第十章几何的有关计算
高三数学一轮复习第十章 平面解析几何10.12第十二节 抛物线与轨迹方程课件
x y
f（k）， g（k）.
(3)消去参数k,得M的轨迹方程.
(4)由k的范围确定x,y的范围.
【对点练·找规律】 1.长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,
AC＝2CB ,则点C的轨迹方程是________.
【解析】设C(x,y),A(a,0),B(0,b),则a2+b2=9①,又
3
轨迹是两条平行于x轴的线段.
②当λ≠ 3 时,方程变形为
4
x2 112
y2 =1,其中x∈
112
[-4,4].
162 9 162
当0<λ< 3 时,点M的轨迹为中心在原点,实轴在y轴上
4
的双曲线满足-4≤x≤4的部分;
当 3 <λ<1时,点M的轨迹为中心在原点,长轴在x轴上
4
的椭圆满足-4≤x≤4的部分;
命题角度2 无明确等量关系求轨迹方程 【典例】已知直线l过抛物线C:y2=4x的焦点,l与C交于 A,B两点,过点A,B分别作C的切线,且交于点P,则点P的 轨迹方程为________.
【解析】不妨将抛物线翻转为x2=4y,设翻转后的直线l
的方程为y=kx+1,翻转后的A,B两点的坐标分别为
(x1,y1),(x2,y2),联立
提醒:利用定义法求轨迹方程时,还要看所求轨迹是否 是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的 曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.
考点二 相关点法求轨迹方程 【典例】(1)已知抛物线y2=4x,焦点为F,顶点为O,点P 在抛物线上移动,Q是OP的中点,M是FQ的中点,则点M的 轨迹方程是__________.
直线A2Q的方程为y=
数学一轮复习第十章10.6几何概型学案理含解析
第六节几何概型【知识重温】一、必记2个知识点1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的①________（②________或③________）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为④________。
2．在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下：P（A）＝⑤______________________________________________________________________ __。
二、必明2个易误点1．计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等）转化为相应类型的几何概型问题．2．几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确（请在括号中打“√”或“×”)．(1）几何概型中,每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等．()（2)几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．（）（3）与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(）（4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．（)二、教材改编2．某路公共汽车每5分钟发车一次,某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是()A.错误!B.错误!C。
错误!D。
错误!3．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A.错误!B.错误!C。
错误! D.错误!三、易错易混4．[2021·福建莆田质检]从区间（0,1）中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长不大于1的概率是（）A.错误!B.错误!C。
错误!D。
错误!5．在区间［－1，2］上随机取一个数x,则x∈［0,1］的概率为________．四、走进高考6．[2017·全国卷Ⅰ］如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是(）A。
几何计算公式
几何计算公式
三角形的面积＝底×高÷2；公式：S=a×h÷2
正方形的面积＝边长×边长；公式：S=a×a
长方形的面积＝长×宽；公式：S=a×b
平行四边形的面积＝底×高；公式：S=a×h
梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2；公式：S=(a+b)h÷2
内角和：三角形的内角和＝180度。
长方体的体积＝长×宽×高；公式：V=abh
长方体（或正方体）的体积＝底面积×高；公式：V=abh
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；公式：V=aaa
圆的周长＝直径×π；公式：L＝πd＝2πr
圆的面积＝半径×半径×π；公式：S＝πr2
圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高；公式：S=ch=πdh＝2πrh
圆柱的表面积：圆柱的表面积=底面的周长×高+两头的圆的面积；公式：S=ch+2s=ch+2πr2
圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高；公式：V=Sh
圆锥的体积＝1/3底面×积高；公式：V=1/3Sh。
《建筑力学》第十章结构的几何组成分析
案例二：复杂结构的几何组成分析
总结词
通过分析复杂结构的几何组成，理解超静定 结构和静定结构的区别。
详细描述
复杂结构通常由多个简单结构组合而成，通 过分析这些结构的连接方式和力的传递路径， 可以判断复杂结构是超静定结构还是静定结 构。超静定结构有多余的约束，使得结构在 力的作用下发生变形，而静定结构则没有多 余的约束，不会发生变形。
02
根据地震的烈度和频率，设计合理的抗震支撑和减震措施。
通过结构的几何组成分析，优化结构的抗震设计，提高结构的
03
抗倒塌能力。
05
案例分析
案例一：简单框架结构的几何组成分析
总结词
通过分析简单框架结构的几何组成，理解几何不变体系和几何可变体系的概念。
详细描述
简单框架结构由若干直线段组成，通过分析这些直线段的连接方式，可以判断 整个结构是几何不变体系还是几何可变体系。几何不变体系在力的作用下不会 发生变形，而几何可变体系则会发生变形。
