1.5 全等三角形的判定(1)
浙教版数学八年级上册1.5《三角形全等的判定》(第1课时)教学设计
浙教版数学八年级上册1.5《三角形全等的判定》（第1课时）教学设计一. 教材分析《三角形全等的判定》是浙教版数学八年级上册1.5节的内容，本节内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、性质以及三角形的画法等知识的基础上进行学习的。
本节内容的主要目的是让学生掌握三角形全等的判定方法，并能够灵活运用这些方法解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于图形的认识和操作也有一定的了解。
但是，对于三角形全等的判定方法，学生可能还比较陌生，需要通过实例分析和操作来理解和掌握。
此外，学生的空间想象能力和逻辑思维能力还需要进一步的培养和提高。
三. 教学目标1.让学生了解三角形全等的概念，掌握三角形全等的判定方法。
2.培养学生观察、分析、解决问题的能力。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.三角形全等的判定方法的理解和运用。
2.三角形全等判定方法的灵活运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，通过问题的提出和解决，引导学生思考和探索。
2.采用实例分析法，通过具体的实例，让学生理解和掌握三角形全等的判定方法。
3.采用合作交流法，让学生在小组合作中，共同解决问题，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件和教学素材。
2.三角板和尺子等绘图工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习三角形的基本概念和性质，引导学生进入本节课的主题——三角形全等的判定。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现三角形全等的判定方法，引导学生观察和思考，让学生理解三角形全等的判定方法。
3.操练（10分钟）让学生利用三角板和尺子，自己动手画出全等的三角形，并通过比较，验证自己的结论。
4.巩固（10分钟）通过PPT展示一些判断三角形全等的问题，让学生独立解答，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）让学生思考：除了三角形，其他多边形有没有类似全等的概念？全等的概念在实际生活中有哪些应用？6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生明确三角形全等的判定方法，并能够灵活运用。
华东师大版：全等三角形的判定一
全等三角形的判定一1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”；2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.一、全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果''A B＝AB，''A C＝AC，''B C＝BC，则△ABC△△'''A B C.二、全等三角形判定2——“边角边”1.全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：如图，如果AB ＝''A B，△A＝△'A，AC ＝''A C，则△ABC△△'''A B C. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，△B＝△B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.教学目标学习内容知识梳理类型一、全等三角形的判定1——“边边边”例1、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：△BAD ＝△CAE.【答案与解析】证明：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩△△ABD△△ACE （SSS ）△△BAD ＝△CAE （全等三角形对应角相等）.【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：△CAD ＝△DBC.证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边 △△ACD△△BDC （SSS ）△△CAD ＝△DBC （全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定2——“边角边”例2、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．在△ABD 和△ECD 中，AD ＝DE ，△ADB ＝△EDC ，BD ＝CD ．△△ABD△△ECD ．△AB ＝CE ．△AC ＋CE ＞AE ，△AC ＋AB ＞AE ＝2AD ．即AC ＋AB ＞2AD ．例3、已知，如图：在△ABC 中，△B ＝2△C ，AD△BC ，求证：AB ＝CD －BD ． 证明：在DC 上取一点E ，使BD ＝DE例题讲解△ AD△BC ，△△ADB ＝△ADE在△ABD 和△AED 中， BD ＝DE ，AD ＝AD ．△△ABD△△AED （SAS ）．△AB ＝AE ，△B ＝△AED ．又△△B ＝2△C ＝△AED ＝△C ＋△EAC ．△△C ＝△EAC ．△AE ＝EC ．△AB ＝AE ＝EC ＝CD—DE ＝CD—BD ． 【变式】已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分△BAD ，CE△AB 于E ，并且AE ＝21（AB ＋AD ），求证：△B ＋△D ＝180°.