八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解141整式的乘法1414整式的乘法14145整式的除法课时作业新版新人
新版新人教版2020年八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.4整式的
精品 Word 可修改 欢迎下载14．1.4 整式的乘法(4)1．掌握同底数幂的除法运算法则，会熟练运用法则进行运算；并了解零指数幂的意义，并注意对底数的限制条件．2．单项式除以单项式的运算法则及其应用． 3．多项式除以单项式的运算法则及其应用．重点：理解单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则，理解零指数幂的意义． 难点：单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则及灵活运用．一、自学指导自学1：自学课本P102－103页“例7”，掌握同底数幂的除法、单项式除以单项式的运算法则，完成下列填空．(5分钟)1．填空：26×28＝26＋8＝214，214÷28＝214－8＝26．总结归纳：同底数幂的除法法则——a m ÷a n ＝a m －n(a≠0，n ，m 为正整数，且m ＞n)，即同底数幂相除，底数不变，指数相减．2．∵a m ÷a m ＝1，而a m ÷a m ＝a (m －m)＝a 0，∴a 0＝1(a≠0)．(a 为什么不能等于0？) 总结归纳：任何不等于a 的数的0次幂都等于1．3．2a ·4a 2＝8a 3；3xy·2x 2＝6x 3y ；3ax 2·4ax 3＝12a 2x 5；8a 3÷2a ＝4a 2；6x 3y ÷3xy＝2x 2． 总结归纳：单项式除以单项式法则——单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．自学2：自学课本P103－104页“例8”，掌握多项式除以单项式的运算方法．(5分钟) ∵m ·(a ＋b)＝am ＋bm ，∴(am ＋bm)÷m＝a ＋b ，又∵am ÷m ＋bm÷m＝a ＋b ，∴(am ＋bm)÷m ＝am÷m ＋bm ÷m.总结归纳：多项式除以单项式法则——多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟) 1．课本P104页练习1，2. 2．计算：(1)a 2m ＋2÷a 2m －1；(2)(2－2)0；(3)(x －y)7÷(y －x)6；(4)x 7÷(x 5÷x 3)．解：(1)a 2m ＋2÷a 2m －1＝a (2m ＋2)－(2m －1)＝a 3；(2)(2－2)0＝1；(3)(x －y)7÷(y －x)6＝(x －y)7÷(x －y)6＝(x －y)7－6＝x －y ；(4)x 7÷(x 5÷x 3)＝x 7÷x 5－3＝x 7÷x 2＝x 7－2＝x 5.3．计算：(1)(23a 4b 7－19a 2b 6)÷(－13ab 3)2；(2)[(3a ＋2b)(3a －2b)＋b(4b －4a)]÷2a.解：(1)(23a 4b 7－19a 2b 6)÷(－13ab 3)2＝(23a 4b 7－19a 2b 6)÷19a 2b 6＝23a 4b 7÷19a 2b 6－19a 2b 6÷19a 2b6＝6a 2b －1；(2)[(3a ＋2b)(3a －2b)＋b(4b －4a)]÷2a＝(9a 2－4ab )÷2a＝9a 2÷2a －4ab÷2a＝92a －2b.小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)精品 Word 可修改 欢迎下载探究1 已知x m＝4，x n＝9，求x 3m －2n的值．解：x3m －2n＝x 3m ÷x 2n ＝(x m )3÷(x n )2＝43÷92＝6481.点拨精讲：这里反用了同底数幂的除法法则．探究2 一种被污染的液体每升含有2.4×1013个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死4×1010个细菌，要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少毫升？(注：15滴＝1毫升)解：依题意，得(2.4×1013)÷(4×1010)÷15＝6×102÷15＝40(毫升)，答：需要这种杀菌剂40毫升．点拨精讲：要把2.4×1013和4×1010看作单项式形式，其中2.4和4可当作系数．学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．计算：(1)[(a 2)5·(－a 2)3]÷(－a 4)4；(2)(a －b)3÷(b －a)2＋(－a －b)5÷(a ＋b)4.解：(1)[(a 2)5·(－a 2)3]÷(－a 4)4＝[a 10·(－a 6)]÷a 16＝－a 16÷a 16＝－1；(2)(a －b)3÷(b －a)2＋(－a －b)5÷(a ＋b)4＝(a －b)3÷(a －b)2－(a ＋b)5÷(a ＋b)4＝(a －b)－(a ＋b)＝－2b.2．先化简再求值：(a 2b －2ab 2－b 3)÷b－(a ＋b)(a －b)，其中a ＝12，b ＝－1.解：(a 2b －2ab 2－b 3)÷b－(a ＋b)(a －b)＝a 2－2ab －b 2－a 2＋b 2＝－2ab ，当a ＝12，b ＝－1时，原式＝－2×12×(－1)＝1.3．一个多项式除以(2x 2＋1)，商式为x －1，余式为5x ，求这个多项式？解：依题意，得(2x 2＋1)(x －1)＋5x ＝2x 3－2x 2＋x －1＋5x ＝2x 3－2x 2＋6x －1.(3分钟)1.在运算时要注意结构和符号，多个同底数幂相除要按运算顺序依次计算，首先取号，再运算．2．先确定运算顺序，先乘方后乘除，再加减，有括号先算括号里面的，同级运算按从左到右的运算依次进行计算．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟) (10分钟)1、在最软入的时候，你会想起谁。
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法教学课件(新版)新人教版
提出问题： 一个正方体的棱长为1.1×10³,你能计算出它
的体积是多少吗? 解： 它的体积应是V=(1.1×10³)³.