规则二：多余约束
总结词
多余约束是指结构中存在某些约束，这些约束在限制某些自由度的同时，并没有提供稳定性或平衡性的贡献。
详细描述
多余约束规则指出，一个稳定的结构中不应该有多余的约束存在。多余的约束不仅浪费材料和资源，而且可能导 致结构在受到外力作用时出现失稳或破坏。因此，在结构的几何组成分析中，需要找出并消除多余的约束，以确 保结构的稳定性和经济性。
分析结构的支撑体系 是否合理，如支撑杆 件的布局、连接方式 等。
结构优化设计
通过分析结构的几何组成，找出 结构中的冗余杆件和不必要的约
束。
优化结构的支撑布局和连接方式， 提高结构的承载能力和刚度。
调整结构的几何形状，以改善结 构的受力分布和减少应力集中现
高三数学第一轮复习 第十章《直线、平面、简单几何体A》课件10A4
• (2)∵SA⊥平面AC，DC⊂平面AC，∴SA⊥DC. • 又AD⊥DC，SA∩AD＝A，∴DC⊥平面SAD， • 又AG⊂平面SAD，∴DC⊥AG. • 又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF， • ∴SC⊥AG且SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SDC， • 又SD⊂平面SDC，∴AG⊥SD.
• 如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两 个平面垂直，这是一个真命题，故C对；
• 对D来讲若c∥α，α⊥β，则c与β的位置关系不定，故选C.
• 2．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重 合的直线，则下列命题中正确的是( )
• A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ
• B．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β
• ①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ； • ②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ； • ③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面 • α垂直； • ④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行
于平面β. • 上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题
的序号)． • 答案 ①②
• 又∵侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1，交线为B1C1， • ∴NC1⊥侧面BB1C1C. • 又∵NC1⊂面BNC1， • ∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C， • 即截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
• (3)结论是肯定的，充分性已由(2)证明．
• 下面仅证明必要性(即由截面BMC1⊥侧面BB1C1C推出AM＝ MA1，实质是证明M是AA1的中点)，
A3演示文稿设计与制作 信息技术2.0 高三数学第一轮复习 第十章《直线、平面、简单几何体A》课件10A4
微能力认证作业
• 一、直线与平面垂直 • 1．判定定理 • (1)如果一条直线和一个平面内的 两条相交直线都垂
第十章(第六部分)曲面积分习题解答
第十章 曲线积分与曲面积分(第六部分)曲面积分习题解答一、对面积的曲面积分1.计算曲面积分⎰⎰∑++dS y x z )342(，其中∑为平面1432=++zy x 在第一卦限中的部分． 分析 因为∑：1432=++z y x ，可恒等变形为∑：y x z 3424--=，又因被积函数y x z 342++与∑形式相同，故可利用曲面方程来简化被积函数，即将4342=++y x z 代入，从而简化计算。
解 平面∑方程的为)321(4yx z --=（如图）， ∑在xoy 面上的投影区域xy D ：0,0,132≥≥≤+y x yx ；34,2-=∂∂-=∂∂y z x z ，面积元素 dxdy dxdy y z x z dS 361122=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+= 从而⎰⎰⎰⎰⋅=++∑xyD dxdy dS y x z 3614)342( 61432213614=⋅⋅⋅=. 2. 计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x |)|(，其中∑为1||||||=++z y x .解 由对称性可知，0=⎰⎰∑xd S ，由轮换对称性和代入技巧知，⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑=++=dS dS z y x dS y 31|)||||(|31||，再由曲面积分的几何意义知，34238=⋅=⎰⎰∑dS ，所以，334|)|(=+⎰⎰∑dS y x .y二、对坐标的曲面积分1.计算曲面积分⎰⎰∑dydz x 2．其中∑为球面2222R z y x =++在第一卦限部分的上侧。
分析 由于∑不是封闭曲面，且只是对坐标z y ,的曲面积分，故直接计算即可。
解 因∑：222z y R x --=取前侧，且∑在yoz 面上的投影区域为0 ,0 , :222≥≥≤+z y R z y D yz .于是得 ⎰⎰∑dydz x 2dydz z y R yzD ⎰⎰--=)(222⎰⎰⋅-θ=πRrdr r R d 02220 )(402228141212R r r R Rπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=. 2. 计算曲面积分⎰⎰∑++=ydzdx xdydz zdxdy I ．其中∑是柱面122=+y x 被平面0=z 及3=z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧。
第十章 第六节 几何概型1
答案：C
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4．(2012· 长沙模拟)已知平面区域Ω＝{(x，y)|x2＋y2≤1}，M＝ x≥0 x，yy≥0 x＋y≤1 ，若在区域Ω上随机投一点P，则点P落
在区域M的概率为：________.
