最新人教版高中数学必修4第一章《单位圆与三角函数线》示范教案
人教版高中数学数学必修四1.2.1+单位圆与三角函数线第一课时+教案
第二学期高一教案主备人：使用人：时间：1.单位圆的概念有向线段的概念用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值一、知识目标知识目标：1.说出单位圆的概念2.说出有向线段的概念3.用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值二、能力目标：正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来，经历知识产生的过程，培养分析问题、解决问题的能力。
精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.4 三角函数的图象与性质教案(3)
三角函数的图形与性质教学设计正弦、余弦函数的图象教学目标：知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出R x x y ∈=,sin 的图象，明确图象的形状；（2）根据关系)2sin(cos π+=x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象；（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题； 能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法； （2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法；德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神；教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象； 教学难点：作余弦函数的图象。
教学过程： 一、复习引入：1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
2.正、余弦函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离r(02222>+=+=y x yx r )则比值r y 叫做α的正弦 记作： r y=αsin比值r x 叫做α的余弦 记作： rx=αcos3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP r y ==αsin ，OM rx==αcos向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．二、讲解新课：1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．（1）函数y=sinx 的图象r y)(x,αP第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.（2）余弦函数y=cosx 的图象探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？根据诱导公式cos sin()2x x π=+,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移2π单位即得余弦函数y=cosx 的图象. （课件第三页“平移曲线” ） 正弦函数y=si nx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？y=cosxy=sinx π2π3π4π5π6π-π-2π-3π-4π-5π-6π-6π-5π-4π-3π-2π-π6π5π4π3π2ππ-11yx-11o xy2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是哪几个？(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握． 优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以 3、讲解范例：例1 作下列函数的简图(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， （2）y=-COSx探究2． 如何利用y=sinx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y ＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象； （2）y=sin(x- π/3)的图象？小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。
2022年高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 1.2.2 单位圆与三角函数线》
单位圆与三角函数线
教学目标：
1．知识与技能: 使学⊥轴交轴于点M，那么请学生观察，
〔1〕inα等于什么？
〔2〕随着α在第一象限内转动，M⊥轴于M，那么有向线段是正弦线。
C：有向线段是余弦线。
D：设单位圆与轴的正半轴交于点A，过点A作垂线与角α的终边〔或其反向延长线〕交于点T，那么有向线段就是正切线。
简单介绍: “有向线段〞〔带有方向的线段〕的数量：绝对值等于有向线段的长度，方向与坐标轴方向相同时为正，反之为负。
那么有向线段、、的数量等于角的正弦、余弦和正切的值
5、视情形可补充余切线、正割线和余割线〔动态演示，在不同象限的角的三角函数线〕。
三、例题讲解：
例1 分别作出的正弦线、余弦线和正切线
例2 解不等式
例3 求函数的定义域。
思考：当∈〔0，〕时，有 in＜＜tan
四：稳固练习：
练习1画出角的正弦线，余弦线，正切线。
练习2在上，满足的的取值范围是〔〕
A B C D
练习3 假设，那么的取值范围______。
练习4 假设-1＜tan＜1，那么的范围_______。
四、本节小结：
本节课我们学习了
1单位圆:
把半径为1的圆叫做单位圆。
2三角函数线：
〔1〕余弦线OM，正弦线ON，正切线AT
〔2〕其中余弦线，正弦线的起点是O，终点是，ON，AT数量OM，ON，AT 是可正、可负、可零。
三角函数线与坐标轴方向一致为正，相反为负，起点与终点重合为零。
六、课堂练习：第22页练习A、B
七、课后作业：第35页习题1-1A：4、1-1B：5。
高中数学人教B版必修4 1.2 教学设计 《单位圆与三角函数线》(人教)
《单位圆与三角函数线》通过本节课的学习，把三角函数的代数定义和几何定义有机地结合起来，由“数”转化为“形”，又为继续学习三角函数的各种关系式、诱导公式、三角函数的图像及性质等提供了另一种工具，具有承前启后的重要作用。
由于三角函数线是三角函数定义的几何表示，所以应用三角函数线解决三角问题显得非常直观，有利于提高学生自主地分析问题和解决问题的能力。
【知识与能力目标】使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值，并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题。
