通用版2020版高考数学大一轮复习课时作业12函数模型及其应用理新人教A版
高考新课标数学(理)大一轮复习课时作业12函数模型及应用 Word版含解析
课时作业函数模型及应用一、选择题．下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( ).．指数函数模型．对数函数模型解析：由表中数据知，满足关系＝＋(－)．故为一次函数模型．答案：．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价元，羽毛球每个定价元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的付款．现某人计划购买副球拍和个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是( )．不能确定．①②同样省钱．②省钱．①省钱解析：方法①用款为×＋×＝＋＝(元)方法②用款为(×＋×)×＝(元)因为<，故方法①省钱．答案：．一个人以的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车时，交通灯由红变绿，汽车以的加速度匀加速开走，那么( ) ．人可在内追上汽车．人可在内追上汽车．人追不上汽车，其间距最少为．人追不上汽车，其间距最少为解析：设汽车经过秒行驶的路程为米，则＝，车与人的间距＝(＋)－＝－＋＝(－)＋，当＝时，取得最小值为.答案：．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )－解析：设第一年年初生产总值为，则这两年的生产总值为(＋)(＋)．设这两年生产总值的年平均增长率为，则(＋)＝(＋)(＋)，解得＝－，故选.答案：．如图，在四边形中，动点从点开始沿→→→的路径匀速前进到为止．在这个过程中，△的面积随时间的变化关系用图象表示正确的是( )解析：根据动点的移动知，点在上移动时，△的面积是在增加，排除选项，点在上移动时，△的面积是不变化的，排除选项，因为>，点是匀速前进，所以在上移动的时间比在上移动所用的时间多，所以排除选项，选.。
2020高考数学总复习 函数模型及其应用课时演练 新人教A版.doc
【优化指导】高考数学总复习第2章第节函数模型及其应用课时演练新人教A版解析：根据汽车加速行驶s＝12at2(a＞0)，匀速行驶s＝vt，减速行驶s＝12at2(a＜0)结合函数图象可知选A.答案：A2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x ＜240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A．100台B．120台C．150台D．180台解析：设利润为f(x)(万元)，则f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3 000≥0，∴x≥150.答案：C3. 如图，正方形ABCD的顶点A(0，22)，B(22，0)，顶点C、D位于第一象限，直线l：x＝t(0≤t≤2)将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数s＝f(t)的图象大致是( )解析：当0≤t ≤22时，直线l ：x ＝t 从左向右移动的过程中，直线l 左侧阴影部分的面积f (t )的改变量逐渐增大，当t ＝22时，面积f (t )的改变量最大，当t ＞22时，面积f (t )的改变量逐渐减小，故选C.答案：C4．某商店计划投入资金20万元经销甲、乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P (万元)和Q (万元)，且它们与投入资金x (万元)的关系是：P ＝x 4，Q ＝a2x (a ＞0)．若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中一种商品所获得的纯利润总和不少于5万元，则a 的最小值应为( )A. 5 B ．5 C ．± 5D ．－ 5解析：设投入资金x 万元经销甲商品， 则经销乙商品投入资金(20－x )万元， 总利润y ＝P ＋Q ＝x 4＋a2·20－x .令y ≥5，则x 4＋a2·20－x ≥5，∴a 20－x ≥10－x2，即a ≥1220－x 对0≤x ＜20恒成立，而f (x )＝1220－x 的最大值为5，且x ＝20时，a 20－x ≥10－x2也成立，∴a min ＝ 5.答案：A5．(金榜预测) 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a <12)、4 m ，不考虑树的粗细．现在想用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD ，设此花圃的最大面积为S ，若将这棵树围在花圃内，则函数S ＝f (a )(单位m 2)的图象大致是( )解析：由题意知P (a,4)，设D (x ，y )(a ≤x <12)，S ＝xy ＝x ·(16－x )＝－(x －8)2＋64，若0<a ≤8，则当x ＝8时，S 取得最大值64；若8<a <12，则当x ＝a 时，S 取得最大值－(a －8)2＋64.答案：C6. 某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图为函数y ＝f (x )的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药的最迟时间应为( )A ．上午10：00B ．中午12：00C ．下午4：00D ．下午6：00解析：当x ∈[0,4]时，设y ＝k 1x ， 把(4,320)代入，得k 1＝80，∴y ＝80x . 当x ∈[4,20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4,320)，(20,0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k 2＋b ＝320，20k 2＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，b ＝400.∴y ＝400－20x .∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ， 0≤x ≤4400－20x ， 4＜x ≤20.由y ≥240，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，80x ≥240，或⎩⎪⎨⎪⎧4＜x ≤20，400－20x ≥240.解得3≤x ≤4或4＜x ≤8，∴3≤x ≤8. 故第二次服药最迟应在当日下午4：00. 答案：C 二、填空题7．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________．解析：总利润L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000 ＝－120(Q －300)2＋2 500.故当Q ＝300时，总利润最大值为2 500万元． 答案：2 500万元8．计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．解析：设计算机价格平均每年下降p %， 由题意可得13＝(1－p %)3，∴p %＝1－(13)，∴9年后的价格y ＝8 100[1＋(13)－1]9＝8 100×(13)3＝300(元)．答案：3009. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝(116)t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系为________________________________________________________________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．解析：(1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kx 过点(0.1,1)，则 1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)； 由y ＝(116)t －a 过点(0.1,1)得1＝(116)0.1－a，a ＝0.1，∴y ＝(116)t －0.1(t ＞0.1)．(2)由(116)t －0.1≤0.25＝14得t ≥0.6，故至少需经过0.6小时．答案：(1)y ＝三、解答题10．某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．(1)分别写出国外市场的日销售量f (t )与上市时间t 的关系及国内市场的日销售量g (t )与上市时间t 的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天，若没有，请说明理由．解：(1)题图①是两条线段，由一次函数及待定系数法，得f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ， 0≤t ≤30，－6t ＋240， 30＜t ≤40.题图②是一个二次函数的部分图象， 故g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)．(2)每件样品的销售利润h (t )与上市时间t 的关系为h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤20，60，20＜t ≤40.故国外和国内的日销售利润之和F (t )与上市时间t 的关系为F (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t－320t 2＋8t ，0≤t ≤20，60－320t 2＋8t ，20＜t ≤30，60－320t 2＋240，30＜t ≤40.当0≤t ≤20时，F (t )＝3t (－320 t 2＋8t )＝－920t 3＋24t 2，∴F ′(t )＝－2720t 2＋48t ＝t (48－2720t )≥0，∴F (t )在[0,20]上是增函数，∴F (t )在此区间上的最大值为F (20)＝6 000＜6 300. 当20＜t ≤30时，F (t )＝60(－320t 2＋8t )．由F (t )＝6 300，得3t 2－160t ＋2 100＝0， 解得t ＝703(舍去)或t ＝30.当30＜t≤40时，F(t)＝60(－320t2＋240)．由F(t)在(30,40]上是减函数，得F(t)＜F(30)＝6 300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300万元，为上市后的第30天．。
2020高考数学(理)一轮复习课时作业12函数模型及其应用 含解析
则y＝
由y＝22.6，解得x＝9.
答案：9
7．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为________米．
解析：设这个广场的长为x米，
则宽为 米．
所以其周长为l＝2 ≥800，
当且仅当x＝200时取等号．
答案：800
8．[2019·上海宝山区模拟]王先先购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)
答案：A
5．[2019·福建质检]当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为 n，由 n< 得n≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.
