高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asin(ωx+φ)的图像优化训练北师大版4解析
高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asinωx+φ的图像优化训练北师大版必修42017082537
1.8 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1 x )的最小正周期是（） 1.(高考辽宁卷，文 2)函数 y=sin( 32A.B.πC.2πD.4π21 x )的最小正周期 T=解析：y=sin(32=4π21 2 答案：D2.将 y=sinx 的图像变换为 y=3sin （2x)的两种变换方法如下，请在“”处填上变3换方法.法一：y=sinxy=sin2xy=sin(2x+)y=3sin(2x+3法二：y=sinxy=sin(x+ )y=sin(2x+ )y=3sin(2x+ ).3 333）； 1图像上所有点横坐标缩短到原来的图像上所有点向左平移 个单位解法一：y=sinxy sin 2xy=sin2x 图26 纵会标不变像 上 所 有 点 向 左 平 移 个 单 位 y=sin ［ 2 （ x+6图像上所有点纵坐标伸3y=3sin(2x+工到原来的 倍).3横坐标不变6) ］ =sin(2x+3）图像上所有点向左平移 个单位解 法 二 ： y=sinxy=sin(x+33)12图像上所有点横坐标缩短到原来的图像上所有点横坐标缩短到原来的纵坐标不变y=sin(2x+ )).图像上所有点纵坐标伸长到原来的3倍y=3sin(2x+33 横坐标不变3.已知函数 y=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的简图（如图21-7-1），求其相应的函数表达式，并说明它是 y=sinx 经过怎样的变换得到的.图 1-7-111，所以 ω=2.又易知 A=2，所以 y=2sin （2x+φ）.将点2 解：因为 T=()12 12（）=0.由|φ|< 得，0）带入上式得 0=2sin ［2×（ ）+φ］，即 sin （φ- 12 12 621φ=6，所以y=2sin（2x+6）.它的图像可由y=sinx的图像作如下变换得到：y=sinx 图像上所有点y=sin(x+向左平移66图像上所有点横坐标缩短为)1原来的,纵坐标不变2y=sin(2x+6)长到y=2sin(2x+ 图像上所有点纵坐标伸原来的2倍,横坐标不变6).10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.为了得到函数y=3sin（x- ）（x∈R）的图像，只需把y=3sinx上所有的点（）5A.向左平移个单位B.向右平移个单位5 533C.向左平移个单位D.向右平移个单位55解析：三角函数图像的平移变换，应遵循法则：“加左减右”，且移动的单位数仅对一个x而言.据由y=sinx的图像得到y=sin（x+φ）的图像的步骤可知，应把y=3sinx图像上所有的点向右平移个单位，即可获得y=3sin（x- ）的图像.故选B.5 5答案：B2.函数y=3sin（x+5）图像上的点进行_____________变换，就可得到函数y=3sin（2x+5）的图像（x∈R）( )A.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B.横坐标缩短为原来的C.纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变D.纵坐标缩短为原来的1212，纵坐标不变，横坐标不变解析：横向伸缩变换又称周期变换，即周期发生了变化，因此，可先据周期的变大（小）确定横坐标的变化.由y=sinx的图像得到y=sinωx的图像，应是将y=sinx图像上所有点的横坐标1变为原来的倍（0＜ω＜1时，伸长；ω＞1时，压缩）.故由y=3sin（x+1（2x+ ）应是横坐标缩短为原来的.所以选B.52答案：B3.下列函数中，周期为的是（）21xA.y=sin（）B.y=sin（4x ）4331xC.y=sin（）D.y=sin（2x+ ）2332解析：y=Asin（ωx+φ）的周期，注意运用T= 求时需ω＞0.答案：B4.设y=sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ等于（）5）变为y=3sin2A.0B.4 C.2D.π解析：函数的奇偶性，可用定义，还可借助于图像.f（x）为偶函数，则从代数式上应有f （-x）=f（x），从图像上应有图像关于y轴对称.答案：C5.正弦函数在一个周期内的图像如图1-7-2所示，求函数的表达式.图1-7-2T3解：由题图可知振幅A=2，又24零点为（.，0），代入可得φ=44所以y=2sin(x+ ).44=π，所以周期T=2π，进而ω=22=1.再据第一个30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)13 1.函数y=cosx的图像经过怎样的变换才能变成函数y=cos（x+1A.向左平移个单位B.向左平移331C.向右平移个单位D.向右平移33）（x∈R）的图像( ) 个单位个单位解析：平移变换时，一是看准平移的方向；二是确定平移的单位数.根据题意知应把y=cosx的图像向左平移答案：B 13个单位.故选B.2.已知函数y=f（x），现将y=f（x）图像上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的21倍，然后把整个图像沿着x轴向左平移个单位，得到y= sinx的图像，则函数f（x）的解2 2析式为( )1x 1xA.f（x）= sin()B.f（x）=sin(2)222221x1xC.f（x）= sin()D.f（x）=sin(2)222221解析：依题意，函数y= sinx 的图像沿x 轴向右平移个单位后，所得的函数是y=221x11xsin()，可得函数y= sin(2) .再将其图像上点的横坐标变为原来的.则y= 2222231x sin(222)，即y=f（x）.故选D.答案：D3.方程2sin2x=x-3的解有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析：在同一坐标系下，画出y=2sin2x和y=x-3的图像，如下图，易知有3个交点.故方程有3 个实数解.所以选C.答案：C144.已知函数y=Asin（ωx+φ）在同一周期内，当x= 时取得最大值，当x= 时取得最小929 1值，则该函数的解析式为（）2x 1A.y=2sin（- ）B.y= sin（3x+ ）362 611xC.y= sin（3x- ）D.y= sin（- ）262361T 43221,解析：由题意，知A= ,∴T=.∴ω==3.2299933T11将（）视为第一个最高点，代入可求出φ=，∴y=sin（3x+ ）.故选B.,92626 答案：B5.函数y=sin（2x+5 ）的图像的一条对称轴方程是（）2A.x=B.x=2 45C.x=D.x=845解析：函数y=sin（2x+ ）的对称轴垂直于x轴，有很多条，它们通过图像的最高点或最低2点，即使函数取得最大值或最小值.所以一一代入验证，可得 x=符合要求.故选 A. 2答案：A6.函数 y=cos （x+ 1 3）（x ∈R ）（）A.是奇函数B.是偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数解析：除了用定义判断某一函数的奇偶性之外，还可用图像加以深化理解.如 y=cos （x+φ） 若为奇函数，则 φ 可取哪些值，不妨结合图像解决.由奇偶函数的定义或图像，易知 y=cos4（x+ 1 3）既不是奇函数又不是偶函数.故选 C. 答案： C7.函数 y=sin （ -2x ）的单调减区间为_______________.3解析：令 t =2x，易知原函数的单调减区间即是 y=sint 的单调增区间.3由 2kπ- ≤t≤2kπ+ （k∈Z ），知2 22kπ- ≤2x - ≤2kπ+ （k∈Z ），2 325∴kπ-≤x≤kπ+（k∈Z ）.12125因此函数 y=sin （ -2x ）的减区间为［kπ-，kπ+］（k ∈Z ）.312125答案：［k,k］（k ∈Z ）12 128.如图 1-7-3，弹簧挂着的小球上下振动，时间与小球相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度之间的函数关系式是 h=2sin （t+ ），t∈［0，+∞）.4图 1-7-3画出这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题. （1）小球开始振动（即 t=0）时的位置在哪里?（2）小球最高、最低点与平衡位置的距离分别是多少? （3）经过多长时间小球往复振动一次? （4）小球每 1 s 能往复振动多少次? 解：因为函数 h=2sin （t+ 简图如下.4），t∈［0，+∞）的最小正周期是 T=2π，它在［0，2π］上的（1）小球开始振动（即 t=0）时，h=2sin （0+4 ）=2sin 24. （2）小球最高、最低点与平衡位置的距离分别是 2和-2. （3）小球往复振动一次，即是一个周期 2π s.（4）小球每1 s能往复振动的次数，即频率f=1T12.59.已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,|φ|＜ 2)的图像的一个最高点为（2， 2 2 ）， 由 这个最高点到相邻最低点，图像与 x 轴交于（6，0）点，试求这个函数的解析式. 解：已知图像最高点为（2， 2 2 ），∴A= 2 2 .又据题意知从最高点到相邻最低点时交 x 轴于（6，0），T ∴ =6-2=4，即 T=1642 ∴ω= T 82∴y= 2 2 sin( x+φ),代入最高点坐标， 2 2 2sin( 2 ). 8 8∴sin （ +φ）=1. 4∴φ= .4∴函数解析式为 y= 2 sin( 2 )2.86。
高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(一)学案北师大版必修4(20
