迭代法
迭代法
迭代方法也称为滚动方法。
Bai是一个过程，其中变量Du的旧值用于重现新值。
迭代算法是解决计算机问题的基本方法。
它利用了运算速度快的特点，并且适合重复操作，因此计算机可以重复执行一组指令（或某些步骤）。
每次执行指令组（或这些步骤）时，都会从变量的原始值中得出一个新值。
迭代方法分为精确迭代和近似迭代。
典型的迭代方法（例如二分法和牛顿迭代）属于近似迭代。
扩展数据：
对于区间[a，b]和f（a）·f（b）<0上的连续函数y=f（x），通过连续除以函数f（x）零点所在的区间，间隔的两个端点逐渐接近零点，然后获得零点的近似值称为二分法。
令[a，b]为R的封闭区间。
连续二等分方法将创建以下区间序列（[an，BN]），如下所示：A0=a，B0=B，并且对于任何自然数n，[an+1，BN+1]等于[an，cn]或等于[cn，BN]，其中CN表示[an，BN]的中点。
方法介绍
迭代法是一类利用递推公式或循环算法通过构造序列来求问题近似解的方法。
例如，对非线性方程，利用递推关系式，从开始依次计算，来逼近方程的根的方法，若仅与有关，即，则称此迭代法为单步迭代法，一般称为多步迭代法；对于线性方程组，由关系从开始依次计算来过近方程的解的方法。
若对某一正整数，当时，与k无关，称该迭代法为定常迭代法，否则称之为非定常迭代法。
称所构造的序
列为迭代序列。
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法
迭代法是一种通过迭代逼近的方式来求解方程的方法。
它的基本思想是通过不断逼近
方程的解，使得逼近值与真实解的差距越来越小，最终得到方程的解。
下面介绍三种新的迭代法：牛顿迭代法，弦截法和切线法。
一、牛顿迭代法
牛顿迭代法是一种通过利用函数导数的信息来逼近方程解的方法。
它的迭代公式为：
x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
x_n表示第n次迭代得到的逼近解，f(x_n)表示在x_n处的函数值，f'(x_n)表示在x_n 处的导数值。
牛顿迭代法的优点是收敛速度快，通常是二阶收敛，但其缺点是需要计算函数的导数，如果导数计算困难或者导数为零的情况下，该方法可能不适用。
二、弦截法
三、切线法
切线法的优点和牛顿迭代法类似，但其缺点是需要计算函数的导数，且对于初始逼近
解的选择比较敏感。
牛顿迭代法、弦截法和切线法都是三种常用的非线性方程迭代法。
它们各自有着优点
和缺点，适用的领域和条件也不尽相同。
在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方
法来求解非线性方程。
迭代法(iterative method
迭代法(iterative method
迭代法是一种数学方法，通过不断地迭代逼近来求解数学问题。
这种方法通常用于求解方程、优化问题、积分问题等。
迭代法的基本思想是：给定一个初始值或初始解，然后根据一定的规则进行迭代，每次迭代都得到一个新的解，直到满足某个终止条件为止。
这个终止条件可以是精度要求、迭代次数限制等。
常见的迭代法包括：
1.牛顿迭代法：用于求解非线性方程的根，通过不断地逼近方程的根来求解。
2.梯度下降法：用于求解最优化问题，通过不断地沿着负梯度的方向搜索来找到最优
解。
3.牛顿-拉夫森方法：结合了牛顿法和二分法的优点，用于求解非线性方程的根。
4.雅可比迭代法：用于求解线性方程组，通过不断地逼近方程组的解来求解。
5.高斯-赛德尔迭代法：用于求解线性方程组，通过不断地逼近方程组的解来求解。
使用迭代法时需要注意初始值的选择、迭代规则的合理性、终止条件的设定等问题，以确保迭代过程的收敛性和有效性。
同时，迭代法也有一定的局限性，对于一些非线性问题或复杂问题，可能需要进行多次迭代或者采用其他方法进行求解。
迭代法
迭代法
迭代法也叫辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性解决问题。
对非线性方程，利用递推关系式，从开始依次计算，来逼近方程的根的方法，若仅与有关，即，则称此迭代法为单步迭代法，一般称为多步迭代法；对于线性方程组，由关系从开始依次计算来过近方程的解的方法。
若对某一正整数，当时，与k 无关，称该迭代法为定常迭代法，否则称之为非定常迭代法。
称所构造的序列为迭代序列。
求通项公式的方法（用迭代法）已知数列{An},a1=2,an=2a(n-1)-1(n>或=2）求通项公式
an=2a(n-1)-1 an-1=2(a(n-1)-1 ) n>或=2
所以an-1 为等比数列
an-1=(a1-1)*2^(n-1)
an-1=2^(n-1)
an=2^(n-1)+1
牛顿迭代法求开方
数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收
敛。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
用迭代法求平方根
对于A>1,求其平方根可构造用如下公式迭代：
f(x)=(1/a)(x+a/x),a=A/(A-1),迭代初值x0=[√A]+1,[x]为x的取整.如想求70的平方根,可令初值x0=9.