思考： （1）这个结果是幂的乘方形式吗？ （2）它又如何运算呢？能不能找到一个运算法则呢？
1、计算: (2×3)2与22 × 32，我们发现了什么？ ∵ (2×3)2=62=36 , 22 ×32=4×9=36, ∴ (2×3)2 =22 × 32 .
a5
这台由中国自主研发的世界上先进的超级计算机—— 天河1号，它每秒的运算速度是1015 次，如果运行103 秒它将运算多少次？
解： 1015×103 ＝1015+3＝1018. 答：运行103秒它将运算1018次。
公式推广： 当三个或三个以上的同底数幂相乘时，法则可
以推广为：
am anapam np（ m, n, p 都是正整数）
1.计算：（1）107 ×104 ； （2）x2 ·x5 .
解：（1）107 ×104 =107 + 4= 1011. （2）x2 ·x5 = x2 + 5 = x7.
2.计算：（1）23×24×25 ; （2）y·y2·y3 .
解：（1）23×24×25=23+4+5=212. （2）y·y2·y3 = y1+2+3=y6 .
（ am） np =amnp （m，n，p是正整数）
学有所思，归纳小结：
1.本节课你的主要收获是什么？ 2.你认为在运用“幂的乘方运算法则”中，重点应该注 意什么？ 3.同底数幂的乘法与幂的乘方的相同点和不同点。
比一比：
同底数幂的乘法与幂的乘方的相同点和不同点
运算 种类
表达式
计算结果 法则 中运算 底数 指数
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解14.1.4 整式的乘法教学课件
(4)(–2a2)2(–a–2b+c)=___________________.
课堂检测
基础巩固题
5. 计算：–2x2·(xy+y2)–5x(x2y–xy2).
解：原式=( –2x2) ·xy+(–2x2) ·y2+(–5x) ·x2y+(–5x) ·(–xy2)
= –2x3 y+(–2x2y2)+(–5x3y)+5x2y2
(4)原式= –8a3·9a2 =[(–8)×9](a3·a2)= –72a5
有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.
探究新知
素养考点 2 利用单项式乘法的法则求字母的值
例2 已知–2x3m＋1y2n与7xn–6y–3–m的积与x4y是同类项，求
m2＋n的值．
解：∵–2x3m＋1y2n与7xn–6y–3–m的积与x4y是同类项，
(1) 3x2 ·5x3 ；
(2)4y ·(–2xy2)；
(3) (–3x)2 ·4x2 ；
(4)(–2a)3(–3a)2.
单独因式x别
漏乘、漏写
解：(1)原式=(3×5)(x2·x3)=15x5；
(2)原式=[4×(–2)](y·
y2) ·x= –8xy3；
(3) 原式=9x2·4x2 =(9×4)(x2·x2)=36x4；
转化
乘法交换律
和结合律
有理数的乘法与同底数幂的乘法
探究新知
方法点拨
1. 在计算时，应先确定积的符号，积的系数等于各因式
系数的积；
2. 注意按顺序运算；
3. 不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式；
4. 此性质对三个及以上单项式相乘仍然适用．
人教数学八年级上册课件：第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1.4整式的乘法(第1课时) (2)
相同字母的指数的和作 为积里这个字母的指数
= [4·(-3)] ·(a2a3) ·(x5x2)·b =12a5x7b
各因式系数的积 作为积的系数
只在一个单项式里含 有的字母连同它的指 数作为积的一个因式
想一想
单项式与单项式怎样相乘?