2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（一）学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（一）学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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§8函数y＝A sin（ωx＋φ）的图像与性质（一）学习目标 1.结合具体实例,了解y＝A sin（ωx＋φ) 的实际意义（重点).2.能借助计算器或计算机画出y＝A sin（ωx＋φ）的图像，观察参数A,ω、φ对函数图像变化的影响（难点）．知识点1 振幅变换(1）在函数y＝A sin x(A＞0)中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A 为振幅．（2)要得到函数y＝A sin x（A＞0，A≠1）的图像,只要将函数y＝sin x的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时)到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．【预习评价】（1)函数y＝－2sin错误!的最大值为________最小值为________．答案 2 －2(2)函数y＝－错误!cos x取得最大值时的x的集合为________．答案{x｜x＝2kπ＋π,k∈Z｝知识点2 相位变换（1)在函数y＝sin(x＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，x＋φ为相位．(2）对于函数y＝sin（x＋φ)(φ≠0）的图像,可以看作是把y＝sin x的图像上所有的点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动｜φ｜个单位长度得到的．【预习评价】(1）如何由y＝sin x的图像变换为y＝sin错误!的图像？提示向左平移错误!个单位长度．（2）如何由y＝sin错误!的图像变换为y＝sin x的图像？提示向右平移错误!个单位长度知识点3 周期变换(1)在函数y＝sin ωx(ω＞0)中，ω决定了函数的周期T＝错误!，通常称周期的倒数f＝错误!＝错误!为频率．（2）对于函数y＝sin ωx(ω＞0，ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时)到原来的错误!倍（纵坐标不变)而得到的．【预习评价】1．函数y＝2sin错误!的周期、振幅依次是（）A．4π，－2 B．4π，2C．π,2D．π，－2答案B2．若函数y＝3sin ωx的最小正周期为π，则ω＝________。
高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asinωx+φ的图像自主训练北师大版必修42017082535
1.8 函数y=Asin（ωxφ）的图象自主广场我夯基我达标1.浙江高考卷，文1)函数y＝sin(2x+ )的最小正周期是（）6A. B.π C.2π D.4π222思路解析：T= = =π.2 答案：B2.若函数y=f（x）的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整1个图像沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线与y= sinx的图像2 2相同，则y=f（x）是（）11A.y= sin（2x+ ）+1B.y= sin（2x- ）+12222 11C.y= sin（2x- ）+1D.y= sin（2x+ ）+1242411思路解析：逆向法解决，将y= sinx的图像沿y轴向上平移1个单位得到函数y= sinx+12 211的图像；再将函数y= sinx+1的图像向右平移个单位得到函数y= sin（x- ）+1的图222211像；再将函数y= sin（x- ）+1的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的22 21得到函数y= sin（2x- ）+1.这就是函数y=f（x）的解析式.2 2答案：B3.(2006四川高考卷，理5文6)下列函数中，图像的一部分如图1-7-5所示的是（）图1-7-5A.y=sin(x+ ）B.y=sin(2x- ）C.y=cos(4x- ）D.y=cos(2x- ）663612思路解析：从图像看出，T= + = ，∴函数的最小正周期为π.∴ω==2.∴排除41264TA、C.∵图像过点(- ,0)，代入选项B，∴f(-)=sin(- - )=-1≠0.∴排除B.663 6 答案：D4.把函数y=sin(ωx+φ)（其中φ为锐角）的图像向右平移8个单位，或向左平移38个单位都可使对应的新函数成为奇函数，则原函数的一条对称轴方程是（）15 A.x=B.x=C.x=-D.x=2 48 8思路解析：将函数 y=sin(ωx+φ)的图像向右平移 个单位后，得函数 y=sin ［ω(x - ）88+φ］为奇函数，根据奇函数的性质，由函数的定义域为 R ，知 sin ［ω(0- )+φ］=0（即8f(0)=0）.∴ω(- )+φ=0,φ=.88 33将函数 y=sin(ωx+φ)向左平移个单位后，得函数 y=sin ［ω(x+）+φ］也是奇函数，8833∴sin ［ω(0+)+φ］=0.将 φ=代入，得 sin(+)=0.8888∴=kπ,ω=2k(k∈Z ).∵φ∈(0,)，∴ω=2，且 φ= .又正弦函数图像的对称轴过取22 4k55得最值的点，设 2x+ =kπ+ ，则 x= + .当 k=1时，x=，即 x=是函数 y=sin(2x+42288 8)的一条对称轴方程. 4 答案：D5.求函数 y=2sin （3x-4）的对称中心.思路分析：利用整体策略求出对称中心坐标. 解：由 y=sinx 的对称中心是（kπ，0），令 3x-k即对称中心是（+，0）（k ∈Z ）.3124=kπ，x=k3+12（k∈Z ）,6.设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0),φ 取何值时，f(x)为奇函数？思路分析：结合正弦函数的图像和性质来讨论. 解：（1）∵x∈R ，f(x)是奇函数，∴f(x)+f(-x)=0. 则有 f(0)=0，∴sinφ=0.∴φ=kπ,k∈Z . 当 φ=kπ,k∈Z 时，f(x )=Asin(ωx+kπ)， 当 k 为偶数时，f(x)=Asin(ωx)是奇函数； 当 k 为奇数时，f(x)=-Asin(ωx)是奇函数. 综上可得,当 φ=kπ,k∈Z 时，f(x)为奇函数.我综合 我发展7.函数y=5sin( -2x)的单调递增区间是_________.43思路解析：函数y=-5sin(2x- )=5sin(2x+ )，令2kπ-445解得kπ-≤x≤kπ-.4455答案：［kπ-,kπ-］(k∈Z)4442≤2x+34≤2kπ+2(k∈Z)，218.已知sin（2x+ ）=- ，x∈［0，2π］，求角x的集合.32思路分析：先由x的范围确定2x+ 的范围，然后判断角的个数求出角.313解：∵0≤x≤2π，∴≤2x+≤.33 31∵sin（2x+ ）=- ，327111317∴2x+= 或2x+ = 或2x+ = 或2x+ = .36363636 53115∴x＝，，，.12412453115∴x的集合为{ ，，，}.124124k9.函数f(x)=2sin( x+ )（k≠0）.53（1）求f(x)的最大值M、最小值N和最小正周期T.（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是M,一个值是N.（3）当k=10时，由y=sinx的图像经过怎样的变换得到y=f(x)的图像?思路分析：由于k影响函数的周期，所以求最小的正整数k就要讨论函数周期的限制.解：（1）∵f(x)=2sin(k5x+3)，k≠0，且x∈R，10|k|∴M=2，N=-2，T=.（2）由题意，得当自变量x在任意两个整数间变化时，函数f(x)至少有一个最大值，又有一10|k|个最小值，则函数的周期应不大于区间长度的最小值1，即≤1，解得|k|≥10π，所以最小的正整数k=32.（3）当k=10时，有f(x)=2sin(2x+ 变换步骤是：3).①把y=sinx的图像上所有的点向左平行移动个单位，得函数y=sin(x+ )的图像；3 31②把函数y=sin(x+ )的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得函数3 2y=sin(2x+ )的图像；3③把函数y=sin(2x+ )的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得函数3f(x)=2sin(2x+ )的图像.310. 如图1-7-6 所示，某地一天从6 时至14 时的温度变化曲线近似满足函数3y=Asin(ωx+φ)+b(A ＞0,ω＞0,0＜φ＜π).图 1-7-6（1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式.思路分析：图像最上方的点的纵坐标是温度的最大值，最下方的点的纵坐标是温度的最小值. 解：（1）由图知这段时间的最大温差是 30-10=20（℃）. （2）图中从6时到14时的图像是函数y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图像，即1 1∴ω= ,A= (30-10）=10，b= (30+10)=20.8 223 这时 y=10sin( x+φ)+20.将 x=6,y=10代入上式，可取 φ=843 综上，所求的解析式为 y=10sin( x+)+20，x∈［0,14］.84.2=2(14-6)，4。
高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asinωx+φ的图像与性质一学案无答案北师大版必修