【过程与方法目标】借助几何画板以及板演，让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；在论坛上开展研究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力。
【情感态度价值观目标】激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境。
【教学重点】三角函数线的作法及其简单应用。
【教学难点】利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来。
多媒体课件。
一、复习引入对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法。
1、角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？y)cos sin tan .x r y r y x ααα===，，所以x =______，y =_________，所以点p 坐标为____________。
当r=1时，x =______，y =_________，所以点p 坐标为____________。
2、角α 的正弦、余弦、正切值与终边上P 点的位置是否有关？3、数轴上向量的数量（坐标）是如何规定的？数轴上的向量AB 的坐标是一个实数，这个实数的绝对值为线段的长度，如果向量的方向与数轴的方向相同取正，反之取负。
单位圆与三角函数线(说案)
单位圆与三角函数线（说课）一、教材分析1、教材的地位和作用著名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系以后，使得对三角函数的研究大为简化。
《单位圆与三角函数线》是人教版B版高中数学必修四第一章第二单元的第二课时，安排在“角的概念的推广”、“弧度制”和“三角函数的概念”之后。
通过本节课的学习，把三角函数的代数定义和几何定义有机地结合起来，由“数”转化为“形”，又为继续学习三角函数的各种关系式、诱导公式、三角函数的图像及性质等提供了另一种工具，具有承前启后的重要作用。
由于三角函数线是三角函数定义的几何表示，所以应用三角函数线解决三角问题显得非常直观，有利于提高学生自主地分析问题和解决问题的能力。
2、教学目标：根据教学大纲要求、新课程标准精神，本节课的知识特点以及高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征，我确定了本节课的教学目标如下：（1）知识与技能：能借助于单位圆理解三角函数线的定义；会画出任意角的三角函数线；能根据三角函数线总结出三角函数值随角度变化的规律；能运用三角函数线解决简单的实际问题。
（2）过程与方法：通过三角函数线的作图，掌握用数形结合的思想解决数学问题的方法。
提高学生自主分析地分析问题和解决问题的能力。
（3）情感、态度、价值观：通过本节课的作图、分析、展示，体验数学的美，感受学习的快乐；通过学生之间、师生之间的交流与合作，创设共同探究、教学相长的教学氛围；通过给学生及时、恰当的评价和鼓励激发学生对数学学习的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神。
通过情景的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
3、教学的重点和难点：根据本节课的地位与作用及教学目标，我认为本节课的重点、难点、关键分别是：重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值，培养学生数形结合的良好的思维习惯。
难点：理解三角函数和三角函数线间的关系，准确作图。
高中数学 第一章 基本初等函数(Ⅱ)1.2.2 单位圆与三角
1.2.2 单位圆与三角函数线[学习目标] 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．[知识链接]1．什么叫做单位圆？答 以坐标原点为圆心，以一个单位长度为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆(注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米)．2．带有方向的线段叫有向线段．有向线段的大小称为它的数量．在坐标系中，规定：有向线段的方向与坐标系的方向相同．即同向时，数量为正；反向时，数量为负． [预习导引]1．三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }．2．三角函数线如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT .要点一 利用三角函数线比较大小例1 分别作出2π3和4π5的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin 2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小．解 如图，sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan4π5＝AT ′.显然|MP |>|M ′P ′|，符号均为正， ∴sin 2π3>sin 4π5；|OM |<|OM ′|，符号均为负，∴cos 2π3>cos 4π5；|AT |>|AT ′|，符号均为负，∴tan 2π3<tan 4π5.规律方法 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负．跟踪演练1 利用三角函数线比较a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7的大小．解如图，在单位圆O 中分别作出角5π7的正弦线M 1P 1和2π7的余弦线OM 2、正切线AT .由5π7＝π－2π7知M 1P 1＝M 2P 2， 又π4<2π7<π2，易知AT >M 2P 2>OM 2，∴cos 27π<sin 5π7<tan 2π7，故b <a <c .要点二 利用三角函数线解不等式例2 利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ≥32；(2)－12≤cos θ<32. 解 (1)如图①，作直线y ＝32交单位圆于点P 、Q ，连接OP 、OQ ，则OP 、OQ 与单位圆围成的区域即为角θ的终边的范围(阴影部分)，故满足条件的角θ的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π3≤θ≤2k π＋2π3，k ∈Z. (2)如图②，作直线x ＝12和x ＝32分别交单位圆于点M ，N ，P ，Q ，连接OM 、ON 、OP 、OQ ，则OM 、ON 、OP 、OQ 与单位圆围成的区域即为角θ的终边的范围(阴影部分)．故满足条件的角θ的集合为θ2k π－2π3≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋2π3，k ∈Z .规律方法 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期； (2)注意区间是开区间还是闭区间．