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1 解析：易求得平面区域Ω的面积为π，而区域M的面积为2，因此点 1 P落在区域M内的概率为2π.
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一、几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的
长度 ( 面积 或 体积 )成比例，则称这样的概率模型
为几何概率模型，简称为 几何概型 ．
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五、几何概型的概率公式
在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
构成事件A的区域长度面积或体积 P(A)＝ . 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
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1．(教材习题改编)在长为6 m的木棒AB上任取一点P，使点 P到木棒两端点的距离都大于2 m的概率是 1 A.4 1 C.2 1 B.3 2 D.3 ( )
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解析：将木棒三等分，当P位于中间一段时，到两端A、B的 2 1 距离大于2 m，∴P＝6＝3.
答案： B
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2．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水 中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是
1 答案：2π
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[冲关锦囊] 与面积有关的几何概型判断的关键是抓住事件在区 域上发生具有等可能性，然后利用其与整体事件所对应 的面积的比值来计算事件发生的概率.
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[精析考题] [例3] (2011· 广州第一次综合测试)有一个底面圆的半径 为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在
这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的
第十章 第五节 几何概型
第五节
几何概型
教材· 知识· 四基
考点· 考法· 探究
创新· 应用· 提能
限时规范训练
大一轮复习· 数学· RJ（理）
教材· 知识· 四基
考点· 考法· 探究
创新· 应用· 提能
限时规范训练
大一轮复习· 数学· RJ（理）
教材细梳理 知识点 1 几何概型的概念
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)
成比例 ____________ ， 则称这样的概率模型为几何概率模型， 简称为几何概型．
教材· 知识· 四基
考点· 考法· 探究
创新· 应用· 提能
限时规范训练
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知识点 2
几何概型的特点
无限性 ：即在一次试验中，基本事件的个数是无限的． (1) ____________ 等可能性 ：即每个基本事件发生的可能性相等． (2) ____________
D．
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|2k| 解析：选 C.由题意知圆心(0,0)到直线 y＝k(x＋2)的距离 d＝ 2 k ＋1 2 3 3 3 3 3 ＜1，解得－ ＜k＜ ，∴所求概率 P＝ ＝ .故选 C. 3 3 2 3
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3．(知识点 3)在长为 16 cm 的线段 MN 上任取一点 P，以 MP，NP 为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于 60 cm2 的概率为( A ) ⇐ 源自必修三P142A组T1 A. 1 4 B． 1 2
几何光学
令： 用 φ 1、
f —系统的等效焦距
φ2分别示两镜的焦度， 则有 φ=φ1+φ2
焦度透镜密接，使