答案：C
二、填空题
6．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
答案：400
三、解答题
9．A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．
2020版全国通用高考数学一轮复习：第12课 函数模型及其应用
第12课函数模型及其应用1．利用函数图像刻画实际问题(1)(2015北京，5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．图12－2描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )图12－2A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案：D解析：汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”，由此选项A显然不对；选项B，应是甲车耗油最少；选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10千米/升，故消耗8升汽油；由图可知，当速度小于80千米/小时，丙车的燃油效率高于乙车，因此用丙车更省油，故选D. 2．函数模型的实际应用a．一次函数模型(2)(2015北京，5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升) 加油时累计里程(千米)2015年5月1日12 350002015年5月15日48 35600注：在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )A．6升B．8升C．10升D．12升答案：B解析：由题意知，2015年5月1日至2015年5月15日的耗油量为48升，行驶的路程为35600－35000＝600(千米)．设行驶的路程为x千米，耗油量为y升，则y与x之间的函数关系式为y＝kx(x>0)，∴每千米的平均耗油量为k ＝y x＝48600＝0.08(升/千米)，∴该车每100千米平均耗油量为0.08×100＝8(升)． b ．二次函数模型(3)(2018河南濮阳期末，5分)辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：上市时间x 天 4 10 36 市场价y 元905190根据上表数据，y(元)与上市时间x(天)的变化关系：①y ＝ax ＋b ；②y ＝ax 2＋bx ＋c ；③log b y a x =.利用你选取的函数，求：辽宁号航母纪念章市场价最低时，上市________天，最低价格为________元． 答案：20 26解析：根据题意知，随着x 的增加，y 的值先减后增，而所给的三个函数中，y ＝ax ＋b 和log b y a x =显然都是单调函数，不满足题意，∴所选函数为y ＝ax 2＋bx ＋c.把(4，90)，(10，51)，(36，90)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a·42＋4b ＋c ＝90，a·102＋10b ＋c ＝51，a·362＋36b ＋c ＝90，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－10，c ＝126，∴y ＝14x 2－10x ＋126＝14(x －20)2＋26，∴当x ＝20时，y 有最小值，y min ＝26.故辽宁号航母纪念章市场价最低时，上市20天，最低价格为26元． c ．指数函数模型(4)(2018北京海淀期中，5分)某商品的价格在近四年中不断波动，前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格相比较，变化情况是( ) A ．不增不减 B ．约增1.4% C ．约减9.2%D ．约减7.8% 答案：D解析：设该商品原价为a ，最后一年的价格为a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝0.9216a ，所以（1－0.9216）a a ×100%＝0.0784aa×100%＝7.84%，即比原来减少了7.84%.故选D. (5)(2018北京大兴一模,5分)恩格尔系数n ＝食品消费支出总额消费支出总额×100%，国际上常用恩格尔系数n 来衡量一个地区家庭的富裕程度．某地区家庭2018年底恩格尔系数n 为50%，刚达到小康，预计从2019年起该地区家庭每年消费支出总额增加10%，食品消费支出总额增加5%，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数n 满足30%<n ≤40%达到富裕水平至少经过( )(参考数据：lg0.6≈－0.22，lg0.8≈－0.09，lg21≈1.32，lg22≈1.34) A ．4年 B ．5年 C ．11年 D ．12年 答案：B解析：设该地区2018年底的食品消费支出总额为a ，则消费支出总额为2a.设x 年后达到富裕水平，则(10.05)2(10.1)x x a n a +=+×100%＝12×2122x ⎛⎫ ⎪⎝⎭×100%，∴30%<12×2122x ⎛⎫ ⎪⎝⎭×100%≤40%，即0.6<2122x⎛⎫ ⎪⎝⎭≤0.8，两边同取对数得lg0.6<x(lg21－lg22)≤lg0.8，即lg0.8lg21－lg22≤x<lg0.6lg21－lg22，而lg0.8lg21－lg22≈4.5，lg0.6lg21－lg22≈11，故最少需要5年．d ．对数函数模型(6)(经典题，12分)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y (单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过5万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(Ⅰ)若建立函数模型y ＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件； (Ⅱ)现有两个奖励函数模型：①y ＝120x ＋1；②2log 2y x =-.试分析这两个函数模型是否符合公司要求．答案：(Ⅰ)奖励函数模型y ＝f(x)满足的条件是： ⅰ.当x ∈[10，100]时，f(x)是增函数； ⅱ.当x ∈[10，100]时，0<f(x)≤5恒成立； ⅲ.当x ∈[10，100]时，0<f(x)≤x5恒成立(Ⅱ)函数模型①不符合，函数模型②符合 解：(Ⅰ)奖励函数模型y ＝f(x)满足的条件是： ⅰ.当x ∈[10，100]时，f(x)是增函数；(1分) ⅱ.当x ∈[10，100]时，0<f(x)≤5恒成立；(2分) ⅲ.当x ∈[10，100]时，0<f(x)≤x5恒成立．(3分)(Ⅱ)对于函数模型y ＝120x ＋1，它在[10，100]上是增函数，满足条件ⅰ；当x ＝80时，y ＝5，因此当x>80时，y>5，不满足条件ⅱ，故该函数模型不符合公司要求．(6分) 对于函数模型2log 2y x =-，它在[10，100]上是增函数，满足条件ⅰ；当x ＝100时，y max ＝21og 20l 0y =-＝22log 5<5，即f(x)≤5恒成立，满足条件ⅱ；设h(x)＝2log 2x -－15x ，则h′(x)＝2log e x－15， ∵x ∈[10，100]，∴1100≤1x ≤110，∴h′(x)≤2log e 10－15<210－15＝0，∴h(x)在[10，100]上是减函数，∴h(x)≤h(10)＝2log 104-<0，即f(x)≤x5恒成立，满足条件ⅲ，∴该函数模型符合公司要求．(11分)综上，函数模型2log 2y x =-符合公司要求．(12分)e ．对勾函数模型(7)(2018江苏扬州期末，16分)共享汽车的出现为我们的出行带来了极大的便利，当然也为投资商带来了丰厚的利润．某公司瞄准这一市场，准备投放共享汽车．该公司取得了在10个省份投放共享汽车的经营权，计划前期一次性投入16×106元．设在每个省投放共享汽车的市的数量相同(假设每个省的市的数量足够多)，每个市都投放1000辆共享汽车．由于各个市的多种因素的差异，在第n 个市的每辆共享汽车的管理成本为(kn ＋1000)元(其中k 为常数)．经测算，若每个省在5个市投放共享汽车，则该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用为1920元．(本题中不考虑共享汽车本身的费用)注：综合管理费用＝前期一次性投入的费用＋所有共享汽车的管理费用，平均综合管理费用＝综合管理费用÷共享汽车总数． (Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)要使该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，则每个省有几个市投放共享汽车？此时每辆共享汽车的平均综合管理费用为多少元？ 答案：(Ⅰ)200 (Ⅱ)4个市，1900元解：(Ⅰ) 每个省在5个市投放共享汽车，则所有共享汽车为10×1000×5辆，所有共享汽车管理费用总和为[(k ＋1000)＋(2k ＋1000)＋(3k ＋1000)＋(4k ＋1000)＋(5k ＋1000)]×1000×10＝(15k ＋5000)×10000＝(3k ＋1000)×50000，(4分)所以16×106＋（3k ＋1000）×5×10410×1000×5＝1920，解得k ＝200.(7分)(Ⅱ)设在每个省有n(n ∈N *)个市投放共享汽车，每辆共享汽车的平均综合管理费用为f(n)，由题设可知f(n)＝110×1000×n×{16×106＋[(200＋1000)＋(400＋1000)＋…＋(200n ＋1000)]×1000×10}＝1600＋200n （n ＋1）2＋1000nn ＝100n ＋1600n ＋1100≥2100n ·1600n＋1100＝1900，(13分)当且仅当100n ＝1600n，即n ＝4时，等号成立．(15分)答：每个省有4个市投放共享汽车时，每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，此时每辆共享汽车的平均综合管理费用为1900元．(16分) f ．分段函数模型(8)(2018陕西西安期中，12分)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目．经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5040x ，120≤x<144，12x 2－200x ＋80000，144≤x ≤500，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．(Ⅰ)当x ∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润，如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(Ⅱ)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 答案：(Ⅰ)不获利，5000元 (Ⅱ)400吨解：(Ⅰ)当x ∈[200，300]时，设该项目获利为f(x)元，则f(x)＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000＝－12x 2＋400x －80000＝－12(x －400)2，(3分)所以当x ∈[200，300]时，f(x)<0，因此该项目不会获利． 当x ＝300时，f(x)取得最大值，为－5000，所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．(5分) (Ⅱ)设二氧化碳每吨的平均处理成本为g(x)元，则g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5040x x，120≤x<144，12x 2－200x ＋80000x，144≤x ≤500，即g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－80x ＋5040，120≤x<144，12x ＋80000x －200，144≤x ≤500.(7分)①当x ∈[120，144)时，g(x)＝13x 2－80x ＋5040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，g(x)取得最小值240.(9分) ②当x ∈[144，500]时，g(x)＝12x ＋80000x －200≥212x ·80000x －200＝200，当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时，g(x)取得最小值200.(11分)因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．(12分) g ．其他函数模型(9)(2018河南焦作期中，12分)某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t 百万元，可增加销售额约为(－t 2＋7t)百万元．(Ⅰ)若该公司一年的广告费至多为4百万元，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？ (Ⅱ)现该公司准备共投入5百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(1≤x≤5)百万元，可增加的销售额约为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋4lnx 百万元．请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大．(注：收益＝销售额－投放，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入) 答案：(Ⅰ)3百万元 (Ⅱ)4百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销解：(Ⅰ)设投入t 百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，则有f(t)＝(－t 2＋7t)－t ＝－t 2＋6t ＝－(t －3)2＋9(0≤t ≤4)，(3分)所以当t ＝3时，f(t)取得最大值，最大值为9.即投入3百万元的广告费时，该公司由此增加的收益最大．(5分)(Ⅱ)若用于技术改造的资金为x 百万元，则用于广告促销的资金为(5－x)百万元，设由此增加的收益为g(x)百万元，则g(x)＝12x 2＋4lnx ＋[－(5－x)2＋7(5－x)]－5＝－12x 2＋3x ＋4lnx ＋5(1≤x ≤5)，(8分)所以2434(4)(1)()3x x x x g x x x x x'---+=-++=-=-(1≤x ≤5)． 令g′(x)＝0，解得x ＝4或x ＝－1(舍去)． 当1<x ＜4时，g′(x)＞0，g(x)是增函数； 当4＜x<5时，g′(x)＜0，g(x)是减函数．(11分) 所以当x ＝4时，g(x)取到最大值．即4百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此增加的收益最大．(12分)随堂普查练121．(经典题，5分)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是( )答案：A解析：由切线的几何意义知，对路程s 求导，切线的斜率表示的是速度．由题意，一开始加速行驶，也就是切线斜率越来越大；然后是匀速行驶，此时切线斜率保持不变；最后是减速行驶到停车，对应的切线斜率越来越小，直到斜率为0，因此对应的图像应该为A.2．(经典题，5分)王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)网络 月租费 本地话费 长途话费 甲：联通130 12元 0.36元/分 0.06元/秒 乙：移动“神州行”无0.60元/分0.07元/秒)的长途电话才合算．A ．300秒B ．400秒C ．500秒D ．600秒 答案：B解析：设王先生打长途电话的时间为x 秒，则打本地电话的时间为5x 秒，∴0.06x ＋0.36·5x60＋12≤0.07x＋0.6·5x60，解得x ≥400. 故选B.3．