二次函数中常见的几种综合题型

二次函数中常见的几种综合题型二次函数常见的几类综合题型一、求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(5,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$ 轴交于点 $C(0,5)$。

1) 求直线 $BC$ 与抛物线的解析式；2) 若点 $M$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上的一个动点，过点 $M$ 作 $MN\parallel y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$，求$MN$ 的最大值；3) 在 (2) 的条件下，$MN$ 取得最大值时，若点 $P$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上任意一点，以 $BC$ 为边作平行四边形 $CBPQ$，设平行四边形 $CBPQ$ 的面积为 $S_1$，$\triangle ABN$ 的面积为 $S_2$，且 $S_1=6S_2$，求点$P$ 的坐标。

2.对称轴为直线 $x=-1$ 的抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$、$B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$。

1) 求点 $B$ 的坐标；2) 已知 $a=1$，$C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点。

①若点 $P$ 在抛物线上，且 $S_{\trianglePOC}=4S_{\triangle BOC}$，求点 $P$ 的坐标；②设点 $Q$ 是线段 $AC$ 上的动点，作 $QD\perp x$ 轴交抛物线于点 $D$，求线段 $QD$ 长度的最大值。

二、求三角形周长及面积的最值问题3.已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(-3,a-b+c)$，$B(1,a+b+c)$，$C(c,a+3c-b)$ 三点，其顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，$l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$。

1) 求该抛物线的解析式；2) 若点 $P$ 是该抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，求$\triangle PBC$ 周长的最小值；3) 如图 (2)，若 $E$ 是线段 $AD$ 上的一个动点（$E$ 与$A$、$D$ 不重合），过点 $E$ 作平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $F$，交 $x$ 轴于点 $G$，设点 $E$ 的横坐标为 $m$，$\triangle ADF$ 的面积为 $S$。

①求 $S$ 与 $m$ 的函数关系式；② $S$ 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点$E$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

4.已知抛物线 $y=ax^2+bx+3$ 与 $x$ 轴交于 $A$、$B$ 两点，过点 $A$ 的直线 $l$ 与抛物线交于点 $C$，其中 $A$ 点的坐标是 $(1,0)$，$C$ 点坐标是 $(4,3)$。

1) 求抛物线的解析式；2) 在 (1) 中抛物线的对称轴上是否存在点 $D$，使$\triangle BCD$ 的周长最小？若存在，求出点 $D$ 的坐标，若不存在，请说明理由；3) 若点 $E$ 是 (1) 中抛物线上的一个动点，且位于直线$AC$ 的下方，试求 $\triangle ACE$ 的最大面积及 $E$ 点的坐标。

三、为等腰或直角三角形是求点坐标问题5.已知直线 $y=3x-3$ 分别交 $x$ 轴、$y$ 轴于 $A$、$B$ 两点，抛物线 $y=x^2+bx+c$ 经过 $A$、$B$ 两点，点$C$ 是抛物线与 $x$ 轴的另一个交点（与 $A$ 点不重合）。

6、如图，抛物线$y=x^2+bx+c$与$y$轴交于点$C(-4,0)$，与$x$轴交于点$A$，$B$，且$B$点的坐标为$(2,0)$。

1）求该抛物线的解析式。

解：由题意可知，该抛物线经过点$A(0,c)$，代入抛物线的一般式可得：c=0^2+b\times 0+c \Rightarrow c=0$$又因为该抛物线经过点$B(2,0)$，代入可得：0=2^2+b\times 2+0 \Rightarrow b=-2$$因此，该抛物线的解析式为$y=x^2-2x$。

2）若点$P$是$AB$上的一动点，过点$P$作$PE\parallel AC$，交$BC$于$E$，连接$CP$，求$\triangle PCE$面积的最大值。

解：设点$P$的坐标为$(t,t^2-2t)$，则点$E$的坐标为$(t+2,t^2-2t)$。

由于$PE\parallel AC$，因此$\angle PEC=\angle ACP$，又因为$\triangle ACP$为等腰三角形，所以$\angle ACP=\angle APC=\frac{\pi}{4}$。

则$\triangle PEC$的面积为：S_{\triangle PEC}=\frac{1}{2}PE\times PC\sin\anglePEC=\frac{1}{2}(t+2-t^2+2t)\sqrt{2}=\sqrt{2}(1-t)$$由于$0\leq t\leq 2$，因此$\sqrt{2}(1-t)$的最大值为$\sqrt{2}$，此时$t=1$。

因此，$\triangle PCE$面积的最大值为$\sqrt{2}$，当$P(1,-1)$时取到。

3）若点$D$为$OA$的中点，点$M$是线段$AC$上一点，且$\triangle OMD$为等腰三角形，求$M$点的坐标。

解：设点$M$的坐标为$(x,x^2-2x)$，则点$D$的坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{1}{4})$。

由于$\triangle OMD$为等腰三角形，因此$OM=MD$，即：sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(x^2-2x-\frac{1}{4})^2}=2x^2-2x$$化简可得：5x^4-10x^3-8x^2+8x+1=0$$解得$x=\frac{1}{2}$或$x=-1$，但$x=-1$不在线段$AC$上，因此$M(\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$。