例：测某一镜片焦度，可用已知焦度的透镜与未知
φ 1+ φ
2
2
=0
则
φ
1
= -φ
例10-3 凸透镜L1和凹透镜L2的焦距分别为20cm和 -40cm，组成共轴系统，相距40cm，在凸透镜前30cm 处放一物体，求像的位置？
v=40cm
实像。
4.折射率为1.5的透镜，一面是平面，另一面是半径为0.2m的凹面， 将此透镜水平放置，凹面一方充满水（n=1.33），求系统的焦距。 解：薄透镜组合
n n0 1 1 1 f1 f 2 f [ ( )] n0 r1 r2
Ⅰ：n=1.33, r1=∞, r2 = - 0.2m. Ⅱ：n=1.5, r1=- 0.2m, r2 =∞ 得：f=-1.2m
推广可得过渡关系：
un1 dn( n1) vn
例10-2 玻璃球(n=1.5)半径为10cm，一点光源放在球前40cm处 。求近轴光线通过玻璃后所成的像。
解：
O
P1
0.40m
对第一折射面
n=1.5
0.20m
P2 0.114m I2 0.40m
I1
u1= 0.4m, r = 0.1m, n1=1, n2=1.5
n1 n2 n2 n1 u v r
1 1.5 1.5 1 v1 4
I：
=> v1=12cm
II:
u2=20-12=8cm => v2=-16cm
1.5 1 1 1.5 8 v2 -4
高考数学一轮复习第十章算法统计与概率第56课几何概型课件
[易错与防范] 1．易混淆几何概型与古典概型，两者共同 点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同 之处是几何概型的试验结果的个数是无限的， 古典概型中试验结果的个数是有限的． 2．准确把握几何概型的“测度”是解题关 键． 3．几何概型中，线段的端点、图形的边框 是否包含在事件之内不影响所求结果．
编后语
与面积有关的几何概型
☞角度 1 与随机模拟相关的几何概型
(2016·全国卷Ⅱ改编)从区间[0,1]随机抽取 2n 个数 x1， x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn， yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法 得到的圆周率 π 的近似值为________．
[变式训练 1] (1)设 A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与 A 连结，
则弦长超过半径 2倍的概率是________. 【导学号：62172308】
(2)(2016·山东高考)在[－1,1]上随机地取一个数 k，则事件“直线 y＝kx 与圆
(x－5)2＋y2＝9 相交”发生的概率为________．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( )
(2)从区间[1,10]内任取一个数，取到 1 的概率是110.(
)
(3)概率为 0 的事件一定是不可能事件．( )
(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
即点 M 在正方体的下半部分，
1 ∴所求概率 P＝2VV正正方方体体＝12.]
图 56-4
[思想与方法] 1．古典概型与几何概型的区别在于：前者 基本事件的个数有限，后者基本事件的个数无 限． 2．判断几何概型中的几何度量形式的方法 (1)当题干是双重变量问题，一般与面积有 关系．
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第十章几何的有关计算§10.1多边形的有关计算知识要点：◆ 正方形、长方形、平行四边形的周长与面积计算 ◆ 三角形的面积计算 ◆ 梯形的面积计算◆ 正多边形的面积计算。
能力要求：◆ 学会多边形的有关长度及面积的计算； ◆ 掌握复合图形面积的计算；◆ 掌握多边形面积的计算在板料用量和角料余量计算中的应用。
新知识：1正方形的周长与面积计算 如图10—1—1所示图10.1-12长方形的周长与面积计算 如图10.1-2所示图10.1-23 平行四边形的面积计算 如图10.1-3所示图10.1-34L a =2S a=2()L a b =+S ab=S ah=4三角形的面积计算 如图10.1-4所示图10.1- 4式中 表示三角形的边长， 表示三角形的 高 。
5梯形的面积计算 如图10.1-5所示图10.1-5表示梯形的上底边长，表示梯形的上底边长，表示梯形的高。
6正多边形的面积计算如图10.1-6所示表示正多边形的边长，表示正多边形的边数 ，表示正多边形的内切圆直径，表示正多边形的外接圆直径 。
12S ah=a h ()2a b h S +=a b h 4adS π=a n dD图10.1-6巩固及应用 ：例1 凸模固定板如图10.1-7所示，试求其阴影部分的面积。
