．若AB →＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线．5．P 为线段AB 的中点⇔OP →＝12(OA →＋OB →)． 6．G 为△ABC 的重心⇔GA→＋GB →＋GC →＝0⇔OG →＝13(OA →＋OB →＋OC →)(O 是平面内任意一点)．7．P 为△ABC 的外心⇔|P A →|＝|PB →|＝|PC →|.8．||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.9．若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2―→＋A 2A 3―→＋A 3A 4―→＋…＋A n －1A n ―→＝A 1A n ―→.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量． 2.在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点G (如图所示)，易知G 为△ABC 的重心，则有如下结论：(1) GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0；(2) AG ―→＝13(AB ―→＋AC ―→)；(3) GD ―→＝12(GB ―→＋GC ―→)＝16(AB ―→＋AC ―→)．3．若OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.4．对于任意两个向量a ，b ，都有：①||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |；②|a ＋b |2＋|a －b |2＝2(|a |2＋|b |2)．当a ，b 不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系． 1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底❶. 2．平面向量的坐标运算运算 坐标表示和(差) 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)数乘 已知a ＝(x 1，y 1)，则λa ＝(λx 1，λy 1)，其中λ是实数 任一向量的坐标已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)3.设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0❷.,(1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.3．已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. 4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [微点提醒]1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)且a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y 2. 2.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2―→＋A 2A 3―→＋A 3A 4―→＋…＋A n －1A n ―→＝A 1A n ―→.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2.在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点G (如图所示)，易知G 为△ABC 的重心，则有如下结论：(1) GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0；(2) AG ―→＝13(AB ―→＋AC ―→)；(3) GD ―→＝12(GB ―→＋GC ―→)＝16(AB ―→＋AC ―→)．3．若OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.4．对于任意两个向量a ，b ，都有：①||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |；②|a ＋b |2＋|a －b |2＝2(|a |2＋|b |2)．当a ，b 不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )A ．0B.1C ．2D ．32．给出下列命题：(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；(3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(4)两向量a ，b 相等的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________．[例1] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝( )A.34AB ―→－14AC ―→B.14AB ―→－34AC ―→C.34AB ―→＋14AC ―→ D ．14AB ―→＋34AC ―→(2)在四边形ABCD 中，BC ―→＝AD ―→，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，则( )A ．AF ―→＝13AC ―→＋23BD ―→ B.AF ―→＝23AC ―→＋13BD ―→C ．AF ―→＝14AC ―→＋23BD ―→ D ．AF ―→＝23AC ―→＋14BD ―→3.已知O ，A ，B 是同一平面内的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC ―→＋CB ―→＝0，则OC ―→＝( )A ．2OA ―→－OB ―→ B.－OA ―→＋2OB ―→C.23OA ―→－13OB ―→D ．－13OA ―→＋23OB ―→4．(2018·大同一模)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则向量BF ―→＝( )A.13a ＋23b B.－13a －23b C ．－13a ＋23b D ．13a －23b5.P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝2AB ―→，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为( )A ．2 B.3 C ．4D ．86.△ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则λ＋μ＝( )A.12 B.－12C ．2D ．－27. (2017·全国Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A.a ⊥b B.|a |＝|b | C.a ∥bD.|a |>|b |8若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝ .9若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为 .10.在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n 等于( )A.2B.－2C.1D.－110.已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足x P A →＋y PB →＋z PC →＝0则x y z s s s BPCAPC APB ::::=∆∆∆22.已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足3P A →＋5PB →＋2PC →＝0，已知△ABC 的面积为6，则△P AC的面积为( )A.92 B ．4C ．3 D.12523.已知P 是△ABC 内一点，且满足PA →＋2PB →＋3PC →＝0，记△ABP ，△BCP ，△ACP 的面积依次为S 1，S 2，S 3，则S 1∶S 2∶S 3等于 ( )A ．1∶2∶3 B ．1∶4∶9 C ．6∶1∶2 D ．3∶1∶2。