跟踪演练2 已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，若α∈[0,2π)，求α的取值范围．解 ∵点P 在第一象限内，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0，tan α>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α，tan α>0.结合单位圆(如图所示)中三角函数线及0≤α<2π. 可知π4<α<π2或π<α<5π4.要点三 利用三角函数线求函数的定义域例3 求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22的定义域． 解 由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z .规律方法 求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题．利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法．解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分．跟踪演练3 求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域． 解 ∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32. 如图所示．∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫n π－π3，n π＋π3(n ∈Z ).1．角α(0<α<2π)的正弦、余弦线的长度相等，且正弦、余弦值的符号相异，那么α的值为( ) A.π4 B.3π4 C.7π4D.3π4或7π4答案 D 2.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′ B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′ C ．正弦线MP ，正切线AT D ．正弦线PM ，正切线AT 答案 C3．在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π答案 B4．利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)： (1)sin 2π3________sin 3π4；(2)cos 2π3________cos 3π4；(3)tan 2π3________tan 3π4.答案 (1)> (2)> (3)< 解析作出2π3和4π5的三角函数线，如图所示．根据三角函数线得：sin 2π3＝MP >sin 3π4＝M ′P ′；cos 2π3＝OM >cos 3π4＝OM ′；tan 2π3＝AT <tan 3π4＝AT ′.1.三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便． 2．三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P 、M 、T 点，再画出MP 、OM 、AT .注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．3．三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念．与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解容易了．一、基础达标1．有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相等；③π4和5π4的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0 答案 C 解析π6和5π6的正弦线关于y 轴对称，长度相等；π3和4π3两角的正切线相同；π4和5π4的余弦线长度相等．故①②③都正确，故选C.2．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( ) A ．sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B ．sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C ．sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D ．sin 1.2>sin 1>sin 1.5 答案 C解析 ∵1,1.2,1.5均在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内，正弦线在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内随角的增大而逐渐增大，∴sin1.5>sin 1.2>sin 1.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π3，x ∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋5π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π－5π6，k ∈Z答案 C解析 ∵x －π3≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π＋5π6，k ∈Z .4．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <b D ．a <c <b答案 C解析 作α＝－1的正弦线、余弦线、正切线可知：b ＝OM >0，a ＝MP <0，c ＝AT <0，且MP >AT .∴b >a >c ，即c <a <b .5．cos 1，sin 1，tan 1的大小关系是( ) A ．sin 1<cos 1<tan 1 B ．tan 1<sin 1<cos 1 C ．cos 1<tan 1<sin 1 D ．cos 1<sin 1<tan 1 答案 D 解析分析1弧度角的范围，作出单位圆及三角函数线，如图所示，设1弧度角的终边与单位圆交于点P (x ，y )，x 轴正半轴与单位圆交于点A (1,0)，过P 作PM ⊥Ox ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线与OP 的延长线交于点T ，则有OM <MP <AT ，即cos 1<sin 1<tan 1. 6．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝________________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤54π，2π7．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合： (1)sin x >－12且cos x >12；(2)tan x ≥－1.