数理方法习题解

数学物理方法作业解答：习题1.1P6 .1下列式子在复平面上具有这样的意义 (2) | z-a |= | z-b | 解：| z-a | 表示z 到a 点的距离，| z-b |表示b 点的距离 即a 与b 的连线的垂直平分线。

(3) Re(z) > 12解:Re z = x 有 x >1 2Re z > 12表示坐标x 大于12的一切点即x=12的右边平面(8) Re (1z) = 2解：因为z = x+iy所以Re(1z)=Re(1x+iy)=Re(x-iyx2+y2)=xx2+y2=2 得x2+y2- x2=0 即(x-14)2+y2=116=(14)2所以Re(1z)为以（14，0）为圆心，以14为半径的圆P6. 2把下列复数代数式，三角式和指数式几种形式表示出来(1)i解：i = cos(π2)+isin(π2)=eiπ2(2)-1解：-1= cos(π)+isin(π)=e iπ(3) 1+i 23解：1+i 23 =2(cosπ3+isinπ3)=2eiπ3(4)1-cosα+isinα解：1-cosα+isinα=ρ(cosφ+isinφ)= ρe iφ其中ρ=2(1-cosα)2+sinα= 2sin(α2)Φ =arctgsinα1-cosα= arctg(ctgα2)原式=2sin α2[cos arctg(ctgα2)+isin arctg(ctgα2)]=2sin α2eiarctg(ctgα2)（5）z3解：z3 =(x+iy)3 =(x3-3xy2) +i(3x2y-y3) ρ3e i3φ=ρ3(cos3φ+isin3φ)其中ρ=2x2+y2φ =arctgyx(7) 1-i1+i=(1-i)2(1-i)(1+i)=- i =cos3π2+isin3π2=e(i3π2)3.计算下列数值P6.3(1). 2a+ib解：x+iy=2a+ib →(x+iy)2=a+ibX2-y2+i2xy=a+ib得到：{ X2-y2=a →4 X44a X2-b2=0 →x2=a+2a2+b222xy=b } →4y4+4ay2-b2=0→ y2=-a+2a2+b22所以x=+2222a+2a2+b2=+Ay =+2222-a+2a2+b2=+B2a+ib = A+iB →-A-iB →A-iB →-A+iB(2) 3 i解：3i =3e i(π2+2nπ)=e i(π6+2nπ3)=→ e i π6(n=0)→ e i 5π6(n=1)→ e i 3π2(n=2)(3) i i解：i i =[ e i(3π2+2nπ)]i = e-(π2+znπ)(4) ii =ie i(π2+znπ)=π2+znπ(5) cos 5φ解：cos 5φ =Re(cos 5φ+i sin 5φ)=Re(cos 5φ+i sin 5φ)5=Re(cos 5φ+5 cos 4φ(i sin φ)+10 cos 3φ(i sin φ)2+10 cos 2φ(i sin φ)3+10 cos φ(i sin φ)4+(i sin φ)5)= cos 5φ-10cos3φsin2φ+5cosφsin4φ(7) cos φ + cos2φ +cos3φ +.....cosnφ解：原式=Re(e iφ+ e i2φ+ e i3φ+ e i4φ...... e inφ)=Re 1- e inφ1- e iφe iφ→括号中为等比数列，其前n项和为：e iφ1- e inφ1- e iφ=e-iφ2(1- einφ)e-iφ2(1- eiφ)e iφ=e-iφ2- ei(nφ-φ2)e-iφ2- eiφ2e iφφ2=e-iφ2- ei(nφ-φ2)2i12i（e-iφ2- eiφ2e iφ=e-iφ2+ei(nφ-φ2)2i sinφ2e iφ= -e iφ2+ei(nφ+φ22i sinφ2=e i(nφ+φ2) -e iφ22i sinφ2e i(nφ+ φ2)=cos(nφ+φ2)+isin(nφ+φ2)e i φ2=cosφ2+isinφ2故上式=[cos(nφ+φ2)- cosφ2]+i[sin(nφ+φ2)- sinφ2]2i sinφ2=[sin(nφ+φ2)- sinφ2]-i[cos(nφ+φ2)- cosφ2]2 sinφ2→Re 1- e in φ 1- ei φ e i φ=sin(n φ+φ 2 )- sin φ2 2 sin φ 2(8) sin φ + sin2φ +sin3φ +.....+sinn φ 解：原式=Im(e i φ+ ei2φ+ ei3φ+ …..ein φ)=cos φ 2 - cos(n φ+φ 2 )2 sin φ 2习题1.2P8： 验证1.2.11-1.2.14式(1)si (2)c()()(3)|sin |111sin ()()222iz izi x iy i x iy y ix y ixz z e ee e e e e e ii i-+-+--=⎡⎤=-=-=-⎣⎦ 证明：方法一而且)()yy ix ixy ix y ixy ix y ixe e e e e e e e e e e ------+-=-+-(e ① )()y yixix y ix y ix yixyixe e ee e e e e e e e-------+=+--(e②①+②得 )())()2()y y ix ixyyixixyix y ixe e ee e eee e e------+-+-+=-(e(e1111sin 2())())()2222yix y ixy y ix ix y y ix ix z e e e ee e e e e e i i ------⎡⎤∴=⋅⋅-=⋅+-+-+⎣⎦(e (e 1111)())())sin )cos 2222y y ix ix y y ix ix y y y y e e e e e e e x i e x i i ------⎡⎤⎡⎤=+-+-+=+--⎣⎦⎢⎥⎣⎦(e (e (e (e|sin |z ∴==方法二()()111sin ()()()22211(cos sin )(cos sin )(cos (221((2izizi x iy i x iy yix y ixy y y y y yy y y y z e eeeee e ei iix i x e x i x e e e x i e e x i i e e x i e e x -+-+-------=-=-=-⎡⎤⎡⎤=+--=-++⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+--⎣⎦ ））sin ）sin ）cos|sin |z ∴==()()(4)|cos |111cos ()()222izizi x iy i x iy y ix y ix z z e ee e e e e e -+-+--=⎡⎤=+=+=+⎣⎦ 证明：方法一而且)()yy ix ixy ix y ixy ix y ixe e e e e e e e e e e ------++=+++(e ① )()y yixix yixyix yixyixe e ee e e e e e e e--------=--+(e②①+②得 )())()2()yyixixyyixixyix y ixe e ee e eee e e------+++--=+(e(e1111cos 2())())()22221111)())())cos )sin 2222y ix y ix y y ix ix y y ix ixy y ix ix y y ix ix y y y y z e e e e e e e e e e e e e e e e e x i e x ------------⎡⎤∴=⋅⋅+=⋅+++--⎣⎦⎡⎤⎡⎤=+++--=++-⎣⎦⎢⎥⎣⎦(e (e (e (e (e (e|cos |z ∴==方法二()()111cos ()()222izizi x iy i x iy y ix y ix z e ee e e e e e -+-+--⎡⎤=+=+=+⎣⎦11(cos sin )(cos sin )(cos (22y y y y y yx i x e x i x e e e x i e e x ---⎡⎤⎡⎤=++-=++-⎣⎦⎣⎦））sin|cos |z ∴==2(5)z izeeπ+=22(cos 2sin 2)z iziz zee ee i eππππ+==+=证明：(6)(2)sh z i sh π+=z2(2)2211(2)()()22z iz i z iz ish z i eee ee eπππππ+-+--+=-=-证明：1()2z ze e-=-=sh z(7)(2)ch z i π+=ch z2(2)2211(2)()()22z iz i z iz iz i eee ee eπππππ+-+--+=+=+证明：ch 1()2z ze e-=+=ch zP82.计算下列数值。