单项式与单项式相乘,利用乘法交换 律和结合律,把它们的系数、同底数幂分 别相乘,对于只在一个单项式中出现的字 母连同它的指数不变,一起作为积的因式.
八年级数学·上 新课标 [人]
第十四章 整式的乘法与因式分解
学习新知
检测反馈
学习新知
我们在前面学习过了整式的加减 运算,还记得整式的加减法是如何运算 的吗?
其实整式的运算就像数的运算, 除了加减法,还有整式的乘法、整式的
除法.
一、法则的探究
光的速度约是3×105 km/s,太阳光 照射到地球上需要的时间约是5×102 s, 你知道地球与太阳的距离约是多少吗?
y解2析). ：(1)直接利用单项式与单项式相
乘的法则进行计算;(2)先计算乘方,然后 再利用法则进行计算.
解: (1)(-5a 2b)(-3a) =[(-5)×(-3)](a 2·a )·b =15a 3b.
(2)(2x )3(-5x y 2) =8x 3·(-5x y 2) =[8×(-5)](x 3·x )·y 2
2.在进行单项式的乘法时要 注意以下问题: (1)先把各因式的系数组成一组,积的系数 等于各因式系数的积,先确定符号,再计算 绝对值; (2)相同字母相乘时,利用同底数幂的乘法 法则“底数不变,指数相加”;
(3)对于只在一个单项式中含有 的字母,则连同它的指数一起写在乘 积里,应特别注意不要漏掉这部分因式; (4)单项式乘法中,如有积的乘方,就要按积 的乘方法则先求出积的乘方,再进行乘法计 算; (5)对于三个或三个以上的单项式相乘时,法 则仍然适用;
初中数学人教版八年级上册：第14章《整式的乘除与因式分解》全章教案(22页)
初中数学人教版八年级上册实用资料第十四章整式的乘法与因式分解14．1整式的乘法14．1.1同底数幂的乘法1．理解同底数幂的乘法法则．2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．重点正确理解同底数幂的乘法法则．难点正确理解和应用同底数幂的乘法法则．一、提出问题，创设情境复习a n的意义：a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数．(出示投影片)提出问题：(出示投影片)问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103秒可进行多少次运算？[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？[生]运算次数＝运算速度×工作时间，所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1015×103.[师]1015×103如何计算呢？[生]根据乘方的意义可知1015×103＝(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)＝(10×10×…×10)18个10＝1018.[师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法．二、探究新知1．做一做(出示投影片)计算下列各式：(1)25×22；(2)a3·a2；(3)5m·5n.(m，n都是正整数)你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．[生](1)25×22＝(2×2×2×2×2)×(2×2)＝27＝25＋2.因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得a3·a2＝(a·a·a)(a·a)＝a5＝a3＋2.5m·5n＝(5×5·…·5),\s\do4(m个5))×(5×5·…·5),\s\do4(n个5))＝5m＋n.[生]我们可以发现下列规律：a m·a n等于什么(m，n都是正整数)？为什么？(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘；(2)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．2．议一议(出示投影片)[师生共析]a m·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：a m·a n＝(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a＝a·a·…·a(m＋n)个a＝a m＋n于是有a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)，用语言来描述此法则即为：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．[生]a m表示m个a相乘，a n表示n个a相乘，a m·a n表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有(m＋n)个a相乘，根据乘方的意义可得a m·a n＝a m＋n.[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．3．例题讲解出示投影片[例1]计算：(1)x2·x5; (2)a·a6；(3)2×24×23; (4)x m·x3m＋1.[例2]计算a m·a n·a p后，能找到什么规律？[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？[生1](1)，(2)，(4)可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．[生2](3)也可以，先算两个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．生板演：(1)解：x2·x5＝x2＋5＝x7；(2)解：a·a6＝a1·a6＝a1＋6＝a7；(3)解：2×24×23＝21＋4·23＝25·23＝25＋3＝28；(4)解：x m·x3m＋1＝x m＋(3m＋1)＝x4m＋1.[师]接下来我们来看例2.受(3)的启发，能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法．