(2018安徽颍上月考，5分)某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件(卖不出去的商品可退还厂家)，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，销售价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件( ) A ．90元B ．190元 C ．100元D ．110元 答案：B解析：设销售价提高x 元，获得的利润为y 元，由题意得y ＝(100＋x －80)(1000－5x)＝－5x 2＋900x ＋20000＝－5(x －90)2＋60500(0≤x ≤200，xN)．故当x ＝90时，y 取得最大值，此时售价为每件190元．故选B.4．(2018北京顺义一模，5分)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：°C )满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0°C 的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时，则该食品在21°C 的保鲜时间是________小时． 答案：24解析：由已知条件，得192＝e b，∴b ＝ln192. 又∵48＝e 14k ＋b＝e14k ＋ln192＝192e 14k ＝192(e 7k )2，∴112274811e19242k⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设该食品在21°C 的保鲜时间是t 小时， 则t ＝e21k ＋ln192＝192e 21k＝192(e 7k )3＝192×312⎛⎫⎪⎝⎭＝24.5．(2019改编，5分)某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元；销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为4log y a x b =+，某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元． 答案：1024解析：依题意得44log 81, log 644,a b a b +=⎧⎨+=⎩即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，∴422log 2log 2y x x =-=-. 当y ＝8，即2log 2x -＝8时，x ＝1024. 故他的销售额应为1024万元．6．(2018北京丰台二模，5分)甲、乙两地相距500km ，一辆运输汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度v 不能超过120km/h.已知运输汽车每小时运输成本为29360250v ⎛⎫+⎪⎝⎭元，则全程运输成本y 与速度v 的函数关系是y ＝________，当运输汽车的行驶速度为________km/h 时，全程运输成本最小． 答案：1000018(0120)v v v ⎛⎫+< ⎪⎝⎭… 100 解析：运输汽车从甲地到乙地所用的时间为500v (0＜v ≤120)，则全程运输成本y ＝500v ·⎝ ⎛⎭⎪⎫9250v 2＋360＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫v ＋10000v (0＜v ≤120)， 而v ＋10000v≥2v ·10000v ＝200，当且仅当v ＝10000v，即v ＝100时取等号，故当运输汽车的行驶速度为100km/h 时，全程运输成本最小．7．(2018山东烟台期末，12分)某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12000元．公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠，每多一人，每人的培训费用减少10元．已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为x(x>0，xN *)人，每位员工的培训费用为y 元，培训机构的利润为Q 元． (Ⅰ)写出y 与x 之间的函数关系式；(Ⅱ)当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润．答案：(Ⅰ)**850,130,N 115010,3060,,Nx x y x x x ⎧∈=⎨-<∈⎩剟„ (Ⅱ)57或58人，最大利润为21060元 解：(Ⅰ)当1≤x ≤30且xN *时，y ＝850；当30<x ≤60且xN *时，y ＝850－10(x －30)＝1150－10x.∴y 与x 之间的函数关系式为**850,130,N 115010,300,N ,6.x x y x x x ⎧∈=⎨-<∈⎩剟„(5分) (Ⅱ)当1≤x ≤30且xN *时，Q ＝850x －12000，函数单调递增，∴当x ＝30时，Q 取得最大值，Q max ＝850×30－12000＝13500(元)；(8分)当30<x ≤60且xN *时，Q ＝(1150－10x)x －12000＝－10x 2＋1150x －12000，其函数图像为抛物线且开口向下，对称轴为x ＝1152＝57.5，∴当x ＝57或58时，Q 取得最大值，Q max ＝21060(元)．(11分)∵13500<21060，∴当x ＝57或58时，Q max ＝21060元，即当公司参加培训的员工为57或58人时，培训机构所获利润最大，最大利润为21060元．(12分) 8．(2018湖北宜昌期末，12分)已知某品牌手机公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且24006,040,()740040000,40.x x R x x xx -<⎧⎪=⎨->⎪⎩„(Ⅰ)写出年利润f(x)(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(Ⅱ)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．答案：(Ⅰ)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40000x －16x ＋7360，x>40(Ⅱ)32万部，最大利润为6104万美元 解：(Ⅰ)由“利润＝销售收入－成本”可得，当0＜x ≤40时，f(x)＝xR(x)－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40； 当x ＞40时，f(x)＝xR(x)－(16x ＋40)＝－40000x －16x ＋7360，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40000x －16x ＋7360，x>40.(5分)(Ⅱ)当0＜x ≤40时，f(x)＝－6x 2＋384x －40＝－6(x －32)2＋6104，∴x ＝32时，f(x)max ＝f(32)＝6104(万美元)；(8分)当x ＞40时，f(x)＝－40000x－16x ＋7360≤－240000x ·16x＋7360＝5760，当且仅当40000x＝16x ，即x ＝50时，f(x)max ＝f(50)＝5760(万美元)．(11分) ∵5760＜6104，∴当x ＝32时，f(x)max ＝6104万美元，即当年产量为32万部时所获利润最大，最大利润为6104万美元．(12分)9．(经典题，12分)某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图12－6所示，其中图1(一条折线)、图2(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图3是每件样品的销售利润与上市时间的关系．图12－6(Ⅰ)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t 的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t 的关系；(Ⅱ)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．答案：(Ⅰ)f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30＜t ≤40，g(t)＝－320t 2＋6t(0≤t ≤40)(Ⅱ)有可能，是上市后的第30天解：(Ⅰ)图1是两条线段，第一条线段经过(0，0)，(30，60)两点，第二条线段经过(30，60)，(40，0)两点，由待定系数法，得f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30<t ≤40.(2分)图2是一个二次函数的部分图像，图像经过(0，0)，(20，60)，(40，0)三点，易得g(t)＝－320t 2＋6t(0≤t ≤40)．(4分)(Ⅱ)有可能．图3是两条线段，第一条线段经过(0，0)，(20，60)，第二条线段经过(20，60)，(40，60)，故每件样品的销售利润h(t)与上市时间t 的关系为h(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤20，60，20<t ≤40，故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t 的关系为222338,020203()608,203020360240,3040.20t t t t F t t t t t t ⎧⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+<⎪ ⎪⎝⎭⎩，，剟„„(6分)当0≤t ≤20时，F(t)＝3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ＝－920t 3＋24t 2，∴F′(t)＝－2720t 2＋48t ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫48－2720t ≥0，∴F(t)在[0，20]上是增函数，∴F(t)在[0，20]上的最大值为F(20)＝6000<6300；(8分)当20<t ≤30时，F(t)＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ， 令F(t)＝6300，得3t 2－160t ＋2100＝0， 解得t ＝703(舍去)或t ＝30；(10分)当30<t ≤40时，F(t)＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240， 由F(t)在(30，40]上是减函数，得F(t)<F(30)＝6300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6300万元，是上市后的第30天．(12分)课后提分练11-12 函数与方程、函数模型及其应用A 组(巩固提升)1．(2018陕西商洛模拟，5分)函数f(x)＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(3，4)B ．(2，e)C ．(1，2)D ．(0，1) 答案：C解析：∵f(x)＝ln(x ＋1)－2x在(0，＋∞)上单调递增且连续，且f(1)＝ln2－2<0，f(2)＝ln3－1>0，∴f(1)·f(2)<0，∴函数f(x)的零点所在的大致区间是(1，2)．2．(2018湖南期末，5分)关于x 的方程cos π2x －lg|x|＝0的实根个数为( )A ．6B ．8C ．10D ．12 答案：C解析：由cos π2x －lg|x|＝0得cos π2x ＝lg|x|.显然y ＝cos π2x ，y ＝lg|x|都是偶函数，故只需讨论x>0时的情况．画出x>0时两个函数的图像，如图．结合图像可知x>0时有5个交点，故总共有10个交点，即方程的实根个数为10.3．(2018北京西城二模，5分)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2x，x ≤1，12x ＋a ，x>1，其中a ∈R.如果函数f(x)恰有两个零点，那么a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－12解析：令g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1，12x ，x>1，则f(x)＝g(x)＋a.令f(x)＝0，得g(x)＝－a.作出g(x)的图像，如图．函数f(x)恰有两个零点⇔函数g(x)的图像与直线y ＝－a 有两个交点．由图可知12<－a ≤2，解得－2≤a<－12.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－12. 4．(经典题，5分)函数f(x)的定义域为[－1，1]，图像如图11－1(1)所示，函数g(x)的定义域为[－2，2]，图像如图11－1(2)所示，方程f(g(x))＝0有m 个实数根，方程g(f(x))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( )图11－1A ．14B ．12C ．10D ．8 答案：A解析：由题图1可知，若f(g(x))＝0，则g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1. 由题图2可知，当g(x)＝－1时，x ＝－1或x ＝1；当g(x)＝0时， x ＝－1.5或x ＝1.5或x ＝0；当g(x)＝1时，x ＝2或x ＝－2，∴m ＝7. 由题图2可知，若g(f(x))＝0，则f(x)＝－1.5或f(x)＝1.5或f(x)＝0.由题图1可知，f(x)＝1.5与f(x)＝－1.5各有2个实数根；f(x)＝0有3个实数根，∴n ＝7.故m ＋n ＝14.5．(2018湖南名校联考，5分)已知函数f(x)＝222,12log (1),1,x x x x ⎧+⎪⎨⎪->⎩…则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－32的零点个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案：A解析：设t ＝f(x)，令F(x)＝0，则f(t)－2t －32＝0，∴f(t)＝2t ＋32，分别作出函数y ＝f(x)和y ＝2x ＋32的图像，如图所示．由图可得两函数图像有两个交点，设交点横坐标为t 1，t 2(t 1<t 2)，则t 1＝0，1＜t 2＜2.∵f(x)＝t 1＝0有1个实根，f(x)＝t 2(1＜t 2＜2)有3个不等实根，∴函数F(x)的零点个数为4.6．(经典题，5分)已知函数f(x)＝||2x－2＋b 的两个零点分别为x 1，x 2(x 1>x 2)，下列结论正确的是( )A ．1<x 1<2，x 1＋x 2<2B ．1<x 1<2，x 1＋x 2<1C ．x 1>1，x 1＋x 2<2D ．x 1>1，x 1＋x 2<1 答案：A解析：函数f(x)＝|2x－2|＋b 有两个零点，即函数y ＝|2x－2|与y ＝－b 的图像有两个交点，交点的横坐标就是x 1，x 2(x 1>x 2)．在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝－b 的图像，如图所示，由图像可知1<x 1<2.∵x 1≠x 2，∴1222220x x-+-=，即12124222xxx x +=+>∴1224x x +<，∴x 1＋x 2<2.7．(2018山东济南一模，5分)设x 1，x 2分别是函数f(x)＝x －a -x和g(x)＝log a x x －1的零点(其中a>1)，则124x x +的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞) 答案：D解析：令f(x)＝x －a -x＝0，g(x)＝log a x x －1＝0，所以当x>0时，1x ＝a x ，log a x ＝1x .分别作出函数y ＝1x，y ＝a x，y ＝log a x 的图像，如图．