2014届武汉市二月调考数学试题(WORD版)

武汉市2014届高三2月调研测试数 学（理科）2014.2.20一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数m (3＋i)－(2＋i)（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为 A ．2，6 B ．2，7 C ．3，6 D ．3，73．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2，则a 与b 的夹角为A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 4．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加A ．47尺B ．1629尺C ．815尺D ．1631尺5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入某个正整数n 后，输出的S ∈(31，72)，则n 的值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．若(9x －13x )n （n ∈N *）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为A ．252B ．－252C ．84D ．－847．设a ，b ∈R ，则“a 1－b 2＋b 1－a 2＝1”是“a 2＋b 2＝1”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点（点E 与B 1不重合），且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G ．设AB ＝2AA 1＝2a ．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，记该点取自于几何体A 1ABFE-D 1DCGH 内的概率为P ，当点E ，F 分别在棱A 1B 1，BB 1上运动且满足EF ＝a 时，则P 的最小值为D 1C 1 B 1A1 ABCDE GF HA ．1116B ．34C ．1316D ．789．若S 1＝⎠⎛121x d x ，S 2＝⎠⎛12(ln x ＋1)d x ，S 3＝⎠⎛12x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 1＜S 3＜S 2D ．S 3＜S 1＜S 210．如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD ，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上．若双曲线以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为A ．3＋1B ．23＋2C ．3－1D ．23－2二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题）11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．12．曲线y ＝sin xx 在点M (π，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D （包含三角形内部与边界）．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋4y 的最大值为 ． 13．如下图①②③④所示，它们都是由小正方形组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n 个图形包含的小正方形个数为f (n )，则 （Ⅰ）f (5)＝ ；（Ⅱ）f (n )＝ ．14．已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x＋m 在区间[0，π2]上的最大值为3，则（Ⅰ）m ＝ ；（Ⅱ）对任意a ∈R ，f (x )在[a ，a ＋20π]上的零点个数为 ．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE⌒＝AC ⌒，DE 交AB 于点F ．若AB ＝4，BP ＝3，则PF ＝ ． 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线ρ(2cos θ－sin θ)－a ＝0与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝1＋sin2θ．（θ为参数）有两个不同的交点，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin(A －B )＝cos C ．（Ⅰ）若a ＝32，b ＝10，求c ；（Ⅱ）求a cos C －c cos Ab的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知数列{a n }满足a 1＞0，a n ＋1＝2－|a n |，n ∈N *． （Ⅰ）若a 1，a 2，a 3成等比数列，求a 1的值；（Ⅱ）是否存在a 1，使数列{a n }为等差数列？若存在，求出所有这样的a 1；若不存在，说明理由．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5．（Ⅰ）求直线B 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值；（Ⅱ）在线段BC 1上确定一点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值．20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）用X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的分布列和数学期望．21．（本小题满分13分）如图，矩形ABCD 中，|AB |＝22，|BC |＝2．E ，F ，G ，H 分别是矩形四条边的中点，分别以HF ，EG 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，已知→OR ＝λ→OF ，→CR ′＝λ→CF ，其中0＜λ＜1．（Ⅰ）求证：直线ER 与GR ′的交点M 在椭圆Γ：x 22＋y 2＝1上；（Ⅱ）若点N 是直线l ：y ＝x ＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F 1、F 2分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF 1和NF 2与椭圆Γ的交点分别为P 、Q 和S 、T ．