解法一：a m·a n·a p＝(a m·a n)·a p＝a m＋n·a p＝a m＋n＋p；解法二：：a m·a n·a p＝a m·(a n·a p)＝a m·a n＋p＝a m＋n＋p；解法三：a m·a n·a p＝(a·a…a)m个a·(a·a…a)n个a·(a·a…a)p个a＝a m＋n＋p归纳：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还运用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．[师]是的，能不能用符号表示出来呢？[生]am1·am2·am3·…am n＝am1＋m2＋m3＋…m n.[师]鼓励学生．那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了．2×24×23＝21＋4＋3＝28.三、随堂练习1．m14可以写成()A．m7＋m7B．m7·m7C．m2·m7D．m·m142．若x m＝2，x n＝5，则x m＋n的值为()A．7 B．10 C．25D．523．计算：－22×(－2)2＝________；(－x)(－x2)(－x3)(－x4)＝________．4．计算：(1)(－3)2×(－3)5；(2)106·105·10；(3)x2·(－x)5；(4)(a＋b)2·(a＋b)6.四、课堂小结[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义，了解了同底数幂乘法的运算性质．[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即a m·a n＝a m＋n(m，n是正整数)．五、课后作业教材第96页练习．本课的主要教学任务是“同底数幂乘法的运算性质”：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 在课堂教学时，通过幂的意义引导学生得出这一性质，接着再引导学生深入探讨同底数幂运算，幂的底数可以是“任意有理数、单项式、多项式”，训练学生的整体思想．14．1.2幂的乘方1．知道幂的乘方的意义．2．会进行幂的乘方计算．重点会进行幂的乘方的运算．难点幂的乘方法则的总结及运用．一、复习引入(1)叙述同底数幂乘法法则，并用字母表示：(2)计算：①a2·a5·a n；②a4·a4·a4.二、自主探究1．思考：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算结果有什么规律：(1)(32)3＝32×32×32＝3()；(2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a()；(3)(a m)3＝a m·a m·a m＝a()．(m是正整数)2．小组讨论对正整数n，你认识(a m)n等于什么？能对你的猜想给出验证过程吗？幂的乘方(a m)n＝a m·a m·a m…a m n个＝am＋m＋m＋…m,\s\up6(n个m))＝a mn字母表示：(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．注意：幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把(a5)2的结果错误地写成a7，也不能把a5·a2的计算结果写成a10.三、巩固练习1．下列各式的计算中，正确的是()A．(x3)2＝x5B．(x3)2＝x6C．(x n＋1)2＝x2n＋1D．x3·x2＝x62．计算：(1)(103)5; (2)(a4)4；(3)(a m)2; (4)－(x4)3.四、归纳小结幂的乘方的意义：(a m)n＝a mn.(m，n都是正整数)五、布置作业教材第97页练习．运用类比方法，得到了幂的乘方法则．这样的设计起点低，学生学起来更自然，对新知识更容易接受．类比是一种重要的数学思想方法，值得引起注意．14．1.3积的乘方1．经历探索积的乘方和运算法则的过程，进一步体会幂的意义．2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．重点积的乘方运算法则及其应用．难点幂的运算法则的灵活运用．一、问题导入[师]提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？[生]它的体积应是V＝(1.1×103)3cm3.[师]这个结果是幂的乘方形式吗？[生]不是，底数是1.1与103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．[师]积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？用前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥妙．二、探索新知老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．(出示投影片)1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a()b()；(2)(ab)3＝________＝________＝a()b()；(3)(ab)n＝________＝________＝a()b()．(n是正整数)2．把你发现的规律先用文字语言表述，再用符号语言表达．3．解决前面提到的正方体体积计算问题．4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．5．完成教材第97页例3.学生探究的经过：1．(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出(2)，(3)题；(2)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a3b3；(3)(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)n个ab＝a·a·…·an个a·b·b·…·bn个b＝a n b n.2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．