设交点A 111,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，B 221,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则0<1x <1，2x >1. ∵y ＝a x，y ＝log a x 的图像关于直线y ＝x 对称，y ＝1x 的图像也关于直线y ＝x 对称，∴点A ，B 关于直线y＝x 对称．∵点A 111,x x ⎛⎫⎪⎝⎭关于直线y ＝x 对称的点是111,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，∴111x x =，∴121144x x x x +=+.令y ＝x ＋4x (0<x<1)，由对勾函数的性质得y>5，故124x x +的取值范围是(5，＋∞)．8．(经典题，5分)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，0≤x ≤1，f （x －1）＋m ，x>1在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f(x)＝a 有且只有一个实数解，则函数g(x)＝f(x)－x 在区间[0，2n ](n ∈N *)上所有零点的和为________．答案：2n-1＋22n-1解析：∵函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1（0≤x ≤1），f （x －1）＋m （x>1）在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f(x)＝a 有且只有一个实数解，∴函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1（0≤x ≤1），f （x －1）＋m （x>1）在定义域[0，＋∞)上单调递增，且图像连续，21－1＝f(1－1)＋m ，即1＝20－1＋m ，∴m ＝1.画出函数f(x)的图像，如图所示．由图可知，函数f(x)的图像与直线y ＝x 的交点的横坐标分别为0，1，2，3，…，∴函数g(x)＝f(x)－x 在区间[0，2n](n ∈N *)上所有零点分别为0，1，2，3， (2)， ∴所有零点的和为2n（1＋2n）2＝2n-1＋22n-1，n ∈N *.9．(经典题，5分)已知函数f(x)＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a<b<c ，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)·f(1)>0；②f(0)·f(1)<0；③f(0)·f(3)>0；④f(0)·f(3)<0. 其中正确结论的序号是( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案：C解析：由题意可知f(x)有3个零点，设g(x)＝x 3－6x 2＋9x ＝ x(x －3)2，则f(x)＝g(x)－abc ，g′(x)＝3x 2－12x ＋9＝3(x 2－4x ＋3)＝ 3(x －3)(x －1)，令g′(x)＝0，得x ＝3或1，所以g(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，画出函数g(x)的图像，要使f(x)有3个零点，需将g(x)的图像向下平移至如图所示位置．由图像可知，f(0)·f(1)<0且f(0)·f(3)>0.故②③正确．10.(经典题，5分)向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h 随时间t 变化的函数h ＝f(t)的图像如图12－1所示，则杯子的形状是( )答案：A解析：从题图看出，在时间段[0，t 1]，[t 1，t 2]内水面高度是匀速上升的，且在[0，t 1]内上升慢，在[t 1，t 2]内上升快，故选A.11.6.(2019改编，5分)英国经济学家马尔萨斯在1798年提出了自然状态下的人口增长模型为：y ＝0y e rt，其中t 表示经过的时间(单位：年)，0y 表示t ＝0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率．若某国的人口年平均增长率为2%，该国2019年人口数量为m ，则( )年后，该国的人口翻一番(即2倍)．(注：ln2≈0.7)A ．25B ．30C ．35D ．40 答案：C解析：记2019年为起始年，即0y ＝m ，经过t 年后，人口翻一番，则2100e 2t m m ，∴t ＝50ln2≈50×0.7＝35，故选C.12.(2018北京延庆一模，5分)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t ，P)，点(t ，P)落在如图12－2所示的两条线段上．该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示，且Q 与t 满足一次函数关系，那么在这30天中，第( )天日交易额最大．图12－2第t 天 4 10 16 22 Q(万股)36302418A ．10B ．15C ．20D ．25 答案：B解析：由图像可知，当0≤t<20时，图像过点(0，2)，(20，6)，故P ＝15t ＋2；当20≤t ≤30时，图像过点(20，6)，(30，5)，故P ＝－110t ＋8.故P ＝⎩⎪⎨⎪⎧15t ＋2，0≤t<20，－110t ＋8，20≤t ≤30.由题意可设Q ＝kt ＋m ，把(4，36)，(10，30)代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧36＝4k ＋m ，30＝10k ＋m ，解得k ＝－1，m ＝40，∴Q ＝40－t.设日交易额为f(t)，则f(t)＝P·Q＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫15t ＋2（－t ＋40），0≤t<20，⎝ ⎛⎭⎪⎫－110t ＋8（－t ＋40），20≤t ≤30，即f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧－15t 2＋6t ＋80，0≤t<20，110t 2－12t ＋320，20≤t ≤30.当0≤t<20时，f(t)＝－15t 2＋6t ＋80＝－15(t －15)2＋125，∴f(t)max ＝f(15)＝125；当20≤t ≤30时，f(t)＝110t 2－12t ＋320＝110(t －60)2－40，∴f(t)max ＝f(20)＝120.综上，第15日的交易额最大，为125万元．B 组(冲刺满分)13.(2018安徽一模，5分)已知函数f(x)＝exx －kx(e 为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k的取值范围是( )A ．(0，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 24C ．(0，e) D ．(0，＋∞) 答案：B解析：∵函数f(x)＝e xx －kx 有且只有一个零点，∴方程e xx －kx ＝0只有一根，又∵x ≠0，∴k ＝exx 2.设g(x)＝e xx 2，则g′(x)＝e x（x －2）x3. 令g′(x)＝0，解得x ＝2，当x>2或x<0时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当0<x<2时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，∴当x ＝2时，g(x)的极小值g(2)＝e24，且当x<0时，g(x)∈(0，＋∞)，画出函数g(x)的图像如图，∴要使k ＝e x x 2只有一根，由图像可知，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 24.14.(经典题，12分)一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m(1≤m ≤4且mR)个单位的药剂，药剂在血液中的含量y(克)随着时间x(小时)变化的函数关系式近似为y＝m·f(x)，其中10,06,4()4,68.2x xf x x x ⎧<⎪⎪+=⎨⎪-⎪⎩…剟(Ⅰ)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(Ⅱ)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m 个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m 的最小值． 答案：(Ⅰ)203小时 (Ⅱ)65解：(Ⅰ)∵m ＝3，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧304＋x，0≤x ＜6，12－3x2，6≤x ≤8.(2分)当0≤x ＜6时，由304＋x≥2，解得x ≤11，∴0≤x ＜6；当6≤x ≤8时，由12－3x 2≥2，解得x ≤203，∴6≤x ≤203，∴0≤x ≤203.(5分)故若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗的时间可达203小时．(6分)(Ⅱ)(法一)当6≤x ≤8时，y ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 2＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤104＋（x －6）＝8－x ＋10m x －2.∵8－x ＋10m x －2≥2对6≤x ≤8恒成立，即m ≥x 2－8x ＋1210对6≤x ≤8恒成立，∴m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－8x ＋1210max(6≤x ≤8)．(9分)令g(x)＝x 2－8x ＋1210，则函数2(4)4()10x g x --=在[6，8]上是单调递增函数，∴当x ＝8时，函数g(x)＝x 2－8x ＋1210取得最大值65，∴m ≥65，即m 的最小值为65.(12分)(法二)当6≤x ≤8时，y ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 2＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤104＋（x －6）＝8－x ＋10m x －2. 注意到1y ＝8－x 及y 2＝10m x －2(1≤m ≤4且mR)均在x [6，8]上单调递减，∴y ＝8－x ＋10m x －2在x [6，8]上单调递减，(9分)∴y ≥8－8＋10m 8－2＝5m 3.由5m 3≥2，得m ≥65，∴m 的最小值为65.(12分)。
2020高考数学理科大一轮复习导学案《函数模型及应用》含答案
第九节函数模型及应用知识点一几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)1．(必修1P102例3)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( D )A ．收入最高值与收入最低值的比是B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元解析：由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是，故A 正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B 正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C 正确；由题图可知，前6个月的平均收入为16×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D 错误．2．(必修1P104例5)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件．解析：利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．知识点二 三种函数模型性质比较3．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为1_024个．解析：当t＝0.5时，y＝2，所以2＝e 12k，所以k＝2ln2，所以y＝e2t ln2，当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1 024.4．一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示，直线t ＝t0(0≤t0≤5)左侧部分阴影图形的面积的实际意义是在[0，t0]时间段内汽车行驶的里程．解析：根据速率与时间的关系可得．5．函数模型y＝0.25x，y＝log2x＋1，y＝1.002x，随着x的增大，增长速度的大小关系是y＝1.002x大于y＝0.25x的增长速度，y＝0.25x大于y＝log2x＋1的增长速度．解析：根据指数函数、幂函数、对数函数的增长速度关系可得．解函数应用题的步骤考向一 一次函数、二次函数模型的应用【例1】 (2019·山西运城模拟)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不能获利，那么国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【解】 (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ·80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000.因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能使该单位不亏损．在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．(1)某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160 请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为(C)A．4 B．5.5C．8.5 D．10(2)某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大(B) A．8元/件B．10元/件C．12元/件D．14元/件解析：(1)由题意可设定价为x元/件，利润为y元，则y＝(x－3)[400－40(x－4)]＝40(－x2＋17x－42)，故当x＝8.5时，y有最大值，故选C.(2)设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(0<x<10)．∴当x＝4时，y max＝340.即单价为10元/件，利润最大，故选B.考向二分段函数模型的应用【例2】已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元，设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R (x )＝⎩⎨⎧ 400－6x ，0<x ≤40，7 400x －40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，苹果公司在该款iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【解】 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40，当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以，W ＝⎩⎨⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40.－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104(万美元)；②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360， 由于40 000x ＋16x ≥240 000x ×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取最大值为6 104万美元．