浙江省丽水市2020-2021学年高一上学期期末数学试题
丽水市2020学年第一学期普通高中教学质量监控高一数学 试题卷（2021.2） 选择题部分（共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. sin120︒=（ ）A. B.12C. D. 12-A利用诱导公式()sin 180sin x x ︒-=，可以得到本题答案.因为()sin 180sin x x ︒-=，所以sin120sin 60︒︒==故选：A 本题主要考查利用诱导公式求三角函数值，属基础题. 2. 命题“2,1x R x ∃∈>”的否定是（ ） A. 2,1x x ∃∈≤R B. 2,1x R x ∃∈< C. 2,1x R x ∀∈≤ D. 2,1x R x ∀∈<C由含有一个量词命题的否定的定义求解. 因为命题“2,1x R x ∃∈>”是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即2,1x R x ∀∈≤，故选：C3. 已知0.22a =，0.42b =， 1.212c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. a c b <<D. c a b <<D由 1.21.2122c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，再根据指数函数2xy =的单调性比大小.1.21.2122c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，又函数2x y =单调递增，故 1.20.20.4222-<<，即c a b <<，故选：D.对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还 是负，从而确定所比值的大小．分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准． 4. 已知x ∈R ，则“11x -<”是“24x <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件A解绝对值不等式化简11x -<，解指数不等式化简24x <，再利用充分条件与必要条件的定义判断即可.由11x -<可得11102x x -<-<⇔<<， 由24x <可得2222x x <⇔<，因为02x <<能推出2x <，2x <不能推出02x <<， 所以“11x -<”是“24x <”的充分不必要条件，故选：A. 5. 函数21()f x x x =-的图象大致形状是（ ） A. B.C. D.D利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值即可判断 解：函数的定义域为{}0x x ≠， 因为2211()()()f x x x f x x x-=--=-=-， 所以()f x 为偶函数，所以其图像关于y 轴对称，所以排除A ，B ， 因为2117(2)220244f =-=-=>，所以排除C ，故选：D6. 若,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 5α=，()3sin 5αβ-=-，则sin β=（ ）A. 25- B. 5-C.D.25C根据题中条件，由同角三角函数基本关系，先求出cos α，()cos αβ-，再由两角差的正弦公式，即可求出结果.因为,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,2πβπ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，因为sin α=()3sin 5αβ-=-，所以cos 5α==-，()4cos 5αβ-==，则()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ⎡⎤=--=---⎣⎦4355555⎛⎛⎫---= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⨯=.故选：C.7. 已知正数x ，y 满足1431x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A. 53B. 2C.73D. 6B化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解.由题得1114 (1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x yx y+=++-=++⨯-=++⨯+-+114114(5)1(52)123131y x y xx y x y++=++-≥+-=++当且仅当1x y==时取等.所以x y+的最小值为2.故选：B方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.8. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设大正方形ABCD的面积为1S，小正方形EFGH的面积为2S，且125SS=，则tan ADE∠=（）A.13B.12C. 2D. 3B5a，则由已知条件可得小正方形的边长为a，设AE为x，在在Rt ADE△中，由勾股定理得，2225)()a x x a=++，可求得x a=，所以1tan22AE aADEDE a∠===5a，因为125SS=，所以2255aS=，得22S a=，所以小正方形的边长为a，所以5,AB BC CD DA a EF FG GH HE a========，设AE为x，则DH CG AE BF x====，在Rt ADE△中，由勾股定理得，222AD AE DE=+所以2225)()a x x a=++，解得x a =或2x a =-（舍去）， 所以1tan 22AE a ADE DE a ∠===故选：B 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分） 9. 已知0a b <<，则（ ） A. 22a b < B. 2ab b <C. 2ab a <D.11a b> CD由两边都是正数的不等式可以平方，不等号方向不变可判断A ，根据不等式两边同乘以一个负数，正数的性质，即可判断答案BCD.因为0a b <<，所以0a b ->->，可得22a b >，故A 错误； 因为0a b <<，所以两边同乘以负数b ，可得2ab b >，故B 错误； 因为0a b <<，所以两边同乘以负数a ，可得2ab a <，故C 正确； 因为0a b <<，所以两边同乘以正数1ab ，可得11a b>，故D 正确.故选：CD. 10. 记函数cos y x =的图象为1C ，函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为2C ，则（ ）A. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移3π个单位长度，得到2C ；B. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移56π个单位长度，得到2C C. 把1C 向左平移3π个单位长度，再把得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到2C D. 把1C 向左平移3π个单位长度，再把得到图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到2C BC利用函数()sin +y A x ωϕ=的图象变换规律对各个选项进行检验即可.对于A ， 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到1cos 2y x =，再把得到的图象向左平移3π个单位长度，得到1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，错误；对于B ， 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到cos 2y x =， 再把得到的图象向右平移56π个单位长度，得到55cos 2cos 2cos 2633y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，正确；对于C ， 把1C 向左平移3π个单位长度，得到cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，正确； 对于D ， 把1C 向左平移3π个单位长度，得到cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，错误.故选：BC.本题考查函数()sin +y A x ωϕ=的图象变换规律，可以先平移变换再伸缩，或先伸缩变换再平移变换，属于基础题.11. 已知函数()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，当[]2,3x ∈时，()12f x x =--，则下列选项正确的是（ ） A. ()f x 在()3,2--上为减函数 B. ()f x 的最大值是1 C. ()f x 的图象关于直线2x =-对称 D. ()f x 在()4,3--上()0f x <BCD先由已知区间对应的函数解析式，判定函数单调性，再由函数奇偶性可判断A 错；再由题中条件，确定函数的周期，以及函数的对称性，根据周期性求出函数值域，进而可判断BCD 正确.因为当[]2,3x ∈时，()[]121230,1f x x x x =--=-+=-∈，则函数()f x 在[]2,3x ∈上递减， 又函数()f x 是偶函数，所以()f x 在()3,2--上为增函数；故A 错； 因为函数()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，所以()()f x f x -=，()()11f x f x -+=-+，则()()11f x f x -=-+，所以()()2=-+f x f x ，则()()()24f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x +=， 所以()f x 以4为周期；则()()()222f x f x f x +=-=-，所以()f x 关于直线2x =对称， 因此当[]1,2x ∈时，()[]0,1f x ∈；当[]0,1x ∈时，[]22,3x +∈，则()212211f x x x x +=-+-=-=-，又()()2=-+f x f x ，所以()[]11,0f x x =-∈-；因为偶函数关于y 轴对称，所以当[]1,0x ∈-时，()[]1,0f x ∈-； 综上，当[]13,x ∈-时，()[]1,1f x ∈-；又()f x 是以4为周期的函数，所以x R ∀∈，()[]1,1f x ∈-，则()max 1f x =，故B 正确； 因为()()()222f x f x f x +=-=-+，函数()f x 为偶函数，所以()()22f x f x +=--，因此()()22f x f x -+=--，所以()f x 的图象关于直线2x =-对称；即C 正确；因为()0,1x ∈时，()10f x x =-<显然恒成立，函数()f x 是以4为周期的函数， 所以()f x 在()4,3--上也满足()0f x <恒成立；故D 正确；故选：BCD. 思路点睛：求解函数基本性质相关问题时，一般性需要根据题中条件，确定函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等，利用求解析式的方法求解函数的值域，最值等即可.12. 已知()1xe x x R ≥+∈，当且仅当0x =时取等号，则（ ）A. ()1()x f x x x R e=+∈的最小值为1 B. ()()0xe f x x x=>的最小值为1C. ()()ln 0f x x x x =->的最小值为1D. ()1()0x f x xe x =>的最小值1 AC分别求导，判断函数单调性并求最值，判断正误.A ：()1()x f x x x R e =+∈，11()1x x x e f x e e-'=-=，函数()f x 在,0上单调递减，在0,上单调递增，故函数()f x 的最小值为(0)1f =，A 选项正确；B ：()()0xe f x x x =>，()21()x e x f x x-'=，函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，故函数()f x 的最小值为(1)f e =，B 选项错误； C ：()()ln 0f x x x x =->，11()1x f x x x'-=-=，函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，故函数()f x 的最小值为(1)1f =，C 选项正确； D ：()1()0xf x xex =>，()1211211()xx x x e f x xe x e x x-'=+⋅⋅=，函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，故函数()f x 的最小值为(1)f e =，D 选项错误；故选：AC.