是否存在点N ，使得直线OP 、OQ 、OS 、OT 的斜率k OP 、k OQ 、k OS 、k OT 满足k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝0？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数f (x )＝e x －1－tx ，∃x 0∈R ，使f (x 0)≤0，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）证明：b －a b ＜ln b a ＜b －aa ，其中0＜a ＜b ；（Ⅲ）设[x ]表示不超过x 的最大整数，证明：[ln(1＋n )]≤[1＋12＋…＋1n ]≤1＋[ln n ]（n ∈N *）．武汉市2014届高三2月调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．B 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．D 9．A 10．D 二、填空题11．3π2＋ 3 12．4 13．（Ⅰ）41；（Ⅱ）2n 2－2n ＋1 14．（Ⅰ）0；（Ⅱ）40或41 15．215 16．[0，12) 三、解答题 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由sin(A －B )＝cos C ，得sin(A －B )＝sin(π2－C )．∵△ABC 是锐角三角形，∴A －B ＝π2－C ，即A －B ＋C ＝π2， ① 又A ＋B ＋C ＝π， ② 由②－①，得B ＝π4．由余弦定理b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，得(10)2＝c 2＋(32)2－2c ×32cos π4， 即c 2－6c ＋8＝0，解得c ＝2，或c ＝4．当c ＝2时，b 2＋c 2－a 2＝(10)2＋22－(32)2＝－4＜0， ∴b 2＋c 2＜a 2，此时A 为钝角，与已知矛盾，∴c ≠2．故c ＝4．……………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），知B ＝π4，∴A ＋C ＝3π4，即C ＝3π4－A ．∴a cos C －c cos A b ＝sin A cos C －cos A sin C sin B ＝sin(A －C )22＝2sin(2A －3π4)． ∵△ABC 是锐角三角形，∴π4＜A ＜π2，∴－π4＜2A －3π4＜π4，∴－22＜sin(2A －3π4)＜22，∴－1＜a cos C －c cos A b＜1． 故a cos C －c cos A b的取值范围为(－1，1)．………………………………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵a 1＞0，∴a 2＝2－|a 1|＝2－a 1，a 3＝2－|a 2|＝2－|2－a 1|．当0＜a 1≤2时，a 3＝2－(2－a 1)＝a 1，∴a 21＝(2－a 1)2，解得a 1＝1．当a 1＞2时，a 3＝2－(a 1－2)＝4－a 1，∴a 1(4－a 1)＝(2－a 1)2，解得a 1＝2－2（舍去）或a 1＝2＋2．综上可得a 1＝1或a 1＝2＋2．……………………………………………………6分 （Ⅱ）假设这样的等差数列存在，则由2a 2＝a 1＋a 3，得2(2－a 1)＝a 1＋(2－|2－a 1|)，即|2－a 1|＝3a 1－2． 当a 1＞2时，a 1－2＝3a 1－2，解得a 1＝0，与a 1＞2矛盾；当0＜a 1≤2时，2－a 1＝3a 1－2，解得a 1＝1，从而a n ＝1（n ∈N *），此时{a n }是一个等差数列；综上可知，当且仅当a 1＝1时，数列{a n }为等差数列．………………………12分19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵AA 1C 1C 为正方形，∴AA 1⊥AC ．∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ， ∴AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ．由已知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，∴AB ⊥AC ．如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A-xyz ，则B (0，3，0)，A 1(0，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(4，0，4)，∴→A 1B ＝(0，3，－4)，→A 1C 1＝(4，0，0)，→B 1C 1＝(4，－3，0)． 设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·→A 1B ＝0，n ·→A 1C 1＝0．即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0．令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，∴n ＝(0，4，3)． 设直线B 1C 1与平面A 1BC 1所成的角为θ，则 sin θ＝|cos ＜→B 1C 1，n ＞|＝|→B 1C 1·n ||→B 1C 1||n |＝3×45×5＝1225．故直线B 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为1225．………………………………6分 （Ⅱ）设D (x ，y ，z )是线段BC 1上一点，且→BD ＝λ→BC 1（λ∈[0，1]），∴(x ，y －3，z )＝λ(4，－3，4)，∴x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ， ∴→AD ＝(4λ，3－3λ，4λ)． 又→A 1B ＝(0，3，－4)，由→AD ·→A 1B ＝0，得3(3－3λ)－4×4λ＝0， 即9－25λ＝0，解得λ＝925∈[0，1]．故在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ．此时BD BC 1＝λ＝925．…………………………………………………………………12分20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”． 则A ＝A 1·A 2．P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14．