函数y=Asin （ωx+φ的图像与性质（一）班级 姓名 组号【学习目标】1、会用五点法作sin (0)y A x A =>、sin()y x ϕ=+一个周期上的图像；2、掌握由函数sin y x =的图像得到函数sin (0)y A x A =>、sin()y x ϕ=+图像的变换的方法与过程;【教学重点】振幅变换与相位变换的方法与过程【教学难点】振幅变换与相位变换的实质【学习过程】一、预习自学1、知识点一： sin y x =与sin (0)y A x A =>图像的变换关系----振幅变换阅读课本第43-45页内容，理解五点法做函数12sin sin 2y x y x ==、的图像过程，观察此过程发生了自变量或函数值的怎样替换？思考归纳出sin (0)y A x A =>与sin y x =图像间的变换关系：2、知识点二： sin y x =与sin()y x ϕ=+图像的变换关系----相位变换阅读课本第45-47页内容，理解用五点法做函数sin()4y x π=+、 sin()6y x π=-的图像过程. 观察此过程发生了自变量或函数值的怎样替换？思考归纳出sin()y x ϕ=+与sin y x =图像间的变换关系：二、课堂探究（巩固提升）问题1：五点法做函数下列函数的简图，并说明它与sin y x =的图像关系：（1）1sin 3y x =（2）4sin y x =问题2：五点法做函数下列函数的简图，并说明它与sin y x =的图像关系：（1）sin()6y x π=+（2） sin()4y x π=-问题3：（1）2sin(3)y x =+的图像可由函数sin y x =的图像怎样得到？（2）函数1cos(1)2y x =-的图像可由函数cos y x =的图像怎样得到？【达标检测】1、要得到函数sin y x =的图像，只需要把函数sin()3y x π=-的图像 . 2、要得到函数1cos 3y x =的图像，只需要把函数1cos 2y x =的图像 . 3、函数3sin()6y x π=-的图像如何由sin y x =的图像得到？【我的疑惑】。
高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asinωxφ的图像与性质二课时素养评价含解析北师大版必修
学习资料课时素养评价十二函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二)(15分钟30分）1。
已知函数f（x）=sin(ω〉0）的最小正周期为π，则函数f(x)的图像（)A。
关于直线x=对称 B。
关于直线x=对称C.关于点对称D.关于点对称【解析】选 B.因为f（x）=sin的最小正周期为π，所以=π,ω=2,所以f （x)=sin。
当x=时,2x+=，所以A，C错误;当x=时，2x+=，所以B正确,D错误.2。
函数y=8sin取最大值时,自变量x的取值集合是（)A.B。
C.D.【解析】选B。
因为y的最大值为8,此时sin=1,即6x+=2kπ+(k∈Z），所以x=+（k∈Z）。
3.函数y=sin 2x的一个递增区间可以是 ( )A。
B.C。
D。
［0，π]【解析】选A。
由—+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，得—+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，故当k=0时的单调递增区间为. 4。
y=2sin的图像的两条相邻对称轴之间的距离是。
【解析】由函数图像知两条相邻对称轴之间的距离为半个周期，即×=。
答案：5.已知函数f(x）=sin。
（1)求f(x）的单调递增区间.(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值，最小值.【解析】（1)f（x)=sin,令2kπ—≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z。
故f（x）的单调递增区间为,k∈Z。
(2）因为x∈，所以≤2x+≤,所以—1≤sin≤，所以-≤f（x）≤1，所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1,最小值为—。
(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1。
设偶函数f（x）=Asin(ωx+φ）（A>0，ω>0，0〈φ<π）的部分图像如图所示,△K L M为等腰直角三角形,∠KM L=90°,K L=1，则f的值为（)A.-B。
-C。
—D。
【解析】选D.由题意知，点M到x轴的距离是,所以A=,又由题图知·=1,所以ω=π,因为f（x)为偶函数,所以φ=，所以f(x）=sin=cos πx，故f=cos=。
高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asinωx+φ的图像与性质自我小测北师大版必修4
1.8 函数y=Asin （ωx φ）的图象自我小测1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减少的是( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 2．如图是函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，x ∈R)在区间上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将y =sin x (x ∈R)的图像上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移 π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变3．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图像上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈RB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6，x ∈RC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈RD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，x ∈R 4．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( )A ．－32 B ．32 C ．12 D ．－125．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图像经过点(0,1)，则f (x )的最小正周期T和初相φ分别为( )A ．T ＝6π，φ＝π3B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π66．已知函数y =A sin(ωx +φ)(A ＞0)的一段图像如图所示，则此函数解析式为_________.7．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3的值域是__________． 8．设函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝__________.9．已知函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4. (1)求此函数的周期、振幅、初相； (2)作函数在[0,4π]上的图像；(3)说出此函数图像是由y ＝sin x 的图像经过怎样的变化得到的．10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2，x∈R 的图像的一部分如图所示，求函数f (x )的解析式．参考答案1．解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减少的． 答案：D2．解析：观察图像可知，在函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中，A ＝1，2πω＝π，故ω＝2.令ω×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，得φ＝π3， 所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故只要把y ＝sin x 的图像向左平移π3个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变即可．答案：A3．解析：将y ＝sin x 的图像上的所有的点向左平移π3个单位长度得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像，再将图像上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像．答案：C4．解析：由2πω＝π，得ω＝2，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π3＝32.答案：B5．解析：T ＝2ππ3＝6.将点(0,1)代入得2sin φ＝1，即sin φ＝12.又∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.答案：D6．解析：图中给出了第三个、第五个关键点，于是得2ππ,95π2π,9ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩解得3,π.3ωϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩又∵A =2，∴所求函数的解析式为π2sin(3)3y x =+. 答案：π2sin(3)3y x =+7．解析：∵0＜x ≤π3，∴π3＜x ＋π3≤23π，∴cos 23π≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＜cos π3， 即－12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＜12，即y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，128．解析：由2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )，得x 0＝kπ2－π6(k ∈Z )．