解(1)由图(1)知：当sin x >－12且cos x >12时，角x 满足的集合：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π6＋2k π<x <π3＋2k π，k ∈Z .(2)由图(2)知：当tan x ≥－1时，角x 满足的集合为：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π4≤x <2k π＋π2，k ∈Z∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋34π≤x <2k π＋32π，k ∈Z .即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |n π－π4≤x <n π＋π2，n ∈Z .二、能力提升8．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α<sin α<tan αB ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α答案 A解析 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α. 9．不等式tan α＋33>0的解集是______________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z .10．把sin π12，sin 512π，cos 57π，tan 512π由小到大排列为________________________________________________________________________. 答案 cos 57π<sin π12<sin 512π<tan 512π解析 如图可知，sin π12＝M 1P 1>0，sin 512π＝M 2P 2>0，tan 512π＝AT >0，cos 57π＝OM 3<0.而0<M 1P 1<M 2P 2<AT ，∴0<sin π12<sin 512π<tan 512π.而cos 57π<0，∴cos 57π<sin π12<sin 512π<tan 512π.11．求函数y ＝log sin x (2cos x ＋1)的定义域．解 由题意得，要使函数有意义，则须⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0且sin x ≠1，2cos x ＋1>0，如图所示，阴影部分(不含边界与y 轴)即为所求． 所以所求函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x <2k π＋π2，或2k π＋π2<x <2k π＋2π3，k ∈Z. 12．利用三角函数线，写出满足下列条件的角α的集合： (1)sin α≥22；(2)cos α≤12. 解(1)由图①知：当sin α≥22时，角α满足的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪π4＋2k π≤α≤3π4＋2k π，k ∈Z.(2)由图②知：当cos α≤12时，角α满足的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ π3＋2k π≤α≤5π3＋2k π，k ∈Z .三、探究与创新13．当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α.证明如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P ，α的正弦线、正切线为有向线段MP ，AT ，则MP ＝sin α，AT ＝tan α.因为S △AOP ＝12OA ·MP ＝12sin α，S 扇形AOP ＝12αOA 2＝12α，S △AOT ＝12OA ·AT ＝12tan α，又S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ，所以12sin α<12α<12tan α，即sin α<α<tan α.。
人教新课标版数学高一B版必修4学案 单位圆与三角函数线
1.2.2 单位圆与三角函数线明目标、知重点 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.1.三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }.2.三角函数线如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点.过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点.单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.记作：sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT .即角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.角是一个图形概念，也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数——三角函数是一个数量概念(比值)，但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，前面我们学习了任意角的三角函数，它主要从数上研究了它们，能否用几何方式来表示三角函数呢？这一节我们就来一起研究这个问题.探究点一 三角函数线的概念及作法思考1 如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x 都是正数，你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？tan α＝yx怎样表示？答 过角α的终边与单位圆的交点P ，向x 轴作垂线，垂足为M ，则|MP |＝y ＝sin α，|OM |＝x ＝cos α.如图，过点A (1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y 轴，设它与α的终边交于点T ，根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有向线段OA 、AT ，我们有tan α＝AT ＝yx.思考2 如图，若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x 都是负数，此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？ 如何给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？答 过角α的终边与单位圆的交点P ，向x 轴作垂线，垂足为M ，则，－|MP |＝y ＝sin α，－|OM |＝x ＝cos α.我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.规定：线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向. 