用符号语言叙述便是：(ab)n＝a n·b n.(n是正整数)3．正方体的V＝(1.1×103)3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：V＝(1.1×103)3＝1.13×(103)3＝1.13×103×3＝1.13×109＝1.331×109(cm3)．通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．再考虑如下问题：(abc)n如何计算？是不是也有类似的规律？3个以上的因式呢？学生讨论后得出结论：三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，即(abc)n＝a n·b n·c n.(n为正整数) 4．积的乘方法则可以进行逆运算．即a n·b n＝(ab)n.(n为正整数)分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．对于a n·b n＝(a·b)n(n为正整数)的证明如下：a n·b n＝(a×a×…×a)n个a(b×b×…×b)n个b——幂的意义＝(ab)(ab)(ab)(ab)…(ab)n个(ab)——乘法交换律、结合律＝(a·b)n——乘方的意义5．[例3](1)(2a)3＝23·a3＝8a3；(2)(－5b)3＝(－5)3·b3＝－125b3；(3)(xy2)2＝x2·(y2)2＝x2·y2×2＝x2·y4＝x2y4；(4)(－2x3)4＝(－2)4·(x3)4＝16·x3×4＝16x12.(学生活动时，老师深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获)[师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：(1)积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积．即(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也是具有这一性质．如(abc)n＝a n·b n·c n；(n为正整数)(3)积的乘方法则也可以逆用．即a n·b n＝(ab)n，a n·b n·c n＝(abc)n.(n为正整数)三、随堂练习1．教材第98页练习．(由学生板演或口答)四、课堂小结(1)通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？(2)在应用积的运算性质计算时，你觉得应该注意哪些问题？五、布置作业(1)(－2xy)3；(2)(5x3y)2；(3)[(x＋y)2]3；(4)(0.5am3n4)2.本节课属于典型的公式法则课，从实际问题猜想——主动推导探究——理解公式——应用公式——公式拓展，整堂课体现以学生为本的思想。
人教版八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》14.1.4整式的乘法(教案)
-多项式乘以多项式的分配律综合应用：一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，并将结果相加。
-例如：(x + 3) * (x + 4) = x^2 + 4x + 3x + 12，强调每一项都要相乘并相加。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了整式的乘法，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思和改进。
首先，我发现学生在理解整式乘法的基本概念时，对分配律的应用还不够熟练。在单项式乘以多项式的例子中，部分同学容易忽略对常数项的乘法，导致答案出错。针对这个问题，我考虑在下一节课中增加一些基础练习，让学生反复练习分配律的应用，帮助他们更好地掌握这个重点。
-将实际问题转化为整式乘法运算：学生需要掌握如何将实际问题的描述转化为数学表达式，并运用整式乘法进行计算。
-例如：将矩形的面积计算问题转化为(x + 2) * (x + 3)的乘法运算。
在教学过程中，教师应针对这些重点和难点，通过直观的示例、反复的练习和及时的反馈，帮助学生理解并掌握整式乘法的核心知识，确保学生能够透彻理解和正确应用。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式乘法的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对整式乘法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2022年人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解教案 整式的乘法(第3课时)
第十四章整式的乘法与因式分解14.1.4 整式的乘法第3课时一、教学目标【知识与技能】1.探究同底数幂除法的性质和单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并会应用法则计算.2.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算，理解整式除法运算的原理.【过程与方法】1.经历探究整式的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条件的表达能力.2.体会知识间逻辑关系、类比探究在研究除法问题时的价值，体会转化思想在整式除法中的作用.【情感、态度与价值观】感受数学法则、公式的简洁美、和谐美.二、课型新授课三、课时第3课时四、教学重难点【教学重点】应用整式除法法则进行计算.【教学难点】根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则.五、课前准备教师:课件、直尺、计算器等。
学生:练习本、钢笔或圆珠笔。