∵x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴k ＝0，x 0＝－π6.答案：－π69．解：(1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的周期T ＝4π，振幅为3，初相为－π4.(2)在x ∈[0,4π]上确定关键点，列表如下：x0 π2 3π2 5π2 7π2 4π 12x －π4－π40 π2 π 3π2 7π4 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4－3223－3－322描点，作出以上各点，用平滑曲线顺次连接各点，得y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4在[0,4π]上的草图如图所示．(3)方法一：y ＝sin x 的图像y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图像――——————————→所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图像―————————————→所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图像．方法二：y ＝sin x 的图像――————————————→所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变y ＝sin 12x 的图像y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x －π4的图像―——————————―→所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图像． 10．解：由图像可知，A ＝2，T ＝8. ∵T ＝8，∴ω＝2πT ＝2π8＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ. 方法一：由图像过点(1,2)得，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×1＋φ＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1.∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝2k π＋π4，k ∈Z .∵|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.方法二：∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点，精品教育资料∴π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.。
高中数学 第一章 三角函数 1.8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像学案 北师大版必修4-北师大版
1.8 函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图像1．“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像利用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0)的简图，先分别令ωx ＋φ＝____________，列表求出长度为一个周期的闭区间上的五个关键点的坐标，再描点，并用平滑的曲线连接作出一个周期上的图像，最后向左、右分别扩展，即可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的简图．2．A 、ω、φ的意义函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0)，在这里常数A 叫____，T ＝2πω叫____，f ＝1T ＝ω2π叫____，ωx ＋φ叫____，φ叫____． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (其中ω＞0，A ＞0)的最大值为____，最小值为____，周期为__．预习交流1函数y ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3，x ∈R 的值域是________，周期是________，振幅是________，初相是________．3.A ，ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)图像的影响(2)ω对函数y ＝sin(ωx ＋φ)图像的影响(ω＞0且ω≠1)(3)A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像的影响(A ＞0)准确认识理解“图像变换法”由y ＝sin x 到y ＝sin(x ＋φ)的图像变换称为相位变换；由y ＝sin x 到y ＝sin ωx 的图像变换称为周期变换；由y ＝sin x 到y ＝A sin x 的图像变换称为振幅变换．预习交流2将函数y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位，再向上平移2个单位，所得图像的函数解析式是( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋2B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2 4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0)的性质预习交流3函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心和对称轴各有什么特点？答案：1．0，π2，π，3π2，2π2．振幅 周期 频率 相位 初相 A ＋b －A ＋b 2πω预习交流1：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，152π3 15－π3预习交流2：D4．R [－A ，A ]2π|ω| k π＋π2，k ∈Z k π＋π2－φω k π，k ∈Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－φω，0 2k π－π2 2k π＋π2 2k π＋π2 2k π＋3π2预习交流3：提示：对称中心为图像与x 轴的交点坐标，在对称轴处图像位于最高点或最低点，也可以说函数在对称轴处取得最大值或最小值．1．用“五点法”作正弦函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间．用“五点法”作出函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图像，并指出它的振幅、周期、频率、初相、相位．“五点法”作图，要抓住要害，即要抓住五个关键点，使函数式中的ωx＋φ分别取0，π2，π，3π2，2π，然后求出相应的x ，y 值，作出图像．2．图像变换用两种方法将函数y ＝sin x 的图像变换为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像．思路分析：变换过程可以先平移后伸缩，也可以先伸缩后平移．将函数y ＝f (x )的图像上每一点的纵坐标变为原来的12，再将横坐标变为原来的12，最后将整个图像向左平移π3个单位，可得y ＝sin x 的图像，求函数f (x )的解析式．思路分析：逆向思考解答此问题．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像可以看作把函数y ＝12sin 2x 的图像向__________平移__________个单位得到．由y ＝sin x 的图像，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图像，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．3．根据图像确定函数解析式如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图像，由图中条件写出该函数的解析式．1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(0＜φ＜2π，A ＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是__________．2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R )的部分图像如图所示，求函数表达式．由图像确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，主要从以下三个方面来考虑：(1)A 的确定：根据图像的“最高点，最低点”确定A ；(2)ω的确定：结合图像先求周期T ，然后由T ＝2πω(ω＞0)确定ω；(3)φ的确定：常用的方法有： ①代入法：把图像上的一个已知点或图像与x 轴的交点代入(此时，A ，ω已知)求解．(此时要注意交点在上升区间还是在下降区间上)②五点法：确定φ的值时，往往以寻找“五点”中的第一个“零点”⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口．“五点”中的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图像的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.4．