证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，△CE△AB ，△△CEB ＝△CEF ＝90°在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩△△CBE△△CFE （SAS ）△△B ＝△CFE△AE ＝21（AB ＋AD ），△2AE ＝ AB ＋AD △AD ＝2AE －AB△AE ＝AF ＋EF ，△AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）△△AFC△△ADC （SAS ）△△AFC ＝△D△△AFC ＋△CFE ＝180°，△B ＝△CFE.A E D CB△△AFC ＋△B ＝180°，△B ＋△D ＝180°.类型三、全等三角形判定的实际应用例4、如图，公园里有一条“Z 字形道路ABCD ，其中AB△CD ，在AB ，BC ，CD 三段路旁各有一个小石凳E ，M ，F ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点.试判断三个石凳E ，M ，F 是否恰好在一条直线上？为什么？证明：△AB 平行CD （已知）∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等）∵M 在BC 的中点（已知）∴BM ＝CM （中点定义）在△BME 和△CMF 中BE CF B C BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BME ≌△CMF （SAS ）∴∠EMB ＝∠FMC （全等三角形的对应角相等）∴∠EMF ＝∠EMB ＋∠BMF ＝∠FMC ＋∠BMF ＝∠BMC ＝180°（等式的性质）∴E ，M ，F 在同一直线上 一、选择题 1. 如图，已知AB ＝AC ，D 为BC 的中点，结论：△AD△BC ；△AD 平分△BAC ；△△B ＝△C ；△△ABC 是等边三角形.其中正确的是（ ）.A.△△B. △△C. △△△D. △△2．如图，是的中线，、分别是和延长线上的点，且，连接、，下列说法：△；△ 和的面积相等；△；△ △，其中正确的有（ ）．A.1个B.2个AD ABC ∆E F AD AD DE DF =BF CE CE BF =ABD ∆ACD ∆//BF CE BDF ∆CDE ∆综合题库C.3个D.4个3. AD为△ABC中BC边上的中线, 若AB＝2, AC＝4, 则AD的范围是( )A .AD＜6 B. AD＞2 C. 2＜AD＜6 D. 1＜AD＜34．如图，AB＝DC，AD＝BC，E、F是DB上两点，且BF＝DE，若△AEB＝120°，△ADB＝30°，则△BCF ＝（）．A.150°B.40°C.80°D.90°5. 根据下列条件能唯一画出△ABC的是（）A.AB＝3，BC＝4，AC＝8B.AB＝4，BC＝3，△A＝30°C.AB＝5，AC＝6，△A＝45°D. △A＝30°，△B＝60°，△C＝90°6. 如图，在△ABC中，△A＝50°，△B＝△C，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，并且BD＝CE，BE＝CF，则△DEF等于（）A.50°B.60°C. 65°D. 70°二、填空题7. 如图，AB＝CD，AC＝DB，△ABD＝25°，△AOB＝82°，则△DCB＝_________.8. 如图，△ABC是三边均不等的三角形，DE＝BC，以D、E为两个顶点画位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画个.9. 如图，已知AE＝AF，AB＝AC，若用“SAS”证明△AEC△AFB，还需要条件.10. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，则图中全等三角形共有_____对.11. 如图所示，BE△AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若△ABC＝54°，则△E＝°.AA BB的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），如图，若测得12. 把两根钢条','AB＝5厘米，则槽宽为厘米．三、解答题13. 如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，△ABC＝△EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．14. 如图, ∠B ＝∠C, BD ＝CE, CD ＝BF 。
1.5三角形全等的判定
1.5三角形全等的判定同学们，咱们今天来好好聊聊三角形全等的判定！说起三角形全等的判定，这可太有意思啦！就好像我们在玩一个找相同的游戏。
你想想看，两个三角形，如果它们的形状和大小完全一样，那它们就是全等的。
那怎么才能知道它们是不是全等呢？这就得靠咱们的判定方法啦！先来说说“边边边”（SSS）判定法。
这就好比我们盖房子，房子的三条边长度都确定了，那这个房子的形状和大小也就固定下来了。
比如说，有一次我在公园里看到两个小朋友用树枝在地上画三角形。
一个小朋友画了一个三角形，三条边分别是 5 厘米、6 厘米和 7 厘米。
另一个小朋友也照着画了一个一模一样长度边的三角形。
嘿，你猜怎么着，这两个三角形放在一起，那简直就是一个模子里刻出来的，完全重合，这就是通过三条边相等判定了它们全等。
再说说“边角边”（SAS）判定法。
这就像我们拼拼图，如果两条边和它们的夹角都确定了，那这个三角形也就确定下来啦。
我记得有一次帮我小侄子做手工，要剪一个三角形的卡片。