(1)分段函数的特征主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，分段函数模型的最值问题，应先求出每一段上的最值，然后比较大小.(2)构造分段函数时，要力求准确，简洁，做到分段合理保证不重不漏.为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500]，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 解：(1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S 元，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋400x －80 000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该项目不会获利．当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损．(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为y x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144)，12x ＋80 000x －200，x ∈[144，500]，当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，所以当x＝120时，y x 取得最小值240.当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ×80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x .即x ＝400时，y x 取得最小值200，所以该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．考向三 指数函数、对数函数模型的应用【例3】 已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是θ＝m ·2t ＋21－t (t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．【解】 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2t＋12t ，当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，即m ·2t ＋22t ≥2恒成立．亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝y ，则0<y ≤1，∴m ≥2(y －y 2)恒成立，由于y －y 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.,(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决；(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型；(3)y ＝a (1＋x )n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解.(1)(2019·长沙雅礼中学二模)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金的投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)( D )A ．2017年B ．2018年C ．2019年D ．2020年(2)我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg I I 0(其中I 0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的( C )A.76倍 B ．1076倍C ．10倍D ．ln 76 倍 解析：(1)设经过x 年后全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意可得130(1＋0.12)x ＝200，则x ＝log 1.122013，即x ＝lg20－lg13lg1.12＝1＋lg2－1－lg1.3lg1.12≈0.3－0.110.05≈4,2 016＋4＝2 020，故选D.(2)由η＝10lg I I 0得I ＝I 010 η10 ，所以I 1＝I 0107，I 2＝I 0106，所以I 1I 2＝10，所以70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的10倍，故选C.。
通用版2020版高考数学大一轮复习课时作业12函数模型及其应用理新人教A版20190313389
课时作业(十二)第12讲函数模型及其应用时间/ 45分钟分值/ 90分基础热身1.某公司招聘员工,面试对象人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=其中x代表拟录用人数,y代表面试对象人数.若面试对象人数为60,则该公司拟录用人数为()A.15B.40C.25D.702.某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的车,在A地的销售利润(单位:万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在两地共销售16辆这种品牌的车,则能获得的最大总利润是()A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元3.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了一组实验数据(如下表),现准备用下列四个函数中的一个来近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()A.y=2x-2B.y=(x2-1)C.y=log2xD.y=lo x4.某工厂产生的废气经过过滤后排放,在过滤过程中,污染物的含量p(单位:毫克/升)不断减少,已知p与时间t(单位:小时)满足p=p0-,其中p0为t=0时的污染物含量.又测得当t从0到30时,污染物含量的平均变化率是-10ln 2,则当t=60时,p=()A.150B.300C.150ln 2D.300ln 25.[2018·成都七中模拟]某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系式y=e kx+b(e为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃时的保鲜时间是192小时,在22 ℃时的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃时的保鲜时间是小时.能力提升6.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与产量x的关系式为R=-则总利润最大时,生产的产品为()A.100单位B.150单位C.200单位D.300单位7.气象学院用32万元购置了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启动的第1天开始连续使用,第n天的维修保养费为4n+46(n∈N*)元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少)为止,则一共要使用()A.300天B.400天C.600天D.800天8.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量(单位:cm3)为y=a e-bt,经过8 min后发现容器内还有一半的细沙,则当容器内的细沙只有开始时的八分之一时,又经过的时间为()A.8 minB.16 minC.24 minD.32 min9.[2018·北京东城区期中]光线通过一块玻璃,强度要损失10%.设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度为y,则经过x块这样的玻璃后光线强度y=k·0.9x,若光线强度能减弱到原来的以下,则至少通过这样的玻璃(lg 3≈0.477,lg 2≈0.3)()A.12块B.13块C.14块D.15块图K12-110.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图K12-1),为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,则截取的矩形铁片面积的最大值为.11.某商品价格y(单位:元)因上架时间x(单位:天)的不同而不同,假定商品的价格与上架时间的函数关系是y=k·a x(a>0且a≠1,x∈N*).若商品上架第1天的价格为96元,上架第3天的价格为54元,则该商品上架第4天的价格为元.12.(10分)在十九大报告中提出的新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略,包括“坚持人与自然和谐共生,加快生态文明体制改革,建设美丽中国”.目前我国一些高耗能低效产业(煤炭、钢铁、有色金属、炼化等)的产能过剩,将严重影响生态文明建设,“去产能”将是一项重大任务.十九大后,某行业计划从2018年开始,每年的产能比上一年减少的百分比为x(0<x<1),设n年后(2018年记为第1年)年产能为2017年的a倍.(1)请用a,n表示x.(2)若x=10%,则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%?参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477.13.(12分)[2018·南通模拟]秸秆还田是当今世界上普遍重视的一项培肥地力的增产措施,在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用.某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田,花137 600元购买了一台新型联合收割机,每年用于收割可以收入60 000元(已减去所用柴油费).该收割机每年都要定期进行维修保养,第一年由厂方免费维修保养,第二年及以后由该农机户付费维修保养,每年用于维修保养的费用y(元)与使用年数n的关系式为y=kn+b(n≥2,且n∈N*),已知第二年付费1800元,第五年付费6000元.(1)试求出该农机户每年用于维修保养的费用y(元)与使用年数n(n∈N*)的函数关系式.(2)这台收割机使用多少年可使年平均收益最大?(收益=收入-维修保养费用-购买机械费用)难点突破14.(13分)某市郊区有一加油站,2018年初汽油的存储量为50吨,计划从年初起每周初均购进汽油m吨,以满足城区内和城区外汽车用油需求.已知城区外汽车每周用油5吨;城区内汽车前x(1≤x≤16,x∈N*)周的汽油需求量y(单位:吨)与x的函数关系式为y=a(a为常数),且前4周城区内汽车的汽油需求量为100吨.(1)试写出第x(1≤x≤16,x∈N*)周结束时,汽油存储量M(单位:吨)与x的函数关系式;(2)要使16周内每周按计划购进汽油之后,加油站总能满足城区内和城区外汽车的用油需求,且每周结束时加油站的汽油存储量不超过150吨,试确定m的取值范围.课时作业(十二)1.C[解析] 当1≤x≤10时,y≤40;当x>100时,y>150.因此所求人数x∈(10,100],由2x+10=60,得x=25,故选C.2.C[解析] 依题意,设在A地销售x辆车,则在B地销售(16-x)辆车,所以总利润y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-0.1(x-10.5)2+0.1×10.52+32,因为x∈[0,16]且x∈N,所以当x=10或11时,y max=43.故选C.3.B[解析] 由y随x的变化趋势知,函数在(0,+∞)上是增函数,且y的增长速度随x的增大越来越快.A中函数增长速度不变,C中函数是增长速度逐渐变慢的函数,D中函数是减函数,故排除A,C,D,易知B中函数最符合题意.4.C[解析] 因为当t∈[0,30]时,污染物含量的平均变化率是-10ln 2,所以-10ln 2=-,所-以p0=600ln 2,所以当t=60时,p=600ln 2×2-2=150ln 2.5.24[解析] 由题意知192=e b,48=e22k+b,∴e22k=,∴当x=33时,y=e33k+b=192×=24.6.D[解析] 设总成本为C元,总利润为P元,则C=20 000+100x,--则P=R-C=-当0≤x≤400时,P=-x2+300x-20 000=-(x-300)2+25 000,x=300时,P取得最大值25 000; 当x>400时,P<20 000.所以当x=300时,P取得最大值,故选D.7.B[解析] 使用n天的平均耗资为=+2n+48(元),当且仅当=2n时取得最小值,此时n=400.8.B[解析] 依题意有a e-8b=a,即e-8b=,两边取对数,得-8b=ln=-ln 2,∴b=,∴y=a-.当容器内的细沙只有开始时的八分之一时,则有a-=a,∴-=,两边取对数,得-t=ln=-3ln 2,∴t=24,∴又经过的时间为24-8=16(min).故选B.9.C[解析] 由题意知0.9x k<,即0.9x<,两边同时取对数,可得x lg 0.9<lg,∵lg 0.9<lg 1=0,∴x>=-≈13.04,-又x∈N*,∴至少通过14块这样的玻璃,光线强度能减弱到原来的以下.故选C.,即x=(24-y)(8≤y<24),10.180[解析] 依题意知-=--所以阴影部分的面积S=xy=(24-y)·y=(-y2+24y)=-(y-12)2+180,当y=12时,S取得最大值180,故答案为180.11.40.5[解析] 由题意可得方程组结合a>0且a≠1,可得则y=128×,则该商品上架第4天的价格为128×==40.5(元).12.解:(1)依题意得(1-x)n=a,即1-x=a,即x=1-(n∈N*).(2)由题得(1-10%)n≤25%,即≤,则n lg≤lg,即n(2lg 3-1)≤-2lg 2,则n≥-,又-≈13.09,n∈N*,∴ 的最小值为14.故至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.13.解:(1)依题意知,当n=2时,y=1800;当n=5时,y=6000,则解得-所以y=-且∈(2)记使用n年,年平均收益为W元,则当n≥2时,W=60 000-[137 600+1400(2+3+…+n)-1000(n-1)]=60 000-137600+1400×--1000(n-1)=60 000-(137 200+700n2-300n)=60 300-≤60 300-2·=40 700,当且仅当700n=,即n=14时取等号,所以这台收割机使用14年可使年平均收益最大.14.解:(1)由已知条件得100=a解得a=50,所以y=50(1≤x≤16,x∈N*),所以M=mx-5x-50+50(1≤x≤16,x∈N*).(2)由题意知,0≤M≤150,所以----(1≤x≤16,x∈N*)恒成立,即-(1≤x≤16,x∈N*)恒成立.设t=,则≤t≤1,所以-恒成立.由m≥-50t2+50t+5=-50-+恒成立, 得m≥当t=,即x=4时取等号;由m≤100t2+50t+5=100-≤t≤1恒成立, 得m≤当t=,即x=16时取等号.所以m的取值范围是.。
高考数学一轮复习课后限时集训12函数模型及其应用理含解析新人教A版
＋－
2
＋＋－
，原生产总值为a，则a(1＋p)(1＋＋＋
．(20xx·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限中普通物质的原子总
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中不正确的是(
单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
－，
月份
一月份
－，
阴影部分)，则其边
，解得y＝40－x，所以
－
当且仅当x ＝11
4
A B
C D