六、教学过程（一）导入新课木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?（出示课件2）木星的质量约为地球质量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.想一想:上面的式子该如何计算?（二）探索新知1.师生互动，探究同底数幂的除法法则教师问1:请完成下面的题目:(出示课件4)(1)25×23；(2)x6×x4；(3)2m×2n.学生回答:（1）28；（2）x10；（3）2m+n.教师问2:本题是直接利用什么乘法法则计算的？学生回答:同底数幂的乘法法则:底数不变，指数相加.教师问3:思考下面的题该如何计算？(1)( )( )×23=28 (2)x6·( )( )=x10(3)( )( )×2n=2m+n学生回答:可以把乘法法则反过来利用.教师问4:反过来就我们今天要学的同底数幂的除法，能不能先试着写成除法形式？学生讨论后解答:（1）28÷23=？；（2）x10÷x6=？；（3）2m+n÷2n=？教师问5:你是如何计算的呢？学生回答:本题逆向利用同底数幂的乘法法则计算.教师问6:能不能试着完成下列各题:计算:(1)28÷23；(2)x10÷x6；(3)2 m+n÷2n学生回答:(1) 28÷23=25；(2) x10÷x6=x4；(3) 2 m+n÷2n =2m教师问7:观察下面的等式，你能发现什么规律？（出示课件5）(1)28÷23=25=28-3；(2) x10÷x6=x4=x10-6；(3) 2 m+n÷2n =2m =2m-n学生回答:底数不变，指数相减.教师总结:同底数幂相除，底数不变，指数相减.教师问8:以上法则能用字母表示吗？学生总结:a m÷a n＝a m－n.教师问9:对指数有何要求吗？学生回答:m，n都是正整数，且m>n.教师总结:a m ÷a n=a m–n(m，n都是正整数，且m>n)教师问10:如何验证其正确性呢？学生回答:验证:因为a m–n·a n=a m–n+n=a m，所以a m ÷a n=a m–n.教师问11:对于除法运算，有没有什么特殊要求呢？学生回答:对于除法运算应要求除数(或分母)不为零，所以底数不能为零.即a m÷a n＝a m－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n).教师问12:计算:a m÷a m学生计算a m÷a m时，可能会出现1或a0两个答案.教师顺势归纳:从除法的意义可知商为1，另一方面，如果依照同底数幂的除法计算，得a0.所以规定:a0＝1(a≠0).教师问13:为什么规定a0＝1(a≠0)时要说明a≠0呢？学生回答:因为当a=0时，分母或除数为0，式子无意义.总结点拨:（出示课件6）同底数幂的除法一般地，我们有a m÷a n=a m–n(a ≠0，m，n都是正整数，且m>n)即同底数幂相除，底数不变，指数相减.规定:a0=1(a ≠0)这就是说，除0以外任何数的0次幂都等于1.例1:计算:（出示课件7）(1)x8÷x2；(2) (ab)5÷(ab)2.师生共同解答如下:解:(1)x8 ÷x2=x8–2=x6；(2) (ab)5÷(ab)2=(ab)5–2=(ab)3=a3b3.总结点拨:计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算．例2:已知a m＝12，a n＝2，a＝3，求a m–n–1的值．（出示课件9）师生共同解答如下:解:∵a m＝12，a n＝2，a＝3，∴a m–n–1＝a m÷a n÷a＝12÷2÷3＝2.总结点拨:解此题的关键是逆用同底数幂的除法，对a m–n–1进行变形，再代入数值进行计算．2.复习旧知，探究单项式除以多项式的法则教师问14:计算:4a2x3·3ab2学生回答:4a2x3·3ab2=12a3b2x3教师问15:计算:12a3b2x3÷ 3ab2学生讨论回答:（出示课件11）解法1: 12a3b2x3÷ 3ab2相当于求( )·3ab2=12a3b2x3.由(1)可知括号里应填4a2x3.解法2:原式=4a2x3· 3ab2÷ 3ab2=4a2x3.理解:上面的商式4a2x3的系数4=12 ÷3；a的指数2=3–1，b的指数0=2–2，而b0=1，x的指数3=3–0.教师问15:类比上述研究过程计算以下两题.(1)－2x3÷(－x)；(2)8m2n2÷2m2n.学生回答:（1）2x2；（2）4n教师问16:通过计算，你又发现什么规律？学生回答:单项式相除，把系数和同底数的幂分别相除.师生互动合作交流，得出单项式除以单项式的法则:单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.总结点拨:（出示课件12）单项式除以单项式的法则:单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.例3:计算:（出示课件13）(1)28x4y2÷7x3y；(2)–5a5b3c ÷15a4b.师生共同解答如下:解:(1)原式=(28 ÷7)x4–3y2–1=4xy；(2)原式=(–5÷15)a5–4b3–1c=- 1ab2c.3总结点拨:单项式除以单项式要按照法则逐项进行，不得漏项，并且要注意符号的变化.3.师生互动，学习多项式除以单项式的法则教师问17:一幅长方形油画的长为(a+b)，宽为m，求它的面积.（出示课件16）学生回答:面积为(a+b)m=ma+mb.教师问18:若已知油画的面积为(ma+mb)，宽为m，如何求它的长？学生回答:长为(ma+mb)÷m.教师问19:如何计算(am+bm) ÷m?（出示课件17）学生讨论后回答:计算(am+bm) ÷m就相当于求( ) ·m=am+bm，教师问20:（）填什么呢？学生回答:a+b教师问21:am ÷m+bm ÷m=？学生回答:a+b教师问22:观察上边的问题，你发现了什么？学生回答:(am+bm) ÷m=am ÷m+bm ÷m教师问23:计算下列各式:(1)(ax＋bx)÷x；(2)(a2＋ab)÷a；(3)(4x2y＋2xy2)÷2xy.学生回答:(1) a+b；(2) a+b；(3) 2x+y.教师问24:说你是怎样计算的？学生回答:多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式.教师问25:它们的项数之间有什么发现吗？师生共同解答如下:在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征:商式与被除式的项数相同.教师问26:你能归纳出多项式除以单项式的法则吗？