y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的性质及综合应用已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6＋1(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图像的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移π6个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )的单调递减区间．思路分析：(1)首先求出ω，φ的值，再求出f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值；(2)求出y ＝g (x )的解析式，再确定单调递减区间．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数f (x )的单调递增区间．(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)为偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；为奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )．同理，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)为偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；为奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，首先把x 的系数化为正的，再利用整体代换，即把ωx ＋φ代入相应不等式中，求解相应的变量x 的范围．答案：活动与探究1：解：(1)列表：列表时2x ＋π3取值分别为0，π2，π，3π2，2π，再求出相应的x 值和y 值.(2)描点：在直角坐标系中描出点⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0.(3)连线：用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如下图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R 的简图(图略)． 这个函数的振幅是2，周期是T ＝2π2＝π，频率是f ＝1T ＝1π，初相是π3.函数的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )． 同理，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．(2)描点：在直角坐标系中描出点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2，－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2，0， (3)连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示．这样就得到了函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4在一个周期内的图像，再将这部分图像向左或向右扩展就得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R 的图像．这个函数的振幅为3，周期是T ＝2π12＝4π，频率f ＝1T ＝14π，初相为－π4，相位是12x －π4.活动与探究2：解：方法一：(先平移后伸缩)y ＝sin x 的图像y＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像――――――――――→横坐标不变纵坐标伸长为原来的2倍y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像．方法二：(先伸缩后平移)y ＝sin x 的图像y ＝sin 3x 的图像y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像―――――――――→纵坐标伸长为原来的2倍横坐标不变y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像．活动与探究3：解：将y ＝sin x 的图像向右平移π3个单位得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图像，把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图像，再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图像上所有点的纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图像．∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3.迁移与应用：右 π8解析：y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8， ∴由y ＝12sin 2x 的图像向右平移π8个单位便得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像．活动与探究4：解：由图像知，A ＝3. ∵T 2＝5π6－π3＝π2，∴T ＝π. ∴ω＝2πT＝2.∴y ＝3sin(2x ＋φ)．下面求φ.方法一：(单调性法)∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0在递减的区间上，∴2π3＋φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z . 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，得2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z .又∵|φ|＜π，∴φ＝π3.方法二：(最值点法)将最高点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3代入y ＝3sin(2x ＋φ)，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝3.∴φ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z .∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z .又∵|φ|＜π，∴φ＝π3.方法三：(起始点法)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x 正是由ωx ＋φ＝0解得的，故只要找出起始点的横坐标x ，就可以迅速求得初相φ.由图像求得x 0＝－π6.故φ＝－ωx 0＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π3.方法四：(平移法)由图像知，将y ＝3sin 2x 的图像沿x 轴向左平移π6个单位，就得到本题图像，故φ＝2×π6＝π3.综上，所求函数的解析式为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 迁移与应用：1.62 解析：由题图知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4， ∴T ＝π，ω＝2ππ＝2.∴2×π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z .∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z .∵0＜φ＜2π，令k ＝0，得φ＝π3.∴函数解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∴f (0)＝2sin π3＝62.2．解：由图像知A ＝4，T2＝6－(－2)＝8，∴T ＝16.从而2πω＝16，∴ω＝π8.由π8×6＋φ＝k π，k ∈Z 得φ＝k π－3π4，k ∈Z . ∵|φ|＜π2，令k ＝1，得φ＝π4.∴函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.活动与探究5：解：(1)∵f (x )为偶函数，∴φ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋2π3，k ∈Z .又∵0＜φ＜π，∴φ＝2π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＋1＝2cos ωx ＋1. 又函数y ＝f (x )的图像的两相邻对称轴间的距离为π2，∴2πω＝2×π2，∴ω＝2. 故f (x )＝2cos 2x ＋1，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋1＝2＋1.(2)将f (x )的图像向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图像． 所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3＋1. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减．因此g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z )． 迁移与应用：解：(1)由2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，得φ＝k π＋π4，k ∈Z ，∵－π＜φ＜0，令k ＝－1得φ＝－3π4.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4. (2)由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z .∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π5的周期、振幅各是( )．A ．4π，－2B ．4π，2C ．π，2D ．π，－22．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图像，只需将y ＝sin 2x 的图像( )． A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π6个单位C ．向右平移π3个单位D ．向左平移π3个单位3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像( )． A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称4．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在[0，π]上的单调减区间是__________．5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)上的最高点为(2，2)，该最高点到相邻的最低点间曲线与x 轴交于一点(6,0)，求函数解析式，并求函数在x ∈[－6,0]上的值域．答案：1．B 2.D3．D 解析：由题意知ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 当x ＝π3时，f (x )＝0，所以f (x )关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称． 当x ＝π4时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝cos π3＝12， 所以f (x )不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，也不关于直线x ＝π4对称． 4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12 解析：由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ， ∵x ∈[0，π]，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在[0，π]上的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12. 5．解：由题意知A ＝2，T4＝6－2＝4，∴T ＝16. 又2πω＝16，∴ω＝π8. 又π8×6＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z .∵|φ|＜π2，令k ＝0，得φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.∵x ∈[－6,0]，∴π8x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π4.∴f (x )∈[－2，1]．∴函数在x∈[－6,0]上的值域是[－2，1]．。
优化方案高中数学第一章三角函数8函数y=Asin(ωxφ)的图像第2课时应用案巩固提升北师大版必修4
【优化方案】2017高中数学 第一章 三角函数 8 函数y=Asin （ωx+φ）的图像 第2课时应用案巩固提升 北师大版必修4[A 基础达标]1.函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1的最大值为2＋1＝3.2.函数y ＝－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋23π图像上距离原点最近的一个对称中心的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 解析：选A.令4x ＋2π3＝k π，则x ＝－π6＋k π4(k ∈Z )．当k ＝0时，x ＝－π6；当k ＝1时，x ＝π12.所以点⎝⎛⎭⎪⎫π12，0为所求． 3．已知f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图像经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：选A.T ＝2πω＝2ππ3＝6，因为图像过(0，1)点， 所以sin φ＝12.因为－π2＜φ＜π2，所以φ＝π6.4．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ≤π2的部分图像如图所示，则点P(ω， φ)的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π6 解析：选B.因为T 2＝5π6－π3＝π2，所以T ＝π，因此ω＝2πT ＝2ππ＝2.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝－1，即2×712π＋φ＝3π2＋2k π(k∈Z )，所以φ＝π3＋2k π(k∈Z )．又因为0<φ≤π2，所以φ＝π3，故P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.5.如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，那么a 的值为( ) A. 2 B ．－ 2 C ．1D ．－1解析：选D.根据对称轴的定义，因为函数y ＝f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x 的图像以直线x ＝－π8为对称轴，那么到x ＝－π8距离相等的x 值对应的函数值应相等，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π8对任意x 成立．令x ＝π8，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－π8＝f (0)＝sin 0＋a cos 0＝a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8－π8＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1， 所以a ＝－1.6.函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的值域是 ．解析：因为－π3≤x ≤π3，所以－π2≤x －π6≤π6，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6≤12，故y ∈[－2，1]．答案：[－2，1]7.已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期是2π3，最小值是－2，且图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫5π9，0，则这个函数的解析式为 ．解析：由T ＝2πω＝2π3得ω＝3.由题意知A ＝2.所以y ＝2sin(3x ＋φ)． 因为图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π9，0，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×5π9＋φ＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＋φ＝0.又0＜φ＜π，所以φ＝π3. 故函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3.答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π38.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ≤π2，且此函数的图像如图所示，将其图像向右平移k (k >0)个单位长度后，所得图像关于y 轴对称，则k 的最小值是 ．解析：函数f (x )的周期为T ，则T 2＝7π8－3π8＝π2，T ＝π，ω＝2，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0代入解析式得φ＝π4⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ≤π2，将f (x )的图像向右平移k (k >0)个单位长度得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －k ）＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2k ，由其图像关于y 轴对称知g (x )是偶函数，故π4－2k ＝π2＋m π(m ∈Z )，k ＝－π8－m 2π，k >0，当m ＝－1时，k 取得最小值，最小值是3π8.答案：38π9.如图为函数f (x )＝Asin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一个周期内的图像．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由题图，知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8，所以ω＝2πT ＝2π8＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ.将点(－1，0)代入，得0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ. 因为|φ|＜π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)由(1)，知f (x )的最小正周期为2ππ4＝8，频率为18，振幅为2，初相为π4.10．