在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．非选择题部分（共90分）三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 已知幂函数(),ny mx m n R =∈的图象经过点()2,8，则m n -=_______.2-根据幂函数的定义确定m 的值，再由函数图象经过点()2,8，代入可得n ，进而可得所求.由函数(),ny mx m n R =∈为幂函数，可知1m =，故n y x =，由函数图象经过点()2,8， 所以28n =，即3n =， 故132m n -=-=-， 故答案为：2-.14. 若36a =，2log 6b =，则11a b+=________. 1先由36a =得到3log 6a =，再由换底公式，计算所求式子，即可得出结果. 由36a =可得3log 6a =， 又2log 6b =，所以666321111log 3log 2log 61log 6log 6a b +=+=+==. 故答案为：1.15. 函数2lg(23)y x x =-++的单调递增区间是______.(-1,1]先求得函数的定义域，然后根据复合函数同增异减来求得函数的单调递增区间. 由2230x x -++>得13x .设22()23(1)4(13)u x x x x x =-++=--+-<<，则()u x 在区间(]1,1-上单调递增，在区间[1,3)上单调递减.又lg y x =在(0,)+∞上单调递增，所以函数2lg(23)y x x =-++的单调递增区间是(]1,1-. 故答案为：(-1,1]本小题主要考查对数型复合函数单调区间的求法，属于基础题. 16. 若函数()()sin cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ=________.22k +ππ，k Z ∈先对函数化简得())f x x θ=+（其中sin 1tan cos ϕθϕ+=），由于()f x 的最大值为22=，从而可求出ϕ的值 解：()()sin cos sin cos cos sin cos f x x x x x x ϕϕϕ=++=++cos sin (sin 1)cos x x ϕϕ=++22cos (sin 1)sin()x ϕϕθ=+++（其中sin 1tan cos ϕθϕ+=）， 由()f x 的最大值为2 得22cos (sin 1)2ϕϕ++=，化简得sin 1ϕ=， 则 2,2k k Z πϕπ=+∈，故答案为：22k+ππ，k Z ∈ 17. 已知函数()(),04()6,4x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()f x 在区间[],a b 上的值域为[]1,2-，则+a b 的一个可．．．能．的值为________. 7([]7,11内的任何一个数均可)作出函数()f x 的图象，根据图象可得04a ≤≤，7b =，711a b ≤+≤，由此可得答案. 当04x ≤≤时，()f x x =为增函数，且0()2f x ≤≤， 当4x >时，()6f x x =-+为减函数，且()2f x ，()f x 的图象如图：因为()f x 在区间[],a b 上的值域为[]1,2-， 由图可知04a ≤≤，7b =，所以711a b ≤+≤，所以+a b 的一个可能的取值为7. 故答案为：7([]7,11内的任何一个数均可)关键点点睛：结合函数图象求出04a ≤≤，7b =是解题关键.18. 设函数2()f x ax bx c =++且()()10f a λλ=≠，对于0a ∀>，,b c R ∈，()f x 在区间()0,2内至少有一个零点，则符合条件实数λ的一个．．值是________. ()1,0-内的任何一个数均可根据题意，求得(1)b c a λ+=-，其中0a >，根据二次函数的性质，分0c 、0c >和0c <三种情况讨论，结合零点的存在定理，即可求解.由题意，函数2()f x ax bx c =++且()()10f a λλ=≠，可得a b c a λ++=，即(1)b c a λ+=-，其中0a >，又由()(0),(1),242f c f a b c a f a b c λ==++==++若0c ，可得()00,(2)4242(1)0f f a b c a a λ==++=+->，解得1λ>-；若0c >，可得(0)0f c =>，则(1)0f a b c a λ=++=<，则0λ<，符合题意；若0c <，可得(0)0f c =<，()242(22)0f a b c a c λ=++=+->，所以220λ+>，解得1λ>-，综上可得，实数λ的取值范围是(1,0)-.故答案为：()1,0-内的任何一个数均可.有关函数零点的判定方法及策略：（1）直接法：令()0f x =，有几个解，函数就有几个零点；（2）零点的存在定理法：要求函数()f x 在区间[],a b 上连续不断的曲线，且()()0f a f b <，再结合函数的图象与性质确定零点的个数；（3）图象法：利用图象交点的个数，作出两函数的图象，观察其交点的个数，得出函数()f x 的零点个数.四、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 已知集合()(){}130A x x x =--<，{}1B x a x a =<<+.（1）当2a =时，求A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.（1）{}23A B x x ⋂=<<；（2）12a ≤≤.（1）根据交集的运算可得结果；（2）根据B A ⊆列式可解得结果.（1）由题意有{}13A x x =<<，{}23B x x =<<.∴{}23A B x x ⋂=<<.（2）由题意有113a a ≥⎧⎨+≤⎩得12a ≤≤. 20. 已知函数22()log x f x x+=. （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 在()0,∞+内的单调性，并证明你的结论；（3）是否存在实数m ，使得()()g x f x m =-为奇函数？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.（1）{|2x x <-或0}x >；（2）()f x 在()0,∞+内单调递减，证明见解析；（3）存在，1m =. （1）根据对数的真数为正数列式，解不等式可得结果；（2）()f x 在()0,∞+内单调递减，利用减函数的定义可证明结论正确；（3）假设存在实数m ，使得()()g x f x m =-为奇函数，利用()()0g x g x +-=求出1m =即可得解.（1）要使函数有意义，则20x x+>，则()20x x +>，得2x <-或0x >. ∴函数的定义域为{|2x x <-或0}x >.（2）()f x 在()0,∞+内单调递减，证明：任取()12,0,x x ∈+∞且12x x <，()()()()2112122221212222log log log 2x x x x f x f x x x x x +++-=-=+， ∵120x x <<，∴122121220x x x x x x +>+>，∴()()2112212x x x x +>+，∴()()212122log 02x x x x +>+，∴()()12f x f x >， ()f x 在()0,∞+内单调递减.（3）假设存在实数m ，使得()()g x f x m =-为奇函数， 因为22()()log x m g x f x m x m -+=-=-，2222()log log x m x m g x x m x m--+-+-==----，所以()()0g x g x +-=，即2222log log 0x m x m x m x m+--++=+-， 所以(2)(2)1()()x m x m x m x m +--+=+-， 所以2222(2)x m x m --=-，即22(2)m m -=，解得1m =.故存在实数m 1=，使得()()g x f x m =-为奇函数.关键点点睛：掌握函数单调性的定义和奇偶性的定义是本题解题关键.21. 某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功. 该公司研发芯片已经耗费资金5（千万元），现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）成正比，已知每投入1（千万元），公司获得毛收入0.25（千万元）；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为()0a y kxx =>，其图象如图所示.（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入40（千万元）资金同时生产A ，B 两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.（1）)1(0)204y x x y x x =>=>，；（2）9（千万元）. （1）利用待定系数法，根据投入与获得毛收入情况以及图象上的特殊点可求出解析式； （2）设对B 芯片投入资金x （千万元），则对A 芯片投入资金40x -（千万元），利润40254x L x -=+，换元后再利用二次函数求最值即可求解． （1）因为生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，故设()0y mx x =>，因为每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元，故114m =⨯，所以14m =，因此对于A 芯片，毛收入y 与投入x 的资金关系为：()104y x x =>. 对于B 芯片，由图象可知，244a k k =⎧⎨=⎩，故122a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 因此对于B 芯片，毛收入y 与投入x的资金关系为：)0y x =>.（2）设对B 芯片投入资金x （千万元），则对A 芯片投入资金40x -（千万元），假设利润为L，则利润4054x L -=+，040x <<.令(0,t =，则221125(4)944L t t t =-++=--+， 当4t =即16x =（千万元）时，有最大利润为9（千万元）.方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.22.已知函数21()sin cos 2f x x x x =+. （1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（2）若关于x 的方程()2()1()0f x m f x m -++=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.（1）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）322m ≤<. （1）先化简函数得()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的图象和性质求解； （2）转化得到sin 216x m π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的实数根，再利用数形结合分析求解.（1）解：1cos 21()2sin 212226x f x x x π-⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭. ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52666x πππ-≤-≤，∴1sin212 26xπ⎛⎫≤-+≤⎪⎝⎭，∴()f x的值域是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）∵2()(1)()0f x m f x m-++=，∴(()1)(())0f x f x m--=，∴()1f x=或()f x m=，即sin206xπ⎛⎫-=⎪⎝⎭或sin216x mπ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，当sin206xπ⎛⎫-=⎪⎝⎭时，因为52666xπππ-≤-≤，所以20,612x xππ-=∴=.所以sin216x mπ⎛⎫-=-⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的实数根，由图像可知1112m≤-<得322m≤<.方法点睛：函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法；（2）图象法（直接画出函数()f x的图象分析求解）；（3）方程+图象法（令()=0f x得到()()g x h x=，再分析(),()g x h x的图象得解）.23. 