（出示课件18）学生归纳，教师点拨:多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.教师问27:你能把这句话写成公式的形式吗？学生回答:(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.关键:应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.例4:计算:(12a3–6a2+3a) ÷3a. （出示课件19）师生共同解答如下:解: (12a3–6a2+3a) ÷3a=12a3÷3a+(–6a2) ÷3a+3a÷3a=4a2+(–2a)+1=4a2–2a+1.总结点拨:多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注意符号问题.例5:先化简，后求值:[2x(x2y–xy2)＋xy(xy–x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014.（出示课件21）师生共同解答如下:解:原式＝[2x3y–2x2y2＋x2y2–x3y]÷x2y，＝x–y.把x＝2015，y＝2014代入上式，得原式＝x–y＝2015–2014＝1.（三）课堂练习（出示课件24-29）1．下列说法正确的是( )A．(π–3.14)0没有意义B．任何数的0次幂都等于1C．(8×106)÷(2×109)＝4×103D．若(x＋4)0＝1，则x≠–42.下列算式中，不正确的是( )A．(–12a5b)÷(–3ab)＝4a4B．9x m y n–1÷3x m–2y n–3＝3x2y2C. 4a2b3÷2ab＝2ab2D．x(x–y)2÷(y–x)＝x(x–y)3.已知28a3b m÷28a n b2=b2，那么m，n的取值为( )A．m=4，n=3 B．m=4，n=1C．m=1，n=3 D．m=2，n=34.一个长方形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为_____________.5. 已知一多项式与单项式–7x5y4 的积为21x5y7–28x6y5，则这个多项式是______.6.计算: (1)6a3÷2a2；(2)24a2b3÷3ab；(3)–21a2b3c÷3ab；(4)(14m3–7m2+14m)÷7m.7. 先化简，再求值:(x＋y)(x–y)–(4x3y–8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝–3.8. （1）若32•92x+1÷27x+1=81，求x的值；（2）已知5x=36，5y=2，求5x–2y的值；（3）已知2x–5y–4=0，求4x÷32y的值．参考答案:1.D2.D3.A4.a+25. –3y3+4xy6. 解:(1) 6a3÷2a2=(6÷2)(a3÷a2)=3a.(2) 24a2b3÷3ab=(24÷3)a2–1b3–1=8ab2.(3)–21a2b3c÷3ab=(–21÷3)a2–1b3–1c= –7ab2c；(4)(14m3–7m2+14m)÷7m=14m3÷7m-7m2÷7m+14m÷7m= 2m2–m+2.7. 解:原式＝x2–y2–2x2＋4y2＝–x2＋3y2.当x＝1，y＝–3时，原式＝–12＋3×(–3)2＝–1＋27＝26.8. 解:(1)32•34x+2÷33x+3=81，即3x+1=34，解得x=3；(2)52y=(5y)2=4，5x–2y=5x÷52y=36÷4=9．(3)∵2x–5y–4=0，移项，得2x–5y=4．4x÷32y=22x÷25y=22x–5y=24=16．（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:a m÷a n＝a m－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)a0＝1(a≠0)(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.（五）课前预习预习下节课（14.2）的相关内容。
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解141整式的乘法1414整式的乘法14142单项式与多项式相乘教案新版
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解141整式的乘法1414整式的乘法14142单项式与多项式相乘教案新版新人教版
◇教学目标◇
【知识与技能】
掌握单项式与多项式的乘法运算法则,会进行简单的整式乘法运算.
【过程与方法】
经历探索单项式与多项式相乘的运算过程,体会乘法分配律的作用和转化思想,发展有条理地思考及语言表达能力.
【情感、态度与价值观】
培养良好的探究意识与合作交流的能力,体会整式运算的应用价值.
◇教学重难点◇
【教学重点】
单项式与多项式相乘的法则.
【教学难点】
整式乘法法则的推导与应用.
◇教学过程◇
一、情境导入
有3家超市以相同价格n(单位:元/台)销售A牌电视机,它们在一年内的销售量(单位:台)分别是x,y,z,请你采用不同的方法计算它们在这一年内销售这种电视机的总收入.小明的答案是n(x+y+z),小芳的答案是nx+ny+nz,各说各有理,你能给他们评判一下吗?
二、合作探究
探究点1单项式乘多项式
典例1计算:(x-3y)(-6x)=.
[解析]根据单项式与多项式相乘,先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加计算即可.
[答案] -6x2+18xy
[解析]原式=x4y4-2x3y3.
探究点2求未知系数的值
典例2已知a(x2+x-c)+b(2x2-x-2)=7x2+4x+3,求a,b,c的值.
[解析]∵a(x2+x-c)+b(2x2-x-2)=7x2+4x+3,
∴(a+2b)x2+(a-b)x-(ac+2b)=7x2+4x+3,
∴
解得a=5,b=1,c=-1.。
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∴16=m,9-n=7,4=p,
∴m=16,n=2,p=4.