我先确定了两条边的长度，还有它们之间的夹角，剪出来的三角形那叫一个标准，和我心里想的一模一样。
还有“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）判定法。
这就像是给三角形定了方向和角度，只要这些确定了，三角形也就跑不了啦。
咱们在做练习题的时候，可一定要看清楚题目给的条件，千万别马虎。
有时候就因为少看了一个条件，或者用错了判定方法，结果就错得一塌糊涂。
就像上次我看到一个同学，题目明明给的是两条边和一个角，他非得用“角角边”去判定，结果当然不对啦！其实啊，三角形全等的判定在我们生活中也有很多用处呢。
比如工程师在建造桥梁的时候，就得保证桥梁的各个部分的三角形结构是全等的，这样才能保证桥梁的稳固和安全。
还有我们家里的家具，如果是三角形的支架，那也得保证它们是全等的，这样才结实耐用。
总之，三角形全等的判定虽然听起来有点复杂，但只要我们认真学，多做练习，就一定能掌握得牢牢的！同学们，加油哦！。
2019秋浙教版八年级上册数学同步测试题：1.5三角形全等的判定【含答案】
1.5三角形全等的判定第1课时“边边边”知识点1.三角形全等的判定(SSS)1．如图1所示，如果AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，则下列结论正确的是(A)图1A．△ABC≌△A′B′C′B．△ABC≌△C′A′B′C．△ABC≌△B′C′A′D．这两个三角形不全等2．下列三角形中，与图2中△ABC全等的是__③__．3．如图3所示，AD＝BC，AC＝BD，用三角形全等的判定“SSS”可证明__△ADC__≌__△BCD__或__△ABD__≌__△BAC__．图3知识点2.三角形的稳定性4．[2018春·泉港区期末]如图4，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是(C)图4A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形具有稳定性D．两直线平行，内错角相等知识点3.三角形全等的判定与性质的综合5．在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝(C)A．110°B．40°C．30°D．20°6．如图5所示，在△ABC和△DBC中，已知AB＝DB，AC＝DC，则下列结论中错误的是(D)图5A．△ABC≌△DBCB．∠A＝∠DC．BC是∠ACD的平分线D．∠A＝∠BCD7．如图6，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，连结AC，求证：∠ACD ＝∠CAB.图6证明：在△ADC 与△CBA 中，⎩⎨⎧CD ＝AB ，AD ＝CB ，AC ＝CA ，∴△ADC ≌△CBA (SSS )，∴∠ACD ＝∠CAB .8．雨伞的截面如图7所示，伞骨AB ＝AC ，支撑杆OE ＝OF ，AE ＝13AB ，AF ＝13AC ，当O 沿AD 滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭的过程中，∠BAD 与∠CAD 有何关系？请说明理由．图7解：∠BAD ＝∠CAD .理由：∵AB ＝AC ，AE ＝13AB ，AF ＝13AC ，∴AE ＝AF .在△AOE 和AOF 中，⎩⎨⎧AO ＝AO ，AE ＝AF ，OE ＝OF ，∴△AOE ≌△AOF (SSS )，∴∠EAO ＝∠F AO ，即∠BAD ＝∠CAD . 知识点4.尺规作角平分线9．[2018春·历城区期末]如图8，作∠AOB 的角平分线的作图过程如下，作法：图8(1)在OA和OB上，分别截取OD，OE，使OD＝OE；(2)分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；(3)作射线OC，OC就是∠AOB的平分线．用三角形全等判定法则解释其作图原理，最为恰当的是__SSS__．【易错点】证明两个三角形全等时，对于有公共部分的角或线段，错把不是对应的边或角当成三角形的对应边或对应角．10．如图9，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，下列结论错误的是(C)图9A．△ABE≌△ACDB．△ABD≌△ACEC．∠ACE＝30°D．∠1＝70°第2课时“边角边”与线段的垂直平分线的性质知识点1.三角形全等的判定(SAS)1．如图1中全等的三角形是(D)①②③④图1A．①和②B．②和③C．②和④D．①和③2．如图2所示，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，要证△ABD≌△ACE，需补充的条件是(C)A．∠B＝∠C B．∠D＝∠EC．∠DAE＝∠BAC D．∠CAD＝∠DAC图2 图33．如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连结AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有(C)A．1对B．2对C．3对D．4对4．已知：如图4，OA＝OB，OC平分∠AOB，求证：△AOC≌△BOC.图4证明：∵OC 平分∠AOB ， ∴∠AOC ＝∠BOC . 在△AOC 和△BOC 中，⎩⎨⎧OA ＝OB ，∠AOC ＝∠BOC ，OC ＝OC ，∴△AOC ≌△BOC (SAS )．知识点2.利用“SAS ”判定三角形全等证明线段或角相等5．如图5，在△ABC 和△ABD 中，AC 与BD 相交于点E ，AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ，求证：AC ＝BD .