函数f (x )＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解：(1)因为函数f (x )的最大值为3， 所以A ＋1＝3，即A ＝2.因为函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期T ＝π，所以ω＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12，因为0＜α＜π2，所以－π6＜α－π6＜π3，所以α－π6＝π6，故α＝π3.[B 能力提升]1．函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图像如图所示，则函数y 的解析式是()A ．y ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1B ．y ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1C ．y ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－1 解析：选A.由T 2＝712π－π12＝π2，所以T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，A ＝52＋122＝32，k ＝52－122＝1.由52＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＋1，得π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 因为|φ|<π2，所以φ＝π3.所以y ＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.2.设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π5，若对任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f (x)≤f(x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为 ．解析：若对任意x∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则f(x 1)≤f(x)min 且f(x 2)≥f(x)max ，当且仅当f(x 1)＝f(x)min ，f(x 2)＝f(x)max 时，|x 1－x 2|的最小值为f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π5的半个周期，即|x 1－x 2|min ＝12×2ππ2＝2.答案：23．已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示．(1)求函数f(x)的解析式，并写出函数f(x)的图像的所有的对称中心； (2)若函数g(x)的图像与f(x)的图像关于点P(4，0)对称，求g(x)的递增区间． 解：(1)由图像可知A ＝2，T ＝16，ω＝π8，将(－2，0)代入解析式可求得φ＝π4，故f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4，函数f(x)的图像的对称中心为(8k －2，0)(k∈Z )．(2)设f(x)图像上任一点P 1(x 1，y 1)关于点P(4，0)的对称点为P(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x2＝4，y 1＋y2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝8－x ，y 1＝－y ， 因为y 1＝f(x 1)，y ＝g(x)，所以f(x 1)＝－g(x)， 所以g(x)＝－f(8－x)＝－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8（8－x ）＋π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π8x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 8－5π4. 令2k π－π2≤π8x －5π4≤2k π＋π2(k∈Z )，16k ＋6≤x≤16k＋14(k∈Z )，即g(x)的递增区间为[16k ＋6，16k ＋14](k∈Z )．4．(选做题)已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的图像经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图像上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数的解析式； (2)指出函数的递增区间； (3)求使y≤0的x 的取值范围．解：(1)由题意得A ＝5，周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，故ω＝2ππ＝2，所以y ＝5sin(2x ＋φ)，因为图像过点Q ⎝⎛⎭⎪⎫π3，5，所以5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝5，因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，所以y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，所以函数的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(3)由题意得5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤0，所以2k π－π≤2x －π6≤2k π，k ∈Z ，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，所以使y≤0的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .。
优化方案2016高中数学第一章三角函数8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质训练案知能提升第1课时函数y=Asin(
1．A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的影响 值域 (1)在函数y＝Asin x(A>0)中，A决定了函数的_________ 以及函 振幅 数的最大值和最小值，通常称A为____________ ． 函数值 (2)在函数y＝sin(x＋φ)中，φ决定了x＝0时的___________ ， 相位 初相 通常称φ为_______ ，x＋φ为_______ ．
三角函数图像的平移变换
π π 将 f(x)＝ sin 2x－ 的图像向右平移 个单位长度，得 6 3 π 3π 到的图像对应的函数记为 g(x)， 求函数 g(x)在 ， 上的最 4 4 大值和最小值． (链接教材 P45 例 2)
π π [解 ] 将 f(x)＝ sin 2x－ 的图像向右平移 个单位长度， 得y 6 3 π π 2π ＝ sin 2 x－ － ＝ sin 2x－ ，即 3 6 3 2π g(x)＝ sin 2x－ . 3 π 2π 5π π 3π 又因为 x∈ ， ，所以－ ≤ 2x－ ≤ ， 6 3 6 4 4 π 3π 1 所以函数 g(x)在 ， 上的最大值为 1，最小值为－ . 2 4 4
― ― →
― ― →
1 π 图像上各点的横坐标缩短为原来的 2 y＝ 2sinx－ ― ― → 6 纵坐标不变
π 图像上各点向上平移1个单位长度 y＝ 2sin 2x－ ― ― → 6 π y＝ 2sin 2x－ ＋ 1. 6 法二： y＝ sin x y＝ 2sin
2 3． 为了得到 y＝ sin x， x∈ R 的图像， 只需将函数 y＝asin x(a>0) 3 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 (横坐标不变 )，则 a ＝( C ) 2 A. 3 1 C. 3
高中数学第一章三角函数1.8.3函数y=asin(ωxφ)的图像与性质习题课课件北师大必修4
答案:x=
+ 6 , ������∈Z
π 1
π
【做一做 2-2】 函数 y=-sin
解析:令 2k π− 2 ≤ 2 ������ − 4k π− ≤x≤4k π+ π , ������∈Z.
π 2 3 2
1 π ������ 的递减区间为_________. 2 4 π π ≤2 k π + , ������∈Z, 得 4 2
������π
一
二
函数 图像的 对称性 最值
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 由 ωx+φ=kπ(k∈Z)可解得图像的对称中心的横坐标(纵 坐标为 0);图像的对称轴与 x 轴交点的横坐标可以由 π ωx+φ=kπ+ 2 , ������∈Z 解得 当 ωx+φ=2kπ+ 2 (������∈Z)时,ymax=A; 当 ωx+φ=2kπ+
(2)先伸缩后平移 ①画函数 y=sin x(x∈[0,2π])的图像; ②将其横坐标变为原来的 ������ (纵坐标不变), 得到函数������ = sin ������������的图像; ③将其纵坐标变为原来的 A 倍(横坐标不变), 得到函数 y=A sin ωx 的图像; ④将其图像沿 x 轴平移
2π ������ π 2 π 2
由(ωx+φ)∈ 2������π- ,2������π +
π
(������∈Z)得到递增区间;
3π 2
由(ωx+φ)∈ 2������π + 2 ,2������π +
(������∈Z)得到递减区间
奇偶性
当 φ=kπ(k∈Z)时,y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)为奇函数; π 当 φ=kπ+ 2 (������∈Z)时,y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)为偶函数; 当 φ≠ 2 (������∈Z)时,y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)为非奇非偶函 数