12.如果+|y+2|=0,求[(x2+y2)+2y(x-y)-(x-y)(x+3y)]÷4y的值.
解:由题意得2x-y=0,y+2=0,解得x=-1,y=-2.
被除式的第二项被污染的部分-(-7x2y)×5xy=35x3y2.
15.已知A=2x,B是多项式,计算B除以A时,某同学把B÷A误写成B+A,结果得到x2+x,试求B÷A.
解:根据题意得,B=x2+x-A=x2+x-2x=x2-x,
则B÷A=(x2-x)÷2x=x-.
拓展探究突破练
16.观察下列各式:
(x-1)÷(x-1)=1;
(x2-1)÷(x-1)=x+1;
(x3-1)÷(x-1)=x2+x+1;
(x4-1)÷(x-1)=x3+x2+x+1;
…
(x8-1)÷(x-1)=x7+x6+x5+…+x+1.
(1)根据上面各式的规律填空:
①(x2018-1)÷(x-1)=x2017+x2016+x2015+…+x+1.
9.据统计,某年我国水资源总量为2.64×1012m3,按全国1.32×109人计算,该年人均水资源量约为2×103m3.
10.先化简,再求值:(2+a)(2-a)+a(a-5b)+3a5b3÷(-a2b)2,其中ab=-.
解:原式=4-a2+a2-5ab+3ab=4-2ab,
当ab=-时,原式=4+1=5.
5.若多项式M与单项式-的乘积为-4a3b3+3a2b2-,则M=(D)
A.-8a2b+6ab-1
B.2a2b2-ab+
C.-2a2b2+ab+
D.8a2b2-6ab+1
6.计算:
(1)(4x2y-8x3y2)÷(4x2y);
解:原式=1-2xy.
(2)(5x2y3-4x3y2+6x)÷6x;
解:原式=xy3-x2y2+1.
②(xn-1)÷(x-1)=xn-1+xn-2+xn-3+…+x+1.
(2)利用②的结论求22018+22017+…+2+1的值;
(3)若1+x+x2+…+x2017=0,求x2018的值.
解:(2)22018+22017+…+2+1=(22019-1)÷(2-1)=22019-1.
(3)∵1+x+x2+…+x2017=(x2018-1)÷(x-1),1+x+x2+…+x2017=0,
∴x2018-1=0,∴x2018=1.
原式=(x2+y2+2yx-2y2-x2-2yx+3y2)÷4y=2y2÷4y=y,
当x=-1,y=-2时,原式=-1.
13.一个等边三角形框架的面积是4a2-2a2b+ab2,一边上的高为2a,求该三角形框架的周长.
解:由已知可得该三角形框架的边长为×2=4a-2ab+b2,则该三角形框架的周长为12a-6ab+3b2.
解:原式=2a2b.
(2)12x5y3z÷3x4y;
解:原式=4xy2z.
(3)(6.8×108)÷(-3.4×105).
解:原式=-2×103.
知识点2多项式除以单项式
4.计算(12x3-8x2+16x)÷(-4x)的结果是(A)
A.-3x2+2x-4B.-3x2-2x+4
C.-3x2+2x+4D.3x2-2x+4
第5课时整式的除法
知识要点基础练
知识点1单项式除以单项式
1.6a5b3c÷M=3a5b,则M=2b2c.
【变式拓展】小亮与小明在做游戏,两人各报一个整式,小明报的被除式是x3y-2xy2,商式必须是2xy,则小亮报的一个除式是x2-y.
2.计算6m6÷(-2m2)3的结果为-.
3.计算:
(1)4a3b2÷2ab;
14.某天数学课上学习了整式的除法运算,放学后,小明回到家拿出课堂笔记,认真地复习课上学习的内容,他突然发现一道三项式除法运算题:(21x4y3- +7x2y2)÷(-7x2y)= +5xy-y.被除式的第二项被钢笔水弄污了,商的第一项也被钢笔水弄污了,你能算出两处被污染的内容是什么吗?
解:商的第一项被污染的部分21x4y3÷(-7x2y)=-3x2y2;
(3)(2a2b-4ab2+6b3)÷.
解:原式=-4a2+8ab-12b2.
综合能力提升练
7.下列计算不正确的是(C)
A.(-12a5b)÷(-3ab)=4a4
B.9xmyn-1÷xm-2yn-3=27x2y2
C.a2b3÷ab=ab2
D.x(x-y)2÷(y-x)=-x(x-y)
8.实验中学有一块长方形的草坪,已知它的面积为4x2-6xy+2x,一边长为2x,则它的周长为8x-6y+2.