【真卷】2017年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷(文科)

2017年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）复数z满足（z+2i）i=1+i，则z=（）A．1+3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i2．（5分）设集合M={x|0≤x≤3}，N={x|x2﹣3x﹣4＜0}，则M∩N=（）A．[﹣1，3]B．（﹣1，3）C．[0，3]D．[﹣1，4]3．（5分）命题“y=f（x）（x∈M）是奇函数”的否定是（）A．∃x∈M，f（﹣x）=﹣f（x） B．∀x∈M，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∀x∈M，f（﹣x）=﹣f（x）D．∃x∈M，f（﹣x）≠﹣f（x）4．（5分）非零向量满足，且与的夹角为，则=（）A．B．C．D．25．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最大值为（）A．4 B．C．D．26．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为80，则判断框内应填入（）A．n≤8？B．n＞8？C．n≤7？D．n＞7？7．（5分）已知直线l：mx+y﹣1=0（m∈R）是圆C：x2+y2﹣4x+2y+1=0的对称轴，过点A（﹣2，m）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|为（）A．4 B．C．D．38．（5分）从装有3个红球和2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有2个红球的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象，可以将函数y=cos2x﹣sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位10．（5分）已知直线y=2x﹣3与抛物线y2=4x交于A，B两点，O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为k1，k2，则（）A．B．2 C．D．11．（5分）如图是某个几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的直径为（）A．2 B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=ae x﹣x﹣2a有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．B． C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数f（x）=的定义域为．14．（5分）在△ABC中，角C=60°，tan+tan=1，则tan•tan=．15．（5分）在平面直角坐标系中，设A、B、C是曲线y=上三个不同的点，且D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，则过D、E、F三点的圆一定经过定点．16．（5分）若函数f（x）=ln（ax2+x）在区间（0，1）上单调递增，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，满足．（1）求a1及通项公式a n；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1，为CC1的中点．（1）求证：DB1⊥平面ABD；（2）求点A1到平面ADB1的距离．19．（12分）如图所示茎叶图记录了甲、乙两组5名工人制造某种零件的个数（1）求甲组工人制造零件的平均数和方差；（2）分别从甲、乙两组中随机选取一个工人，求这两个工人制造的零件总数不超过20的概率．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，F2与椭圆上点的连线的中最短线段的长为．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）已知Γ上存在一点P，使得直线PF1，PF2分别交椭圆Γ于A，B，若，求直线PB的斜率．21．（12分）已知函数f（x）=xe x﹣ae2x（a∈R）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：f（x2）＞﹣．四．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．选修4-4：参数方程与极坐标系22．（10分）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为，⊙C的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ．（1）求直线l和⊙C的普通方程；（2）若直线l与圆⊙C交于A，B两点，求弦AB的长．23．（10分）（1）求函数y=2|x﹣1|﹣|x﹣4|的值域；（2）若不等式2|x﹣1|﹣|x﹣a|≥﹣1在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．2017年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）复数z满足（z+2i）i=1+i，则z=（）A．1+3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i【解答】解：由（z+2i）i=1+i，得，∴z=1﹣3i．故选：B．2．（5分）设集合M={x|0≤x≤3}，N={x|x2﹣3x﹣4＜0}，则M∩N=（）A．[﹣1，3]B．（﹣1，3）C．[0，3]D．[﹣1，4]【解答】解：∵集合M={x|0≤x≤3}，N={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，∴M∩N={x|0≤x≤3}=[0，3]．故选：C．3．（5分）命题“y=f（x）（x∈M）是奇函数”的否定是（）A．∃x∈M，f（﹣x）=﹣f（x） B．∀x∈M，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∀x∈M，f（﹣x）=﹣f（x）D．∃x∈M，f（﹣x）≠﹣f（x）【解答】解：命题“y=f（x）（x∈M）是奇函数”的否定，∃x∈M，f（﹣x）≠﹣f （x），故选：D．4．（5分）非零向量满足，且与的夹角为，则=（）A．B．C．D．2【解答】解：∵，且；∴=；又；∴；∴．故选B．