设函数(]()2,0,1()2,1,ax xf x xx ax x⎧+∈⎪=⎨⎪-++∈+∞⎩，a R∈.（1）若()f x在()0,∞+上是单调函数，求a的取值范围；（2）求()f x在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值()g a.（1）12a ≤≤；（2）211,2112,4()222,484414,8a a a a g a a a a a ⎧+≤⎪⎪⎪+<≤+⎪=⎨⎪+<≤⎪⎪⎪->⎩. （1）分别讨论当0a ≤和当0a >时的单调性，最终求出答案；（2）对a 进行分类讨论，从而求出答案.（1）当0a ≤时，因为a y x x=+在(]0,1上是增函数，22y x ax =-++在()1,+∞上是减函数，所以0a ≤不符； 当0a >时，由112a ≥⎨≤⎪⎩，得12a ≤≤. 综上，12a ≤≤；（2）①当0a ≤时，由（1）知a y x x =+在(]0,1上是增函数，22y x ax =-++在()1,+∞上是减函数，且在=1x 处连续，∴()()11g a g a ==+. ②当104a <≤时，由（1）知()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在(]1,4上是减函数， ∴()()11g a g a ==+.③当114a <<时，()f x在12⎡⎢⎣上是减函数，在⎤⎦上是增函数，在(]1,4上是减函数， ∴11()max ,(1)max 2,122g a g g a a ⎧⎫⎛⎫⎧⎫==++⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭111,42112,122a a a a ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+<<⎪⎩. ④当12a ≤≤时，()f x 在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数， ∴11()222g a g a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⑤当28a <<时，()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在(上是增函数，在⎤⎦上是减函数， ∴211()max ,max 2,22224a a g a g g a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫==++⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭212,2422,484a a a a ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪++<<⎪⎩. ⑥当8a ≥时，()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在(]1,4上是增函数， ∴11()max ,(4)max 2,41441422g a g g a a a ⎧⎫⎛⎫⎧⎫==+-=-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭.综上，211,2112,4()222,484414,8a a a a g a a a a a ⎧+≤⎪⎪⎪+<≤+⎪=⎨⎪+<≤⎪⎪⎪->⎩. 本题涉及分类讨论的思想，在分类讨论的时候要细心，要全面，分类讨论之后一定要总结.。
2020-2021学年浙江省丽水市高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年浙江省丽水市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数(2−i)i的虚部为()A. −1B. 1C. 2D. 2i2.先后抛掷质地均匀的硬币两次，则“一次正面向上，一次反面向上”的概率为()A. 14B. 12C. 23D. 343.已知平面向量a⃗，b⃗ ，c⃗，下列结论中正确的是()A. 若a⃗//b⃗ ，则a⃗=b⃗B. 若|a⃗|=|b⃗ |，则a⃗=b⃗C. 若a⃗//b⃗ ，b⃗ //c⃗，则a⃗//c⃗D. 若|a⃗+b⃗ |=|a⃗|+|b⃗ |，则a⃗//b⃗4.已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为x−，方差为s2，则()A. x−=5，s2=2B. x−=5，s2>2C. x−=5，s2<2D. x−>5，s2<25.从装有2个红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球，事件A=“至少有1个红球”，事件B=“至多有1个白球”，则()A. P(A)<P(B)B. P(A)=P(B)C. P(A∪B)=P(A)+P(B)D. P(A)+P(B)=16.若向量a⃗=(1,√3)，b⃗ =(4,0)，则a⃗在b⃗ 上的投影向量为()A. (1,0)B. (1 , √3)C. 1D. 27.新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力．2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是( )A. 第一产业的生产总值与第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值基本持平B. 第一产业的生产总值超过第三产业中“房地产业”的生产总值C. 若“住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，则“金融业”生产总值为32500亿元D. 若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元8. 已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2B. −14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2C. √34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2D. −√34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是不同的平面，则下列结论正确的是( )A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m//n ，α//β，m ⊥α，则n ⊥βC. 若α//β，m ⊂α，n ⊂β，则m//nD. 若m ⊥α，m//n ，n ⊂β，则α⊥β10. 下列四个命题中，不正确的是( )A. 若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈RB. 若复数z 1，z 2满足z 1=z 2−，则z 1z 2∈RC. 若复数z =a +bi(a,b ∈R)，则z 为纯虚数的充要条件是a =0D. 若(z 1−z 2)2+(z 2−z 3)2=0，则z 1=z 2=z 311. 已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有( )A. 从高中生中抽取了440人B. 每名学生被抽到的概率为1C. 估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D. 估计高中学生的近视人数约为4400012.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点P是AA1的中点，点M是侧面AA1B1B内的动点，且满足D1M⊥CP，下列选项正确的是()A. 动点M轨迹的长度是2√5B. 三角形A1D1M在正方体内运动形成几何体的体积是323C. 直线D1M与BC所成的角为α，则tanα的最小值是2√55D. 存在某个位置M，使得直线BD1与平面A1D1M所成的角为π4三、单空题（本大题共6小题，共30.0分）13.空气质量指数(AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数，AQI的数值越大、级别和类别越高，说明空气污染状况越严重．当空气质量指数在0～50时，空气质量指数级别为一级(优)；当空气质量指数在51～100时，空气质量指数级别为二级(良)……为了加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对我市2020年的空气质量进行调研，随机抽取了100天的空气质量指数(AQI)，得下表：空气质[0,30](30,40](40,50](50,60](60,70](70,80](80,100]>100量指数天数821221817851依据上表，估计我市某一天的空气质量指数级别为一级(优)的概率是______．(i是虚数单位)，则|z|=______．14.已知复数z=1+i1−i15.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2+c2−a2=√2bc，c=4，则边a的取值范围是______．16.已知复数z满足|z+3+4i|=2，则|z|的最大值是______ ．17.已知球O的球面面积为100π，四面体SABC的四个顶点均在球面上，且SA⊥平面ABC，SA=6，∠ABC=60°，则该四面体的体积的最大值是______．a⃗，则|c⃗|+|2c⃗+3a⃗|的最18.已知平面向量a⃗，b⃗ ，满足|a⃗|=1，|b⃗ |=2，c⃗=b⃗ −12大值是______．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）19.某景区的平面图如图所示，其中AB，AC为两条公路，∠BAC=120°，M，N为公路上的两个景点，测得AM=2km，AN=1km，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台P，为了获得最佳观景效果，要求P对M，N的视角∠MPN=60°.现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN．(Ⅰ)求M，N两地间的直线距离；(Ⅱ)求观光线路PM+PN长的取值范围．20.以简单随机抽样的方式从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在50～400kw⋅ℎ之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)求直方图中x的值；(Ⅱ)估计该小区居民用电量的平均值和中位数；(Ⅲ)从用电量落在区间[300,400)内被抽到的用户中任取2户，求至少有1户落在区间[350,400)内的概率．21. 如图，已知在矩形ABCD 中，AB =√2，BC =2，点E 是边BC 的中点，DE 与AC相交于点H ，现将△ACD 沿AC 折起，点D 的位置记为D′，此时ED′=√153，M 是AD′的中点．(Ⅰ)求证：BM//平面D′HE ； (Ⅱ)求二面角H −ED′−C 的余弦值．22. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．(Ⅰ)已知b =c(cosA −sinA)，且____(在①CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1−√3，②B =π6，③a =√3−1，这三个条件中任选两个补充到横线上)，求c ；(Ⅱ)若CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE 与BD 交于点F ，过F 的直线分别交线段AD ，BE 于M ，N 两点，设CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =p CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =q CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，求p +q 的最小值．23.如图，已知在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC⊥BC，∠ABC=60°，SA=SB=SC=4，∠ASB=90°．(Ⅰ)求SC与平面SAB所成的角的正弦值；(Ⅱ)棱SC上是否存在点M，使得平面MAB⊥平面SCD？若存在，求SM的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：复数(2−i)i=1+2i，故它的虚部为2，故选：C．由题意利用复数的有关概念，得出结论．