，排除B和C；当θ＝0时，y取得最小值－．某公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司20xx 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%
万元的年份是________．(参考数据：lg 1.1＝
－b－a
＝5－1
2
或λ＝
－5－1
2。
2020版高考数学一轮复习课时作业12《 函数模型及应用》(含解析)
课时作业12函数模型及应用一、选择题1.下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(A)x 45678910y 15171921232527A.C.指数函数模型D.对数函数模型解析：由表中数据知x，y满足关系y＝13＋2(x－3).故为一次函数模型.2.某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款.现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是(D)A.不能确定B.①②同样省钱C.②省钱D.①省钱解析：方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元)，方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元)，因为210<211.6，故方法①省钱.3.一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走，那么(D)A.人可在7 s内追上汽车B.人可在10 s内追上汽车C.人追不上汽车，其间距最少为5 mD.人追不上汽车，其间距最少为7 m解析：设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米，则s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7，当t ＝6时，d 取得最小值为7.4.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( D )A.p ＋q 2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C.pqD.(p ＋1)(q ＋1)－1解析：设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1).设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝(p ＋1)(q ＋1)－1.故选D.5.李冶(1192—1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)( B )A.10步，50步B.20步，60步C.30步，70步D.40步，80步解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步.故选B.6.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t 30 ，其中M 0为t ＝0时铯137的含量.已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M (60)＝( D )A.5太贝克B.75ln 2太贝克C.150ln 2太贝克D.150太贝克 解析：由题意M ′(t )＝M 02－t 30 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln2，M ′(30)＝M 02－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln2＝－10ln2，∴M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2＝150.故选D.二、填空题7.某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是108元.解析：设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.8.某人根据经验绘制了2017年春节前后，从1月21日至2月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月26日大约卖出了西红柿1909千克.解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎨⎧ 10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.9.已知某驾驶员喝了m 升酒后，血液中酒精的含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律近似满足表达式f (x )＝⎩⎨⎧ 5x －2，0≤x ≤1，35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x >1，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量应不超过0.02毫克/毫升.则此驾驶员至少要过4小时后才能开车.(精确到1小时)解析：驾驶员醉酒1小时血液中酒精含量为5－1＝0.2，要使酒精含量≤0.02毫克/毫升，则35⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤0.02，∴x ≥log 330＝1＋log 310>1＋log 39＝3，故至少要4个小时后才能开车.三、解答题10.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)每吨平均成本为y x (万元).则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2x 5·8 000x －48＝32，当且仅当x 5＝8 000x ，即x ＝200时取等号.所以年产量为200吨时，每吨产品的平均成本最低，为32万元.(2)设年获得总利润为R (x )万元，则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210).因为R (x )在[0,210]上是增函数，所以x ＝210时，R (x )有最大值，为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.所以年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.11.某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超过4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元.(1)写出每户每月用水量x (吨)与支付费用y (元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x ∈N *)如下表：1元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：解：(1)y 关于x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ≤4，4x －8，4<x ≤6，6x －20，x >6.(2)由(1)知：当x＝3时，y＝6；当x＝4时，y＝8；当x＝5时，y＝12；当x＝6时，y＝16；当x＝7时，y＝22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为112×(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元).(3)由(1)和题意知：当y≤12时，x≤5，所以“节约用水家庭”＝77%，据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%. 的频率为7710012.(2017·北京卷)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3.①记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是Q1；②记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是p2.解析：①设线段A i B i的中点为C i(x i，y i)，则Q i＝2y i(i＝1,2,3).因此只需比较C1，C2，C3三个点纵坐标的大小即可.不难发现y1最大，所以Q 1最大.②由题意，知p i ＝y i x i(i ＝1,2,3).故只需比较三条直线OC 1，OC 2，OC 3的斜率即可，发现p 2最大.13.牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同.假定保鲜时间y (单位：h)与储藏温度x (单位：℃)间的关系为指数型函数y ＝k ·a x (k ≠0).若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是192 h ，而在22 ℃的厨房中，保鲜时间约是42 h.(1)写出保鲜时间y 关于储藏温度x 的函数解析式.(2)如果把牛奶分别储藏在10 ℃和5 ℃的两台冰箱中，哪一台冰箱储藏牛奶保鲜时间较长？为什么？(参考数据：22732≈0.93)解：(1)保鲜时间y 与储藏温度x 间的关系符合指数型函数y ＝k ·a x (k ≠0)，则⎩⎨⎧ ka 0＝192，ka 22＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝192，a ＝22732≈0.93，故所求函数解析式为y ＝192×0.93x .(2)设f (x )＝192×0.93x ，因为f (x )是减函数，且10>5，所以f (10)<f (5)，所以把牛奶储藏在5 ℃的冰箱中，牛奶保鲜时间较长.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用14.我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推.若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( C )A.2[x ＋1]B.2([x ]＋1)C.2{x }D.{2x }解析：如x ＝1时，应付费2元，此时2[x ＋1]＝4,2([x ]＋1)＝4，排除A 、B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1，排除D ，故选C.15.某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：Q 与上市时间t 的变化关系.Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是120；(2)最低种植成本是80(元/100 kg).解析：根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at 2＋bt ＋c ，且开口向上，对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120，代入数据⎩⎪⎨⎪⎧ 3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.。
通用版2020版高考数学大一轮复习第12讲函数模型及其应用学案理3
第12讲函数模型及其应用1.三种函数模型的性质的比较函数性质y=a x(a>1)y=log a x(a>1)y=x n(n>0)在(0,+∞)上的增减性单调单调单调增长速度越来越快越来越慢相对平稳2.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)反比例函数模型f(x)=kx+b(k,b为常数且k≠0)指数函数模型f(x)=ba x+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)对数函数模型f(x)=b log a x+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)幂函数模型f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)常用结论1.函数f(x)=xx +xx(a>0,b>0,x>0)在区间(0,√xx]上单调递减,在区间[√xx,+∞)上单调递增.2.直线上升、对数缓慢、指数爆炸.题组一常识题1.[教材改编]函数模型y1=0.25x,y2=log2x+1,y3=1.002x,随着x的增大,增长速度的大小关系是.(填关于y1,y2,y3的关系式)图2-12-12.[教材改编]在如图2-12-1所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是.3.[教材改编]某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.把平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S表示为x的函数是.4.[教材改编]已知某物体的温度Q(单位:摄氏度)随时间t(单位:分钟)的变化规律为Q=m·2t+21-t(t≥0,且m>0).若物体的温度总不低于2摄氏度,则m的取值范围是. 题组二常错题◆索引:审题不清致错;忽视限制条件;忽视实际问题中实际量的单位、含义、范围等;分段函数模型的分界把握不到位.5.一枚炮弹被发射后,其升空高度h与时间t的函数关系式为h=130t-5t2,则该函数的定义域是.6.某物体一天中的温度T是关于时间t的函数,且T=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是℃,当t=0时表示中午12:00,其后t值为正,则上午8时该物体的温度是.7.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(米/秒)关于燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v=2000·ln(1+xx).当燃料质量是火箭质量的倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.8.已知A,B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地,则汽车离开A地的距离S(千米)关于时间t(小时)的函数表达式是.探究点一一次、二次函数模型例1 某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为12 000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:若公司参加培训的员工人数不超过30人,则每人的培训费用为850元;若公司参加培训的员工人数多于30人,则给予优惠,每多一人,培训费减少10元,但参加培训的员工人数最多为70.已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为x,每位员工的培训费为y元,培训机构的利润为Q元.(1)写出y与x(x>0,x∈N*)之间的函数关系式.(2)当公司参加培训的员工有多少人时,培训机构可获得最大利润?并求出最大利润.[总结反思] 在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时,一定要注意自变量的取值范围,即函数的定义域,解决函数应用问题时,最后还要还原到实际问题中.变式题整改校园内一块长为15 m,宽为11 m的长方形草地(如图2-12-2),将长减少1 m,宽增加1 m,问草地面积是增加了还是减少了?假设长减少x m,宽增加x m(x>0),试研究以下问题:x取什么值时,草地面积减少?x取什么值时,草地面积增加?图2-12-2探究点二 指数、对数函数模型例2 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v m/s,鲑鱼的耗氧量的单位数为x ,研究中发现v 与log 3x 100(x ≥100)成正比,且当x=300时,v=12. (1)求出v 关于x 的函数解析式.