（a 和b 为实常数，x 为实变数）(1).()11sin a ib sin cos()cos sin()()sin ()cos 22i ibi ibi ibi iba ib a ib eea eeai⋅-⋅⋅-⋅+=+=++-111()sin ()cos ()sin ()cos 22221()sin ()cos 22bbbbb bbbb bbbi e e a ee a e ea ee ai i e ea e e a------=++-=+--=++-(2).()11cos a ib cos cos()sin sin()()cos ()sin 22i ibi ibi ibi iba ib a ib eea eeai⋅-⋅⋅-⋅+=-=+--111()cos ()sin ()cos ()sin 22221()cos ()sin 22b bbbb bbbbbbbi e e a ee a e ea ee ai i e ea e e a------=+--=++-=+--(3).ln(1)ln |1|(1)ln 1(21)(21)iArg i n i n ππ-=-+-=++=+11(5).cos ()()22i ixi ixxxix eeee chx ⋅-⋅-=+=+=11(6).sin ()()()222i ixi ixxxxxi ix eeee e e ishxi i⋅-⋅--=-=-=-=1(7).()cos 2ixixchix e e x -=+=1(8).()()sin 22ixixixixi shix e ee ei xi--=-=-=))sin ()sin()(sin cos sin )(sin cos )sin cos cos 11(cos (cos 22(9).||||||||||y y y y iaz ib zia x iy ib x iy iaxayib xcosiy x iy ayib xchy i xshy ayib xchyb xshyayb xshyay b e e xay b e e xe ee eee ee eee eee---+-+--+--+----+----=======3.第九页习题求解方程 sinz=2.解：111sin ()()(cos sin )(cos sin )2221()sin ()cos 222iz izix yixyy y yyyyz e ee eee x i x e x i x e iii i e ex e e x ------⎡⎤=-=-=+--⎣⎦=++-=由得()s i ny ye ex -+= ① ()cos 0yye e x --= ②由②式得 cos x o =，则2x n ππ=+ ③把③代入①得 ()4yyee-±+= 既 ()4yye e-+=± 则有241yye e o ±+= ④241yyeeo -±+= ⑤由④得2ye=±±因为ye o 〉，所以 2ye =±，则有(2y ln =-±，22x n ππ=+由⑤得2ye -=±±因为yeo-〉，所以2ye-=±(2y ln =±，22x n ππ=+综上可得 12l n (3)2z x i y n i ππ=+=+±± 习题1.3 P12试推导极坐标系下的柯西--黎曼方程 解： ()(,)(,)f z u x y iv x y =+其中cos x ρϕ=，sin y ρϕ= 由 cos u u x u x x ϕρρ∂∂∂∂==∂∂∂∂ 得1cos u u xρϕ∂∂=∂∂sin cos y y yyνννϕνρρϕϕϕϕ∂∂∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂ 得11cos yννρϕϕ∂∂=∂∂因为 u x yν∂∂=∂∂ 所以 1u νρρϕ∂∂=∂∂由sin cos u u y u u y yy ϕρϕϕϕϕ∂∂∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂ 得1cos u u y ϕρϕ∂∂=∂∂cos cos x x x xνννρϕνϕρρρ∂∂∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂ 得1cos xννρϕ∂∂=∂∂因为v u xy∂∂=-∂∂ 所以1 u νρϕρ∂∂=∂∂于是得极坐标系下的柯西--黎曼方程1u νρρϕ∂∂=∂∂1 u νρϕρ∂∂=∂∂。