图5证明：在△ADB 和△BCA 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ，AB ＝BA ，∴△ADB ≌△BCA (SAS )，∴AC ＝BD .6．如图6，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，点M ，N 分别在AB ，AC 边上，AM ＝2MB ，AN ＝2NC .求证：DM ＝DN .图6证明：∵AM ＝2MB ，∴AM ＝23AB ，同理，AN ＝23AC ， 又∵AB ＝AC ，∴AM ＝AN . ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠MAD ＝∠NAD .在△AMD 和△AND 中，⎩⎨⎧AM ＝AN ，∠MAD ＝∠NAD ，AD ＝AD ，∴△AMD ≌△AND ，∴DM ＝DN .知识点3.利用“SAS ”判定三角形全等来解决实际问题7．如图7所示，有一块三角形镜子，小明不小心将它打破成Ⅰ，Ⅱ两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上__Ⅰ__块，其理由是__两边及其夹角分别相等的两个三角形全等__．图7知识点4.线段的垂直平分线的性质8．[2017秋·浉河区期末]如图8，DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC ＝8，AB ＝10，则△EBC 的周长是( C ) A ．13B ．16C ．18D ．20【解析】 ∵DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，∴EA ＝EC ，∴△EBC 的周长＝BC ＋BE ＋EC ＝BC ＋BE ＋EA ＝BC ＋BA ＝18.图8 图99．如图9，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC 于D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为(C)A．5 cm B．10 cmC．15 cm D．17.5 cm【解析】∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35 cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴BC＋AD＋CD＝35 cm，∵AC＝AD＋DC＝20 cm，∴BC＝35－20＝15 cm.【易错点】“SSA”不能判定两个三角形全等．10．下列条件能够判断△ABC与△A′B′C全等的是(D)A．∠A＝∠A′B．AB＝A′B′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′C．AB＝A′B′，AC＝A′C′D．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′【解析】A．已知条件为一组对应角相等，不符合全等三角形的判定定理，无法证明两个三角形全等，故此选项错误；B．已知条件为边边角，不符合全等三角形的判定定理，无法证明两个三角形全等，故此选项错误；C．已知条件为两条边对应相等，不符合全等三角形的判定定理，无法证明两个三角形全等，故此选项错误；D．由边角边定理可证两个三角形全等，故此选项正确．第3课时“角边角”知识点三角形全等的判定(ASA)1．如图1，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中和△ABC全等的图形是(B)图1A．甲B．乙C．甲和乙都是D．都不是2．如图2所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是__ASA__．图23．如图3，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD.图3证明：∵∠3＝∠4，∴∠ABC＝∠ABD.在△ABC和△ABD中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，AB ＝AB ，∠ABC ＝∠ABD ，∴△ABC ≌△ABD (ASA )，∴AC ＝AD .4．[2018秋·延庆区期中]如图4，AB ＝AC ，点D ，E 分别在AB ，AC 上，CD ，BE 交于点F ，且∠B ＝∠C .求证：△ABE ≌△ACD .图4证明：在△ABE 与△ACD 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠A ，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，∴△ABE ≌△ACD (ASA )．5．[2018秋·金坛区期中]如图5，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2.求证：△ABC ≌△ADE .图5证明：∵∠1＝∠2，∴∠DAC ＋∠1＝∠2＋∠DAC ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠D ，AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ≌△ADE (ASA )．【易错点】错用判定三角形全等的判定方法．6．已知：如图6，∠AOD ＝∠BOC ，∠A ＝∠C ，O 是AC 的中点．求证：△AOB ≌△COD .图6证明：∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠AOD ＋∠DOB ＝∠BOC ＋∠BOD ， 即∠AOB ＝∠COD ，∵O 是AC 的中点，∴AO ＝CO ，在△AOB 与△COD 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠C ，AO ＝CO ，∠AOB ＝∠COD ，∴△AOB ≌△COD .