高考数列求和解题方法大全

高考数列求和解题方法
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高考数列求和解题方法大全
数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。

由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。

鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求和的能力。

一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、
等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪
⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q a a q
q a q na S n n n
3、
)1(211+==∑=n n k S n
k n 4、)12)(1(61
1
2++==∑=n n n k S n
k n
例1． 已知3
log 1
log 23-=
x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2
1
2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=
x x x ， 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32=x x x n
--1)1(＝211)
21
1(2
1--n ＝1－n 21 二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例2． 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①
解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积
当时1=x ，()()[]22
121127531n n n n S n =-+=-+++++=
当时1≠x
设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1
----⋅
+=-- ∴ 2
1)
1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 例3.已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令
)(lg N n a a b n n n ∈⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

解析：
①-②得：a na a a a S a n n n lg )()1(12+-+++=-
[]
n
n a na n a a a S )1(1)
1(lg 2
-+--=
∴。

点评：设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法。

三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
例4．函数)(x f 对任意R x ∈，都有21)1()(=
-+x f x f 。

（1）求)21(f 和)1()1(n
n f n f -+ 的值；（2）数列{}n a 满足：)1()1
()2()1()0(f n
n f n f n f f a n +-++++= ，数列{}n a 是
等差数列吗？请给与证明。

（3）1
44-=n n a b ，n
S n 1632-
=，2
2221n n b b b T +++= 试比较n T 与n S 的大小。

解：（1）令21=
x ,可得41)21(=f ，2
1)11()1()1()1(=-+=-+n f n f n n f n f （2） )1()1
()2()1()0(f n
n f n f n f f a n +-++++=
∴)0()1()2()2()1(
)1(f n
f n f n n f n n f f a n ++++-+-+= ∴)1(2
1
)0()1()1()1()1()0(2+=+++-+++=n f f n n f n f f f a n
∴4
1
+=
n a n
（3）n b n 4
=
，))1(13212111(16)131211(16222n n n
T n ⨯-++⨯+⨯+
≤++++= 四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例5．求数列的前n 项和：231
,,71,41,
1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n ，… 解：设)231
()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a
a a S n n
将其每一项拆开再重新组合得
)23741()1
111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++
=-n a
a a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+
=＝2
)13(n
n + （分组求和） 当1≠a 时，2)13(1111n n a
a S n n -+--
=＝2)13(11n n a a a n -+--- 例6． 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(
∴ ∑=++=n k n k k k S 1
)12)(1(＝)32(231
k k k n
k ++∑=
将其每一项拆开再重新组合得
S n ＝k k k n
k n k n k ∑∑∑===++1
2
1
3
1
32 （分组）
＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++
＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n ＝2
)
2()1(2++n n n 五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+= （2）
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+ （3）1
1
1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=
n n n n n a n （5）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n
(6)n
n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2
)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=
-则 例7． 求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
解：设n n n n a n -+=++=
11
1 （裂项）
则 1
13
212
11+++
⋅⋅⋅+++
+=
n n S n （裂项求和）
＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝11-+n
例8． 在数列{a n }中，1
1211++
⋅⋅⋅++++=n n
n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
解： ∵ 211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=
∴ )11
1(82
122+-=+⋅=n n n n b n
∴ 数列{b n }的前n 项和)]1
1
1()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n
＝)111(8+-
n ＝
1
8+n n。