即规定当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有负值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样，无论哪种情况都有OM ＝x ＝cos α.同理，当角α的终边不在x 轴上时，以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有负值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样，无论哪种情况都有MP ＝y ＝sin α.因此MP 、OM 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段.小结 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 、AT ，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.思考3 当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？ 答 如图：例1 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并求角α的取值集合.解 已知角α的正弦值，可知MP ＝12，则P 点纵坐标为12.所以在y 轴上取点⎝⎛⎭⎫0，12.过这点作x 轴的平行线，交单位圆于P 1，P 2两点，则OP 1，OP 2是角α的终边，因而角α的集合为{α|α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z }. 反思与感悟 作已知角的正弦线、余弦线、正切线时，要确定已知角的终边，再画线，同时要分清所画线的方向，对于以后研究三角函数很有用处.跟踪训练1 sin 25π，cos 65π，tan 25π从小到大的顺序是________.答案 cos 65π<sin 25π<tan 25π解析 分别在单位圆中作出它们的三角函数线，由图可知： cos 65π<0，tan 25π>0，sin 25π>0.∵|MP |<|AT |， ∴sin 25π<tan 25π.故cos 65π<sin 25π<tan 25π.探究点二 三角函数线的应用三角函数线是三角函数的几何表示，是任意角的三角函数定义的一种“形”的补充，线段的长度表示了三角函数绝对值的大小，线段的方向表示了三角函数值的正负. 思考1 若α为任意角，则sin α，cos α的取值范围是多少？ 答 根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得－1≤sin α≤1，－1≤cos α≤1.思考2 设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sin α＋cos α>1吗？答 设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，则sin α＝MP ，cos α＝OM ，OP ＝1.在Rt △OMP 中，由两边之和大于第三边得MP ＋OM >OP ，即sin α＋cos α>1.思考3 若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律探究sin 2α＋cos 2α与1的关系？解 当α的终边落在x 轴上时，sin α＝0，|cos α|＝1， sin 2α＋cos 2α＝1；当α的终边落在y 轴上时，|sin α|＝1，cos α＝0， sin 2α＋cos 2α＝1；当α的终边不落在坐标轴上时，sin α＝MP ，cos α＝OM . 在Rt △OMP 中，|MP |2＋|OM |2＝|OP |2＝1. ∴sin 2α＋cos 2α＝1.综上所述，对于任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.例2 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12. 解 (1)作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z .① ②(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .反思与感悟 利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如sin x ≥m 或sin x ≤m 的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用.跟踪训练2 已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，在0,2π呈重点、现规律0,2πhslx3y3h ，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝________________. 答案 ⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎦⎤54π，2π 7.利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合： (1)sin x >－12且cos x >12；(2)tan x ≥－1. 解(1)由图(1)知：当sin x >－12且cos x >12时，角x 满足的集合：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π6＋2k π<x <π3＋2k π，k ∈Z .(2)由图(2)知：当tan x ≥－1时，角x 满足的集合： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π4≤x <2k π＋π2，k ∈Z∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋34π≤x <2k π＋32π，k ∈Z ， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |n π－π4≤x <n π＋π2，n ∈Z .二、能力提升8.如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A.cos α<sin α<tan αB.tan α<sin α<cos αC.sin α<cos α<tan αD.cos α<tan α<sin α答案 A解析 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α. 9.不等式tan α＋33>0的解集是____________________. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z .10.把sinπ12，sin 512π，cos 57π，tan 512π由小到大排列为________________. 答案 cos 57π<sin π12<sin 512π<tan 512π解析 如图可知，sinπ12＝M 1P 1>0，sin 512π＝M 2P 2>0，tan 512π＝AT >0，cos 57π＝OM 3<0. 