………………………………………………4分 （Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2．记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”， B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”， B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18， P (X ＝2)＝P (B 1-·B 3)＝P (B 1-)P (B 3)＝14， P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58． ∴X 的分布列为∴E (X )＝0×18＋1×58＋2×14＝98．………………………………………………12分21．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，得F (2，0)，C (2，1)．由→OR ＝λ→OF ，→CR ′＝λ→CF ，得R (2λ，0)，R ′(2，1－λ)． 又E (0，－1)，G (0，1)，则直线ER 的方程为y ＝12λx －1， ①直线GR ′的方程为y ＝－λ2x ＋1． ② 由①②，得M (22λ1＋λ2，1－λ21＋λ2)．∵(22λ1＋λ2)22＋(1－λ21＋λ2)2＝4λ2＋(1－λ2)2(1＋λ2)2＝(1＋λ2)2(1＋λ2)2＝1，∴直线ER 与GR ′的交点M 在椭圆Γ：x 22＋y 2＝1上．…………………………5分（Ⅱ）假设满足条件的点N (x 0，y 0)存在，则直线NF 1的方程为y ＝k 1(x ＋1)，其中k 1＝y 0x 0＋1，直线NF 2的方程为y ＝k 2(x －1)，其中k 2＝y 0x 0－1．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x ＋1)，x 22＋y 2＝1．消去y 并化简，得(2k 21＋1)x 2＋4k 21x ＋2k 21－2＝0． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 212k 21＋1，x 1x 2＝2k 21－22k 21＋1．∵OP ，OQ 的斜率存在，∴x 1≠0，x 2≠0，∴k 21≠1． ∴k OP ＋k OQ ＝y 1x 1＋y 2x 2＝k 1(x 1＋1)x 1＋k 1(x 2＋1)x 2＝2k 1＋k 1·x 1＋x 2x 1x 2＝k 1(2－4k 212k 21－2)＝－2k 1k 21－1．同理可得k OS ＋k OT ＝－2k 2k 22－1． ∴k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝－2(k 1k 21－1＋k 2k 22－1)＝－2·k 1k 22－k 1＋k 21k 2－k 2(k 21－1)(k 22－1)＝－2(k 1＋k 2)(k 1k 2－1)(k 21－1)(k 22－1)． ∵k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝0，∴－2(k 1＋k 2)(k 1k 2－1)(k 21－1)(k 22－1)＝0，即(k 1＋k 2)(k 1k 2－1)＝0． 由点N 不在坐标轴上，知k 1＋k 2≠0， ∴k 1k 2＝1，即y 0x 0＋1·y 0x 0－1＝1． ③ 又y 0＝x 0＋2， ④ 解③④，得x 0＝－54，y 0＝34．故满足条件的点N 存在，其坐标为（－54，34）．………………………………13分22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）若t ＜0，令x ＝1t ，则f (1t )＝e t 1－1－1＜0；若t ＝0，f (x )＝e x －1＞0，不合题意； 若t ＞0，只需f (x )min ≤0．求导数，得f ′(x )＝e x －1－t ． 令f ′(x )＝0，解得x ＝ln t ＋1． 当x ＜ln t ＋1时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(－∞，ln t ＋1)上是减函数； 当x ＞ln t ＋1时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(ln t ＋1，＋∞)上是增函数． 故f (x )在x ＝ln t ＋1处取得最小值f (ln t ＋1)＝t －t (ln t ＋1)＝－t ln t ． ∴－t ln t ≤0，由t ＞0，得ln t ≥0，∴t ≥1．综上可知，实数t 的取值范围为(－∞，0)∪[1，+∞)．…………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ），知f (x )≥f (ln t ＋1)，即e x －1－tx ≥－t ln t ．取t ＝1，e x －1－x ≥0，即x ≤e x －1．当x ＞0时，ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时，等号成立， 故当x ＞0且x ≠1时，有ln x ＜x －1．令x ＝b a ，得ln b a ＜b a －1（0＜a ＜b ），即ln b a ＜b －a a ．令x ＝a b ，得ln a b ＜a b －1（0＜a ＜b ），即－ln b a ＜a －b b ，亦即ln b a ＞b －a b ．综上，得b －a b ＜ln b a ＜b －aa ．………………………………………………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ），得b －a b ＜ln b a ＜b －aa ．令a ＝k ，b ＝k ＋1（k ∈N *），得1k ＋1＜ln k ＋1k ＜1k ．对于ln k ＋1k ＜1k ，分别取k ＝1，2，…，n ， 将上述n 个不等式依次相加，得 ln 21＋ln 32＋…＋ln n ＋1n ＜1＋12＋…＋1n ， ∴ln(1＋n )＜1＋12＋…＋1n ． ①对于1k ＋1＜ln k ＋1k ，分别取k ＝1，2，…，n －1，将上述n －1个不等式依次相加，得12＋13＋…＋1n ＜ln 21＋ln 32＋…＋ln n n －1，即12＋13＋…＋1n ＜ln n （n ≥2）， ∴1＋12＋…＋1n ≤1＋ln n （n ∈N *）． ② 综合①②，得ln(1＋n )＜1＋12＋…＋1n ≤1＋ln n ． 易知，当p ＜q 时，[p ]≤[q ]，∴[ln(1＋n )]≤[1＋12＋…＋1n ]≤[1＋ln n ]（n ∈N *）． 又∵[1＋ln n ]＝1＋[ln n ]，∴[ln(1＋n )]≤[1＋12＋…＋1n ]≤1＋[ln n ]（n ∈N *）．……………………………14分。