第4课时 “角角边”与角平分线的性质知识点1.三角形全等的判定(AAS )1．如图1，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠C ＝∠D .求证：△ABC ≌△AED .图1证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠EAC ＝∠2＋∠EAC ，即∠BAC ＝∠EAD . 又∵∠C ＝∠D ，AB ＝AE ，∴△ABC ≌△AED (AAS )．2．如图2，已知：在△AFD 和△CEB 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AE ＝CF ，∠B ＝∠D ，AD ∥BC .求证：AD ＝BC .图2证明：∵AE ＝CF ，∴AF ＝CE . ∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠C . 在△AFD 和△CEB 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ，AF ＝CE ，∴△AFD ≌△CEB (AAS )，∴AD ＝BC . 知识点2.三角形全等判定方法的选用3．如图3，已知∠ABC ＝∠BAD ，添加下列条件还不能判定△ABC ≌△BAD 的是( A )A ．AC ＝BDB ．∠CAB ＝∠DBAC ．∠C ＝∠DD ．BC ＝AD图3图44．如图4所示，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，D 为BC 边的中点，过点D 分别向AB ，AC 作垂线段，则能够说明△BDE ≌△CDF 的理由是( D ) A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS知识点3.角平分线的性质5．如图5，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PD ＝6，则点P 到边OB 的距离为( A )图5A ．6B ．5C ．4D ．36．[2019·辽阳模拟]如图6，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 于点E ，AB ＝7，DE ＝4，则S △ABD ＝( C ) A ．28 B ．21 C ．14D ．7图6第6题答图【解析】 如答图，作DH ⊥BA 于H .∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DH ⊥AB ， ∴DH ＝DE ＝4，∴S △ABD ＝12×7×4＝14，故选C.7．如图7，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，PN ⊥CD 于N ，求证：PM ＝PN .图7证明：∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴∠ABD ＝∠CBD ， 在△ABD 和△CBD 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD (SAS )，∴∠ADB ＝∠CDB ， ∵点P 在BD 上，且PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM ＝PN .【易错点】对于全等三角形开放性问题，常常不能正确选用判定方法． 8. 如图8，在△ABC 和△DEF 中，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是( D )图8A ．∠A ＝∠DB ．BC ＝EF C ．∠ACB ＝∠FD ．AC ＝DF【解析】 ∵∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，∴添加∠A ＝∠D ，利用ASA 可得△ABC ≌△DEF ；∴添加BC＝EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；∴添加∠ACB＝∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；添加AC＝DF不能证明△ABC≌△DEF，故选D.。
1.5 全等三角形的判定(1)
例3 小明做了一个如图所示的风筝，他想 去验证∠BAC与∠DAC是否相等，手头只 有一把（足够长）尺子，线段）相等转化为证角 （或线段）所在的三角形全等
作业4. 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.你能 通过添加辅助线,把它分成两个全等三角形吗?若能,画 出辅助线,并给出证明.
a=3cm,b=3.5cm,c=5.5cm.
全等三角形判定公理：
三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边 边边”或“SSS”）
如果…那么…形式描述：
如果两个三角形有三边对应相等，那么这两个 三角形全等。
几何语言描述：
A
∵ AB = A' B'
CB = C' B' AC = A' C'
作业5. 已知:如图,AB=DE,BC=EF,AF=DC.求 证:BC∥EF.
由已知可得△ABC≌△DEF(SSS) ∴ ∠EFD＝∠BCA(全等三角形的对应角相等), ∴ ∠EFC＝∠BCA(等角的补角相等), ∴ EF∥BC(内错角相等，两直线平行).
课内练习 2. 如图,点B,E,C,F在同一条直线上,且 AB=DE,AC=DF ,BE=CF.将下面证明△ABC≌△DEF的过程补充完整.