图10.1-7(单位）凸模固定板解： 例2 角板如图10.1-8 所示，求其面积。
图10.1-8 (单位 ） 解：例3 将直径为的轴端洗成正六角形，试求板手开口宽度和六边形面积。
解：如图所示图10.1-9mm 212s s s -=)2010(25080⨯⨯-⨯=23600mm=mm 30002601001=⨯=s 240080240202=⨯+=s 54002400300021=+=+=s s s 2)(mm mm6464cos64)6l mm π===d l ==习题11试求如图10.1-10所示十字架柱横截面面积。
图10.1-102等腰梯形钢板，上底和下底的长度比是1：2且高等于下底，当其面积为6时，求两腰的长。
3型钢横截面如图10.1-11所示，求其面积。
如图10.1-11§10.2圆弧包围的平面知识要点：◆ 圆、椭圆的周长和面积的计算； ◆ 扇形的弧长和面积的计算； ◆ 复合平面的周长和面积的计算。
能力要求：◆ 学会由圆弧包围的平面的有关弧长，弦长，周长及面积的计算； ◆ 2掌握复合图形面积的计算； 新知识：1圆的周长和面积计算公式图10.2-164D mm =164322a mm=⨯=2mm 2l r d ππ==注意：表示半径；表示直径； 表示周长；表示面积。
2扇形的弧长，弦长和面积的计算公式（用弧度表示）图10.2-2注意：表示半径；表示直径；表示弧长；表示弦长；表示面积。
3椭圆的周长和面积的计算公式图10.2-3式中：表示椭圆的长半轴长；表示椭圆的长半轴长；表示椭圆的周长；表示椭圆的面积。
巩固及应用 ：例1 扇形钢板如图10.2-4所示（长度单位），求两个扇形围成的图形面积。
224d s r ππ==20.785s d ≈r d l s l r θ=θ2sin sin22AB r d θθ==224d s r ππ==R d l AB S ()l a b π=⨯+s ab π=a b l s dm图10.2-4解：答：两个扇形围成的图形面积是。
例2密封环如图10.2-5所示（长度单位），求其面积。
图10.2-5解：答：密封环的面积是。
例3连接件样板如图10.2-6所示（长度单位），求样板面积。
2221111150102233R s dm πθπ==⨯=22222211112236R s dm πθπ==⨯=21250116.536S R R dm πππ=-=-=216.5dm πmm 21114603604140044d D mm s πππ⨯⨯===22224003003000044d D mm s πππ⨯⨯===212414003000011400s s s mm πππ=-=-=211400mm πmm图10.2-6解：答：样板面积约等于习题10.21调整垫片如图10.2-7所示（长度单位），求圆和三角形之间围成的面积。
图10.2-7 2密封垫片如图10.2-8所示（长度单位），试求椭圆与圆之间围成的面积。
221128642mm s ππ=⨯⨯=223216512mm s =⨯=2233448mm s ππ=⨯=248972mm s =⨯=1234645126472s s s s s ππ=+--=+--16440π=+≈16440π=+≈4902mm 4902mmmm mm图10.2-83钢板制成的底板如图10.2-9所示（长度单位），其中圆为空心，试求其面积。
图10.2-9 底板 4标志钢牌如图10.2-10所示（长度单位），求标志钢牌的面积。
图10.2-10 标志钢牌§10.3立体图形的有关计算知识要点：◆ 棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、棱台、圆台的表面积及体积计算； ◆ 球的表面积及体积计算； 能力要求：◆ 掌握棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、棱台、圆台的表面积及体积计算； ◆ 掌握球的表面积及体积计算◆ 掌握复合立体图形的表面积及体积计算。
新知识：1棱柱的表面积及体积计算（1）棱柱的侧面积与全面积公式mmmm图10.3-1—侧棱长；—与侧棱垂直的棱柱截面周长；—底面面积。
(2)棱柱的体积公式式中 —高；—底面面积。
2圆柱的表面积及体积计算（1）圆柱的侧面积与全面积公式式中 —底面圆半径；—高。
图10.3-2(2)圆柱的体积公式式中 —底面圆半径；—高。
3棱锥的表面积及体积计算（1）棱锥的侧面积与全面积公式式中 —底面正多边形的周长； —斜高；—底面面积。
S Pl =侧2S S S =+侧全底l P S 底V S h =底h S 底2S Rh π=侧2222S S S Rh R ππ=+=+侧全底Rh 2V S h R h π==底R h 12S Pl =侧S S S =+侧全底P l S 底图10.3-3(2)棱锥的体积公式 式中 —高；—底面面积。