对于A1,用如上方法求出平方根后,在成10^(-n),即得结果.。
2.2 迭代法
x k +1 = 3 x k + 1
计算结果如下: 计算结果如下:
k=0,1,2,3…….
计算方法
k 0 1 2 3 4
xk
1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494
k 5 6 7 8
xk
1.32476 1.32473 1.32Байду номын сангаас72 1.32472
精确到小数点后五位
x = 1.32472
′( x* ) = ϕ ′′( x* ) = L = ϕ ( p−1) ( x* ) = 0, ϕ ( p ) ( x* ) ≠ 0 ϕ 邻域是p阶收敛的。 则迭代过程在 x * 邻域是p阶收敛的。
证: 由于 ϕ ′( x * ) = 0 * ′( x* ) < 1 , 即在 x 邻域 ϕ ϕ ( xk ) 在 x * 处 有局部收敛性, 所以 xk+1 = ϕ( xk ) 有局部收敛性, 将 泰勒展开
计算方法
一、迭代法的基本思想: 迭代法的基本思想: 为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便于 的根， 为求解非线性方程 的根 迭代的等价方程
x = ϕ ( x)
的连续函数。 其中ϕ ( x ) 为x的连续函数。 的连续函数
(2.3)
计算方法
即如果数 α 使 f(x)=0, 则也有 α = ϕ (α ) , 反之, 反之, 若α = ϕ (α ) ,则也有 f (α ) = 0 的右端, 任取一个初值 x ,代入式 x = ϕ ( x ) 的右端, 得到 0
ϕ ′( x ) ≤ L < 1
计算方法
则对于任意的初始值 x0 ∈ S ，由迭代公式 收敛于方程的根。 产生的数列 { xn } 收敛于方程的根。 （这时称迭代法在 α 的S邻域具有局部收敛性。） 邻域具有局部收敛性。）
常用算法——迭代法
常用算法——迭代法常用算法，迭代法迭代法（iteration method）是一种通过重复执行相同的步骤来逐步逼近问题解的方法。
它在计算机科学和数学中被广泛应用，可以解决各种问题，比如求近似解、优化问题、图像处理等。
迭代法的基本思想是通过不断迭代的过程，逐渐逼近问题的解。
每一次迭代都会将上一次迭代的结果作为输入，并进行相同的操作，直到满足其中一种停止条件。
在每次迭代中，我们可以根据当前的状态更新变量的值，进而改善我们对问题解的估计。
迭代法最常用的应用之一是求解方程的近似解。
对于一些复杂方程，很难通过解析方法求得解析解，这时我们可以利用迭代法来逼近方程的解。
具体地，我们可以选择一个初始的近似解，然后将其代入方程，得到一个新的近似解。
重复这个过程，直到得到一个满足我们要求的解。
这个方法被称为迭代法求解方程。
另一个常用的迭代法示例是求解优化问题。
在优化问题中，我们需要找到能使一些目标函数取得最大或最小值的变量。
迭代法可以通过不断优化变量值的方法来求解这种问题。
我们可以从一个初始解开始，然后根据目标函数的导数或近似导数的信息来更新变量的值，使得目标函数的值逐步接近最优解。
这种方法被称为迭代优化算法。
迭代法还可以应用于图像处理等领域。
在图像处理中，我们常常需要对图片进行修复、增强或变形。
迭代法可以通过对图片像素的重复操作来达到修复、增强或变形的目的。
例如，如果我们想要修复一张受损的图片，可以通过迭代地修复每个像素点，以逐渐恢复整个图片。
除了上述示例，迭代法还有很多其他应用，比如求解线性方程组、图像压缩、机器学习等。
总之，迭代法是一种非常灵活和强大的算法，可以解决各种问题。
在实际应用中，迭代法的效果往往受到选择合适的初始值、迭代次数和停止条件的影响。
因此，为了获得较好的结果，我们需要在迭代过程中不断优化这些参数。
同时，迭代法也可能会陷入局部最优解的问题，因此我们需要设计合适的策略来避免这种情况。
总的来说，迭代法是一种重要的常用算法，它可以解决各种问题。
2.2 迭代法
首先用归纳假设证明如下不等式
| x* xk | Lk | x* x1 |
38
当k=1时 x x1 L x x0 ，已证成立。
k 1 x x L x x0 成立，可得 假设 k 1
不动点迭代的几何解释 y=f(x)=x y=g(x)
38
不动点判定定理
设g是一连续函数，且 { pn } 是由不动点迭代 n 0
生成的序列。若 lim pn p ，则p是g(x)的不动点
n
pn 1 p pn p ，则 lim 证：lim n n
g ( p ) g (lim pn ) lim g( pn ) lim pn1 p
1 1 x xk x k 1 x k ( x k ) ( x k 1 ) 1 L 1 L L Lk x k x k 1 x1 x0 1 L 1 L
L越小，收敛越快
38
不动点迭代的图形解释
一般来说从 f ( x ) 0 , 构造 ( x )不止一种，有的
38
由介值定理，存在 x [a , b] 使 f ( x ) 0
即
x ( x ).