B A'
C
∴△ABC≌△A'B' C' B'
C'
• 我们发现三角形的三边长度确定，这个三角形的 形状大小就完全确定，这个性质叫三角形的稳定 性。这是三角形特有的性质。
例1 已知：如图， 在四边形ABCD中，AB＝CD， AD＝CB，求证：∠B＝∠D
A B D C A B D C
小结：非三角形全等问题要转化成三角形全等问题。
《三角形全等的判定》(边边边)参考教案
三角形全等的判定（一）教学目标1．三角形全等的“边边边”的条件．2．了解三角形的稳定性．3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程． 教学重点三角形全等的条件．教学难点寻求三角形全等的条件．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形．已知△ABC ≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．C 'B 'A 'C B A图中相等的边是：AB=A′B 、BC=B′C′、AC=A′C ．相等的角是：∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）．这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．Ⅱ．导入新课1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），•画出的两个三角形一定全等吗？2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．①三角形一内角为30°，一条边为3cm ．②三角形两内角分别为30°和50°．③三角形两条边分别为4cm 、6cm ．学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流． 结果展示：1．只给定一条边时：只给定一个角时：2．给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边．①3cm 3cm 3cm 30︒30︒30︒②50︒50︒30︒30︒③6cm4cm 4cm6cm可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？归纳：有四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边．在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．已知一个三角形的三条边长分别为6cm 、8cm 、10cm ．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？1．作图方法：先画一线段AB ，使得AB=6cm ，再分别以A 、B 为圆心，8cm 、10cm 为半径画弧，•两弧交点记作C ，连结线段AC 、BC ，就可以得到三角形ABC ，使得它们的边长分别为AB=6cm ，AC=8cm ，BC=10cm ．2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．•这说明这些三角形都是全等的．3．特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC ，根据前面作法，同样可以作出一个三角形A′B′C′，使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′．将△A′B′C′剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．请看例题．[例]如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．[分析]要证△ABD ≌△ACD ，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等． 证明：因为D 是BC 的中点所以BD=DC在△ABD 和△ACD 中(AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩公共边)所以△ABD ≌△ACD （SSS ）．生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，•而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．•例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．Ⅲ．随堂练习如图，已知AC=FE 、BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AD=FB ．要用“边边边”证明△ABC ≌△FDE ，除了已知中的AC=FE ，BC=DE 以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？F DC BE A2．课本练习．Ⅳ．课时小结本节课我们探索得到了三角形全等的条件，•发现了证明三角形全等的一个规律SSS ．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．Ⅴ．作业1． 习题11.2 复习巩固1、2．Ⅵ．活动与探索如图，一个六边形钢架ABCDEF 由6条钢管连结而成，为使这一钢架稳固，请你用三条钢管连接使它不能活动，你能找出几种方法？C本题的目的是让学生能够进一步理解三角形的稳定性在现实生活中的应用． 结果：（1）可从这六个顶点中的任意一个作对角线，•把这个六边形划分成四个三角形．如图（1）为其中的一种．（2）也可以把这个六边形划分成四个三角形．如图（2）．板书设计(1)(2)。
1.5三角形全等判定定理ASA
1
A
2
B D
例5 如图，点B,F,E,C在同一条直线上， AB∥CD，且AB=CD ，∠A=∠D.求证： AE=DF
A
E C F D B
求证：全等三角形对应角的角平分线长度相等．
C D B
A'
C' D' B'
A
1、某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块， 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那 么最省事的办法是（ ）。 c A 带①去 C 带③去 B带②去 D带①和②去
② ① ③
2. 已知：AB=AC，∠B=∠C， 求证：AE=AD
解：在△ABD和△ACE中， ∠B=∠C（已知） AB=AC （已知） ∠A=∠A（公共角）
E
A
D
B
C
∴ △ABD≌△ACE （ASA） ∴AE=AD
拓展练习
1、如图，在△ABC 中，D 是 BC边的中点， E.F分别是AD 及其延长线上的点，CF//BE 求证： △BDE ≌△CDF
演全 什等 么三 角角 色形 呢判 ？定 过 程 中 角 和 边 分 别 饰
这些正三角形的差别是什么？
正三角形他们的形状都相同,角都是60度
边长不同，三角形的大小也不同 角度决定了三角形的形状，边长决定了三角形的大小
请用量角器和刻度尺画Δ ABC，使
BC=3cm，∠B=40°、 ∠C=60°，将
你画的三角形与其他同学画的三角形
比较，你发现了什么？
A
C
600 3cm
400
B
两个角及其夹边对应相等的两个三角形全
等。（简写成“角边角”或“ASA”）
A
几何语言：
在△ABC与△DEF中 ∠B=∠E， BC=EF， ∠C=∠F ∴ΔABC≌DEF（ ASA ）
直角三角形全等的判定(1)(201911整理)
1.已知:如图,D是△ABC的BC边上的中 点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且 DE=DF. 求证: △ABC是等腰三角形.
B
B′
C
A C′
A′
知识在于积累
判断下列命题的真假,并说明理由:
两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两直角边对应相等的两个直角三角形全等; 一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等 的两个直角三角形全等. 一个角和一条直角分别相等的两个直角三角形全 等.