本题主要考查复数的有关概念，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：先后抛掷质地均匀的硬币两次，则“一次正面向上，一次反面向上”的概率为：p=12×12+12×12=12．故选：B．利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式求解．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式的合理运用．3.【答案】D【解析】解：如a⃗=2b⃗ 满足a⃗//b⃗ ，得不出a⃗=b⃗ ，∴A错误；比如a⃗=−b⃗ ，满足|a⃗|=|b⃗ |，得不出a⃗=b⃗ ，∴B错误；比如，b⃗ =0⃗，a⃗，c⃗不共线，满足a⃗//b⃗ ,b⃗ //c⃗，得不出a⃗//c⃗，∴C错误；满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗|+|b⃗ |时，可得出a⃗，b⃗ 同向，从而得出a⃗//b⃗ ，∴D正确．故选：D．根据向量平行和相等的定义即可判断选项A，B都错误，可取b⃗ =0⃗，a⃗,c⃗不共线，从而判断选项C错误，从而只能选D．本题考查了向量平行和相等的定义，向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5， 此时这20个数据的平均数为x −，方差为s 2， 则x −=19×5+520=5，∴s 2=120[19×2+(5−5)2]=1.9<2．故选：C ． 推导出x −=19×5+520=5，从而s 2=120[19×2+(5−5)2]=1.9，由此能求出结果．本题考查平均数、方差的求法，考查平均数、方差的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：从装有2个红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球， 事件A =“至少有1个红球”，事件B =“至多有1个白球”， P(A)=C 21C 41+C 22C 62=35，P(B)=C 21C 41+C 22C 62=35，∴P(A)=P(B)，故A 错误，B 正确； P(A ∪B)=P(A)=C 21C 41+C 22C 62=35，故C 错误；P(A)+P(B)=35+35=65，故D 错误． 故选：B ．利用古典概型概率计算公式、排列组合直接求解事件A ，B 的概率，再根据选项判断即可．本题考查概率的计算，古典概型概率计算公式、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(4,0)， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =4，∴a ⃗ 在b ⃗ 上的投影为|a ⃗ |cos <a ⃗ ，b ⃗ >=|a ⃗ |⋅a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=a ⃗ ⋅b⃗ |b⃗ |=44=1，∴a ⃗ 在b ⃗ 上的投影向量为(1,0)．a ⃗ 在b ⃗ 上的投影为|a⃗ |cos <a ⃗ ，b ⃗ >=a⃗ ⋅b ⃗ |b ⃗ |，再由平面向量数量积的坐标运算，即可得解． 本题考查平面向量数量积的几何意义，及坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：对于A ，57%×6%<6%，故A 错误； 对于B ，57%×13%>6%，故B 错误； 对于C ，75003%×16%=40000亿，故C 错误； 对于D ，若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为4104016%×57%×37%=166500亿元，故D 正确． 故选：D ．利用扇形统计图和第三产业中各行业比重统计图的性质直接求解．本题考查命题真假的判断，考查扇形统计图和第三产业中各行业比重统计图的性质法等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知，O 为BC 的中点，如图所示．又O 为△ABC 外接圆的圆心，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴BC 为直径，且∠ABC =π3，向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos π3=12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅12 =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2． 故选：A ．由2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知，O 为BC 的中点，BC 为直径，作图再结合向量的数量积运算得答案．本题考查平面向量的平行四边形法则，考查平面向量的数量积运算，考查直观想象与数学运算的核心素养，是基础题．9.【答案】BD【解析】解：设m，n是两条不同的直线，α，β是不同的平面，则：对于A，若m//α，n//α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，若m//n，α//β，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得n⊥β，故B正确；对于C，若α//β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若m⊥α，m//n，n⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：BD．对于A，m与n相交、平行或异面；对于B，由线面垂直的判定定理得n⊥β；对于C，m与n相交、平行或异面；对于D，由面面垂直的判定定理得α⊥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．10.【答案】ACD【解析】解：若复数z满足z2∈R，则z可以为实数，也可为纯虚数，故A错误；若复数z1，z2满足z1=z2−，则z1z2=z2−z2，为实数，故B正确；若复数z=a+bi(a,b∈R)，则z为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0，故C错误；(z1−z2)2+(z2−z3)2=0，则不一定有z1=z2=z3，例如z1=1+z2，z3=z2+i时，故D错误，故选：ACD．由题意利用复数的概念和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查复数的概念和性质，属于基础题．11.【答案】AB【解析】解：从高中生中抽取人数为55000120000+75000+55000×2000=440，∴A对；每名学生被抽到的概率为2000120000+75000+55000=1125，∴B对；该地区中小学生总体的平均近视率为120000×0.3+75000×0.7+55000×0.8120000+75000+55000×100%=53%，∴C 错；故选：AB．按照高中生人数占的比例可求得抽取人数，可判断A；用抽取的容量除以总人数可判断B；按照小学、初中、高中生近视率及人数可计算总体的平均近视率；按照高中生近视率及人数可计算近视人数．本题考查分层抽样，考查数学运算能力，属于基础题．12.【答案】ABC【解析】解：如图，取AD、AB的中点E、F，连接PD、D1E、EF、A1F、B1F、B1D1、BD1，则D1E⊥PD，D1E⊥DC，则D1E⊥平面PCD，则D1E⊥PC，同理可证，EF⊥PC，则PC⊥平面D1EFB1，则点M∈平面D1EFB1，又由点M∈平面AA1B1B，则点M∈B1F，即动点M轨迹为线段B1F，其长度为√22+42=2√5，故A对，三角形A1D1M在正方体内运动形成几何体是三棱锥F−A1B1D1，其体积为13×12×4×4×4=323，故B对，∵BC//A1D1，∴直线D1M与BC所成的角即直线D1M与A1D1所成的角，即∠A1D1M=α，∵A1D1⊥平面AA1B1B，∴△A1D1M为直角三角形，故tanα=A1MA1D1=14A1M，且当A1M⊥B1F时，A1M最小，此时，A1M=4×42√5，故tanα的最小值是14A1M=14×4×42√5=2√55，故C对，当点M与B1重合时，直线BD1与平面A1D1M所成的角最大，设设直线BD1与平面A1D1B1所成的角为β，则sinβ=√33<√22，故β<π4，故D错，故选：ABC．取AD、AB的中点E、F，连接PD、D1E、EF、A1F、B1F、B1D1、BD1，从而利用线面垂直的判定定理及性质定理可证明PC⊥平面D1EFB1，从而得到动点M轨迹为线段B1F，从而可知A对，由以上可知三角形A1D1M在正方体内运动形成几何体是三棱锥F−A1B1D1，从而可知B 对，直线D1M与BC所成的角即直线D1M与A1D1所成的角，即∠A1D1M=α，结合A1D1⊥平面AA1B1B可知△A1D1M为直角三角形，从而可得tanα=A1MA1D1=14A1M，从而在平面AA1B1B中求A1M的最小值，从而可知C对，易知当点M与B1重合时，直线BD1与平面A1D1M所成的角最大，设设直线BD1与平面A1D1B1所成的角为β，可得sinβ=√33<√22，从而判断D选项．本题考查了线面垂直的判定定理的应用及性质定理的应用，同时考查了线面角、异面直线所成的角及三棱锥的体积公式等，考查了转化思想应用及空间想象力，属于难题．13.【答案】0.51【解析】解：根据已知表可得估计我市某一天的空气质量指数级别为一级(优)的概率为：P=8+21+22100=51100=0.51，故答案为：0.51．根据已知表格以及古典概型的概率计算公式即可求解．本题考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题．14.【答案】1【解析】解：z=1+i1−i =z=(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2i2=i，∴|z|=1，故答案为：1首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，是一个纯虚数，求出模长．本题考查复数的求模，本题解题的关键是把复数整理成复数的代数形式的标准形式，得到实部和虚部，求出模长．15.【答案】(2√2,4)【解析】解：因为b2+c2−a2=√2bc，所以由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc =√2bc2bc=√22，因为A为锐角，所以A=π4，因为在锐角△ABC中，{C∈(0,π2)3π4− C∈(0,π2)，可得C∈(π4,π2)，所以sinC∈(√22,1)，由正弦定理asinA =csinC，可得a=c⋅sinAsinC=4×√22sinC=2√2 sinC∈(2√2,4)．故答案为：(2√2,4)．由已知利用余弦定理可得cosA=√22，结合A为锐角，可得A的值，由题意可求范围C∈(π4,π2)，利用正弦函数的性质可得sinC∈(√22,1)，进而根据正弦定理可得a=2√2 sinC的范围．本题主要考查了余弦定理，正弦函数的性质，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．16.【答案】7【解析】解：∵|z+3+4i|=2≥|z|−|3+4i|∴|z|≤2+|3+4i|=2+5=7，故|z|的最大值是7，故答案为：7．根据|z+3+4i|=2≥|z|−|3+4i|，求得|z|的最大值．本题主要考查绝对值三角不等式的应用，复数求模，属于基础题．17.【答案】24√3【解析】解：如图，设球的半径为R，∵球面面积为100π，即4πR2=100π，∴R=5，∵SA⊥平面ABC，SA=6，满足侧棱⊥底面，可转化为直棱柱外接球计算，设△ABC外接球的半径为r，锥高ℎ=SA=6，由题可知，R2=(12ℎ)2+r2，即52=32+r2，解得r=4，由正弦定理可知，ACsinB =2r，∴AC=2r⋅sinB=8×√32=4√3，由余弦定理可知，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosB≥2AB⋅BC−2AB⋅BC⋅cosB，即AB⋅BC≤48，当且仅当AB=BC时取等号，当△ABC面积最大时，四面体的体积取最大值，(S△ABC)max=12⋅AB⋅BC⋅sinB=12×48×√32=12√3，∴四面体的体积的最大值为V max=13⋅S⋅ℎ=13×12√3×6=24√3，故答案为：24√3．由球的面积为100π，得到球的半径R，由SA⊥平面ABC，满足侧棱⊥底面，求出△ABC 外接圆的半径，利用基本不等式，求出△ABC面积的最大值即可．本题考查了棱锥体积的计算，解三角形和基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．18.