5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最大值为（）A．4 B．C．D．2【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（﹣2，﹣2），化目标函数z=x﹣3y为y=，由图可知，当直线y=过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为﹣2+6=4．故选：A．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为80，则判断框内应填入（）A．n≤8？B．n＞8？C．n≤7？D．n＞7？【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=1，a=3执行循环体，S=3，a=5不满足条件，执行循环体，n=2，S=8，a=7不满足条件，执行循环体，n=3，S=15，a=9不满足条件，执行循环体，n=4，S=24，a=11不满足条件，执行循环体，n=5，S=35，a=13不满足条件，执行循环体，n=6，S=48，a=15不满足条件，执行循环体，n=7，S=63，a=17不满足条件，执行循环体，n=8，S=80，a=19由题意，此时满足条件，退出循环，输出的S结果为80，则判断框内应填入n＞7？故选：D．7．（5分）已知直线l：mx+y﹣1=0（m∈R）是圆C：x2+y2﹣4x+2y+1=0的对称轴，过点A（﹣2，m）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|为（）A．4 B．C．D．3【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x+2y+1=0，即（x﹣2）2+（y+1）2 =4，表示以C（2，﹣1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：mx+y﹣1=0经过圆C的圆心（2，﹣1），故有2m﹣1﹣1=0，∴m=1，点A（﹣2，1）．∵AC=，CB=R=2，∴切线的长|AB|==4．故选A．8．（5分）从装有3个红球和2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有2个红球的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从装有3个红球和2个白球的袋中任取3个球，基本事件总数n==10，所取的3个球中至少有2个红球包含的基本事件个数：m==7，∴所取的3个球中至少有2个红球的概率：p==．故选：C．9．（5分）为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象，可以将函数y=cos2x﹣sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：∵y=sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=cos2（x﹣）y=cos2x﹣sin2x=（cos2x﹣sin2x）=cos2（x+）=cos2[（x+）﹣]，∴只需将函数y=cos2x﹣sin2x的图象向右平移个单位可得函数y=sin2x+cos2x 的图象．故选：A．10．（5分）已知直线y=2x﹣3与抛物线y2=4x交于A，B两点，O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为k1，k2，则（）A．B．2 C．D．【解答】解：直线y=2x﹣3与抛物线y2=4x联立，可得y2﹣2y﹣6=0，∴y=1±，∴A（2+，1+），B（2﹣，1﹣），∴=+=，故选A．11．（5分）如图是某个几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的直径为（）A．2 B．C．D．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体如图：四棱锥S﹣BCDE，是正方体的一部分，正方体的棱长为2；所以几何体外接球为正方体外接球，该几何体外接球的直径为2．故选D．12．（5分）若函数f（x）=ae x﹣x﹣2a有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．B． C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）【解答】解：函数f（x）=ae x﹣x﹣2a的导函数f′（x）=ae x﹣1，当a≤0时，f′（x）≤0恒成立，函数f（x）在R上单调，不可能有两个零点；当a＞0时，令f′（x）=0，得x=ln，函数在（﹣∞，ln）递减，在（ln，+∞）递增，所以f（x）的最小值为f（ln）=1﹣ln﹣2a=1+lna﹣2a，令g（a）=1+lna﹣2a，（a＞0），g′（a）=，a，g（a）递增，a递减，∴∴f（x）的最小值为f（ln）＜0，函数f（x）=ae x﹣x﹣2a有两个零点；综上实数a的取值范围是：（0，+∞），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数f（x）=的定义域为[0，1] ．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣x2≥0，即x2﹣x≤0，解得0≤x≤1，即函数的定义域为[0，1]．故答案：[0，1]．14．（5分）在△ABC中，角C=60°，tan+tan=1，则tan•tan=1﹣．【解答】解：由题意：角C=60°，tan+tan=1，根据cot=tan（）=，可得：=，解得：tan•tan=故答案为：115．（5分）在平面直角坐标系中，设A、B、C是曲线y=上三个不同的点，且D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，则过D、E、F三点的圆一定经过定点（1，0）．【解答】解：曲线y=的对称中心为（1，0），取过对称中心直线与曲线交于A，B，A，B中点为对称中心（1，0），∴过D、E、F三点的圆一定经过定点（1，0）．故答案为（1，0）．16．（5分）若函数f（x）=ln（ax2+x）在区间（0，1）上单调递增，则实数a的取值范围为a≥﹣．【解答】解：若函数f（x）=ln（ax2+x）在区间（0，1）上单调递增，即函数g（x）=ax2+x在（0，1）递增，a=0时，g（x）=x在（0，1）递增，符合题意，a＞0时，g（x）的对称轴x=﹣＜0，g（x）在（0，1）递增，符合题意，a＜0时，需满足g（x）的对称轴x=﹣≥1，解得：a≥﹣，综上，a≥﹣，故答案为：a≥﹣．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，满足．