初中数学检验方法例谈

数学答案检验方法例谈
松江区教师进修学院附属 立达中学 庄士忠 201600
数学能力包括计算能力，也包括估算能力，有时候我们不知道答案是否对，但可以知道答案是否一定错；检验答案不仅能纠正错误，还能有效培养我们思维的严谨性、灵活性、深刻性。

方法一：直接法
例1 如图，点C 在线段AB 的延长线上，︒=∠15DAC ，
︒=∠110DBC ，则D ∠的度数是_____________ 分析：由题设知︒=∠15DAC ︒=∠110DBC ，
利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内
角的和知识，通过计算可得出D ∠=︒95．
方法二、特例法：
例2 已知中，，，的平分线交于点，则的度数为 （ ）分析：此题已知条件中就是中，说明只要满足此条件的三角形都一定能够成立。

故不妨令为等边三角形，马上得出=。

例3、填空题：已知a<0，那么，点P(-a2-2，2-a)关于x 轴的对称点是在第_______象限.
解：设a=-1，则P{-3，3}关于x 轴的对称点是 {-3，-3}在第三象限，所以点P(-a^2-2，2-a)关于x 轴的对称点是在第三象限.
例4、无论m 为任何实数，二次函数y=x2+(2-m)x+m 的图像都经过的点是 _______. 解：因为m 可以为任何实数,所以不妨设m=2，则y=x ^2+2，再设m=0，则y=x ^2+2x 解方程组
解得
所以二次函数y=x ^2+(2-m)x+m 的图像都经过的点是(1，
3). 方法三：基本概念检验法
ABC △60A ∠= ABC ∠ACB ∠O BOC
∠ABC △60A ∠=
ABC △BOC ∠120 A B C D
基本概念、法则、公式是同学们复习时最容易忽视的，因此在解题时极易发生概念性错误，所以，概念检验法是一种对症下药的方法。

例4：下列函数中，是一次函数的有几个？
（1）y=2x 2（2）y=x 3+2（3）y=kx-2（4）y=（x-1）-3
答：有三个。

错了，我们先来回想一下一次函数的定义：一切形如y=kx+b （k 非0）的函数称为一次函数。

对照定义形式，仅（4）为一次函数，故只有一个。

方法四：对称原理检验法
对称的条件势必导致结论的对称（此结论通常被称为不充足理由律），利用这种对称原理可以对答案进行快速检验。

例5：因式分解，（xy+1）（x+1）（y+1）+xy=（xy-y+1）（xy+x+1）结论显然错误。

左端关于x 、y 对称，所以右端也应关于x 、y 对称，正确答案应为：（xy+1）（x+1）（y+1）+xy=（xy+y+1）（xy+x+1）。

方法五：特殊情形检验法（猜想法）
问题的特殊情况往往比一般情况更易解决，因此通过特殊值、特例或极端状态来检验答案是非常快捷的方法，因为矛盾的普遍性寓于特殊性之中。

猜想法：
例6 用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子 枚（用含n 的代数式表示）.
分析：从第1个图中有4枚棋子4=3×1+1，从第2个图中有7枚棋子7=3×2+1, 从第3个图中有10枚棋子10=3×3+1,从而猜想：第n 个图中有棋子3n+1枚. 方法六：等价关系检验法
等价关系不仅广泛用于解题时的等价转换，而且在检验答案时也可收到事半功倍的效果。

等价转化法:通过"化复杂为简单、化陌生为熟悉"，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。

第1
个第2
个第3个…
例7、如图，在△ ABC 中，AB=7，AC=11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为_________.
解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB.又MF ∥AD ，所以
，
所以
.因此 例8、如图，在 中，E 为斜边AB 上一点，AE=2，EB=1，四边形DEFC 为正方形，则阴影部分的面积为________.
解：将直角三角形EFB 绕E 点，按逆时针方向旋转 ，因为CDEF 是正方形，所以EF 和ED 重合，B 点落在CD 上，阴影部分的面积转化为直角三角形ABE 的面积，因为AE=2，EB=1，所以阴影部分的面积为1/2*2*1=1.
方法七：整体思想检验法
整体把握不仅能培养我们全局观念，养成良好的思维习惯，而且在检验答案时，通过彼此的遥相呼应、全局的和谐统一也可收到出奇制胜的效果。