②设方程 x ( x ) 还有一根 , 即 a (a ). 则由微分中值定理有
x ( x ) ( ) ( )( x ) L x
x4 2x 2 x 3 0 x 2 ( x)
x 4 1
x 3 ( x) x4 2x2 3
(其中第二式 x4 2 x 2 1=x 4 )
常用算法(一)——迭代法
常用算法——迭代法一、迭代法迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。
设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行：（1）选一个方程的近似根，赋给变量x0；（2）将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0；（3）当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。
上述算法用C程序的形式表示为：【算法】迭代法求方程的根{ x0=初始近似根；do {x1=x0；x0=g(x1)；/*按特定的方程计算新的近似根*/} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)；}迭代算法也常用于求方程组的根，令X=（x0，x1，…，xn-1）设方程组为：xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1)则求方程组根的迭代算法可描述如下：【算法】迭代法求方程组的根{ for (i=0;i<n;i++)x=初始近似根;do {for (i=0;i<n;i++)y=x;for (i=0;i<n;i++)x=gi(X);for (delta=0.0,i=0;i<n;i++)if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x)；} while (delta>Epsilon)；for (i=0;i<n;i++)printf(“变量x[%d]的近似根是%f”，I，x)；printf(“\n”)；}具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制；（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。
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Ax b ( D L U ) x b Dx ( L U ) x b x D 1 ( L U ) x D 1 b
于是 其中 Ax b x D 1 ( L U ) x D 1b BJ x g BJ D ( L U ), g D b
x
(k )
( k 1)
x
( k 2)
) B
k 1
( x (1) x (0) )
k
B B (k ) ( k 1) x x x x (1) x (0) 1 B 1 B
注 : (1) B 越小, 收敛越快. (2) B 接近1时, 收敛慢.
数值分析
数值分析
迭代终止标准
Ax b x M -1 Nx M -1b M -1 (b Nx ) 1 8 0 0 0 20 3 x2 2 x3 1 0 33 4 x x 1 3 11 36 6 x1 3 x2 1 0 12 0
a13 a1n a12 b1 x1 a x2 a x3 a xn a 11 11 11 11 a23 a2 n a21 b2 x1 x3 xn x2 a22 a22 a22 a22 a n1 an 2 ann1 bn xn x1 x2 x n 1 ann ann ann ann
k 0,1, 2,....
迭代到第10次,得到 x(10) (3.000032,1.999838, 0.9998813)T 已知精确解为 x (3, 2,1)T
迭代格式 x ( k 1) Bx ( k ) g 3 0 20 -2 8 8 8 1 , g 33 迭代矩阵B= - 4 0 11 11 11 - 6 36 3 0 12 12 12
数值分析
第六章 线性代数方程组的迭代解法
迭代法适用于求解大型稀疏的线性方程组，其
基本思想是通过构造迭代格式产生迭代序列，由迭代
序列来逼近原方程组的解，因此，要解决的基本问题 是：1. 如何构造迭代格式 2.迭代序列是否收敛
一 . 基本迭代法的格式及收敛性 二 . 几种实用的基本迭代法 三 . 应用实例
A 为系数矩阵，非奇异且设aii≠0；b为右端，x为解向量
A=M+N M的逆容易求得Ax =b (M+N)x=b Mx=-Nx+b x=-M-1Nx+M-1b
Ax b x Bx g,
B M 1 N , g M 1b
数值分析
数值分析
Ax b x Bx g , 基本迭代法的迭代格式 x ( k 1) Bx ( k ) g
k
k
x
(k )
B x x (1) x (0) k 1 B
ln(
1 B x
(1)
x
(0)
)
ln B
数值分析
数值分析
二.几种实用的基本迭代法
1、Jacobi迭代法
2、Gauss-Seidel迭代法
3、超松弛迭代法（SOR)
数值分析
数值分析
1、Jacobi 迭代
B M 1 N , g M 1 b
( k 0,1, 2,)
其中B R nn 称为迭代矩阵，g是已知的n维向量，