4圆锥的表面积及体积计算（1）圆锥的侧面积与全面积公式式中 —底面圆半径；—母线。
图10.3-4（2）圆锥的体积公式式中 —底面圆半径；—高。
5棱台的表面积及体积计算（1） 棱台的侧面积与全面积公式式中—上底面周长； —下底面周长； —斜高；—上底面面积； —下底面面积。
13V S h =底h S 底S Rl π=侧S S S =+侧全底2Rl R ππ=+Rl 211=33V S h R h π=底R h 121()2S P P l =+侧S S S S =++下侧全上2P 1P l S 上S 下图10.3-5(2)棱台的体积公式 式中—高；—上底面面积； —下底面面积。
6圆台的表面积及体积计算（1）圆台的侧面积与全面积公式式中 —上底面半径；—上底面半径；—母线；—上底面面积； —下底面面积。
图10.3-6(2)圆台的体积公式式中 —上底面半径；—上底面半径； —圆台的高；—上底面面积； —下底面面积。
7球的表面积及体积计算 （1）球的表面积公式1(S 3V h S =+下上h S 上S 下12()S R R l π=+侧S S S S =++下侧全上221212()R R l R R πππ=+++1R 2R l S 上S下1(S 3V h S =+下上2212121()3h R R R R π=++1R 2R h S 上S 下2V=4R π式中 —球的半径。
（2）球的体积公式式中 —球的半径。
图10.3-7 巩固及应用 ：例1 如图10.3-8所示为一正六棱柱，所有棱长都为，求它的表面积及体积。
图10.3-8解：答：正六棱柱表面积大约为，体积大约。
例2 如图10.3—9 所示为正三棱锥S —ABC,它的斜高SD=6.5cm,OD=2.5cm,OB=5cm 求其侧面积。
图10.3-9R 34V=3R πR3cm 263354()s cm =⨯⨯=侧2163)2s cm =⨯⨯=底22542100.8()s s s cm =+=+≈侧全底3370.1()v s h cm ==≈底2100.8cm 370.1cm解：如图10.3—9所示，据正三棱锥的性质可知，三角形SDO 与 三角形 SBO 都是直角三角形。
因此又在直角三角形 SBD 中 则答：正三棱锥S —ABC 的侧面积约为。
例3 生产100个圆台形铁桶，其尺寸为：高33cm, 下底圆直径20cm,上底圆直径30cm,一共需用多少薄铁板？ 解：设是母线长，则则每个铁桶的表面积为答：生产100个圆台形铁桶，一共需用约薄铁板。
例4一个球被一个平面所截，截得的圆面半径为6cm,球心到截面的距离为8cm ，求这个球的面积。
解：设球心的半径为 则答：这球的面积约为。
例5求 如图10.3-10（单位）所示组合体的体积。
()6SO cm ===)SB cm ===)BD cm ==)2BC cm ==()21133 6.584.4322S BC SD cm =⨯⨯⨯=⨯⨯≈侧284.43cm l ()33.4l cm =≈()()()223020202223.1433.4 3.142936cm ⨯+⨯+⨯≈22100293629360030cm m ⨯=≈2cm Rcm ()10R cm ==()22244 3.14101256S R cm π=≈⨯⨯=21256cm mm图10.3-10解：四棱柱的体积为 ，四棱柱的体积为。
例6 如图10.3-11（单位）所示铝制套管，不记烧损量，用直径20mm 的锻铝模锻制成，求所用材料的料长。
图10.3—11 解：答：所用材料的料长为 习题10.31一个棱台的体积为，两个底面面积分别为与，求棱台的高。
2 如要制成一个正六棱锥的烟囱铁帽，使其底面积边长为40cm,侧棱长为60cm ，需用多少铁板？3用铁板制造一个圆柱形的无盖铁桶，它的高为18m ，底面直径为0.65m ，如果焊接处的损耗占全面积百分之三，制造这样的铁桶共需多少铁板？4一个空心铁球的内径为6cm ，外径为8cm ，求这个空心铁球的重量（铁的密度为).5如图10.3-12所示，电镀螺杆用锌是 ，镀这样的螺杆100个，需要多少锌。
1V 2V 1212V V V S h S h =+=+16030183040182=⨯⨯+⨯⨯⨯()3324001080043200mm =+=mm 225024()100()9022V ππ=⨯-⨯22251001290ππ=⨯⨯-⨯⨯6250012960ππ=-349540()mm π=220()495402V h ππ==495.4()h mm =495.4mm 31720cm 250cm 2128cm 37g 20.11kg m图10.3-12第十章内容小结在实际生产过程中，我们经常遇到机械零件面积、体积等计算问题，它对考虑工程材料的消耗以及校验材料的强度（力除以面积）等直接相关。