【答案】152【解析】解：设〈a⃗,b⃗ 〉=θ，则|c⃗|+|2c⃗+3a⃗|=|b⃗ −12a⃗|+|2b⃗ +2a⃗|=√(b⃗ −12a⃗ )2+√(2b⃗ +2a⃗ )2=√174−2cosθ+√20+16cosθ，令m=√174−2cosθ∈[32,52],n=√20+16cosθ∈[2,6]，则8m2+n2=54，设m=3√32cosα,n=3√6sinα，其中α为锐角，因为n=√20+16cosθ∈[2,6]，所以sinα∈[√69,√63],α∈[arcsin√69,arcsin√63]，则m+n=3√32cosα+3√6sinα=9√32sin(α+β)，其中tanβ=√24，且β∈(0,π2)，当α∈[arcsin√69,arcsin√63]时，9√32sin(α+β)的值随着α的增大而增大，所以当α=arcsin√63时，9√32sin(α+β)取得最大值152．故答案为：152．设〈a⃗,b⃗ 〉=θ，则|c⃗|+|2c⃗+3a⃗|=√174−2cosθ+√20+16cosθ，再设m=3√32cosα,n=3√6sinα，结合三角函数的辅助角公式和三角函数性质可求最值．本题考查平面向量数量积和模的运算，考查换元法的应用，考查三角函数的性质，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于难题．19.【答案】解：(Ⅰ)在△AMN中，由余弦定理得MN2=AM2+AN2−2AM⋅ANcos120°=7，解得MN=√7(千米)；(Ⅱ)设∠MNP=α，∠MPN=60°，∴∠PMN=120°−α，在△PMN中，由正弦定理，得MNsin∠MPN =PMsinα=PNsin(120∘−α)，∵MNsin∠MNP =√7sin60°=2√213，∴PM=2√213sinα，PN=2√213sin(120°−α)，∴PM+PN=2√213sinα+2√213sin(120°−α)=2√213(sinα+√32cosα+12sinα)=2√7(√32sinα+12cosα)=2√7sin(α+30°)又因为α∈(0°,120°)，所以sin(α+30°)∈(12,1]所以PM+PN∈(√7,2√7],即观光线路PM+PN长的取值范围为(√7,2√7]．【解析】(Ⅰ)在△AMN中，利用余弦定理可以求得MN的值；(Ⅱ)由∠MNP=α，得到∠PMN=120°−α，利用正弦定理求出PM+PN即可，再结合α范围，即可求出PM+PN长的取值范围．本题考查了解三角形的实际应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由频率分布直方图的性质得：(x+0.0036+0.0060+0.0044+x+0.0008+0.0004)×50=1，解得x=0.0024．∴直方图中x的值为0.0024．(Ⅱ)估计该小区居民用电量的平均值为：x−=75×0.0024×50+125×0.0036×50+175×0.0060×50+225×0.0044×50+275×0.0024×50+325×0.0008×50+375×0.0004×50=187，[50,150)的频率为：(0.0024+0.0036)×50=0.3，[150,200)的频率为0.0060×50=0.3，∴估计该小区居民用电量的中位数为50+0.5−0.30.3×50=2503．(Ⅲ)用电量落在区间[300,350)内的用户有100×0.0008×50=4户，用电量落在区间[350,400)内的用户有100×0.0004×50=2户，从用电量落在区间[300,400)内被抽到的用户中任取2户，基本事件总数n=C62=15，至少有1户落在区间[350,400)内包含的基本事件个数m=C41C21+C22=9，∴至少有1户落在区间[350,400)内的概率P=mn =915=35．【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图的性质列出方程组，由此能求出直方图中x的值．(Ⅱ)由频率分布直方图能估计该小区居民用电量的平均值和中位数．(Ⅲ)用电量落在区间[300,350)内的用户有4户，用电量落在区间[350,400)内的用户有2户，从用电量落在区间[300,400)内被抽到的用户中任取2户，基本事件总数n=C62=15，至少有1户落在区间[350,400)内包含的基本事件个数m=C41C21+C22=9，由此能求出至少有1户落在区间[350,400)内的概率．本题考查频率、频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力，是基础题．21.【答案】解：(1)证明：在图1中取AH中点F，连接MF，BF，可得MB//DB，在图2中可得MF//D′H，BF//HE，且MF∩BF=F，MF、BF⊂面MBF，HE、HD′⊂面D′HE，∴面MBF//面D′HE，∴BM//平面D′HE；(2)在图(1)中∵tan∠CAD=tan∠CDH=√22，∴∠DAC+∠ADE=90°，∴DE ⊥AC ，CH ⊥面D′HE ，又F 为AH 中点，∴CH =13CA =√63，DH =2√33，HE =√33， 在图2中，可得D′H ⊥AC ，过H 点作HS ⊥D′E 于S 点，连结CS ，可得∠HSC 为二面角H −ED′−C 的平面角， 又D′H =2√33，HE =√33，ED′=√153，∴ED′2=D′H 2+HE 2，∴D′H ⊥HE ，HS =√15∴tan∠HSC =HCHS =√102， ∴cos∠HSC =√147， ∴二面角H −ED′−C 的余弦值为√147．【解析】(1)取AH 中点F ，连接MF ，BF ，可得面MBF//面D′HE ，即可证明BM//平面D′HE ；(2)过H 点作HS ⊥D′E 于S 点，连结CS ，可得∠HSC 为二面角H −ED′−C 的平面角，解△HSC 即可．本题考查了空间线面平行、二面角，考查了计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)由已知可得sinB =sinC(cosA −sinA)，所以sin(A +C)=sinCcosA −sinCsinA ，所以sinAcosC +cosAsinC =sinCcosA −sinCsinA ， 所以cosC =−sinC ， 所以C =3π4，若选①②，由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1−√3， 得bacosC =1−√3， 所以ab =√6−√2，由B =π6，得A =π−B −C =π12， 所以由a sinA =bsinB =2R ，得√6−√24=b12=2R ，所以a =√6−√22R ，b =R ，所以ab =√6−√22R 2=√6−√2，得R =√2，所以c =2RsinC =2√2sin 3π4=2，若选②③，由B =30°，得A =π−B −C =π12， 又因为a =√3−1，由正弦定理可得c sinC =b sinB =asinA ，得√22=b12=√3−1√6−√24=2√2，所以c =2，若选①③，由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1−√3， 得bacosC =1−√3， 所以ab =√6−√2， 又a =√3−1，所以b =√2， 所以c 2=a 2+b 2−2abcosC =(√3−1)2+√22−2(√6−√2)⋅(−√22)=4，所以c =2．(Ⅱ)设CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCB⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =4λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2μCE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为A ，F ，E 三点共线，B ，F ，D 三点共线， 所以{4λ+μ=1λ+2μ=1，解得λ=17，μ=37，所以CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =17CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +37CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =17p CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +37qCN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由M ，N ，F 三点共线，得17p +37q =1， 所以p +q =(p +q)(17p +37q )=47+q7p +3p7q ≥4+2√37， 当且仅当p =√3+17，q =3+√37时，p +q 有最小值4+2√37．【解析】(Ⅰ)由已知可得sinB =sinC(cosA −sinA)，由三角函数的恒等变换可得cosC =−sinC ，即C =3π4，分别选①②，选②③，选①③，结合正弦定理，向量的运算，余弦定理，解得c ．(Ⅱ)设CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =4λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2μCE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由A ，F ，E 三点共线，B ，F ，D 三点共线，则{4λ+μ=1λ+2μ=1，解得λ，μ，进而可得CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =17p CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +37q CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由M ，N ，F 三点共线，得17p +37q =1，结合基本不等式，即可得出p +q 有最小值． 本题考查正弦定理，向量的共线，基本不等式，属于中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)取AB的中点O，连接SO，过C作CH⊥AB于H，连接SH，∵AC⊥BC，∴O为△ABC的外心，∵SA=SB=SC，∴点S在平面ABCD内的投影为△ABC的外心，∴SO⊥平面ABCD，∵SO⊂平面SAB，∴平面SAB⊥平面ABCD，又平面SAB∩平面ABCD=AB，CH⊂平面ABCD，∴CH⊥平面SAB，∴∠CSH为SC与平面SAB所成的角，在Rt△CSH中，SC=4，CH=√6，∴sin∠CSH=CHSC =√64，故SC与平面SAB所成的角的正弦值为√64．(Ⅱ)过O作OF⊥CD于F，连接SF，作MN//CD交SD于点N，交SF于点G，则A，B，M，N四点共面，由(Ⅰ)得，SO⊥CD，∵OF∩SO=O，OF、SO⊂平面SOF，∴CD⊥平面SOF，∴CD⊥OG，且平面SCD⊥平面SOF，要使平面MAB⊥平面SCD，即平面MNAB⊥平面SCD，则需OG⊥SF，∵OF=CH=√6，∴SF=√SO2+OF2=√8+6=√14，在Rt△SOF中，由射影定理知，SG=SO 2SF =√14，∵MN//CD，∴SMSC =SGSF，即SM=SG⋅SCSF=√14×4√14=167，故棱SC上存在点M，使得平面MAB⊥平面SCD，且SM的值为167．【解析】(Ⅰ)取AB的中点O，连接SO，过C作CH⊥AB于H，连接SH，易知SO⊥平面ABCD，由面面垂直的性质定理知CH⊥平面SAB，故∠CSH即为所求，再由sin∠CSH= CHSC，得解；(Ⅱ)过O作OF⊥CD于F，连接SF，作MN//CD交SD于点N，交SF于点G，结合SO⊥CD，推出CD⊥平面SOF，进而知CD⊥OG，原问题可转化为OG⊥SF，再结合射影定理和平行线的性质，即可得解．本题考查空间中线与面的垂直关系，线面角的求法，熟练掌握线与面垂直的判定定理或性质定理，以及理解线面角的定义是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．。
2020-2021学年浙江省丽水市高一上学期期末考试数学试卷带讲解
19.已知集合 ， .
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 取值范围.
（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据交集的运算可得结果；
（2）根据 列式可解得结果.
【详解】（1）由题意有 ， .
∴ .
（2）由题意有 得 .20.已知函数 .
【详解】因为当 时， ，则函数 在 上递减，
又函数 是偶函数，所以 在 上为增函数；故A错；
因为函数 是偶函数， 是奇函数，
所以 ， ，则 ，
所以 ，则 ，即 ，
所以 以 为周期；
则 ，所以 关于直线 对称，
因此当 时， ；
当 时， ，则 ，又 ，所以 ；
因为偶函数关于 轴对称，所以当 时， ；
综上，当 时， ；
A. B. C. D.
CD
【分析】
由两边都是正数的不等式可以平方，不等号方向不变可判断A，根据不等式两边同乘以一个负数，正数的性质，即可判断答案BCD.