(2)计算一条鲑鱼的游速是32 m/s 时耗氧量的单位数. (3)当鲑鱼的游速增加1 m/s 时,其耗氧量是原来的几倍?[总结反思] 与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题,在求解时,要先学会合理选择模型.(1)在两类函数模型中,指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型.(2)在解决这两类函数模型时,一般先要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图像求解最值问题.变式题 将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中,t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶中的水量相等,若再过m min 后甲桶中的水只有x4 L,则m的值为 ( ) A .5 B .8 C .9 D .10探究点三 分段函数模型例3 某群体的人均通勤时间是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S 中x %(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间(单位:分钟)为f (x )={30,0<x ≤30,2x +1800x -90,30<x <100,而公交群体的人均通勤时间不受x 影响,恒为40分钟.试根据上述分析结果回答下列问题: (1)当x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间? (2)求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式,讨论g (x )的单调性,并说明其实际意义.[总结反思] (1)某些实际问题中的变量关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,所以应建立分段函数模型;(2)构建分段函数时,要力求准确、简捷、合理、不重不漏;(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大值(或最小值).变式题 某科研小组研究发现:一棵水果树的产量w (单位:百千克)与肥料费用x (单位:百元)满足如下关系式:w={12x 2+1(0≤x ≤2),4-31+x (2<x ≤5).此外,还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x 百元.已知这种水果的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克),且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为L (x )(单位:百元). (1)求L (x )的函数表达式.(2)当投入的肥料费用为多少时,该棵水果树获得的利润最大?最大利润是多少?第12讲 函数模型及其应用考试说明 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 【课前双基巩固】 知识聚焦1.递增 递增 递增 对点演练1.y 3>y 1>y 2 [解析] 根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得.2.[10,30] [解析] 设矩形的另一边长为y m,由相似三角形的性质可得x 40=40-x40(0<x<40),解得y=40-x (0<x<40),∴矩形的面积S=x (40-x ).∵矩形花园的面积不小于300 m 2,∴x (40-x )≥300,即(x-10)(x-30)≤0,解得10≤x ≤30,满足0<x<40,故其边长x (单位:m)的取值范围是[10,30].3.S=800x +x8 [解析] 由题意知,每件产品的生产准备费用是800x 元,仓储费用是(x8×1)元,所以每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S=800x +x8.4.[12,+∞) [解析] 物体的温度总不低于2摄氏度,即Q ≥2恒成立,即m ·2t+22x ≥2恒成立,即m ≥2(12x-122x)恒成立.令12x =x ,则0<x ≤1,m ≥2(x-x 2), 由于当0<x ≤1时,x-x 2≤14,所以m ≥12.因此,当物体的温度总不低于2摄氏度时,m 的取值范围是[12,+∞). 5.[0,26] [解析] 令h ≥0,解得0≤t ≤26,故所求定义域为[0,26].6.8 ℃ [解析] 由题意知,上午8时即t=-4,因此所求温度T=(-4) 3-3×(-4)+60=8(℃). 7.e 6-1 [解析] 由题意可得12 000=2000ln (1+x x ),则ln (1+x x )=6,解得1+xx =e 6,所以x x=e 6-1,故填e 6-1.8.S={60x (0≤x ≤2.5),150(2.5<x ≤3.5),325-50x (3.5<x ≤6.5) [解析] 当0≤t ≤2.5时,S=60t ;当2.5<t ≤3.5时,S=150;当3.5<t ≤6.5时,S=150-50(t-3.5)=325-50t. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)根据题意,分0<x ≤30(x ∈N *)和30<x ≤60(x ∈N *)两种情况考虑;(2)利润是用每人的培训费用乘培训人数再减去成本,根据一次函数与二次函数的性质分别求得最大值,然后比较即可.解:(1)依题意得,当0<x ≤30时,y=850; 当30<x ≤60时,y=850-10(x-30)=-10x+1150. ∴y={850,0<x ≤30,x ∈N *,-10x +1150,30<x ≤60,x ∈N *.(2)当0<x ≤30,x ∈N *时,Q=850x-12 000, 当x=30时,Q 取得最大值,即Q max =13 500. 当30<x ≤60,x ∈N *时,Q=(-10x+1150)x-12 000=-10x 2+1150x-12 000 =-10(x -1152)2+42 1252,当x=57或58时,Q 取得最大值,即Q max =21 060.∵21 060>13 500,∴当公司参加培训的员工人数为57或58时,培训机构可获得最大利润21 060元.变式题 解:原草地面积S 1=11×15=165(m 2), 整改后草地面积为S=14×12=168(m 2),∵S>S 1,∴整改后草地面积增加了.研究:长减少x m,宽增加x m 后,草地面积为S 2=(11+x )(15-x ).∵S 1-S 2=165-(11+x )(15-x )=x 2-4x , ∴当0<x<4时,x 2-4x<0,即S 1<S 2;当x=4时,x 2-4x=0,即S 1=S 2; 当x>4时,x 2-4x>0,即S 1>S 2.综上所述,当0<x<4时,草地面积增加; 当x=4时,草地面积不变;当x>4时,草地面积减少.例2 [思路点拨] (1)用待定系数法求解;(2)将v=32代入解析式,解方程求x 即可;(3)设原来的游速为v 0 m/s,耗氧量的单位数为x 0,游速增加1 m/s 后为(v 0+1) m/s,耗氧量的单位数为x ,分别代入解析式后,两式消去v 0,整理可得.解:(1)设v=k log 3x100(k ≠0), 当x=300时,v=12,解得k=12,∴v 关于x 的函数解析式为v=12log 3x100(x ≥100).(2)当游速为32m/s 时,由解析式得32=12log 3x100,∴log 3x 100=3,∴x100=27,解得x=2700,即耗氧量的单位数为2700.(3)设原来的游速为v 0 m/s,耗氧量的单位数为x 0,游速增加1 m/s 后为(v 0+1) m/s,耗氧量的单位数为x ,则v 0=12log 3x0100,①v 0+1=12log 3x100,②②-①得1=12log 3x 100-12log 3x 0100=12log 3xx 0,∴log 3x x 0=2,∴xx 0=32=9,∴耗氧量是原来的9倍.变式题 A [解析] ∵5 min 后甲桶和乙桶中的水量相等,∴函数y=f (t )=a e nt 满足f (5)=a e 5n =12a ,可得n=15ln 12.设k min 后甲桶中的水只有x4L,则f (k )=14a ,即15ln 12·k=ln 14,即15ln 12·k=2ln 12,解得k=10, 故m=10-5=5.故选A .例3 [思路点拨] (1)求出f (x )>40时x 的取值范围即可;(2)分段求出g (x )的解析式,判断g (x )的单调性,再说明其实际意义.解:(1)由题意知,当30<x<100时,由f(x)=2x+1800x-90>40,即x2-65x+900>0,解得x<20或x>45,∴当x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.(2)当0<x≤30时,g(x)=30·x%+40(1-x%)=40-x10;当30<x<100时,g(x)=(2x+1800x -90)·x%+40(1-x%)=x250-1310x+58.∴g(x)={40-x10(0<x≤30),x250-1310x+58(30<x<100).当0<x<32.5时,g(x)单调递减;当32.5<x<100时,g(x)单调递增.说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最少.变式题解:(1)L(x)=16w-2x-x={8x2+16-3x(0≤x≤2), 64-481+x-3x(2<x≤5).(2)当0≤x≤2时,L(x)max=L(2)=42;当2<x≤5时,L(x)=67-[48x+1+3(x+1)]≤67-2√48x+1×3(x+1)=43,当且仅当48x+1=3(x+1),即x=3时等号成立.由于42<43,所以当投入的肥料费用为300元时,该棵水果树获得的利润最大,最大利润为4300元.【备选理由】例1为一次函数与二次函数模型问题,需要分情况讨论求最值;例2是一道指数函数模型应用问题,需要两边取对数求解;例3为分段函数模型,需要对函数求导得最值,运算量较大.例1[配合例1使用] 旅行社为某旅游团包飞机去旅游,其中旅行社的包机费为15 000元.旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅游团人数不多于30,则飞机票每张收费900元;若旅游团人数多于30,则给予优惠,每多1人,机票费每张减少10元,但旅游团人数最多为75.(1)写出飞机票的价格关于旅游团人数的函数关系式. (2)旅游团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?解:(1)设旅游团人数为x ,飞机票价格为y 元,依题意知,当1≤x ≤30,且x ∈N *时,y=900;当30<x ≤75,且x ∈N *时,y=900-10(x-30)=-10x+1200. 所以所求函数关系式为y={900,1≤x ≤30,x ∈N *,-10x +1200,30<x ≤75,x ∈N *. (2)设利润为f (x )元,则由(1)知f (x )=y ·x-15 000={900x -15 000,1≤x ≤30,x ∈N *,-10x 2+1200x -15 000,30<x ≤75,x ∈N *. 当1≤x ≤30,且x ∈N *时,f (x )max =f (30)=12 000;当30<x ≤75,且x ∈N *时,f (x )max =f (60)=21 000.因为21 000>12 000, 所以旅游团人数为60时,旅行社可获得最大利润.例2 [配合例2使用] 衣柜里的樟脑丸随着时间推移会挥发,从而体积变小,若它的体积V 随时间t 的变化规律是V=V 0e110x (e 为自然对数的底数),其中V 0为初始值.若V=x 03,则t 的值约为 .(运算结果保留整数,参考数据:lg 3≈0.477 1,lg e ≈0.434 3) [答案] 11 [解析] 由题知V 0e 110x =x 03,即e110x =13=3-1,所以-110t=ln 3-1=-ln 3,所以t=10ln 3=10×lg3lg e ≈10×0.477 10.434 3≈11.例3 [配合例3使用] 某经销商计划销售一款新型的电子产品,经市场调研发现以下规律:当每台电子产品的利润为x (单位:元,x>0)时,销售量q (x )(单位:百台)与x 之间的关系满足:若x 不超过25,则q (x )=x +11;若x 大于或等于225,则销售量为零;当25≤x ≤225时,q (x )=a-b √x (a ,b 为实常数). (1)求函数q (x )的表达式.(2)当x 为多少时,总利润(单位:元)最大?并求出该最大值. 解:(1)当25≤x ≤225时,由{x -x ·√25=400,x -x ·√225=0,得{x =600,x =40.故q(x)={√x+11<x≤25,600-40√x,25<x≤225, 0,x>225.(2)设总利润为f(x),则f(x)=100q(x)·x,由(1)得f(x)={√x+11<x≤25,60 000x-4000x√x,25<x≤225, 0,x>225.当0<x≤25时,f(x)=√x+11=240 000√x+11-√x+11,f(x)在(0,25]上单调递增,所以当x=25时,f(x)有最大值1 000 000.当25<x≤225时,f(x)=60 000x-4000x√x,f'(x)=60 000-6000√x, 令f'(x)=0,得x=100,当25<x<100时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当100<x≤225时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以当x=100时,f(x)有最大值2 000 000.当x>225时,f(x)=0.故当x为100时,总利润最大,为2 000 000元.。
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∴y＝－x＋1000(500≤x≤800)；
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第12讲 │要点探究
(2)S＝xy－500y＝x(－x＋1000)－500(－x＋1000)＝－(x－ 750)2＋62500(500≤x≤800)，∴当销售单价是750元/件时，可获得最 大毛利润62500元，此时销售量为250件．
(2)∵0<5≤10，∴f(5)＝－52＋24×5＋100＝－25＋120＋100 ＝195，∵20<25≤45，∴f(25)＝－7×25＋380＝－175＋380＝205， ∴f(5)<f(25)，即讲课开始后 25 分钟学生的注意力比与讲课开始 后 5 分钟学生的注意力更集中；
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12
第12讲 │要点探究
f(t)＝240，
10<t≤20，
－7t＋380， 20<t≤45.
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10
第12讲 │要点探究
(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多 少分钟？
(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟相比，何时学生 的注意力更集中？
(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意 力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所 需状态下讲授完这道题目？
logax(a>1)，幂函数y＝xn(n>0)都是增函数，但它们增长速度不 同．随着x的增大，指数函数y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，
会超过并远远大于幂函数y＝xn(n>0)的增长速度，而对数函数y
＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，图象逐渐表示为与x轴 趋于平行，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有 logax<xn<ax.
