数字信号处理课后答案-史林版-科学出版社

第一章 作业题 答案

############################################################################### 1.2一个采样周期为T 的采样器，开关导通时间为()0T ττ<<，若采样器的输入信号为

()a x t ，求采样器的输出信号()()()a a x t x t p t ∧

=的频谱结构。式中

()()

01,()0,n p t r t n t r t ττ∞

=-∞

=

-≤≤⎧=⎨

⎩∑其他

解：实际的采样脉冲信号为：

()()n p t r t n τ∞

=-∞

=

-∑

其傅里叶级数表达式为：

()000

()jk t

n p t Sa k T e

T

ωωτ

ω∞

=-∞

=

∑

采样后的信号可以表示为：

()()()ˆa a x

t x t p t δ= 因此，对采样后的信号频谱有如下推导：

()()()()()()()()()()()

()()000000000

00

00ˆˆsin 1j t a a jk t j t a n jk t j t a k j k t

a k a

k a k X j x t e dt

x t Sa k T e e dt

T

Sa k T x t e e dt

T

Sa k T x t e

dt

T

Sa k T X j jk T

k T X j jk T k

ωωωωωωωωτ

ωωτ

ωωτ

ωωτ

ωωωωωω∞--∞

∞

∞

--∞=-∞

∞

∞

--∞=-∞∞

∞

---∞

=-∞∞

=-∞

∞=-∞Ω=====

-=-⎰∑⎰

∑

⎰∑⎰

∑∑

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

1.5有一个理想采样系统，对连续时间信号()a x t 进行等间隔T 采样，采样频率8s π

Ω=

rad/s ，采样后所得采样信号()a x t ∧

经理想低通滤波器()G j Ω进行恢复，已知

()41/4,

,4G j ππ

⎧Ω≤⎪Ω=⎨

Ω>⎪⎩

今有两个输入信号12()cos(2)()cos(5)a a x t t x t t ππ==和，对应的输出信号分别为

12()()a a y t y t 和，如题1.5图所示，问12()()a a y t y t 、有没有失真，为什么？

题1.5图 理想采样系统与恢复理想低通滤波器

解：因为是理想采样系统，因此采样后的信号频谱可以表示为：

()()1ˆa a s k X j X j jk T ∞

=-∞

Ω=Ω-Ω∑

8s πΩ=，12πΩ=，25πΩ=，折叠频率为2s Ω，而滤波器对4πΩ≤的信号通过，因此有

如下图：

结论：1）1()a y t 不失真、2()a y t 失真。2）输出信号中存在两种频率：2π、3π %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

1.6已知连续时间信号()a x t 是频率为300Hz 、400Hz 、1.3KHz 和4.3KHz 的正弦信号的线性组合。现以2KHz 的采样频率对()a x t 进行采样。若恢复滤波器是一截止频率为900Hz 的理想低通滤波器，试确定通过恢复滤波器后的输出信号()a y t 中的各频率分量。 解：因为是理想采样系统，因此采样后的信号频谱可以表示为：

()()1ˆa a s k X j X j jk T ∞

=-∞

Ω=Ω-Ω∑

滤波后信号中的频率分量为：300Hz 、400Hz 、700Hz 。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

1.7已知一模拟恢复信号()a x t 的频谱如题1.7图所示。对其等间隔T 采样所得离散时间信号（序列）为()()a x n x nT =。

(1)当采样间隔()0/3T π=Ω时，画出序列()x n 的频谱图形。

(2)试确定采样信号频谱不混叠的最低采样频率，并画出此时()x n 的频谱图形。 (3)画出由(3)中的序列()x n 恢复()a x t 的框图（可用复理想低通滤波器）。

1

Ω

题1.7图 ()a x t 的频谱图形

解：采样间隔为()0/3T π=Ω，因此采样频率为

026T

π

=Ω。

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第二章 作业题 答案

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2.1将序列1,

01,1

()0

,22,30

,

n n x n n n =⎧⎪-=⎪⎪

==⎨⎪=⎪⎪⎩其他

表示为()u n 及()u n 延迟的和。 解：首先将()x n 表示为单位脉冲序列的形式：

()()()()=123x n n n n δδδ--+-

对于单位脉冲函数()n δ，用单位阶跃序列()u n 表示，可得：

()()()1n u n u n δ=--

将上式带入到()x n 的单位脉冲序列表达式中，可得：

()()()

()()()()()()()()()()()

()1231122342122324x n n n n u n u n u n u n u n u n u n u n u n u n u n δδδ=--+-=------+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--+-+--- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

2.5判断下列序列中，哪一个是周期序列，如果是周期序列，求出它的周期。

(1)()sin1.2x n n = (2)()sin9.7x n n π= (5)()sin(

)cos(

)4

7

n

n

x n ππ=-

解：理论分析详见P18性质7）周期序列

题中设计到的是正弦信号，对于正弦信号()0()sin x n A n ωϕ=+，分析其周期性，则

需判断：

02π

ω

1）为整数，则周期；2）为有理数，则周期；3）为无理数则非周期。 观察（1）、（2）、（5），0ω依次为：0 1.2ω=、09.7ωπ=、12,4

7

π

π

ωω==

，从而可知（1）

为非周期，（2）、（5）为周期序列。 （2）中，02220

9.797π

πωπ==，因此周期20N =。

（5）中，第一部分周期为1028N π

ω==，第二部分周期为20214N π

ω==，因此序列

周期为56N =。

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