7、如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$A(-3,0)$，$B(1,0)$，$C(0,-3)$。

1）求抛物线的解析式。

解：由题意可知，该抛物线经过点$A(-3,0)$，$B(1,0)$，$C(0,-3)$，代入抛物线的一般式可得：begin{cases}0=a(-3)^2+b(-3)+c \\ 0=a(1)^2+b(1)+c \\ -3=a(0)^2+b(0)+c\end{cases}$$解得$a=1$，$b=2$，$c=-3$，因此该抛物线的解析式为$y=x^2+2x-3$。

2）若点$P$为第三象限内抛物线上的一点，设$\triangle PAC$的面积为$S$，求$S$的最大值并求出此时点$P$的坐标。

解：设点$P$的坐标为$(t,at^2+bt+c)$，则$\trianglePAC$的面积为：S=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}-3&t^2+2t-3&1\\1&t^2+2t-3&1\\0&-3&1\end{vmatrix}=\frac{1}{2}(t+3)(t-1)^2$$由于点$P$在第三象限内，因此$a<0$，又因为$P$在抛物线上，因此$t^2+bt+c=at^2+bt+c-3$，即$(a-1)t^2=-3$，因此$t=\pm\sqrt{\frac{3}{1-a}}$。

由于$-3\leq t\leq 1$，因此$\frac{3}{4}\leq a<1$，此时$S$的最大值为$\frac{27}{8}$，当$a=\frac{3}{4}$，$t=-\sqrt{12}$时取到，因此点$P$的坐标为$(-\sqrt{12},-3\sqrt{3})$。

3）设抛物线的顶点为$D$，$DE\perp x$轴于点$E$，在$y$轴上是否存在点$M$，使得$\triangle ADM$是直角三角形？若存在，请直接写出点$M$的坐标；若不存在，请说明理由。

解：由于该抛物线的开口方向向上，因此顶点$D$在$x=-\frac{b}{2a}=-1$处，$D(-1,2)$。

又因为$DE\perp x$轴，因此点$E$的坐标为$E(-1,0)$。

设点$M$的坐标为$(0,m)$，则$\triangle ADM$为直角三角形的充要条件是：AM^2+DM^2=AD^2$$即：m-2)^2+m^2=5$$解得$m=\frac{1}{2}$或$m=\frac{3}{2}$，但$m=\frac{3}{2}$不在抛物线上，因此不存在点$M$，使得$\triangle ADM$为直角三角形。

8、如图，抛物线经过$A(-1,0)$，$B(5,0)$，$C(2,8)$。

1）求抛物线的解析式。

解：由题意可知，该抛物线经过点$A(-1,0)$，$B(5,0)$，$C(2,8)$，代入抛物线的一般式可得：begin{cases}0=a(-1)^2+b(-1)+c \\ 0=a(5)^2+b(5)+c \\8=a(2)^2+b(2)+c\end{cases}$$解得$a=\frac{1}{4}$，$b=-\frac{3}{2}$，$c=\frac{9}{4}$，因此该抛物线的解析式为$y=\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}$。

2）在抛物线的对称轴上有一点$P$，使$PA+PC$的值最小，求点$P$的坐标。

解：由于该抛物线的对称轴为$x=2$，因此点$P$的横坐标为$2$。

设点$P$的纵坐标为$k$，则点$A$的坐标为$(0,2-k)$，点$C$的坐标为$(4,k-8)$，因此：PA+PC=\sqrt{4+(k-2)^2}+\sqrt{16+(k-10)^2}$$令$f(k)=\sqrt{4+(k-2)^2}+\sqrt{16+(k-10)^2}$，则：f'(k)=\frac{k-2}{\sqrt{4+(k-2)^2}}+\frac{k-10}{\sqrt{16+(k-10)^2}}$$令$f'(k)=0$，解得$k=\frac{13}{2}$，因此点$P$的坐标为$(2,\frac{13}{2})$。

3）点$M$为$x$轴上一动点，在抛物线上是否存在一点$N$，使以$A$，$C$，$M$，$N$四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点$N$的坐标；若不存在，请说明理由。

解：设点$M$的坐标为$(t,0)$，则点$N$的坐标为$(t,y)$，其中$y$为抛物线上的纵坐标。

由于以$A$，$C$，$M$，$N$四点构成的四边形为平行四边形，因此$AC\parallel MN$，即：frac{y-8}{t-2}=\frac{y}{t}$$化简可得：y=\frac{8t}{t+2}$$又因为点$N$在抛物线上，因此：frac{1}{4}t^2-\frac{3}{2}t+\frac{9}{4}=\frac{8t}{t+2}$$化简可得：t^3-11t^2+32t-16=0$$解得$t=1$，$t=4$，$t=4$不在$x$轴上，因此点$M(1,0)$，点$N(4,8)$，以$A$，$C$，$M$，$N$四点构成的四边形为平行四边形。