而0<M 1P 1<M 2P 2<AT ， ∴0<sinπ12<sin 512π<tan 512π. 而cos 57π<0，∴cos 57π<sin π12<sin 512π<tan 512π.11.求函数y ＝log sin x (2cos x ＋1)的定义域.解 由题意得，要使函数有意义，则须⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0且sin x ≠1，2cos x ＋1>0，如图所示，阴影部分(不含边界与y 轴)即为所求.所以所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x <2k π＋π2，或2k π＋π2<x <2k π＋23π，k ∈Z .12.设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小.解 θ是第二象限角， 即2k π＋π2<θ<2k π＋π (k ∈Z )，故k π＋π4<θ2<k π＋π2 (k ∈Z ).作出θ2所在范围如图所示.当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2(k ∈Z )时，易知OM <MP <AT .∴cos θ2<sin θ2<tan θ2；当2k π＋54π<θ2<2k π＋32π(k ∈Z )时，易知MP <OM <AT . ∴sin θ2<cos θ2<tan θ2.三、探究与拓展13.当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α. 证明 如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P ，α的正弦线、正切线为有向线段MP ，AT ，则MP ＝sin α，AT ＝tan α. 因为S △AOP ＝12OA ·MP ＝12sin α，S 扇形AOP ＝12αOA 2＝12α，S △AOT ＝12OA ·AT ＝12tan α，又S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ，所以12sin α<12α<12tan α，即sin α<α<tan α.。
人教版高中数学必修4第一章三角函数教案
高中数学必修4知识点总结第一章 三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=． 6、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭． 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、角三角函数的基本关系()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．12、函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 13、①的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 14、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭第二章 平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B=--．19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．baCB Aa b C C -=A -AB =B20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。
人教版高中必修4(B版)1.2.2单位圆与三角函数线课程设计
人教版高中必修4(B版)1.2.2单位圆与三角函数线课程设计一、课程设计背景高中数学是应用数学的基础，也是学生接受高等数学教育的必备基础知识。
在数学教学中，三角函数是一个非常重要的知识点。
本课程设计针对人教版高中必修4(B版)1.2.2单位圆与三角函数线这一章节，旨在帮助学生在学习三角函数时更加深入、全面地了解单位圆和三角函数线的关系，并掌握如何应用它们解决实际问题。
二、课程目标1. 知识目标•理解单位圆的概念和性质；•掌握三角函数线的性质和特点；•能够应用单位圆和三角函数线求解实际问题。
2. 能力目标•能够运用所学知识归纳总结三角函数公式；•能够分析和解决实际问题；•能够进行团队合作、与人沟通、表达自己的观点和想法。
3. 情感目标•培养学生对数学的兴趣和热爱；•培养学生的坚韧不拔、自信自立、敢于探究、勇于创新的精神。
三、教学内容与步骤1. 教学内容1.什么是单位圆2.单位圆的性质3.三角函数线的概念和特点4.三角函数线的公式5.应用三角函数线解决实际问题2. 教学步骤第一步：导入引入单位圆的概念，通过看图、发问的方式引导学生了解单位圆的定义，了解角度的概念。
第二步：讲解讲解单位圆的性质，引导学生了解弧度制和角度制的转换。
第三步：互动引入三角函数线的概念，通过多种途径激发学生的兴趣和积极性，以互动教学的方式深入探讨三角函数线的性质和特点。
第四步：巩固巩固三角函数线的公式，引导学生理解并掌握奇偶性、单调性等概念。
第五步：应用通过解决实际问题的例题，引导学生进一步理解和掌握如何应用三角函数线解决实际问题。
第六步：拓展拓展课外活动，引导学生进行实践操作和实践活动，如进行数学建模、探究相似三角形等知识。
四、教学重点•单位圆与三角函数线的概念和性质；•三角函数公式的掌握和应用。
五、教学方法•讲述法•演示法•互动探究法•实践操作法•讨论交流法六、教学评价1. 同步测验课堂同步测验主要目的是检验学生是否掌握了所学内容，如：简答题、计算题、应用题等。
精品-高中数学第一章基本初等函Ⅱ第4课时单位圆与三角函数线课件新人教B版必修4
类型二 利用三角函数线解三角不等式 【例 2】 在单位圆中画出符合下列条件的角 α 终边的范围， 并由此写出角 α 的集合．
(1)sinα≥ 23；(2)cosα≤－12.
解析：
(1)作直线 y＝ 23，交单位圆于 A，B 两 点，连接 OA，OB，则 OA 与 OB 围成的区 域((图 1)中阴影部分)即为角 α 的终边的范 围．
(2)三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也 给出了角 α 的三角函数线的画法即先找到 P、M、T 点，再画出 MP、OM、AT.
(3)三角函数线的作用 三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三 角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的 基础.
我们把轴上向量O→M，O→N和A→T分别叫做 α 的余弦线，正弦线 和正切线．
讲重点 对三角函数线的理解 (1)三角函数线的意义 三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方 向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对 值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的 方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横 坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几 何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问 题提供了方便．