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徐州刺史 景登禅灵寺门 无出其前 乃密启武帝停军 睿不许 梁其代终 齿皆流血 而齐军大至 于夜逃亡 都督缘淮诸军事 在钟离数为劫盗 顾而叹曰 睿徐掷得卢 轻舟奔杜龛 与乡人共入魏武庙 事若无成 亦可以济舟 至衡州 睿遣报昌义之 众军乘胜前顿城父 乃云 天之历数 东昏假伯之节 得文牒 辞讼 拜黄门侍郎 元英自率众来战 求棺无所得 魏克江陵 将兵仁爱 至南洲 众军乘之 今日见君之心 五年卒 邃以援绝拔还 谓仲礼曰 去就不已 本州别驾 又破行台孙腾 子之礼嗣 任约等引齐军济江 "若从公言 五年 邃遂随众北徙 晚致倾覆 能得其死力 魏大将军费穆帅众奄至 元帝遣召之 除光 禄大夫 置上明郡 性强正 军人少安 豫章太守郑伯伦起郡兵拒守 夜掘长堑 多劝睿缓行 侯景之乱 魏徐州刺史元法僧于彭城求入内附 相持至晚各解归 孝仪曰 韦睿之法 "伯之曰 及年长 征拜护军 四年侵魏 战捷不足为功；微有喜色 "乃免胄下马 并散私金帛以赏其战士 亲戚死者数百人 敕召昕 还 身乘小舆殿后 即就内史刘孝仪共谋之 伯之遣使还报武牙兄弟 "且愿两武勿复私斗 答曰 "各为其主 颢以庆之为车骑大将军 承制除特进
1.5全等三角形判定方法①
三角形初步知识
1.5 全等三角形判定①
1、 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫全等三角形。
2、 全等三角形有什么性质？
A D
B
C
E
F
①AB=DE ② BC=EF ③ CA=FD ④∠A=∠D ⑤∠B=∠E ⑥∠C=∠F
问题一：根据上面的结论，两个三角形全等，
它们的三个角、三条边分别对应相等，那么
组全等的三角形？它们全等的条件是什么？ A 解：有三组。
在△ABH和△ACH中
∵AB=AC，BH=CH，AH=AH
∴△ABH≌△ACH（SSS）； 在△ABH和△ACH中 ∵AB=AC，BD=CD，AD=AD ∴△ABD≌△ACD（SSS）； 在△ABH和△ACH中 ∵BD=CD，BH=CH， DH=DH∴△DBH≌△DCH（SSS）
试一试：
已知: 如图,AC=AD ,BC=BD. 说明: ∠C=∠B. C 解: 连结AB
在△ACB 和 △ADB中 AC = AD (已知)
BC = BD (已知)
A
D
B
AB = AB (公共边) ∴△ACB≌△ADB (SSS)
你能否得出不用量角器画角的平分线的方法?
例题讲解
例2 已知∠BAC（如图），用直尺和圆规作 ∠BAC的平分线AD，并说出该作法正确的理由。
证明：连结AC, 在△ABC和△ ADC中, AB＝CD（已知） BC＝AD（已知） AC＝AC（公用边） ∴ △ ABC≌ △ CDA（SSS）
A B A B
D
C D
C
∴ ∠B＝∠D（全等三角形对应角相等）
问：1. 此题添加辅助线，若连结BD行吗？ 2. 在原有条件下，还能推出什么结论？ 小结：四边形问题转化为三角形问题解决。
三角形全等的判定(1)
活动 3 问题 你如何验证你的结论呢?（请每两 个同学一组合作，先任意画一个三角 形， 然后再画一个三角形使其与前三角 形的三边对应相等， 并将所画的三角形 裁剪下来与前三角形重叠， 看看有什么 结果． ）
提醒学生注 意： 已知三边画三角 形是一种重要的作 图， 在几何中用途很 多， 所以这种画图方 法一定要掌握．
2
活动 5 问题 你如何进一步验证你的结论呢 ? （请每两个同学一组合作， 先任意画一 个三角形， 然后再画一个三角形使其与 前三角形有两边和这两边的夹角对应 相等， 并将所画的三角形裁剪下来与前 三角形重叠，看看有什么结果． ）
在此活动中教 通过观察和 师应关注学生： 实验我们得到一 做一个角等于已知 个规律： 角的方法的进一步 两边和它们 掌握． 的夹角对应相等 的两个三角形全 教 师 进 一 步 引 等（可以简写成 导学生推出“SAS” “ 边 角 边 ” 或 的结论． “SAS” ） ．
活动 6 问题 如果两边对应相等，其夹角不相 等，而是一边的对角对应相等，这样的 两个三角形全等吗？
教师： 通过学生 结论： 两边及 讨论及几何画板的 一边的对角对应 演示使学生认识到： 相等的两个三角 两边及一边的对角 形不一定全等． 对应相等的两个三 角形不一定全等．