【详解】因为 ，所以 ，可得 ，故A错误；
因为 ，所以两边同乘以负数 ，可得 ，故B错误；
因为 ，所以两边同乘以负数 ，可得 ，故C正确；
因为 ，所以两边同乘以正数 ，可得 ，故D正确.
14.若 ， ，则 ________.
1
【分析】
先由 得到 ，再由换底公式，计算所求式子，即可得出结果.
【详解】由 可得 ，
又 ，所以 .
故答案为： .
15.函数 的单调递增区间是______.
【分析】
先求得函数的定义域，然后根据复合函数同增异减来求得函数的单调递增区间.
【详解】由 得 .
浙江省丽水市高一上学期期末数学试卷
浙江省丽水市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，M={3,4,5}，N={1,3,6}，则集合{2,7}等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一上·集宁月考) 函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上为增函数．若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是（）A . a≤2B . a≥－2C . －2≤a≤2D . a≤－2或a≥23. （2分） (2016高一上·荆门期末) 已知函数f（x）定义域为[0，+∞），当x∈[0，1]时，f（x）=sinπx，当x∈[n，n+1]时，f（x）= ，其中n∈N，若函数f（x）的图象与直线y=b有且仅有2016个交点，则b 的取值范围是（）A . （0，1）B . （，）C . （，）D . （，）4. （2分） (2018高二上·长安期末) 某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A . 抽签法B . 系统抽样法C . 分层抽样法D . 随机数法5. （2分） (2016高一上·湖南期中) 已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（）的值为（）A .B .C . ﹣4D . 46. （2分）(2017·长春模拟) 下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为（）A . 图1B . 图2C . 图3D . 图47. （2分）下图是某人在5天中每天加工零件个数的茎叶图，则该组数据的方差为（）A .B . 2C .D . 108. （2分）(2018·河北模拟) 若函数满足：① 的图象是中心对称图形；②若时，图象上的点到其对称中心的距离不超过一个正数，则称是区间上的“ 对称函数”.若函数是区间上的“ 对称函数”，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）已知函数，设的反函数为。
浙江省丽水市2021届高一数学上学期期末考试试题
浙江省丽水市2021届高一数学上学期期末考试试题一、选择题1．下列说法正确的是（）A ．锐角是第一象限的角，所以第一象限的角都是锐角;B ．如果向量a 0b ⋅=，则a b ⊥；C ．在ABC △中，记AB a =，AC b =，则向量a b +与a b -可以作为平面ABC 内的一组基底；D ．若a ，b 都是单位向量，则a b =.2．将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 3．素数指整数在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。
哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如1037=+。
在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其和小于18的概率是（ ） A.15 B.1115 C.35 D.134．一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图为圆内接一个正方形，则该几何体的体积为（ ）A.3283π-B.328π-C.1616π-D.16163π-5．直线l 绕它与x 轴的交点顺时针旋转3π30y +-=，则直线l 的方程是（ ）A.10x -= 30y --=C.10x +-= 10y --=6．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，()()g x f x x =-，且对任意的[)12,0,x x ∈+∞，当12x x <时，12()()g x g x <，则不等式(21)(2)3f x f x x --+≥-的解集为A ．(3,)+∞B ．(3,⎤-∞⎦C ．[)3,+∞D ．(,3)-∞ 7．已知偶函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递减，则满足(21)(3)f x f +<的x 的取值范围是（ ） A ．(2,1)- B ．(1,2)- C ．(1,1)- D ．(2,2)-8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A ．πB ．34πC ．2π D ．4π 9．幂函数()()2231m m f x m m x +-=--在()0,+∞时是减函数，则实数m 的值为( )A.2或1-B.1-C.2D.2-或1 10．函数y =的定义域为（ ） A.（34，1） B.（34，∞） C.（1，+∞）D.（34，1）∪（1，+∞） 11．函数2()ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ） A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(e,)+∞ 12．下列方程是圆22(1)(1x y -++=的切线方程的是( )A ．0x y -=B ．0x y +=C ．0x =D ．0y =二、填空题13．已知圆222:()0O x y r r +=>，直线2:l mx ny r +=与圆O 相切，点P 坐标为(),m n ，点A 坐标为()3,4，若满足条件2PA =的点P 有两个，则r 的取值范围为_______14．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数M 0>，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知函数()x x f x 1a 24=+⋅+在(],0∞-上是以3为上界的函数，则实数a 的取值范围是______．15．若函数2()log (41)?x f x k x =+-为R 上的偶函数，则k =______ 16．已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值是__________． 三、解答题 17．已知数列{}n a 前n 项和n S ，点()()*,n n S n N∈在函数21122y x x =+的图象上． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，不等式1log (1)3n a T a >-对任意的正整数恒成立，求实数a 的取值范围． 18．已知奇函数()f x 的定义域为[-1,1]，当[1,0)x ∈-时，1()()2x f x =-。
2020-2021学年上学期高一数学期末模拟卷03(人教A版新教材)(浙江专用)【解析版】
数学模拟试卷03第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·河北高二学业考试）已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）．A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．（2019·浙江高二学业考试）已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <， 故22a b >推不出a b >， 故选：A.3．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.4．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】23110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，503221>=，221log log 103<=， ∴c a b <<. 故选：C5．（2020·江苏南通市·高三期中）已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．50-B ．50C ．50-D ．50【答案】A 【解析】角α的终边经过点()3,4P ，5OP ∴==，由三角函数的定义知：3cos 5α=，4sin 5α， 2237cos 22cos 121525αα⎛⎫∴=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，()()π724cos 2cos2cos sin 2sin 4442525ππααα∴+=-=-=.故选：A.6．（2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中）函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,4【答案】D 【解析】因为()3f x +关于3x =-对称，所以()f x 关于y 轴对称，所以()()221f f -==， 又()f x 在[)0,+∞单调递增，由()21f x -≤可得222x -≤-≤，解得：04x ≤≤， 故选：D7．（2020·浙江高一期末）对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭， 当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确；当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误； 当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误； 当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即2523,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④错误. 故选：A8．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A 【解析】由函数图象的平移可知， 函数1()11f x x=+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称）， 所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=.故选：A9．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-【答案】B 【解析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可.解：因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =， 所以只需当0x ≤时，202x xa e a e +==-即有一个根即可，因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-，故选：B.10．（2020·河北高二学业考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（ ）． A ．[]3,3- B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞D ．(][),44,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】0x ≥时，()()2log 1f x x =+，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴在R 上单调递增，易知()()223log 31log 42f =+==，()()332f f -=-=-， 由()2f x ≤， 解得：()22f x -≤≤， 由()f x 在R 上单调递增， 解得：33x -≤≤，()2f x ∴≤的解集是[]3,3-.故选：A.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2020·上海青浦区·高三一模）圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.【答案】π； 【解析】因为圆锥底面半径为1cm ，所以圆锥的底面周长为2cm π， 则其侧面展开图扇形的圆心角22πθπ==， 故答案为：π.12．（2020·浙江宁波市·高三期中）设2log 3a =，则4a =______（用数值表示），lg 36lg 4=______.（用a 表示）【答案】9 1a + 【解析】2log 3a =，22394429log log a ∴===，4222236log 36log 6log (23)log 2log 314lg a lg ===⨯=+=+， 故答案为：9，1a +．13．（2020·深圳科学高中高一期中）某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用__________种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算（元）的区间为__________． 【答案】乙 (60,)+∞ 【解析】由题意，设月通话时间为t 分钟，有甲费用为300.1t +，乙费用为0.2t ， ∴每月手机费预算为50元，则：由300.150t +=知，甲的通话时间为200分钟， 由0.250t =知，乙的通话时间为250分钟， ∴用户每月手机费预算为50元，用乙种卡合算；要使用甲种卡合算，即月通话时间相同的情况下甲费用更低，即300.10.2t t +<， 解得300t >时，费用在(60,)+∞. 故答案为：乙，(60,)+∞14．（2020·商丘市第一高级中学高一期中）设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______． 【答案】(],9-∞ 【解析】当1x <时，由13x e -≤得1ln3x ≤+，所以1x <； 当1≥x 时，由213x ≤得9x ≤，所以19x ≤≤． 综上，符合题意的x 的取值范围是(,9]-∞． 故答案为：(,9]-∞.15．（2020·辽宁本溪市·高二月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m ，到达最高点时，距离地面的高度为120m ，能看到方圆40km 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到min t 后距离地面的高度为m H ，则转到10min 后距离地面的高度为______m ，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为______.【答案】1852 π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤. 【解析】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系.设0min t =时，游客甲位于点()0,55P -，以OP 为终边的角为π2-； 根据摩天轮转一周大约需要30min ， 可知座舱转动的角速度约为πmin 15rad ， 由题意可得πππ55sin 6555cos 6515215H t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，030t ≤≤.当10t =时，π18555cos 1065152H ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：1852；π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤ 16．