（1）求a1及通项公式a n；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，满足，∴n=1时，S3=4S1+6，∴a1+a2+a3=4a1+6，①n=2时，a1+a2+a3+a4=4（a1+a2）+6，②由②﹣①，得，∴q2=4，∵q＞0，∴q=2，由①式知，∴a1（1+2+4）=4a1+6，3a1=6，解得a1=2，∴．（2）∵，∴T n=，③∴=，④由③﹣④，得：=﹣=﹣=1﹣﹣，∴T n=2﹣．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1，为CC1的中点．（1）求证：DB1⊥平面ABD；（2）求点A1到平面ADB1的距离．【解答】证明：（1）在平面四边形BCC1B1中，∵BC=CD=DC1=1，∠BCD=60°，∴BD=1，∵B1D=，BB1=2，∴∠BDB1=90°，∴B1D⊥BD，∵AB⊥面BB1C1C，∴AB⊥DB1，∴B1D与平面ABD内两相交直线AB和BD同时垂直，∴DB1⊥平面ABD．解：（2）对于四面体A1﹣ADB1，A1到直线DB1的距离即A1到面BB1C1C的距离，A1到B1D的距离为2，设A1到面B1D的距离为h，△ADB 1为直角三角形，==，∴=，∵==2，D到平面AA 1B1的距离为，∴==，∵=，∴，解得h=．∴点A1到平面ADB1的距离为．19．（12分）如图所示茎叶图记录了甲、乙两组5名工人制造某种零件的个数（1）求甲组工人制造零件的平均数和方差；（2）分别从甲、乙两组中随机选取一个工人，求这两个工人制造的零件总数不超过20的概率．【解答】解：（1）甲组工人制零件数为：9，9，10，10，12，∴甲组工人制造零件的平均数：=（9+9+10+10+12）=10，方差为S2=[（9﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2]=．（2）由题意甲、乙两组工人制造零件中的个数分别是：甲：9，9，10，10，12；乙：8，9，9，10，11，甲组中5名工人分别记为a，b，c，d，e，乙组5名工人分别记为A，B，C，D，E，分别从甲、乙两组中随机选取1个工人，共有25种方法，制造零件总数超过20的有：eB，eC，eD，eE，dE，cE，共6种，∴这两个工人制造的零件总数不超过20的概率：p=1﹣=．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，F2与椭圆上点的连线的中最短线段的长为．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）已知Γ上存在一点P，使得直线PF1，PF2分别交椭圆Γ于A，B，若，求直线PB的斜率．【解答】解：（1）椭圆的离心率为，∴=，…①右焦点F2与椭圆上点的连线的中最短线段的长为，即a﹣c=﹣1；…②由①②解得a=，c=1，∴b==1；∴椭圆Γ的标准方程是+y2=1；（2）设点P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l PA的方程为：x=my﹣1；由，消去x，得（m2+1）y2﹣2my﹣1=0；则y0•y1=﹣，又=，∴m=；∴=﹣=﹣=（m2+2）=[+2]=+2=+2﹣；∴=3+2x0，∴2+2x0=2，解得x 0=﹣，∴P（﹣，±），∴K PB===；故直线PB的斜率为±．21．（12分）已知函数f（x）=xe x﹣ae2x（a∈R）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：f（x2）＞﹣．【解答】解：（1）f′（x）=e x（x+1﹣2ae x），要使f（x）恰有2个极值点，则方程x+1﹣2ae x=0有2个不相等的实数根，令g（x）=x+1﹣2ae x，g′（x）=1﹣2ae x；（i）a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在R递增，不合题意，舍，（ii）a＞0时，令g′（x）=0，解得：x=ln，当x＜ln时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣∞，ln）递增，且x→﹣∞时，g（x）＜0，x＞ln时，g′（x）＜0，g（x）在（ln，+∞）递减，且x→+∞时，g（x）＜0，∴g（x）max=g（ln）=ln+1﹣2a•=ln＞0，∴＞1，即0＜a＜；（2）证明，由（1）知：x1＜ln＜x2，且x1，x2满足x+1﹣2ae x=0，∴x2+1﹣2a=0，即2a=x2+1，∴f（x2）=（x2﹣1），其中x2＞ln，∴f′（x2）=•x2，∵0＜a＜，∴x2＞ln＞0，∴f′（x2）＞0，∴f（x2）在（ln，+∞）递增，∴f（x2）＞f（ln）=（ln﹣1）=﹣，令g（a）=﹣，则g′（a）=，∵0＜a＜，∴ln2a＜0，∴g′（a）＜0，∴g（a）在（0，）递减，∴g（a）＞g（）=﹣，故f（x2）＞g（a）＞﹣，∴f（x2）＞﹣．四．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．选修4-4：参数方程与极坐标系22．（10分）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为，⊙C的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ．（1）求直线l和⊙C的普通方程；（2）若直线l与圆⊙C交于A，B两点，求弦AB的长．【解答】解：（1）直线l的方程为，可得：ρsinθcos﹣ρcosθsin=﹣⇔﹣y﹣x=即：．⊙C的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ．可得：ρ2=4ρcosθ+2ρsinθ，⇔x2+y2=4x+2y即：x2+y2﹣4x﹣2y=0，故得直线l的普通方程为：；⊙C的普通方程为：x2+y2﹣4x﹣2y=0．（2）由x2+y2﹣4x﹣2y=0，可知圆心为（2，1），半径r=，那么：圆心到直线的距离d=，∴|AB|=2故得直线l与圆⊙C交于A，B两点间的弦AB长为．23．（10分）（1）求函数y=2|x﹣1|﹣|x﹣4|的值域；（2）若不等式2|x﹣1|﹣|x﹣a|≥﹣1在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵y=2|x﹣1|﹣|x﹣4|==，故函数的值域是[﹣3，+∞）；（2）f（x）=2|x﹣1|﹣|x﹣a|，①a≥1时，f（x）==，而2a﹣2＞1﹣a，此时f（x）的最小值是1﹣a，故只需1﹣a≥﹣1，∴1≤a≤2；②a＜1时，f（x）==，此时a＜1时，﹣1+a＜2﹣2a，f（x）的最小值是a﹣1，只需a﹣1≥﹣1，0≤a＜1，综上，a的范围是[0，2]．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。