说方法·分类探究 类型一 利用三角函数线比较大小
【例 1】 比较 cos47π与 cos57π的大小．
解析：
如图所示，射线 OP1 是角47π的终边， 射线 OP2 是角57π的终边，过 P1，P2 分别 作 P1M1⊥x 轴，P2M2⊥x 轴，垂足分别 为 M1，M2，所以 cos47π＝OM1，cos57π＝ OM2.
知识点 2 三角函数线
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示范教案整体设计教学分析从初中的锐角三角函数到高中的任意角的三角函数，是学生在三角函数认知结构上的一次质的飞跃．要使这次认知结构的飞跃在课堂上顺利完成，关键是抓住三角函数的定义，其媒介是从初中的直角三角形转化为高中的平面直角坐标系．因此，准确理解任意角的三角函数定义是极其重要的．在上一节三角函数的定义中，分析教材图110，以OA为半径画单位圆．学生很容易发现比值可转化为坐标轴上的点的坐标来表示．在坐标轴上，把点的坐标与点的位置向量对应起来，即定义三角函数线，这样可更形象地研究三角函数的性质．利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来．所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质．三角函数的单位圆模型，是研究三角函数最得力的工具．从这一节开始，教材基本上都是利用单位圆来研究三角函数的性质与图象的．三维目标1．通过借助单位圆，理解并进一步掌握三角函数定义．2．掌握三角函数线的定义，初步掌握利用单位圆分析和解决三角函数问题．3．能通过单位圆上点的运动，初步了解各三角函数值的变化情况，为学习后面三角函数性质打下基础．重点难点教学重点：三角函数线的定义．教学难点：正确利用单位圆中轴上向量将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车，大家是否想过大观览车在转动过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间有怎样的相依关系呢？思路2.(复习导入)由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法．我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关．因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，以使它们的取值与点的坐标联系起来．推进新课新知探究(1)回忆上节课学习的三角函数定义并思考：三角函数的定义能否用几何中的方法来表示，怎样探究这种表示呢？,(2)怎样理解轴上的向量？活动：指导学生在教材图110中，作出单位圆，我们把半径为1的圆叫做单位圆(图1)．设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0)，A′(－1,0)，而与y 轴的交点分别为B(0,1)，B′(0，－1)．图1设角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(图1(1))，过点P 作PM 垂直x 轴于M ，作PN 垂直y 轴于点N ，则点M 、N 分别是点P 在x 轴、y 轴上的正射影(简称射影)．由三角函数的定义可知，点P 的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM ，sinα＝ON.于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有sinα＝y r ＝y 1＝y ，cosα＝x r ＝x1＝x.这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．以A 为原点建立y ′轴与y 轴同向，y ′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T ′)(图1(2))，则tanα＝AT(或AT ′)．我们把轴上向量OM →， ON →和AT →(或A T′→)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线． 当角α的终边在x 轴上时，点P 与点M 重合，点T 与点A 重合，此时，正弦线和正切线都变成了一点，它们的数量为零，而余弦线OM ＝1或－1.当角α的终边在y 轴上时，正弦线MP ＝1或－1，余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在．讨论结果：(1)略；(2)略． 提出问题 错误!活动：师生共同讨论，最后一致得出以下几点：(1)当角α的终边在y 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在． (2)当角α的终边在x 轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是轴向量，即与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x 轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同．正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线． 讨论结果：(1)略；(2)略． 示例应用例 1如图2，α，β的终边分别与单位圆交于点P ，Q ，过A(1,0)作切线AT ，交图2射线OP 于点T ，交射线OQ 的反向延长线于T ′，点P 、Q 在x 轴上的射影分别为点M 、N ，则sinα＝__________，cosα＝__________，tanα＝__________，sinβ＝__________，cosβ＝__________，tanβ＝__________.活动：根据三角函数线的定义可知，sinα＝MP ，cosα＝OM ，tanα＝AT ，sinβ＝NQ ，cosβ＝ON ，tanβ＝AT ′.答案：MP OM AT NQ ON AT ′点评：掌握三角函数线的作法，注意用有向线段表示三角函数线时，字母的书写顺序不2分别作出2π3和－3π4的正弦线、余弦线和正切线．解：在直角坐标系中作单位圆，如图3，以Ox 轴正方向为始边作2π3的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥Ox 轴，垂足为M ，由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 轴的垂线与OP 的反向延长线交于T 点，则sin2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，图3即2π3的正弦线为MP →，余弦线为OM →，正切线为AT →.