（2020·浙江建人专修学院高三三模）已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.3 233-因为4log 3a =，所以43a =，即2a =01a <<，所以()2a f a ==1(1)(1)2a f a f a --=--=-==3-17．（2020·上海虹口区·高三一模）已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________.【解析】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=(0,)2πα∈，因此cos α=.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2020·黑龙江工农�鹤岗一中高二期末（文））函数()22xxaf x =-是奇函数． ()1求()f x 的解析式；()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）()122xxf x =-；（2）5m <-.() 1函数()22x x af x =-是奇函数， ()()1222222x x x x x x a af x a f x --∴-=-=-+=-+=-，故1a =， 故()122xx f x =-； ()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，即21(2)42x xm +<-⋅在()0,x ∈+∞恒成立，令()2(2)42x xh x =-⋅，(0)x >，显然()h x 在()0,+∞的最小值是()24h =-， 故14m +<-，解得：5m <-．19．（2020·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.【答案】（1）最小正周期为2π；（2）()min f x =()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)1cos ()2sin cos 222x x xf x +=+sin x x =+12sin cos 2sin 223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为2π. (2)因为[]0,x π∈，所以4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当433x ππ+=，即x π=时，函数()f x 取得最小值由4233x πππ≤+≤，得6x ππ≤≤，所以函数()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20．（2019·河北师范大学附属中学高一期中）已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-，方程()0f x =的解集为{}0,2.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21()2f x x x =-+；（2）存在；2m =-，0n =. 【解析】（1）由已知，设()()2f x ax x =-.因为()f x 的图象经过点()4,4-，所以()4442a -=-，解得12a =-， 即()f x 的解析式为21()2f x x x =-+； （2）假设满足条件实数m ，n 的存在， 由于221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤，因此122n ≤，即14n ≤. 又()f x 的图象是开口向下的抛物线，且对称轴方程1x =，可知()f x 在区间[],m n 上递增，故有()2()2f m m f n n=⎧⎨=⎩，并注意到14m n <≤，解得2m =-，0n =. 综上可知，假设成立，即当2m =-，0n =时，()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n .21．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值. 【答案】（1）37π；（2）14π. 【解析】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤. 又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+， 又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min 314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.22．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一月考）设函数()()21x x a t f x a--=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，是否存在正数()1m m ≠，使函数()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t =；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2t =；经检验知符合题意.（2）函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2132a a -=， ∴2a =（12a =-舍去）， 假设存在正数m ，且1m ≠符合题意，由2a =得()()22log 2222x x x x m g x m --⎡⎤=+--⎣⎦， 设22x x t -=-，则()()22222222x x x x m t mt -----+=-+，∵[]21,log 3x ∈，2[2,3]x ∈，∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h t t mt =-+， ∵函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0，∴（i ）若01m <<时，则函数()22h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最小值为1， 由于对称轴122m t =<，∴()min 31731312426h t h m m ⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭，不合题意. （ii ）若1m 时，则函数()220h t t mt =-+>在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，且最大值为1，最小值大于0， ①()max 1252512212736873241324m m m h t h m ⎧⎧<≤<≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩， 而此时7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，又()min 73048h t h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 故()g x 在[]21,log 3无意义， 所以7324m =应舍去； ②()max 25252126313126m m h t h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩m 无解， 综上所述：故不存在正数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0．。
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。
答案：A={(-∞,1]}。
B={2}。
A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。
答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。
3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。
答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。
答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。
答案：选项A是正确的。
因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。
6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。
答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。
根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。
而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。
将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。
我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。
答案：点P的坐标为(1,2)。
因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。
浙江省丽水市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷A卷
浙江省丽水市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·南昌期中) 已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={0，1，3}，集合B={2，4}，则（∁UA）∩（∁UB）=（）A . {0，5}B . {0，1，2，3，4，5}C . {0，1，2}D . {5}2. （2分） (2019高一上·淮南月考) 函数的值域是（）A .B .C .D .3. （2分）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为2的正方形，则此四棱锥的体积为（）A . 4B .C . 12D .5. （2分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A . f（x）=2xB . f（x）=xsinxC .D . f（x）=﹣x|x|6. （2分）曲线上的点到直线的最短距离是（）．A . 0B .C .D .7. （2分）若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：（）(1)——-2（1.5）—— 0.625（1.25）—— -0.984（1.375）—— -0.260（1.438）—— 0.165（1.4065）—— -0.052那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A . 1.2B . 1.3C . 1.4D . 1.58. （2分）函数在区间上恒为正值，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一上·西安期中) 设a=log2 ，b=30.01 ， c=ln ，则（）A . c＜a＜bB . a＜b＜cC . a＜c＜bD . b＜a＜c10. （2分） (2016高二上·安徽期中) 设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）A . 若m∥α，n∥α，则m∥nB . 若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC . 若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD . 若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α11. （2分）下列各式中，表达错误的是（）A . ∅⊆{x|x＜4}B .C . ∅∈{∅，{0}，{1}}D .12. （2分）(2018高一上·牡丹江期中) 已知定义在上的函数为增函数，且，则等于（）A .B .C . 或D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·徐州期中) 集合M={x|﹣2≤x≤2，N=y|0≤y≤2}．给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系是________．14. （1分） (2017高一下·河北期末) 若方程x+m= 有且只有一个实数解，则实数m的取值范围为________．15. （1分）过点M（1，2）且在y轴上的截距是12的直线方程是________16. （1分） (2017高二下·湖北期中) 以下几个命题中真命题的序号为________．①在空间中，m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，如果α⊥β，α∩β=n，m⊥n，那么m⊥β；②相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强；③用秦九昭算法求多项式f（x）=208+9x2+6x4+x6在x=﹣4时，v2的值为22；④过抛物线y2=4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于4的直线有且只有两条．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分） (2016高二上·平罗期中) 如图，在Rt△AOB中，∠OAB= ，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB 以直线AO为轴旋转得到，且二面角B﹣AO﹣C是直二面角，动点D在斜边AB上．（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；（Ⅱ）当VA﹣DOC：VA﹣BOC=1：2时，求CD与平面AOB所成角的大小．18. （10分）(2020·潍坊模拟) 已知P是圆F1：（x+1）2+y2＝16上任意一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H（4，0）.19. （10分）已知函数y=f（x）（x＞0）满足：f（xy）=f（x）+f（y），当x＜1时，f（x）＞0，且；（1）证明：y=f（x）是定义域上的减函数；（2）解不等式．20. （20分） (2016高一上·贵阳期末) 阅读下面材料，尝试类比探究函数y=x2﹣的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象．阅读材料：我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子．对于函数y= ，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：（1）在函数y= 中，由x≠0，可以推测出，对应的图象不经过y轴，即图象与y轴不相交；由y≠0，可以推测出，对应的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交．（2）在函数y= 中，当x＞0时y＞0；当x＜0时y＜0，可以推测出，对应的图象只能在第一、三象限；（3）在函数y= 中，若x∈（0，+∞）则y＞0，且当x逐渐增大时y逐渐减小，可以推测出，对应的图象越向右越靠近x轴；若x∈（﹣∞，0），则y＜0，且当x逐渐减小时y逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近x轴；（4）由函数y= 可知f（﹣x）=﹣f（x），即y= 是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称．结合以上性质，逐步才想出函数y= 对应的图象，如图所示，在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，传播研究数学的成果．21. （10分） (2018高二下·辽宁期中) 如图，在三棱柱中，，，为的中点，．（1）求证：平面平面；（2）求到平面的距离．22. （5分）已知二次函数f（x）=x2+2ax+2a+1，若对任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥1恒成立，求a的范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、20-4、21-1、21-2、22-1、。