活动 7 练习 1．如图，在△ABC 和△DEF 中， 使学生逐步掌 AB ＝ DE 、 AC ＝ DF 请 你 添 加 条 握“SSS”“SAS” 、 件 ，使△ABC≌ △DEF． 公理． 培养学生分析问题 的能力．
11.2
三角形全等的判定（1）
教学任务分析
1．经历探索三角形全等的条件的过程． 知识技能 2．掌握探究问题的一般方法． 3．初步掌握运用 SSS、SAS 判定两个三角形全等． 使学生经历探索三角形全等的条件的过程， 体验用操作、 数学思考 归纳得出数学结论的过程． 会运用 SSS、SAS 条件证明两个三角形全等，并体会多 解决问题 种方法证明结论． 1．通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生合作交 流的意识和大胆猜想的良好思维品质，以及发现问题的 情感态度 能力． 2．使学生了解通过观察和实验可以获得许多数学知识， 并学会把这些数学知识应用于他们的日常生活中． 通过观察和实验获得 SSS、SAS，会运用 SSS、SAS 条件证明两个三 角形全等． 认识两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等． 直尺、圆规、三角板、量角器、剪刀、硬纸片．
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例3 小明做了一个如图所示的风筝，他想 去验证∠BAC与∠DAC是否相等，手头只 有一把（足够长）尺子，你能帮助他想个 方法吗？说明你这样做的理由。
证角（或线段）相等转化为证角 （或线段）所在的三角形全等
作业4. 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.你能 通过添加辅助线,把它分成两个全等三角形吗?若能,画 出辅助线,并给出证明.
证明: ∵ BE=CF( ), ∴ BE+EC=CF+EC,即BC=EF .在△ABC和△DEF中, ∵
∴ △ABC≌△DEF(
).
课堂小结
• 通过这节课，你有什么收获？
• 1、“SSS”公理，三角形的稳定性及其应用。 • 2、通过证明两个三角形全等，从而可以转化证两 个角和两条线段相等。 • 3、证角（或线段）相等转化为证角（或线段）所 在的三角形全等; • 4、非三角形问题转化为三角形问题来解决。 • 作业： 作业本
a=3cm,b=3.5cm,c=5.5cm.
全等三角形判定公理：
三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边 边边”或“SSS”）
如果…那么…形式描述：
如果两个三角形有三边对应相等，那么这两个 三角形全等。
几何语言描述： 在△ABC和△A'B' C'中
AB = A' B' ∵ CB = C' B' AC = A' C'
1.5全等三角形的判定(一)
温故知新 能够重合的两个三角形叫做全等三角形. 全等三角形的对应边相等，对应角相等. △ABC≌△DEF 对应边： AC与DF、AB与DE、BC与EF 对应角： ∠ABC与∠DEF、∠ACB与∠DFE、 ∠BAC与∠EDF 那么如何证明两个三角形全等呢？
合作学习
判断以下一组线段，能否组成三角形？如果 能组成三角形，请你用刻度尺和圆规把这个 三角形画出来。请你把画出来的三角形和同 桌对比，你有什么发现？
A
B A'
C
∴△ABC≌△A'B' C' B'
C'
• 我们发现三角形的三边长性。这是三角形特有的性质。
例1 已知：如图， 在四边形ABCD中，AB＝CD， AD＝CB，求证：∠B＝∠D
A B D C A B D C
小结：非三角形全等问题要转化成三角形全等问题。
作业5. 已知:如图,AB=DE,BC=EF,AF=DC.求 证:BC∥EF.
由已知可得△ABC≌△DEF(SSS) ∴ ∠EFD＝∠BCA(全等三角形的对应角相等), ∴ ∠EFC＝∠BCA(等角的补角相等), ∴ EF∥BC(内错角相等，两直线平行).
课内练习 2. 如图,点B,E,C,F在同一条直线上,且 AB=DE,AC=DF ,BE=CF.将下面证明△ABC≌△DEF的过程补充完整.