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课时作业(十二) 第12讲 函数模型及其应用时间 / 45分钟 分值 / 90分 基础热身1.某公司招聘员工,面试对象人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y={4x ,1≤x ≤10,2x +10,10<x ≤100,1.5x ,x >100,其中x 代表拟录用人数,y 代表面试对象人数.若面试对象人数为60,则该公司拟录用人数为 ( ) A .15 B .40 C .25D .702.某汽车销售公司在A ,B 两地销售同一种品牌的车,在A 地的销售利润(单位:万元)为y 1=4.1x-0.1x 2,在B 地的销售利润(单位:万元)为y 2=2x ,其中x 为销售量(单位:辆).若该公司在两地共销售16辆这种品牌的车,则能获得的最大总利润是 ( )A .10.5万元B .11万元C .43万元D .43.025万元3.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了一组实验数据(如下表),现准备用下列四个函数中的一个来近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )A .y=2x-2B .y=12(x 2-1) C .y=log 2xD .y=lo g 12x4.某工厂产生的废气经过过滤后排放,在过滤过程中,污染物的含量p (单位:毫克/升)不断减少,已知p 与时间t (单位:小时)满足p=p 02-x30,其中p 0为t=0时的污染物含量.又测得当t 从0到30时,污染物含量的平均变化率是-10ln 2,则当t=60时,p= ( ) A .150 B .300 C .150ln 2 D .300ln 25.[2018·成都七中模拟] 某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储藏温度x (单位:℃)满足函数关系式y=ekx+b(e 为自然对数的底数,k ,b 为常数).若该食品在0 ℃时的保鲜时间是192小时,在22 ℃时的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃时的保鲜时间是 小时.能力提升6.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与产量x的关系式为R={400x-12x2,0≤x≤400,80 000,x>400,则总利润最大时,生产的产品为()A.100单位B.150单位C.200单位D.300单位7.气象学院用32万元购置了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启动的第1天开始连续使用,第n天的维修保养费为4n+46(n∈N*)元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少)为止,则一共要使用()A.300天B.400天C.600天D.800天8.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量(单位:cm3)为y=a e-bt,经过8 min后发现容器内还有一半的细沙,则当容器内的细沙只有开始时的八分之一时,又经过的时间为()A.8 minB.16 minC.24 minD.32 min9.[2018·北京东城区期中]光线通过一块玻璃,强度要损失10%.设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度为y,则经过x块这样的玻璃后光线强度y=k·0.9x,若光线强度能减弱到原来的14以下,则至少通过这样的玻璃(lg 3≈0.477,lg 2≈0.3)()A.12块B.13块C.14块D.15块图K12-110.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图K12-1),为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,则截取的矩形铁片面积的最大值为.11.某商品价格y(单位:元)因上架时间x(单位:天)的不同而不同,假定商品的价格与上架时间的函数关系是y=k·a x(a>0且a≠1,x∈N*).若商品上架第1天的价格为96元,上架第3天的价格为54元,则该商品上架第4天的价格为元.12.(10分)在十九大报告中提出的新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略,包括“坚持人与自然和谐共生,加快生态文明体制改革,建设美丽中国”.目前我国一些高耗能低效产业(煤炭、钢铁、有色金属、炼化等)的产能过剩,将严重影响生态文明建设,“去产能”将是一项重大任务.十九大后,某行业计划从2018年开始,每年的产能比上一年减少的百分比为x(0<x<1),设n年后(2018年记为第1年)年产能为2017年的a倍.(1)请用a,n表示x.(2)若x=10%,则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%?参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477.13.(12分)[2018·南通模拟]秸秆还田是当今世界上普遍重视的一项培肥地力的增产措施,在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用.某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田,花137 600元购买了一台新型联合收割机,每年用于收割可以收入60 000元(已减去所用柴油费).该收割机每年都要定期进行维修保养,第一年由厂方免费维修保养,第二年及以后由该农机户付费维修保养,每年用于维修保养的费用y(元)与使用年数n的关系式为y=kn+b(n≥2,且n∈N*),已知第二年付费1800元,第五年付费6000元.(1)试求出该农机户每年用于维修保养的费用y(元)与使用年数n(n∈N*)的函数关系式.(2)这台收割机使用多少年可使年平均收益最大?(收益=收入-维修保养费用-购买机械费用)难点突破14.(13分)某市郊区有一加油站,2018年初汽油的存储量为50吨,计划从年初起每周初均购进汽油m 吨,以满足城区内和城区外汽车用油需求.已知城区外汽车每周用油5吨;城区内汽车前x (1≤x ≤16,x ∈N *)周的汽油需求量y (单位:吨)与x 的函数关系式为y=a √x (a 为常数),且前4周城区内汽车的汽油需求量为100吨.(1)试写出第x (1≤x ≤16,x ∈N *)周结束时,汽油存储量M (单位:吨)与x 的函数关系式; (2)要使16周内每周按计划购进汽油之后,加油站总能满足城区内和城区外汽车的用油需求,且每周结束时加油站的汽油存储量不超过150吨,试确定m 的取值范围.课时作业(十二)1.C [解析] 当1≤x ≤10时,y ≤40;当x>100时,y>150.因此所求人数x ∈(10,100],由2x+10=60,得x=25,故选C .2.C [解析] 依题意,设在A 地销售x 辆车,则在B 地销售(16-x )辆车,所以总利润y=4.1x-0.1x 2+2(16-x )=-0.1x 2+2.1x+32=-0.1(x-10.5)2+0.1×10.52+32,因为x ∈[0,16]且x∈N,所以当x=10或11时,y max =43.故选C .3.B [解析] 由y 随x 的变化趋势知,函数在(0,+∞)上是增函数,且y 的增长速度随x 的增大越来越快.A 中函数增长速度不变,C 中函数是增长速度逐渐变慢的函数,D 中函数是减函数,故排除A,C,D,易知B 中函数最符合题意.4.C [解析] 因为当t ∈[0,30]时,污染物含量的平均变化率是-10ln 2,所以-10ln 2=12x 0-x 030-0,所以p 0=600ln 2,所以当t=60时,p=600ln 2×2-2=150ln 2. 5.24 [解析] 由题意知192=e b,48=e22k+b,∴e 22k=14,∴当x=33时,y=e33k+b=192×(14)32=24.6.D [解析] 设总成本为C 元,总利润为P 元,则C=20 000+100x ,则P=R-C={300x -x 22-20 000,0≤x ≤400,60 000-100x ,x >400.当0≤x ≤400时,P=-12x 2+300x-20 000=-12(x-300)2+25 000,x=300时,P 取得最大值25 000;当x>400时,P<20 000.所以当x=300时,P 取得最大值,故选D . 7.B [解析] 使用n 天的平均耗资为320 000+(50+4x +46)x2x=320 000x+2n+48(元),当且仅当320 000x=2n时取得最小值,此时n=400.8.B [解析] 依题意有a e -8b=12a ,即e -8b=12,两边取对数,得-8b=ln 12=-ln 2,∴b=ln28,∴y=a e-ln28x .当容器内的细沙只有开始时的八分之一时,则有a e -ln28x =18a ,∴e -ln28x =18,两边取对数,得-ln28t=ln 18=-3ln 2,∴t=24,∴又经过的时间为24-8=16(min).故选B .9.C [解析] 由题意知0.9xk<x4,即0.9x<14, 两边同时取对数,可得x lg 0.9<lg 14,∵lg 0.9<lg 1=0,∴x>lg14lg0.9=-2lg22lg3-1≈13.04,又x ∈N *,∴至少通过14块这样的玻璃,光线强度能减弱到原来的14以下.故选C .10.180 [解析] 依题意知20-x 20=x -824-8,即x=54(24-y )(8≤y<24),所以阴影部分的面积S=xy=54(24-y )·y=54(-y 2+24y )=-54(y-12)2+180,当y=12时,S 取得最大值180,故答案为180.11.40.5 [解析] 由题意可得方程组{x ×x 1=96,x ×x 3=54,结合a>0且a ≠1,可得{x =34,x =128,则y=128×(34)x ,则该商品上架第4天的价格为128×(34)4=812=40.5(元). 12.解:(1)依题意得(1-x )n=a , 即1-x=√a x ,即x=1-√x x (n ∈N *). (2)由题得(1-10%)n≤25%,即(910)x≤14, 则n lg 910≤lg 14,即n (2lg 3-1)≤-2lg 2,则n ≥2lg21-2lg3,又2lg21-2lg3≈13.09,n ∈N *,∴n 的最小值为14.故至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%. 13.解:(1)依题意知,当n=2时,y=1800;当n=5时,y=6000, 则{1800=2x +x ,6000=5x +x ,解得{x =1400,x =-1000, 所以y={0,x =1,1400x -1000,x ≥2且x ∈N *.(2)记使用n 年,年平均收益为W 元,则当n ≥2时,W=60 000-1x [137 600+1400(2+3+…+n )-1000(n-1)]=60 000-1x137600+1400×(x -1)(x +2)2-1000(n-1)=60 000-1x (137 200+700n 2-300n )=60 300-(700x +137 200x)≤60 300-2√700x ·137 200x=40 700,当且仅当700n=137 200x,即n=14时取等号,所以这台收割机使用14年可使年平均收益最大. 14.解:(1)由已知条件得100=a √4,解得a=50, 所以y=50√x (1≤x ≤16,x ∈N *),所以M=mx-5x-50√x +50(1≤x ≤16,x ∈N *). (2)由题意知,0≤M ≤150,所以{xx -5x -50√x +50≥0,xx -5x -50√x +50≤150(1≤x ≤16,x ∈N *)恒成立,即{x ≥-50x √x +5,x ≤100x+x+5(1≤x ≤16,x ∈N *)恒成立.设t=√x,则14≤t ≤1, 所以{x ≥-50x 2+50x +5,x ≤100x 2+50x +5(14≤x ≤1)恒成立.由m ≥-50t 2+50t+5=-50(x -12)2+352(14≤x ≤1)恒成立,得m ≥352当t=12,即x=4时取等号;由m ≤100t 2+50t+5=100(x +14)2-5414≤t ≤1恒成立,得m ≤954当t=14,即x=16时取等号. 所以m 的取值范围是[352,954].。