浙江省丽水市2020版高一上学期期末数学试卷C卷
浙江省丽水市2020版高一上学期期末数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2016·新课标Ⅰ卷文) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A . y=xB . y=lgxC . y=2xD . y=2. （2分）若0≤x≤π，则使=cos2x成立的x的取值范围是（）A . （0，）B . （π，π）C . （，π）D . [0，]∪[ π，π]3. （2分） (2019高一上·新乡月考) 已知函数是偶函数，是奇函数，则则（）A . 4B . 3C . 2D . 14. （2分）已知向量，若，则k=（）A .B .C . 6D .5. （2分） (2017高一上·义乌期末) 已知cos（x﹣）=﹣（＜x＜），则sin2x﹣cos2x=（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一上·西湖月考) 奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，若f(－1)＝0，则不等式f(x)＜0的解集是（）.A . (－∞，－1)∪(0，1)B . (－∞，－1)∪(1，＋∞)C . (－1，0)∪(0，1)D . (－1，0)∪(1，＋∞)7. （2分） (2018高二上·南阳月考) 已知命题，且，命题，.下列命题是真命题的是（）A .B .C .D .8. （2分）定义行列式运算，将函数的图象向左平移t（）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二下·惠东月考) 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象.若在上单调递减，则φ 的取值范围为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二下·玉林期末) 已知定函数，则（）A .B .C .D .11. （2分）在边长为4的菱形中，，为的中点，为平面内一点，若，则（）A . 16B . 14C . 12D . 812. （2分）(2017·浙江模拟) 设正实数x，y，则|x﹣y|+ +y2的最小值为（）A .B .C . 2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞0的解集为________ ．14. （1分） (2016高三上·扬州期中) 已知函数f（x）= ﹣kx无零点，则实数k的取值范围是________．15. （1分）(2017·汕头模拟) 已知，若向量满足，则的取值范围是________．16. （1分）（+3）⊥（7﹣5），且（﹣4）⊥（7﹣5），则与的夹角大小为________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）解答题（1）若，求sin2α+sinαcosα的值（2）化简．18. （5分） (2017高一下·濮阳期末) 已知圆C：x2+y2+2x+a=0上存在两点关于直线l：mx+y+1=0对称．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）直线l与圆C交于A，B两点，• =﹣3（O为坐标原点），求圆C的方程．19. （5分）在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y=2x（x≥0）．求cos(α+)的值；20. （10分） (2020高三上·浦东期末) 已知函数 .（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ 中，，若函数的图像经过点，求△ 的面积.21. （10分） (2017高三上·南充期末) 已知，其中A，B，C是△ABC 的内角．（1）当时，求的值；（2）若，当取最大值是，求B的大小及BC边的长．22. （15分） (2017高一上·唐山期末) 已知函数f（x）=a•2x﹣2﹣x定义域为R的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；（3）若不等式f（9x+1）+f（t﹣2•3x+5）＞0在在R上恒成立，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
2020-2021学年浙江省丽水市师专附属高级中学高一数学理期末试卷含解析
2020-2021学年浙江省丽水市师专附属高级中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的10.已知是一列互不相等的正整数.若任意改变这个数的顺序，并记为，则数的值必为（）A．偶数 B .奇数 C. D.参考答案：A2. （5分）化简﹣+所得的结果是（）A．B．C．0 D．参考答案：C考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：计算题．分析：利用向量加法的三角形法则，（+）=，代入要求的式子化简．解答：化简=（+）﹣=﹣=，故选 C．点评：本题考查两个向量加法的三角形法则、几何意义，及其应用．3. 关于x的方程asinx+bcosx+c=0在[0，π]上有两个相异实根α，β，则sin（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣参考答案：C【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】将α、β代入方程后相减，然后根据和差化积公式求出tan的值，再由万能公式可得答案．【解答】解：∵方程asinx+bcosx+c=0在[0，π]内有两个相异的实根α、β，∴asinα+bcosα+c=0①asinβ+bcosβ+c=0②∴方程①﹣②得a（sinα﹣sinβ）+b（cosα﹣cosβ）=0，即a×（2sin cos）﹣b（2sin sin）=0，∴2sin（acos﹣bsin）=0，∵α≠β，∴sin≠0，∴acos﹣bsin=0，则tan=，∴sin（α+β）==．故选：C．【点评】本题主要考查和差化积公式和万能公式的应用．三角函数部分公式比较多，要强化记忆，是中档题．4. 已知，且，则＝（）A．－3 B．10 C．7 D．13参考答案：C略5. 在正方体中，二面角的平面角等于（）A B C D参考答案：B略6. 设集合,，，则（）．A．{0,1,2,3} B．{5} C．{1,2,4} D．{0,4,5} 参考答案：D∵集合，∴,∴．故选．7. 在内，使不等式成立的的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：C8. 若则函数的最大值，最小值分别为( )A.10，6B.10，8C.8，6D.8，8参考答案：A9. 已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线C在第一象限内存在一点P使=成立，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．1， +1）B．（1， +1）C．（+1，+∞）D．（1， +1）参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】在△PF1F2中，运用正弦定理，结合条件由离心率公式可得|PF1|=e|PF2|，再由双曲线的定义，可得2a=|PF1|﹣|PF2|=（e﹣1）|PF2|，由存在P，可得|PF2|＞c﹣a，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：在△PF1F2中，可得=，由=，可得e===，即有|PF1|=e|PF2|，由双曲线的定义可得2a=|PF1|﹣|PF2|=（e﹣1）|PF2|，由存在P，可得|PF2|＞c﹣a，即有2a＞（e﹣1）（c﹣a），由e=，可得（e﹣1）2＜2，解得1＜e＜1+．故选：B．10. 函数的单调递增区间为A.B.C.D .参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 给出下列命题：①函数的最小值为5；②若直线y=kx+1与曲线y=|x|有两个交点，则k 的取值范围是﹣1≤k≤1；③若直线m 被两平行线l 1：x ﹣y+1=0与l 2：x ﹣y+3=0所截得的线段的长为2，则m 的倾斜角可以是15°或75°④设S n 是公差为d （d≠0）的无穷等差数列{a n }的前n 项和，若对任意n∈N *，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列⑤设△ABC 的内角A ．B ．C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA 则sinA ：sinB ：sinC 为6：5：4 其中所有正确命题的序号是 ．参考答案：①③④⑤略12. 函数f(x)=的定义域为[-1，2]，则该函数的值域为_________.参考答案：13. 设关于x 的三个方程x 2＋2sinA 1x ＋sinA 2＝0，x 2＋2sinA 2x ＋sinA 3＝0，x 2＋2sinA 3x ＋sinA 1＝0，均有实数根，A 1，A 2，A 3为凸4n ＋2边形A 1A 2A 3……A 4n ＋2的三个内角，且所有内角均为30°的倍数，则这个凸4n ＋2边形的内角和为___________________.参考答案：4π14. 已知tan α=，，则sin α﹣cosα=．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sin α、cos α的值，可得sin α﹣cos α的值．【解答】解：∵tanα==，，sin 2α+cos 2α=1，∴sinα=﹣，cosα=﹣，∴sinα﹣cosα=， 故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题． 15. 若关于x 的不等式（a ﹣1）x 2+2（a ﹣1）x ﹣4≥0的解集为?，则实数a 的取值范围是 ．参考答案：{a|﹣3＜a≤1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据题意，讨论a 的取值，是否满足不等式的解集为?即可． 【解答】解：∵关于x 的不等式（a ﹣1）x 2+2（a ﹣1）x ﹣4≥0的解集为?， ∴a﹣1=0时，﹣4≥0，不等式不成立，a=1满足题意； a ﹣1＞0时，a ＞1，不等式的解集不为空集，不满足题意；a ﹣1＜0时，a ＜1，当△=4（a ﹣1）2+16（a ﹣1）＜0时， 即（a ﹣1）（a+3）＜0， 解得：﹣3＜a ＜1，满足题意；综上，实数a 的取值范围是{a|﹣3＜a≤1}．故答案为：{a|﹣3＜a≤1}．16. 设函数y=ax +2a +1，当-1≤x ≤1时，y 的值有正有负，则实数a 的范围是__________．参考答案：17. 已知，那么的最小值是_______参考答案：5三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
浙江省丽水市2021届高一数学上学期期末调研测试题
浙江省丽水市2021届高一数学上学期期末调研测试题一、选择题1．已知函数()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则π8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A B C D 2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，13n n S S +=对任意的正整数n 均成立，则5a =（ ） A.162B.54C.32D.163．如图，边长为2的正方形有一内切圆.向正方形内随机投入1000粒芝麻，假定这些芝麻全部落入该正方形中，发现有795粒芝麻落入圆内，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为( )A ．3.1B ．3.2C ．3.3D ．3.44．已知函数()f x =()y f x =的最大值为( )A BC ．D5．已知函数()3cos 23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则（ ） A.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B.()f x 的图象关于5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C.()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上的最大值为3D.()f x 的图象的一条对称轴为512x π=6．若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()2xf xg x -=，则有（ ）A ．(2)3)0(()f f g <<B ．(0)3)2(()f g f <<C ．(2)(03)()f g f <<D ．(0)(23)()g f f <<7．若函数()()2sin f x x ωϕ=+对任意的x ∈R ，都有()()3f x f x π-=．若函数()()cos 1g x x ωϕ=+-，则()6g π的值是（ ）A.-2B.-1C.12-D.08．为了得到函数2cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin2y x =图象上所有的点（ ）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 9．已知6sin cos 5αα-=，则sin 2α=（ ） A.1425-B.1125-C.1125D.142510．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A ．14B ．13C ．12D ．2311．设满足约束条件，且，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知1OA =，3,0OB OA OB =⋅=，点C 在AOB ∠内，且AOC 30∠=，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于（ ）A ．13B ．3C ．3D 二、填空题13．如图，已知圆22:(3)(4)4M x y -+-=，六边形ABCDEF 为圆M 的内接正六边形，点P 为边AB 的中点，当六边形ABCDEF 绕圆心M 转动时，MP OF ⋅的取值范围是________．14．已知圆22:1O x y +=和直线:2l y =，0(,2)P x 是直线l 上一点，若圆O 上存在,A B 两点，满足PA AB =，则实数0x 的取值范围是________．15．函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图像关于直线2x =-对称的充要条件为_________． 16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2b ac =，则角B 最大值为______. 三、解答题17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()2cos cos 0a c B b C ++=. （1）求角B 的大小；（2）若3a =，点D 在AC 边上，且BD AC ⊥，BD =c 边的长. 18．已知二次函数2()5()f x ax bx x R =++∈满足以下要求：①函数()f x 的值域为[)1,+∞；②(2)(2)f x f x -+=--对x ∈R 恒成立。