同理可作出－3π4的正弦线、余弦线和正切线，如图3中，sin(－3π4)＝M′P′，cos(－3π4)＝OM′，tan(－3π4)＝AT′，即－3π4的正弦线为M′P′→，余弦线为OM′→，正切线为AT′→.3在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边或终边所在的范围，并由此写出角α的集合：(1)sinα＝12；(2)sinα≥12.活动：引导学生画出单位圆，对于(1)，可设角α的终边与单位圆交于A(x ，y)，则sinα＝y ，所以要作出满足sinα＝12的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为12的点A ，则OA 即为角α的终边；对于(2)，可先作出满足sinα＝12的角的终边，然后根据已知条件确定角α的范围．解：(1)作直线y ＝12交单位圆于A 与B 两点，连结OA ，OB ，则OA 与OB 为角α的终边，如图4所示．图4故满足条件的角α的集合为{α|α＝2kπ＋π6或α＝2kπ＋5π6，k ∈Z }．(2)作直线y ＝12交单位圆于A 与B 两点，连结OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(如图4中的阴影部分)即为角α的终边所在的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋π6≤α≤2kπ＋5π6，k ∈Z }．点评：在解简单的特殊值(如±12，22等)的等式或不等式时，应首先在单位圆内找到对应的终边(作纵坐标为特殊值的直线与单位圆相交，连结交点与坐标原点作射线)，一般情况下，用(0,2π)内的角表示它，然后画出满足原等式或不等式的区域，用集合表示出来.4求下列函数的定义域：(1)y ＝log sinx (2cosx ＋1)；(2)y ＝lg(3－4sin 2x)．活动：先引导学生求出x 所满足的条件，这点要提醒学生注意，研究函数必须在自变量允许的范围内研究，否则无意义．再利用三角函数线画出满足条件的角x 的终边范围．求解时，可根据各种约束条件，利用三角函数线画出角x 满足条件的终边范围，写出适合条件的x 的取值集合．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧sinx>0，sinx ≠1，2cosx ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sinx>0，sinx ≠1，cosx>－12，则⎩⎪⎨⎪⎧2kπ<x<π＋2kπ，x ≠π2＋2kπ，2kπ－2π3<x<2kπ＋2π3(k ∈Z )．∴函数的定义域为{x |2kπ<x<2kπ＋π2或2kπ＋π2<x<2kπ＋2π3，k ∈Z }．(所求x 的终边所在的区域如图5中的阴影部分所示)图5(2)∵3－4sin 2x>0，∴sin 2x<34.∴－32<sinx<32.∴x ∈(2kπ－π3，2kπ＋π3)∪(2kπ＋2π3，2kπ＋4π3)(k ∈Z )，即x ∈(kπ－π3，kπ＋π3)(k ∈Z )．(所求x 的终边所在的区域如图6中的阴影部分所示)图6课堂小结本节课我们学习了正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示．三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念，与三角函数的定义结合起来，可以从数和形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、公式一等的理解容易了．作业1．课本本节练习A 组 1；练习B 组 1(2)． 2．利用单位圆和三角函数线证明：若α为锐角，则(1)sinα＋cosα>1；(2)sin 2α＋cos 2α＝1.证明：如图7，记角α与单位圆的交点为P ，过P 作PM ⊥x 轴于M ，则sinα＝MP ，cosα＝OM.图7(1)在Rt △OMP 中，MP ＋OM>OP ，即sinα＋cosα>1.(2)在Rt △OMP 中，MP 2＋OM 2＝OP 2，即sin 2α＋cos 2α＝1. 3．求函数y ＝1－2sin2x 的定义域．答案：x ∈[kπ－7π12，kπ＋π12]，k ∈Z .设计感想1．对于三角函数线，开始时学生可能不是很理解，教师应该充分发挥好图象的直观作用，让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义．在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后，教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质．以便为以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础．2．教师要把握好深度让学生对三角函数线了解即可，要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势，不要再向深处挖掘，因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决．3．教师在教学中要搞好师生互动，让学生自己动脑、动手，多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力，让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力．备课资料一、一个三角不等式的证明 已知θ∈(0，π2)，求证：sinθ<θ<tanθ.证明：如图8，设锐角θ的终边交单位圆于点P ，过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作圆的切线交OP 于点T ，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，则MP ＝sinθ，AT ＝tanθ，AP 的长为θ，连结PA.图8∵S △OPA <S 扇形OPA <S △OAT ， ∴12·|OA|·|MP|<12|OA|2·θ<12|OA|·|AT|. ∴|MP|<θ<|AT|，则MP<θ<AT ，即sinθ<θ<tanθ. 二、备用习题1．若π4<θ<π2，则sinθ，cosθ，tanθ的大小关系是( )A ．tanθ<cosθ<sinθB ．sinθ<tanθ<cosθC ．cosθ<tanθ<sinθD ．cosθ<sinθ<tanθ 2．若0<α<2π，则使sinα<32和cosα>12同时成立的α的取值范围是( ) A ．(－π3，π3) B ．(0，π3)C ．(5π3，2π)D ．(0，π3)∪(5π3，2π)3．在(0,2π)内，使sinx>cosx 成立的x 的取值范围是__________．4．如图9，点B 、C 在x 轴的负半轴上，且BC ＝CO ，角α的顶点重合于坐标原点O ，始边重合于x 轴的正半轴，终边落在第二象限，点A 在角α的终边上，且有∠BAC ＝45°，∠CAO ＝90°，求sinα，cosα，tanα.图9参考答案：1．D 2.D 3.(π4，5π4)4．解：∵AB是∠CAO的外角的平分线，∴ACAO＝BCBO＝12.在Rt△ACO中，设AC＝a，则AO＝2a，CO＝a2＋(2a)2＝5a.∴sin∠COA＝a5a＝55.∵角α的终边与OA重合，而OA落在第二象限，∴sinα＝55，cosα＝－255，tanα＝－12.。