给定x (0) ,由迭代格式 x ( k 1) Bx ( k ) g 即可产生迭代序列{ x }。
当 对 x 得
( k 1)
(k )
lim x ( k ) x
(k )
x
B
k
1 B
x (1) x (0)
证明 :由x Bx g和x ( k ) Bx ( k 1) g有 x ( k ) x B( x ( k 1) x ) B( x ( k 1) x ( k ) ) B( x ( k ) x )
从而 x ( k ) x B x ( k 1) x ( k ) B x ( k ) x x
(1) 绝对误差标准。给出容许误差界 当 || x ( k ) x ( k 1) || p 时，p 1, 2, , 终止迭代， 解取为x x ( k ) . 常取p , || x ( k ) x ( k 1) || max | xi( k ) xi( k 1) |
1 1
Jacobi迭代的矩阵格式 x
( k 1)
BJ x
(k )
g
Jacobi迭代矩阵
数值分析
推导其分量形式
由 Ax b ( D L U ) x b Dx ( L U ) x b 得
数值分析
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1n xn b1 a22 x2 a21 x1 a23 x3 a2 n xn b2 ann xn an1 x1 an 2 x2 ann1 xn1 bn 第i个方程除以aii(i =1,2,…,n),得
数值分析
数值分析
收敛性分析
x是精确解 迭代格式为 误差向量 Ax b x Bx g x ( k ) Bx ( k 1) g
(k )
x x
(k )
B( x x
( k 1)
) B
( k 1)
B k (0) 其中 (0) x x (0)是初始误差向量，是一个确定的值
A
p
因 是A的任一特征值, 故定理得证.
定理2 (迭代法收敛的充分条件) 如果迭代格式x ( k ) Bx ( k 1) g的迭代矩阵B的某一种 范数 B 1, 则此迭代格式收敛.
数值分析
数值分析Biblioteka 定理3 如果迭代格式x ( k ) Bx ( k 1) g的迭代矩阵B满足 B 1, 则有如下的误差估计式. B (k ) x x x ( k ) x ( k 1) 1 B x
x1 (20 3 x2 2 x3 ) / 8 x2 (33 4 x1 x3 ) / 11 x (36 6 x 3 x ) / 12 1 2 3
数值分析
数值分析
迭代格式的分量形式为 (k ) (k ) x(k+1) (20 3 x 2 x 1 2 3 )/ 8 (k+1) (k ) (k ) x (33 4 x x 2 1 3 ) / 11 x(k+1) (36 6 x ( k ) 3 x ( k ) ) / 12 1 2 3
k
Bx
(k )
g 取极限
x Bx g Ax b
注：分解A是一个重要问题
数值分析
数值分析
8 例：对线性方程组Ax b，其中A= 4 6 8 解：将A分解为A M N ,其中M = 0 0
-3 2 20 33 11 -1 , b 3 12 36 0 0 0 -3 2 4 0 -1 11 0 , N = 0 12 6 3 0
(k )
B x x ( k ) x ( k 1) 1 B
数值分析
数值分析
又因为x ( k ) Bx ( k 1) g，x ( k 1) Bx ( k 2) g x
(k )
x
( k 1)
B( x
( k 1)
x
( k 2)
)
x ( k ) x ( k 1) B( x ( k 1) x ( k 2) ) B (x
数值分析
数值分析
一 . 基本迭代法的格式及收敛性
设有线性代数方程组 a11x1+a12x2+· · · · +a1nxn=b1 a21x1+a22x2+· · · · +a2nxn=b2 ..................... an1x1+an2x2+· · · · +annxn=bn 用矩阵表示： Ax =b
(0)
(k )
数值分析
数值分析
例：用迭代法求解方程组 x1 2 x2 5 3 x1 x2 5
解 : 构造迭代格式x ( k 1) Bx ( k ) g ,
( k 1) (k ) x1 5 2 x2 ， ( k 1, 2, ) ( k 1) (k ) 3 x1 5 x2 0 2 5 迭代矩阵 B , g 3 0 5
数值分析
数值分析
定义 基本迭代法x ( k 1) Bx ( k ) g产生的迭代序 列{ x ( k ) }，如果对任取初始向量x (0)都有 lim x ( k ) x，
k
则称此迭代法是收敛的，否则是发散的。 在Rn中，点列的收敛等价于每个分量的收敛。即
(k ) (k ) (k ) T 对x ( k ) ( x1 , x2 , , xn ) , T x ( x1 , x2 , , xn ) Rn , (k ) (k ) 则 lim x x lim xi xi ,( i 1, 2, , n) k k
数值分析
数值分析
Jacobi迭代的分量形式
a13 a1n a12 b1 x1 a x2 a x3 a xn a 11 11 11 11 a23 a2 n a21 b2 x1 x3 xn x2 a22 a22 a22 a22 a n1 an 2 ann1 bn xn x1 x2 x n 1 ann ann ann ann