例9. 如果x+y=-4，x-y=8，那么代数式x 2－y 2的值是
分析：若直接由x+y=-4，x-y=8解得x ，y 的值，再代入求值，则过程稍显复杂，且易出错，而采用整体代换法，则过程简洁，妙不可言．分析：x 2－y 2=（x+y ）（x-y ）=-4×8=-32
例10.已知
53
=-=-c b b a ，1222=++c b a ，则ca bc ab ++的值等于________． 分析：运用完全平方公式，得222)()()(a c c b b a -+-+-＝2
)(222c b a ++－2)(ca bc ab ++，
即)(ca bc ab ++＝)(222c b a ++－21
[222)()()(a c c b b a -+-+-]．
∵
53=-=-c b b a ，56)()(-=-+-=-a b b c a c ，1222=++c b a ， ∴ )(ca bc ab ++＝1－21[2)53(＋2)53(＋2
)56(-]＝－252．
方法八：数形结合检验法
数是形的抽象概括，形是数的直观表现，数形结合相得益彰。

通过代数方法解出的问题，若能联想出几何背景，不妨用几何方法进行直观验证；用几何方法求出的答案，也可用代数方法进行精确验算。

数形结合法:
数缺形时少直观，形缺数时难入微。

"数学中大量数的问题后面都隐含着形的信息，图形的特征上也体现着数的关系。

我们要将抽象、复杂的数量关系，通过形的形象、直观揭示出来，以达到"形帮数"的目的;同时我们又要运用数的规律、数值的计算，来寻找处理形的方法，来达到"数促形"的目的。

对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。

例11、 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，，则S1+S2+S3+S4=_______。

解：四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，可设它们的边长分别为a 、b 、c 、d ，由直角三角形全等可得
解得a 2+b 2+c 2+d 2=4，则S1+S2+S3+S4=4.
例12.如图为二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中：①
ac ＜0； ②方程ax 2＋bx ＋c=0的根是x1= －1, x2= 3
③a ＋b ＋c ＞0 ④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大。

正确的说法有_____________。

(把正确的答案的序号都填在横线
上)
分析：本题借助图解法来求 ①利用图像中抛物线开口向上可知a ＞0,与y 轴负半轴相交可知c ＜0,所以ac ＜0.②图像中抛物线与x 轴交点的横坐标为-1，3可
知方程ax2＋bx ＋c=0的根是x1= －1, x2= 3 ③从图中可知抛物线上横坐标为1的点 （1，a ＋b ＋c ）在第四象限内所以a ＋b ＋c ＜0 ④从与x 轴两交点的横坐标为-1，3可知抛物线的对称轴为x=1且开口向上，所以当x ＞1时y 随x 的增大而增大。

所以正确的说法是：①②④
方法九：一题多解检验法
多种解法比一种解法更使人放心，也更容易发现存在问题。

当一道题解完后，进行再思考，往往会闪出好念头，获得好方法，用新颖的方法再解后，有错则纠，无错则形成双保险。

例13：六（一）有学生55人，女生人数是男生的6
5,六（一）班有男生多少人？
生1：用方程解：设男生有x 人，女生是X 6
5人。

根据“男生人数+女生人数=全班人数”
列方程： x+X 6
5=55 男生人数：X 6
11=55 X=30 生2：全班总分成11份，求出每份几人：55÷（5+6）=5（人）
男生占6份的人数:6×5=30(人)
生3：设男生x 人，6
5看作5:6，得出（55－x ）：x=5:6 X=30
生4：男生6份，女生5份，男生是全班人数的11
6，从而直接可列式求男生：55×11
6=30（人） 通过对同一道题不同答解方法的展现，经历了一个从特殊到一般，再从一般到特殊的思维过程，同时也检验答案的准确性。

方法十： 构造法
例13. 已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（-2，3）则m 的值为 ．
分析：采用构造法求解．由题意，构造反比例函数的解析式为
x k =y ，因为它过（-2，3）所以把x ＝-2，y ＝3代入x k =y 得k=-6. 解析式为x 6-=y 而另一点（m,2）
也在反比例函数的图像上，所以把x ＝m ，y ＝2代入
x 6
-=y 得m=-3.。