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1.8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.(高考辽宁卷，文2)函数y=sin(321+x )的最小正周期是（ ） A.2πB.πC.2πD.4π 解析：y=sin(321+x )的最小正周期T=212π=4π答案：D2.将y=sinx 的图像变换为y=3sin （32π+x )的两种变换方法如下，请在“−→−”处填上变换方法.法一：y=sinx −→−y=sin2x −→−y=sin(2x+3π)y=3sin(2x+3π）； 法二：y=sinxy=sin(x+3π)y=sin(2x+3π)y=3sin(2x+3π).解法一：y=sinx −−−−−−−−→−=−−−−−−−−−→−个单位图像上所有点向左平移纵会标不变短到原来的图像上所有点横坐标缩6212sin πx y y=sin2x 图像上所有点向左平移6π个单位y=sin ［2（x+6π)］=sin(2x+3π）横坐标不变倍工到原来的图像上所有点纵坐标伸−−−−−−−−−−→−3y=3sin(2x+3π).解法二：y=sinx −−−−−−−−→−个单位图像上所有点向左平移3πy=sin(x+3π)纵坐标不变短到原来的图像上所有点横坐标缩−−−−−−−−−→−21y=sin(2x+3π)横坐标不变倍长到原来的图像上所有点纵坐标伸−−−−−−−−−−→−3y=3sin(2x+3π). 3.已知函数y=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）在一个周期内的简图（如图1-7-1），求其相应的函数表达式，并说明它是y=sinx 经过怎样的变换得到的.图1-7-1解：因为T=ωππππ2)12(1211==--，所以ω=2.又易知A=2，所以y=2sin （2x+φ）.将点（12π-，0）带入上式得0=2sin ［2×（12π-）+φ］，即sin （φ-6π）=0.由|φ|<2π得φ=6π，所以y=2sin （2x+6π）. 它的图像可由y=sinx 的图像作如下变换得到：y=sinx 6π向左平移图像上所有点−−−−→−y=sin(x+6π)纵坐标不变原来的短为图像上所有点横坐标缩,21y=sin(2x+6π)横坐标不变倍原来的长到图像上所有点纵坐标伸,2−−−−−−−→−y=2sin(2x+6π). 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.为了得到函数y=3sin （x-5π）（x∈R ）的图像，只需把y=3sinx 上所有的点（ ） A.向左平移5π个单位 B.向右平移5π个单位C.向左平移53π个单位D.向右平移53π个单位解析：三角函数图像的平移变换，应遵循法则：“加左减右”，且移动的单位数仅对一个x而言.据由y=sinx 的图像得到y=sin （x+φ）的图像的步骤可知，应把y=3sinx 图像上所有的点向右平移5π个单位，即可获得y=3sin （x-5π）的图像.故选B. 答案：B2.函数y=3sin （x+5π）图像上的点进行_____________变换，就可得到函数y=3sin （2x+5π）的图像（x∈R ）( )A.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B.横坐标缩短为原来的21，纵坐标不变 C.纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短为原来的21，横坐标不变解析：横向伸缩变换又称周期变换，即周期发生了变化，因此，可先据周期的变大（小）确定横坐标的变化.由y=sinx 的图像得到y=sin ωx 的图像，应是将y=sinx 图像上所有点的横坐标变为原来的ω1倍（0＜ω＜1时，伸长；ω＞1时，压缩）.故由y=3sin （x+5π）变为y=3sin （2x+5π）应是横坐标缩短为原来的21.所以选B.答案：B3.下列函数中，周期为2π的是（ ） A.y=sin （341π+x ） B.y=sin （34π+x ） C.y=sin （321π+x ） D.y=sin （2x+3π）解析：y=Asin （ωx+φ）的周期，注意运用T=ωπ2求时需ω＞0.答案：B4.设y=sin （x+φ）（0≤φ≤π）是R 上的偶函数，则φ等于（ ） A.0 B.4π C.2πD.π 解析：函数的奇偶性，可用定义，还可借助于图像.f （x ）为偶函数，则从代数式上应有f（-x ）=f （x ），从图像上应有图像关于y 轴对称. 答案：C5.正弦函数在一个周期内的图像如图1-7-2所示，求函数的表达式.图1-7-2解：由题图可知振幅A=2，又4432ππ+=T =π，所以周期T=2π，进而ω=ππ22=1.再据第一个零点为（4π-，0），代入可得φ=4π. 所以y=2sin(x+4π). 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.函数y=cosx 的图像经过怎样的变换才能变成函数y=cos （x+31）（x∈R ）的图像( ) A.向左平移3π个单位 B.向左平移31个单位C.向右平移31个单位D.向右平移3π个单位解析：平移变换时，一是看准平移的方向；二是确定平移的单位数.根据题意知应把y=cosx 的图像向左平移31个单位.故选B. 答案：B2.已知函数y=f （x ），现将y=f （x ）图像上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后把整个图像沿着x 轴向左平移2π个单位，得到y=21sinx 的图像，则函数f （x ）的解析式为( )A.f （x ）=)22sin(21π-x B.f （x ）=)22sin(21π+x C.f （x ）=)22sin(21π+x D.f （x ）=)22sin(21π-x解析：依题意，函数y=21sinx 的图像沿x 轴向右平移2π个单位后，所得的函数是y=)2sin(21π-x .再将其图像上点的横坐标变为原来的21，可得函数y=)22sin(21π-x .则y=)22sin(21π-x ，即y=f （x ）.故选D. 答案：D3.方程2sin2x=x-3的解有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个解析：在同一坐标系下，画出y=2sin2x 和y=x-3的图像，如下图，易知有3个交点.故方程有3个实数解.所以选C.答案：C4.已知函数y=Asin （ωx+φ）在同一周期内，当x=9π时取得最大值21，当x=94π时取得最小值21-，则该函数的解析式为（ ） A.y=2sin （3x -6π） B.y=21sin （3x+6π）C.y=21sin （3x-6π） D.y=21sin （3x -6π）解析：由题意，知A=39399421,21ππππ==-=T ,∴T=32π.∴ω=Tπ2=3.将（21,9π）视为第一个最高点，代入可求出φ=6π，∴y=21sin （3x+6π）.故选B.答案：B5.函数y=sin （2x+52π）的图像的一条对称轴方程是（ ） A.x=2π- B.x=4π-C.x=8π D.x=45π解析：函数y=sin （2x+25π）的对称轴垂直于x 轴，有很多条，它们通过图像的最高点或最低点，即使函数取得最大值或最小值.所以一一代入验证，可得x=2π-符合要求.故选A.答案：A 6.函数y=cos （x+31）（x∈R ）（ ） A.是奇函数 B.是偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数解析：除了用定义判断某一函数的奇偶性之外，还可用图像加以深化理解.如y=cos （x+φ）若为奇函数，则φ可取哪些值，不妨结合图像解决.由奇偶函数的定义或图像，易知y=cos（x+31）既不是奇函数又不是偶函数.故选C. 答案：C7.函数y=sin （3π-2x ）的单调减区间为_______________. 解析：令t =32π-x ，易知原函数的单调减区间即是y=sint 的单调增区间.由2k π-2π≤t≤2k π+2π（k∈Z ），知2k π-2π≤2x -3π≤2k π+2π（k∈Z ），∴k π-12π≤x≤k π+125π（k∈Z ）. 因此函数y=sin （3π-2x ）的减区间为［k π-12π，k π+125π］（k∈Z ）. 答案：［125,12ππππ+-k k ］（k∈Z ） 8.如图1-7-3，弹簧挂着的小球上下振动，时间与小球相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度之间的函数关系式是h=2sin （t+4π），t∈［0，+∞）.图1-7-3画出这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题. （1）小球开始振动（即t=0）时的位置在哪里?（2）小球最高、最低点与平衡位置的距离分别是多少? （3）经过多长时间小球往复振动一次? （4）小球每1 s 能往复振动多少次? 解：因为函数h=2sin （t+4π），t∈［0，+∞）的最小正周期是T=2π，它在［0，2π］上的简图如下.（1）小球开始振动（即t=0）时，h=2sin （0+4π）=2sin 24=π.（2）小球最高、最低点与平衡位置的距离分别是2和-2.（3）小球往复振动一次，即是一个周期2π s. （4）小球每1 s 能往复振动的次数，即频率f=π211=T .9.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,|φ|＜2π)的图像的一个最高点为（2，22），由这个最高点到相邻最低点，图像与x 轴交于（6，0）点，试求这个函数的解析式. 解：已知图像最高点为（2，22），∴A=22. 又据题意知从最高点到相邻最低点时交x 轴于（6，0），∴4T=6-2=4，即T=16 ∴ω=82ππ=T ∴y=22sin(8πx+φ),代入最高点坐标，)28sin(2222ϕπ+⨯=.∴sin（4π+φ）=1. ∴φ=4π. ∴函数解析式为y=)28sin(22ϕπ+⨯.。